高斯赛德尔与超松弛迭代法

迭代法求解线性方程组的研究【摘要】:本文总结了解线性方程组的三个迭代法，Jacobi 迭代法，Gauss-seidel 迭代法，SOR迭代法，并且介绍了现代数值计算软件MATLAB 在这方面的应用，即分别给出三个迭代法的数值实验。

【关键字】:Jacobi 迭代法 Gauss-seidel 迭代法 SOR 迭代法 数值实验一． 引言迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。

迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。

设有方程组b Ax = …① 将其转化为等价的，便于迭代的形式f Bx x += …② (这种转化总能实现，如令b f A I B =-=,), 并由此构造迭代公式 f Bx xk k +=+)()1( …③式中B 称为迭代矩阵，f 称为迭代向量。

对任意的初始向量)0(x，由式③可求得向量序列∞0)(}{k x ，若*)(lim x xk k =∞→，则*x 就是方程①或方程②的解。

此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。

构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B 的性质。

本文介绍三种解线性方程组的最主要的三种迭代法：Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法和SOR 迭代法。

本文结构如下：第二部分介绍Jacobi 迭代法及其数值实验，第三部分介绍Gauss-Seidel 迭代法及其数值实验，第四部分介绍SOR 迭代法及其数值实验，第五部分总结。

二． 雅克比（Jacobi ）迭代法1. 雅克比迭代法的格式设有方程组),,3,2,1(1n i b x aj j nj ij==∑= …①矩阵形式为b Ax =,设系数矩阵A 为非奇异矩阵，且),,3,2,1(,0n i a ii =≠从式①中第i 个方程中解出x ，得其等价形式)(111j nj j ijiii x ab a x ∑≠=-= …②取初始向量),,,()0()0(2)0(1)0(n x x x x=，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式：)(111)()1(∑≠=++-=nj j i k j ij ii k ib x a a x …③ 也可记为矩阵形式：J x J k F B xk +==)()1( …④若将系数矩阵A 分解为A=D-L-U ，式中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn a a a D2211，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--0000121323121nn n n a a a a a a L ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--0000122311312n n n n a a a a a a D 。

Gauss-Seidel迭代法是解线性方程组的一种常用方法，它通过不断迭代更新解向量，逐步逼近方程组的精确解。

在实际应用中，我们往往需要判断迭代法是否收敛，以保证计算结果的准确性和可靠性。

本文将以matlab为例，介绍如何利用数值计算软件对Gauss-Seidel迭代法的收敛性进行判断，并对其进行详细分析和讨论。

一、Gauss-Seidel迭代法简介Gauss-Seidel迭代法是一种逐次迭代的线性代数方法，用于求解线性方程组Ax=b的解向量x。

它的迭代更新公式为：xn+1i=1/aii(bi-∑(j=1,j≠i)n aijxj)其中，i=1,2,...,n；n为方程组的阶数；aii为系数矩阵A的第i行第i 列元素；bi是方程组右端的常数；xj为解向量x的第j个分量；∑(j=1,j≠i)n aijxj为除去第i个分量的求和。

通过不断迭代更新解向量的各个分量，最终可以逼近线性方程组的解。

二、Gauss-Seidel迭代法的收敛性判断针对Gauss-Seidel迭代法的收敛性判断，我们可以利用数值计算软件matlab进行分析。

在matlab中，可以使用以下命令进行Gauss-Seidel迭代法的计算：function[x,k]=GaussSeidel(A,b,x0,tol,maxk)n=length(b);x=x0;for k=1:maxkx0=x;for i=1:nx(i)=1/A(i,i)*(b(i)-A(i,:)*x+x(i));endif norm(x-x0,inf)<tolreturn;endenderror('达到最大迭代次数，方法未收敛');end在上述matlab代码中，A为系数矩阵，b为右端常数向量，x0为初始解向量，tol为迭代精度，maxk为最大迭代次数。

在函数中，我们设定了最大迭代次数以及迭代精度的条件，当满足这些条件时，算法将停止迭代。

三、Gauss-Seidel迭代法的收敛性分析Gauss-Seidel迭代法的收敛性与系数矩阵A的性质有关。

利用超松弛迭代法求解问题在电场中，利用有限差分法求解场域中各个节点的点位。

其中求解差分方程组的解运用到了超松弛方法。

超松弛方法是高斯—塞德尔迭代法的变形。

它在迭代过程中，为了加速收敛，再把所得结果依次带入进行计算的同时，还使用把每一次迭代的变化量加权后再代入的方法。

运用超松弛迭代法求解下述问题：试用超松弛迭代法求解接地金属槽内的电位的分布。

已知：A=4CM,H=A\4=10CM给定边值：如图示；给定初值：Φ=0误差范围：E=10^-5计算：迭代次数N=？，Φ的分布。

分析：（1）、节点按从下到上，从左到右的顺序排列。

（2）、按高斯—塞德尔迭代公式进行迭代。

（3）、选择加速因子Α，且A在1到2之间。

以下为该题程序段：#INCLUDE <IOSTREAM.H>#INCLUDE<MATH.H>#INCLUDE<IOMANIP.H>BOOL SUCCESS(DOUBLE A[5][5][2], DOUBLE B) 构建函数其中DOUBLE A 代表记录数据前后两次的值。

{INT I,J;FOR (I=1;I<5;I++)FOR (J=1;J<5;J++) 依次对定义数组赋值{IF ( FABS(A[I][J][1]-A[I][J][0]) > B ) 误差在题设范围内则返回值TRUERETURN TRUE;} 否则返回FALSE RETURN FALSE;}INT MAIN(){INT N,I,J;DOUBLE A[5][5][2];DOUBLE B;B=0.00005;DOUBLE S=1.21;WHILE (1){N=0;COUT<<"输入加速因子数值(1<= A < 2 ) "<<ENDL; 输入题设CIN>>S;FOR(I=0;I<5;I++)FOR(J=0;J<5;J++){A[I][J][0]=0;A[I][J][1]=0;}FOR (I=0;I<5;I++){A[I][4][0]=100;A[I][4][1]=100;}WHILE ( N==0 || SUCCESS(A,B)){FOR(I=1;I<4;I++)FOR(J=1;J<4;J++){A[I][J][0]=A[I][J][1];A[I][J][1]=A[I][J][1]+(A[I-1][J][1]+A[I+1][J][1]+A[I][J+1][1]+A[I][J-1][1] [I][J][1]*4)*S/4; 由高斯—塞德尔迭代公式写出相应公式。

线性⽅程组的J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代,SSOR-迭代⽅法西京学院数学软件实验任务书【实验课题】雅克⽐迭代、⾼斯—赛德尔迭代、超松弛迭代【实验⽬的】学习和掌握线性代数⽅程组的雅克⽐迭代、⾼斯—赛德尔迭代、超松弛迭代法，并且能够熟练运⽤这些迭代法对线性⽅程组进⾏求解。

【实验内容】 1、问题重述：对于线性⽅程组A b X =，即：1111221n 12112222n 21122nn n n n n n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??+++= （1），其中，111212122111 0 - - 0 - 0 0 () - - - 0 n ij n nn n nn nn a a a a a a a a a a ?--A ==--??0n D L U≡--()1,n b b b T=如何运⽤雅克⽐迭代、⾼斯—赛德尔迭代、超松弛迭代法对线性⽅程组进⾏求解。

2、⽅法原理： 2.1雅克⽐迭代迭代思想：⾸先通过A b X =构造形如()x f x =的等式，然后给定⼀个初值(0)(0)(0)(0)12(,,)n x x x X = ，再通过(1)()()k k f +X =X 进⾏迭代。

step1 ：对（1）相应第i ⾏中的i x ⽤其它元素表⽰为：11111121111122,12211111()()11()()11()()n nj j j j j j n ni i ij ji j j j i j i j iin nn n nj j n n nj j j j nn nn x b a x x b a x a a x b a x x b a x a a x b a x x b a x a a ===≠=-==?=-=+-??=-=+-??=-=+-∑∑∑∑∑∑即：()D b L U X =-+XStep 2 ：进⾏迭代(0)(0)(0)(0)12(1)11()(,,)()n k k x x x D b D L U +--?X =?X=-+X ? ，0,1,2k = ，取它的判断条件为()(1)k k -X -X ⼩于⼀个确定的误差值ε，跳出循环。