第四章 曲线运动教案
第一课时 曲线运动的条件 运动的合成和分解
教学目标： 1、掌握曲线运动的条件及速度方向及受力特点。
2、掌握运动的合成和分解的规律，各分运动具有的独立性、同时性、等效性。
3、掌握由分运动的性质判断合运动性质的方法。 教学过程：一 、知识归纳
1、 物体在曲线运动中的速度方向时刻在改变，某点的速度方向总是曲线的切线方
向。物体做曲线运动的条件是：物体所受到合力的方向跟物体的速度方向不在一直线上。所受到的合外力的方向总指向曲线凹的一侧如图1所示。
2、 分运动和合运动是一种等效替代关系，其理论基础是运动的独
立性原理，即任何一个运动．．．．．．．堵都．．可以看作是几个独立进行的分．．．．．．．．．．．．．运动的合．．．．成．
。其运算法则是平行四边形定则。分清合运动与分运动是解决问题的关键。物体相对于参考系的实际．．运动（位移、速度）为合运动。
3、 已知分运动确定合运动性质的方法是：由平行四边形定则求出合运动的初速度及
加速度再由二者的方向关系确定其运动性质。 二、典型例题分析
1、曲线运动产生的条件
【例1】 下列几种说法中正确的是……………………………………………（ C ）
A 、 物体受到变力作用一定做曲线运动；
B 、 物体受到恒力作用一定做匀变速直线运动；
C 、 当物体所受到合外力方向与速度方向有夹角时，一定做曲线运动；
D 、 当物体所受到合外力方向不断改变时，一定做曲线运动。
[解析]：物体做直线运动还是曲线运动，不取决于物体所受到的力是恒力还是变力；取决于物体所受到的力和速度方向是在同一条直线上，还是成一夹角，故A 、B 错，而C 对。对于D 来说，“合外力方向不断改变”要从两种情况考虑，一种是合力与速度方向夹角不断改变，应做曲线运动；另一种是合外力的方向始终与速度方向在同一条直线，有时与速度方向相同，有时与速度方向相反，做直线运动。故D 错。 [总结与提高] ：物体做直线运动还是曲线运动，取决于物所受到的力和速度方向是在同一条直线上，还是成一夹角！！
2、 曲线运动的特点
图1
【例2】如右图2所示，物体与恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力反向而大小不变（即是F变为-F），在此力作用下物体以后的运动情况下列说法中正确的是………………………………….. （ C ）
A、物体可能沿曲线Ba运动；
B、物体可能沿直线Bb运动；
C、物体可能沿曲线Bc运动；
D、物体可能沿原来曲线由B运动到A。
练习1、一个物体以初速度0
v从A点开始在光滑水平面上运动。已知有一个水平力作用在物体上，物体运动轨迹如图4-4中实线所示，图中B为轨迹上的一点，虚线是过A，B两点并与轨迹相切的直线，虚线和实线将水平面划分为5个区域。关于施力物体的位置，下面说法正确的是（AC）A．如果这个力是引力，则施力物体一定在④区域
B．如果这个力是引力，则施力物体一定在②区域
C．如果这个力是斥力，则施力物体可能在②区域
D．如果这个力是斥力，则施力物体可能在③区域
练习2、关于运动的合成的有关问题下列说法中正确的是：……………………（CD ）
A、合运动的速度一定大于分运动的速度。
B、两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动可能是曲线运动。
C、两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。
D、匀速直线运动与一个初速度不为零的交加速直线运动的合运动有可能是匀变速直线运动。
3、运动的合成
【例3】雨滴在空中以4m/s的速度竖直下落，人打着伞以3m/s的速度向东急行，
如果希望让雨点垂直打向伞的截面而少淋雨，伞柄应指向什么方向？
[解析]：解该题的关键是求出雨相对于人的速度！因人的行走，雨对人有向
西3m/s的速度，雨实际又有竖直向下4m/s的速度，雨同时参与这两个分运
动。作出合成图如图3示。则：v=5m/s，与竖直方向成370度角。
练习3、如图3所示，甲图表示某物体在x轴方向上的分速度的v-t图象，乙图表示该物体在y轴上的分
速度图象。求：（1）t=0时物体的速度（2）t=8s时物体的速度
（3）t=4s时物体的位移
【解析】：3m/s;5m/s;410m
练习4、光滑水平上，一个质量为2kg
v /m/s
2
1
3
v /m/s
6
4
2
图3-乙图3-甲
的物体从静止开始运动在前5s 受到一个向东的力大小为4N 的水平恒力作用；从第5末开始受正北方向大小为2Ｎ的水平恒力作用了10S ，求物体在15内的位移与15s 时的速度。
练习5、玻璃生产线上，宽9m 的面型玻璃板以2m/s 的速度不断地向前行进，在切割工序处，金钢钻的割刀速度为10m/s ，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金钢钻割刀的轨道应如何控制？割 一次的时间多长？（0.92s,方向与玻璃板行进方向成角度a=arccos1/5）
4、 按实际进行速度分解
【例4】 如图4所示，用绳牵引小船靠岸，若收绳的速度为V ，当绳与水平方向夹角为a 时船的速度为多少？
[解析]：船的速度v 的方向就是合运动的速度方向。由于这个v 产生两个效果：一、是使绳系着小船的一端沿绳拉方向以速率V 1运动；
二、是使绳的这端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动。 因此合速度应按上述两个方向分解如图所示，则：v=v 1/cosa. (说明：此题也可用微元法求解)
练习5、如右图5所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体Ａ的受力情况是（Ａ）
Ａ、绳的拉力大于Ａ重力。Ｂ、绳子的拉力等于Ａ重力。Ｃ、绳子的拉力小于Ａ的重力。Ｄ、绳子的拉力先大于重力后变为小于重力。
5、 小船渡河问题
渡河问题的基本模式与处理方法
问题的提出：设河宽为d 水流速度为V 2。船在静水的速度为V 1，船从河岸的A 点处出发如图6所 。
处理的基本方法：在河中的运动可以分解为沿着河岸的运动与垂直河岸的运动，渡河问题的基本方程为
X=(v 2-v 1con α)t …………(1) y=v 1sin αt …………(2) 讨论：i)当v 1>v 2时，
(1) 过河的时间：当y=d 时即表示船到达对岸，所以有：
t d/v 1sin α 所以 α=900时，t min =d/v 1 ,
(2)过河的最短位移，要使过河的位移最短则：x=0,所以cos α=v 1/v 2,将此式代入上述（2）式即可求出过河的时间；
(3)要使小船到达对岸的预定地点C ，则只须满足上述基本方程中的y=d,x=s 即可。
ii)当v 1 图 4 图6 图7 问题（1）（3）的求解方法相同，问题（2）可以这样来解决 如右图示，要使位移最小，则要求θ最大，而小船过河速度矢量的末端，总在以水流速度矢量末端为圆心、以小船划行速度矢量为半径的圆上如图7所示，显然当小船过河速度与该圆相切时θ最大，此时船划行方向与河岸的夹角α为： cos α=v 1/v 2,时位移最小。其值为： s min =dv 2/v 1 而过河的时间为？ 【例5】 某人划船在静水中划行速度v 1=1.8m/s,若他在水速 v 2=3 m/s 的河中匀速划行，则： （1） 他怎样划才能使船在最短时间内到达对岸？ （2） 若要使船的实际划行轨迹最短，应怎样划行？ [解析]：(1)、船参与了自身划行和随水漂流两个分运动， v 1、v 2为分速度。根据运动的独立性和分运动与合运动的等时性α 可知：船的分运动：s 1=v 1t ， 水的分运动：s 2=v 2t ， 船的实际运动（合运动）：s=vt 。 若河宽为D ，船的航向v 1与河岸上游成a 角，则：s 1=D/sina ， 过河时间：t=s 1/v 1=D/v 1sina 。故a=900 时时间最短！！ （2）、因v 1 即v 1与上游夹角为：900 -θ=53 练习6、某人乘船横渡一条河，船在静水中的速度及水速一定，此人过河最短时间Ｔ1，若此船用最短的位移过河，所需时间Ｔ2,若船速大于水速，则船速与水速之比为?(T2/(T 22 -T 12)1/2 ) 练习7、一艘小艇从河岸的Ａ处出发渡河，小艇保持与河岸垂直的方向行驶，经过10min 到达正对岸下游120m 的Ｃ处，如图8示，如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与可岸成 角方向行驶，则经过12.5min 恰好到达正对岸的Ｂ处，则河宽为？ 练习8、有一艘船以速度Ｖ甲用最短时间横渡过河，另一艘船以速度Ｖ乙从 同一地点以最短的轨迹横渡河，两船的轨迹恰好重合（设河水流速保持不变），求两船过河所用的时间之比？（t 甲：t 乙＝Ｖ乙2 ：Ｖ甲2 ） 第二讲 平抛运动 图8 教学目标：1、理解平抛运动的特点，理解平抛运动可以看做水平的匀速运动与竖 自由落体运动的合运动，而且这两个运动并不影响； 2、 会用平抛运动的规律解答有关问题。 教学过程：一、知识归纳 1、 平抛运动：水平抛出的物体只在重力作用下的运动； 2、 性质：是加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动，其轨迹是一条抛物线； 3、 方法和规律：运可用运动分解的方法来处理，一般分解为：水平方向的匀速运 动和竖直方向的自由落体运动。速度：v x =v o 位移：x=v o t v y =gt y=1/2gt 2 二、典型例题分析 1、 平抛运动的特点 【例6】 如右图9所示，用绳悬挂的链条的直径为5 m 的圆环连接而成，枪管水平放置且跟环4的圆心在同一水平面上，枪口到圆心的水平距离为100 m ，子弹出口的速度为10 m/s ，不计空气阻力，g=10N/Kg 。则： 1、如果子弹离开枪口时，烧断绳子，子弹将………………………。 2、如果在子弹射出前0.1 s 烧断绳子，子弹将………………………。 [解析] ：1、平抛运动可分解成水平的匀速运动和竖直的自由落体运动。烧断绳子环做自由落体运动。因此子弹从4环圆心穿过。 2、 走过水平距离L=100 m 的时间t=L/v =10s ，在0.1 s 内环下落的距 y=1/2 gt 2 =0.05m 。环的速度v= gt=1 m/s ，y=y 1+vt=10.05 m 。故子弹从环2圆心上方0.05 m 处穿过环2。 练习9、同一竖直平面内有相距500m 的A 、B 两点，在等高水平线上。今有一子弹正对B 点水平地从A 点以v=500 m/s 的速度射出，在子弹射出的同一时刻，B 点处有一物自由落下。设空气阻力不计，问子弹能否击中物体？要使子弹能击中下落的物体应满足什么条件？ [总结和提高]：解平抛运动时应注意：（1）水平方向和竖直方向的两个分运动是相互独立的！！其中每个分运动都不会因另一个分运动的存在而受影响。 （2）水平方向和竖直方向的两个分运动及其合运动具有等时性，所以平抛运动的物体在空中飞行的时间只决定于物体抛出的高度，而与抛出的初速度无关！！ 【例7】 如右图10所示，以v 0的水平初速度抛出的物体，飞行一 段时间后垂直地撞在倾斜角为θ=300 的斜面上，求： 图9 图10 1、 物体完成这段飞行的时间？ 2、 物体的抛出点到斜面的竖直距离是多少？ [解析]： 1、 物体的水平初速度为V 0末速度V 垂直于斜面， 即v 和水平方向夹角为600 ，v 0、、v y 、v 的关系如图所示， 由图知：v y =v 0tan600 =3v 0.另一方面v y =gt 。所以t=3v 0/g 。 2、作出物体的轨迹如图所示，物体的水平射距：x=v 0t=3 v 02 / g 。 物体的竖直位移：y=1/2 gt 2 =3 v 02 /（2g ）。 所以物体到斜面的竖直距离：H=y+xtan300 =2.5 v 02 / g 。 练习10、如图11所示，在倾角为θ的斜面顶端，水平抛出一钢球落到斜面上。已知抛物点到落点间斜面长为L ，求：（1）抛出的出速度？ （2）试证明球落到斜面时的速度方向与斜面的夹角为一定值。 （3）钢球在运动过程中离斜面的最大距离。 练习11、平抛运动的物体，在落地前的最后一秒内速度方向由跟竖直方向面600 角变为跟紧直方向成450 角，求物体抛出时的初速度的高度分别是多少？(23.2m/s;27.5m) 练习12、排球场总长18m ，网高2.25m ，如图所示，设对方飞来一球，刚好在3m 线正上方被我方运动员后排强攻击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可以认为排球被击回时做平抛运动，g=10m/s 2 。 ⑴若击球的高度h=2.5m ，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不能出底线， 则球被击回的水平速度在什么范围内？ ⑵若运动员仍从3m 线正上方击球，击球高度h 满足一定条件时会出现无论球的水平初 速是多大都会触网或越界，试求h 满足的条件？ 答案：6m/s ＜V ＜12 h ＜2.4m 【例8】 从倾角为θ=30°的斜面顶端以初动能E =6J 向下坡方向平抛出一个小球，则小球落到斜面上时的动能E /为______J 。 解析：以抛出点和落地点连线为对角线画出矩形ABCD ，可以证明末速度v t 的反向延长线必然交AB 于其中点O ，由图中可知AD ∶AO =2∶3，由相似形可知v t ∶v 0=7∶3，因此很容易可以得出结论：E /=14J 。 图11 v 【例9】 如图所示，在竖直平面的xoy 坐标系内，oy 表示竖直向上方向。该平面内存在沿x 轴正向的匀强电场。一个带电小球从坐标原点沿oy 方向竖直向上抛出，初动能为4J ，不计空气阻力。它达到的最高点位置如图中M 点所示。求： ⑴小球在M 点时的动能E 1。 ⑵在图上标出小球落回x 轴时的位置N 。 ⑶小球到达N 点时的动能E 2。 解析：⑴在竖直方向小球只受重力，从O →M 速度由v 0减小到0；在水平方向小球只受电场力，速度由0增大到v 1，由图知这两个分运动平均速度大小之比为2∶3，因此v 0∶v 1=2∶3，所以小球在M 点时的动能E 1=9J 。 ⑵由竖直分运动知，O →M 和M →N 经历的时间相同，因此水平位移大小之比为1∶3，故N 点的横坐标为12。 ⑶小球到达N 点时的竖直分速度为v 0，水平分速度为2v 1，由此可得此时动能E 2=40J 。 练习13、飞机以恒定的速度v 沿水平方向飞行，高度为2000m 。在飞行过程中释放一枚炸弹，经过30s 后飞行员听见炸弹落地的爆炸声。假设此爆炸向空间各个方向的传播速度都为330m/s ，炸弹受到的空气阻力可以忽略，求该飞机的飞行速度v ？ 解析：设释放炸弹后，炸弹经t 1时间落地爆炸，则由平抛运动公式得： 2 12 1gt h = ，设从炸弹爆炸到飞行员听见爆炸声所经过的时间为t 2，则由题给条件得t= t 1+ t 2，由图直角三角形的几何关系可得 22222)()(h ct vt -=，解得v=262m/s 。 练习14、如图所示，点光源S 距墙MN 的水平距离为L ，现从O 处以水平速度v 0平抛一小球P ，P 在墙上形成的影是P '，在球做平抛运动过程中，其影P '的运动速度是多大？ 解析：设小球经过一段时间运动到某一位置时的水平位移为x ，竖直 o y /m x /m M v 0 v 1 3 2 1 2 4 6 8 10 12 14 N x L y h 位移为y ，对应的影的长度为h ，由图知： x L y h =，而x = v 0 t ，y=21 g t 2；所以t v gL L x y h 0 2= =，由此看出影子的运动是匀速直线运动，其速度为 2v gL 。 练习15、在离地面高为h ，离竖直光滑墙的水平距离为s 1处，有一小球以v 0的速度向墙水平抛出，如图所示。小球与墙碰撞后落地，不计碰撞过程中的能量损失，也不考虑碰撞的时间，则落地点到墙的距离s 2为多少？ 解析：如图所示，小球撞墙的速度v 斜向下，其水平分量为v 0，由于碰撞无能量损失，故碰撞后小球的速度大小不变，v ?与v 关于墙面对称，故v ?的水平分量仍为v 0，s 2故等于小球没有撞墙时的水平位移s 2?， 所以s 2＝s －s 1，s 为平抛运动的整个位移，由s = v 0 t ，2 2 1gt h =有 g h v s 20 =；1022s g h v s -=。 练习16、如图所示，光滑斜面长为a ，宽为b ，倾角为θ。一物块沿斜面上方顶点P 水平射入，而从右下方顶点Q 离开斜面，求物块入射的初速度为多少？ 解析：物体在光滑斜面上只受重力和斜面对物体的支持力，因此物体所受到的合力大小为F ＝θsin mg ，方向沿斜面向下；根据牛顿第二定律，则物体沿斜面方向的加速度应为a 加＝ θsin g m F =， 又由于物体的初速度与a 加垂直，所以物体的运动可分解为两个方向的运动，即水平方向是速度为v 0的匀速直线运动，沿斜面向下的是初速度为零的匀加速直线运动。因此在水平方向上有 a = v 0 t ，沿斜面向下的方向上有b ＝ 2 1 a 加t 2；故 b g a t a v 2sin 0θ==。 第三讲 匀速圆周运动 v s 1 v 0 h s 2 s 2 ′ s v 0 v 0 v ? [教学目标]: 1、掌握匀速圆周运动，线速度和角速度、周期、圆周运动的向心加速度 a=v 2 /r=w 2 r=r T 2 )2( π 2、会分析圆周运动中的向心力，会用F 合=ma 动力学方程求解圆周运动问题。 [知识点剖析]: 一、匀速圆周运动的特点：1、轨迹：是圆周或圆周的一部分。 2、运动的速率不变，w 不变。 二、描述圆周运动的物理量: 1、线速度v ：⑴物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢的物理量。 ⑵方向：沿圆弧该点的切线方向。 ⑶大小：v=s/t （s 为通过的弧长） 2、角速度w ：⑴物理意义：描述质点绕圆心转动快慢的物理量。 ⑵大小：w=Ф/t （Ф为半径转过的角度） 3、周期和频率：⑴周期（T ）：作圆周运动的物体运动一周所用时间。 ⑵频率(f)：作圆周运动的物体在单位时间内，沿圆周绕圆心转过的圈数叫 频率，也叫转速（n ）。 4、线速度(v)，角速度(w)，周期（T ），频率(f)之间的关系： v=wr=2πR/T=2πRf 说明：T 、f 、w 三个量中任一个确定，其余两个也就确定了。 5、向心加速度(a)： ⑴物理意义：描述线速度方向变化快慢的物理量。 ⑵大小：v w R w R v a ?===22 ⑶方向：总是指向圆心，方向时刻变化。 说明：匀速圆周运动的物体，向心加速度大小保持不变，方向时刻变化，为变加速曲线运动。 6、向心力（F ）： ⑴作用：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，是效果力。 ⑵来源：向心力是作圆周运动的物体，所受外力在向心方向上的合力。 （注：匀速圆周运动的向心力，就是物体的受到的合力） ⑶大小：F=ma=mv 2 /R=mw 2 R=m(R T 2 )2( π ⑷方向：总是沿半径指向圆心。 三、物体作圆周运动的条件： 1、匀速圆周运动：合外力大小保持不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2、一般圆周运动：沿半径方向的合力恰能满足： F 提=F 所需（F 需=mV 2/R=mw 2 R ） 3、如果F 提 B ? A ? C ? O ? O 1? [典型例题分析]： （一）、皮带轮传输问题 【例10】：如右图二轮通过摩擦传动，不产生打滑A 、B 、C 三点的位置如图：r 1=2r 2, oc=r 2，则三点的向心加速度a A :a B :a c = [解析]：二轮边缘的点的线速度相同，即A 、B 两点线速率V A =V B ，A 、C 绕同一轴转动物体上的两点，故A 、C 两点角速度相同，即: w A =w C 所以，a A /a B = 2 1//1222 12 == r r r v r v B A a A /a C = 1 2 212 2 1 2= = r r r w r w C A 故：a A :a B :a C =2:4:1 练习17、如图所示，半径分别为R 和r 的皮带轮A 和B 用皮带连接且不打滑，两轮上边的皮带保持水平，现把一小物体轻轻放在皮带上，经过t 时间后物体与皮带间无相对滑动，已知物体与皮带间的动摩擦因数为μ，则A 轮的角速度为 ___，B 轮边缘的向心加速度为____ (答案： ugt/R u 2g 2t 2 /r) 练习18、如图12所示为实验小车中利用光脉冲测量车速和行程的装置示意图，A 为光源，B 为光电接收器，A 、B 均固定在车身上，C 为小车的车轮，D 为与C 同轴相连的齿轮，车轮转动时，A 发出的光束通过旋转齿轮上的间隙后变成光信号，被B 接收并转换成电信号，由电子电路记录和显示。若实验显示单位时间内的脉冲数为n ，累计脉搏冲数为N ，则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或数据是______；小车速度的表达式为v=________；行程的表达式为s=_____________。 答案：车轮的半径R 与齿轮的齿数p ；p RN p Rn /2;/2ππ。 [总结与提高]：对于这类问题应熟记：固定在一起共轴转动物体上各点的角速度相同，不打滑的摩擦传动（齿轮传动与皮带传动）的两轮边缘上各点线速度大小相等。 （二）、圆周运动的周期性问题 【例11】 如图13示半径为R 的圆板作匀速转动，当半径OB 转动到某一方向时，在圆板中心正上高h 处以平行于OB 的方向水平抛出一球，要使小球与圆板只碰撞 一次且落点为B 则： ⑴小球的初速度为多少？ ⑵圆板转动的角速度是多少？ [解析]：⑴设小球平抛运动落到B 点时间为t ，则： R=v 0t ……① v 0=h g R 2 图12 h V 0 O 图13 b a B 图14 2 2 1gt h = ……②： 解得： ⑵恰能落到B 点，则平抛时间t 与圆周运动周期T 的关系： 知：t=nT （n=1、2、3…）……③ 又：T=2π/w …………………（4） 由②③④得出：)321( 2??==、、n h g nx w 巩固练习： 3、如下图14所示，在同一竖直平面内有A 、B 两物体，A 物体从a 点起以角速度w 沿顺时针做半径为R 的匀速圆周运动，同时B 物体从圆心点处自由下落若要A 、B 两物体在d 点相遇，求角速度w 须满足的条件。 [答案：R g n w /24 3 4π+= （其中n=0、1、2、3……）] [总结与提高]：圆周运动具有周期性，因此与圆周运动有关的部分题目的解可能具有周期性，分析该部分题目时要注意把解答写全面。 （三）、圆周运动的运动相遇和追及问题 【例12】试计算在一天一夜内时针和分针重合几次？ [分析和解]：先计算出每重合一次所要的时间t ，分钟和时钟每重合一次所用时间相同，但转过的圆心角不同，分钟多走一周，设时钟转过第二次与分钟重合。则： 分 时 w w t θ πθ += = 2……① h w 122π = 时……② h w 12π=分……③ 由①②③得 ： h t 11 12 = 因此24小时内时针和分钟重合的次数22==t T n 次 练习19、两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动。地球半径为R ，A 卫星离地面的高等于R ，B 卫星离地面高为3R 。则： （1）A 、B 两卫星周期之比是多少？ （2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则A 至少经过多少个周期两卫星相距最远？ （四）、匀速圆周运动的动力学问题 【例13】如右图15所示，竖直放置的光滑圆环，半径R=20cm ，在环上有一 穿孔的小球，质量为m ，小球能沿环无摩擦地滑动，当圆环绕竖直轴按图示方向以w=10rad/s 的 角速度转动时，小球相对于圆环静止，求θ角的大小（取g=10m/s 2 ） [分析和解]：小球做圆周运动，受力分析如右图由牛顿第二定律知：mw 2 Rsin θ=mgtg θ ∴cos θ=g/w 2 R=2 12.010102=? θ=60° 练习20、如图16所示，一个固定的漏斗壁光滑，有两个完全相同的小球A 和B 在漏斗内两个不同的水平面上做匀速周运动，则两小球的线速度v ，角速度w ，向心加速度a 和球对漏斗的压力F 的大小有：