第一部分专项同步练习
第一章行列式
一、单项选择题
1.下列排列是 5 阶偶排列的是( ).
(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351
2.如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ).
n!
(A) k (B) n k (C) k
2
n(n 1) (D) k
2
3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项.
(A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)!
0 0 0 1
4.
1
1
( ).
1 0 0 0
(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2
0 0 1 0
5.0
1
1
( ).
1 0 0 0
(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2
2x x 1 1
6.在函数
1 x 1 2
f (x) 中
3 2 x 3
3
x 项的系数是( ).
0 0 0 1
(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2
1
7. 若
a a a
11 12 13
1
D a a a ,则
21 22 23
2
a a a
31 32 33
2a
a
13
a
33
a
11
a
31
2a
12
2a
32
11
D 2a a a 2a ( ).
1 21 23 21 22
2a
31
(A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2
a a
11 ,则
12
8.若 a
a a
21 22 a
12
a
11
ka
22
ka
21
( ).
2 (D) k2a (A)
ka (B) ka (C) k a
9.已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ).
(A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2
8 7 4 3
10. 若
6 2 3 1
D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).
1 1 1 1
4 3 7 5
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0
3 0
4 0
11. 若
1 1 1 1
D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ).
0 1 0 0
5 3 2 2
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0
x 1 x
2
kx
3
12. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组x
1 kx
2
x
3
0 有非零解.
kx
1 x
2
x
3
( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0
二、填空题
2
1.2n阶排列24 (2n)13 (2n 1) 的逆序数是.
2.在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26 所带的符号是.
3.四阶行列式中包含a22a43 且带正号的项是.
2 n
4.若一个n 阶行列式中至少有n 1个元素等于0 , 则这个行列式的值等于.
1 1 1 0
5.行列式
1
1
1
1
1
.
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 2 0
6.行列式.
0 0 0 n 1
n 0 0 0
a 11 a
1(n
1)
a
1n
7.行列式a
21
a
2(n
1) 0 .
a
n1
0 0
a
11
a
12
a
13
a
11
a
13
3a
12
3a
12
8.如果D a a a M
21 22 23 ,则D a a 3a 3a .
1 21 23 2
2 22
a 31 a
32
a
33
a
31
a
33
3a
32
3a
32
9.已知某5 阶行列式的值为5,将其第一行与第 5 行交换并转置,再用 2 乘所有元素,则所得的新行列式的值为.
3
1 1 1 x 1
10.行列式
1
1 x
1
1
x 1
1
1
1
. x 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
11.n 阶行列式.
1 1 1
12.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.
1 2 3 4
13.设行列式
5 6 7 8
D ,A4 j ( j 1,2, 3, 4) 为 D 中第四行元的代数余子式,
4 3 2 1
8 7 6 5
则4A41 3A42 2A43 A44 .
a b c a
14.已知
c b a b
D , D 中第四列元的代数余子式的和为.
b a
c c
a c
b d
1 2 3 4
3 3
4 4
D ,A4 j 为a4 j ( j 1,2, 3, 4) 的代数余子式,则
15.设行列式 6
1 5 6 7
1 1
2 2
A41 A ,A43 A44 .
42
4
1 3 5 2n 1
1 2 0 0
16.已知行列式D 1 0 3 0 ,D 中第一行元的代数余子式的和为
1 0 0 n
.
kx
1 2x
2
x
3
17.齐次线性方程组2x
1 kx
2
0 仅有零解的充要条件是.
x 1
x
2
x
3
x
1
2x
2
x
3
18.若齐次线性方程组2x
2 5x
3
0有非零解,则k = .
3x
1 2x
2
kx
3
三、计算题
b a 2
a 3
a c d
a
b
2
b
3
b
c
d a
c
2
c
3
c
b
d a
d
2
d
3
d
b
c
;
2.
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
1.
;
x a
1 a
2
a
n
2
1
0 1 x 1 a
1 x a
2
a
n
2
1
1 0 1 x 3.解方程0
x 1 1 0 ;4.
a
1
a
2
x a
n
2
1
;
1 x 1 0 a
1 a
2
a x
3
1
a 1 a
2
a
3
a
n
1
1
5
a
1 1 1
1 a 1
1 1
5. 1 1 a 1
2
( a j 1,j 0,1, , n);
1 1 1 a
n
1 1 1 1
3 1 b 1 1
6. 1 1 2 b 1
1 1 1 (n 1) b
1 1 1 1 x a
1
a
2
a
n
b 1 a
1
a
1
a
1
a
1
x a
2
a
n
7. b
1 b
2
a
2
a
2
;
8.
a
1
a
2
x a
n
;
b 1 b
2
b
3
a
n
a
1
a
2
a
3
x
2 1 0 0 0
1 2 x
1 x x
1 2
x x
1 n
1 2 1 0 0
9. x
2
x
1
1 22
x
x x
2 n ; 10.
0 1 2 0 0
x
n
x
1
x
n
x
2
1 2 x
n
0 0 0 2 1
0 0 0 1 2
1 a a 0 0 0
1 1 a a 0 0
11.D 0 1 1 a a 0 .
0 0 1 1 a a
0 0 0 1 1 a
6
四、证明题
2
1 1
a a 1
2
a a
2
1 1
b b 1
2
b b 1.设abcd 1,证明:0
2
1 1
c c 1
2
c c
2
1 1
d d 1
2
d d .
a 1
b x
1
a x
1
b
1
c
1
a
1
b
1
c
1
2. a
2 b
x
2
a
x
2
b
2
c
2
(1 2 x ) a
2
b
2
c
2
.
a 3
b x
3
a x
3
b
3
c
3
a
3
b
3
c
3
1 1 1 1
a b c d
3. 2 (b a)( c a)( d a)(c b)( d b)(d c)( a b c d)
2 2 2
a b c d .
4 a
4
b
4
c d
4
1 1 1
a 1 a
2
a
n
4.
2
a
1
2
a
2
2
n
a
n
a
i
(a a
j i
) .
i 1 1 i j n
n
a
1
2n
2
a
2 n
a
n
2
n
a
1
n
a
2
n
n
a
1 1 1
5.设a, b, c两两不等,证明 a b c 0的充要条件是 a b c 0.
3 b3 c3 a
7
参考答案
一.单项选择题
A D A C C D A
B
C
D B B
二.填空题
1. n ;
2.“”;
3. a14 a22 a31a43 ;
4. 0 ;
5. 0 ;
6. ( 1) !
n 1 n ;
n( n1)
7.( 1) 2 a1n a2(n1) a n1 ; 8. 3M ; 9. 160; 10. 4 x ; 11.( n 1
n) ; 12. 2 ;
n
1
13. 0 ; 14.0 ;15. 12, 9; 16.n! (1 ) ; 17. k 2,3 ;18. k7
k k
1
三.计算题
3 y3 1.(a b c d)(b a)(c a)( d a)(c b)( d b)( d c) ; 2. 2(x ) ;
n 1
3. x 2,0,1;
4. (x
k 1 a k )
n n
1
5. (a 1) (1 ) ;
6. (2 b)(1 b) ((n 2) b) ;
k a
1
k 0 k 0 k
7.
n
n b a
( 1) ( ) ; 8.
k k
n n
( x a k ) (x a ) ;
k k 1 k 1 k 1 n
9. 1x ; 10. n 1;
k
k 1
2 a
4
11. (1 a)(1 a ) .
四. 证明题(略)
8
第二章矩阵
一、单项选择题
1. A 、B为n 阶方阵,则下列各式中成立的是( ) 。
(a) 2
2 A 2 2
2 B A B A B
A (b) A ( )( ) (c) (A B) A A AB
(d) ( T A T B T
AB)
2. 设方阵A、B、C满足AB=AC当,A满足( ) 时,B=C。
(a) AB =BA (b) A 0 (c) 方程组AX=0有非零解(d) B 、C可逆
3. 若A为n 阶方阵,k 为非零常数,则kA ( ) 。
n
n (d) k A (a) k A (b) k A (c) k A
4. 设A为n 阶方阵,且 A 0 ,则( ) 。
(a) A中两行( 列) 对应元素成比例(b) A中任意一行为其它行的线性组合
(c) A中至少有一行元素全为零(d) A中必有一行为其它行的线性组合
5. 设A,B为n 阶可逆矩阵, 下面各式恒正确的是( ) 。
(a) 1 1 1 T
( A B) A B (b) ( AB) A B
1 )T 1
(c) ( A B A B (d)
1 1
(A B) A B
1
6. 设A为n 阶方阵, * A 为A的伴随矩阵, 则( ) 。
(a) (a) * A 1 * (c)
A (b) A A
* A n
1
A (d)
* A n
A
1
7. 设A 为 3 阶方阵, 行列式 A 1 , * A 为A 的伴随矩阵, 则行列式
1 2 *
(2A) A ( ) 。
(a) 27
8
(b)
8
27
(c)
27
8
(d)
8
27
9
8. 设A,B为n 阶方矩阵, 2 B
2
A , 则下列各式成立的是( ) 。
2 2
(a) A B (b) A B (c) A B (d) A B
9. 设A,B均为n 阶方矩阵, 则必有( ) 。
2 2
(a) A B A B (b) AB BA (c) AB BA (d) A B
10. 设A为n 阶可逆矩阵,则下面各式恒正确的是()。
(a)T
2A 2 A (b) 1 2
(2 A) A
1
(c) [( 1) 1 ]T [( A ) ]
T T 1
A (d) [( T T A 1 T T
1
A ) ] [( ) ]
a11 a a a 3a a 3a a 3a
12 13 11 31 12 32 13 33
11. 如果A a a a a a a ,则A ()。
21 22 23 21 22 23
a 31 a
32
a
33
a
31
a
32
a
33
1 0 0 1 0 3 0 0 3 1 0 0 (a)(b) (c) (d)
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
3 0 1 0 0 1 1 0 1 0 3 1
1 3 1
12. 已知
A 2 2 0 ,则()。
3 1 1
T (b)
(a)A A
A 1A*
1 0 0 1 1 3 1 0 0 1 1 3
(c)A 0 0 1 2 0 2 (d)
0 0 1 A 2 0 2
0 1 0 3 1 1 0 1 0 3 1 1
13. 设A, B,C, I为同阶方阵,I 为单位矩阵,若ABC I ,则()。(a)ACB I (b)CAB I (c)CBA I (d)BAC I
14. 设A为n 阶方阵,且| A | 0,则()。
(a)A经列初等变换可变为单位阵I (b)由AX BA,可得X B
10
1
(c)当( A | I ) 经有限次初等变换变为(I | B) 时,有A B
(d)以上(a)、(b)、(c)都不对
15. 设A为m n 阶矩阵,秩( A) r m n,则()。
(a)A中r 阶子式不全为零(b)A中阶数小于r 的子式全为零
(c)A经行初等变换可化为I
r
(d)A为满秩矩阵
16. 设A为m n 矩阵,C 为n 阶可逆矩阵, B AC ,则( ) 。
(a) 秩( A)> 秩( B)(b) 秩( A)= 秩( B)
(c) 秩( A)< 秩( B)(d) 秩( A) 与秩( B)的关系依C 而定
17. A,B为n 阶非零矩阵,且AB 0,则秩( A) 和秩( B)( ) 。
(a) 有一个等于零(b) 都为n (c) 都小于n (d) 一个小于n,一个等于n
18.n 阶方阵A可逆的充分必要条件是( ) 。
(a) r ( A) r n (b) A的列秩为n
(c) A的每一个行向量都是非零向量(d) 伴随矩阵存在
19.n 阶矩阵A可逆的充要条件是( ) 。
(a) A的每个行向量都是非零向量
(b) A中任意两个行向量都不成比例
(c) A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示
(d) 对任何n维非零向量X ,均有AX 0
二、填空题
2 , 则行列式 A _______ 1. 设
A为n 阶方阵, I 为n 阶单位阵, 且A I
0 a b
2. 行列式 a 0 c _______
b c 0
11
1 0 1
3. 设2 A0 ,则行列式( A 3I ) ( 9 ) 的值为_______
2 0 1 A2 I
1 A
2 I
0 0 1
1 3
4. 设 2 2
6 ,则行列式A11 _______
A ,且已知A I
3 1
2 2
5. 设A为5 阶方阵,* A 是其伴随矩阵,且 A 3,则* A _______
6. 设4 阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵* A 的秩为_______
a b
1 1 a b
1 2
a b
1 n
7. 非零矩阵a
2
b
1
a b
2 2
a b
2 n 的秩为________ a
n
b
1
a b
n 2
a b
n n
8. 设A为100 阶矩阵,且对任何100 维非零列向量X ,均有AX 0,则A的秩为_______
T 的第4 行第8 列的元素是_______
9. 若A (a ij ) 为15 阶矩阵,则 A A
10. 若方阵 A 与4I 相似,则 A _______
1 2K
11. K 2 K 1
lim _______
1 1
K
K
K 3 12. n
1
2
1 2
1
lim 0 1 _______
3
n
1
0 0
线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3(答案略) 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= (奇数) ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ (正号) (2)∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- (负号) 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- (2)()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- (3)原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8(答案略) 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. (1)从第2列开始,以后各列加到第一列的对应元素之上,得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- (2)按第一列展开: 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L
《线性代数》重点题 一. 单项选择题 1.设A 为3阶方阵,数 = 3,|A | =2,则 | A | =( ). A .54; B .-54; C .6; D .-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵,λ为实数,则|λA |=( ) A 、λ|A |; B 、|λ||A |; C 、λn |A |; D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =( ). 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0; B. ()2,2-; C. 22?? ?-??; D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量,矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4,则|-2A |=( ). A 、-32; B 、-4; C 、4; D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是( ). A .一个零向量一定线性无关; B .一个非零向量一定线性相关; C .含有零向量的向量组一定线性相关; D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关;不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关;不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关;对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分,共 25 分) 1 3 1 1.若0 5 x 0 ,则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2.若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解,则应满足。 x1x2x30 3.已知矩阵 A,B,C (c ij )s n,满足 AC CB ,则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4.已知矩阵A 为 3 3的矩阵,且| A| 3,则| 2A|。 5.n阶方阵A满足A23A E 0 ,则A1。 二、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 6.已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时,该二次型为正定?() A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7.已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ,求x的值() 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 .设 A 为 n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是() A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 .过点( 0, 2, 4)且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为() 1
x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 .已知矩阵 A , 其特征值为( ) 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 (每小题 10 分,共 50 分) 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ,求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时,下列向量组线性相关? 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时,线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解,无解和有无穷多解?当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组,并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明:若 A 是 n 阶方阵,且 AA A1, 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I , 2
习题1.2: 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解:由行列式的定义可知,第三行只能从32a 、34a 中选,第四行只能从42a 、44a 中选,所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ,即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明:第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0,同理,第四行取41a 、42a ,第三行取31a 、32a ,由于每一列只能取一个,则在第三第四第五行中,必有一行只能取0.以第五行为参考,含有51a 的因式必含有0,同理,含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值: (1)01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L (2)00100200100000 n n -L L M O M O M L L ; 解:(1)0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2 分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,, , 21(3 s n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,, , 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。 ① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆, 则 A ,B 均可逆 5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( ) ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分,共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号填“√”,错误的在括号填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 £ s £ n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示
《线性代数》模拟试卷B 及答案 一、选择题(每小题3分,共30分) (1)若A 为4阶矩阵,则3A =( ) (A) 4A (B) 43A (C) 34A (D)3A (2)设A ,B 为n 阶方阵,0A ≠且0AB =,则( ) (A)0B = (B)0BA = (C)222()A B A B +=+ (D)00A B ==或 (3)A ,B ,C 均为n 阶方阵,则下列命题正确的是( ) (A) AB BA = (B)0,00A B AB ≠≠≠则 (C) AB A B = (D) ,AB AC B C ==若则 (4)222()2A B A AB B +=++成立的充要条件是( ) (A)AB BA = (B) A E = (C)B E = (D)A B = (5)线性方程组(1)22(1)k x y a x k y b -+=??+-=?有唯一解,则k 为( ) (A)任意实数 (B) 不等于 (C) 等于 (D) 不等于0 (6)若A 为可逆阵,则1()A *-=( ) (A)A A (B)A A * (C)1 A A - (D)1 A A -* (7)含有4个未知数的齐次方程组0AX =,如果()1R A =,则它的每个基础解系中解向量的个数为( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(8)设A 为m n ?矩阵,齐次方程组0AX =仅有零解的充要条件是A 的( ) (A) 列向量线性无关 (B) 列向量线性相关 (C) 行向量线性无关 (D) 行向量线性相关 (9)已知矩阵A=3111?? ?-?? ,下列向量是A 的特征向量的是( ) (A)10?? ??? (B)12?? ??? (C)12-?? ??? (D) 11-?? ??? (10)二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+为正定二次型,则λ 的取值范围是( ) (A)21λ-<< (B)12λ<< (C)32λ-<<- (D)2λ> 二、计算题(第1、2小题每题5分,第3、4小题每题10分,共30分) 1、计算行列式 4x a a a a x a a D a a x a a a a x = 。(5分) 2、设321A=315323?? ? ? ??? ,求A 的逆-1A 。(5分)
线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; (2)b a c a c b c b a ; (3)222111c b a c b a ; (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 (1)=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- (2)=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= (3)=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= (4)y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ; (6)1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解(1)逆序数为0 (2)逆序数为4:4 1,4 3,4 2,3 2 (3)逆序数为5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1 (4)逆序数为3:2 1,4 1,4 3 (5)逆序数为 2 ) 1(-n n : 3 2 1个 5 2,5 4 2个 7 2,7 4,7 6 3个 ……………… … )12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个 (6)逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2,5 4 2个 ……………… … )12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2,6 4 2个 ……………… … )2(n 2,)2(n 4,)2(n 6,…,)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: 相信自己加油 (1) 3811411 02 ---; (2)b a c a c b c b a (3) 2 2 2 111 c b a c b a ; (4) y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答(1)=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- (2) =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= (3) =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= (4) y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:耐心成就大业 (1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ; (6)1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解(1)逆序数为0
(2)逆序数为4:4 1,4 3,4 2,3 2 (3)逆序数为5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1 (4)逆序数为3:2 1,4 1,4 3 (5)逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 1个 5 2,5 4 2个 7 2,7 4,7 6 3个 ……………… … )12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个 (6)逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2,5 4 2个 ……………… … )12(-n 2,)12(-n 4,)12(-n 6,…,)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2,6 4 2个 ……………… … )2(n 2,)2(n 4,)2(n 6,…,)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知,四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -,其中t 为4321p p p p 的逆序数.由于3,121==p p 已固定, 4321p p p p 只能形如13□□,即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式: 多练习方能成大财 (1)?? ??????? ???711 00251020214214; (2)????? ? ??? ???-26 0523******** 12; (3)???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ; (4)?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---
1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a
bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1
(4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)
模拟试题一 一、判断题:(正确:√,错误:×)(每小题2分,共10分) 1、若B A ,为n 阶方阵,则B A B A +=+.……………………() 2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆.……………………………() 3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…() 4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………() 5、设A 是n 阶方阵,且0=A ,则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合1、23456. 7、(R 8、若9、设10、方阵A 的特征值为λ,方阵E A A B 342+-=,则B 的特征值为. 三、计算:(每小题8分,共16分) 1、已知4阶行列式1 6 11221212 112401---= D ,求4131211132A A A A +-+.
2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2,其中??? ? ? ??=101020101A ,求矩阵B . 四、(10分)求齐次线性方程组???????=++-=-++=--+-=++-024********* 432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解. 五、(10分)设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为 2六、(10(1(2(3(41. 2、(单 (1)做矩阵53?A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ;
(2)通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值. 模拟试题二 一、 判断题(正确的打√,不正确的打?)(每小题2分,共10分) ()1、设,A B 为n 阶方阵,则A B A B +=+; ()2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ; ()3、设矩阵A 的秩为r ,则A 中所有1-r 阶子式必不是零; ()4、若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解,则12x ξξ=+也是该方程组的解. ()5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。 123、设4、(33α5一; 67、设向量(1,2,1)T α=--,β=()T 2,,2λ-正交,则λ=; 8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8,已知A 有2个特征值-1和4,则另一特征值为。 三、计算题(每小题8分,共16分) 1、设矩阵??? ? ??=???? ??--=1201,1141B A ,求矩阵AB 和BA 。
第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分,共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项,则,12 i j = =。 令1,2i j ==,(12354)(13524)134τπ+=+=,取正号。(知识点:行列式的逆序数) 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ,则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子,所以D =(1)n D -。 3、设1101A ??= ? ?? , 则100A =110001?? ???。 23111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? 可得 4、设A 为5 阶方阵,5A =,则5A = 1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知:1 555 n n A A +==。答案应该为5的n 次方 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+ 线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: 相信自己加油 (1) 3811411 02 ---; (2)b a c a c b c b a (3) 2 2 2 111 c b a c b a ; (4) y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答(1)=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- (2) =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= (3) =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= (4) y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:耐心成就大业 (1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ; (6)1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解(1)逆序数为0 2018—2019学年第二学期期末考试 课程名称:线性代数(模拟试卷一) 闭卷 A 卷 120分钟 一、选择填空题:(每题2 分,共14分) 1)行列式3 15 4 12231---中,元素4的代数余子式为 。 2)设行列式11 121321222331 32 33 3a a a a a a a a a =,则313233 2131 2232 233311 12 13 222222222222a a a a a a a a a a a a +++= 。 3)设112311131111A --?? ??=--????--?? ,则A 的秩()r A = 。 4)设向量组 123,,ααα线性无关,则当t =_____ 时,向量组21α-α,32t α-α,13α+α 线性相关。 5)线性方程组121232 343414 1 x x a x x a x x a x x a -=-??-=??-=??-=?有解的充要条件是 。 6)若A 的特征值为1,0,2-,则2 A 的特征值为 。 7) 已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解,12,αα是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系,12,k k 是任意常数,则方程组Ax b =的通解为 。 二)计算下列行列式(10分) 1110110110110111 ; 三)(12分)设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+,且已知301110014A ????=?????? ,求矩阵B 。 四)已知向量组[ ]1132 0α=,[]270143α=,[]32101α=-, []45162α=,求该向量组的秩和一个最大无关组,并将剩余向量用该最大无关 组线性表示。(12分) 五)设有线性方程组12312312336 32334x x x x x x x x ax b ++=?? ++=-??-++=? ,问a b 、为何值时,方程组①有唯一解?② 无解?③有无穷多解?在有无穷多解时求通解(用基础解系表示)。(12分) 六)(14分) 1、求一正交变换X PY =,将二次型222 123121233322(,,)f x x x x x x x x =+-+化为标 准形。(线性代数A 的同学选做) 2)已知矩阵310130002A -?? ??=-?????? 求一正交矩阵p ,使得T P AP 为对角矩阵。(线性代数 B 的同学选做) 七)设向量组123120347110 ,,,011234b a αααβ???????? ? ? ? ? ? ? ? ?==== ? ? ? ?- ? ? ? ????????? 。 (1) 当,a b 取何值时,β不能由123,,ααα线性表示? (2) 当,a b 取何值时,β可由123,,ααα线性表示?并写出此表示式。(12分) 八)若矩阵0102040a A b ?? ? = ? ??? 有三个线性无关的特征向量,问a 与b 应满足什么条件?(10 分) 九)已知A 为降秩矩阵,证明:矩阵A 至少有一个特征值为零。(4分) 枣庄学院线性代数期末考试题样卷 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1 A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ????? ???? ???=01 00 10000001 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( ) 。 ① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 第一章 行列式 习题1.1 1. 证明:(1)首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?,所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++,我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域,所以有理数的和、差、积仍然为有理数,所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ,则必有22,b a 不同时为零,从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数,所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述,我们有)3(Q 是数域。 (2)类似可证明)(p Q 是数域,这儿p 是一个素数。 (3)下面证明:若q p ,为互异素数,则)()(q Q p Q ?。 (反证法)如果)()(q Q p Q ?,则q b a p Q b a +=? ∈?,,从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数,而q 是无理数,所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ,则2 qb p =,这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ,则有 a p =,从而有“有理数=无理数”成立,此为矛盾。 所以假设不成立,从而有)()(q Q p Q ?。 大学生校园网—https://www.doczj.com/doc/1012582003.html,线性代数综合测试题 ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 131 1.若0 05x,则__________。 122 x 1 x 2 x 3 2.若齐次线性方程组x 1 x 2 x 3 0只有零解,则应满足。 x 1 x 2 x 3 3.已知矩阵A,B,C(c ij)sn,满足ACCB,则A与B分别是阶矩阵。 a 11 a 1 2 4.矩阵A aa的行向量组线性。 2122 a 31 a 3 2 2AE 5.n阶方阵A满足30 A,则 1 A。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1.若行列式D中每个元素都大于零,则D0。() 2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。() 3.向量组a1,a2,,a中,如果a1与a m对应的分量成比例,则向量组a1,a2,,a s线性相关。 m () 0100 4. 1000 1。()A,则AA 0001 0010 5.若为可逆矩阵A的特征值,则 1 A的特征值为。() 三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1.设A为n阶矩阵,且A2,则 T AA()。 ① n 2② 2n③2n1④4 1 2.n维向量组1(3sn)线性无关的充要条件是()。 s ,2,, ① 1,2,中任意两个向量都线性无关 , ②1,2,,s中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③1,2,,s中任一个向量都不能用其余向量线性表示 共3页第1页 大学生校园网—https://www.doczj.com/doc/1012582003.html,线性代数综合测试题 ④1,2,,s中不含零向量 2.下列命题中正确的是()。 ①任意n个n1维向量线性相关 ②任意n个n1维向量线性无关 ③任意n1个n维向量线性相关 ④任意n1个n维向量线性无关 3.设A,B均为n阶方阵,下面结论正确的是()。 ①若A,B均可逆,则AB可逆②若A,B均可逆,则AB可逆 ③若AB可逆,则AB可逆④若AB可逆,则A,B均可逆 4.若1,,,是线性方程组A0的基础解系,则1234是A0的() 234 ①解向量②基础解系③通解④A的行向量 四、计算题(每小题9分,共63分) xabcd 6.计算行列式a xbcd abxcd 。abcxd 解· xabcdxabcdbcd axbcdxabcdxbcd abxcdxabcdbxcd abcxdxabcdbcxd 1bcd1bcd 1xbcd0x00 3 (x abcd)(x abcd)(xabcd)x 1bxcd00x0 1bcxd000x 301 7.设ABA2B,且A,求B。 110 014 211522 解.(A2E)BA ( 1 A2E)221,B(A2E) 1A 432 111223 线性代数重点 第一章 行列式 8. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)a a D n 1 1???=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素 都是0; 解 a a a a a D n 0 1 0 000 00 00 0 00 10 00? ????????????????????????????????=(按第n 行展开) ) 1()1(1 0 000 0 0 00 0 001 0 000)1(-?-+??????????????????????????????-=n n n a a a )1()1(2 )1(-?-????-+n n n a a a n n n n n a a a +? ??-?-=--+) 2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1). (2)x a a a x a a a x D n ????????????? ????????= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 a x x a a x x a a x x a a a a x D n --??????????????????--???--???=000 0 00 0 , 再将各列都加到第一列上, 得 a x a x a x a a a a n x D n -??????????????????-???-???-+=0000 0 000 0 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1. (3)1 1 1 1 )( )1()( )1(1 1 11???-? ????????-? ?????-???--???-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ; 解 根据第6题结果, 有 n n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-???--?????????-? ?????-???-???-=---++ 此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=1 12 )1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D ∏≥>≥++---=112 )1()]([)1(j i n n n j i ∏≥>≥++???+-++-? -?-=1 12 1 )1(2 )1()()1()1(j i n n n n n j i ∏≥>≥+-= 1 1)(j i n j i .线性代数课后习题答案分析
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