1问题描述
某周边简支非均匀的矩形（或圆形）板在均布载荷作用下挠度过大。结合实际，提出集中改进设计方案，并进行对比分析。
2.问题分析
不均匀板有两种主要的情况，结构不均匀和材料不均匀，结构不均匀是指板的厚度不是常量，材料不均匀体现在板的弹性模量和泊松比是变化的。另外，有的板可以是以上两种情况的混合情形。
不均匀板与均匀板的有限元问题有哪些差别呢？下面从均匀板问题推导出非均匀板有限元问题的解决方法。
2.1应力应变
先以结构不均匀板为例来讨论。假设一矩形板长为2，宽为2，厚度沿x ，y 不均匀，由一函数()h ,h x y =描述，但仍然符合薄板假设。对于均匀板，显然h 是一个常数。设挠度为()=x,y ωω，则板内应变向量可以表示为
{}2222211==z 1
2x x y y xy xy x z y x y ρεεεω
εγγ??????????????????????????
?=-????????????????????????
??????????
应力应变关系为
{}1p z D σρ????=?
?????
弯矩扭矩矩阵
{}{}()()
h ,2h ,2
x y x y M zdz σ-=?
这里就体现出不均匀板和均匀板的区别了。积分完毕后，可以得到
{}[]1M D ρ??
=????
其中薄板的弯曲系数矩阵
[]()()()3
21
,101210
1/2Eh x y D μ
μμμ??
??=??-??-??
是关于薄板总体坐标的函数，所以对各个分单元都是不同的。
各单元的弯曲系数矩阵可以采用单元中心处的代替。那么就可以得出一系列的弯曲系数矩阵[]D e
i 。如果单元划分得足够细，是可以代替真实解的。
2.2单元分析
可以将板分为边长为0.25的矩形小单元，每一个单元都是一样的。对于任何一个单元的节点，都有3项独立的位移
{}i i i xi i yi i w w w y w x δθθ????
?
????????????
==????
???????????
??????- ????????
位移模式
()223123456722333
89101112,w x y x y x xy y x x y xy y x y xy αααααααααααα=+++++++
++++
形状函数矩阵是一个112?的行向量
()[],k
l m
n N x y N N N N =????
其中
222222222
2
22222211128111111i i i i i i i i i i i i i x x y y x x y y x y N a b a b a b x x y y y y x x y y x x y x a b b a b a ?
??????=++++--?? ?
?????????????
?
????????????++--++-? ??? ? ? ?????????????????
(),,,i k l m n =
单元刚度矩阵
[][][][]1212e
e T
S k B D B dxdy ?=?
很明显，积分式中包含了弹性系数矩阵，而不同单元的弹性系数矩阵是不同的，所以，
即便单元划分相同，得到的单元刚度矩阵也不同。对于均匀板，相同形式的单元，刚度矩阵
是相同的。均匀与非均匀的差别，完全体现在弹性系数矩阵上。但是非均匀板的一些结果可以间接地运用。
矩形单元四节点单元刚度矩阵是一个规律性很强的对称矩阵。矩阵中待求的独立元素只有21个。
142563710111108423
11
9563212
1516172021115132018421614211956317202112151671011201815131082119
16
14
00(,)360(1)00000000
k k
k k k k k k k k k k k k k k k k k Eh x y k k k k k k k ab k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k μ-----------------对称
14211
9
5
6
30
k k k k k k k ?????
??????????
????
?????????????-????-?
?
如果以单元中心点的参数代替单元的参数，那么非均匀的薄板单元刚度矩阵与均匀板差别不大，即各个单元的刚度矩阵都需要利用单元中心的参数来代替。这个结论对材料不均匀板也是实用的。下面运用这种近似来求解非均匀薄板问题。
3问题求解
求解的模型仍然是边长为2的正方形薄板，材料的弹性模量E 25000000000Pa =，泊
松比0.3μ=。
图1 薄板单元
3.1 均匀板
将板分为均匀的正方形单元44?，88?等，可以得到精度不等的数值解。
厚度为0.035的薄板，在载荷100000000P q a =作用下可以计算出板的挠度。可以看出挠度是完全对称的，并且最大挠度出现在板的几何中心上。
图2 均匀板均布载荷下变形（整体变形和中线变形）
3.2 结构非均匀板
通过一个均匀板的计算，可以看出对称均匀板受到均布载荷后，挠度也是完全对称的。但是对于非均匀板，受到均布载荷挠度如何分布，最大挠度在什么地方，是最关键的问题。只有找到最大挠度的位置，以及最大挠度是多少才能采取相应的解决办法。
下面解决一个结构非均匀薄板。设板在x 方向上厚度从0.02线性变化到0.05（平均厚度为0.035，与上一均匀板厚度相同），厚度关于中面对称，其余参数和前面的均匀板相同。结构如图。
图3 不均匀板模型
同样，将板分为88?（64个）正方形单元，在均布载荷100000000P q a =作用下，板的形变已经完全不一样了。最大挠度不再出现在几何中心处。很显然，挠度最大处向板较薄的一侧推移了。值得注意的是，这种不均匀薄板在薄弱环节挠度往往增大得很快，平均厚度相同的薄板受到相同载荷，不均匀板的挠度往往大得多。
图4 不均匀板在均布载荷下变形
但是新的问题出现了。实际情况确实是挠度最大处向板较薄的方向推移了，可是目前的网格还是比较粗，所有的位移量都是针对节点计算的，并不能精确反映出现的位置。所以，要想较精确地得到具体位置，网格需要加密。
但针对现有的精度，我们可以提出几种解决大挠度的方案。
1）在最大挠度处添加支撑（固支或简支）
如果在最大挠度处添加支撑，那么该处的挠度就已固定。简支时，转角自由；固支时，转角为0或者给定。假如限制最大挠度处挠度为0.1。下面分别就固支和简支情况给出数值解。
图5 薄弱环节采用简支
图6 薄弱环节采用固支
2）在最大挠度出添加固支肋条
在最大挠度出使挠度为0，可以得到下面的情形。可以通过不断改变添加的位置找到最合适的方法。显然，图中不是最好的方法。
图7 薄弱处添加肋条
3）施加外力
例如给薄板最大挠度出施加一集中载荷500000N ，方向与均布载荷相反。可以看到最大挠度（0.12）也有明显减小。
图8 薄弱处施加外力
4）改变材质（材质分布）
不均匀薄板本来就可以是材质的不均匀。当改变材料性质可行时，那么这也是一种好的方法。下面通过改变材料的性质改变薄板的形变。
首先应该清楚，在薄板较薄的位置，结构的刚度较小。如果结构不能改变，那么需要适当地调整材料的性质。采用不同的材料，或者对材料进行不同的处理。那么，下面我们让薄板较薄的半边弹性模量为275Gpa，看看会有什么发生。
图9 改变材质（分布）
通过对比发现，薄板的最大挠度随着较薄区域的刚度的增加，最大挠度明显减小；如果全域都改变材料，使用弹性模量较大的材料，挠度会更小，但没有通过直接增加薄区域弹性模量的办法有效。
4总结
1. 不均匀板主要有两种情况，结果不均匀和材质不均匀；
2. 文中展示了如何求解不均匀薄板的有限元问题。主要是通过有限单元的平均参数代替单元参数。理论上，当单元足够小的时候，是可以逼近精确解的。不论是结构不均匀还是材质不均匀，都是适用；
3.解决挠度过大的方案，仍然是通过改变结构、改变外部条件和改变材质（材质分布）等方法来解决。求解的方法就是使用不均匀板的有限元方法；
4.这种方法不能给出一个优化的方法，只能是校核；
5.求解过程是基于C语言完成的。单元数目不多时,可以直接计算.当单元数目很多，矩阵的维数很大，通过手算是不可能的。所有的工作都必须借助计算机完成。事实上，用有限元解决问题，单元数目都非常多。最初的将整个过程用C语言完成，是耗费一定时间的。当整个程序建立之后，使用分析就很方便了。由于编程序和调程序花费了一定时间，所以分析上显得很不足。但是通过完成作业，很清楚地认识到有限元理论和应用的区别，以及可以熟练地掌握有限元方法的求解过程、编程计算和问题解决。尽管解决的方案简单，但对自己提高很多。（后面附部分程序代码）
五、附录
1、单元节点记录
EL[NE][4]={1,2,11,10,2,3,12,11,3,4,13,12,4,5,14,13,5,6,15,14,6,7, 16,15,7,8,17,16,8,9,18,17,
10,11,20,19,11,12,21,20,12,13,22,21,13,14,23,22,14,15,24,23,15 ,16,25,24,16,17,26,25,17,18,27,26,
19,20,29,28,20,21,30,29,21,22,31,30,22,23,32,31,23,24,33,32,24 ,25,34,33,25,26,35,34,26,27,36,35,
28,29,38,37,29,30,39,38,30,31,40,39,31,32,41,40,32,33,42,41,33 ,34,43,42,34,35,44,43,35,36,45,44,
37,38,47,46,38,39,48,47,39,40,49,48,40,41,50,49,41,42,51,50,42 ,43,52,51,43,44,53,52,44,45,54,53,
46,47,56,55,47,48,57,56,48,49,58,57,49,50,59,58,50,51,60,59,51 ,52,61,60,52,53,62,61,53,54,63,62,
55,56,65,64,56,57,66,65,57,58,67,66,58,59,68,67,59,60,69,68,60 ,61,70,69,61,62,71,70,62,63,72,71,
64,65,74,73,65,66,75,74,66,67,76,75,67,68,77,76,68,69,78,77,69 ,70,79,78,70,71,80,79,71,72,81,80};
2、刚度矩阵
EK0=E*h*h*h/(360*a*b*(1-um*um));
for(i=0;i<=11;i=i+3)
{
EK[i][i]=21-6*um+30*a*a/b/b+30*b*b/a/a;
EK[i+1][i+1]=8*b*b-8*um*b*b+40*a*a;
EK[i+2][i+2]=8*a*a-8*um*a*a+40*b*b;//k1—k3
}
EK[1][0]=3*b+12*um*b+30*a*a/b;
EK[4][3]=EK[1][0];
EK[7][6]=-EK[4][3];
EK[10][9]=EK[7][6];//k4
EK[2][0]=-(3*a+12*um*a+30*b*b/a);
EK[5][3]=-EK[2][0];
EK[8][6]=EK[5][3];
EK[11][9]=EK[2][0];//k5
EK[2][1]=-30*um*a*b;
EK[5][4]=-EK[2][1];
EK[8][7]=EK[2][1];
EK[11][10]=EK[5][4];//k6
EK[3][0]=-21+6*um-30*b*b/a/a+15*a*a/b/b;
EK[9][6]=EK[3][0];//k7
EK[4][1]=-8*b*b+8*um*b*b+20*a*a;
EK[10][7]=EK[4][1];//k8
EK[5][2]=-2*a*a+2*um*a*a+20*b*b;
EK[11][8]=EK[5][2];//k9
EK[3][1]=-3*b-12*um*b+15*a*a/b;
EK[4][0]=EK[3][1];
EK[9][7]=-EK[3][1];
EK[10][6]=EK[9][7];//k10
EK[3][2]=3*a-3*um*a+30*b*b/a;
EK[9][8]=-EK[3][2];
EK[5][0]=EK[9][8];
EK[11][6]=EK[3][2];//k11
EK[6][0]=21-6*um-15*b*b/a/a-15*a*a/b/b; EK[9][3]=EK[6][0];//k12
EK[7][1]=2*b*b-2*um*b*b+10*a*a;
EK[10][4]=EK[7][1];//k13
EK[8][2]=2*a*a-2*um*a*a+10*b*b;
EK[11][5]=EK[8][2];//k14
EK[7][0]=-3*b+3*um*b+15*a*a/b;
EK[10][3]=EK[7][0];
EK[6][1]=-EK[10][3];
EK[9][4]=EK[6][1];//k15
EK[6][2]=-3*a+3*um*a+15*b*b/a;
EK[9][5]=-EK[6][2];
EK[8][0]=EK[9][5];
EK[11][3]=EK[6][2];//k16
EK[6][3]=-21+6*um+15+b*b/a/a-30*a*a/b/b; EK[9][0]=EK[6][3];//k17
EK[7][4]=-2*b*b+2*um*b*b+20*a*a;
EK[10][1]=EK[7][4];//k18
EK[11][2]=-8*a*a+8*um*a*a+20*b*b;
EK[8][5]=EK[11][2];//k19
EK[10][0]=3*b-3*um*b+30*a*a/b;
EK[9][1]=-EK[10][0];
EK[7][3]=EK[10][0];
EK[6][4]=EK[9][1];//k20
EK[6][5]=-3*a-12*um*a+15*b*b/a;
EK[8][3]=EK[6][5];
EK[9][2]=-EK[8][3];
EK[11][0]=EK[9][2];//k21
for(i=0;i<=11;i++)
{
for(j=i;j<=11;j++)
{
EK[i][j]=EK[j][i];
}
}
for(i=0;i<=11;i++)
{
for(j=0;j<=11;j++)
{
EK[i][j]=EK[i][j]*EK0;
}
}
3、刚度矩阵叠加
double SK[NN][NN];//整体刚度矩阵243*243
for(i=0;i<=NN-1;i++)
{
for(j=0;j<=NN-1;j++)
{
SK[i][j]=0;
}
}
for(i=0;i<=NE-1;i++)
{
for(j=0;j<=3;j++)
{
for(k=3*EL[i][j],m=3*j;k<=3*EL[i][j]+2,m<=3*j+2;k++,m++) {
for(l=3*EL[i][0],n=0;l<=3*EL[i][0]+2,n<=2;l++,n++)
{
SK[k][l]=SK[k][l]+EK[m][n];
}
for(l=3*EL[i][1],n=3;l<=3*EL[i][1]+2,n<=5;l++,n++)
{
SK[k][l]=SK[k][l]+EK[m][n];
}
for(l=3*EL[i][2],n=6;l<=3*EL[i][2]+2,n<=8;l++,n++)
{
SK[k][l]=SK[k][l]+EK[m][n];
}
for(l=3*EL[i][3],n=9;l<=3*EL[i][3]+2,n<=11;l++,n++)
{
SK[k][l]=SK[k][l]+EK[m][n];
}
}
}
}
4、高斯-赛德尔迭代
double A=0;
do
{
R=L;L=0;
for(j=1;j<=NN-1;j++)
{
A=A+SK[0][j]*u[j];
}
u[0]=Q[0]-A;
u[0]=u[0]/SK[0][0];
A=0;
for(i=1;i<=NN-2;i++)
{
for(j=0;j { A=A+SK[i][j]*u[j]; } for(j=i+1;j<=NN-1;j++) { A=A+SK[i][j]*u[j]; } u[i]=Q[i]-A; u[i]=u[i]/SK[i][i]; A=0; } for(j=0;j<=NN-2;j++) { A=A+SK[NN-1][j]*u[j]; } u[NN-1]=Q[NN-1]-A; u[NN-1]=u[NN-1]/SK[NN-1][NN-1]; A=0; for(i=0;i<=NN-1;i++) { L=L+u[i]*u[i]; } L=sqrt(L); } while (abs(L-R)>=0.0000000001); 第6章 弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理 平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。1850年，G.R.基尔霍夫（Kirchhoff Gustav Robert ，基尔霍夫 古斯塔夫·罗伯特，德国物理学家，1824-1887年）除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。 用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。 本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。 §6.1 基本方程与边界条件回顾 取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。由Kirchhoff 假设，可以得到 x w z z y x u ??-=),,(，y w z z y x v ??-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （6-1） 并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为 22x w z x ??-=ε，22y w z y ??-=ε，y x w z xy ???-=γ22 （6-2） 其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即 0=εz ，0=γxz ，0=γyz （6-3） 由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩 x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称 为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。这里要注意，x M ,y M ,xy M 是单位中面宽度内的内力矩，它们的因次是千克力，x Q ,y Q 是单位中面宽度内的内力，它们的因次是千克力 《有限元基础教程》作业二：平面薄板的有限元分析 班级：机自101202班 姓名：韩晓峰 学号：201012030210 一．问题描述： P P h1mm R1mm 10m m 10mm 条件：上图所示为一个承受拉伸的正方形板，长度和宽度均为10mm ，厚度为h 为1mm ，中心圆的半径R 为1mm 。已知材料属性为弹性模量E=1MPa ，泊松比为0.3，拉伸的均布载荷 q ＝1N/mm 2。根据平板结构的对称性，只需分析其中的二分之一即可，简化模型如上右图所 示。 二．求解过程： 1 进入ANSYS 程序 →ANSYS 10.0→ANSYS Product Launcher →File management →input job name: ZY2→Run 2设置计算类型 ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural → OK 3选择单元类型 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4node 42 →OK → Options… →select K3: Plane Strs w/thk →OK →Close 4定义材料参数 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →input EX: 1e6, PRXY:0.3 → OK 5定义实常数以及确定平面问题的厚度 A NSYS Main Menu: Preprocessor →Real Constants …→Add/Edit/Delete →Add →Type 1→OK →Real Constant Set No.1,THK:1→OK →Close 6生成几何模型 a 生成平面方板 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Rectangle →By 2 Corners →WP X:0,WP Y:0,Width:5,Height:5→OK b 生成圆孔平面 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Circle →Solid Circle →WPX=0,WPY=0,RADIUS=1→OK b 生成带孔板 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Operate →Booleans → Subtract →Areas →点击area1→OK →点击area2→OK 7 网格划分 A NSYS Main Menu: Preprocessor →Meshing →Mesh Tool →(Size Controls) Global: Set →SIZE: 0.5 →OK →iMesh →Pick All → Close 1问题描述 某周边简支非均匀的矩形（或圆形）板在均布载荷作用下挠度过大。结合实际，提出集中改进设计方案，并进行对比分析。 2.问题分析 不均匀板有两种主要的情况，结构不均匀和材料不均匀，结构不均匀是指板的厚度不是常量，材料不均匀体现在板的弹性模量和泊松比是变化的。另外，有的板可以是以上两种情况的混合情形。 不均匀板与均匀板的有限元问题有哪些差别呢？下面从均匀板问题推导出非均匀板有限元问题的解决方法。 2.1应力应变 先以结构不均匀板为例来讨论。假设一矩形板长为2，宽为2，厚度沿x ，y 不均匀，由一函数()h ,h x y =描述，但仍然符合薄板假设。对于均匀板，显然h 是一个常数。设挠度为()=x,y ωω，则板内应变向量可以表示为 {}2222211==z 1 2x x y y xy xy x z y x y ρεεεω εγγ?????????????????????????? ?=-???????????????????????? ?????????? 应力应变关系为 {}1p z D σρ????=? ????? 弯矩扭矩矩阵 {}{}()() h ,2h ,2 x y x y M zdz σ-=? 这里就体现出不均匀板和均匀板的区别了。积分完毕后，可以得到 {}[]1M D ρ?? =???? 其中薄板的弯曲系数矩阵 []()()()3 21 ,101210 1/2Eh x y D μ μμμ?? ??=??-??-?? 是关于薄板总体坐标的函数，所以对各个分单元都是不同的。 各单元的弯曲系数矩阵可以采用单元中心处的代替。那么就可以得出一系列的弯曲系数矩阵[]D e i 。如果单元划分得足够细，是可以代替真实解的。 2.2单元分析 可以将板分为边长为0.25的矩形小单元，每一个单元都是一样的。对于任何一个单元的节点，都有3项独立的位移 {}i i i xi i yi i w w w y w x δθθ???? ? ???????????? ==???? ??????????? ??????- ???????? 位移模式 ()223123456722333 89101112,w x y x y x xy y x x y xy y x y xy αααααααααααα=+++++++ ++++ 形状函数矩阵是一个112?的行向量 ()[],k l m n N x y N N N N =???? 其中 222222222 2 22222211128111111i i i i i i i i i i i i i x x y y x x y y x y N a b a b a b x x y y y y x x y y x x y x a b b a b a ? ??????=++++--?? ? ????????????? ? ????????????++--++-? ??? ? ? ????????????????? (),,,i k l m n = 单元刚度矩阵 [][][][]1212e e T S k B D B dxdy ?=? 很明显，积分式中包含了弹性系数矩阵，而不同单元的弹性系数矩阵是不同的，所以， 即便单元划分相同，得到的单元刚度矩阵也不同。对于均匀板，相同形式的单元，刚度矩阵 《有限元分析》报告基本要求： 1. 以个人为单位完成有限元分析计算，并将计算结果上交；（不允许出现相同的分析模型，如相 同两人均为不及格） 2. 以个人为单位撰写计算分析报告； 3. 按下列模板格式完成分析报告； 4. 计算结果要求提交电子版，报告要求提交电子版和纸质版。（以上文字在报告中可删除） 《有限元分析》报告 一、问题描述 （要求：应结合图对问题进行详细描述，同时应清楚阐述所研究问题的受力状况和约束情况。图应清楚、明晰，且有必要的尺寸数据。） 一个平面刚架右端固定，在左端施加一个y 方向的-3000N 的力P1，中间施加一个Y 方向的-1000N 的力P2，试以静力来分析，求解各接点的位移。已知组成刚架的各梁除梁长外，其余的几何特性相同。 横截面积：A=0.0072 m2 横截高度：H=0.42m 惯性矩：I=0.0021028m4ｘ 弹性模量： E=2.06ｘ10n/ m2/ 泊松比：u=0.3 二、数学模型 （要求：针对问题描述给出相应的数学模型，应包含示意图，示意图中应有必要的尺寸数据；如进行了简化等处理，此处还应给出文字说明。） （此图仅为例题） 三、有限元建模（具体步骤以自己实际分析过程为主，需截图操作过程） 用ANSYS 分析平面刚架 1．设定分析模块 选择菜单路径：MainMenu—preference 弹出“PRreferences for GUI Filtering”对话框，如图示，在对话框中选取：Structural”,单击[OK]按钮，完成选择。 2．选择单元类型并定义单元的实常数 （1）新建单元类型并定 （2）定义单元的实常数在”Real Constants for BEAM3”对话框的AREA中输入“0。0072”在IZZ 中输入“0。0002108”，在HEIGHT中输入“0.42”。其他的3个常数不定义。单击[OK]按 钮，完成选择 3．定义材料属性 在”Define Material Model Behavier”对话框的”Material Models Available”中，依次双击“Structural→Linear→Elastic→Isotropic”如图 带孔平板有限元分析 本文采用有限元法，对带圆孔的矩形平板进行了弹塑性受力分析，分析了圆孔处的应力集中现象，为其设计和应用提供了参考依据。 1. 研究问题概述 本文研究带圆孔矩形平板在轴对称拉力作用下的平面应力问题。平板开孔的应力问题是弹塑性力学平面中的一个经典的问题,也是实际工程中常见的问题。平板长200mm ，宽50mm ，厚8mm ，具体几何参数及受力见图1。 图1 平板几何参数及受力 2.弹性力学方法解答 由弹性力学知识知，在距圆孔圆心()r ρρ>处的径向正应力、环向正应力、切应力分别为： 222222 1c o s 211322p r p r r ρσψρρρ?????? =-+-- ? ????????? 22221cos 21322p r p r ?σψρρ????=+-+ ? ???? ? 2222sin 21132p r r ρψψρ ττψρρ???? ==--+ ?????? ? 沿着y 轴，90ψ=。，环向正应力为： 242413122r r p ?σρρ?? =++ ??? max 3q ?σ=由上表可知： ()max = 3K q ψ σ=故应力集中因子: 可见孔边最大应力比无孔时提高了3倍，应力集中系数k=3，如图2所示。 图2 孔边应力集中 3.有限元分析 3.1模型建立 图3 有限元模型 3.2边界条件和载荷 为避免在计算时平板产生移动引发计算问题，必须对试件的外部边界条件进行限定。对平板左侧进行铰接约束，示意图如下 图4 平板约束示意图 由于我们只关注孔附近的应力分布情况，根据圣维南原理，载荷的具体分布只影响载荷作用区附近的应力分布。故我们用均布力代替集中力施加在平板右侧的作用面上，其大小为225P MPa ，为负值。 图5 平板载荷示意图 3.3材料 平板的弹性模量为200GPa ，泊松比为0.3。其塑性的应力应变参数见下图 图6 塑性应力应变参数 3.4有限元网格划分 网格划分是非常重要的过程，它会对计算速度、精度、可靠性产生重要影响。网格划分主要包括两方面：尺寸、单元类型。 第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点 薄板的基本概念 薄板的位移与应变分量 薄板广义力 薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化 薄板的莱维解 矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设 薄板应力 广义位移与薄板的平衡 薄板的典型边界条件 薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解 一、内容介绍 薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。 根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。 根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。 对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。 二、重点 1、基尔霍夫假设； 2、薄板的应力、广义力和广义位移； 3、薄板小 挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。 §12.1 薄板的基本概念和基本假设 学习要点: 本节讨论薄板的基本概念和基本假设。 薄板主要几何特征是板的中面和厚度。首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。 根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。 薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。 根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。实践证明是完全正确的。 学习思路： 1、薄板基本概念； 2、基尔霍夫假设 1、薄板基本概念 薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板 薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。 薄板的上下两个平行面称为板面，垂直于平行面的柱面称为板边，如图所示。两个平行面之间的距离称为板厚，用δ 表示。平分板厚的平面称为板的中面。 设薄板宽度为a、b，假如板的最小特征尺寸为b，如果δ/b≥1/5，称为厚板； 板中圆孔的应力集中 问题：如图所示为一个承受单向拉伸的无限大板，在其中心位置有一个小圆孔。材料属性为弹性模量E=211Pa，泊松比为0.3，拉伸载荷q=1000Pa，平板厚度t=0.1. 1、定义工作名和工作标题 （1）定义工作文件名：在弹出的Change Jobname对话框中输入Plate。选择New log and error files复选框，单击OK按钮。 （2）定义工作标题：在弹出的的Change Title对话框中输入The analysis of plate stress with small circle,单击OK按钮。 （3）重新显示：执行replot命令。 2、定义单元类型和材料属性 （1）选择单元类型：在弹出的Element Type中，单击Add按钮，弹出所示对话框，选择Structural Solid和Quad 8node 82选项，单击OK，然后 单击close。 （2）设置材料属性：在弹出的define material models behavior窗口中，双击structural/linear/elastic/isotropic选项，弹出linear isotropic material properties for material number 1对话框，EX和PRXY分别输入2e11和 0.3，单击OK，执行exit命令。 （3）保存数据：单击SAVE_DB按钮。 3、创建几何模型 （1）生成一个矩形面：执行相应操作弹出create rectangle by dimensions对话框，输入数据，单击OK，显示一个矩形。 （2）生成一个小圆孔：执行创建圆的操作弹出对话框，输入数据，单击OK，生成一个圆。 （3）执行面相减操作：执行Booleans/Subtract/Areas命令，生成结果如图示。（4）保存几何模型：单击SAVE_DB按钮。 4、生成有限元网格（自由网格划分） （1）设置网格的尺寸大小：执行size cntrlsl-global-size命令，弹出对话框，在element edge lenge文本框中输入0.5，单击OK. （2）采用自由网格划分：执行mesh/areas/free命令，生成网格模型如图示。 第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一） 概念和假定 薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。 荷载 纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。 横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。 中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。 薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设） （1）垂直于中面方向的正应变εz 可以不计，由?w /?z = 0得到 w = w (x , y ) 板厚度内各点具有相同的挠度。 放弃物理方程：)]([1 y x z z E σσμσε+-= 目地：允许σz -μ(σx +σy ) ≠ 0 （2）应力分量τxz 、τyz 、σz 远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为γxz = γyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，τxz 、τyz 是次要应力，σz 则为更次要应力） 0=??+??x w z u ，x w z u ??-=?? 0=??+??y w z v ，y w z v ??-=?? x 放弃物理方程：xz xz E τμγ)1(2+= ，yz yz E τμγ) 1(2+= 即：允许γxz 和γyz 等于零，但τxz 和τyz 不为零。 只有三个物理方程 )(1 y x x E μσσε-= )(1 x y y E μσσε-= xy xy E τμγ) 1(2+= 与平面应力问题相同。 （3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0，因此，(εx )z = 0 = 0，(εy )z = 0 = 0，(γxy )z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy 平面的投影形状不变。 弹性曲面微分方程 按位移求解，基本未知量为挠度w ，需将其它物理量用w 表示，由 x w z u ??-=??，y w z v ??-=?? 积分得到：),(1y x f z x w u +??- =，),(2y x f z y w v +??-= 由：(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0得到：f 1(x , y ) = f 2(x , y ) = 0，因此 z x w u ??- =，z y w v ??-= 则： z x w x u x 22??-=??=ε，z y w y v y 22??-=??=ε，z y x w x v y u xy ???-=??+??=22γ 将应力分量σx 、σy 、τxy 用w 表示 ??? ? ????+??--=+-=2222221)(1y w x w Ez E y x x μμμεεμσ 带孔平板的线性静力分析 本示例将对一个给定的带孔平板几何模型创建有限元模型、施加边界条件、进行有限元分析并在HyperView中观察受载平板的变形和应力结果。 本示例包括以下步骤： ?在HyperMesh中建立有限元模型 ?施加载荷和边界条件 ?求解 ?观察结果 1．在HyperMesh中建立有限元模型 （1）载入OptiStruct用户界面并打开模型文件 1）启动HyperMesh。 2）在User Profile对话框中选择OptiStruct，点击OK。 这就加载了OptiStruct用户界面，它包括OptiStruct模板、宏菜单等。简化了与OptiStruct 使用相关的HyperMesh功能。 User Profiles…可以从下拉式菜单中的Preferences中进入。 3）在工具条选择按钮。 弹出Open file…窗口。 4）选择plate_hole.hm文件，模型位于 基于SolidWorks带孔板的建模及有限元分析 李军 摘要：利用SolidWorks对带孔矩形板进行虚拟建模，通过赋予板材材质、载荷后进行网格划分，进而进行有限元分析，得出其应力、应变和位移的分布图，并对结果进行分析研究对板材安全性的影响。 关键词：SolidWorks；带孔板；建模；有限元分析 0 SolidWorks简介 Solidworks是一款优秀的三维设计软件，具有十分强大的零件设计功能及装配模块，同时也拥有丰富的后置处理模块。由于其功能强大，新手上手快，应用领域广，所以成为了主流的三维造型软件。经过17年的发展，在全球已经拥有30多万的客户，最新版本为SolidWorks 2011版。在中国SolidWorks在计算机辅助设计、计算机辅助工程、计算机辅助制造、计算机辅助工艺、数据管理等方面为企业提供了强大的动力，使企业在管理、设计和制造方面有了很大的提升。 1 带孔板的模型建立 矩形板材的尺寸为300*180*10mm，孔位于中心，直径为50mm，模型如图1。 图1 带孔矩形板模型 2前置处理 2.1在Command Manager中点击SIMULATION选项，建立新算例，名称默认，确认。 2.2赋予板材材料属性 材料为AISI304，材料属性如表1 表1 材料的属性 模型参考属性零部件 名称:AISI 304 模型类型:线性弹性同向性 默认失败准则:最大von Mises 应力屈服强度: 2.06807e+008 N/m^2 张力强度: 5.17017e+008 N/m^2 弹性模量: 1.9e+011 N/m^2 泊松比:0.29 质量密度:8000 kg/m^3 抗剪模量:7.5e+010 N/m^2 热扩张系数: 1.8e-005 /Kelvin SolidBody 1(凸台-拉伸1)(aisi304带孔矩形钢板静力分析) 曲线数据:N/A 2.3网格生成 在SIMULATION选项中选择“运行”中的“生成网格”，使用默认网格划分。网格 信息如表2，网格信息细节如表3，网格划分后的模型如图2。 表2 网格信息 网格类型实体网格 所用网格器: 基于曲率的网格 雅可比点 4 点 最大单元大小7.44196 mm 最小单元大小7.44196 mm 网格品质高 表3 网格信息细节 节点总数23523 单元总数13612 最大高宽比例 3.9347 单元(%)，其高宽比例< 3 99.7 单元(%)，其高宽比例> 10 0 扭曲单元(雅可比)的% 0 完成网格的时间(时;分;秒): 00:00:03 计算机名: PC-201009062016 有限元方法 Finite Element Method ——基于ANSYS的有限元建模与分析 姓名吴威 学号20100142 班级10级土木茅以升班2班 西南交通大学 2014年4月 综合练习——带孔平板的应力分布及应力集中系数的计算一、问题重述 计算带孔平板的应力分布及应力集中系数。 二、模型的建立与计算 在ANSYS中建立模型，材料的设置属性如下 分析类型为结构（structural），材料为线弹性（Linear Elastic），各向同性（Isotropic）。弹性模量、泊松比的设定均按照题目要求设定，以N、cm为标准单位，实常数设置中设板厚为1。 采用solid 4 node 42板单元，Element Behavior设置为Plane strs w/thk。 建立模型时先建立完整模型，分别用单元尺度为5cm左右的粗网格和单元尺度为2cm左右的细网格计算。 然后取四分之一模型计算比较精度，为了使粗细网格单元数与完整模型接近，四分之一模型分别用单元尺度为2.5cm左右的粗网格和单元尺度为1cm左右的细网格计算。 (1) 完整模型的计算 ①粗网格 单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为5cm） 约束施加时在模型左侧边界所有节点上只施加x方向的约束，即令U X=0，在左下角节点上施加x、y两个方向的约束，即U X=0、U Y=0。荷载施加在右侧边界上，大小为100。 对模型进行分析求解得到： 节点应力云图（最大值222.112） 单元应力云图（最大值256.408） 可看出在孔周围有应力集中现象，其余地方应力分布较为均匀，孔上部出现最大应力。 ②细网格 单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为2cm） 第五章实体建模 5.1实体建模操作概述 用直接生成的方法构造复杂的有限元模型费时费力，使用实体建模的方法就是要减轻这部分工作量。我们先简要地讨论一下使用实体建模和网格划分操作的功能是怎样加速有限元分析的建模过 程。 自下向上地模造有限元模型：定义有限元模型顶点的关键点是实体模型中最低级的图元。在构造实体模型时，首先定义关键点，再利用这些关键点定义较高级的实体图元（即线、面和体）。这就是所谓的自下向上的建模方法。一定要牢记的是自下向上构造的有限元模型是在当前激活的坐标系内 定义的。 图5-1自下向上构造模型 自上向下构造有限元模型：ANSYS程序允许通过汇集线、面、体等几何体素的方法构造模型。当生成一种体素时，ANSYS程序会自动生成所有从属于该体素的较低级图元。这种一开始就从较高级的实体图元构造模型的方法就是所谓的自上向下的建模方法。用户可以根据需要自由地组合自下向上和自上向下的建模技术。注意几何体素是在工作平面内创建的，而自下向上的建模技术是在激活的坐标系上定义的。如果用户混合使用这两种技术，那么应该考虑使用CSYS，WP或CSYS，4命令强迫坐标 系跟随工作平面变化。 图5-2自上向下构造模型（几何体素） 注意：建议不要在环坐标系中进行实体建模操作，因为会生成用户不想要的面或体。 运用布尔运算：可以使用求交、相减或其它的布尔运算雕塑实体模型。通过布尔运算用户可直接用较高级的图元生成复杂的形体。布尔运算对于通过自下向上或自上向下方法生成的图元均有效。 图5-3使用布尔运算生成复杂形体。 拖拉或旋转：布尔运算尽管很方便，但一般需耗费较多的计算时间。故在构造模型时，如果用拖拉或旋转的方法建模，往往可以节省计算时间，提高效率。 图5-4拖拉一个面生成一个体〔VDRAG〕 移动和拷贝实体模型图元：一个复杂的面或体在模型中重复出现时仅需要构造一次。之后可以移动、旋转或拷贝到所需的地方。用户会发现在方便之处生成几何体素再将其移动到所需之处，这样 往往比直接改变工作平面生成所需体素更方便。 图5-5拷贝一个面 网格划分：实体建模的最终目的是为了划分网格以生成节点和单元。在完成了实体建模和建立了单元属性，网格划分控制之后，ANSYS程序可以轻松地生成有限元网格。考虑到要满足特定的要求，用户可以请求映射网格划分生成全部都是四边形、三角形或块单元。 ： P P h 1mm R1mm 10m m 10mm 条件：上图所示为一个承受拉伸的正方形板，长度和宽度均为10mm ，厚度为h 为1mm ，中心圆的半径R 为1mm 。已知材料属性为弹性模量E=1MPa ，泊松比为0.3，拉伸的均布载荷q ＝ 1N/mm 2。根据平板结构的对称性，只需分析其中的二分之一即可，简化模型如上右图所示。 二．求解过程： 1 进入ANSYS 程序 →ANSYS12.0→ANSYS Product Launcher →File management →input job name: ZY2→Run 2设置计算类型 ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural → OK 3选择单元类型 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete →Add →select Solid Quad 4node 42 →OK → Options… →select K3: Plane Strs w/thk →OK →Close 4定义材料参数 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →input EX: 1e6, PRXY:0.3 → OK 5定义实常数以及确定平面问题的厚度 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Real Constants …→Add/Edit/Delete →Add →Type 1→OK →Real Constant Set No.1,THK:1→OK →Close 6生成几何模型 a 生成平面方板 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Rectangle →By 2 Corners →WP X:0,WP Y:0,Width:5,Height:5→OK b 生成圆孔平面 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Circle →Solid Circle →WPX=0,WPY=0,RADIUS=1→OK b 生成带孔板 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Operate →Booleans → Subtract →Areas →点击area1→OK →点击area2→OK 7 网格划分 ANSYS Main Menu: Preprocessor →Meshing →Mesh Tool →(Size Controls) Global: Set →SIZE: 0.5 →OK →iMesh →Pick All → Close 8 模型施加约束 a 分别给左边施加x 和y 方向的约束 ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Displacement → 第五章 弹性薄板小挠度弯曲问题的变分原理 平分板厚度的平面称为板的中面，一般地，当板的厚度t 不大于板中面最小尺寸的5/1时的板称为薄板，薄板的中面是一个平面。薄板在垂直于中面的载荷作用下发生弯曲时，中面变形所形成的曲面称为弹性曲面或挠度面，中面内各点在未变形中面垂直方向的位移称为板的挠度。薄板弯曲的精确理论应是满足弹性力学的全部基本方程，但这在数学上将会遇到很大的困难。1850年，G .R.Kirchhoff 除采用弹性力学的基本假设外，还提出了一些补充的假设，从而建立起了薄板小挠度弯曲的近似理论。这些假设是：第一，变形前垂直于板中面的直线，在板变形后仍为直线，并垂直于变形后的中面，而且不经受伸缩；第二，与中面平行的各面上的正应力z σ与应力x σ,y σ和xy τ相比属于小量；第三，在横向载荷作用下板发生弯曲时，板的中面并不伸长，这也就是说，薄板中面内各点都没有平行于中面的位移分量。 用变分法可以导出薄板弯曲问题的平衡微分方程和边界条件。当板的形状和边界条件较复杂时，直接求解偏微分方程时比较困难的，以变分法为基础的各种近似解是求解这类问题的一个重要途径。 本章讨论了用于薄板小挠度弯曲问题的一些基础变分原理，这包括虚功原理、最小位能原理、最小余能原理、两类自变量广义变分原理并推广到三类自变量广义变分原理。 §5.1 基本方程与边界条件回顾 取坐标平面oxy 与中面重合，z 轴垂直于中面，x ,y 和z 轴构成一个右手直角笛卡儿坐标系。变形后的板内各点沿x ,y 和z 轴方向的位移分别用u ,v 和w 表示。由Kirchhoff 假设，可以得到 x w z z y x u ??-=),,(，y w z z y x v ??-=),,(，),(),,(y x w z y x w = （5-1） 并利用弹性力学中位移与应变之间的关系式，可以得到薄板中任意点的应变分量为 22x w z x ??-=ε，22y w z y ??-=ε，y x w z xy ???-=γ22 （5-2） 其余3个应变分量z ε,xz γ和yz γ根据假设都等于零，即 0=εz ，0=γxz ，0=γyz （5-3） 由薄板的平衡关系，可以确定板的横向分布载荷),(y x q 与剪力x Q ,y Q 以及弯矩 x M ,y M 和扭矩xy M （x M ,y M ,xy M 统称为内力矩）与x Q ,y Q 之间的关系式。这里要注 意，x M ,y M ,xy M 是单位中面宽度内的内力矩，它们的因次是千克力，x Q ,y Q 是单位中 开孔薄板有限元分析报告 一、有限元分析的目的 通过对两种模型（一个上边开口的和另一个上下两边开口的模型）的静力分析，比较与其对应的理论解的不同，了解有限元仿真软件与理论计算存在的，进一步熟悉workbench求解有限元问题的一般步骤。 二、实体建模（两个模型） 建立如下所示的模型，其中，边长300mm，宽80mm，厚5mm，边缘为半径是10mm的半孔。 上边开口的实体模型（模型A） 上下两边开口的模型（模型B） 模型A 模型B 模型采用的单元类型 模型A： 1 386 2 LID186 (20 Node Quadratic Hexahedron) 2 3858 SOLID186 (20 Node Quadratic Wedge) 3 112 CONTA17 4 (Quadratic Quadrilateral Contact) 4 112 TARGE170 (Quadratic Quadrilateral Target) 5 64 SURF154 (3D Quadratic Quadrilateral) 模型B： 1 3856 SOLID186 (20 Node Quadratic Hexahedron) 2 3866 SOLID186 (20 Node Quadratic Wedge) 3 100 CONTA17 4 (Quadratic Quadrilateral Contact) 4 100 TARGE170 (Quadratic Quadrilateral Target) 5 64 SURF154 (3D Quadratic Quadrilateral) 2.载荷与约束的施加方法（绘图表示并说明）； 两模型施加的载荷与约束相同 约束：单击static structural，选择长方体的左侧面，鼠标右键选择“insert>fixed support” 载荷：选择长方体的左侧面，鼠标右键选择“insert>force”，大小为50N。 四、计算结果；（变形图，应力等色线图,约束反力列表等） （1）模型A的求解结果： 总的变形位移图 基于MARC的含圆孔正方形薄板四周受 学院： 班级： 学号： 姓名： 标题：针对含圆孔的正方形板四周受力性能的有限元分析 摘要：采用通用的有限元程序MARC研究含圆孔的正方形板四周受力问题。 在工件工作时，小孔的边缘会产生应力集中的现象，极端情况下甚至 会发生破坏，导致失效。通过对该模型的分析，计算出其最大应力、 最大位移及所发生的位置，得出其承载能力和变形特征，使该力学模 型更好服务于建造等工程方面。 关键词:圆孔、正方形板、受均布力、最大应力、最大位移、位置、四分之一 Title: hole for a square plate with four weeks of the force Finite Element Analysis Abstract: In view of daily life, building structure, mechanical steel structure of the existence of multi-shaped plate with a circular hole is the mechanical model, its bearing capacity and design studies and calculations of concern. In this paper, general finite element program MARC square hole of the plate four weeks with the force the issue. Through analysis of the model to calculate the maximum stress, maximum displacement and the location of occurrence, reached its carrying capacity and deformation characteristics. So that the mechanical model to better serve the construction and other projects. Keywords: round hole, square plate, force, maximum stress, maximum displacement, position, deformation characteristics,horizontal direction, vertical direction, a quarter 正文 1.引言： 第四节平板应力分析平板应力分析 3.4.1概述 3.4.2圆平板对称弯曲微分方程 3.4.3圆平板中的应力 3.4.4承受对称载荷时环板中的应力 3.4.1概述 1、应用：平封头：常压容器、高压容器； 贮槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等。 2、平板的几何特征及平板分类 几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。 t/b≤1/5时(薄板) w/t≤1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算 3、载荷与内力 载荷：①平面载荷：作用于板中面内的载荷 ②横向载荷垂直于板中面的载荷 ③复合载荷 内力：①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形 ②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形 ◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以， 大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。 ◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。 4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫K i r c h h o f f ①板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法 线w的挠度。只有横向力载荷 ②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上 各点间的距离不变。 类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍 然垂直于变形后的梁轴线。 ③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。 ◆研究:弹性,薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题 3.4.2圆平板对称弯曲微分方程 分析模型 隔板对悬臂梁力学性能影响的静力学分析 （byTYH 机自） 摘要：本文基于现代设计技术课程，结合课上所学到的有限元分析技术及理论，运用ansys workbench软件对模型进行静力分析，获得采用不同类型隔板的空心悬臂梁受力后的变形情况，分析其力学性能，验证以前学到的理论知识。 正文： 一.模型 悬臂梁模型一。如图1所示，其基本尺寸为：400mm×100mm×100mm，壁厚为10mm，其中一端固定，另一端为自由状态。为了便于在自由端施加作用力，在自由端增加一个尺寸为：100mm×20mm×5mm的凸台。 图1.悬臂梁模型一 悬臂梁模型二在模型一的基础上添加纵向隔板，如图2所示。 图2.悬臂梁模型二 悬臂梁模型三在模型一的基础上添加斜向隔板隔板，如图3所示。 图3.悬臂梁模型三 悬臂梁模型四在模型一的基础上添加横向隔板隔板，如图4所示。 图4.悬臂梁模型四 为了更易于分析，以上四个模型先在3维绘图软件solidworks中绘制出来，在分析时依次导入使用。 二.有限元分析 启动Ansys Workbench进入工作界面，要做的分析类型为静态结构分析，因此双击toolbox中的在工具箱中的Analysis System→Static StStatic新建一个项目。 项目建好后，首先需要编辑材料参数。所用材料为45号钢，查相关资料可知45号钢的密度为7890 kg/m^-3，杨氏模量为2.09E+11，泊松比为0.269。 双击项目框中的Engineering Data项，进入材料参数设置界面，新建材料并命名45，选中Density和IsotropicElastidty选项，然后输入相应参数，如图5所示。材料设置好后退回workbench主界面。 图5.编辑材料参数 导入模型，双击项目框中的Geometry，进入建模界面。由于模型已经提前建好，因此这里只需导入即可，如图6所示。完成之后退回workbench主界面。 图6.导入模型 分析预处理。双击项目框中的Model，进入操作界面。由于软件默认材料为结构钢，首先需要定义模型材料，将材料选为45号钢，如图7。 图7.定义材料 划分网格，这里我将使用智能网格划来划分网格。选中project中的mesh，在details of mesh中设置网格参数，右键选择“Generate Mesh”即可完成网格划分。网格划分完成后如图8所示。弹性薄板小挠度弯曲问题的基础变分原理(16K
ANSYS 有限元分析 平面薄板
有限元分析薄板挠度(附C程序)
有限元分析报告样本
带孔平板拉伸作业
第12章 薄板的小挠度弯曲问题
薄板圆孔的ANSYS分析
第十四讲 薄板小挠度弯曲(一)汇总
带孔平板的线性静力分析
带孔板的建模及有限元分析Word版
带孔平板的应力集中分析
ANSYS有限元分析与实体建模
ANSYS_有限元分析_平面薄板
第五章弹性薄板小挠度弯曲问题的变分原理(16K)
开孔薄板有限元分析报告
根据MARC的含圆孔正方形薄板四周受力性能的有限元分析
圆形薄板在均布载荷作用下的挠度
有限元分析
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