三）动量矩定理
下面研究质点相对于某一根指定的直线的运动，这根直线称为“轴线”．这时着重的是力矩而不是力．
1．力对于轴线的力矩
图3－1
力F对轴线AB的力矩等于力F在垂直于轴线的平面S中的投影F⊥再乘以其与轴线AB的垂直距离d（一般称之为力臂）．如果力F本身就在与AB垂直的平面内，力矩就等于F乘以F与AB的垂直距离d。力F对轴线AB的力矩记为
M，
AB
AB M F =⊥ d
（3．15）
通常按右手法则来规定力矩的指向，将右手的四指捏成拳状以表示力矩驱使物体转动的趋势，伸直的大拇指的指向即力矩的指向
2．对于轴线的动量矩和动量矩定理 （1）质点与轴连结．
如果质点与轴AB 相连结，则质点必在垂直于AB 的平面内作圆周运动．质点所受外力对AB 轴的力矩为
（3．16）
mv 是质点的动量，R 是动量与轴AB 间的垂直距离．仿照力矩，我们将 mv 与R 的乘积称为质点对于AB 轴的动量矩（角动量） AB J ，
即
AB AB M J =
（3. 17） 这就是动量矩定理． （2）转动惯量．
将上式中的 AB J 以质点绕轴转动的角速度 ω表示
2
AB J mR ω= （3. 18）
2mR 称为质点对AB 轴的转动惯量，记为I AB ，则
AB AB J I ω= 动量矩定理（3．17）即
（3．19）
式中 α是质点绕轴转动的角加速度，这与牛顿第二定律 F ma =多么相似！从这类比中还可以看出， I 与 m 相对应， I 反映绕轴转动的惯性，所以称为转动惯量．
（3）质点并不与轴连结．
图3－2
所讨论的质点并不与轴AB 连结，也不一定是绕轴转圈，只是相对于轴来研究质点的运动情况．为了方便，取AB 为直角坐标系的Z 轴．如质点的动量 m v 在 xy 平面内，它相对于z 轴的动量矩为
sin z J mvr θ= （3．20）
若动量 m v 不在 xy 平面内，我们可以将它分解为与 xy 平面垂直和与
xy 平面平行的分量，其中与 xy 平面垂直的动量分量对Z 轴的动量矩为零．所以
只要考虑在 xy 平面内的动量分量．
动量矩的正负和力矩一样，也用右手法则决定，和Z 轴正指向相同者取正值，反之为负值．
由牛顿第二定律可以导出一般情况下的动量矩定理
（3．21）
这是它的微分形式．
注意在一般情况下，此定理不宜表为 M Ia =，除非质点的转动惯量I 是常数．一般说来，质点运动时，它与转轴的距离不是常数，所以I 也不是常数．
我们还可以考察力矩的时间累积效果，将上式积分一次,得
2
1
21t z
z
z
t M dz J
J =-? （3．22）
式中 1z J 与 2z J 分别表示质点在时刻 1t 及 2t 的动量矩，力矩对时间的积分称为冲量矩．这就是对z 轴动量矩定理的积分形式，适宜用来研究冲击作用．
3．动量矩守恒原理
如果质点所受的力对于Z 轴的力矩为零，这时冲量矩自然也为零，由动量矩定理可得出
0z J =
或 1z J = 2z J （3．23）
上面两式的意义相同，它们指出如果质点所受的力对Z 轴的力矩为零，则质点对该轴的动量矩守恒．
如果质点与轴线连结而绕轴转动，则动量矩守恒原理为
2J mvR mR ω===常数 （3．24）
式中R 为质点与轴线间的垂直距离， ω为质点绕轴转动的角速度，上式意味着质点绕轴转动的角速度不变．
如果质点并非固定连结于轴上，则动量矩守恒原理为
2
J m ρ?
== 常数 （3．25） 例如在舞蹈或滑冰表演中，演员常绕自身的轴旋转．略去摩擦，他所受的重力对转轴的力矩为零，动量矩守恒．当演员将两手合抱于胸前，旋转就加快起来；演员将两臂伸展出去，旋转就减慢。
（四）质点组的动量矩定理 1．对于轴线的动量矩定理
质点组包含N 个质点．考察各质点对于Z 轴的动量矩，由各质点的动量矩定理得
1112131,11,2221222,12,123,1
N N
N N N N N N N N N J M M M M M J M M M M M J M M M M M ---?=+++???++?
=+++???++??
???????????????????????????????????????????????????=++++???+?
（3. 26）
这里 i J 为第 i 个质点对Z 轴的动量矩， i M 为作用于 i 质点的外力对Z 轴的力矩， ik M 为质点k 作用于质点i 的内力对Z 轴的力矩．将上式累加起来．注意内力 ik F 与 ki F 大小相等，指向相反，沿着同一条直线，它们在 xy 平面中的投
影必然也是大小相等，指向相反，沿着同一条直线，因而它们对Z 轴的力矩之和为零．这样，在累加的结果中只出现外力的力矩，不出现内力的力矩．
1212N N J J J M M M ++???+=++???
（3．27）
将质点组各质点对Z 轴的动量矩之和定义为质点组对Z 轴的动量矩J
121
2
N N
J J J J J
M M M =++???+=++???+ （3. 28）
这就是质点组对轴线的动量矩定理的微分形式。
将上式积分一次，就得到质点组对轴线的动量矩定理的积分形式。
2
2
2
21121
1
1
t t t N t t t J J M dt M dt M dt
-=++???+??? （3. 29）
质点组对Z 轴的动量矩的改变，等于组内各质点在这段时间内所受外力对Z 轴的冲量矩之和．
2．质点组的动量矩与质心的动量矩
前文已指出，质点组的动量就等于质心的动量，那么质点组的动量矩是否也等于质心的动量矩呢？这却未必，通过下面的例子很容易说明这一点．
一物体绕通过其质心的Z 轴转动，Z 轴是固定不动的．质心既然不动，它对Z 轴的动量矩必定为零．而物体的动量矩 I ω却不等于零．可见物体的动量矩一般不等于质心的动量矩．
通过计算可以证明，质点组对某轴线的动量矩，等于质心对该轴线的动量矩 c J 再加上质点组对于通过质心和该轴平行的轴的动量矩 'J 之和，即
'c J J J =+ （3．30）
3．动量矩守恒
如果质点组所受的外力对Z 轴的力矩之和等于零， 即
120N M M M ++???+=
那么，质点组的动量矩守恒，即
0z J =
或 1z J = 2z J （3. 31）
动量矩定理 1２－１ 质量为m 的点在平面Ｏx ｙ内运动,其运动方程为: t b y t a x ωω2sin cos == 式中a 、b 和ω为常量。求质点对原点Ｏ的动量矩。 解:由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 t b t y v t a t x v y x ωωωω2cos 2d d sin d d ==-== 质点对点O 的动量矩为 t a t b m t b t a m x mv y mv m M m M L y x O O ωωωωωωcos 2cos 22sin )sin ()()(0??+?-?-=?+?-=+=y x v v ? t mab ωω3 cos 2= 1２-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ,质心为Ｃ，A Ｃ ＝ e ；轮子半径为Ｒ，对轴心A 的转动惯量为ＪA ;C 、Ａ、B 三点在同一铅直线上。（１)当轮子只滚不滑时，若v Ａ已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。（２)当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知,求轮子的动量和对地面上Ｂ点的动量矩。 解：(1)当轮子只滚不滑时B 点为速度瞬心。 ? 轮子角速度R v A =ω? 质心C 的速度)(e R R v C B v A C += =ω? ?轮子的动量(A C mv R e R mv p += =?方向水平向右） ?对Ｂ点动量矩ω?=B B J L ? 由于? 2 22)( )( e R m me J e R m J J A C B ++-=++= 故[ ] R v e R m me J L A A B 2 2)( ++-=? (２）当轮子又滚又滑时由基点法求得C 点速度。 e v v v v A CA A C ω+=+= 轮子动量( )(e v m mv p A C ω+==?方向向右） 对B 点动量矩 ) ( )()()( )( 2e mR J e R mv me J e R e v m J BC mv L A A A A C C B +++=-+++=+=ωωωω 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为50 m ｍ，无初速地沿倾角?=20θ的轨道滚下,设只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为s = 3 m 。试求轮子对轮心的惯性半径。 解:取轮子为研究对象,轮子受力如图(ａ）所示，根据刚体平面运动微分方程有 ? F mg ma C -=θsin ? (1) J Ｃα = Ｆr ? ?（2） 因轮子只滚不滑，所以有 a Ｃ ＝αr （3）
三）动量矩定理 下面研究质点相对于某一根指定的直线的运动，这根直线称为“轴线”．这时着重的是力矩而不是力． 1．力对于轴线的力矩 图3－1 力F对轴线AB的力矩等于力F在垂直于轴线的平面S中的投影F⊥再乘以其与轴线AB的垂直距离d（一般称之为力臂）．如果力F本身就在与AB垂直的平面内，力矩就等于F乘以F与AB的垂直距离d。力F对轴线AB的力矩记为 M， AB
AB M F =⊥ d （3．15） 通常按右手法则来规定力矩的指向，将右手的四指捏成拳状以表示力矩驱使物体转动的趋势，伸直的大拇指的指向即力矩的指向 2．对于轴线的动量矩和动量矩定理 （1）质点与轴连结． 如果质点与轴AB 相连结，则质点必在垂直于AB 的平面内作圆周运动．质点所受外力对AB 轴的力矩为 （3．16） mv 是质点的动量，R 是动量与轴AB 间的垂直距离．仿照力矩，我们将 mv 与R 的乘积称为质点对于AB 轴的动量矩（角动量） AB J ， 即 AB AB M J = （3. 17） 这就是动量矩定理． （2）转动惯量． 将上式中的 AB J 以质点绕轴转动的角速度 ω表示 2 AB J mR ω= （3. 18） 2mR 称为质点对AB 轴的转动惯量，记为I AB ，则 AB AB J I ω= 动量矩定理（3．17）即 （3．19） 式中 α是质点绕轴转动的角加速度，这与牛顿第二定律 F ma =多么相似！从这类比中还可以看出， I 与 m 相对应， I 反映绕轴转动的惯性，所以称为转动惯量． （3）质点并不与轴连结．
图3－2 所讨论的质点并不与轴AB 连结，也不一定是绕轴转圈，只是相对于轴来研究质点的运动情况．为了方便，取AB 为直角坐标系的Z 轴．如质点的动量 m v 在 xy 平面内，它相对于z 轴的动量矩为 sin z J mvr θ= （3．20） 若动量 m v 不在 xy 平面内，我们可以将它分解为与 xy 平面垂直和与 xy 平面平行的分量，其中与 xy 平面垂直的动量分量对Z 轴的动量矩为零．所以 只要考虑在 xy 平面内的动量分量． 动量矩的正负和力矩一样，也用右手法则决定，和Z 轴正指向相同者取正值，反之为负值． 由牛顿第二定律可以导出一般情况下的动量矩定理 （3．21） 这是它的微分形式． 注意在一般情况下，此定理不宜表为 M Ia =，除非质点的转动惯量I 是常数．一般说来，质点运动时，它与转轴的距离不是常数，所以I 也不是常数． 我们还可以考察力矩的时间累积效果，将上式积分一次,得 2 1 21t z z z t M dz J J =-? （3．22） 式中 1z J 与 2z J 分别表示质点在时刻 1t 及 2t 的动量矩，力矩对时间的积分称为冲量矩．这就是对z 轴动量矩定理的积分形式，适宜用来研究冲击作用．
第十二章 动量定理和动量矩定理 本章研究的两个定理 动量定理——力系主矢量的运动效应反映； 动量矩定理——力系主矩的运动效应反映。 一．质点系质量的几何性质 1． 质心 质点系的质量中心，其位置有下式确定： m r m r i i c ∑= ∑= i m m 其投影式为 m x m x i i c ∑= , m y m y i i c ∑= , m z m z i i c ∑= 2． 刚体对轴的转动惯量 定义：∑= 2i i Z r m I 为刚体对z 轴的转动惯量或)(2 2i i i Z y x m I +=∑ 影响Z I 的因素?? ? ??是常量与刚体是固连在一起时若轴的位置有关与转轴量的分布有关与刚体的质量多少和质z I z z 单位：2kgm 物理意义：描述刚体绕z 轴时惯性大小的度量。 Z I 的计算方法： （1） 积分法 例12.1已知：设均质细长杆为l ，质量为m 。求其对于过质心且与杆的轴线垂直的轴z 的转动惯量。 解：建立如图12.2所示坐标，取微段dx 其质量为dx l m dm = ，则此杆对轴z 的转动惯
量为：12 2 2220 ml dx x l m I l z ==? 例12.2已知：如图12.3所示设均质细圆环的半径为R ，质量为m ，求其对于垂直于圆 环平面且过中心O 的轴的转动惯量。 解：将圆环沿圆周分为许多微段，设每段的质量为i m ，由于这些微段到中心轴的距离都等于半径R ，所以圆环对于中心轴z 的转动惯量为： 222mR m R R m I i i z ===∑∑ 例12.3已知：如图12.4所示，设均质薄圆板的半径为R ，质量为m ，求对于垂直于板面且过中心O 的轴z 的转动惯量。 解：将圆板分成无数同心的细圆环，任一圆环的半径为r ，宽度为dr ，质量为 rdr R m dm ππ22= ，由上题知，此圆环对轴z 的转动惯量为dr r R m dm r 32 2 2=，于是，整个圆板对于轴z 的转动惯量为： 23 02 212mR dr r R m I R z ==? （2） 回转半径（惯性半径） 设刚体对轴z 的转动惯量为Z I ，质量为m ，则由式m I z z =ρ定义的长度，称为刚 体对轴z 的回转半径。 例如：均质杆（图12.2） 122ml I z = l l 289.012 2 ==ρ 均质圆环（图12.3） 2 mR I z = R =ρ
冲量、动量定理教学设计 一、指导思想与理论依据 本节课，主要应用了认知主义的思想方法，注重客观主义认识理论及人本主义的认识理论。重视物理学教学的特点，以创设情景为切入点，以观察实验（事实）为基础，以提升学生的探究能力为重点，以培养学生的思维能力为核心。 二、教学背景分析 教科版选修3-5《第一章碰撞与动量守恒》，这一章划分为两个单元。第一节的《碰撞》，第二节的《动量》是第一单元。第三节《动量守恒》第四节《动量守恒的应用》是第二单元。如果第一节《碰撞》用一课时时间有些松，而第二节《动量》包括动量、动量的改变、冲量、动量定理如果用一课时内容又太多。所以授课时我将碰撞、动量、动量的改变量合为一节内容安排一课时，冲量、动量定理安排为一课时。本节教学设计主要是对冲量、动量定理的教学设计。通过一课时的学习学生对碰撞、动量、动量的改变量已经有了较清楚的认识，但对动量、动量的改变量矢量性，计算时还不习惯。本节课教师以演示实验和设问为主，学生以观察、分析为主，遵循观察、分析、归纳的方法，理论探究得出动量定理。 三、教学目标 1、知识与技能 ①理解冲量的概念，知道冲量的定义，知道冲量是矢量 ②能从牛顿运动定律和运动学公式，推导出动量定理的表达式。 ③理解动量定理的确切含义，知道动量定理适用于变力。 ④会用动量定理解释有关现象和处理有关问题 2、过程与方法 ①通过演示实验，引入课题，激发学生的学习兴趣； ②通过对动量定理的探究过程，尝试用科学探究的方法研究物理问题。 ③运用动量定理解释现象和处理有关问题，培养学生理论联系实际的能力。 3、情感态度与价值观 ①培养学生有参与科技活动的热情，有从生活到物理，从物理到生活的意识。 ②培养学生有主动与他人合作的精神，有团队意识。 四、教学过程 一、创设情景引入新课 问题：一个鸡蛋从一米高处下落鸡蛋会碎吗? 学生甲：会碎。 学生乙：不会。如果地上放海绵鸡蛋就不会碎。 师：让我们亲眼验证。 教师活动：讲桌上放一块一样高的海绵和木板（木板上铺一张纸），拿出两个鸡蛋。 学生活动：请全班最高的男生到前面做实验。两手各握一枚鸡蛋从同一高度释放。 实验现象：落到海绵上的鸡蛋没碎，落到木板上的鸡蛋碎了。
第12章 动量矩定理 通过上一章的学习我们知道动量是表征物体机械运动的物理量。但是在某些情况下，一个物体的动量不足以反映它的运动特征。例如，开普勒在研究行星运动时发现，行星在轨道上各点的速度不同，因而动量也不同，但它的动量的大小与它到太阳中心的距离之乘积—称为行星对太阳中心的动量矩，总是保持为常量，可见，在这里，行星对太阳中心的动量矩比行星的动量更能反映行星运动的特征。 在另一些情况下，物体的动量则完全不能表征它的运动。例如，设刚体绕着通过质心C 的z 轴转动。因为不论刚体转动快慢如何，质 心速度C v 总是等于零，所以刚体的动量也总是零。但是，刚体上各质点的动量大小与其到z 轴的距离的乘积之和—即刚体对z 轴的动量矩却不等于零。可见，在这里，不能用动量而必须用动量矩来表征刚体的运动。 §12-1 质点动量矩定理 例2.人造地球卫星本来在位于离地面600km h =的圆形轨道上，如图所示，为使其进入410km r =的另一圆形轨道，须开动火箭，使卫星在A 点的速度于很短时间内增加0.646km/s ，然后令其沿椭圆轨道自由飞行到达远地点B ，再进入新的圆形轨道。问：（1）卫星在椭圆轨道的远地点B 处时的速度是多少？（2）为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到达远地点B 时，应如何调整其速度？大气阻力及其它星球的影响不计。地球半径6370km R =。 图12-5 解：首先求出卫星在第一个圆形轨道上的速度，可由质点动力学方程求出。卫星运行时只受地球引力的作用，即 2 2 () R F mg R x =+ 式中x 是卫星与地面的距离。当卫星沿第一圆形轨道运动时，有
22 2 ()()v R m mg R h R h =++ 即 2 2 () gR v R h =+ （b ） 将6370km R =，600km h =，9.8m/s g =代入上式，得卫星在第一个圆形轨道上运动的速度 17.553km/s v = 所以卫星在椭圆轨道上的A 点的速度为 7.5530.6468.199km/s A v =+= 卫星在椭圆轨道上运动时，仍然只受地球引力作用，而该引力始终指向地心O ，对地以O 的矩等于零，所以卫星对地心O 的动量矩应保持为常量。设卫星在远地点B 的速度为B v ，则有 A A B B r v r v = 所以 4 63706008.199 5.715km/s 10A B A B r v v r += ?=?= 设卫星沿新的圆形轨道运行时所需的速度为2v ，则 22 2 2 4 9.86370 6.306km/s 10gR v r ?=== 由此可见，为使卫星沿着第二个圆形轨道运行，当它沿椭圆轨道到达B 点时，应再开动火箭，使其速度增加一个值 20.591km/s B B v v v ?=-= 顺便指出，在（b ）式中令0h →，就得到7.9km/s v =，这就是为使卫星在离地面不远处作圆周运动所需的速度，称为第一宇宙速度。 §12-2 质点系动量矩定理 例1.质量为1m 、半径为R 的均质圆轮绕定轴O 转动，如图所示。轮上缠绕细绳,绳端悬挂质量为2m 的物块,试求物块的加速度。均质圆 轮对于O 轴的转动惯量为211 2 O J m R =。
太原市高中物理人教版选修3-5第十六章第2节动量和动量定理同步练习 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共5题；共10分) 1. （2分） (2018高二下·邢台期末) 用频率为的光垂直照射平面镜，光被镜面全部垂直反射回去。已知真空中的光速为，普朗克常量为，则光子在反射前后动量改变量的大小为（） A . B . C . D . 2. （2分） (2017高二下·张家口期中) 下列说法正确的是（） A . 当物体的动量不变时，物体的动能一定不变 B . 当物体的动能不变时，物体的动量一定不变 C . 当物体的动量为零时，物体一定处于平衡状态 D . 当物体所受合力的冲量为零时，物体受到的各力的冲量均为零 3. （2分） (2018高一上·九江月考) 一个榔头敲在一块玻璃上把玻璃打碎了。对这一现象，下列说法正确的是（） A . 榔头敲玻璃的力大于玻璃对榔头的作用力，所以玻璃才碎裂 B . 榔头受到的力大于玻璃受到的力，只是由于榔头能够承受比玻璃更大的力才没有碎裂 C . 因为不清楚玻璃和榔头的其他受力情况，所以无法判断它们之间的相互作用力的大小 D . 榔头和玻璃之间的作用力大小相等，只是由于榔头能够承受比玻璃更大的力才没有碎裂 4. （2分） (2019高二上·长春月考) 在光滑水平面上，一质量为m、速度大小为v的A球与质量为2m静止
的B球碰撞后，A球的速度方向与碰撞前相反。则碰撞后B球的速度大小可能是（） A . 0.6 B . 0.4 C . 0.3 D . 0.2 5. （2分） (2019高三上·鹤岗月考) “飞针穿玻璃”是一项高难度的绝技表演，曾度引起质疑。为了研究该问题，以下测量能够得出飞针在穿越玻璃的时间内，对玻璃平均冲击力大小的是（） A . 测出玻璃厚度和飞针穿越玻璃前后的速度 B . 测出玻璃厚度和飞针穿越玻璃所用的时间 C . 测出飞针质量、玻璃厚度和飞针穿越玻璃所用的时间 D . 测出飞针质量、飞针穿越玻璃所用时间和穿越玻璃前后的速度 二、多项选择题 (共3题；共9分) 6. （3分） (2019高二下·惠阳期中) 跳高运动员在跳高时总是跳到沙坑里或跳到海绵上，这样做是为了（） A . 减小运动员的动量变化 B . 减小运动员所受的冲量 C . 延长着地过程的作用时间 D . 减小着地时运动员所受的平均冲力
稳定流的动量方程和动量矩方程的推导及应用 1 稳定流动量方程 讨论运动流体与固体边界面上的相互作用力，例如：流体在弯曲管道内流动，弯管的受力情况；水力采矿时，高压水枪射流对水枪、对矿床的作用力；火箭飞行过程中，从火箭尾部喷射出的高温高压气体对火箭的反推力等等。这类问题，需应用运动流体的动量方程来分析。 从物理学知，运动物体的动量为： 图1流束动量变化 根据质点系动量定理： 用符号表示动量，即，则 ——流体作定常流动时的动量方程。 图示一弯管，其中的流体作定常流动，在总流中任意取一微小流束1－2，并取过水断面1－1、2－2间的流束段进行研究。 即 对不可压缩流体，则微小流束的动量方程为： 将上式推广到总流中去，则得： 由定常流动总流的连续性方程，有： 因为u在A上分布难以确定，所以用v代换u，有： 式中、——动量修正系数，其实验值为1.02~1.05，工程计算上取＝＝1。 整理可得： ——理想流体定常流动总流的动量方程。其物理意义是：作用在所研究的流体上的外力矢量和等于单位时间内流出与流入的动量之差。 作用在流体上的外力：流束段1－2的重力，两过水断面1－1、2-2上的压力、 ， 边界面上所受表面压力的总值。上式也可写为： 其分量式为：
图2 流体作用于弯管上的力 确定流体与固体边界之间的作用力，上述方程是一个重要方程。 2 动量方程的应用 （1）流体作用于弯管上的力 图示一弯管，沿x轴、y轴的动量方程为： 所以 则 的方向为： 流体对弯管的作用力，与是一对作用力和反作用力，大小与相等,方向与相反。 （2）射流作用在固定平面上的冲击力 水射流清洗：船体、铸造清砂、矿车清扫 流体从管嘴喷射出而形成射流。如射流在同一大气压强之下，并忽略自身重力，则作用在流体上的力，只有固定平面对射流的阻力，它与射流对固定平面的冲击力构成一对作用力和反作用力。 图示固定平板与水平面成θ角，流体从喷嘴射出，射流的动量为： x轴方向的动量方程为： 即 射流对平板的冲击力：=- 当θ＝900时 如果平板不固定，沿射流方向以速度运动，则射流对移动平板的冲出力为： （3）射流的反推力烟花升空 我们知道，火箭飞行的根本动力是火箭内部的燃料发生爆炸性燃烧，产生大量高温高压的气体，从尾部喷出形成射流，射流对火箭有一反推力，使火箭向前运动。下面我们具体讨论反推力的计算。 图示装有液体的容器测壁开一小孔，流体便从小孔流出形成射流，则射流速度为：
高中物理人教版选修3-5第十六章第2节动量和动量定理同步练习B卷（模拟）姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共5题；共10分) 1. （2分） (2017高二下·张家口期中) 下列说法正确的是（） A . 当物体的动量不变时，物体的动能一定不变 B . 当物体的动能不变时，物体的动量一定不变 C . 当物体的动量为零时，物体一定处于平衡状态 D . 当物体所受合力的冲量为零时，物体受到的各力的冲量均为零 【考点】 2. （2分） (2019高一下·南昌期末) 关于物体的动量，下列说法中正确的是（） A . 物体的动量越大，其惯性也越大 B . 同一物体的动量变了，其动能也一定变了 C . 物体的加速度不变，其动量一定不变 D . 运动物体在任一时刻的动量方向一定是该时刻的速度方向 【考点】 3. （2分） (2017高一下·红岗期末) 一个质量为2kg的物体，放在光滑的水平地面上静止不动．则在2s内，该物体所受重力冲量大小为（g=10m/s2）（） A . 0 N?s B . 4.0 N?s C . 40 N?s
D . 以上答案均不正确 【考点】 4. （2分） (2019高三上·漠河月考) 一位质量为m的运动员下蹲由静止状态向上起跳，经Dt时间身体伸直并以速度为v离开地面，在此过程中地面对他的冲量为（） A . 0 B . mv C . mv－mgDt D . mv＋mgDt 【考点】 5. （2分） (2017高二下·临漳期中) 跳高运动员在跳高时总是跳到沙坑里或跳到海棉垫上，这样做是为了（） A . 减小运动员的动量变化 B . 减小运动员所受的冲量 C . 减小着地过程的作用时间 D . 减小着地过程运动员所受的平均冲力 【考点】 二、多项选择题 (共3题；共9分) 6. （3分） (2020高二下·蚌埠月考) 一质量为2kg的物块在合外力F的作用下从静止开始沿直线运动。F 随时间t变化的图线如图所示，则（）
y x 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：23t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|2 2m x t C =?== )(1624|22m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,= ??=
平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c 1 O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4) 4(R W 412222,+= ?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443( 2 2 2 g WR g Wl g Pl L z ++= ω4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω211ml J L z O O == 解：)(b → → → →?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： )(11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω
第5.2节 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 5.2.1离心调速器模型如图所示．由转轴上方向下看，质量为m 的小球在水平面内绕AB 逆时针作匀速圆周运动，当角速度为ω时，杆张开α角．杆长为l ．杆与转轴在B 点相交．求(1)作用在小球上的各力对A 点、B 点及AB 轴的力矩．(2)小球在图示位置对A 点、B 点及AB 轴的角动量．杆质量不计 解：（本题中A 点的位置不明确，A 点应与两小球同 高度） 以A 点为坐标原点建立坐标系，x 轴向右，y 轴向上，z 轴垂直于纸面向外。 左侧小球： 受力：j mg W ?-= ，)?cos ?(sin j i T T αα+= 位失：相对于A 点：i l r A ?sin α-= 相对于B 点：T T l j i l r B -=+-=)?cos ?(sin αα 速度：小球绕y 轴作匀速圆周运动，速率为：αωωsin l r v == 在图中所示位置：k l k v v ?sin ?αω== 重力矩： ?)?(?)?(?sin )?()?cos ?(sin ?sin )?()?sin (=?=?==-?+-=?==-?-=?=j j j j k mgl j mg j i l W r k mgl j mg i l W r B A AB B B A A ττταααταατ 拉力T 的力矩： 0?)?(?)?(0 ?2sin ?cos sin )?cos ?(sin )?sin (2 1=?=?==?-=?=-=-=+?-=?=j j j j T T T l T r k lT k lT j i T i l T r B A AB B B A A τττταααααατ 角动量： j m l j j L j j L L m l m l L j i m l k m l j i l v m r L j m l k m l i l v m r L B A AB B B B A A ?sin ?)?(?)?(sin sin sin cos ||) ?sin ?sin cos (?sin )?cos ?(sin ?sin ?sin )?sin (222 42222222αωαωαααωαααωαωαααωαωα=?=?==+=+-=?+-=?==?-=?=
动量定理与动量守恒定律·典型例题解析 【例1】 在光滑的水平面上有一质量为2m 的盒子，盒子中间有一质量为m 的物体，如图55－1所示．物体与盒底间的动摩擦因数为μ现给物体以水平速度v 0向右运动，当它刚好与盒子右壁相碰时，速度减为 v 02 ，物体与盒子右壁相碰后即粘在右壁上，求： (1)物体在盒内滑行的时间； (2)物体与盒子右壁相碰过程中对盒子的冲量． 解析：(1)对物体在盒内滑行的时间内应用动量定理得：－μmgt ＝ m mv t 0·－，＝v v g 0022 (2)物体与盒子右壁相碰前及相碰过程中系统的总动量都守恒，设碰 撞前瞬时盒子的速度为，则：＝＋＝＋．解得＝，＝．所以碰撞过程中物体给盒子的冲量由动量定理得＝－＝，方向向右． v mv m v 22mv (m 2m)v v v I 2mv 2mv mv /61001212210v v 0043 点拨：分清不同的物理过程所遵循的相应物理规律是解题的关键． 【例2】 如图55－2所示，质量均为M 的小车A 、B ，B 车上 挂有质量为的金属球，球相对车静止，若两车以相等的速率M 4 C C B 1.8m/s 在光滑的水平面上相向运动，相碰后连在一起，则碰撞刚结束时小车的速度多大？C 球摆到最高点时C 球的速度多大？ 解析：两车相碰过程由于作用时间很短，C 球没有参与两车在水平方向的相互作用．对两车组成的系统，由动量守恒定律得(以向左为正)：Mv －Mv ＝
2Mv 1两车相碰后速度v 1＝0，这时C 球的速度仍为v ，向左，接着C 球向左上方摆动与两车发生相互作用，到达最高点时和两车 具有共同的速度，对和两车组成的系统，水平方向动量守恒，＝＋＋，解得＝＝，方向向左．v C v (M M )v v v 0.2m /s 222M M 4419 点拨：两车相碰的过程，由于作用时间很短，可认为各物都没有发生位移，因而C 球的悬线不偏离竖直方向，不可能跟B 车发生水平方向的相互作用．在C 球上摆的过程中，作用时间较长，悬线偏离竖直方向，与两车发生相互作用使两车在水平方向的动量改变，这时只有将C 球和两车作为系统，水平方向的总动量才守恒． 【例3】 如图55－3所示，质量为m 的人站在质量为M 的小车的右端，处于静止状态．已知车的长度为L ，则当人走到小车的左端时，小车将沿光滑的水平面向右移动多少距离？ 点拨：将人和车作为系统，动量守恒，设车向右移动的距离为s ，则人向左移动的距离为L －s ，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得M ·s －m(L －s)＝0，从而可解得s ．注意在用位移表示动量守恒时，各位移都是相对地面的，并在选定正方向后位移有正、负之分． 参考答案 例例跟踪反馈．．．；；．×·3 m M +m L 4 M +m M H [] 1 C 2h 300v 49.110N s 04M m M 【例4】 如图55－4所示，气球的质量为M 离地的高度为H ，在气球下方有一质量为m 的人拉住系在气球上不计质量的软绳，人和气球恰悬浮在空中处于静止状态，现人沿软绳下滑到达地面时软绳的下端恰离开地面，求软绳的长度．
O ω R r A B θ 习题9－2图 习题20-3图 Ox F Oy F g m D d α 习题20-3解图 第9章 动量矩定理及其应用 9－1 计算下列情形下系统的动量矩。 1. 圆盘以ω的角速度绕O 轴转动，质量为m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处（图a ）；求小球对O 点的动量矩。 2. 图示质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A ，质心为C ，且AC = e ；轮子半径为R ，对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上（图b ）。（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩。 解：1、2 s m L O ω=（逆） 2、（1） )1()(R e mv e v m mv p A A C +=+==ω（逆） R v me J R e R mv J e R mv L A A A C C B )()()(22 -++=++=ω （2）)(e v m mv p A C ω+== ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++= 9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动，其大、小半径分别为R 、r ，对O 轴的转动惯量为J O ；物块A 、B 的质量分别为m A 和m B ；试求系统对O 轴的动量矩。 解： ω)(22r m R m J L B A O O ++= 9－3 图示匀质细杆OA 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O 处的约束力。不计铰链摩擦。 解：令m = m OA = 50 kg ，则m EC = 2m 质心D 位置：（设l = 1 m) m 6 565== =l OD d 刚体作定轴转动，初瞬时ω=0 l mg l mg J O ?+?=22 α 222232)2(212 1 31 ml ml l m ml J O =+??+ = 即mgl ml 2 532=α 2rad/s 17.865==g l α g l a D 36 256 5t =?=α 由质心运动定理： Oy D F mg a m -=?33t 4491211 362533==-=mg g m mg F Oy N （↑） 0=ω，0n =D a ， 0=Ox F (a) O M v ω ω A B C R v A (b) 习题9－1图
第2节动量定理 核心 素养 物理观念科学思维1理解冲量的意义和动量定理及其表达式。 2.能利用动量定理解释有关现象和解决实际问 题。 应用动量定理解决实 际问题。 知识点一动量定理 [观图助学] 把一篮子鸡蛋放在摩托车上运输，结果会怎么样呢？可能多数 会被打碎。现在，如图，把鸡蛋放到海绵盒子中，即使是长途 运输也不会破碎，你能解释这种现象吗？ 提示物体的动量变化量一定时，力的作用时间越短，力就越大，反之就越小。把鸡蛋放到海绵盒子中运输，是为了增大力的作用时间以减小鸡蛋受到的作用力。 1.冲量 (1)定义：力与力的作用时间的乘积叫作力的冲量。 (2)表达式：I＝FΔt。 (3)单位：在国际单位制中，冲量的单位是牛·秒，符号是N·s。 (4)矢量性：冲量是矢量，力的冲量方向跟力的方向相同。 (5)物理意义：反映力的作用对时间的累积效应。 2.动量定理 (1)表述：物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量。 (2)表达式：FΔt＝p′－p，或I＝p′－p。 (3)适用条件：动量定理不仅适用于恒力，也适用于变力。 (4)说明：对于变力的冲量，动量定理中的F应理解为变力在作用时间t内的平均值。 [思考判断]
(1)作用在物体上的力越大，冲量越大。(×) (2)物体的动量变化越大，则力的作用时间越长。(×) (3)变化的合力的冲量不一定等于动量的变化量。(×), 这里说的“力的冲量”指的是合力的冲量，或者是各个力的冲量的矢量和。 知识点二动量定理的应用 [观图助学] 在体育活动中，我们如果是跳远，就要落在沙坑里；如果是跳高就要落在海绵垫子上。为什么不能直接落在地面上呢？ 提示跳远要落在沙坑、跳高要落在海绵垫子上，是为了延长作用时间，减小相互作用力，以免受到伤害。如果是直接落在地面上，运动员与地面作用时间短，作用力大，容易受伤。 1.Δp一定时，F的作用时间越短，力就越大；作用时间越长，力就越小。 2.F一定，此时力的作用时间越长，Δp就越大；力的作用时间越短，Δp就越小。[思考判断] 如图所示，将一杯水放在桌边，杯下压一张纸条。若缓慢拉动 纸条(此过程中杯子相对纸条滑动)，发现杯子会滑落；当快速 拉动纸条时，发现杯子并没有滑落。对于这个实验，判断下列 说法是否正确。 (1)缓慢拉动纸条时，摩擦力对杯子的冲量较小。(×) (2)快速拉动纸条时，摩擦力对杯子的冲量较大。(×) (3)为使杯子不滑落，杯子与纸条间的动摩擦因数应尽量大一些。(×) (4)为使杯子不滑落，杯子与桌面间的动摩擦因数应尽量大一些。(√)
第17章 动量定理和 动量矩定理
工程力学学习指导 第17章 动量定理和动量矩定理 17.1 教学要求与学习目标 1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。 2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。 3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。 4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。 5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。 6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。 7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。 17.2 理 论 要 点 17.2.1 质点系的动量 质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。即 i i i m v p ∑=
质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即 ?? ?? ? ?? ?? ===∑∑∑i iz i z i iy i y i ix i x v m p v m p v m p 质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即 C m v p = 这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述了其质心的运动。 上述动量表达式对于刚体系也是正确的。 17.2.2 质点系动量定理 质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。其微分形式为 (e)(e)R d d i i t ==∑p F F 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。式中(e)i i ∑F 或 (e)R F 为作用在质点系上的外力系主矢。 质点系动量定理的积分形式，也称为质点系的冲量定理，即 2 1 (e)(e)21d t i i t i i t ?==∑∑∫p p F I 质点系动量在某时间间隔内的改变量等于质点系所受外力冲量。此式将广 泛应用于求解碰撞问题。 17.2.2 动量守恒定理 1. 质点系动量守恒定理 当外力主矢恒等于零，即(e)R 0=F 时，质点系的动量为一常矢量。即 112C p p == 式中1C 是常矢量，由运动的初始条件决定。 2. 质点系动量在某轴上的投影守恒 质点系的动量定理实际应用时常采用投影式，即
1 质点系对某轴的动量矩等于质点系中各质点的动量对同一轴之矩的代数和。 （ ） 2 刚体的质量是刚体平动时惯性大小的度量，刚体对某轴的转动惯量则是刚体绕该轴转动时惯性大小的度量。 （ ） 3 刚体对某轴的回转半径等于其质心到该轴的距离。( ) 4 如果作用于质点系上的所有外力对固定点O 的主矩不为零，那么，质点系的动量矩一定不守恒。( ) 5 如果质点系所受的力对某点（或轴）的矩恒为零，则质点系对该点（或轴）的动量矩不变。( ) 6 图中所示已知两个均质圆柱，半径均为R ，质量分别为2m 和3m ，重物的质量为1m 。重物向下运动的速度为V ，圆柱C 在斜面上只滚不滑，圆柱O 与绳子之间无引对滑动，则系统 对O 轴的动量矩为vR m R m vR m H o 12 232 ++=ω。( ) 7 图中已知均质圆轮的半径为R ，质量为m ，在水平面上作纯滚动，质心速度为C v ，则轮子对速度瞬心I 的动量矩为R mv H c I =。( ) 1 已知刚体质心C 到相互平行的z z 、'轴的距离分别为b a 、，刚体的质量为m ，对z 轴的转动惯量为z J ，则' z J 的计算公式为__________________。
A ．2)(b a m z z ++='J J ； B ．)(2 2b a m z z -+=' J J ； Ｃ．)(2 2b a m z z --=' J J 。 2 两匀质圆盘A 、B ，质量相等，半径相同，放在光滑水平面上，分别受到F 和' F 的作用，由静止开始运动，若' F F =，则任一瞬间两圆盘的动量相比较是_____________________。 Ａ．B A p p >； Ｂ．B A p p <； Ｃ．B A p p =。 3 在一重W 的车轮的轮轴上绕有软绳，绳的一端作用一水平力P ，已知车轮的半径为R ，轮轴的半径为r ，车轮及轮轴对中心O 的回转半径为ρ，以及车轮与地面间的滑动摩擦系数为f ，绳重和滚阻皆不计。当车轮沿地面作平动时，力P 的值为_________________。 Ａ．ρ/fWR P =； Ｂ．r fWR P /=； Ｃ．r fW P /ρ=；④ fW P =。
动量矩定理 12-1 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为: x a cos t y bsin2 t 式中a 、b 和 为常量。求质点对原点 O 的动量矩。 解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 V x dx sin t dt a V y dy 2b cos2 t 质点对点 O 的动量矩为 L O M o (mV x ) M 0( mV y ) mv x y mv y x m ( a sin t) bsin2 t m 2b cos2 t acos t 2mab cos 3 t 12-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。 轮子轴心为A,质心为C, AC = e ；轮子半径为 R,对轴心A 的转动惯量为J A ； C 、A 、B 三点在同一铅直线上。（1 ）当轮子只 滚不滑时，若 V A 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。（2）当轮子又滚又滑时， 若V A 、 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。 解：（1）当轮子只滚不滑时 B 点为速度瞬心。 轮子角速度 V A R 质心C 的速度V C BC R e 轮子的动量 p mv C mv A (方向水平向右) R 对B 点动量矩L B J B 2 2 2 由于 J B J C m (R e) J A me m (R e) 故 L B J A me 2 m （R e ）2 食 （2）当轮子又滚又滑时由基点法求得 C 点速 度。 V C V A V CA V A e 轮子动量 p mv C m(v A e) （方向向右） 对B 点动量矩 L B mv C BC J C m(v A 2 e) (R e) (J A me) mv A (R e) (J A mRe) 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为 50 mm 无初速地沿倾角 20的轨道滚下，设 只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为 s =3m 。试求轮子对轮心的惯性半径。 解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（ a ）所示，根据刚体平面运动微分方程有 ma C mgsi n F （ 1） J C = Fr （ 2） 因轮子只滚不滑，所以有 a c = r （ 3） ? 12
第2节动量和动量定理 [随堂达标] 1．关于物体的动量，下列说法中正确的是( ) A．运动物体在任一时刻的动量方向，一定是该时刻的速度方向 B．物体的动能不变，其动量一定不变 C．动量越大的物体，其速度一定越大 D．物体的动量越大，其惯性也越大 解析：选A.动量具有瞬时性，任一时刻物体动量的方向，即为该时刻物体的速度方向，选项A正确；动能不变，若速度方向变化，动量也发生了变化，B项错误；物体动量的大小由物体质量及速度大小共同决定，不是由物体的速度唯一决定，故物体的动量大，其速度不一定大，选项C错误；惯性由物体质量决定，物体的动量越大，其质量并不一定越大，惯性也不一定越大，故选项D错误． 2．(多选) (2016·郑州外国语学校高二检测)恒力F作用在质量为m的物体上，如图所示，由于地面对物体的摩擦力较大，物体没有被拉动，则经时间t，下列说法正确的是( ) A．拉力F对物体的冲量大小为零 B．拉力F对物体的冲量大小为Ft C．拉力F对物体的冲量大小是Ft cos θ D．合力对物体的冲量大小为零 解析：选BD.恒力F的冲量就是F与作用时间的乘积，所以B正确，A、C错误；由于物体静止，合力为零，合力的冲量也为零，故D正确． 3．跳远时，跳在沙坑里比跳在水泥地上安全，这是由于( ) A．人跳在沙坑的动量比跳在水泥地上的小 B．人跳在沙坑的动量变化比跳在水泥地上的小 C．人跳在沙坑受到的冲量比跳在水泥地上的小 D．人跳在沙坑受到的冲力比跳在水泥地上的小 解析：选D.人跳远时从一定的高度落下，落地前的速度是一定的，初动量是一定的，所以选项A错误；落地后静止，末动量一定，人的动量变化量是一定的，选项B错误；由动量定理可知人受到的冲量等于人的动量变化量，所以两种情况下受到的冲量相等，选项C 错误；落在沙坑里力作用的时间长，落在水泥地上力作用的时间短，根据动量定理，在动量变化量一定的情况下，时间t越长则受到的冲力F越小，故选项D正确． 4．(2015·高考重庆卷)高空作业须系安全带，如果质量为m的高空作业人员不慎跌落，