思 考 题
11-1 质点系的动量按下式计算：
∑∑==c v M v m K ???
质点系的动量矩可否按下式计算
()()c z z z v M m v m m L ?
?∑==
11-2 人坐在转椅上，双脚离地，是否可用双手将转椅转动 为什么
11-3 图示两轮的转动惯量相同。在图（a ）中绳的一端受拉力G ，在图（b ）中绳的一端挂一重物，重量也等于G 。问两轮的角加速度是否相同为什么
11-4 问在什么条件下，图示定滑轮（设为匀质圆盘）两侧绳索的拉力大小才能相等
11-5 如图所示的传动系统中，轮1的角加速度按下式计算对吗
2
11
1J J M +=ε
11-6 如图示，已知3/2Ml J z =，按下列公式计算'
z J 对吗
思考题 11-3 图
思考题 11-4 图
G
M 2
z
思考题 11-5 图 思考题 11-6 图
I
22
9732Ml l M I I z z =
??
?
??+=' 11-7 质量为M 的均质圆盘，平放在光滑的水平面上，其受力情况如图所示。试说明圆盘将如何运动设开始时，圆盘静止，图中2R r =
11-8 一半径为R 的轮在水平面上只滚动而不滑动。如不计滚动摩阻，试问在下列两种情况下，轮心的加速度是否相等接触面的摩擦力是否相同（1）在轮上作用一顺时
针转向的力偶，力偶矩为M ;（2）在轮心作用一水平向右的力P ?,R
M
P =
习 题
11-1 计算各质点系的动量对O 点的动量矩，已知a 、b 、c 、d 各均质物体重Q ，物
体尺寸与质心速度或绕转轴的角速度如图示。（e ）、(f )中设物体A 和B 的重量均为P ?
，
速度为 v ?
，均质滑轮的重量为Q ?。
11-2 如图示，均质圆盘，半径为R ，质量为m 。细杆长l ，绕轴O 转动，角速度为ω。求下列三种情况下对固定轴O 的动量矩。
（1）圆盘固结于杆；（2）圆盘绕A 轴转动，相对于杆OA 的角速度为ω-；（3）圆盘绕A 轴转动，相对于杆OA 的角速度也为ω。
11-3 小锤系于线MOA 的一端，此线穿过一铅垂小管。小锤绕管轴沿半径MC ＝R 的圆周运动，每分钟120转。现将线段OA 慢慢向下拉，使外面的线段缩短到OM 1的长
(a )
(b )
(c )
思考题11-7图
思考题11-8
度，此时小锤沿半径C 1M 1=R /2的圆周运动。求小锤沿此圆周每分钟的转数。
11-4 一半径为R ，重P 的均质圆盘，可绕通过其中心的铅垂轴无摩擦地旋转。另一重P 的人由B 点按规律22at s = 沿到O 轴半径为r 的圆周行走。开始时，圆盘与人静止，求圆盘的角速度和角加速度。
11-5 飞轮在力矩t M ωcos 0作用下绕定轴转动。沿飞轮的轮幅有重量为P ?
的两等重
物体，各作周期性运动。问：距离r 应满足什么条件才能使飞轮以角速度ω匀速转动。
11-6 图示均质杆AB 长l ，重P 。杆的B 端固连一重Q 的小球，大小不计。杆上点D 连一弹簧，刚性系数为k ，使杆在水平位置保持平衡。设初速度v 0＝0，求给小球B 一
(a )
(b) (c)
(d )
(e )
(f )
题 11-1
图
A
C O
题11-3图
题11-4图
题 11-2图
个铅直方向的微小位移0δ后，杆AB 的运动规律。
11-7 一框架AA ，以细绳悬挂如图，它对竖直轴线OO 的转动惯量为J 1，在框架中间支承一转子，它对轴的转动惯量为J 2，开始时框架不动，转子有一角速度0ω，由于有摩擦，框架被带着转动。若通过t 秒，转子与框架的角速度相同。细绳的阻力扭矩可略去不计，求转子支承处的摩擦力矩。
11-8 图示离心式空气压缩机的转速为n =8600r/min ,每分钟容积流量为
min /m Q 3370=,第一级叶轮气道进口直径为D 1＝，出口直径为D 2＝。气流进口绝对速度
v 1＝109m/s ，与切线成角?=901α；气流出口绝对速度v 2＝183m /s ,与切线成角13212'=οα。设空气密度ρ＝m 3，试求这一级叶轮的转矩。
11-9 物体D 被装在转动惯量测定器的水平轴AB 上，这轴上还固连有半径为r 的鼓轮E ，缠在鼓轮上细绳的下端挂有质量为M 的物体C 。已知物体C 被无初速地释放后，经过时间T 秒落下的距离是h ；试求被测物体对转轴的转动惯量J 。已知轴AB 连同鼓轮对自身轴线的转动惯量是J 0。设物体D 的质心在轴线AB 上，摩擦和空气阻力都可略去不计。
题 11-5 图
O
O
A
题 11-6 图 题 11-7 图
题 11-9 图
题 11-8 图
11-10 高炉运送矿石用的卷扬机如图示。已知鼓轮的半径为R ，重量为P ，在铅直平面内绕水平的轴O 转动。小车和矿石总重量为Q ，作用在鼓轮上的力 矩为M ，轨道的倾角为α。设绳的重量和各处的摩擦均忽略不计，求小车的加速度。
11-11 电绞车提升一重m 的物体。在其主动轴上有一不变的力矩M 。已知：主动轴与从动轴和连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件的转动惯量分别为J 1和J 2 ，传动比K Z Z =12:；吊车缠绕在鼓轮上，此轮半径为R 。设轴承的摩擦以及吊索的质量均略去不计，求重物的加速度。
11-12 两个物体A 和B 的质量各为m 1和m 2，且m 1>m 2，分别挂在两条不可伸长的绳子上，此两绳分别绕在半径为r 1和r 2的塔轮上，物体受重力的作用而运动。试求塔轮的角加速度及轴承的反力。塔轮的质量与绳的质量均可忽略不计。
11-13 圆轮A 重P 1，半径为r 1，以角速度ω绕OA 杆的A 端转动，此时将轮放置在重P 2的另一圆轮B 上，其半径为r 2。B 轮原为静止，但可绕其几何轴自由转动。放置后，A 轮的重量由B 轮支持。略去轴承的摩擦与杆OA 的重量，并设两轮间的摩擦系数为f 。问自A 轮放在B 轮上到两轮间没有滑动为止，经过多少时间
11-14 轮子的质量m ＝100kg ，半径R ＝1m ，可以看成均质圆盘。当轮子以转速n
＝120r/min 绕定轴C 转动时，在杆A 点垂直地施加常力P ?
，经过10s 轮子停转。设轮与
闸块间的动摩擦系数f '＝，试求力P ?
的大小。轴承的摩擦和闸块的厚度忽略不计。
2
题 11-10 图
题 11-11 图
题 11-12 图
P
题11-13图 题11-14图
题11-15图
11-15 已知图示均质三角形薄板的质量为 m ，高为h ，求对底边的转动惯量x J 。 11-16 图示连杆的质量为m ，质心在点C 。若AC ＝a ，BC ＝b ，连杆对B 轴的转动惯量为B J 求连杆对A 轴的转动惯量。
11-17 均质钢制圆盘如图示，外径D ＝60cm ，厚h ＝10cm 。其上钻有四个圆孔，直径均为d 1＝10cm ，尺寸d ＝30cm 。钢的密度取ρ＝?－3
kg/cm 3,求此圆盘对过其中心O 并
与盘面垂直的轴的转动惯量。
11-18 均质圆柱体A 的质量为m ，在外圆上绕一细绳，绳的一端B 固定不动，如图所示。圆柱因解开绳子而下降，其初速为零。求当圆柱体的轴心降落了高度h 时轴心的速度和绳子的张力。
11-19 一个重为P 的物块A 下降时，借助于跨过滑轮D 而绕在轮C 上的绳子，使轮子B 在水平轨道上只滚动而不滑动。已知轮B 与轮C 固连在一起，总重为Q ，对通过轮心O 的水平轴的回转半径为ρ，试求物块A 的加速度。
11-20 滑轮A 、B 重为Q 1、、Q 2，半径分别为R 、r , r ＝
2
R
。物体C 重P 。作用于A 轮上的力矩M 为一常量。试求C 上升的加速度。A 、B 轮可视为均质圆盘。
11-21 图示均质杆AB 长为l ，质量为m ，放在铅直平面内，杆的一端A 靠在光滑的铅直墙上，另一端B 放在光滑的水平地板上，并与地板面成?0角。此后，令杆由静止状态倒下，求：（1）杆在任意位置时的角速度和角加速度。（2）当杆脱离墙时，此杆与水平面的夹角。
11-22 长l ，重W 的均质杆AB 和BC 用铰链B 联结。并用铰链A 固定，位于平衡
位置如图所示。今在C 端作用一水平力F ?
，求此瞬时，两杆的角加速度。
题11-17图 题11-16图
题11-18图
题11-19图 题11-20图
题11-21图 题11-22图
动量矩定理 1２－１ 质量为m 的点在平面Ｏx ｙ内运动,其运动方程为: t b y t a x ωω2sin cos == 式中a 、b 和ω为常量。求质点对原点Ｏ的动量矩。 解:由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 t b t y v t a t x v y x ωωωω2cos 2d d sin d d ==-== 质点对点O 的动量矩为 t a t b m t b t a m x mv y mv m M m M L y x O O ωωωωωωcos 2cos 22sin )sin ()()(0??+?-?-=?+?-=+=y x v v ? t mab ωω3 cos 2= 1２-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ,质心为Ｃ，A Ｃ ＝ e ；轮子半径为Ｒ，对轴心A 的转动惯量为ＪA ;C 、Ａ、B 三点在同一铅直线上。（１)当轮子只滚不滑时，若v Ａ已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。（２)当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知,求轮子的动量和对地面上Ｂ点的动量矩。 解：(1)当轮子只滚不滑时B 点为速度瞬心。 ? 轮子角速度R v A =ω? 质心C 的速度)(e R R v C B v A C += =ω? ?轮子的动量(A C mv R e R mv p += =?方向水平向右） ?对Ｂ点动量矩ω?=B B J L ? 由于? 2 22)( )( e R m me J e R m J J A C B ++-=++= 故[ ] R v e R m me J L A A B 2 2)( ++-=? (２）当轮子又滚又滑时由基点法求得C 点速度。 e v v v v A CA A C ω+=+= 轮子动量( )(e v m mv p A C ω+==?方向向右） 对B 点动量矩 ) ( )()()( )( 2e mR J e R mv me J e R e v m J BC mv L A A A A C C B +++=-+++=+=ωωωω 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为50 m ｍ，无初速地沿倾角?=20θ的轨道滚下,设只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为s = 3 m 。试求轮子对轮心的惯性半径。 解:取轮子为研究对象,轮子受力如图(ａ）所示，根据刚体平面运动微分方程有 ? F mg ma C -=θsin ? (1) J Ｃα = Ｆr ? ?（2） 因轮子只滚不滑，所以有 a Ｃ ＝αr （3）
动量矩定理(2) 班级 学号 姓名 一、选择题 1、圆柱在重力作用下沿粗糙斜面下滚，角加速度 ；当小球离开斜面后， 角加速度 。 （1）等于零； （2）不等于零； （3）不能确定 2、OA 杆重P ，对O 轴的转动惯量为J ，弹簧的弹性系数为k ，当杆处于铅垂位置时弹 簧无变形，取位置角?及其正向如图所示，则OA 杆在铅直位置附近作微振动的运动 微分方程为 。 (1) ??? Pb ka J --=2 ； (2) ??? Pb ka J 2+= ； (3) ??? Pb ka J +-=-2 ； (4) 二、填空题 1、在质量为M ，半径为R 的均质圆环上固接一质量为m 的均质细杆AB ，位置如图，切 有60=∠CAB °。若系统在铅垂面内以角速度ω绕O 轴转动，则系统对O 轴的动量 矩的大小为 。 2、如图系统中，小球质量为m ，水平杆OA 质量不计，弹簧刚度系数为k ，图示为静 平衡位置， 则系统作微振动时的微分方程为 。 三、计算题（解题步骤：①取研究对象画受力图②运动分析③列动力学方程求解） 1、两个重物M 1和M 2的质量各为m 1与m 2，分别系在两条不计质量的绳上，如图所示。此两绳又分别围绕在半径为r 1和r 2的塔轮上。塔轮的质量为m 3，质心为O ，对轴O 的回转半径为ρ。重物受重力作用而运动，求塔轮的角加速度。 ???Pb ka J -=-2
2、图示均质圆盘的半径R=180mm ，质量m=25kg 。测得圆盘的扭转振动周期s 11=T ；当加上另一物体时，测得扭转振动周期为s 2.1 2=T 。求所加物体对于转动轴的转动惯量。 3、一刚性均质杆重200N 。A 、B 处为光滑铰链约束。当杆位于水平位置时，C 处弹簧压缩了76mm ，弹簧刚度系数为8750N/m 。试求当约束A 突然移走时，此瞬时支座B 的反力。
三）动量矩定理 下面研究质点相对于某一根指定的直线的运动，这根直线称为“轴线”．这时着重的是力矩而不是力． 1．力对于轴线的力矩 图3－1 力F对轴线AB的力矩等于力F在垂直于轴线的平面S中的投影F⊥再乘以其与轴线AB的垂直距离d（一般称之为力臂）．如果力F本身就在与AB垂直的平面内，力矩就等于F乘以F与AB的垂直距离d。力F对轴线AB的力矩记为 M， AB
AB M F =⊥ d （3．15） 通常按右手法则来规定力矩的指向，将右手的四指捏成拳状以表示力矩驱使物体转动的趋势，伸直的大拇指的指向即力矩的指向 2．对于轴线的动量矩和动量矩定理 （1）质点与轴连结． 如果质点与轴AB 相连结，则质点必在垂直于AB 的平面内作圆周运动．质点所受外力对AB 轴的力矩为 （3．16） mv 是质点的动量，R 是动量与轴AB 间的垂直距离．仿照力矩，我们将 mv 与R 的乘积称为质点对于AB 轴的动量矩（角动量） AB J ， 即 AB AB M J = （3. 17） 这就是动量矩定理． （2）转动惯量． 将上式中的 AB J 以质点绕轴转动的角速度 ω表示 2 AB J mR ω= （3. 18） 2mR 称为质点对AB 轴的转动惯量，记为I AB ，则 AB AB J I ω= 动量矩定理（3．17）即 （3．19） 式中 α是质点绕轴转动的角加速度，这与牛顿第二定律 F ma =多么相似！从这类比中还可以看出， I 与 m 相对应， I 反映绕轴转动的惯性，所以称为转动惯量． （3）质点并不与轴连结．
图3－2 所讨论的质点并不与轴AB 连结，也不一定是绕轴转圈，只是相对于轴来研究质点的运动情况．为了方便，取AB 为直角坐标系的Z 轴．如质点的动量 m v 在 xy 平面内，它相对于z 轴的动量矩为 sin z J mvr θ= （3．20） 若动量 m v 不在 xy 平面内，我们可以将它分解为与 xy 平面垂直和与 xy 平面平行的分量，其中与 xy 平面垂直的动量分量对Z 轴的动量矩为零．所以 只要考虑在 xy 平面内的动量分量． 动量矩的正负和力矩一样，也用右手法则决定，和Z 轴正指向相同者取正值，反之为负值． 由牛顿第二定律可以导出一般情况下的动量矩定理 （3．21） 这是它的微分形式． 注意在一般情况下，此定理不宜表为 M Ia =，除非质点的转动惯量I 是常数．一般说来，质点运动时，它与转轴的距离不是常数，所以I 也不是常数． 我们还可以考察力矩的时间累积效果，将上式积分一次,得 2 1 21t z z z t M dz J J =-? （3．22） 式中 1z J 与 2z J 分别表示质点在时刻 1t 及 2t 的动量矩，力矩对时间的积分称为冲量矩．这就是对z 轴动量矩定理的积分形式，适宜用来研究冲击作用．
第九章 动量矩定理 一、目的要求 1．对质点系（刚体、刚体系）的动量矩，质点系（刚体、刚体系）对某轴的转动惯量等概念有清晰的理解，熟练地计算质点系对某定点（轴）的动量矩，根据刚体（系）的运动计算刚体（系）对某点（轴）和质心的动量矩，会用定义、平行移轴定理和组合法（分割法）计算刚体对某轴的转动惯量。 2．能熟练地应用质点系的动量矩定理（包括动量矩守恒）和刚体绕定轴转动微分方程求解动力学问题。 3．会应用相对质心的动量矩定理和刚体平面运动微分方程求解动力学问题。 二、基本内容 1．质点系（刚体、刚体系）对某定点（轴）和质心的动量矩、转动惯量的概念及计算。 1）质点系对某定点（轴）及质心的动量矩 c c c i i i i i L v m r v m r v m m L )(00 ir i c i i i c v m r v m r L 为质点系对质心C 的动量矩。 z z i i i i z z L v m m v m m L ][)]([)(00 ，z 是过定点O 的轴。 2）平动刚体对某定点O 的动量矩 c c v r M L 0 3）绕定轴转动刚体对转轴z 的动量矩 z i i z J r m L )(2 4）平面运动刚体对运动平面内定点O 的动量矩 c c c J v Mr L sin 0 ir i v v ,分别为第i 个质点的绝对速度和相对于坐标原点在质心的平动坐标系的 速度，c v 为质点系（刚体、刚体系）质心的绝对速度，c z J J 、分别为刚体对转轴和质心轴的转动惯量， 为定点O 到质点系质心的矢径与质心速度的夹角， 为刚体转动的角速度。
（4）转动惯量 1）定义 dm r r m J m i i z 22 2）引入回转（惯性）半径 2z z m J z 为刚体对转轴的回转半径 3）平行轴定理 2Ml J J c z z l 为轴Z 和轴Z c 间的距离 4）组合法（分割法） n z z z z J J J J 2．主要公式 （1）动量矩定理 n i (e)i F M dt L d 1 00 )( （a ） i i i i i v m r v m m L )(00是质点系对定点O 的动量矩 n i e i i e i F r F m 1 ) ()(0)( 是外力系对O 点的主矩 （2）刚体绕定轴转动微分方程 )(i z z M dt d J F （b ） 2i i z r m J ，是刚体对转轴z 的转动惯量 （3）质点系相对于质心的动量矩定理 )()(e i c c c F M dt L d J （4）刚体平面运动微分方程
第12章 动量矩定理 通过上一章的学习我们知道动量是表征物体机械运动的物理量。但是在某些情况下，一个物体的动量不足以反映它的运动特征。例如，开普勒在研究行星运动时发现，行星在轨道上各点的速度不同，因而动量也不同，但它的动量的大小与它到太阳中心的距离之乘积—称为行星对太阳中心的动量矩，总是保持为常量，可见，在这里，行星对太阳中心的动量矩比行星的动量更能反映行星运动的特征。 在另一些情况下，物体的动量则完全不能表征它的运动。例如，设刚体绕着通过质心C 的z 轴转动。因为不论刚体转动快慢如何，质 心速度C v 总是等于零，所以刚体的动量也总是零。但是，刚体上各质点的动量大小与其到z 轴的距离的乘积之和—即刚体对z 轴的动量矩却不等于零。可见，在这里，不能用动量而必须用动量矩来表征刚体的运动。 §12-1 质点动量矩定理 例2.人造地球卫星本来在位于离地面600km h =的圆形轨道上，如图所示，为使其进入410km r =的另一圆形轨道，须开动火箭，使卫星在A 点的速度于很短时间内增加0.646km/s ，然后令其沿椭圆轨道自由飞行到达远地点B ，再进入新的圆形轨道。问：（1）卫星在椭圆轨道的远地点B 处时的速度是多少？（2）为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到达远地点B 时，应如何调整其速度？大气阻力及其它星球的影响不计。地球半径6370km R =。 图12-5 解：首先求出卫星在第一个圆形轨道上的速度，可由质点动力学方程求出。卫星运行时只受地球引力的作用，即 2 2 () R F mg R x =+ 式中x 是卫星与地面的距离。当卫星沿第一圆形轨道运动时，有
22 2 ()()v R m mg R h R h =++ 即 2 2 () gR v R h =+ （b ） 将6370km R =，600km h =，9.8m/s g =代入上式，得卫星在第一个圆形轨道上运动的速度 17.553km/s v = 所以卫星在椭圆轨道上的A 点的速度为 7.5530.6468.199km/s A v =+= 卫星在椭圆轨道上运动时，仍然只受地球引力作用，而该引力始终指向地心O ，对地以O 的矩等于零，所以卫星对地心O 的动量矩应保持为常量。设卫星在远地点B 的速度为B v ，则有 A A B B r v r v = 所以 4 63706008.199 5.715km/s 10A B A B r v v r += ?=?= 设卫星沿新的圆形轨道运行时所需的速度为2v ，则 22 2 2 4 9.86370 6.306km/s 10gR v r ?=== 由此可见，为使卫星沿着第二个圆形轨道运行，当它沿椭圆轨道到达B 点时，应再开动火箭，使其速度增加一个值 20.591km/s B B v v v ?=-= 顺便指出，在（b ）式中令0h →，就得到7.9km/s v =，这就是为使卫星在离地面不远处作圆周运动所需的速度，称为第一宇宙速度。 §12-2 质点系动量矩定理 例1.质量为1m 、半径为R 的均质圆轮绕定轴O 转动，如图所示。轮上缠绕细绳,绳端悬挂质量为2m 的物块,试求物块的加速度。均质圆 轮对于O 轴的转动惯量为211 2 O J m R =。
第十二章 动量定理和动量矩定理 本章研究的两个定理 动量定理——力系主矢量的运动效应反映； 动量矩定理——力系主矩的运动效应反映。 一．质点系质量的几何性质 1． 质心 质点系的质量中心，其位置有下式确定： m r m r i i c ∑= ∑= i m m 其投影式为 m x m x i i c ∑= , m y m y i i c ∑= , m z m z i i c ∑= 2． 刚体对轴的转动惯量 定义：∑= 2i i Z r m I 为刚体对z 轴的转动惯量或)(2 2i i i Z y x m I +=∑ 影响Z I 的因素?? ? ??是常量与刚体是固连在一起时若轴的位置有关与转轴量的分布有关与刚体的质量多少和质z I z z 单位：2kgm 物理意义：描述刚体绕z 轴时惯性大小的度量。 Z I 的计算方法： （1） 积分法 例12.1已知：设均质细长杆为l ，质量为m 。求其对于过质心且与杆的轴线垂直的轴z 的转动惯量。 解：建立如图12.2所示坐标，取微段dx 其质量为dx l m dm = ，则此杆对轴z 的转动惯
量为：12 2 2220 ml dx x l m I l z ==? 例12.2已知：如图12.3所示设均质细圆环的半径为R ，质量为m ，求其对于垂直于圆 环平面且过中心O 的轴的转动惯量。 解：将圆环沿圆周分为许多微段，设每段的质量为i m ，由于这些微段到中心轴的距离都等于半径R ，所以圆环对于中心轴z 的转动惯量为： 222mR m R R m I i i z ===∑∑ 例12.3已知：如图12.4所示，设均质薄圆板的半径为R ，质量为m ，求对于垂直于板面且过中心O 的轴z 的转动惯量。 解：将圆板分成无数同心的细圆环，任一圆环的半径为r ，宽度为dr ，质量为 rdr R m dm ππ22= ，由上题知，此圆环对轴z 的转动惯量为dr r R m dm r 32 2 2=，于是，整个圆板对于轴z 的转动惯量为： 23 02 212mR dr r R m I R z ==? （2） 回转半径（惯性半径） 设刚体对轴z 的转动惯量为Z I ，质量为m ，则由式m I z z =ρ定义的长度，称为刚 体对轴z 的回转半径。 例如：均质杆（图12.2） 122ml I z = l l 289.012 2 ==ρ 均质圆环（图12.3） 2 mR I z = R =ρ
动量矩定理 习 题 例1：单摆将质量为m 的小球用长为l 的线悬挂于水平轴上，使其在重力作用下绕悬挂轴O 在铅直平面内摆动。线自重不计且不可伸长，摆线由偏角0?时从静止开始释放，求单摆的运动规律。 解：将小球视为质点。其速度为? l v =且垂直于摆线。摆对轴的动量矩为 ()?? 2ml l ml mv m o =?= 又 ()o T m o =，则外力对轴O 之矩为 ()?sin mgl F m o -= 注意：在计算动量矩与力矩时，符号规定 应一致（在本题中规定逆时针转向为正）。 根据动量矩定理，有 ()??sin 2mgl ml t x -= d d 即 0sin =+?? l g (a) 当单摆做微幅摆动时，??≈sin ，并令l g n = 2ω 则式（a ）成为 02=+?ω? n （b ） 解此微分方程，并将运动初始条件带入，即当t=0时，0??=，00=? ，得单摆微幅摆动时的运动方程为 t n ω??cos 0= ? 由此可知，单摆的运动是做简谐振动。其振动周期为 g l T n π ωπ 22==
例2：双轴传动系统中，传动轴Ⅰ与Ⅱ对各自转轴的转动惯量为1J 与2J ，两齿轮的节圆半径分别为1R 与2R ，齿数分别为1z 与2z ，在轴Ⅰ上作用有主动力矩1M ，在轴Ⅱ上作用有阻力矩2M ，如图所示。求轴Ⅰ的角加速度。 解：轴Ⅰ与轴Ⅱ的定轴转动微分方程分别为 1111R P M J τε-= （a ） 2222R P M J τε+-= (b) 又 1 22112z z R R i === εε （c ） 以上三式联立求解，得 2 21211i J J i M M +-= ε 例3：质量为m 半径为R 的均质圆轮置放在倾角为α的斜面上，在重力的作用下由静止开始运动，设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数分别为f 、f '，不计滚动摩阻。试分析轮的运动。 解：取轮为研究对象，根据平面运动微分方程有 F mg ma c -=αsin （a ） N mg +-=αcos 0 (b) FR J c =ε (c) 由式（b ）得 αc o s mg N = (d) 情况一： 设接触处绝对光滑。则F=0,由式（a ）、(c)得 αs i n g a c = 0=ε 情况二：设接触处绝对粗糙。轮只滚不滑，做纯滚动。F 为静滑动摩擦力。 εR a c = ααεαsin 3 1 sin 32 sin 3 2 g F g R g a c = = = ∴
思 考 题 11-1 质点系的动量按下式计算： ∑∑==c v M v m K 质点系的动量矩可否按下式计算 ()()c z z z v M m v m m L ∑== 11-2 人坐在转椅上，双脚离地，是否可用双手将转椅转动 为什么 11-3 图示两轮的转动惯量相同。在图（a ）中绳的一端受拉力G ，在图（b ）中绳的一端挂一重物，重量也等于G 。问两轮的角加速度是否相同为什么 11-4 问在什么条件下，图示定滑轮（设为匀质圆盘）两侧绳索的 (a 思 考 题 思 考 题 G M 2 1 思 考 题 11-5 图 I
拉力大小才能相等 11-5 如图所示的传动系统中，轮1的角加速度按下式计算对吗 2 11 1J J M += ε 11-6 如图示，已知3/2Ml J z =，按下列公式计算' z J 对吗 22 9732Ml l M I I z z = ?? ? ??+=' 11-7 质量为M 的均质圆盘，平放在光滑的水平面上，其受力情况如图所示。试说明圆盘将如何运动设开始时，圆盘静止，图中2R r = 11-8 一半径为R 的轮在水平面上只滚动而不滑动。如不计滚动摩阻，试问在下列两种情况下，轮心的加速度是否相等接触面的摩擦力是 否相同（1）在轮上作用一顺时针转向的力偶，力偶矩为M ;（2）在轮心作用一水平向右的力P ,R M P = F F F (a (b (c 思考题11-7图 思考题
习题 11-1 计算各质点系的动量对O点的动量矩，已知a、b、c、d各均质物体重Q，物体尺寸与质心速度或绕转轴的角速度如图示。（e）、(f)中设物体A和B的重量均为P ，速度为v ，均质滑轮的重量为Q 。 11-2 如图示，均质圆盘，半径为R，质量为m。细杆长l，绕轴O 转动，角速度为ω。求下列三种情况下对固定轴O的动量矩。 （1）圆盘固结于杆；（2）圆盘绕A轴转动，相对于杆OA的角速度为ω-；（3）圆盘绕A轴转动，相对于杆OA的角速度也为ω。 11-3 小锤系于线MOA的一端，此线穿过一铅垂小管。小锤绕管轴沿半径MC＝R的圆周运动，每分钟120转。现将线段OA慢慢向下拉， 的长度，此时小锤沿半径C1M1=R/2的圆周运动。使外面的线段缩短到OM 1 求小锤沿此圆周每分钟的转数。 题 11-2图
1 质点系对某轴的动量矩等于质点系中各质点的动量对同一轴之矩的代数和。 （ ） 2 刚体的质量是刚体平动时惯性大小的度量，刚体对某轴的转动惯量则是刚体绕该轴转动时惯性大小的度量。 （ ） 3 刚体对某轴的回转半径等于其质心到该轴的距离。( ) 4 如果作用于质点系上的所有外力对固定点O 的主矩不为零，那么，质点系的动量矩一定不守恒。( ) 5 如果质点系所受的力对某点（或轴）的矩恒为零，则质点系对该点（或轴）的动量矩不变。( ) 6 图中所示已知两个均质圆柱，半径均为R ，质量分别为2m 和3m ，重物的质量为1m 。重物向下运动的速度为V ，圆柱C 在斜面上只滚不滑，圆柱O 与绳子之间无引对滑动，则系统 对O 轴的动量矩为vR m R m vR m H o 12 232 ++=ω。( ) 7 图中已知均质圆轮的半径为R ，质量为m ，在水平面上作纯滚动，质心速度为C v ，则轮子对速度瞬心I 的动量矩为R mv H c I =。( ) 1 已知刚体质心C 到相互平行的z z 、'轴的距离分别为b a 、，刚体的质量为m ，对z 轴的转动惯量为z J ，则' z J 的计算公式为__________________。
A ．2)(b a m z z ++='J J ； B ．)(2 2b a m z z -+=' J J ； Ｃ．)(2 2b a m z z --=' J J 。 2 两匀质圆盘A 、B ，质量相等，半径相同，放在光滑水平面上，分别受到F 和' F 的作用，由静止开始运动，若' F F =，则任一瞬间两圆盘的动量相比较是_____________________。 Ａ．B A p p >； Ｂ．B A p p <； Ｃ．B A p p =。 3 在一重W 的车轮的轮轴上绕有软绳，绳的一端作用一水平力P ，已知车轮的半径为R ，轮轴的半径为r ，车轮及轮轴对中心O 的回转半径为ρ，以及车轮与地面间的滑动摩擦系数为f ，绳重和滚阻皆不计。当车轮沿地面作平动时，力P 的值为_________________。 Ａ．ρ/fWR P =； Ｂ．r fWR P /=； Ｃ．r fW P /ρ=；④ fW P =。
动量、冲量及动量定理一 1.两物体质量之比为m 1∶m 2=4∶1，它们以一定的初速度沿水平面在摩擦力作用下做减速滑行到停下来的过程中 （1）若两物体的初动量相同，所受的摩擦力相同，则它们的滑行时间之比为_______； （2）若两物体的初动量相同，与水平面间的动摩擦因数相同，则它们的滑行时间之比为_______； （3）若两物体的初速度相同，所受的摩擦力相同，则它们的滑行时间之比为_______； （4）若两物体的初速度相同，与水平面间的动摩擦因数相同，则它们的滑行时间之比为_______. 2. 从高为H 的平台上，同时水平抛出两个物体A 和B ，已知它们的质量m B =2m A ，抛出时的速度v A =2v B ，不计空气阻力，它们下落过程中动量变化量的大小分别为Δp A 和Δp B ，则（ ） A.Δp A =Δp B B.Δp A =2Δp B C.Δp B =4Δp A D.Δp B =2Δp A 3.“蹦极”是一项勇敢者的运动，如图5－1－1所示，某人用弹性橡皮绳拴住身体自高空P 处自由下 落，在空中感受失重的滋味.若此人质量为60 kg ，橡皮绳长20 m ，人可看成质点，g 取10 m/s 2，求： （1）此人从点P 处由静止下落至橡皮绳刚伸直（无伸长）时，人的动量为_______； （2）若橡皮绳可相当于一根劲度系数为100 N/m 的轻质弹簧，则此人从P 处下落到_______m 时具有最大速度；（3）若弹性橡皮绳的缓冲时间为3 s ，求橡皮绳受到的平均冲力的大小. 4. 高压采煤水枪出水口的截面积为S ，水的射速为v ，射到煤层上后，水速度为零.若水的密度为ρ，求水对煤层的冲力. 5．将一质量为kg 1的物体以速度0v 抛出，若在抛出后s 5钟落地，不计空气阻力，试求此物体在落地前s 3内的动量变化。 6．玻璃杯同一高度下落下，掉在水泥地上比掉在草地上容易碎，这是由于玻璃杯与水泥地撞击的过程中（ ） A .玻璃杯的动量较大 B .玻璃杯受到的冲量较大 C .玻璃杯的动量变化较大 D .玻璃杯的动量变化较快 7．蹦床是运动员在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并做出各种空中动作的运动项目。一个质量为kg 60的运动员，从离水平网面m 2.3高处自由落下，着网后又沿竖直方向蹦回离水平网面m 0.5高处。已知运动员与网接触的时间为s 2.1，若把这段时间内网对运动员的作用力当作恒力来处理，求此力的大小。 8.如图1所示，质量为M 的小车在光滑的水平面上以速度0v 向右做匀速直线运动，一个质量为m 的小球从高h 处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度为仍为h 。设M ?m ，发生碰撞时弹力N F ?mg ，小球与车之间的动摩擦因数为μ，则小球弹起时的水平速度可能是 A .0v B .0 C .gh 22μ D .-v 0 9.一个质量为m=2kg 的物体,在F 1=8N 的水平推力作用下,从静止开始沿水平面运动了t 1=5s,然后推力减小为F 2=5N,方向不变,物体又运动了t 2=4s 后撤去外力,物体再经 过t 3=6s 停下来。试求物体在水平面上所受的摩擦力。 10.质量是60kg 的建筑工人，不慎从高空跌下，由于弹性安全带的保护作用，最后使人悬挂在空中．已
动量矩定理 12-1 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为: x a cos t y bsin2 t 式中a 、b 和 为常量。求质点对原点 O 的动量矩。 解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 V x dx sin t dt a V y dy 2b cos2 t 质点对点 O 的动量矩为 L O M o (mV x ) M 0( mV y ) mv x y mv y x m ( a sin t) bsin2 t m 2b cos2 t acos t 2mab cos 3 t 12-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。 轮子轴心为A,质心为C, AC = e ；轮子半径为 R,对轴心A 的转动惯量为J A ； C 、A 、B 三点在同一铅直线上。（1 ）当轮子只 滚不滑时，若 V A 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。（2）当轮子又滚又滑时， 若V A 、 已知，求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。 解：（1）当轮子只滚不滑时 B 点为速度瞬心。 轮子角速度 V A R 质心C 的速度V C BC R e 轮子的动量 p mv C mv A (方向水平向右) R 对B 点动量矩L B J B 2 2 2 由于 J B J C m (R e) J A me m (R e) 故 L B J A me 2 m （R e ）2 食 （2）当轮子又滚又滑时由基点法求得 C 点速 度。 V C V A V CA V A e 轮子动量 p mv C m(v A e) （方向向右） 对B 点动量矩 L B mv C BC J C m(v A 2 e) (R e) (J A me) mv A (R e) (J A mRe) 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为 50 mm 无初速地沿倾角 20的轨道滚下，设 只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为 s =3m 。试求轮子对轮心的惯性半径。 解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（ a ）所示，根据刚体平面运动微分方程有 ma C mgsi n F （ 1） J C = Fr （ 2） 因轮子只滚不滑，所以有 a c = r （ 3） ? 12
习 题 11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。 t a x v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-= )cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω?+?= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω?+?= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω?+?= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2= 11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。 图11-25 (1) θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =?= θω22sin 2l m L z = (2) θθ220 2sin 3 2d )sin (2ml x x l m J l z ==?杆 θ22sin 3 8 ml J z = θ ω22sin 3 8 l m L z = 11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。 图11-26 (a) ω23 1ml L O = (b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29 1ml L O -=
第十二章 动量矩定理 一、填空题 1．如下（1）图所示，在提升重为Ｇ的物体Ａ时，可在半径为ｒ的鼓轮上作用一力偶Ｍ。已知鼓轮对轴Ｏ的转动惯量为Ｉ，某瞬时鼓轮的角加速度为α，则该瞬时，系统对轴Ｏ的动量矩定理可写成______________。 2．如下（2）图所示，轮Ｂ由系杆ＡＢ带动在固定轮Ａ上无滑动滚动，两圆的半径分别为Ｒ，ｒ。若轮Ｂ的质量为ｍ，系杆的角速度为ω，则轮Ｂ对固定轴Ａ的动量矩大小是_______________。 3．图（3）中匀质圆盘在光滑水平面上作直线平动，图（4）中匀质圆盘沿水平直线作无滑动滚动。设两圆盘的质量皆为ｍ，半径皆为ｒ，轮心Ｏ速度皆为ｖ，则图示瞬时，它们各自对轮心Ｏ和对与地面接触点Ｄ的动量矩分别为：（3）ＬO ＝___________ ；ＬD ＝_____________________； （4）ＬO ＝_____________；ＬD ＝_____________________。 二、选择题 1．如下图（1）所示，已知两个匀质圆轮对转轴转动惯量分别为I Ａ，I Ｂ，半径分别为ＲＡ，ＲＢ，作用在Ａ轮上的转矩为Ｍ，则系统中Ａ轮角加速度的大小为（ ）。 2 2A 2 2B 2 A A B A A 222A D C I I M B A B A B A B A A B B R I R I MR I M R I R I MR +==+=+=αααα、；、；、；、 2．如下图（2）所示，两匀质细杆ＯＡ和ＢＣ的质量均为ｍ ＝ ８ｋｇ，长度均为ｌ ＝ ０．５ｍ， 固连成图所示的Ｔ字型构件，可绕通过点Ｏ的水平轴转动。当杆ＯＡ处于图示水平位置时，该构件的角速度ω ＝ ４ｒａｄ／ｓ。则该瞬时轴Ｏ处反力的铅垂分力ＮＯｙ的大小为（ ）。 Ａ．ＮＯ=２４．５Ｎ；Ｂ．ＮＯ=３２．３Ｎ；Ｃ．ＮＯ=７３．８Ｎ；Ｄ．ＮＯ=１５６．８Ｎ 3．如果把下图（3）中重为G A 的物体换为图（4）所示的力G A ，在这两种情况下，若把匀质滑轮的角加速度ε１和ε２的大小比较，则有（ ）。 A ． ε１ ＜ ε； B ． ε１ ＞ ε； C ． ε１ ＝ ε２ (1) (2) (3) (4) (1) (2) (3) (4)
动量定理与动量守恒定律·典型例题解析 【例1】 在光滑的水平面上有一质量为2m 的盒子，盒子中间有一质量为m 的物体，如图55－1所示．物体与盒底间的动摩擦因数为μ现给物体以水平速度v 0向右运动，当它刚好与盒子右壁相碰时，速度减为 v 02 ，物体与盒子右壁相碰后即粘在右壁上，求： (1)物体在盒内滑行的时间； (2)物体与盒子右壁相碰过程中对盒子的冲量． 解析：(1)对物体在盒内滑行的时间内应用动量定理得：－μmgt ＝ m mv t 0·－，＝v v g 0022 (2)物体与盒子右壁相碰前及相碰过程中系统的总动量都守恒，设碰 撞前瞬时盒子的速度为，则：＝＋＝＋．解得＝，＝．所以碰撞过程中物体给盒子的冲量由动量定理得＝－＝，方向向右． v mv m v 22mv (m 2m)v v v I 2mv 2mv mv /61001212210v v 0043 点拨：分清不同的物理过程所遵循的相应物理规律是解题的关键． 【例2】 如图55－2所示，质量均为M 的小车A 、B ，B 车上 挂有质量为的金属球，球相对车静止，若两车以相等的速率M 4 C C B 1.8m/s 在光滑的水平面上相向运动，相碰后连在一起，则碰撞刚结束时小车的速度多大？C 球摆到最高点时C 球的速度多大？ 解析：两车相碰过程由于作用时间很短，C 球没有参与两车在水平方向的相互作用．对两车组成的系统，由动量守恒定律得(以向左为正)：Mv －Mv ＝
2Mv 1两车相碰后速度v 1＝0，这时C 球的速度仍为v ，向左，接着C 球向左上方摆动与两车发生相互作用，到达最高点时和两车 具有共同的速度，对和两车组成的系统，水平方向动量守恒，＝＋＋，解得＝＝，方向向左．v C v (M M )v v v 0.2m /s 222M M 4419 点拨：两车相碰的过程，由于作用时间很短，可认为各物都没有发生位移，因而C 球的悬线不偏离竖直方向，不可能跟B 车发生水平方向的相互作用．在C 球上摆的过程中，作用时间较长，悬线偏离竖直方向，与两车发生相互作用使两车在水平方向的动量改变，这时只有将C 球和两车作为系统，水平方向的总动量才守恒． 【例3】 如图55－3所示，质量为m 的人站在质量为M 的小车的右端，处于静止状态．已知车的长度为L ，则当人走到小车的左端时，小车将沿光滑的水平面向右移动多少距离？ 点拨：将人和车作为系统，动量守恒，设车向右移动的距离为s ，则人向左移动的距离为L －s ，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得M ·s －m(L －s)＝0，从而可解得s ．注意在用位移表示动量守恒时，各位移都是相对地面的，并在选定正方向后位移有正、负之分． 参考答案 例例跟踪反馈．．．；；．×·3 m M +m L 4 M +m M H [] 1 C 2h 300v 49.110N s 04M m M 【例4】 如图55－4所示，气球的质量为M 离地的高度为H ，在气球下方有一质量为m 的人拉住系在气球上不计质量的软绳，人和气球恰悬浮在空中处于静止状态，现人沿软绳下滑到达地面时软绳的下端恰离开地面，求软绳的长度．
三 动量定理的应用 姓名 一、选择题（每小题中至少有一个选项是正确的） 1、在下列各种运动中，任何相等的时间内物体动量的增量总是相同的有（ ） A 、匀加速直线运动 B 、平抛运动 C 、匀减速直线运动 D 、匀速圆周运动 2、质量为5 kg 的物体，原来以v=5 m/s 的速度做匀速直线运动，现受到跟运动方向相同的冲量15 N ·s 的作用，历时4 s ，物体的动量大小变为 ( ) A.80 kg ·m/s B.160 kg ·m/s C.40 kg ·m/s D.10 kg ·m/s 3、用力拉纸带，纸带将会从重物下抽出，解释这些现象的正确说法是：（ ） A 、在缓慢拉动纸带时，纸带给物体的摩擦力大； B 、在迅速拉动纸带时，纸带给物体的摩擦力小； C 、在缓慢拉动纸带时，纸带给重物的冲量大； D 、在迅速拉动纸带时，纸带给重物的冲量小． 4、从同一高度的平台上，抛出三个完全相同的小球，甲球竖直上抛，乙球竖直下抛，丙球平抛．三球落地时的速率相同，若不计空气阻力，则（ ） A 、抛出时三球动量不是都相同，甲、乙动量相同，并均不小于丙的动量 B 、落地时三球的动量相同 C 、从抛出到落地过程，三球受到的冲量都不同 D 、从抛出到落地过程，三球受到的冲量不都相同 5、若质量为m 的小球从h 高度自由落下，与地面碰撞时间为 ，地面对小球的平均作用力大小为F ，则在碰撞过程中（取向上的方向为正）对小球来说（ ） A 、重力的冲量为 B 、地面对小球的冲量为 C 、合力的冲量为 D 、合力的冲量为 6、一物体竖直向上抛出，从开始抛出到落回抛出点所经历的时间是t,上升的最大高度是H ，所受空气阻力大小恒为F,则在时间t 内 A.物体受重力的冲量为零 B.在上升过程中空气阻力对物体的冲量比下降过程中的冲量 小 C.物体动量的增量大于抛出时的动量 D.物体机械能的减小量等于FH 7.恒力F 作用在质量为m 的物体上，如图8—1所示，由于地面对 物体的摩擦力较大，没有被拉动，则经时间t ，下列说法正确的是 A.拉力F 对物体的冲量大小为零 B.拉力F 对物体的冲量大小为Ft C.拉力F 对物体的冲量大小是Ftcos θ D.合力对物体的冲量大小为零 *8、物体在恒定的合力F 作用下作直线运动，在时间Δt 1内速度由0增大到v ，在时间Δt 2内速度由v 增大到2v 。设F 在Δt 1内做的功W 1，冲量是I 1；在Δt 2内做的功W 2，冲量是I 2。那么 （ ） A ．I 1 第17章 动量定理和动量矩定理总结
第17章 动量定理和 动量矩定理
工程力学学习指导 第17章 动量定理和动量矩定理 17.1 教学要求与学习目标 1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。 2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。 3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。 4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。 5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。 6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。 7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。 17.2 理 论 要 点 17.2.1 质点系的动量 质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。即 i i i m v p ∑=
质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即 ?? ?? ? ?? ?? ===∑∑∑i iz i z i iy i y i ix i x v m p v m p v m p 质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即 C m v p = 这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述了其质心的运动。 上述动量表达式对于刚体系也是正确的。 17.2.2 质点系动量定理 质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。其微分形式为 (e)(e)R d d i i t ==∑p F F 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。式中(e)i i ∑F 或 (e)R F 为作用在质点系上的外力系主矢。 质点系动量定理的积分形式，也称为质点系的冲量定理，即 2 1 (e)(e)21d t i i t i i t ?==∑∑∫p p F I 质点系动量在某时间间隔内的改变量等于质点系所受外力冲量。此式将广 泛应用于求解碰撞问题。 17.2.2 动量守恒定理 1. 质点系动量守恒定理 当外力主矢恒等于零，即(e)R 0=F 时，质点系的动量为一常矢量。即 112C p p == 式中1C 是常矢量，由运动的初始条件决定。 2. 质点系动量在某轴上的投影守恒 质点系的动量定理实际应用时常采用投影式，即
y x 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：23t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|2 2m x t C =?== )(1624|22m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,= ??=
平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c 1 O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4) 4(R W 412222,+= ?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443( 2 2 2 g WR g Wl g Pl L z ++= ω4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω211ml J L z O O == 解：)(b → → → →?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： )(11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω