二次函数常见形式图象及性质形式通用解析式顶点坐标对称轴举例图例开口方向增减性
一般
形式
)0
(
2
≠
+
+
=
a
c
bx
ax
y
(
a
b
2
-，
a
b
ac
4
42
-
)
直线
a
b
x
2
-
=
3
12
32-
+
-
=x
x
y
当a > 0时，
开口向上，
抛物线有
最低点，当
自变量取
顶点横坐
标时，函数
有小值是
顶点纵坐
标的值。
对称轴左侧：
图像从左到右逐渐下降，
y随x的增大而减小
顶
点
式
)0
(
)
(2
≠
+
-
=
a
k
h
x
a
y(h
，)k直线h
x=2
)2
(
2
1
2-
+
=x
y
对称轴右侧：
图像从左到右逐渐上升，
y随x的增大而增大当0
≠
h，0
=
k时
)0
(
)
(2
≠
-
=
a
h
x
a
y(h，)0直线h
x=2)2
(
4
1
+
-
=x
y
当0
=
h，0
≠
k时
)0
(
2
≠
+
=
a
k
ax
y(0，)k直线0=x
即：y轴
3
3
1
2+
=x
y
当a < 0时，
开口向下，
抛物线有
最高点，当
自变量取
顶点横坐
标时，函数
有最大值
是顶点纵
坐标的值。
对称轴左侧：
图像从左到右逐渐上升，
y随x的增大而增大当0
=
h，0
=
k时
)0
(
2
≠
=
a
ax
y(0，)0直线0=x
即：y轴
2
3x
y-
=
对称轴右侧：
图像从左到右逐渐下降，
y随x的增大而减小
交
点
式
)0
(
)
)(
(
2
1
≠
-
-
=
a
x
x
x
x
a
y
?
?+
2
2
1
x
x
，??
?
?
-
-
4
)
(2
2
1
x
x
a
直线
2
2
1
x
x
x
+
=
)1
)(
2
(2+
-
=x
x
y
二次函数图象的对称关系：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
关于X轴对称的是抛物线)0
(
)
(2≠
-
-
-
=a
k
h
x
a
y
关于Y轴对称的是抛物线)0
(
)
(2≠
+
+
=a
k
h
x
a
y
关于原点对称的是抛物线)0
(
)
(2≠
-
+
-
=a
k
h
x
a
y
关于顶点对称的是抛物线)0
(
)
(2≠
+
-
-
=a
k
h
x
a
y
关于点()
m n
，对称的是抛物线)0
(
2
)
2
(2≠
-
+
-
+
-
=a
k
n
m
h
x
a
y
关于X 轴对称的是抛物线)0(2
≠---=a c
bx ax y 关于Y 轴对称的是抛物线)0(2
≠+-=a c bx ax y 关于原点对称的是抛物线)0(2
≠-+-=a c
bx ax y
关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
二次函数图像进行平移变换时，解析式的变化规律：
平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，
； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处 方法二：
⑴c bx ax y ++=2
沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成m c bx ax y +++=2
（或m c bx ax y -++=2
）
⑵c bx ax y ++=2
沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成c m x b m x a y ++++=)()(2
（或c m x b m x a y +-+-=)()(2
）
二次函数2y ax bx c =++图象的画法
每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的顶点。顶点是抛物线的最高点或最低点。抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称。
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，
、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
若抛物线与X 轴有两个交点，则两交点之间到对称轴距离越近的点，纵坐标的绝对值越大；两交点外到对称轴距离越近的点，纵坐标绝对值越小；再结合纵坐标正负性就可
以比较其函数值Y 的大小；
完成二次函数图像分析题，应该从以下几个方面入手： 1、 开口方向决定a 的正负性：
2、 对称轴与Y 轴的位置关系决定b 的正负性：左同右异；若对称轴是X ＝－1，则02=-b a ，若对称轴是X ＝－1，则02=+b a ，还可以根据开口方向，结合对称
轴坐标a
b 2-
的取值范围，得出b 与2a 的大小关系；
3、 与Y 轴的交点位置决定c 的正负性：
4、 与X 轴的交点个数决定?的正负性：
5、 根据抛物线的对称性，知道其与X 轴两个交点中一个交点的横坐标和对称轴时，利用
a
b
x x 22
2
1-
=+可以确定与X 轴的另一个交点的横坐标。 6、 根据与X 轴交点的横坐标，可以确定在不同的自变量取值范围内，函数值Y 的正负性。
用二次函数解决实际问题时，当二次函数顶点不在取值范围内时，其最值就不能由顶点坐标决定，要结合图象和自变量取值范围考虑。
利用待定系数法求二次函数解析式：
1、待定系数法基本步骤：一设、二代、三解、四写；
2、根据题目提供的条件，合理选择表达式： ①已经抛物线上三个点的坐标，通常设为一般形式：)0(2
≠++=a c
bx ax y ；
②已知抛物线的顶点坐标时，通常设为顶点式：当顶点为(h ，)k 时，设为)0()(2
≠+-=a k h x a y 当顶点为(h ，)0时，设为)0()(2
≠-=a h x a y
当顶点为(0，)k 时，设为)0(2
≠+=a k
ax y
当顶点为(0，)0时，设为)0(2
≠=a ax
y
③已知抛物线与X 轴的交点时，通常设为交点式：当抛物线与X 轴有两个交点(1x ，)0、(2x ，)0时，设为)0())((21≠--=a x x x x a y
当抛物线与X 轴只有一个交点(1x ，)0时，设为)0()
(2
1≠-=a x x a y
典型例题：
①已知抛物线经过（－1，2）、（0，1）、（2，－7）三点，求抛物线解析式；（注意：并不是任意三点都能确定一条抛物线）
②已知抛物线顶点坐标为（－1，3），与Y 轴的交点是（0，2），求抛物线解析式；（注意：k h ，前面的符号，防止符号错误；最后结果可以保留顶点式；） ③已知四点A （1，2）B （0，6）C （－2，20）D （－1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式，如果不存在，请说明理由。（提示：先用待定系数法求出经过其中三点的抛物线解析式，再将第四个点代入验证即可。）
二次函数图象特征与相应的一元二次方程的根的关系：
①抛物线与X 轴有两个交点（1x ，0）（2x ，0）：方程有两个实数根1x 和2x ；且对称轴是2
2
1x x x +=
②抛物线的顶点在X 轴上：方程有两个相等的实数根； ③抛物线与X 轴无交点：方程无实数根； ④抛物线过原点：方程有一个根为0；
⑤抛物线与X 轴有两个交点且对称轴是Y 轴：方程两根互为相反数； ⑥抛物线与X 轴的交点分别位于原点两侧：方程两根异号；
⑦抛物线与X 轴的交点都在X 轴正半轴上：方程有两个正数根； ⑧抛物线与X 轴的交点都在X 轴负半轴上：方程有两个负数根； 注意：①、二次函数的定义是关于x 的二次整式，切不可把31
2
++
=x
x y 这类的函数也当成二次函数。 ②、自变量x 的取值范围是全体实数，但在实际问题中应考虑其实际意义。
③、二次项系数a 的绝对值决定抛物线开口大小：a 越大，抛物线开口越小，抛物线越靠近Y 轴。 函数c bx ax y ++=2
（c b a 、、是常数）， 当0≠a 时，是二次函数；
当000≠≠=c b a ，，时，是一次函数c bx y +=； 当000=≠=c b a ，，时，是正比例函数bx y =； 当00==b a ，时，是常值函数c y =
要使一个式子中的某一项不存在，只需要使该项的系数为0即可。
抛物线c bx ax y ++=2
可以通过配方转化成顶点式a b ac a b x a y 44)2(22-++=的形式，因此c bx ax y ++=2
的对称轴是a b x 2-=，顶点坐标是（a
b 2-，a b a
c 442-），即a
b
h 2-=，a b ac k 442-=
一次函数的图象及性质形
式
解析式
b的
正负性
交Y轴
k的正负性
>
k0
<
k
一
般
形
式
b
kx
y+
=
（b
k、是常
数，0
≠
k）
>
b于正半轴
<
b与负半轴
正
比
例
函
数
kx
y=(0
≠
k) 0
=
b于原点
性
质
一次函数的图
象是直线；
正比例函数是
一次函数的特
殊类型。
与Y轴交于点（b
，
0），
与X轴交于点（0，
k
b
-）
正比例函数图象经过原
点（0，0）
>
k，直线向右倾斜，
图象从左到右上升，
y随x的增大而增大。
<
k，直线向左倾斜；
图象从左到右下降，
y随x的增大而减小。
k的正负性决定直线的倾斜方向
k的绝对值决定直线的倾斜程度，
k的绝对值越大，图象倾斜度越小，越靠近Y轴，
k的绝对值越小，图象倾斜度越大，越靠近X轴；
反比例函数的图象和性质
解析式
x
k
y=或1-
?
=x
k
y（0
0≠
≠
≠y
x
k，
，）
k的正负性
决定双曲线所在的象限
>
k0
<
k
图象
性质
>
k,双曲线分布于第一、三象限；
图象在每个象限内都从左到右下降，
y随x的增大而减小。
<
k，双曲线分布于第二、四象限；
图象在每个象限内都从左到右上升，
y随x的增大而减小。
∵0
0≠
≠
≠y
x
k，
，，∴双曲线与坐标轴永不相交。
k的绝对值决定双曲线到原点的距离，k越大，图象距离原点越远。
把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式,然后作出它们的图像,找出两图像的
交点,即可知方程组的解.
1、作图法解方程具体方法
用作图的方法解二元一次方程组，一
般有下列几个步骤：（1）将相应的二元一
次方程改写成一次函数的解析式；（2）在
同一平面直角坐标系内作出这两个一次函
数的图象；（3）找出图象的交点坐标，即
得二元一次方程组的解。
2、有交点
在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解。反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点。
3、无交点
当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在平面直角坐标系中的图象就没有交点，即两个一次函数图象平行。反过来，当两个一次函数图象平行时，相应的二元一次方程组就无解。如二元一次方程组3x-y=5，3x-y=-1无解，则一次函数y=3x－5与y=3x+1的图象平行，反之也成立。
4、方程组确定解析式
在实际应用中，常常利用待定系数法构造二元一次方程组，从而确定一次函数的解析式。
例：某航空公司规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数。现知王芳带了30 kg的行李，买了50元行李票。李刚带了40 kg的行李，买了100元行李票。那么，乘客最多可免费携带多少千克的行李？
解答：依题意，可设一次函数的解析式为y=kx+b。则可得二元一次方程组50=30k+b，100=40k+b。解得k=5，b=-100，即一次函数的解析式是y=5x－100。当x=20时，y=0。所以乘客最多可免费携带20 kg的行李。
一次函数的应用
一、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。
二、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数
三、概括整合