《圆周角》教案 教学目标： 一．知识技能 1．理解圆周角概念，理解圆周用与圆心角的异同； 2．掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征； 3．能灵活运用圆周角的性质解决问题； 4．使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理； 5．使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题． 教学重点： 1．圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． 2．圆内接四边形的性质定理． 教学难点： 1．发现并证明圆周角定理． 2．理解“内对角”这一重点词语的意思． 教学过程： 一．创设情景 如图是一个圆柱形的海洋馆，在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗⌒ AB观看窗内的海洋动物．大家请看海洋馆的横截面的示意图，想想看：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着下班窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗？ 二．认识圆周角． 1．观察∠ACB、∠ADB、∠AEB，这样的角有什么特点？ 2．给出定义，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．(注意两点：1．角的顶点在圆上；2．角的两边都与圆相交，二者缺一不可．) 3．辩一辩，图中的∠CDE是圆周角吗？引导学生识别，加深对圆周角的了解．
4．圆周角与圆心角的联系和区别是什么？ 三．探究圆周角的性质． 1．如图所示图中，∠AOB=180°，则∠C等于多少度呢？从中你发现了什么？(推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．可用圆周角定理说明．) B 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°，求∠APC的度数． 解：连接BC，则∠ACB=90°， ∠DCB=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°． 又∵∠BAD=∠DCB=30°，∴∠APC=∠BAD+∠ADC=30°+70°=100°． 2．在下图中，同弧⌒ AB所对的圆周角有哪几个？观察并测量这几个角，你有什么发现？大胆说出你的猜想．同弧⌒ AB所对的圆心角是哪个角？观察并测量这个角，比较同弧所对的圆周角你有什么发现呢？大胆说出你的猜出想． 3．由学生总结发现规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半，教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现． 四．证明圆周角定理及推论． 1．问题：在圆上任取一个圆周角，观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况？ 2．学生自己画出同一条弧的圆心角和圆周角，将他们画的图归纳起来，共有三种情况：①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部．如下图
《圆周角》 《圆周角》这节内容是在学生学习了圆心角、弧、弦之间关系的基础上的延续，圆周角 定理在圆的有关证明、作图、计算中应用十分广泛。本节内容既可以巩固圆心角与弧、弦之间的关系，又为后面研究圆与其它几何图形的关系提供了条件。 圆周角定理及其推论是本章的重点内容之一，圆周角定理的分情况证明是本章的教学难点。教材一开始先给出圆周角的概念，紧接着安排了一个探究活动，从介绍圆周角概念的图形出发，让学生探究同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系，然后分三种情况证明定理。通过对圆周角定理的探讨，达到培养学生严谨的思维品质的目的。同时，还可以让学生掌握从特殊到一般以及分类讨论的思维方法。 圆内接四边形的四个内角都是圆周角，利用圆周角定理可以把圆的内接四边形的四个内角和相应的圆心角联系起来，得到圆内接四边形的性质，圆内接四边形的性质在圆中探索相关角相等或互补时常常用到。 【知识与能力目标】
1、理解圆周角的概念； 2、掌握圆周角定理及其推论； 3、能运用圆周角定理及其推论进行简单计算和证明； 4、掌握圆内接四边形的相关概念以及圆内接四边形的性质定理。 【过程与方法目标】 在探索圆周角和圆心角的关系的过程中，让学生学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想来解决问题。 【情感态度价值观目标】 在探索圆周角定理过程中，帮助学生树立运动变化和对立统一的辩证唯物主义观点，增强学好数学的信心。 【教学重点】 圆周角定理及其推论。 【教学难点】 圆周角定理证明方法的探讨。 多媒体课件、教具等。 一、创设情境，引入新课 问题1 在圆中，满足什么条件的角是圆心角？ 顶点在圆心的角叫做圆心角。 问题2 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间有什么关系？ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。 问题3 足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练。如图，甲、乙两名运动员分别在C、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB的张角大。如果请你来评判，你知道他们的位置对球门AB的张角大小吗？
教学设计
1. 探究活动一：圆周角概念 角的顶点在圆上，角的两边与圆的位置关系都有哪些类型？ 请同学们尝试画一画. O O 2.圆周角：我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角. 如图，∠ACB为⊙O的圆周角, 所对的弦为AB, AB 3.练习：判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由：
P 2，P 3，得到三个圆周角∠MP 1N ，∠MP 2N ，∠MP 3N ，分别测量这三个角的角度，并记录下来. ∠MP 1N=__________， ∠MP 2N=_________， ∠MP 3N=_________. 发现：当点P 在优弧MN 上运动时，∠P 始终是55°， 当点P 在劣弧MN 上运动时，∠P 变为125°. 2. 探究活动三：圆周角与圆心的位置关系. 通过观察得到点P 在优弧MN 上的三种位置关系： 即圆心在圆周角外，圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角内。 3. 探究活动四：圆周角与圆心角的关系. 分别证明这三个位置中，圆心角与圆周角的关系 （1）圆心在圆周角的一边上 O M N O M N O M N O M N O M N O M N 证明：∵ OA=ON ， ∴ ∠A =∠N ． 又∵ ∠MON 是△AON 的外角, ∴ ∠MON =∠A +∠N ， ∴ ∠MON =2∠A ，
（2）圆心在圆周角内 （3）圆心在圆周角外 4. 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 如图，∠P 是MN 所对的圆周角， ∠O 是MN 所对的圆心角, ∴∠P =1 ∠O . 证明：连接BO 并延长，交⊙O 于点E. ∵∠1=1 2∠3, ∠2=12∠4, 证明：连接CO 并延长，交⊙O 于点F . ∵∠1=1 2∠3, ∠OCN =1 2∠FON ,
初中数学人 教版九年级 上册实用资 料 作课类别 课题24.1.4圆周角定理课型新授教学媒体多媒体 教学目标知识 技能 1.了解圆周角的概念，理解圆周角的定理及其推论． 2.熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用． 3.体会分类思想. 过程 方法 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证 明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推论解决问题． 情感 态度 激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 教学重点圆周角定理、圆周角定理的推导及运用它们解题． 教学难点运用数学分类思想证明圆周角的定理． 教学过程设计 教学程序及教学内容师生行为设计意图 一、导语上节课我们学习了圆心角、弧、弦之间的关系定理，如果角的顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探究新知 （一）、圆周角定义 问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设EF 是球门，?设球员们只能在所在的⊙O其它位置射 门，如图所示的A、B、C点．观察∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的共同特点是什么？ 得到圆周角定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 分析定义：○1圆周角需要满足两个条件； ○2圆周角与圆心角的区别 （二）、圆周角定理及其推论 1.结合圆周角的概念通过度量思考问题： ○1一条弧所对的圆周角有多少个？ ②同弧所对的圆周角的度数有何关系？ ③同弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系吗？ 2.分情况进行几何证明教师联系上节课所学知 识，提出问题，引起学生 思考，为探究本节课定理 作铺垫 学生以射门游戏为情境， 通过寻找共同特点，总结 一类角的特点，引出圆周 角的定义 学生比较圆周角与圆心 角，进一步理解圆周角定 义 教师提出问题，引导学生 思考，大胆猜想.得到： 1一条弧上所对的圆周角 有无数个．2通过度量，同 从具体生活情境 出发，通过学生 观察，发现圆周 角的特点 深化理解定义 激发学生求知 欲，为探究圆周 角定理做铺垫.
3.5圆周角 教学目标: 1.经历探索圆周角定理的另一个推论的过程. 2.掌握圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的 圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等” 3.会运用上述圆周角定理的推论解决简单几何问题. 重点: 圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等” 难点:例3涉及圆内角与圆外角与圆周角的关系,思路较难形成,表述也有一定的困难 例4的辅助线的添法. 教学过程: 一、旧知回放: 1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征：①角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交. 2、圆心角与所对的弧的关系 3、圆周角与所对的弧的关系 4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系 圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
二. 课前测验 1.100o的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。 2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。 3、如图，在⊙O 中，∠BAC=32o，则∠BOC=________。 4、如图，⊙O 中，∠ACB = 130o，则∠AOB=______。 5、下列命题中是真命题的是（ ） （A ）顶点在圆周上的角叫做圆周角。 （B ）60o的圆周角所对的弧的度数是30o （C ）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。 （D ）120o的弧所对的圆周角是60o 三, 问题讨论 问题1、如图1,在⊙O 中,∠B,∠D,∠E 的大小有什么关系?为什么? 问题2、如图2，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任一点，你能确定∠BAC 的度数吗? 问题3、如图3，圆周角∠BAC =90o，弦BC 经过圆心O 吗？为什么？ A O C B A O C ● O B A C D E ● O B C A 图3
24.1.4 圆周角 【知识与技能】 理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系,并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 【过程与方法】 经历探索圆周角定理的过程,初步体会分类讨论的数学思想,渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法,提高学生的发散思维能力. 【情感态度】 通过积极引导,帮助学生有意识地积累活动经验,获得成功的体验. 【教学重点】 圆周角定理及其推论的探究与应用. 【教学难点】 圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及 圆周角定理及推论的应用. 一、情境导入,初步认识 如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O的位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C,他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？ ［相同,2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB］ 【教学说明】教师出示海洋馆图片,引导学生思考,引出课题,学生观察图形、分析,初步
感知角的特征. 二、思考探究,获取新知 1.圆周角的定义 探究1 观察下列各图,图（1）中∠APB的顶点P在圆心O的位置,此时∠APB叫做圆心角,这是我们上节所学的内容.图（2）中∠APB的顶点P在⊙O上,角的两边都与⊙O相交,这样的角叫圆周角.请同学们分析（3）、（4）、（5）、（6）是圆心角还是圆周角. 【教学说明】设计这样的一个判断角的问题,是再次强调圆周角的定义,让学生深刻体会定义中的两个条件缺一不可. 【归纳结论】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.二者缺一不可. 2.圆周角定理 探究2如图,（1）指出⊙O中所有的圆心角与圆周角,并指出这些角所对的是哪一条弧？ （2）量一量∠D、∠C、∠AOB的度数,看看它们之间有什么样的关系？ （3）改变动点C在圆周上的位置,看看圆周角的度数有没有变化？你发现其中有规律吗？若有规律,请用语言叙述.
拓展延伸：圆周角定理 综合运用 一、利用圆周角定理计算线段的长度，证明线段相等或线段成比例 有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等，要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，要证线段成比例可以利用圆周角定理将其转化为证明三角形相似，这是重要的解题思路． 例如，如图，AB 是半圆的直径，C为弧AE的中 点，CD⊥AB 于D交AE于F，求证：AF＝CF. 方法一：欲证AF＝CF，只需证∠ACD＝∠CAE，所以只需证这两个角所对的弧相等即可．又因为∠CAE 所对的弧为CE，所以只要画出整个圆找到∠ACD 所对的弧即可． 如图，延长CD 交⊙O 于H，连接AC，BC. ∵CD⊥AB，AB 是直径， ∴∠ACD＝∠ABC. = ∴AC AH ∵C为AE的中点 = ∴CE AC ∴CE AH = ∴∠CAE＝∠ACD. ∴AF＝CF. 方法二：如图，欲证∠CAE＝∠ACD，连接OC后，得到 ∠CAO＝∠ACO(因为OC＝OA)，故只需证∠EAO＝∠OCD， 因CD⊥AB，只需证OC⊥AE，由C为AE的中点，便有 OC⊥AE. 再如：已知△ABC 是圆内接正三角形，M是弧BC上的一点(如图)．求证：
MA=MB ＋MC. 要证明一条线段MA 等于两条线段 MB 和 MC 之和， 可将 MA 分为两段， 其中一段 MD 等于已知线段 MC ，再去证明另一段 AD 等于已知线段 MB. 如图，在 MA 上取点D ，使 MD ＝MC. ∵△ABC 为正三角形， ∴∠1＝∠2＝60°.∴△MDC 是正三角形．∴CD ＝MC. 在△ADC 和△BMC 中， 34120AC BC ADC BMC ?∠=∠?=??∠=∠=? ∴△ADC ≌△BMC. ∴AD ＝BM.∴MA ＝MB ＋MC. 二、圆周角的性质的灵活运用 本节的探索性问题以考查我们对圆周角的性质的灵活运用为主，有利于培养我们的探索能力，解决这类问题要善于把握住本质，采用各种变通的方式来探索和分析． 例如，如图，已知直线AB 交圆于A 、B 两点，点M 在圆上，点P 在圆外，且点M 、P 在AB 的同侧，∠AMB ＝35°，设∠P ＝x ，当点 P 移动时，求 x 的变换范围，并说明 理由． 0° 九年级数学圆周角定理易错题总结（含答案） 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，BD，点E 在AD的延长线上，下列说法正确的是() A. 若DC平分∠BDE，则AB=BC B. 若AC平分∠BCD，则AB2=AM?MC C. 若AC⊥BD，BD为直径，则BC2+AD2=AC2 D. 若AC⊥BD，AC为直径，则sin∠BAD=BD AC 【答案】B 【解析】解：选项B正确． 理由：∵AC平分∠BCD， ∴∠ACB=∠ACD， ∵∠ACD=∠ABM， ∴∠ABM=∠ACB， ∵∠BAM=∠CAB， ∴△BAM∽△CAB， ∴AB AC =AM AB ， ∴AB2=AM?AC， 故选：B． 选项B正确．利用相似三角形的性质解决问题即可． 本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=4， ∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点 Q，连CQ，则线段CQ的最大值为() A. 2 B. √7 C. 1+3√2 D. 1+√7 【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，如图，连接OQ，作CH⊥AB 于H.首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题； 【解答】 解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H． ∵AQ=QP， ∴OQ⊥PA， ∴∠AQO=90°， ∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK， 当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大(也可以通过CQ≤QK+CK求解) 在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2， ∴∠OCH=30°， ∴OH=1 OC=1，CH=√3， 2 在Rt△CKH中，CK=√(√3)2+22=√7， ∴CQ的最大值为1+√7． 故选D． 3.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点D是AC DF， 中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF=5 4 则tan∠ABD的值为() 九年级数学《圆周角》(1)教学设计 交城县安定学校 郭建光 教学目标： 1．经历探索圆周角的有关性质的过程 2．理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题 3．体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题 教学重点：圆周角及圆周角性质 教学难点：圆周角性质 一、自主学习 思考：（1）什么样的角叫做圆周角？圆周角有什么特征？ （2）圆周角有何性质？ 结论：顶点在_______，并且两边______________________的角叫做圆周角。 强调条件：①_______________________，②___________________________。 识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由． 观察与思考：∠BAC ＝＿＿∠BOC ． 试证明这个结论： 二、探究新知 1.思考与探索 图，BC 所对的圆心角有多少个？BC 所对的圆周角有多少个？请在图中画出BC 所对的圆 心角和圆周角。 2.思考与讨论 （1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O 有几种位置关系？ O C B A （2） 设BC 所对的圆周角为∠BAC ，除了圆心O 在∠BAC 的一边上外，圆心O 与∠BAC 还有哪几 系，结论∠BAC ＝2 1∠BOC 还成立种位置关系？对于这几种位置关 吗？试证明之． 通过上述讨论发现：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 3、尝试解题： （1）如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的同侧，∠BAC=35 (1)∠BDC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． (2)∠BOC=_______°,理由是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． O A B C D （2）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上， (1) 若∠BAC=60°，求∠BOC=______°;(2) 若∠AOB=90°, 求∠ACB=______如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 在⊙O 内，点A 与点D 在点B 、C 所在直线的 同侧，比较∠BAC 与∠BDC 的大小，并说明理由． 三、巩固新知: 课本P 119练习1、2、3题 四、小结与反思 。 五、课外延伸： 1.定义：叫做圆周角。 练习：（1 ）下列各图中，哪一个角是圆周角？（ ） （2）图3中有几个圆周角？（）（A）2个，（B）3个，（C）4个，（D）5个 （3）写出图4中的圆周角：________________________ 2.思考 猜想：圆周角的度数与什么有关系？ 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。 3.典型例题 例1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外， CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。 例2：如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC. 4.巩固练习 1.如图6，已知∠ACB = 20o，则∠AOB = _____，∠OAB ＝. 2．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=40°，∠AED=75°，求∠ABD的度数. 3.如图，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，则∠ABD＝___________。 4.如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，则与△ABD相似的三角形有______________________。 第1题第2题第3题第4题第5题图 5.如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC的形状，并说明理由. A B C D F O D A B C E 图3图4 B A C D B C A F E O D C B A A B E C D O E O D C B A 1.直径所对的圆周角是 角，900的圆周角所对的弦是 。 2.典型例题 例1.AB 是☉O 直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=600，∠ADC=500，求∠CEB 的度数. 例2．如图AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD=60°，∠ADC=50°,求∠CEB 的度数. 例3.在ΔABC 的3个顶点都在☉O 上，AD 是ΔABC 的高，AE 是☉O 的直径，求证：ΔABE ∽ΔACD 。 巩固练习 1.如左图，△ABC 的顶点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径. △ABF 与△ACB 相似吗？ 2. 如图， A 、B 、E 、C 四点都在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，∠CAD=∠EAB,AE 是⊙O 的直径吗？ 为什么？ 3．如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，弦CE ∥AB. 弧BD 与弧BE 相等吗？为什么？ 第6题 第7题 4．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，以OA 为直径的⊙D 与AC 相交于点E ，AC=10,求AE 的长. 5．如图，点A 、B 、C 、D 在圆上，AB=8,BC=6,AC=10,CD=4.求AD 的长. 6．如图，△ABC 的3个顶点都在⊙O 上，直径AD=4，∠ABC=∠DAC ，求AC 的长。 7.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB=6, ∠DCB=30°，求弦BD 的长。 E O D C A 第3题 C D A B 第5题 A B C D O E 第4题 圆周角定理及其运用 1、如图，抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，3），平行于x轴的直线CD交抛物线于C、D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE＋FD的值是。 2、如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D。 （1）求证：OD∥AC；（2）若AC＝8，AB＝10，求AD。 知识点一圆周角定理及其推论 【知识梳理】 1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 （1）定理有三个方面的意义：A、圆心角和圆周角在同圆或等圆中；B、它们对着同一条弧或所对的弧是等弧； C、具备A、B两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半。 （2）因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 （3）定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立。因为一条弦所对的弧有两段。 2、圆周角定理的推论： 推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。 推论②：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角（90°的圆周角）所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 推论③：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【例题精讲一】 例1.1、如图，已知A （32 ，0）、B （0，2），点P 为△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°，则P 点坐标 为 。 （第1题） （第2题） 2、如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝36°，∠C ＝28°，则∠B ＝（ ） A ．46° B ．72° C ．64° D ．36° 3、如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为 。 （第3 题） （第4 题） 4、如图，∠A 是⊙O 的圆周角，则∠A ＋∠OCB ＝ 。 O E D A B C O A B C C B A O 2.4 圆周角（1） 教学目标： 1．探索圆周角与圆心角及所对弧的关系，了解并证明圆周角定理； 2．能运用圆周角定理解决相关问题； 3．体会分类、转化等数学思想方法，学会数学． 学习重点：圆周角及圆周角定理；学习难点：圆周角定理的应用． 教学过程 一、探索新知 1．圆周角定义： ，并且 的角叫做圆周角． 2．探索同弧所对圆周角和圆心角的关系． C B O 思考与探索：如图，BC ︵所对的圆心角有多少个？BC ︵所对的圆周角有多少个？ 在画出的圆周角中，这些圆周角与圆心O 有几种位置关系？与BC ︵所对的圆周角又有怎样的数量关系？ A C B O A C B O A C B O 二、典例分析 例1．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 在圆外，CD 、BD 分别交⊙O 于点E 、F ，比较∠BAC 与∠BDC 的大小，并说明理由． F E O D A C B 例2．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠C＝150°，求∠AOB． A C B O 例3．如图，AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，P 是CD 上的任意一点(不与点 C 、 D 重合)，∠APC 与∠APD 相等吗？为什么？ P O D A C B 例4．一条弦分圆1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？ 例5．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC 的形状，并说明理由． O D A C B 三、拓展提高 1．已知P 、O 2是⊙O 1上两点，⊙O 2与⊙O 都经过A ，B 两点，PA 的延长线交⊙O 2于点C ，PB 交⊙O 2 于点D ，试说明（1）PO 2平分∠APB；（2）AC=BD ． P O 2 O 1D A C B 2．如图，四边形ABCD 为正方形，⊙O 过正方形的顶点A 和对角线的交点P ，分别交AB 、AD 于点F 、E ． （1）求证：DE=AF ； （2）若⊙O 的半径为32， AB=2＋1，求AE DE 的值． 四、课堂练习 课 题24.1.4圆周角课时1课时上课时间 教学目标1.知识与技能 (1)了解圆周角的概念. (2)掌握圆周角的定理及其推论. (3)知道圆内接多边形和多边形的外接圆的意义. (4)知道圆内接四边形的对角互补,会简单运用这个结论. 2.过程与方法 在探索过程中,体会观察、猜想的思维方法,在定理的证明过程中,体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法. 3.情感、态度与价值观 在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性. 教 学重难点重点:圆周角的定理、圆周角的定理的推导、圆内接四边形的对角互补及运用它们解题. 难点:运用数学分类思想证明圆周角的定理. 教学活动设计 二次设 计 课堂导入在如图中,当球员在B,D,E处射门时.他所处的位置对球门,AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系? 探索新知合作探究 活动1:认识圆周角 1.观察∠ABC、∠ADC、∠AEC,这样的角有什么特点? 2.给出定义,顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.(注意两点:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边都与圆相交,两者缺一不可) 3.辨一辨,图中的∠CDE是圆周角吗?引导学生识别,加深对圆周角的了解. 4.圆周角与圆心角的联系和区别是什么? 活动2:探究圆周角的性质 如图,所对的圆周角有哪几个?观察并测量这几个角,你有什么发现? 大胆说出你的猜想.所对的圆心角是哪个角?观察并测量这个角,比较 同弧所对的圆周角你有什么发现呢?大胆说出你的猜想. 由学生总结发现规律:同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半,教师再利用几何画板从动态的角度进行演示,验证学生的发现. 活动3:证明圆周角定理及推论 1.问题:在圆上任取一个圆周角,观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况? 续表 探索新知合作探究2.学生自己画出同一条弧的圆心角和圆周角,将他们画的图归纳起来,共有三种情况: ①圆心在圆周角的一边上;②圆心在圆周角的内部;③圆心在圆周角的外部.如图. 3.问题:在第一种情况中,如何证明上面探究中所发现的结论呢?另外两种情况如何证明呢? 4.怎样证明我们的第一个猜想:同弧所对的圆周角相等?(利用同弧所对的圆心角相等) 5.以上结论同圆改成等圆,同弧改成等弧结论还成立吗?为什么? 6.总结出圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 7.将上面定理中的“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”,结论还成立吗? 8.在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等吗?为什么? 总结:同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等.(要通过圆心角来转换) 当堂训练1.如图,已知CD是☉O的直径,过点D的弦DE平行于半径OA,若∠D的度数是50°,则∠C的度数是( ) (A)25°(B)30°(C)40°(D)50° 2.如图,在☉O的内接四边形ABCD中,∠BOD=120°,那么∠BCD是( ) (A)120°(B)100°(C)80°(D)60° 3.如图,AB为☉O的直径,CF⊥AB于E,交☉O于D,AF交☉O于G.求证:∠FGD=∠ADC. 第1题图第2题图第3题图 2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察： 圆周角定理的运用（一） 一．选择题 1．如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（） A．22.5°B．30°C．45°D．60° 2．如图，在⊙O中，AB为直径，C，E在圆周上，若∠COB＝100°，则∠AEC的度数为（） A．30°B．20°C．40°D．50° 3．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，弧AD＝弧CD，若∠DAC＝25°，则∠CAB的度数为（） A．30°B．40°C．50°D．60° 4．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作CD⊥AB于点D，且CD＝4，BD＝3，则⊙O的周长是（） A．πB．πC．πD．π 5．如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能是圆心的是（）A．B． C．D． 6．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB ＝40°，则∠ADC的度数是（） A．110°B．130°C．140°D．160° 7．如图，⊙O中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC的度数为（） A．14°B．28°C．42°D．56° 8．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（） A．B．C．D． 9．如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的长为（） A．2B．C．2D． 10．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝8，则半径OB等于（） A．B．C．4 D．5 二．填空题 11．如图，⊙O的半径为2．弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是． 12．如图，圆O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝24°，则∠D＝． 24.1.4 圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论 01 基础题 知识点1 圆周角的概念 1．下列图形中的角是圆周角的是(B) 知识点2 圆周角定理 2．(茂名中考)如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠B ＝75°，则∠AOC 的度数是(A) A ．150° B ．140° C ．130° D ．120° 3．(滨州中考)如图，在⊙O 中，圆心角∠BOC ＝78°，则圆周角∠BAC 的大小为(C) A ．156° B ．78° C ．39° D ．12° 4．(山西模拟)如图，直径为AB 的⊙O 中，BC ︵＝2AC ︵ ，连接BC ，则∠B 的度数为(B) A ．35° B ．30° C ．20° D ．15° 知识点3 圆周角定理的推论 5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠A ＝35°，则∠B 的度数是(C) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65° 6．(绍兴中考)如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵ ，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是(D) A ．60° B ．45° C ．35° D ．30° 7．(黔西南中考)如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵ ，∠BAC ＝50°，则∠AEC 的度数为(A) A ．65° B ．75° C ．50° D ．55° 8．(太原二模)如图，BD 是圆O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为(C) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 9．(常州中考)如图，把直角三角板的直角顶点O 放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M ，N ，量得OM ＝8 cm ，ON ＝6 cm ，则该圆玻璃镜的半径是(B) A.10 cm B ．5 cm C ．6 cm D ．10 cm 10．(朝阳中考)如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥长100 m ，测得圆周角∠ACB ＝30°，则这个人工湖的直径为200m. 《圆周角》教学－－利用多媒体技术进行的探索发现学习 【案例实录】 教学过程: 1. 习旧引新 ⑴在⊙O 上, 任到三个点A 、B 、C, 然后顺次连接, 得到的是什么图形? 这个图形与⊙O 有什么关系? ⑵由圆内接三角形的概念, 能否得出什么叫圆的内接四边形呢( 类比)? 2. 概念学习 ⑴什么叫圆的内接四边形? ⑵如图1, 说明四边形ABCD 与⊙O 的关系。 3. 探讨性质 ⑴前面我们已经学习了一类特殊四边形---- 平行四边形, 矩形, 菱形, 正方形, 等腰梯形的性质, 那么要探讨圆内接四边形的性质, 一般要从哪几个方面入手? ⑵打开《几何画板》, 让学生动手任意画⊙O 和⊙O 的内接四边形ABCD 。( 教师适当指导) ⑶量出可测量的所有值( 圆的半径和四边形的边, 内角, 对角线, 周长, 面积), 并观察这些量之间的关系。 ⑷改变圆的半径大小, 这些量有无变化? 由(3) 观察得出的某些关系有无变化? ⑸移动四边形的一个顶点, 这些量有无变化? 由(3) 观察得出的某些关系有无变化? 移动四边形的四个顶点呢? 移动三个顶点呢? ⑹如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢?( 让学生回答) 4. 性质的证明及巩固练习 ⑴证明猜想 已知: 如图1, 四边形ABCD 内接于⊙O 。求证:∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC+∠ADC=180°。 ⑵完善性质 ①若将线段BC 延长到E( 如图2), 那么,∠DCE 与∠BAD 又有什么关系呢? ②圆的内接四边形的性质定理: 圆内接四边形的对角互补, 并且任何一个外角都等于它的内对角。 ⑶练习 ①已知: 在圆内接四边形ABCD 中, 已知∠A=50°,∠D-∠B=40°, 求∠B,∠C,∠D 的度数。 ②已知: 如图3, 以等腰△ABC 的底边BC 为直径的⊙O 分别交两腰AB,AC 于点E,D, 连结DE, 求证:DE∥BC 。( 演示作业本) 5. 例题讲解 引例已知: 如图4,AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线, 它与△ABC 的外接圆交于点D 。 求证:DB=DC 。( 引例由学生证明并板演) 教师先评价学生的板演情况, 然后提出, 若将已知中的“AD 是△ABC 中的∠BAC 的平分线”改为“AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线”, 又该如何证明? 引出例题。 例已知: 如图5,AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线, 与△ABC 的外接圆交于点D, 求证:DB=DC 。 6. 小结: 为了使学生对所学的内容有一个完整而深刻的印象, 让学生组成小组, 从概念, 性质, 方法, 特殊性进行讨论, 然后对讨论的结果进行归纳。 《圆周角》教案 教学目标 理解圆周角概念，理解圆周用与圆心角的异同； 掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征； 能灵活运用圆周角的性质解决问题； 发现和证明圆周角定理； 会用圆周角定理及推论解决问题. 教学重点 圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征. 教学难点 发现并证明圆周角定理. 教学过程 一.创设情景 如图是一个圆柱形的海洋馆，在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗⌒AB 观看窗内的海洋动物.大家请看海洋馆的横截面的示意图，想想看：同学甲站在圆心O 的位置，同学乙站在正对着下班窗的靠墙的位置C ，他们的视角(∠AOB 和∠ACB )有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D 和E ，他们的视角(∠ADB 和∠AEB )和同学乙的视角相同吗？ 二、认识圆周角. 1．观察∠ACB 、∠ADB 、∠AEB ，这样的角有什么特点？ 2．给出定义，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.(注意两点：1.角的顶点在圆上；2.角的两边都与圆相交，二者缺一不可.) 3.辩一辩，图中的∠CDE 是圆周角吗？引导学生识别，加深对圆周角的了解 . 4.圆周角与圆心角的联系和区别是什么？ 三、探究圆周角的性质. 1.在下图中，同弧AB所对的圆周角有哪几个？观察并测量这几个角，你有什么发现？大胆说出你的猜想. 同弧AB所对的圆心角是哪个角？观察并测量这个角，比较同弧所对的圆周角你有什么发现呢？大胆说出你的猜出想. 2.由学生总结发现规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半，教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现. 四、证明圆周角定理及推论. 1.问题：在圆上任取一个圆周角，观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况？ 2.学生自己画出同一条弧的圆心角和圆周角，将他们画的图归纳起来，共有三种情况： ①圆心在圆周角的一边上；②圆心在圆周角的内部；③圆心在圆周角的外部.如下图 3.问题：在第一种情况中，如何证明上面探究中所发现的结论呢？另外两种情况如何证明呢？ 4.怎样利用有上结论证明我们的第一个猜想：圆弧所对的圆周角相等？(利用圆弧所对的圆心角相等) 5.以上结论同圆改成等圆，同弧改成等弧结论还成立吗？为什么？ 6.总结出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 7.将上面定理中的“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，结论还成立吗？ 8．在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？ 总结推论1：同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等.(也是圆周角定理的逆定理，要通过圆心角来转换) 9．如图所示图中，∠AOB=180°则∠C等于多少度呢？从中你发现了什么？(推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.可用圆周角定理说明.) 圆周角定理（基础） 一、单选题(共11道，每道8分) 1.如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB=48°，则∠AOB的度数为( ) A.96° B.48° C.42° D.24° 答案：A 解题思路： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ∵∠ACB与∠AOB对着同一条弧AB，∠ACB=48° ∴∠AOB=2∠ACB=96° 试题难度：三颗星知识点：略 2.如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是( ) A.∠B B.∠C C.∠DEB D.∠D 答案：D 解题思路： 同弧或等弧所对的圆周角相等 ∵∠A与∠D都是弧BC所对的圆周角 ∴∠D=∠A 试题难度：三颗星知识点：略 3.如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是( ) A.25° B.27.5° C.30° D.35° 答案：D 解题思路： ∵∠A=60°，∠ADC=85° ∴∠B=∠ADC-∠A=25° ∵∠B与∠AOC对着同一条弧AC ∴∠AOC=2∠B=50° ∴∠C=∠ADC-∠AOC=35° 试题难度：三颗星知识点：略 4.如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠AOC=130°，则∠D等于( ) A.20° B.25° C.35° D.50° 答案：B 解题思路： ∵AB是⊙O的直径，∠AOC=130° ∴∠BOC=180°-∠AOC=50° ∵∠D与∠BOC对着同一条弧BC ∴∠D=∠BOC=25° 试题难度：三颗星知识点：略 5.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的度数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为( ) A.15° B.28° C.29° D.34° 答案：C 解题思路： 如图，点A，B的度数分别为88°，30° ∴∠AOB=88°-30°=58° ∵∠ACB与∠AOB对着同一条弧AB ∴∠ACB=∠AOB=29° 试题难度：三颗星知识点：略 6.如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=( )九年级数学圆周角定理易错题总结(含答案)
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