二次根式定义及性质
教学内容:
1.学习目标:理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由;理解并掌握下列结论:,
,,并利用它们进行计算和化简.
2.重点:;,及其运用.
3.难点:利用,,解决具体问题.
知识点一:二次根式的概念
一般地,我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.
知识点二:二次根式的性质
1.;
2.;
3.;
4. 积的算术平方根的性质:;
5. 商的算术平方根的性质:.
知识点三:代数式
形如5,a,a+b,ab,,x3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).
经典例题透析
类型一:二次根式的概念
例1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:
、、、(x>0)、、、、、(x≥0,y≥0).思路点拨:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.解:二次根式有:、(x>0)、、、(x≥0,y≥0);
不是二次根式的有:、、、.
例2、当x是多少时,在实数范围内有意义?
思路点拨:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,?才能有意义.
解:由3x-1≥0,得:x≥
当x≥时,在实数范围内有意义.
总结升华:要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数.
举一反三
【变式1】x 是怎样的实数时,下列各式实数范围内有意义?
(1); (2);
解:(1)由≥0,解得:x取任意实数
∴当x取任意实数时,二次根式在实数范围内都有意义.
(2)由x-1≥0,且x-1≠0,解得:x>1
∴当x>1时,二次根式在实数范围内都有意义.
【变式2】当x是多少时,+在实数范围内有意义?
思路点拨:要使+在实数范围内有意义,
必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0.
解:依题意,得
由①得:x≥-
由②得:x≠-1
当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.
类型二:二次根式的性质
例1、计算:
(1)(2)(3)(4)
(5)(b≥0) (6)
思路点拨:我们可以直接利用(a≥0)的结论解题.
解:
(1) (2)=;(3);
(4)=;(5);
(6).
举一反三
【变式1】计算:
(1);(2);
(3);(4).
思路点拨:(1)因为x≥0,所以x+1>0; (2)a2≥0;
(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0;(4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0.
所以上面的4题都可以运用的重要结论解题.
解:(1)因为x≥0,所以x+1>0
;
(2)∵a2≥0,∴;
(3)∵a2+2a+1=(a+1)2
又∵(a+1)2≥0,∴a2+2a+1≥0,∴=a2+2a+1;
(4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2
又∵(2x-3)2≥0
∴4x2-12x+9≥0,∴=4x2-12x+9.
例2、化简:
(1); (2); (3); (4).
思路点拨:因为(1)9=32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32,所以都可运用去化简.解:(1)==3;(2)==4;
(3)==5;(4)==3.
例3、填空:当a≥0时,=____;当a<0时,=______,?并根据这一性质回答下列问题.
(1)若=a,则a可以是什么数?
(2)若=-a,则a可以是什么数?
(3)>a,则a可以是什么数?
思路点拨:
∵=a(a≥0),
∴要填第一个空格可以根据这个结论,第二空格就不行,应变形,使“( )2”中的数是正数,
因为,当a≤0时,=,那么-a≥0.
(1)根据结论求条件;(2)根据第二个填空的分析,逆向思想;(3)根据(1)、(2)可知,而
要大于a,只有什么时候才能保证呢?
解:(1)因为,所以a≥0;
(2)因为,所以a≤0;
(3)因为当a≥0时,要使,即使a>a所以a不存在;当a<0时,,
要使,即使-a>a,即a<0;综上,a<0.
类型三:二次根式性质的应用
例1、当x=-4时,求二次根式的值.
思路点拨:二次根式也是一种代数式,求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.
解:将x=-4代入二次根式,得=.
例2、(1)已知y=++5,求的值.
(2)若+=0,求的值.
解:(1)由可得,,
(2)
例3、在实数范围内分解因式:
(1)x2-5; (2)x3-2x;
解:(1)原式
.
(2)原式
.
学习成果测评
基础达标
一、选择题
1.下列式子中,不是二次根式的是( )
A.B.C. D.
2.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是( )
A.5 B.C.D.以上皆不对
3.(福建省福州市)若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围为( )
A.x>0 B.x≥0 C.x ≠ 0 D.x≥0且x ≠ 1
4.的值是( )
A.0 B.C.4 D.以上都不对5.a≥0时,、、,比较它们的结果,下面四个选项中正确的是( ) A.B.
C.D.
6.(辽宁省大连市) 如图,数轴上点N表示的数可能是( )
A.B.
C.D.
二、填空题
1.若,则 x = ____________.
2.若有意义,则的取值范围是____________.
3.-=________.
4.=____________.
5.=____________.
6.若,则____________.
7.若,则____________;若,则____________.
8.化简:=__________.
9. 计算:(1)=_______;
(2)=________;
(3) =________。
10.(内蒙古鄂尔多斯市)如图,在数轴上,A、B两点之间表示整数的点有_______个.
三、解答题
1. 求下列二次根式中字母a的取值范围:
(1), (2); (3).
2.某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒,其高为0.2m,按设计需要,?底面应做成正方形,试问底面边长应是多少?
能力提升
一、选择题
1.使式子有意义的未知数x有( )个
A.0 B.1 C.2 D.无数
2.(山西省临汾市) 若,则与3的大小关系是( )
A.B.C.D.
3.下列计算正确的是( )
A.B. C.D.
4.(福建省厦门市) 下列四个结论中,正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题
1.若,则____________.
2.若是一个正整数,则正整数m的最小值是________.
3.已知实数在数轴上的对应点如图所示,则____________.
三、解答题
1.当x是多少时,+x2在实数范围内有意义?
2.若+有意义,求的值.
3.(北京市海淀区) 已知实数x,y满足,求代数式的值.
4.已知,求x+y的值.
综合探究
1.(福建省南安市) 观察分析下列数据,寻找规律:0,,,3,2,,3,……那么第10个数据应是____________.
2.(江苏省苏州市)等式中的括号应填入____________.
3.先化简再求值:当a=9时,求a+的值,甲乙两人的解答如下:
甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=1;
乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.
两种解答中,_______的解答是错误的,错误的原因是__________.
4. 若时,试化简.
5.在实数范围内分解下列因式:
(1); (2).
二次根式定义及性质测试题
一、复习
1、什么叫平方根?开平方?
2、平方根如何表示?
3、求下列各数的平方根:
4、求下列各数的正平方根:
(1)4;(2)0.16;(3)9
25
. (1)225; (2)0.0001;(3)
16
81
.
二、二次根式的意义
1. 二次根式的意义
代数式______________叫做二次根式,读作______________,其中__________是被开方数. 通常把形如_________________的式子也叫做二次根式.
2.二次根式何时有意义
二次根式有意义的条件是___________________________.
3. 例题
例题1 下列各式是二次根式吗?
2、
3
2
、2-、 12+a 、)0(
例题2 设x 是实数,当x 满足什么条件时,下列各式有意义?
(1)12-x ; (2)x -2; (3)
x
1; (4)2
1x +.
4.练习(一)
设x 是实数,当x 满足什么条件时,下列各式有意义?
(1; (2; (3三、二次根式的性质
性质1:______________________; 性质2:________________________________;
性质3:______________________; 性质4:________________________________.
例题3 求下列二次根式的值:
(1)2)3(π-; (2)122
+-x x ,其中3-=x .
例题4 化简二次根式
(1;(2;(3)0x ≥;
(4
;(5
(6
0)b >
例题5 设a 、b 、c 分别是三角形三边的长,化简:2
2)()(a c b c b a --++-
练习(二):1、化简下列二次根式
(1
(2
0)x ≥; (3
0)n ≥; (4
(5
; (6)
2、选择题
(1)、实数a 、b 在数轴上对应的位置如图,则=---2
2)1()1(a b ( ) A 、b-a B 、2-a-b C 、a-b D 、2+a-b (2)、化简2
)21(-的结果是( )
A 、21-
B 、12-
C 、)12(-±
D 、)21(-±
(3)、如果
2
1
2
1--=
--x x x x ,那么x 的取值范围是( ) A 、1≤x ≤2 B 、1<x ≤2 C 、x ≥2 D 、x >2
最简二次根式和同类二次根式
1、最简二次根式符合的两个条件:
(1)_________________________________________________; (2)_________________________________________________.
例题6 判断下列二次根式是不是最简二次根式:
· · ·
· a
b 0 1
(1;(2(3;(41)a ≥-
例题7 将下列二次根式化成最简二次根式:
(1)0y >;
(2)0≥≥;(3)0m n >>
2、练习(三)
(1)判断下列二次根式中,哪些是最简二次根式:
(2)找出下列二次根式中的非最简二次根式,并把它们化成最简二次根式:
)
0a y > (3)将下列各二次根式化成最简二次根式:
)
0b x y p q >>>
3、同类二次根式
几个二次根式化成_____________________后,如果_______________相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式.
例题8 下列二次根式中,哪些是同类二次根式?
)
0a a >
例题9 合并下列各式中的同类二次根式:
(1)323
1
32122++-
; (2)xy
b xy a xy +-3
4、练习(四)
(1)判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式:
)0;x ≥
)
0a y >>
(2)合并下列各式中的同类二次根式:
A.-
B.
二次根式的概念与性质1 一.选择题(共30小题) 1.下列式子:①;②;③;④;⑤;⑥, 其中一定是二次根式的有() A.5个B.4个C.3个D.2个 2.下列判断正确的是() A.带根号的式子一定是二次根式 B.一定是二次根式 C.一定是二次根式 D.二次根式的值必定是无理数 3.下列各式中①;②;③;④;⑤一定是二次根式的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 4.下列各式中,二次根式有() ①②③④ A.1个B.2个C.3个D.4个 5.下列各式中:①;②;③;④.其中,二次根式的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个 6.在式子,,,,(x≤0)中,一定是二次根式的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 7.x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件() A.B.C.D. 8.若有意义,则x满足条件是() A.x≥﹣3且x≠1B.x>﹣3且x≠1C.x≥1D.x≥﹣3 9.式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是()
A.x<2B.x≥2C.x=2D.x<﹣2 10.如果代数式有意义,那么x的取值范围是() A.x≠3B.x<3C.x>3D.x≥3 11.使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为()A.B. C.D. 12.二次根式中,字母a的取值范围是() A.a B.a C.a D.a 13.使式子+成立的x的取值范围是() A.x≥﹣2B.x>﹣2C.x>﹣2,且x≠2D.x≥﹣2,且x≠2 14.若式子有意义,则实数m的取值范围是() A.m>﹣2B.m>﹣2且m≠1C.m≥﹣2D.m≥﹣2且m≠1 15.代数式+中x的取值范围在数轴上表示为() A.B. C.D. 16.下列说法正确的个数有() ①代数式的意义是a除以b的商与1的和; ②要使y=有意义,则x应该满足0<x≤3; ③当2x﹣1=0时,整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0; ④地球上的陆地面积约为14900万km2,用科学计数法表示为1.49×108km2. A.1个B.2个C.3个D.4个 17.使代数式有意义的整数x有()
二次根式定义及性质 教学内容: 1.学习目标:理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由;理解并掌握下列结论:, ,,并利用它们进行计算和化简. 2.重点:;,及其运用. 3.难点:利用,,解决具体问题. 知识点一:二次根式的概念 一般地,我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 知识点二:二次根式的性质 1.; 2.; 3.; 4. 积的算术平方根的性质:; 5. 商的算术平方根的性质:. 知识点三:代数式 形如5,a,a+b,ab,,x3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).
经典例题透析 类型一:二次根式的概念 例1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: 、、、(x>0)、、、、、(x≥0,y≥0).思路点拨:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.解:二次根式有:、(x>0)、、、(x≥0,y≥0); 不是二次根式的有:、、、. 例2、当x是多少时,在实数范围内有意义? 思路点拨:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,?才能有意义. 解:由3x-1≥0,得:x≥ 当x≥时,在实数范围内有意义. 总结升华:要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数. 举一反三 【变式1】x 是怎样的实数时,下列各式实数范围内有意义? (1); (2); 解:(1)由≥0,解得:x取任意实数 ∴当x取任意实数时,二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0,且x-1≠0,解得:x>1 ∴当x>1时,二次根式在实数范围内都有意义.
第十六章二次根式 16. 1 二次根式 第1课时 二次根式的概念和性质 :?< 1. 二次根式的概念和应用. 2. 二次根式的非负性. 重点 二次根式的概念. 难点 二次根式的非负性. 一、情景导入 师:(多媒体展示)请同学们看屏幕 电视节目信号的传播半径 r/km 与电视塔高h/km 之间有近似关系r = yj 2Rh(R 为地球半径).如 果两个电视塔的高分别为 h i km , h 2 km ,那么它们的传播半径之比为多少?同学们能化简这个式 子吗? 由学生计算、讨论后得出结果 ,并提问. 生:半径之比为亠2Rh ;,暂时我们还不会对它进行化简. 师:那么怎么去化简它呢?这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算?如 何进行二次根式的化简?这将是本章所学的主要内容. 二、新课教授 活动1:知识迁移,归纳概念 (1) 17的算术平方根是 __________ ; (2) 如图,要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和4 cm 的三角形,斜边长应为 ____________ c m ; 2 (3) —个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m ,则它的宽为 _________________ m ; (4) 面积为3的正方形的边长为 ____________ ,面积为a 的正方形的边长为 ___________________ ; (5) 一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间 t(单位:s)与开始落下时的高度 h(单位: m)满足关系h = 5『.如果用含有h 的式子表示t ,则t= ______________ . 【答案】(1).17 (2) 65 (3).65 (4) 3 a ⑸- ;'5 活动2:二次根式的非负性 (多媒体展示) _ (1) 式子.a 表示的实际意义是什么?被开方数 a 满足什么条件时,式子."a 才有意义? (2) 当a >0时,百 ___________ 0;当a = 0时,需 ___________ 0;二次根式是一个 ____________ . 【答案】(1)a 的算术平方根,被开方数a 必须是非负数 (2) > = 非负数 老师结合学生的回答,强调二次根式的非负性. 当a >0时,,a 表示a 的算术平方根,因此a > 0; 当a = 0时,,a 表示0的算术平方根,因此,-/a = 0. 也就是说,当a > 0时,? a 》0. ,这是东方明珠电视塔. (多媒体演示)用含根号的式子填空.
二次根式的概念与性质 编稿:庄永春审稿:邵剑英责编:张杨 一、目标认知 1.学习目标: 理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由;理解并掌握下列结论:,,,并利用它们进行计算和化简. 2.重点: ;,及其运用. 3.难点: 利用,,解决具体问题. 二、知识要点梳理 知识点一:二次根式的概念 一般地,我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 要点诠释: 二次根式的两个要素:①根指数为2;②被开方数为非负数. 知识点二:二次根式的性质 1.; 2.; 3.; 4. 积的算术平方根的性质:; 5. 商的算术平方根的性质:. 要点诠释:
二次根式(a≥0)的值是非负数,其性质可以正用亦可逆 用,正用时去掉根号起到化简的作用;逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式,有利 于在实数范围内进行因式分解. 知识点三:代数式 形如5,a,a+b,ab,,x3,这些式子,用基本的运算符号(基本运 算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的 式子为代数式(algebraic expression). 三、规律方法指导 1.如何判断一个式子是否是二次根式? (1)必须含有二次根号,即根指数为2; (2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的,否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义? 要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中 所含字母的取值范围,可根据题意列出不等式,通过解不等式确定字母的取值范围.当二次 根式作为分母时要注意分母不能为零. 经典例题透析 类型一:二次根式的概念 1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: 、、、(x>0)、、、、、(x≥0,y≥0).思路点拨:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.解:二次根式有:、(x>0)、、、(x≥0,y≥0); 不是二次根式的有:、、、. 2、当x是多少时,在实数范围内有意义?
二次根式的有关概念及性质 一、二次根式的有关概念: 1.二次根式:式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式; (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式,因被开方数中 含有4是可开得尽方的因数,又如,,..........都不是最简二次根式,而, ,5,都是最简二次根式。 3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根 式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式,因为=2,=3, 它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两 个代数式互为有理化因式。如与,a+与a-,-与+,互为有理化因式。 二、二次根式的性质: 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数,即:()2=a(a≥0);
3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即=· (a≥0,b≥0)。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即= (a≥0,b>0)。 三、例题: 例1.x为何值时,下列各式在实数范围内才有意义: (1)(2)(3) (4)+(5)(6)+ 分析:这是一组考察二次根式基本概念的问题,要弄清每一个数学表达式的含义,根据分式和根式成立的条件去解,即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解:(1)∵6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。 (2)∵x2≥0, ∴x2+3>0, ∴x取任意实数原式都有意义。 (3) ∵∴ ∴当x<3且x≠-3时,原式有意义。 (4) ∵∴ ∴当-≤x<时,原式有意义。
二次根式的概念及性质练习题 班级 姓名 一.判断题(对的打“∨”,错的打“×”) (1x 的取值范围是x<0 ( ) (2中字母x 的取值范围是x ≤3 4 ( ) (3)当x=-1 ( ) (4)当a=-4( ) (5)2= —12 ( );(6—1 2 ( ) (7)2= —1 2 ( );(8)(2 =2×1 2=1 ( ) 二、填空题: 1.b ≥3)s ≥0)a (0≥a )的代 数式,叫做_______. 2.当x______ 时, 3 x 的取值范围是_______ .
4. (7) 2 =________;(8 +( 2=________. (10 . 5.当x=-2 _______. 6.当a取______ 时, 7.当x取______ 8.当m=-2 值为________. 9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm,则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是(b-3)cm2,则正方形的边长是_________。 三、选择题: 1.下列各式中,哪一个是二次根式() A . ( ( ()( () ( ()( 2 2 3 1_____,2______,3_____, 4_____,5____,6____. === ===
2 .使代数式2 x +有意义的x 的取值范围是( ) A .x ≠-2; B .x ≤12且x ≠-2; C .x<12 且x ≠-2; D .x ≥1 2且x ≠-2 3.下列各式中一定成立的是( ) A =3+4=7 B C .( 2 D =1-13=2 3 四、求下列二次根式中字母的取值范围: 五、计算:(1 -(12)2; (2) ( 3) 4时x 的值. ( )( )( )123( 4
第一讲、二次根式的概念和性质 第一部分、 教学目标: 1、理解二次根式的概念,掌握二次根式有意义的判定方法。 2、利用0≥a 的性质解决问题。 第二部分、 教学重点和难点: 1、掌握二次根式的双重非负性性质,并利用0≥a 解决化简问题。 2、利用二次根式的性质进行式子的化简。 第三部分、 教学过程: 例题讲解: 例1、在式子)0(2 >x x ,2,y x x x x y y ++<--=+,,,1,3)0(2)2(123中,二次根式有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 【分析】根据二次根式的定义对各数分析判断即可得解. 【解答】解:根据二次根式的定义,y =﹣2时,y +1=﹣2+1=﹣1, 所以二次根式有 1),0(2,2),0(22+<->x x x x x 共4个. 故选:C . 练1.1、下列的式子一定是二次根式的是( ) A .2--x B .x C .22+x D .22-x 【分析】根据二次根式的定义:一般地,我们把形如 (a ≥0)的式子叫做二次根式可得答案. 【解答】解:根据二次根式的定义可得 中得被开方数无论x 为何值都是非负数, 故选:C . 练1.2、下列代数式中,属于二次根式的为( ) A .4- B .3x - C .1-a (a ≥1) D .2--
【分析】根据二次根式的定义得出形如:(a ≥0)是二次根式,进而判断即可. 【解答】解:A 、 ,﹣4<0,故不是二次根式,故此选项错误; B 、 ,是三次根式,故不是二次根式,故此选项错误; C 、 (a ≥1),则a ﹣1≥0,故是二次根式,故此选项正确; D 、﹣,﹣2<0,故不是二次根式,故此选项错误; 故选:C . 例2、使二次根式3-x 有意义的x 的取值范围是( ) A .x ≠3 B .x >3 C .x ≥3 D .x ≤3 【分析】二次根式的被开方数是非负数,即x ﹣3≥0. 【解答】解:依题意得:x ﹣3≥0. 解得x ≥3. 故选:C . 练2.1、若式子 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( ) A .x 且x ≠1 B .x ≠1 C .x 且x ≠1 D .x 【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解. 【解答】解:根据题意得,2x ﹣1≥0且x ﹣1≠0, 解得x ≥﹣且x ≠1. 故选:A . 练2.2、要使1213-+ -x x 有意义,则x 应满足( ) A .21≤x ≤3 B .x ≤3且x ≠21 C .21<x <3 D .2 1<x ≤3 【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解. 【解答】解:由题意得, , 解不等式①得,x ≤3, 解不等式②的,x >, 所以,<x ≤3.
二次根式的概念及性质练习卷 姓名 一.判断题(对的打“∨”,错的打“×”) (1 x 的取值范围是x<0 ( ) (2 中字母x 的取值范围是x ≤34 ( ) (3)当x=-1 ( ) (4)当a=-4 ( ) (5) 2= —12 ( );(6 —12 ( ) (7) )2= —12 ( );(8)( 2=2×12=1 ( ) 二、填空题: 1. b ≥3) s ≥0) a (0≥a )的代数式,叫做_______. 2.当x______ 时, 3 x 的取值范围是_______ . 4. (7) 2 ; (8 ( 2=________. (10 . 5.当x=-2 _______. 6.当a 取______ 有意义.7.当x 取______ 8.当m=-2 ________. ( ( ()( ()( ( )(2231_____,2______,3_____,4_____,5____,6____. ======
9、若直角三角形的两直角边分别是2cm 和acm ,则直角三角形的斜边长是_______ 10、若正方形的面积是(b-3)cm 2,则正方形的边长是_________。 三、选择题: 1.下列各式中,哪一个是二次根式 ( ) A B C D 2 x 的取值范围是( ) A .x ≠-2; B .x ≤12且x ≠-2; C .x<12且x ≠-2; D .x ≥12 且x ≠-2 3.下列各式中一定成立的是( ) A B C .( 2 D 13=23 四、求下列二次根式中字母的取值范围: 五、计算:(1 -(12)2; (2) (3) 4时x 的值. x-4│—│7-x │. ( )( )( )123( 4
二次根式定义及性质教学内容:
并利用它们进行计算和化简? 2. 重点:—「汕「?厂—,厂—5及其运用. 3. 难点:利用 gx θ(α≥0),(乔「二S0X°), = α?≥0) 解决具体问题 知识点一:二次根式的概念 一般地,我们把形如 丄;(a ≥ 0)?的式子叫做二次根式,“"”称为二次根号. 知识点二:二次根式的性质 1.&≥Q(a≥0); (石)=Λ (d ≥ 0) =IaI= < 3. 2. a (a ≥0) -a (a <0); 4. 积的算术平方根的性质: 5. 商的算术平方根的性质: λj'.∕?, - -Λ J I -■", ' -■; 知识点三:代数式 S 形女口 5, a , a+b , ab ,】,X , & (α≥0) 这些式子,用基本的运算符号 (基本运算包括加、减、乘、 除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式 (algebraic expression). 1.学习目标:理解二次根式的概念, 了解被开方数是非负数的理由; 理解并掌握下列结论: U- ■' ■: ■' 111, 经 典例题透析 类型一:二次根式的概念 例1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: (X > 0)、 1 匚、=、二、U J i(X ≥0, y ≥ °)?
思路点拨:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“ ??厂”;第二,被开方数是正数或 例2、当X 是多少时,,-I 在实数范围内有意义? 思路点拨:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于 0,所以3X -1 ≥0, ? 义. 1 解:由 3X -1 ≥ 0,得:X ≥ j 1 当X ≥ 1时,「丄-在实数范围内有意义. 总结升华:要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数. 举一反三 【变式1】X 是怎样的实数时,下列各式实数范围内有意义? 1 解: (1)由 (M ≥ 0,解得:X 取任意实数 ???当X 取任意实数时,二次根式 ' ■'在实数范围内都有意义 (2)由 x-1 ≥ 0,且 x-1 ≠ 0,解得:X > 1 ?当X > 1时,二次根式■在实数范围内都有意义? 解:二次根式有: 匸、C i(X ≥ 0, y ≥ 0); 才能有意 J?. (X >0)、 不是二次根式的有:
新人教版数学八年级下册二次根式课时练习 一、单选题(共15小题) 1.已知3+x =0,则x 为( ) >3 <-3 C. x=-3 D. x 的值不能确定 2.化简:2 1a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 3.如果一个三角形的三边长分别为1、k 、3,化简|32|8136472-++--k k k 结果是( ) A 、4k —5 B 、1 C 、13 D 、19—4k 4.下列命题中,错误.. 的是( ) A =5,则x=5; B .若a (a ≥0 C π-3 D 5 5.若式子ab a 1+-有意义,则点P (a , b )在 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 6.当a ≥0时,2a 、2)(a -、2 a -,比较他们的结果,下面四个选项中正确的是( ) A.2a =2)(a -≥2a - B.2a >2)(a ->2 a - C. 2a <2)(a -<2a - D.2a ->2a =2 )(a - 7.等式33-=-x x x x 成立的条件是( ) A .x ≠3 B .x ≥0 C .x ≥0且x ≠3 D .x>3