2011年湖南省普通高中学业水平考试数学
A ：知道（包括识别、描述、举例等）——对所学过的内容（包括基础知识、基本方法、基本体验和基本思
想（下同））能准确识别和再认。
B ：了解（包括表示、辨别、比较等）——对所学过的内容能准确复述和直接应用。
C ：理解（包括解释、归纳、概括等）——对所学过的内容能进行理性分析和综合论证。
D ：应用（包括建模、解决、检验等）——能运用所学过的知识分析日常生活或生产实践中的问题.
必修5：考点复习---数列
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★ 知识梳理
1、数列的概念与简单表示法
①数列是定义域为_________(或它的有限子集{}12,，
...,n )的特殊函数，数列的通项公式就是相应函数的函数解析式。
②前n 项和12n n S a a a =++?及数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：
12______________n n n S a a a a =++??=。
2、等差数列：
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于___________，那么这个数列就叫做等
差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
(2)等差数列的判定方法:
①定义法：对于数列{}n a ，若________________ (常数)，则数列{}n a 是等差数列
②等差中项：对于数列{}n a ，若_________________，则数列{}n a 是等差数列
(3)等差数列的通项公式:
如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为_________________。
(4)等差数列的前n 项和:
___________________________n S ==
(5)等差中项: 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：__________A =。
(6)等差数列的性质:
①等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且m n ≤，公差为d ，则有_______________n a =。
②对于等差数列{}n a ，若n m p q +=+，则_________________。
③若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*
k N ∈，那么k S ，2k k S S -，32k k S S -成_______数列。
★ 考点复习
考点1：数列概念与表示
1、在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于__________。
A 11
B 12
C 13
D 14
2、已知数列{}n a 的通项公式2
2n a n n =-，则8是数列{}n a 的_______。
A. 第3项
B. 第4项
C. 第5项
D. 第6项
3、已知数列{}n a 的钱四项分别是：416123
5
，，，
，则该数列的一个通项公式为______________。
考点2：数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系 4、已知数列{}n a 的前n 项和2
23n S n n =+，求n a
5、已知数列{}n a 的前n 项和n
n S 23+=，求n a .
考点3：等差数列及等差中项的概念：
6、在2与6之间插入三个数，使得它们成等差数列，则中间一个数为__________. A 、3 B 、4 C 、5 D 、12
7、在等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =__________。
考点4：等差数列的通项公式
8、在等差数列{}n a 中，已知1234520a a a a a ++++=，则数列的第3项的值为_______。
9、已知{}n a 为等差数列，20,86015==a a ，则=75a .
考点5: 等差数列的前n 项和公式
10、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10203050a a ==，。 （1）求通项公式n a ； （2）若242n S =，求n 的值。
11、设数列的通项公式为27n a n =-，则12315..._________.a a a a ++++=
考点6：等差数列的性质
12、在等差数列{}n a 中, 若101,a a 是方程2260x x --=的两根，则47a a +=___________.
13、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S 。
14、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，310S =，615S =，则9S =__________。
考点6：等差数列的综合
15、已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且3510,18a a ==。 （1）求n S ； （2）设n n S b n
=，求()()1
9()n n
n b f n n N b +*+=
∈ 的最小值。
高中数学必修5等差数列基础 一般测试试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．单选题（共__小题） 1．下列通项公式表示的数列为等差数列的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．设a p 、a q 是数列{a n }的任意两项（p ，q ，n ∈N +），且a p =a q +2003（p-q ），那么数列{a n }（ ） A ．不是等差数列 B ．是等差数列 C ．可能是等比数列 D ．是常数列 3．设a n =（n+1）2，b n =n 2-n （n ∈N *），则下列命题中不正确的是（ ） A ．{a n+1-a n }是等差数列 B ．{b n+1-b n }是等差数列 C ．{a n -b n }是等差数列 D ．{a n +b n }是等差数列 4．若数列{a n }是一个以d 为公差的等差数列，b n =2a n +3（n ∈N *），则数列{b n }是（ ） A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列 D ．公差为2d+3的等差数列 5．已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1+a n =2n ，则该数列前25项之和S 25=（ ） A ．309 B ．311 C ．313 D ．315 6．设2a =3，2b =6，2c =12，则数列a ，b ， c 成 （ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．非等差也非等比数列 D ．既等差也等比数列 7．已知数列{a n }的a 1=1，a 2=2且a n+2=2a n+1-a n ，则a 2007=（ ） A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．2008
等差数列测试题 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的 ( ) A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项 2.在-1和8之间插入两个数a ,b ，使这四个数成等差数列，则 ( ) A. a =2，b =5 B. a =-2，b =5 C. a =2，b =-5 D. a =-2，b =-5 3.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.d ＞83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.83 ＜d ≤3 4．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( ) A ．3 B ．-3 C ．-2 D ．-1 5．在等差数列}{n a 中，,0,01110>，则在n S 中最大的负数为 ( ) A ．17S B ．18S C ．19S D ．20S 6.等差数列{a n }中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是: ( ) A.a 11 B.a 10 C.a 9 D.a 8 7.设函数f (x )满足f (n +1)= 2)(2n n f +(n ∈N *)且f (1)=2,则f (20)为 ( ) A.95 B.97 C.105 D.192 8．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6S 8 ,则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7最大 B ．在数列{a n }中,a 3或a 4最大 C ．前三项之和S 3必与前11项之和S 11相等 D ．当n ≥8时，a n <0 二、填空题（每小题6分，共30分） 9．集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________. 10．在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=-记123n n S a a a a =++++L ，则13S =_____
等差数列的定义及性质 ?等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a n+1-a n=d。 ?等差数列的性质： （1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则a m＝a n+(m-n)d； （4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a s+a t=a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a s+a t=2a p； （5）若数列｛a n｝，｛b n｝均是等差数列，则数列｛ma n+kb n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。 （6） （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）仍为等差数列，公差为
?对等差数列定义的理解： ①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同 一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． ②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数 列；当d<0时，数列为递减数列； ④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据； ⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。 等差数列求解与证明的基本方法： (1)学会运用函数与方程思想解题； (2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键； (3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，a n，S n，知道其中任意三 个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
数列概念等差等比基础部分 一、选择题： 1．以下通项公式中，不是数列3,5,9, 的通项公式的是 （ ） A.21n n a =+ B.2 3n a n n =-+ C.21n a n =+ D. 1.5(2)(3)5(1)(3) 4.5(1)(2)n a n n n n n n =-----+-- 2．已知数列{}n a 满足12a =,11 1n n n a a a ++=-(*n ∈N ),则3a 的值为（ ） A. 1 2- B. 1 2 C. 13- D. 1 3 3.在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 的值为（ ） A.6 B.3 C.12 D.4 4.等差数列{}n a 中，10120S =，那么101a a +的值为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 5.在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ） A.45 B.75 C.180 D.300 6.等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20项的和等于（ ） A.160 B.180 C.200 D.220 7.等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若242S S =则公比为（ ） A.1 B.1或－1 C.1 1 -22或 D.2或－2 8.已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，那么35+a a 的值等于 ( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 9.等比数列{}n a 中，567548a a a a +=-=，那么这个数列的前10项和等于 ( ) A ．1511 B ．512 C ．1023 D ．1024
2.2.2 从容说课 本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，遵循学生的认 知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识 通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果 教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 教具准备多媒体及课件 三维目标 一、知识与技能 1.明确等差中项的概念 2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质 3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题 二、过程与方法
1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想 2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性 三、情感态度与价值观 1.通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点 2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣 教学过程 导入新课 师 同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的 数列叫等差数列？ 生 我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n -a n -1=d (n ≥2，n ∈N *)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d ”表示 师 对，我再找同学说一说等差数列{a n }的通项公式的内容是什么？ 生1 等差数列{a n }的通项公式应是a n =a 1+(n -1)d 生2 等差数列{a n }还有两种通项公式：a n =a m +(n -m)d 或a n =p n +q(p 、q 是常数 师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d 的公式：①d =a n -a n -1；② 11--= n a a d n ；③m n a a d m n --=.你能理解与记忆它们吗？ 生3 公式②11--=n a a d n 与③m n a a d m n --=记忆规律是项的值的差比上项数之间的差(下标之差 ［合作探究］ 探究内容：如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么数A 应满足什么样的条件呢？
等差数列复习 知识归纳 1. 等差数列这单元学习了哪些内容？ 2. 等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题: n ≥2，a n －a n －1＝d (常数) 3. 等差数列的通项公式如何？结构有什么特点？ a n ＝a 1＋(n －1) d a n ＝An ＋B (d ＝A ∈R ) 4. 等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？ 5. 用什么方法推导等差数列前n 项和公式的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n 项和公式结构有什么特点? 2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= S n ＝An 2＋Bn (A ∈R) 注意: d ＝2A ! 6. 你知道等差数列的哪些性质? 等差数列{a n }中，(m 、 n 、p 、q ∈N+): ①a n ＝a m ＋(n －m )d ； ②若 m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 等差数列定义通项 前n 项和 主要性质n a n d ＜0n a n d ＞0
③由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列； ④每n项和S n, S2n－S n , S3n－S2n…组成的数列仍是等差数列. 知识运用 1.下列说法: (1)若{a n}为等差数列,则{a n2}也为等差数列 (2)若{a n} 为等差数列,则{a n＋a n＋1}也为等差数列 (3)若a n＝1－3n,则{a n}为等差数列. (4)若{a n}的前n和S n＝n2＋2n＋1, 则{a n}为等差数列. 其中正确的有( (2)(3) ) 2. 等差数列{a n}前三项分别为a－1,a＋2, 2a＋3, 则a n＝3n－2 . 3.等差数列{an}中, a1＋a4＋a7＝39, a2＋a5＋a8＝33, 则a3＋a6＋a9＝27 . 4.等差数列{a n}中, a5＝10, a10＝5, a15＝0 . 5.等差数列{a n}, a1－a5＋a9－a13＋a17＝10, a3＋a15＝20 . 6. 等差数列{a n}, S15＝90, a8＝ 6 . 7.等差数列{an}, a1= －5, 前11项平均值为5, 从中抽去一项,余下的平均值为4, 则抽取的项为( A ) A. a11 B. a10 C. a9 D. a8 8.等差数列{a n}, Sn＝3n－2n2, 则( B) A. na1＜S n＜na n B. na n＜S n＜na1 C. na n＜na1＜S n D. S n＜na n＜na1能力提高 1. 等差数列{a n}中, S10＝100, S100＝10, 求S110. 2. 等差数列{a n}中, a1＞0, S12＞0, S13＜0,S1、S2、…S12哪一个最大？
课题§6.2.1 等差数列的概念说课稿 尊敬的各位领导各位老师 大家上午好！ 今天我说课内容是选自人教版数学（基础模块）下册第六章第二节《等差数列的概念》，本节是第一课时。下面我将从说教材、说学生、说教法与学法、说教学过程设计等方面来对本节课进行说明。 一、教材分析 1.教材的地位与作用 等差数列是数列这一章的重要内容之一，它在实际生活中有广泛的应用。本节内容是学生在学习了数列的有关概念的基础上，对数列的知识进一步深入学习和拓展。同时等差数列的学习也为今后继续学习等比数列提供了学习对比的依据。所以，本节课在知识结构上起着承上启下的作用。 2、教学目标 根据教学大纲与学生的实际情况我制定如下教学目标： 【知识目标】 a.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。 b. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题。 【能力目标】 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力；提高学生分析问题解决问题的能力。 【情感目标】 a．让学生体验从特殊到一般的认知规律，培养学生勇于创新的
科学精神。 b. 让学生养成细心观察、认真分析问题的良好的思维习惯。 3.教学重难点 【教学重点】 等差数列的概念和通项公式。 【教学难点】 等差数列的通项公式推导过程及灵活应用。 二、学情分析 中职学生数学基础比较薄弱，但作为高中生他们本身具备一定的观察，思考，分析能力。前面已对数列的知识有了初步的接触与认识，对数学公式运用已具备一定的技能，针对学生的这些情况我在教学中从学生的生活经验和已有的知识背景出发，充分调动学生的积极性，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位。 三、教法与学法 【教法分析】 本节课我采用启发式、小组探究法以及讲练结合的教学方法。通过问题激发学生求知欲，在教师的启发引导下，使学生主动参与数学实践活动，让学生去分析、探索，得到结论。从而使学生既获得知识又发展智能。通过讲练结合法可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 【学法分析】 在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去观察分析，探索新知。同时鼓励学生大胆质疑，学会探究，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学过程设计
数列及等差数列的通项、首项、公差 讲授新课：数列 1. 数列及其有关概念： ① 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. ② 数列中排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第n 位的数称为这个数列的第n 项. ③ 数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a . ④ 数列的分类：有穷数列与无穷数列，递增数列、递减数列、常数列与摆动数列. 2. 数列的表示方法： ① 讨论下列数列中的每一项与序号的关系： 1，12，14，18 ，、、、； 1,3,6,10，、、、； 1,4,9,16，、、、. ② 数列的通项公式：如果数列的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. （作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.） ③ 数列的表示方法：列表法、图象法、通项公式法. 3. 例题讲解： 例、写出下面数列的通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ①－1，12，－14，18 ，… ②1，－1,1，－1，… 练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) 3, 5, 7, 9, 11,……； (2) 32, 154, 356, 638, 99 10, ……； (3) (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； 4.数列的递推公式： ①数列的递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. ②数列的表示法：列表法、图象法、通项公式法、递推公式法. 4.例题讲解： 例、已知数列{}n a 的首项11 12,1(1)n n a a n a -==->，求出这个数列的第5项. 例、已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ． 讲授新课：等差数列的通项、首项、公差 1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． 2、若等差数列{}n a 的首项是 1a ，公差是d ，则n a = ． 3、通项公式的变形：
数学必修5等差数列练习题 一、选择题：(每题5分，共40分) 1．记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（ ） A 、2 B 、3 C 、6 D 、7 2．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 3．若等差数列的前5项和，且，则（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 4．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138 B ．135 C ．95 D ．23 5．已知数列{}n a 对任意的* p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165- B ．33- C ．30- D ．21- 6．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ ） （A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45 7．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ） A.130 B.170 C.210 D.260 8．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ） A.5 B.4 C. 3 D.2 二、填空题：(每题5分，共20分) 1．已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = ___________ 2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9,则S 16=. 3．在△ABC 中，若三内角成等差数列，则最大内角与最小内角之和为_____. 4．在数列}{n a 中，31=a 0,(2,)n n N =≥∈，则n a = 三、解答题(每题10分，共40分) 1．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，求 S 6 S 12的值。 2．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390， 求这个数列的项数n 。 3．已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足.66,21661==S a a 求数列}{n a 的通项公式n a . 4．数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-+2，求数列{}n a 的通项公式。 {}n a 525S =23a =7a =
2.1 等差数列（一） 教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题； 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导， 归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式； 会用公式解决一些简单的问题。 教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 教学过程： 创设情境导入新课 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 先看下面的问题： 为了使孩子上大学有足够的费用，一对夫妇从小孩上初一的时候开始存钱，第一次存了5000元，并计划每年比前一年多存2000元。若小孩正常考上大学，请问该家长后5年每年应存多少钱？ 引导学生行先写出这个数列的前几项：7000，9000，11000，13000，15000 观察这个数列项的变化规律，提出生活中这样样问题很多，要解决类似的问题，我们有必要研究具有这样牲的数列——等差数列 师生互动新课探究 像这样的数列你能举出几个例子吗？ 0，5，10，15，20，……① 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 48，53，58，63 ② 3，3，3，3，3，……④
看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析） 引导学生观察相邻两项间的关系，得到： 对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ； 对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0 ； 由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。 归纳总结 形成概念 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义： 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，0。 注意：从第二项起．．．．．，后一项减去前一项的差等于同一个常数．．．．． 。 1．名称：等差数列，首项 )(1a ， 公差 )(d 2．若0=d 则该数列为常数列 3．寻求等差数列的通项公式： d a d d a d a a d a d d a d a a d a a 3)2(2)(1134112312+=++=+=+=++=+=+= 由此归纳为 d n a a n )1(1-+= 当1=n 时 11a a = （成立） 选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式： （迭加法）： }{n a 是等差数列，所以 ,1d a a n n =-- ,21d a a n n =--- ,32d a a n n =--- …… ,12d a a =- 两边分别相加得 ,)1(1d n a a n -=- 所以 d n a a n )1(1-+=
第二单元数列的概念和等差数列 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知数列{}n a 满足10a =且* 12()n n a a n n N +=+∈,则4a 等于 A.4 B.7 C.9 D.11 2.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,若336,12a S ==,则公差d 等于 A.1 B. 5 3 C.2 D.3 3.在等差数列{}n a 中,2343,9a a a =+=,则16a a 的值是 A.14 B.18 C.21 D.27 4.数列2,6,12,20,的一个通项公式是 A.42n a n =- B.1 23n n a -=? C.1 n n a n += D.(1)n a n n =+ 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若369,36S S ==,则789a a a ++等于 A.63 B.45 C.36 D.27 6.在正项数列{}n a 中222* 12111,2,2(,2)n n n a a a a a n N n +-===+∈≥,则6a 等于 A.16 B.8 C.7.在等差数列{}n a 中,31734a a +=,则此数列的前12项和等于 A.12 B.26 C.8 D.16 8.设数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,已知1472899,62a a a a a ++=+=,若对任意*n N ∈,都有n k S S ≤成立,则k 的值是 A.19B.20C.21D.22 9.若数列{}n a 的通项公式为*1241,()n n n a a a a n b n N n ++ +=-=∈,则数列{}n b 的前n 项和n T 等于 A.2 n B.(1)n n + C.(2)n n + D.(21)n n + 10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若249a a a ++为一个确定的常数,则下列各个和中,也为确定的常数的是 A.8S B.9S C.12S D.13S 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1,m >且2 1121,38m m m m a a a S -+-+==,则m 等于 A.38 B.20 C.10 D.9
高中数学必修五：等差数列的前n 项和（解析版） 1．(2014·广东七校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 答案：B 解析：由S 2＝4，S 4＝20，得????? a 1＋a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20. ∴????? 4a 1＋2d ＝8，4a 1＋6d ＝20. ∴d ＝3. 2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12 ＝( ) A.310 B.13 C.18 D.19 答案：A 解析：设{a n }的公差为d ，则 S 3S 6＝3a 1＋3×22d 6a 1＋6×52d ＝a 1＋d 2a 1＋5d ＝13， ∴a 1＝2d . ∴S 6S 12＝6a 1＋6×52d 12a 1＋12×112d ＝2a 1＋5d 4a 1＋22d ＝9d 30d ＝310. 故应选A. 3．设{a n }(a ∈N ＋)是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 11S 14，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 13＝0 C ．S 15>S 11 D ．S 12和S 13均为S n 的最大值 答案：C
解析：由已知条件得，S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n (n ∈N ＋，d <0)的图像是开口向下的抛物线上的分散点，其对称轴是x ＝6.5. 故应选C. 4．(2014·漳州模拟)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝( ) A ．n －1 B ．n C ．2n －1 D ．2n 答案：C 解析：由已知可得S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)，又S n ＋S n －1＞0，故S n －S n －1＝1，所以数列{S n }是等差数列，其公差为1，首项S 1＝1，故S n ＝n ，即S n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时也适合上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，故应选C. 5．(2014·济南三模)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010 ＝2，则S 2 012的值等于( ) A ．－2 011 B ．－2 012 C ．－2 010 D ．－2 013 答案：B 解析：∵S 1212－S 1010 ＝2， ∴12(a 1＋a 12)212－10(a 1＋a 10)210 ＝2， 故a 12－a 10＝4， ∴2d ＝4，d ＝2， ∴S 2 012＝2 012×(－2 012)＋ 2 012×(2 012－1)×22 ＝－2 012. 6．在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是________． 答案：5或6 解析：∵d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3＝－a 9， ∴a 1＋2d ＝－a 1－8d ， ∴a 1＋5d ＝0，∴a 6＝0， ∴a n >0，(1≤n ≤5)
等差数列的概念、性质 教学目标 教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系； 教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。 知识梳理 1. 等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 来表示。用递推关系系表示为()1n n a a d n N ++-=∈或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式 若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d =+- 3. 等差中项 如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项 4. 通项公式的变形 对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有： ()11p a a p d =+- ()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>= 5. 等差数列与函数的关系 由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。 6. 等差数列的性质及应用 （1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=
（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数） （3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数） （4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数） （5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈ （6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列 （7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列 典例讲练 类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解 例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n = A.672 B.673 C.662 D.663 解析：由题意得()()1111334,n a a n d n n =+-=-+-?=-令2015n a =，解得673n = 答案：B 练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n = A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A 练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n = A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B 例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-6 解析：由题意知670,0a a ≥< 所以有 1152350 62360a d d a d d +=+≥+=+<解得 2323,456 d d Z d -≤<-∈∴=- 答案：C 练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D 练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2.2等差数列的概念及通项公式 【基础练习】 1.写出数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数 (1).1，3，5，7 (2).2，4，6，8 (3).4，7，10，13 (4).101，51，103，5 2 2.如果12+=n a n ，则____12=-a a ，____23=-a a ，____1=-+n n a a .根据其特点，你得出的结论是_____________. 3.某货运公司的一种计费标准是：1公里以内收费5元，以后每1公里收2.5元，如果运输某批货物80公里，那么需支付_______元运费. 4.已知数列{}n a 满足11=a ，11+=+n n a a ，求=n a _______. 5. .已知数列{}n a 满足11=a ， 1111=-+n n a a ，求n a . 【巩固练习】 1.已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是 ( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 使首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （ ） A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 3.如果数列}{n a 是等差数列，则 （ ） A.5481a a a a +<+ B.5481a a a a +=+ C.5481a a a a +>+ D.5481a a a a = 4.在首项为81，公差为－7的等差数列{a n }中，最接近零的是第 （ ） A ．11项 B ．12项 C ．13项 D ．14项 5.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113 a a - 的值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6.等差数列{}n a 中，p a q =，q a p =（p q ≠），那么p q a +=
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座28）—数列概念及等差数列 一．课标要求： 1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数； 2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式； 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系。 二．命题走向 数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高。 预测07年高考： 1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题； 2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题。 三．要点精讲 1．数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=? ； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 （5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前 一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个
台州市高三期未统考参考答案（文） 一、1—5 CAADD 6—10 CBBBC 二、11．21 12．3 π 13．3 14．20 三、15．(1)由题意得x x f 2sin 3)(=，则T π=；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 (2)由222,22k x k k Z π π ππ-+≤≤+∈，解得,44k x k k Z π π ππ-+≤≤+∈， 则()f x 的单调递增区间是,44k k k Z ππππ??-++∈???? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分 16． (1)由题意得2214a a a =,则()()21113a d a a d +=+, 解得21a d d = , ∵0d ≠ ∴1a d =；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 (2)∵101109101102 s a d ?=+=, ∵1a d = , ∴12a d == , ∴2n a n = ┅┅14分 17．（1）∵⊥1BB 面A 1B 1C 1D 1，⊥1DD 面A 1B 1C 1D 1，∴BP 在面A 1B 1C 1D 1的射影是B 1D 1，又∵1111C A D B ⊥ ∴PB ⊥A 1C 1；… 7分 （2）连结BC 1，PC 1，BC 1//AD 1，则1PBC ∠或其补角为PB 与AD 1所成的角，又2 22cos 1212121=?-+=∠BC BP PC BC BP BPC ，所以41π =∠PBC ；…14分 18．(1) P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x 2+3240x-5000 ([]1,20x N x ∈∈且)┅6分 (2) P ’(x)=-30x 2+90x+3240=-30(x+9)(x-12) ([]1,20x N x ∈∈且)┅9分 当1 等差数列的概念、等差数列的通项公式 从容说课 本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论——拓展开放，巩固提高.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究. 在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化. 教学重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题. 教学难点(1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用; (2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式. 教具准备多媒体课件，投影仪 三维目标 一、知识与技能 1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项. 二、过程与方法 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力； 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性. 三、情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识. 教学过程 导入新课 师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子) (1)0，5，10，15，20，25，…; (2)48，53，58，63，…; (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…; (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，…. 请你们来写出上述四个数列的第7项. 生第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510. 师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说. 生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7等差数列的概念、等差数列的通项公式 说课稿 教案
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