函数的微分和逆矩阵求法 数学102班：张学亮 指导教师：连铁艳 （陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021） 一、1.一元函数的高阶微分 定义 1 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ?， 且0()o x x U x +?∈时，相应地函数有增量 00()()y f x x f x ?=+?-， 如果其增量可表示为 ()y A x o x ?=?-?， 其中A 不依赖于x ?，则称函数()y f x =在点0x 处一阶可微，并称A x ?为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分，记作dy ，即 0|x x dy A x ==?。 可证 A=0'()f x 即 00|'()x x dy f x dx ==。 定义 2 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ?，且0()o x x U x +?∈时，相应地函数有增量 00()()y f x x f x ?=+?- 如果其增量可表示为 () 2 ()2! B y A x x o x ?=?+ ?-?， 其中A ，B 不依赖于x ?，则称函数()y f x =在点0x 处二阶可微，并称A x ?，2 ()B x ?为函数 ()y f x =在点0x 处的一阶微分、二阶微分，记作2 ,dy d y ，即 0|x x dy A x ==?，0 22 |()x x d y B x ==?。 可证 00'(),''()A f x B f x == 即 00|'()x x dy f x dx ==，()2 2 0''d y f x dx =。 根据以上形式，我们可以借助第五章的泰勒公式来定义函数的更高阶的微分 定义 3 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ?，且0()o x x U x +?∈时，相应地函数有增量 00()()y f x x f x ?=+?- 如果其增量可表示为 () () ()2 212! ! n n n A A y A x x x o x n ?=?+ ?++ ?-? ，
矩阵微分运算 矩阵的微分运算 1 纯量对向量求导 T 1()(,,)n f f x x x x == T 1d (,,)d n f f f x x x ??=??（列向量） 2 纯量对矩阵求导 ()()d ()d i j n m n m ij f f X X x f f X x ??==?=? 3 向量对向量求导 T T 11()(,,)(,,)m n g g x g g g x x x === d ()d i m n j g g x x ??=? 4 复合函数求导 T T T 11()(),(,,),(,,),:n m f u x Ru x x x x u u u R m m ===? T T T d d [][]d d u Ru u R R u x x =+ T T T T 111()(),(,,),(,,),(, ,),:n m p f u x Rv x x x x u u u v v v R m p ====? T T T T d d d [][]d d d u Rv v u R u Rv x x x =+ T T 11(),(),(,,),(,,)n m f f y y y x x x x y y y ==== T d d d []d d d f y f x x Cy = 易知： （1）T T d d d d x x I x x == （2）d d Ax A x = （3）T d ,:d c x c c x =列向量 （4）T T d ()d x Ax A A x x =+ （5）T d 2d x x x x = 5 矩阵的迹的求导 设,,X A B 是适当维阵（不一定是方阵），但有关的乘积是方阵。
矩 阵 微 分 法 在现代控制理论中，经常会遇到矩阵的微分（导数），如对表达式 d d A B 来说，由于A 和B 都可能是数量、向量或矩阵，可代表九种不同的导数。除数量函数对数量变量的导数外，还剩下八种。下面分别介绍八种导数的定义和运算公式。 一、 相对于数量变量的微分（自变量是数量变量，如时间t ） 定义1 对于n 维向量函数 []12()()()......()T n t a t a t a t = a 定义它对t 的导数为 12()() ()()T n d a t d a t d a t d t dt dt dt dt ?????? a ……… （1－1） 定义2 对于n × m 维矩阵函数 1112112()()()()()()()()n i j nm n n nn a t a t a t t a t a t a t a t ?? ????= =?????? ?? A 定义它对t 的导数为 1111212()()()()()()()()T n i j n m n n n n da t da t da t dt dt dt da t d t dt dt da t da t da t dt dt dt ?? ??? ??? =?????????? ??? ? A ………（1－2） 我们不难看出，上述两个定义是一致的。当矩阵A (t) 退化为向量a (t)时，定义2就变为定义1。再退一步讲，当向量a (t) 退化为数量函数a (t)时，定义1就变为一般的导数定义。这说明这样定义是合理的，是统一的。 根据上述的两个定义，我们还可以推出下列的运算公式 {}()() ()()d d t d t t t dt dt dt ±= ±A B A B ………（1－3） {}()() ()()()()d d t d t t t t t dt dt dt ?= ?+?A A A λλλ ………（1－4） (t )λ——为变量t 的数量函数
在网上看到有人贴了如下求导公式： Y = A * X --> DY/DX = A' Y = X * A --> DY/DX = A Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B' Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A' 于是把以前学过的矩阵求导部分整理一下： 1. 矩阵Y对标量x求导： 相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了 Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx] 2. 标量y对列向量X求导： 注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量 y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'
3. 行向量Y'对列向量X求导： 注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。重要结论： dX'/dX = I d(AX)'/dX = A' 4. 列向量Y对行向量X’求导： 转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。dY/dX' = (dY'/dX)' 5. 向量积对列向量X求导运算法则： 注意与标量求导有点不同。 d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)
d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U' 重要结论： d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X 6. 矩阵Y对列向量X求导： 将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。 7. 矩阵积对列向量求导法则： d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX) d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX) 重要结论： d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A
第九讲 矩阵微分方程 一、矩阵的微分和积分 1. 矩阵导数定义：若矩阵ij m n A(t)(a (t))?=的每一个元素a (t)ij 是变量t 的可 微函数，则称A(t)可微，其导数定义为 ij m n da dA A (t)()dt dt ?'== 由此出发，函数可以定义高阶导数，类似地，又可以定义偏导数。 2. 矩阵导数性质：若A(t),B(t)是两个可进行相应运算的可微矩阵，则 （1）d dA dB [A(t)B(t)]dt dt dt ±=± （2） d dA dB [A(t)B(t)]B A dt dt dt =+ （3）d da dA [a(t)A(t)]A a dt dt dt =+ （4） () ()()()tA tA tA d d e Ae e A cos tA A sin tA dt dt ===- ()()()d sin tA A cos tA dt = (A 与t 无关) 此处仅对tA tA tA d (e )Ae e A dt ==加以证明 证明： tA 2233223d d 111 (e )(1tA t A t A )A tA t A dt dt 2!3!2! =++++=+++ 22 tA 1A(1tA t A )Ae 2! =++ +=
又22 tA 1(1tA t A )A e A 2! =++ += 3. 矩阵积分定义：若矩阵A(t)(a (t))m n ij =?的每个元素ij a (t)都是区间 01[t ,t ]上的可积函数，则称A(t)在区间01[t ,t ]上可积，并定义A(t)在01[t ,t ] 上的积分为 1 100ij t t A(t)dt a (t)dt t t m n ?? =?? ???? 4. 矩阵积分性质 （1）1 1 1 000 t t t t t t [A(t)B(t)]dt A(t)dt B(t)dt ±=±??? （2）1 1110000t t t t t t t t [A(t)B]dt A(t)dt B,[AB(t)]dt A B(t)dt ???? == ? ? ? ????? ???? （3）t b a a d A(t )dt A(t),A (t)dt A(b)A(a)dt '''==-?? 二、 一阶线性齐次常系数常微分方程组 设有一阶线性齐次常系数常微分方程组 1 1111221n n 22112222n n n n11n22nn n dx a x (t)a x (t)a x (t)dt dx a x (t)a x (t)a x (t)dt dx a x (t)a x (t)a x (t) dt ?=+++???=+++? ??? ?=+++?? 式中t 是自变量，i i x x (t)=是t 的一元函数(i 1,2,,n),= ij a (i,j 1,2,,n)= 是常系数。 令