当前位置：文档之家› 初等变换与等价矩阵

初等变换与等价矩阵

第六讲初等变换与初等矩阵

一、考试内容与考试要求

考试内容

矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价．

考试要求

（1）掌握矩阵的初等变换及用途；

（2）了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念．

二、知识要点

引入由于初等行变换具有不改变线性方程组的解、初等变换不改变矩阵秩等特点，初等变换在线性代数课程的学习中占有重要的作用，它的应用贯穿了全课程的内容，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练．本讲通过对初等变换这个知识点的用途进行总结，学习相关内容．

1．初等变换与初等矩阵

线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法：用同解变换把方程组化为阶梯形方程组．线性方程组的同解变换有三种：①交换两个方程的上下位置．②用一个非0的常数乘某个方程．③把某个方程的倍数加到另一个方程上．

以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换．

（1）初等变换

矩阵有以下三种初等行变换：

①交换两行的位置；

②用一个非0的常数乘某一行的各元素；

③把某一行的倍数加到另一行上．(称这类变换为倍加变换) ．

类似地，矩阵还有相应的三种初等列变换，初等行变换与初等列变换统称初等变换．每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵（行最简形）．

一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是惟一的，但是其非零行数和台角位置是确定的．一个矩阵用初等行变换化得的行最简形是惟一的．行最简形矩阵应用最多，它的特点是：非零行的第一个非零元素为1，且这些非零元所在的列的其他元素都是0．

注：表示初等变换：r

：表示初等行变换；

：表示初等列变换；

i j

r r

：将第i行

与第j行进行对换，

j i

r kr

将第i行各个元素的k倍加到第j行相应元素上；等等．

（2）矩阵的等价

矩阵之间的关系有三种情形：等价、相似与合同．其中相似与合同分别在第十四讲和第

十五讲中学习，这里首先学习矩阵的等价．

定义：矩阵A 经有限次初等变换得矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ．

A B 的充分必要条件是下列任一条件：

① 存在可逆矩阵P Q 和，PAQ B =使； ② A 与B 有相同的秩．其中A 、B 为同型矩阵； ③ A 与B 有相同的等价标准形； ④ 存在初等矩阵1112,

,,,,,,s s t P P P Q Q Q -，1112s s t P P P AQ Q Q B -=使；

矩阵A 经有限次初等行变换得矩阵B ，则称矩阵A 与B 行等价，记为r

A B ；矩阵A 经有限次初等列变换得矩阵B ，则称矩阵A 与B 列等价，记为c

A B ．等价的性质 ① 反身性：A A ② 对称性：若A B ，则B

③ 传递性：若A

B ，B

C ，则A C

由上面可得矩阵A 可逆的充分必要条件 ① A

E ；

② 是它可表示成有限个初等矩阵的乘积； ③ 存在可逆矩阵,P Q ，PAQ E =使. （3）初等矩阵

对单位矩阵实施一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵．初等矩阵有三种：

① 交换E 的,i j 行（或列）得到的初等矩阵，记为(,)E i j 或ij E ；

② E 的i 行（或列）乘以不为零的数k 得到的初等矩阵，记为(())E i k 或()i E k ； ③ E 的第i 行（或列）乘以数k 加到第j 行（或列）上得到的初等矩阵，记为

(,())E i j i k +或()ij E k ．

（4）初等矩阵的性质利用行列式的性质，很明显有

① 1ij E =- ② ()i E k k =（0k ≠） ③ ()1ij E k = 由于初等矩阵的行列式不为零，故初等矩阵是可逆的，其逆为： ④ 1

ij E E -= ⑤ 111

()()i i E k E k

--=（0k ≠） ⑥ 1()()ij ij E k E k -=-

证明 ⑥

()()ij ij E k E k ?-=111

?? ? ? ?

? ? ? ? ??

?111

1i k

j ??

? ? ? ?

? ?- ? ? ??

行行 =11()

1i k k j ??

? ? ? ?

? ?+- ? ? ??

行行=E ⑦ T ij ij E E = ⑧ ()()T i i E k E k =（0k ≠） ⑨ ()()T

ij ji E k E k =

⑩ *ij ij E E =- ② *

1()()i i E k k E k

=?（0k ≠） ③ *()()ij ij E k E k =-

证明 ⑩*1

ij ij ij

ij E E E E -==-，其它类似可证明．

这些公式在解题时可直接用结论，不用计算．这样可简化运算，如利用1

ij ij E E -=有：

100100001001010010-???? ? ?= ? ? ? ?????

每一种初等变换都对应一种初等矩阵．对A 进行一次初等变换行（列）变换，相当于

左（右）乘一个同类型的初等矩阵．

2．初等变换的用途

以初等变换的用途为例探讨这种角度的学习．这里总结了初等变换这个知识点的九种用途．

（1）求解线性方程组Ax b =或Ax o =的解，即： (,)

A b 行最简形

（2）求矩阵的逆，即：

(,)(,)r

A E E A - 或 1c E A E A -???? ? ?????

（3）求矩阵方程AX B =的解，当A 可逆时，有： 1

(,)(,)(,)r

A B E A B E X -=

（4）求矩阵的秩，即：

r c

A r

E O O

O ??

???

或化成行（或列）阶梯形，其中非零行（或列）的个数为秩．

（5）求向量组A 的最大线性无关组，即： r

A 行最简形

从行最简形得出向量组A 的最大线性无关组．（6）判断向量组的线性相关与线性无关性

由Ax o =的解是非零解或惟一零解来判断向量组的线性相关与线性无关性：

n 维向量组12,,,m ααα??

线性无关:Ax=o 有唯一零解

线性相关:Ax=o 有非零解或由向量组的秩，来判断向量组的线性相关与线性无关性：若12(,,,)m R m ααα<，向量组线性相关；若12(,,,)m R m ααα=，向量组线性相

关．

（7）判断向量β是否可由向量组12,,,m ααα线性表示，即：

记A =12(,,

,)m ααα，需判断Ax β=是否有解，即()(,)R A R A β=是否成立．

（8）判断向量组12,,,s ααα与12,,,t βββ的等价，即：

记A =12(,,,)s ααα，12(,,)t B βββ=，则()(,)()

R A R A B R B ==时两个向量组

等价．

（9）若A 行等价于B ，即r

A B ，则PA B =，可求出P ：

(,)(,)r

A E

B P

或 c

A B ，则AP B =，可由c A B E P ????

? ?????

求出P 。

（10）求矩阵A 特征向量

获得矩阵A 的特征值后，用初等变换求解齐次方程()E A x o λ-=，得到特征向量．

三、基础训练

以下的例题是按上述的初等变换的用途按顺序举例的．例1 求解线性方程组．

123412341

2343133445980

x x x x x x x x x x x x +--=??

--+=??+--=? 解 11311(,)3134415980A b --?? ?=-- ? ?--??r

113110467104671--??

?- ? ?--??

11311371012440000

0--??

? ?--- ? ??

33510244371

0124400000?

?--

? ?--- ?

? ? ??

得 134234335244

371244

x x x x x x ?=-+????=+-??，

齐次方程组的基础解系 1ξ=33(,,1,0)22

，2ξ=37

(,,0,1)44

T -

原方程组的一个特解为51(,,0,0)44

-，故原方程组的全部解为 133(,,1,0)22

c +237(,

,0,1)44T c -+51

(,,0,0)44

T - （21,c c R ∈）例1' 求解下面的线性方程组，并用基础解系表示线性方程组的全部解．

???

??=---=--+=+++0

3402220

224321

43214321x x x x x x x x x x x x 解这仍然是为初等变换的用途1的举例．

? ??-----=34112212122

1A r

????

? ??------46304630122

????

??000046301221 ()2R A =；???--=+=4

32431463563x x x x x x ，得基础解系1ξ=(2,2,1,0)T -，2ξ=54(,,0,1)33T

-．

方程组的全部解为1(2,2,1,0)T

c -+25

4(,,0,1)33

c -（21,c c R ∈）．

例2 设020

00000220011A ?? ?

= ?

-??

，求1-A ．

解因为80A =≠，A 可逆，且

(,)A E =??

??-100011000100220000100001

00010

020r

????????

? ?

?-21410

000214100010000021

001000100001

有 1

-A =010

010002110042110042?? ? ? ?

? ? ? ?- ??

例2' 设1210000

000000

0n n

a a A a a -?? ? ?

?= ? ? ???

（),,2,10n i a i =≠，，求1-A ．解只要r

A E ，即可判断A 可逆．故

(,)A E =1

111

1n n

a a a a -?

? ?

? ? ? ??

? 11212

n n n n r r r r r r ---???1

111

n a a a a -?? ? ? ? ? ? ??

11011111

n n a a a a -?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

1-A =121

1000100

0100

100

0n n a a a a -?? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ??

例3 求解矩阵方程X A AX +=，其中220213010A ?? ?

= ? ???

．

解 X A AX +=，A X AX =-，A E A X 1

)(--=

)(E A -=220213010?? ? ? ??????????

???-100010001=120203011??

? ? ?

-??,

0≠-E A ),(A E A -=120220203213011010??

? ?

?-??

120220011010043233??

?- ? ?---??

120220011010043233??

?- ? ?---??r

120220010203001213??

?- ? ?--??

100226010203001213-??

?- ? ?--??

=(,)E X

故 22

6203213X -?? ?

=- ? ?--??

例4 设向量组??????? ??-=11211α，??????? ??--=13212α，????

??? ??=0023t α的秩为2，求t 的值．

解 A =??????

??---01131022211

t ??????

?--00031011211

t ??????

?-0002001121

t ???

? ??--0002022021

?-00020022021

1t ，()2R A =，02=-t ，2=t ．例5 求向量组1T

α=（1,1,2,3），21,1,1T α=-（,1），31,3,3T α=（,5）， 4,2,5T α=-（4,6），5,1,5T

α=--（-3,-7）的秩和它的一个最大无关组，并将其余向量用

此最大无关组表示．

解 A =12345(,,,,)ααααα=

3113212135531

567-??

--- ?

-??

11143022620113102262-?? ?-- ? ?-- ?--??r

111

3011310226202262-??

-- ?

--??

r 111

3011310000000

000-??

-- ? ?

21201131000000

0000-??

-- ?

? ?

()R A =2，12,αα为一个最大线性无关组，3122ααα=-，4123ααα=+，5122ααα=--．

例6 设1α=????

? ??111，2α=123?? ? ? ???，3α=13t ?? ?

? ?

??．（1）

问t 为何值时，向量组123,,ααα线性相关？

（2）问t 为何值时，向量组123,,ααα线性无关？（3）当向量组123,,ααα线性相关，将3α表示成12,αα的线性组合．

解利用向量组的秩判断．设123(,,)A ααα=，则

11112313A t ??

?= ?

???

111012021t ??

? ? ?-??

1012005t ?? ? ?

?-??

（1）当5t =时，向量组123,,ααα线性相关．（2）当5t ≠时，向量组123,,ααα线性无关．（3）当123,,ααα线性相关时，即5t =，有

111012000??

? ? ???

101012000-??

? ? ???

所以3122ααα=-+．

例7 设有三维向量

1111λα+?? ?= ? ???, 2111αλ?? ?=+ ? ???,3111αλ?? ?= ? ?+??, 20βλλ??

= ? ???

问λ取何值时，（1） β可由123,,ααα线性表示, 且表达式惟一; （2） β可由123

,,ααα线性表示, 但表达式不惟一;（3） β不能由123,,ααα线性表示.

解设112233x x x αααβ++=，将分量代入得到方程组

1231232123

(1)0(1)(1)x x x x x x x x x λλλλλ?+++=?

+++=??+++=? 记123(,)(,,,)A βαααβ=，对增广矩阵作初等行变换

(,)A β=123(,,,)αααβ=211101

11111λ

λλλλ+?? ?+ ? ?+??

22111

λλλλλλλ+??

?- ? ?---?

?221110

0300λ

λλλλλλ+??

?- ? ?--+?

? （1）若030λλλ≠+≠2

且，即03λλ≠≠-且，则()(,)3R A R A β==，方程组有惟一解，所以β可由123,,ααα惟一线性表示．

（2）若0λ=，则()(,)R A R A β==1，方程组有无穷多解，即β可由123,,ααα线性表示，但表示法不惟一．

（3）若3λ=-，则()2R A =，(,)3R A β=，方程组无解，即β不能由123,,ααα线性表示．

例8 已知向量组（I ）：1α=011?? ? ? ???，2α=110?? ? ? ???；（II ）：1β=101-?? ? ? ???，2β=121?? ? ? ???，3β=321??

? ?-??

，

证明（I ）组与（II ）组等价．

解记12(,)A αα=，123(,,)B βββ=，有

()01113,1102210111A B -??

= ? ?-??

110220111310111??

?- ? ?-??

110220111301113??

?- ? ?---??r

110220111300000??

?- ? ???

， ()()(,)R A R B R A B ===2，故（I ）组与（II ）组等价．

例9 求矩阵011101110A ??

= ? ???

的特征值和特征向量．

解

E A λ-=λ

1111

1------=233--λλ=)2()1(2-+λλ=0

特征值为：21=λ，132-==λλ．

当21=λ时，用初等行变换求得???=-=323212x x x x x ，特征向量是111k ??

??，0k ≠．

当132-==λλ时，用初等行变换求得321x x x --=，特征向量是12110110k k --???? ? ?

+ ? ?

? ?????

（12,k k 为常数且不同时为零）．

四、综合训练

例6.1 下列矩阵中，那些是行最简形？

（1）1010100110000A ?? ?= ? ??? （2）2110101110000A ?? ?= ? ??? （3）3110100110000A ??

?= ? ???

解 1A ，3A 非零行的第一个非零元素为1，且这些非零元所在的列的其他元素都是0，故是行最简形．

2A 不是，但2110101110000A ??

= ? ???

101001110000-??

? ? ???

为行最简形．例6.2 设A 、B 为同阶可逆矩阵, 则

(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P , 使B AP P =-1

= (D) 存在可逆矩阵P 和Q , 使B PAQ = 解 (D)正确。

因为A 可逆, 存在可逆11,P Q 使： 11P AQ E = 因为B 可逆, 存在可逆22,P Q 使： 22P BQ E = 所以11P AQ =22P

BQ ，于是有 11

2112P P AQ Q B --=

令121P P P -=, 1

12Q Q Q -=，即B PAQ =.

3,12,23,A A B B C AQ C Q = 例6.3(数一,04,4分)设是阶方阵将的第列与第列交换得再把的第列加到第列得则满足的可逆矩阵为

(A) 010100101??

? ? ??? (B)

1010100

1??

? ? ??

? (C) 010100011??

? ? ??? (D) 0

1110000

1?? ? ? ??

解 (D)正确．因为进行初等列变换，相当于右乘一个同类型的初等矩阵，故有题设，有

A 010100001??

? ???=B ，B 100011001C ??

?= ? ???

于是 A 010100001?? ? ? ???100011001?? ? ? ???=011100001A C ??

?= ? ???

故选 (D)．

例6.4 设11121321

222331

33a a a A a a a a a a ??

?= ? ???

, 21

2223

121331213222

3323a a a B a a a a a a a a a ??

?= ? ?---??

, 10101

00001P ??

?= ? ???

, 设有P 2P 1A = B , 则P 2 =（）． (A) 100010101??

? ? ???

(B) 100010101??

? ? ?-??

? ? ???

(D) 101010001-??

? ? ???

解 (B)正确。由于左乘一个初等矩阵，相当于进行一个同类型的初等行变换， P 1A 表

示互换A 的第一、二行. B 表示A 先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－

1)加到第三行. 所以P 2 = 100010101?? ?

? ?-??

，故选(B).

例6.5（数一，97，5分）设A 是n 阶可逆矩阵，将A 的第i 行和第j 行交换后得到的矩阵记为B ．(1) 证明B 可逆；(2) 求1

AB -．

解 (1) 由于将A 的第i 行和第j 行交换后得到矩阵B ，故ij B E A =，于是有

0ij B E A A ==-≠，故B 可逆．

(2) 1

AB -=1()ij A E A -=11ij AA E --=1

ij E E -=．

例6.6（数一，05，4分）设A 是3阶可逆矩阵，交换A 的1，2行得B ，则（A ）交换*A 的1，2列得到*B （B ）交换*A 的1，2行得到*B （C ）交换*A 的1，2列得到*B - （D ）交换*A 的1，2行得到*B -

解（C ）正确。由于交换A 的1，2行得B ，故存在初等矩阵12E ，有12E A B =，则

*****1*1212121212()B E A A E A E E A E -====-

即**

12A E B =-，交换*A 的1，2列得到*B -，故选（C ）．

例6.7 （数三，04，4分）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有

(A) 当(0)A a a =≠时，B a = (B) 当(0)A a a =≠时，B a =- (C) 当0A ≠时，0B = (D) 当0A =时，0B =

解 (D)正确。因为矩阵A 与B 等价，即A 经初等矩阵得B ，A 与B 等价的充分必要条件是A 与B 有相同的秩．当0A =，()R A =()R B

经初等变换其行列式的值不一定相等或保持变号，故(A) 、(B)不正确．当0A ≠，()R A =n ，而0B =，()R A

例6.8 设A , B 都是n 阶方阵, 试证明:

||E AB B

E A -=.

解用初等变换A E E B ??

???

将化为分块上或下三角矩阵．

因为 0

0E A A E E A B

E E B E

B --??????=

???

???????

即 0000E E A A E E

B E E E B E AB -????????= ????? ?-????????

这一步借助了左乘一个初等矩阵相当于进行初等行变换，只是这里矩阵是分块矩阵．所以

E B E B E E A E A E E

E -=

-00

有 2

(1)11||0

n A E E B

AB E E

B E AB

-??

=?--

所以

||E AB B

E A -=

例6.9设B A ，为n 阶可逆方阵，求证1

A C

C -?? ?-??=1111111B CA B A B CA

B -------??- ?-?? 解令A

A P C

C ?

-??，想法把P 写成两个分块三角矩阵的乘积．

将P 的第1列的（-1）倍加到第2列（右乘一个初等矩阵，相当于进行一个同类型的初等列变换），即

A E E A O C

C O E C B B -??????= ??? ?--??????

A A A O E E C B

C C

B B O E --??????

? ? ?--?????? 1

A A C

C -??= ?-??1

E E A

O O E C B B --???? ???-????=1111()E E A O O E B C B A B -----??

?? ? ?--????

=1111111()()A B C B A B B C B A

B -------??+-- ?--?? 由于 1

11()[()]A B C B A

E B C B A -----+-=+-

1111()E B C E A B CA ----=+-=

()()B C B

A B C E A B C A A -------

--=-+=-+ 所以 1

A C

C -?? ?-??=1111111B CA B A B CA

B -------??- ?-?? 注这道题是第五讲的例5.5．在这用初等矩阵的性质进行求解显的不简单，但学生应对这种方法有所了解．

例6.10 设A 是n m ?矩阵，m n <，其秩m A R =)(，则（）正确．（1）存在m 阶可逆阵P ，使),(O E PA m = （2）存在m 阶不可逆阵Q ，使),(O E QA m =

（3）齐次线性方程组Ax o =只有零解

（4）非齐次线性方程组b Ax =一定有无穷多解

解（4）正确. 证明：非齐次方程b Ax =的系数增广矩阵的秩满足 ()(,),m R A R A b m =≤≤

于是，()(,)R A R A b m n ==<=未知元个数，从而方程b Ax =必有无穷多解.

不正确的情形用反例说明：

（1）不正确. 因P 是可逆矩阵，2(,)PA E O =表示对A 进行有限次初等行变换化为

),(2O E ，举反例：取100011A ??

= ?

，显然，对A 作任何的初等行变换均不能变成为),(2O E .

（2）不正确.反例：取010100A ??

= ???，设若存在一个2阶矩阵,?

? ??=d c b a Q 使2(,)QA E O =，即

01000010b a d c ????

= ? ?????

比较上式两矩阵的对应元素，得,0110???

??=Q 0Q ≠，故对于上述矩阵A ，不存在不可逆的2阶矩阵Q ，使).,(2O E QA =

（3）不正确.反例：取,110001?

???

??=A 则显然?

???

? ??-=110x 是它的非零解.

矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答

矩阵与线性方程组问题1：矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系？答：对矩阵施行初等变换后得到的矩阵与原矩阵等价，而等价的矩阵有相同的等价标准型，从而有相同的秩。换言之，对矩阵施行初等变换不改变秩。于是利用这一性质，可以求出矩阵的秩。其过程可以描述为A 经过一系列初等变换化为阶梯形，阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。问题2：线性方程组解的判定与矩阵的秩之间有何关系？答：齐次线性方程组0=?x A n m 必有解：当n A r =)(时，只有零解；当n A r <)(时，有非零解。非齐次线性方程组b x A n m =?分有解和无解的情况，有解时分有唯一解还是无穷多解： b x A n m =?无解)~()(A r A r ≠? b x A n m =?有解)~()(A r A r =? 有解的情况下：b AX n A r A r =?==)~()(有唯一解； b AX n A r A r =?==)~()(有无穷多解。其中),(~ b A A = 为增广矩阵。问题3：已知A 是n m ?矩阵，B 是s n ?矩阵，且O AB =，证明：.)()(n B r A r ≤+ 分析：由于齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数和系数矩阵的秩有直接关系，因此关于矩阵的秩的问题可以转化为齐次线性方程组的问题来处理。证明：将B 按列分块),...,,(21s b b b B =，则由题可知 O Ab Ab Ab b b b A AB s s ===),...,,(),...,,(2121 即s i Ab i ,...,2,1,0== 换言之，B 的每个列向量均是齐次线性方程组0=Ax 的解，即s b b b ,...,,21均可由0=Ax 的一组基础解系线性表示，设r A r =)(，则r n -ξξξ,...,,21为0=Ax 的一组基础解系。

工程数学教案25矩阵的初等行变换和矩阵的秩

教案头教学详案一、回顾导入（10分钟） ——复习线性方程组的消元解法引入新课。二、主要教学过程（70分钟，其中学生练习20分钟）一：矩阵的初等行变换对矩阵实施下列三种变换，称为初等行变换：（1）互换矩阵两行的位置（交换第i,j 两行，记作j i r r ?）；（2）以非零数k 乘矩阵某一行的所有元素（k 乘第i 行记作i kr ）；（3）把矩阵某一行的元素的k 倍加到另一行的对应得元素上（第i 行的k 倍加到第j 行上记作i j kr r +）练习1：设矩阵?????? ? ??-----=324751122413A ，将矩阵进行下列初等行变换：（1）交换矩阵A 的第1行与第3行的位置；（2）用数3乘矩阵A 的第2行；（3）将矩阵A 的第3行的（-4）倍加到第4行上。注意：对矩阵进行初等行变换以后，新矩阵与原来矩阵不再相等。故元矩阵与新矩阵之间只能用箭头连接，而不能用等号连接。练习2：用矩阵的初等行变换将矩阵A ???? ? ??--=121011322化为简化阶梯形矩阵。将矩阵化为简化阶梯型矩阵的程序为：

（1）首先使第一行第一个非零元为1，然后将其下方的元素全部化为零；在将第二行第一个非零元的下方元素全部化为零；以此类推，直到将矩阵化为阶梯型矩阵。（2）从非零行的最后一行起，将该行第一个非零元化为1，并将其上方的元素全部化为零：再将倒数第二个非零行的第一个非零元化为1，并将其上方的元素全部化为零；直到矩阵化为阶梯型矩阵。注:1）实际解题的时候，两步骤不用分开。 2）矩阵的阶梯型矩阵不唯一，但简化阶梯型矩阵是唯一的。练习3：用矩阵的初等行变换将矩阵A ?????? ? ??-------=11370030311111014321化为简化阶梯形矩阵二：矩阵的秩矩阵秩是矩阵本身的属性，是矩阵部分的一个重要概念。需认真把握。 1）矩阵秩的概念：将一矩阵化为阶梯型矩阵后，阶梯型矩阵中非零行的行数，成为矩阵的秩，记作)(A r 例求方程组的系数矩阵的秩练习4：求矩阵A ?????? ? ??-------=111204244024023171033的秩。注：矩阵秩的概念有许多定义，这些定义都是等价的。三、归纳总结（10分钟）对矩阵进行初等行变换以后，新矩阵与原来矩阵不再相等。故元矩阵与新矩阵之间只能用箭头连接，而不能用等号连接；矩阵的阶梯型矩阵不唯一，但简化阶梯型矩阵是唯一的；矩阵秩的概念有许多定义，这些定义都是等价的。四、课后作业 ???? ? ??--→????? ??---????? ??--=---→00055012155055012113431 212123121324r r r r r r A 所以 2)(=A R ????? ??--=134312121A

初等变换与初等矩阵

2.3 初等变换与初等矩阵授课题目 2.3 初等变换与初等矩阵授课时数：4课时教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵教学过程：用初等变换化简矩阵A B B A 的性质来探讨通过为,的性质，这是研究矩阵的重要手段。为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。一．初等变换与初等矩阵 1. 初等变换（1）定义定义1 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换： 1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置； 2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）； 3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，k 为任意数。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。（2）记法分别用)]([)],([],,[k j i k i j i +表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换，写在箭头下面表示列变换。或者行变换用i j i i j R R ,kR ,R kR ?+，列变换用i j i i j C C ,kC ,C kC ?+ 例1 [][] ???? ? ??--??→?????? ??---???→?????? ??--=+-+131123302001121123302101121121322101)1(13)2(12A . 2. 初等矩阵（1）初等矩阵的定义

定义2 由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵 ij j i n P j i I =???? ? ?? ? ????? ??? ? ? ????→?行行 1101111011] ,[ [] )(1111)(,k D i k I i j i n =? ???????? ?? ????→?行 [] )(1111)(k T j i k I ij k itj n =? ???? ????? ? ????→?行行列i 列j

矩阵初等变换及应用

矩阵初等变换及应用王法辉摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基 1 导言在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。 2 矩阵及其初等变换

2.1 矩阵由n m ?个数)j ,,,2,1(==m i a ij （i =1,2, ,j =1,2,n ，）排成m 行n 列的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵。 2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵矩阵有行列之分，因此有如下定义定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换 (1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ? )(j i c c ?； (2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +； (3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0；矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式 (1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得 ? ???? ? ??? ?? ? ????? ???????????????? ?=1101111011),( j i P ； (2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得

知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。扩展矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。等价关系的性质（1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59）行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的性质

设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。初等矩阵的性质设A 是一个m ×n 矩阵，则（1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使（2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵；即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使（4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。（5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？）初等变换的应用（1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。（2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节矩阵的秩

第3讲矩阵的秩与矩阵的初等变换.

§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质一、矩阵的秩定理矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。定义矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵A的秩，记为秩（A）或r（A）例求下述矩阵的秩 2 1 0 3 12 3 1 2 1 01 A 4 1 6 3 58 2 2 2 6 16

2 1 0 3 1 2 3 1 2 1 0 1 A 4 1 6 3 5 8 2 2 2 6 1 6 R4 ( 1)R1 2 1 0 3 1 2 R3 ( 2)R1 R2 ( 1)R1 1 2 2 2 1 1 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R1 2 1 0 3 1 2 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 ( 2)R1 0 5 4 7 3 4 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R4 0 1 2 3 2 8 0 3 6 9 3 4 0 5 4 7 3 4

所以秩(A) = 4 o | 性质 (1) 秩(A) = 0当且仅当 A = 0 ⑵秩(A m n ) min{ m , n} (3)初等行变换不改变矩阵的秩。定义设A 是n 阶方阵。若秩(A) = n ,则称A 是满秩方阵；若秩(A) < n ,则称A 是降秩方阵。定理满秩方阵只用初等行变换即可化为单位方阵。 R 4 ( 5)R 2 R 3 3R 2 1 2 2 2 1 0 1 2 3 2 0 0 0 0 3 1 8 20 0 0 6 8 13 44 01 0 0 6 8 13 44 0 0 0 0 3 20 R 3

第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵初等行变换矩阵秩

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： 1.互换矩阵两行的位置（对换变换）； 2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）； 3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。二、阶梯形矩阵满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵 1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；

2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。例如重要定理一任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。例题注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：三、矩阵的秩矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4

????? ? ?--00 0049201321、????? ??--100980201、??? ? ? ? ? ? ?---500 00301000783013002 例题求矩阵 ?????? ? ? ?----=35 22 2232111201107033 A 秩及秩(T A ) 解

??????? ? ?----=35 222232111201107033A ()?????? ? ? ?----??→?35 2222321107033120 11,②① ??????? ? ?--????→?-+-+-+11200112003100012011) 2() 1()3(①④①③①② ????? ?? ? ?--???→?-+00000112003100012 011) 1(③④

证明初等变换不改变矩阵的秩

证明初等变换不改变矩阵的秩证:设A 为m n ?矩阵经过初等行变换变为m n ?矩阵B,且 1()R A r =，2()R B r = 1.初等对换变换：i j r r A B ????→（交换矩阵的第i 行与第j 行）因为A 中的任意11r +阶子式均为零，所以B 的任意11r +阶子式也为零。因此有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的积。 2.初等倍法变换：i kr A B ??→（用非零常数k 乘矩阵的第i 行）因为A 中的任意11r +阶子式均为零，所以B 的任意11r +阶子式也为零。因此有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的乘积。 3.初等消法变换：i j r kr A B +???→（矩阵的第j 行的k 倍加到第i 行上）对于矩阵B 的任意11r +阶子式1B ()1若1B 不包含B 的第i 行或既含第j 行也含第i 行，由行列式的性质，则 111 r B D +=， 11r D +为A 的任意11r +阶子式； ()2若1B 含有第i 行但不含有第j 行，由行列式的性质，则 11111r r B D k C ++=+ 这里的1111,r r D C ++均为A 的11r +阶子式。因为A 的任意11r +阶子式均为零，所以 10B = 综上所述，A 经过一次初等行变换化为B 后，B 的11r +阶子式全为零，所以 21r r ≤ 由于初等变换可逆，所以B 又可经初等行变换化为A ，即有 12r r ≤

所以 12,()() r r R A R B == 同理可证初等列变换。

第3讲矩阵的秩与矩阵的初等变换.

§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质一、矩阵的秩定理矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。定义矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵A 的秩，记为秩（A ）或)(A r 。例求下述矩阵的秩 ???? ? ???? ???---------=6162228536 1410121321301 2A 解

???? ? ???? ???---------=6162228536 1410121321301 2A ???? ????? ???---------????→?-+-+-+8232104396 3011222121301 21 2131 4)1()2()1(R R R R R R ????????????---------???→ ??8232104396 3021301211222112R R ???? ????????----------????→ ?-+8232104396 304374501122 2112)2(R R ???? ? ???????----------???→ ??4374504396 308232101122 2142R R

????????? ???-------????→?+-+44138600203000 08232101122212 32 43)5(R R R R ????? ???????-------???→ ??20300004413860 08232101122 2143R R 所以秩(A ) = 4。▌ 性质 (1) 秩(A ) = 0当且仅当 A = 0 (2) 秩(n m A ?) ≤ min{m , n } (3) 初等行变换不改变矩阵的秩。定义设A 是n 阶方阵。若秩(A ) = n ，则称A 是满秩方阵；若秩(A ) < n ，则称A 是降秩方阵。定理满秩方阵只用初等行变换即可化为单位方阵。

高斯消去法与矩阵的初等变换

高斯消去法与矩阵的初等行变换刘智永一、教学目标： 1）使学生会用高斯消去法求解线性方程组 2）使学生熟练矩阵的初等行变换、会化阶梯型矩阵 3）使学生明白高斯消去法与矩阵初等行变换之间的内在联系二、教学方法：板书讲授三、教学用时：20分钟四、教学过程： 1.高斯消去法求解下面线性方程组注：1）求解阶线性方程组，高斯消去法的工作量是。例如求解一个100万阶的方程组，高斯消去法的工作量为，在一台每秒进行次浮点运算的计算机上，需要>3年的时间。 2）虽然高斯消去法有很大工作量，但今天仍得到广泛使用，例如它是超级计算机性能测评的一个重要基准(benchmark)。在这个测评基准下中国的天河2号超级计算机连续3次排名全球第一，2014年12月的测评基准已改变为共轭梯度法。 2.矩阵的初等行变换在高斯消去法中，加减乘除运算只与系数和右端项有关，与未知数无关。简单地，我们可以将线性方程组写成下面增广矩阵(augmented matrix)的形式当把线性方程组写成增广矩阵的形式以后，高斯消去法就表现为对增广矩阵进行的初等行变换：将某一行的非零常数倍加到别的行；给某一行乘上非零常数倍；交换两行的位置。注：1）上面最右端的矩阵被称为阶梯型(echelon form)矩阵。这里详细解说阶梯型矩阵的特征（零元在下、行首元非零、下行缩进）！ 2）上面的箭头不能写成或者等。（学生书写容易出错处！）。五、教学总结： 1）用高斯消去法求解线性方程组，以及对增广矩阵做初等行变换是两个完

全一致的过程。但后者的出现，大大减少了高斯消去法书写上的困难。 2）这些内容也是后面学习矩阵的秩和逆矩阵的重要基础。

知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

第三章矩阵的初等变换与线性方程组第一节矩阵的初等变换初等行变换 1 对调两行，记作（r i r j ）。 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素，记作（r i k ）。 3 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去，记作（r i kr j ）。初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“ r ”换成 “ c ”。扩展矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换 , 且类型相同。矩阵等价如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B ，就称矩阵 A 与 B 等价。等价关系的性质（ 1）反身性 A~A （2）对称性若 A ~ B ,则 B~ A; （3）传递性若 A ~B,B~ C,则 A ~ C 。（课本 P59）行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在的列的其他元素都为 0. 为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵 A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的性质设 A 与 B 为 m × n 矩阵，那么标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如 E r O 的矩阵，称 mn

r （1）A: B 存在m阶可逆矩阵P，使PA B; c （2）A~ B 存在n阶可逆矩阵Q，使AQ B; （3）A: B 存在m阶可逆矩阵P，及n阶可逆矩阵Q，使PAQ B; 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。初等矩阵的性质设A是一个m×n 矩阵，则（1）对A施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m阶初等矩阵； r 即A~B 存在m阶可逆矩阵P，使PA B; （2）对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵；即A~B 存在n阶可逆矩阵Q，使AQ B; （3）A~B 存在m阶可逆矩阵P，及n阶可逆矩阵Q，使PAQ B; （4）方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵P1,P2,L ,P l,使A P1P2L P l 。（5）A可逆的充分必要条件是 A ~ E。（课本 P？）初等变换的应用（ 1）求逆矩阵：初等行变换1 （A|E） E|A 1或A初等列变换 E 1 。 E A1 （2）求A-1B ： r A(A,B) ~ (E,P),即(A| B) 行E|A1B ，则P=A-1B。或 A初等列变换E. B BA1 第二节矩阵的秩矩阵的秩任何矩阵A m n，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩

矩阵初等行变换矩阵秩

????? ? ?--00 0049201321、????? ??--100980201、??? ? ? ? ? ? ?---500 00301000783013002 例题求矩阵 ?????? ? ? ?----=35 22 2232111201107033 A 秩及秩(T A ) 解

()????? ?? ? ?--??→?00000310001120012 011,③② 所以，秩(A)=3 ??? ????? ? ?----=32105327 220021132113A T ??????? ? ??????→?-?++32101101220000002113)2(①④① ②

文档之家

初等变换与等价矩阵

矩阵与线性方程组问题1矩阵的初等变换与矩阵的秩有什么关系答

工程数学教案25矩阵的初等行变换和矩阵的秩

初等变换与初等矩阵

矩阵初等变换及应用

知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组

第3讲矩阵的秩与矩阵的初等变换.

第三章知识点总结 矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵初等行变换矩阵秩

证明初等变换不改变矩阵的秩

第3讲 矩阵的秩与矩阵的初等变换.

高斯消去法与矩阵的初等变换

知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵初等行变换矩阵秩

知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组

第3讲矩阵的秩与矩阵的初等变换.