§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换
主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性
2. 相抵标准形的唯一性
3. 矩阵秩的性质
4. 满秩矩阵的性质
一、 矩阵的秩
定理 矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。
定义 矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵A 的秩，记为 秩（A ）或)(A r 。
例 求下述矩阵的秩
????
?
????
???---------=6162228536
1410121321301
2A
解
????
?
????
???---------=6162228536
1410121321301
2A ????
?????
???---------????→?-+-+-+8232104396
3011222121301
21
2131
4)1()2()1(R R R R R R ????????????---------???→
??8232104396
3021301211222112R R ????
????????----------????→
?-+8232104396
304374501122
2112)2(R R ????
?
???????----------???→
??4374504396
308232101122
2142R R
?????????
???-------????→?+-+44138600203000
08232101122212
32
43)5(R R R R
?????
???????-------???→
??20300004413860
08232101122
2143R R
所以 秩(A ) = 4。▌
性质
(1) 秩(A ) = 0当且仅当 A = 0 (2) 秩(n m A ?) ≤ min{m , n }
(3) 初等行变换不改变矩阵的秩。
定义 设A 是n 阶方阵。若 秩(A ) = n ，则称A 是满秩方阵；若 秩(A ) < n ，则称A 是降秩方阵。
定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位方阵。
二、 矩阵的初等变换
矩阵初等行变换的推广：
（1）用一个非零数乘某一列的全部元素 （2）一列的倍数加到另一列上 （3）互换两列的位置
称上述对矩阵列的处理为矩阵的初等列变换。
矩阵的初等变换???矩阵的初等列变换
矩阵的初等行变换
。
定义 设A 和B 是两个同类型矩阵。若A 可通过有限次初等变换化为B ，则称A 相抵于B ，记为A ?B 。
性质 矩阵的相抵满足： (1) 自反性：A A ?
(2) 对称性：A B B A ???
(3) 传递性：C
A C
B B A ???? ,
矩阵相抵是同型矩阵之间的一个等价关系
定理 设A 是m ×n 矩阵，且 秩(A )= r ，则A 相抵于下述矩阵
行 00
00
000001000
0100001r n
m ???
?????
??????????????????????Λ
Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ
称之为A 的相抵标准型。
例 用初等变换化下述矩阵为相抵标准型
A =?????
????
??
?--2614302142121211 解
A =??
???
???????-------????→?????
?????
??
?---+-+-+223022302230121
1261430214212121
11
2131
4)2()1()4(R R R R R R
????
?
???????---????→
?-+-+4000000
022*********
3)1()1(R R R R
????
???????
?---???→
??0000400
02230121
134R R
?????????
???-???→?--00001000323210121143
)41
()3
1
(R R ?
?
???
?
???
???????→?+-+0000
1000032100211
3
23132)1(R R R R
???????
?????????????→?-+0000
1000032
10
034012
1)1(R R ????
?
?
?????
?????→?-+-+0000
1000001000011323)34
()3
2(C C C
C
????
?
??????????→
??000001000010
000143C C 。▌
三、 初等矩阵
例 已知矩阵
A =????
?
?????32
132
1321c c c b b b a a a 构造三个矩阵
???
?
?
?????=??????????-=??????????=100001010 ,120010001 ,100020001321P P P
分别计算1P 、2P 、3P 与A 的乘积。
解
??????????=1000200011A P ??????????32
1
321
32
1
c c c b b b a a a =????
?
?????32132
1321222c c c b b b a a a
??????????-=1200100012A P ????
??????321321321c c c b b b a a a
????
??????---=332211321321
222b c b c b c b b b a a a
??????????=1000010103A P ??????????32
1
321
32
1
c c c b b b a a a ????
?
?????=32132
1321c c c a a a b b b
????????????????????=10002000132
132
132
11c c c b b b a a a AP =????
?
?????32132132
1222c c c b b b a a a
?????
?????-??????????=120010001321321
32
1
2c c c b b b a a a AP
??
?
?
??????---=3321
33213321222c c c c b b b b a a a a
????????????????????=10000101032132
132
13c c c b b b a a a AP =????
?
?????312312312
c c c b b b a a a
定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
??????????
?
?
?=?→?1111)(O
O c c E I i cR i
??????????
?
?
?=???→?+1111
)(O
Λ
O M O c c E I ij cR R i
j
??????????
?
?
?=???→??101101O
Λ
M O M ΛO ij R R E I j
i
定理 对m ×n 矩阵A 作一次初等行变换，等同于在A 的左边乘上一个对应的m 阶初等矩阵；对A 作一次初等列变换，等同于在A 的右边乘上一个对应的n 阶初等矩阵。
例 已知矩阵
???
? ??--=???? ??=???? ??=???? ??=22
2
2111
122
2
11122211
122211122 ,33 ,c b b a c b b a D a b c
a b c C c b a c b a B c b a
c b a A ，
问A 与B 、C 、D 之间有何联系？ 解 因为
B A
C ??
→?3
3， 与之相对应，
)3(3113333E I C =????
?
????
→?， 故 B AE =)3(3。
同理可得 C AE =12。 因为
D A R R ??
??→?-+2
1)2(， 而
)2(112112)2(321-=????
?
??-????→?-+E I R R ，
故 D AE =-)2(12。▌
例 已知矩阵
??
??
?
?????+++=??????????=332
2113213
21
32
132
1321222 ,a c a c a c a a a b b b B c c c b b b a a a A ，
??????????=100001010P ，???
?
?
?????=120010001Q
问P 与Q 如何与A 相乘可得到B ？
解 因为对A 作两次初等行变换可得B ，而P
与Q 均为初等矩阵，所以应有 PQA =B 或 QPA =B 。
????
?
????????→???????????=?32132132132132
132
121 c c c a a a b b b c c c b b b a a a A R R Θ B a c a c a c a a a b b b R R =??
??
??????+++???→?+33221
1321
321
222223
又 21R R ?对应P ，232R R +对应Q
B
(▌
=
∴)
PA
Q
QPA=
性质
（1）初等矩阵是满秩方阵且初等矩阵的乘积也是满秩方阵；
（2）对任一初等矩阵P，均存在初等矩阵Q，使
PQ = QP = I。
定理满秩方阵可表示成若干初等矩阵的乘积。
推论满秩方阵的乘积也是满秩方阵。
定理设A与B是两个m×n矩阵，则A相抵于B的充分必要条件是：存在m阶满秩矩阵P与n阶满秩矩阵Q，使PAQ = B。
定理同型矩阵A与B相抵的充分必要条件是
秩(A) = 秩(B)。
推论矩阵的初等列变换也不改变矩阵的秩。
定理
（1）秩(A) = 秩)
A
(T
（2）设A是m×n矩阵，P是m阶满秩方阵，Q 是n阶满秩方阵，则
秩(A ) = 秩(PA ) = 秩(AQ ) = 秩(PAQ ) 。 例 设A 是4×5矩阵且 秩(A ) =3，
B =?????
??????
?00
04004304324321
求秩(BA )。
例 对任一满秩方阵P ，均存在同阶的满秩方阵
Q ，使 PQ = QP = I 。
证 因为P 满秩，故存在初等矩阵s P P P ,,,21Λ 使 s P P P P Λ21= 。已知对初等矩阵i P ，存在初等矩阵i Q ，满足 I P Q Q P i i i i ==，s i ,,2,1Λ=。于是，令 121Q Q Q Q Q s s Λ-=，则 Q 满秩且PQ = QP = I 。▌
§1.4 可逆矩阵
定义 设A 是n 阶方阵。若存在n 阶方阵B ，使 AB = BA = I
则称A 是可逆矩阵，称B 是A 的逆矩阵。
例 讨论n 阶零方阵0与n 阶单位矩阵I 的可逆
性。
例 初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵也是初等矩阵。
例 设方阵A 满足01032=--I A A ，证明I A A 3,-都可逆。
证 由已知得
I I A A 10)3(=- 且 I A I A 10)3(=-， 于是有
)2( )]3(10
1
[ )]3(101[)1( )10
1
)(3( )3)(101(I A I A I I A A I A I A I I A A =-=-=-=-且且
由)1(得I A 3-可逆，且 A I A 10
1
)3(1
=--； 由)2(得A 可逆，且)3(10
1
1
I A A
-=-。▌
定理 设A 是方阵，则A 是可逆矩阵的充分必要条件是A 满秩。
例 设
A =???
???d c b a
则当 bc ad ≠ 时，A 可逆，并且
??
????---=-a c b d bc ad A
11
。