第六章共形映射详解

第6章共形映射

105 第6章 保角映射 6.1 分式线性映射 导数的几何意义是保角映射的理论基础. 6-1 映射2w z =在i z =-处的伸缩率k 与旋转角α是（ ）. （A ）π1,2k α== （B ）π2,2k α==- （C ）π1,2k α==- （D ）π2,2 k α== 解 i i π ||2,Arg ()|.2 z z k w f z α=-=-''====- 选（B ）. 平移变换加伸缩反射得相似图形，相似比即||w '. 6-2 在映射1 w z =下，将|1|1z -<映射为（ ）. （A ）右半平面0u > （B ）下半平面0v < （C ）半平面12u > （D ）12 v <- 解1 22 1i i x y w u v z x y -= ==++ 22 22 , x y u v x y x y -= = ++ 而 2|1|1z -<，即 222x y x +<，故 2 2 1 .2x u x y = >+ 选（C ）. 解2 1 w z = 是分式线性变换，具有保圆性.而|1|1z -=，将0z =变到,2w z =∞=变到1,1i 2w z ==+变到1i 2w += ，故1w z =将圆变为直线12u =，而圆心1z =变到112w =>，故1 w z =将|1|1z -<变为半平面1 2 u > . （C ）. 6-3 映射1 w z =将Im()1z >的区域映射为（ ）. （A ）Im()1w < （B ）Re()1w < （C ）圆2211()22u v ++< （D ）2211 ()22u v ++> 解 由1w z =的保圆性，知1 w z =将1y =映射为直线 或圆，由z =∞映射为0,1i z =+，映射为1i ,1i 2 w z -==-+映为 1i 2 --知，将Im()1z =映射为w 平面上的圆： 2211()22 u v ++= 图6-1 而2i z =映射为 11i 2i 2=-.故1 w z =将Im()1z >映射为圆内. 选（C ）

复变函数期末复习测验题6.docx

第六章共形映射 一、选择题: 1.若函数W = Z 2 + 2Z 构成的映射将z 平面上区域G 缩小，那么该区域G 是() ⑻ Re(.)>4 (C)两出 2 5.下列命题中，正确的是() (A) w = 在复平面上处处保角(此处〃为自然数) (B) 映射w = z'+4z 在Z = 0处的伸缩率为零 (C) 若w =久⑵与w = f 2(z)是同时把单位圆|z| <1映射到上半平面Im(w) > 0的 分式 线性变换，那么/1(z)=/2(z) (D) 函数w = Z 构成的映射属于第二类保角映射 6?1 + i 关于圆周(工一2)2+0 —1)2 =4的对称点是( ) (A) k <- (B) z +1 < — (C) k > — 1 2 2 1 2 2.映射w = 2：在处的旋转角为( z + z ) (A) 0 (B) n (C) n 3.映射w = *2在点Z 0=i 处的伸缩率为( ) (A) 1 (B) 2 (c) / (D) Z + 1 >丄 2 (D) ~2 (D) e (0) 4. 在映射w = iz + e 4 下，区域Im(z)< 0的像为(

9?分式线性变换一筈把圆周|店1映射为() 10.分式线性变换w = ^-将区域：zv 1且Im(z)> 0映射为( ) i-z <0 11. 设a,b,c,d,为实数且 /Z-bcvO,那么分式线性变换= 把上半平面映射为W cz + d 平面的() (A)单位圆内部 (B)单位圆外部 (C)上半平面 (D)下半平面 12. 把上半平面Im(z)> 0映射成圆域w V2且满足>v(i) = 0,^(i) = 1的分式线性变换 (A) 6+i (B) 4+i (D) i 7’ 一 i 冗 7. 函数w= ——将角形域0vargzv —映射为( ) z +i 3 (A) |>v < 1 (B) w >1 (C) Im(w)>0 8. 将点z = l,i-l 分别映射为点w = --1,0的分式线性变换为 (D) Im(w)vO ) (A) (B) z + 1 w = ---- l-z (D) z-1 (A) w =1 (B) w-1 =1 ⑻ w = 2 (D) w-1 =2 (B) 7C (C) — < arg w < 7T n (D) 0 < arg w z + 1 w = ---- z-l

复变函数与积分变换第六章测验题与答案

第六章 共形映射 一、选择题： 1．若函数z z w 22+=构成的映射将z 平面上区域G 缩小，那么该区域G 是 ( ) （A ）21< z （B ）211<+z （C ）21>z （D ）2 11>+z 2．映射i z i z w +-= 3在i z 20=处的旋转角为( ) （A ）0 （B ） 2 π （C ）π （D ）2 π - 3．映射2 iz e w =在点i z =0处的伸缩率为( ) （A ）1 （B ）2 (C)1-e （D ）e 4．在映射i e iz w 4 π +=下，区域0)Im( w （B ）22)Re(->w （C ）22)Im(> z （D ）2 2 )Im(->w 5．下列命题中，正确的是( ) （A ）n z w =在复平面上处处保角（此处n 为自然数） （B ）映射z z w 43 +=在0=z 处的伸缩率为零 （C ） 若)(1z f w =与)(2z f w =是同时把单位圆1w 的分式线性变换，那么)()(21z f z f = （D ）函数z w =构成的映射属于第二类保角映射 6．i +1关于圆周4)1()2(2 2 =-+-y x 的对称点是( )

（A ）i +6 （B ）i +4 （C ）i +-2 （D ）i 7．函数i z i z w +-=33将角形域3arg 0π<w （C ） 0)Im(>w （D ）0)Im(z 映射为( ) （A ）ππ <<- w arg 2 （B ） 0arg 2 <<- w π （C ） ππ <z 映射成圆域2

第六章 共形映射

第六章 共形映射 6.1解：' 2w z = （1）'''(1)2,|(1)|2,arg (1)0w w w ===，伸缩率为2，旋转角为0 （2）'''1111(),|()|,arg (1)4242w w w π-=--==，伸缩率为1 2，旋转角为π （3）'''(1)2(1),|(1)|(1)4 w i i w i w i π +=++=+=，伸缩率为为 4 π （4）'''4 (34)2(34),|(34)|10,arg (34)arctan 3 w i i w i w i π-+=-+-+=-+=-，伸缩 率为10，旋转角为4 arctan 3π- 6.2解：令11w u iv z x iy =+==+，则可以得到2222,u v x y u v u v -==++ （1）2222 ,u v x y u v u v -= =++代入224x y +=得到22 14u v += （2）2222 ,u v x y u v u v -==++代入x y =得到u v =- （3）2222 ,u v x y u v u v -==++代入1 x =得到22u v u +=整理得22 11()24u v -+= （4）2222,u v x y u v u v -==++代入22 (1)1x y -+=得到2222222 2()u v u u v u v +=++整理得12u = 6.3解： （1）分式线性变换z i w z i -= +把0,0x y >>变成下半单位圆域，把上半虚轴变成实轴上[1,1]-，把正半实轴变成下半单位圆 （2）分式线性变换(1)w i z =+，将Im 0z >区域按逆时针方向旋转 4 π ，得到区域Im Re w w > （3）分式线性变换1z w z = -把正实轴变成了不含(0,1)的实轴，把arg 4 z π =变成

第六章保角变换

第六章保角变换(14) 一、内容摘要 1．单叶函数:复变函数()w f z =在区域D 内解析，且在D 内任意不同两点函数值不同，则称该函数为单叶（解析）函数。单叶变换单叶解析函数确定的变换称为单叶变换。 定理设()w f z =在0z z =解析，且0'()0f z ≠，则在z 平面上必存在一个包含0z 点的区域，而在w 平面上有一个包含()00w f z =的区域，使得解析变换()w f z =给出这两个区域间点与点的一一对应关系。即()w f z =在0z 点附近是单叶解析函数。 2．解析函数的保角性: 设()w f z =在0z z =解析，且0'()0f z ≠，则()w f z =在0z 的邻域与0w 的邻域的点与点之间建立了一个一一对应关系。若()w f z =在0z 点解析，且 ()0'0f z ≠，则在0z 的某邻域内，用映射()w f z =把过0z 的任意两条曲线映射成过0w w =的两条曲线后，其夹角保持不变，无穷小线元成比例。这样的变换称作保角变换。 3．最简单的保角变换 1）平移变换=+w z b ． 2）转动变换=i w ze α ． 3）线性伸缩变换=(r>0)w rz ． 4）倒数变换1= w z ．

4．线性变换 复变函数,0az b w ad bc cz d += -≠+确定的变换称为线性变换。该变换除d z c =-外处处解析，且d z c =- 为一阶极点。 线性变换具有如下性质： (1)线性变换az b w cz d += +的逆变换为dw b z cw a -+=-． (2) 线性变换总可以分解成整线性变换和倒数变换的复合。 (3)线性变换是一个保角变换。 (4)线性变换具有保圆周性。 (5)线性变换具有保对称点性。 12,z z 关于直线γ对称，是指12,z z 的连线与γ正交，且被γ平分。12,z z 关于圆:z a R γ-=对称，是指12,z z 都在过圆心a 的同一射线上，且 212z a z a R --=。 此外，也规定圆心与无穷远点也是关于圆周对称。 二、习题 1．填空题 （1）复平面上一点1+z i =关于单位圆周21z z -==的对称点为________． （2）已知点101 z =-,,分别变到点0,,3w i i =，试求这个分式线性变换w =_________．

第六章保角变换

第六章 保角变换(14) 一、内容摘要 1．单叶函数 :复变函数()w f z =在区域 D 内解析，且在 D 内任意不同两点函数值不同，则称该函数为单叶（解析）函数。单叶变换 单叶解析函数确定的变换称为单叶变换。 定理 设()w f z =在0z z =解析，且0'()0f z ≠，则在z 平面上必存在一个包含0z 点的区域，而在 w 平面上有一个包含()00w f z =的区域，使得解析变换 ()w f z =给出这两个区域间点与点的一一对应关系。即()w f z =在0z 点附近是 单叶解析函数。 2．解析函数的保角性: 设()w f z =在0z z =解析，且0'()0f z ≠，则()w f z =在 0z 的邻域与0w 的邻域的点与点之间建立了一个一一对应关系。若()w f z =在0z 点解析，且 ()0'0f z ≠，则在0z 的某邻域内，用映射()w f z =把过0z 的任意两条曲线映射成过0w w =的两条曲线后，其夹角保持不变，无穷小线元成比例。这样的变换称作保角变换。 3．最简单的保角变换 1） 平移变换 =+w z b ． 2） 转动变换 =i w ze α ． 3） 线性伸缩变换 =(r>0)w rz ． 4） 倒数变换 1= w z ．

4．线性变换 复变函数,0az b w ad bc cz d += -≠+确定的变换称为线性变换。该变换除d z c =-外处处解析，且d z c =- 为一阶极点。 线性变换具有如下性质： (1) 线性变换az b w cz d += +的逆变换为dw b z cw a -+=-． (2) 线性变换总可以分解成整线性变换和倒数变换的复合。 (3) 线性变换是一个保角变换。 (4) 线性变换具有保圆周性。 (5) 线性变换具有保对称点性。 12,z z 关于直线γ对称，是指12,z z 的连线与γ正交，且被γ平分。12,z z 关于圆:z a R γ-=对称，是指12,z z 都在过圆心 a 的同一射线上，且 212z a z a R --=。 此外，也规定圆心与无穷远点也是关于圆周对称。 二、习题 1．填空题 （1）复平面上一点1+z i =关于单位圆周21z z -==的对称点为________． （2）已知点101 z =-,,分别变到点0,,3w i i =，试求这个分式线性变换w =_________．