余弦定理
【教学目标】1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决解三角形问题．
【重点难点】理解和掌握余弦定理的证明方法；余弦定理的应用. 【教学过程】 一、复习回顾：
正弦定理及其所解决的问题：
二.课题导入
思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？
三.讲授新课
余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的
夹角的 的积的两倍．
公式表达：
2a = ；2b = ；2c = .
推论：
cos A = ；cos B = ；cos C = .
定理理解：（1）与勾股定理的关系： （2）余弦定理及其推论的基本作用为：
【典型例题】
例1、在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3a =，1b =，60C =?．
（1）求c ； （2）求sin A ．
变式训练1：在ABC ?
中，若a =5b =，30C =?，则(c = )
A
B
．C
D
例2、已知△ABC 的三边长为3a =，4b =
，c =ABC 的最大内角．
变式训练2：有一个内角为120?的三角形的三边长分别是m ，1m +，2m +，则实数m 的
值为( ) A ．1
B ．
3
2
C ．2
D ．
52
例3、在△ABC 中，已知3b =
，c =，0
30B =，求边a .
变式训练3：△ABC 中，0
120A =，5c =，7a =，则sin sin B
C
=____________.
A
B
C
b
c
a
例4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝
(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．
变式训练4-1：在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，试判断三角形的形状．
变式训练4-2：在△ABC 中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C ?=，
确定△ABC 的形状．
例5、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B b
C a c
=-
+. （1）求B 的大小；
（2
）若b =，4a c +=，求a 的值．
变式训练5-1：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，tan C =.
（1）求cos C ；
（2）若5
2
CB CA ?=u u u r u u u r ，且9a b +=，求c .
变式训练5-2：在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π
3
.
（1）若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； （2）若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．
圆第2课垂径定理导学案 第2课时 24.1.2 垂直于弦的直径 ［学习目标］ 1．理解圆的轴对称性； 2．掌握垂径定理及其推论，能用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明. 知识链接 一、知识链接（阅读课本P81-82完成以下内容） 1.圆的对称性：圆既是图形也是图形，对称轴是，有条；对称中心是 2.垂径定理:垂直于弦的,并且平分弦所对的弧。 3.垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径 二、自主学习[Tip:辅助线的常用作法：连半径，过圆心向弦作垂线段。] 1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，?错误的 是（）． A．CE=DE B．BC=BD C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD (图1) (图2) (图3) （图4） 2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8 3．如图3，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（） A．1mm B．2mm C．3mm D．4mm 4．如图4，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论） 二、合作探究 1.如图6，AB是O的直径，弦CD^AB，垂足为E，如果AB=20,CD=16,那么线段OE的 长为（
A. 10 B. 8 C. 6 D.4 A （图6） （图7） （图8）（图9） 2.如图7，在O中，若AB^MN于点C， AB为直径,试填写出三个你认为正确的结论： ，， . 3. P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为；最长弦长 为． 4. 如图8，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP= ． 第 1 页共 1 页） 5. 泸州市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图9所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道? 解：连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F 【课堂检测】 1、如图2-1，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于 度. 图2-1 图2-2 2、如图2-2所示，已知AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为M，CD＝8，AM＝2， 则OM＝ . 3、⊙O的半径为5，弦AB的长为6，则AB的弦心距长为 .
《垂径定理》教学设计
单位：登封市大金店二中 授课教师：唐海广 《垂径定理》教学设计 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性，以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识，具备探索证明几何定理的基本技能． 学生活动经验基础：在平时的学习中，学生已掌握探究图形性质的不同手段和方法，具备几何定理的分析、探索和证明能力． 二、教学任务分析 该节内容为1课时．圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比等腰三角形的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆
定理．具体地说，本节课的教学目标是： 知识与技能 1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2．运用垂径定理及其逆定理解决问题． 过程与方法 1．经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法． 情感与态度 1. 培养学生类比分析，猜想探索的能力． 2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 教学难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．三、教学设计分析 本节课设计了四个教学环节： 类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结. 第一环节类比引入 活动内容： 1.等腰三角形是轴对称图形吗？ 2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折， 3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画 圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？
解三角形教学设计 四川泸县二中吴超 教学目标 1.知识与技能 掌握正、余弦定理，能运用正、余弦定理解三角形，并能够解决与实际问题有关的问题。 2.过程与方法 通过小组讨论，学生展示，熟悉正、余弦定理的应用。 3.情感态度价值观 培养转化与化归的数学思想。 教学重、难点 重点：正、余弦定理的应用 难点: 正、余弦定理的实际问题应用 拟解决的主要问题 这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。重点突出三类问题： （1）是围绕利用正、余弦定理解三角形展开的简单应用 （2）是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用 （3）是围绕解三角形在实际问题中的应用展开 教学流程
教学过程 一、知识方法整合 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 = = = 2、三角形面积公式：C S ?AB = = = 3、余弦定理：C ?AB 中2a = 2b = 2c = 4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语 5、思想与能力：代数运算能力，分类整合，方程思想、化归与转化思想等 二、典例探究 例1 [2012·四川卷]（小组讨论，熟悉定理公式的应用） 如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE=1，连接EC 、ED 则sin∠CED=_______（尝试多法） 解3：等面积法 解4：观察角的关系，两角和正切公式 解5：向量数量积定义 练1：在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.? ????0，π6 B.??????π6，π C.? ????0，π3 D.???? ??π3，π 解1：由正弦定理a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知bc ≤b 2＋c 2－a 2=2bc cos A ，即1C D E C D E C D =?==1解：中，， 222210EC ED CD EC ED +-∠?∴=cos CED 10∴∠sin CED 021135CD E C E D C ==∠=解：， sin sin CD EC CED EDC =∠∴∠ sin 10CD EDC EC ?∠∴∠=sin CED
余弦定理 【教学目标】1. 掌握余弦定理的两种表示形式； 2. 证明余弦定理的向量方法； 3. 运用余弦定理解决解三角形问题． 【重点难点】理解和掌握余弦定理的证明方法；余弦定理的应用. 【教学过程】 一、复习回顾： 正弦定理及其所解决的问题： 二.课题导入 思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？ 三.讲授新课 余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的 夹角的 的积的两倍． 公式表达： 2a = ；2b = ；2c = . 推论： cos A = ；cos B = ；cos C = . 定理理解：（1）与勾股定理的关系： （2）余弦定理及其推论的基本作用为： 【典型例题】 例1、在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3a =，1b =，60C =?． （1）求c ； （2）求sin A ． 变式训练1：在ABC ? 中，若a =5b =，30C =?，则(c = ) A B ．C D 例2、已知△ABC 的三边长为3a =，4b = ，c =ABC 的最大内角． 变式训练2：有一个内角为120?的三角形的三边长分别是m ，1m +，2m +，则实数m 的 值为( ) A ．1 B ． 3 2 C ．2 D ． 52 例3、在△ABC 中，已知3b = ，c =，0 30B =，求边a . 变式训练3：△ABC 中，0 120A =，5c =，7a =，则sin sin B C =____________. A B C b c a
例4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝ (a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状． 变式训练4-1：在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，试判断三角形的形状． 变式训练4-2：在△ABC 中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C ?=， 确定△ABC 的形状． 例5、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B b C a c =- +. （1）求B 的大小； （2 ）若b =，4a c +=，求a 的值． 变式训练5-1：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C =. （1）求cos C ； （2）若5 2 CB CA ?=u u u r u u u r ，且9a b +=，求c . 变式训练5-2：在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π 3 . （1）若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； （2）若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．
B A D C 弓弓 弓 弓 ←→ （2）垂直于弦的直径自学案 课型：新课主备人：吴剑红学生姓名：家长签字： 【教学目标】 ①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性 ②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的计算与证明问题 ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段. 【教学重点】垂径定理及其应用 【教学难点】垂径定理的证明 【教学方法】探究发现法 【教学设计】 一、【情景创设】 1．实例：我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵 县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好 的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华 北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这 充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。 （图1） 2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，）为米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少 通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。 二、【自主探究】 活动一：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么由此你能得到什么结论 可以发现 活动二：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． 你能发现图中有那些相等的线段和弧为什么 线段弧 理由：如图 我们把这个结论称为
探索发现：垂径定理三种语言 (一 )图形： (二)文字： (三).符号：如图，∵ ∴ 抢答： 1、如上图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥ CD于E，AB=8，则AE= , BE= ⌒⌒ AD= ，AC=_____ 2、判断下列图形，能否使用垂径定理 活动三：应用定理计算 1、如图，在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OE=3cm，求⊙O的半径。 【变式1】如上图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OE的长为3，则弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8 【变式2】如图，已知⊙O的半径为13mm，弦AB=10mm，则圆心O到AB的距离是（）A．3 mm B．4 mm C． 12 mm D． 5 mm 【变式3】半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是。 【变式4】如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则弦AB的长是。 【变式5】如图，AB 为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（） O C D B A O C D B A O C D B A O C D E O A B C D E
《垂径定理》教学设计 单位：登封市大金店二中 授课教师：唐海广
《垂径定理》教学设计 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性，以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识，具备探索证明几何定理的基本技能． 学生活动经验基础：在平时的学习中，学生已掌握探究图形性质的不同手段和方法，具备几何定理的分析、探索和证明能力． 二、教学任务分析 该节容为1课时．圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比等腰三角形的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理．具体地说，本节课的教学目标是： 知识与技能 1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2．运用垂径定理及其逆定理解决问题． 过程与方法 1．经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法． 情感与态度 1. 培养学生类比分析，猜想探索的能力． 2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事的科学态度和积极参与的主动精神． 教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 教学难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．三、教学设计分析 本节课设计了四个教学环节：
类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结. 第一环节类比引入 活动容： 1.等腰三角形是轴对称图形吗？ 2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？ 3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画 圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？ 活动目的： 通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力． 第二环节猜想探索 活动容： 1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥ AB，垂足为M． （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由． 条件：①CD是直径；②CD⊥AB 结论（等量关系）：③AM=BM； ④⌒AC=⌒BC；⑤⌒AD=⌒BD. 证明：连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合, ⌒AC和⌒BC重合,⌒AD和⌒BD重合.
正弦定理 学习目标：1 理解正弦定理并能证明 2 能应用正弦定理解三角形 重点：应用正弦定理解三角形 在任意的三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们能否得到这个边、角关系准确量化的表示呢？ 学习任务：阅读课本P 2-4页，完成下列任务： 1.在直角三角形中，设a 、b 、c 为其三边，A ，B ，C 为其对应的三个角，有 B c B b A a sin sin sin ==成立。对于锐角和钝角三角形中，此关系式成立吗？试证明。 2.什么是解三角形？思考：正弦定理可以解决哪些解三角形的问题。 3.在⊿AB C 中，已知下列条件，解三角形 （1）A = 45°，C = 30°，c = 10 cm （2）A = 60°，B = 45°，c = 20 cm 4.阅读例2，已知三角形的两边和其中一对角，计算另一边的对角。需要注意什么？请完成下列两小题： 在⊿ABC 中，已知下列条件，解三角形 ①a = 20 cm ° ②c = 1 cm cm C = 60° 必做题：习题1.1 A 组 1、2. B 组 1. 选做题： 1. 在⊿ABC 中，B = 45°，C = 60°，c = 1，则最短边的边长为 . 2. 在⊿ABC 中，a =80 ，b = 100 ，A = 30°，则B 的解的个数为 . 余弦定理 学习目标：1 理解余弦定理并能证明 2 能应用余弦定理解三角形 重点：应用正弦定理解三角形 用正弦定理我们可以解决两类解三角形问题： （Ⅰ）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。 （Ⅱ）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。 对于已知两边和它们的夹角怎样计算出三角形的另一边和另两个角？ 学习任务：阅读课本5-7页，完成下列问题： 1. 请用向量的数量积推导余弦定理，还有其他证明方法吗？ 2. 余弦定理指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系，请写出余弦定理的变形 （即推论） 3. 勾股定理与余弦定理之间有何联系？ 4. 阅读例3、例4，思考：余弦定理及推论，正弦定理可以解决哪些解三角形问题？ 必做题： P 8页 练习 1、2. 习题1.1 A 组 3、4. B 组 2. 选做题： 1.在⊿ABC 中，B = 60°，b 2 = ac ，则⊿ABC 一定是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 2.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 。
余弦定理复习导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第2课时 知能目标解读 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用. 2.了解余弦定理的几种变形公式及形式. 3.会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题. 4.能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际问题. 重点难点点拨 重点：余弦定理的证明及其应用. 难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理. 学习方法指导 一、余弦定理 1.余弦定理：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，那么有如下结论：a2=b2+c2-2bc cos A,b2=a2+c2-2ac cos B,c2=a2+b2-2ab cos C. 即三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这一结论叫做余弦定理，它揭示了任意三角形边角之间的客观规律.也是解三角形的重要工具. 注意： （1）在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一. （2）余弦定理也为求三角形的有关量（如面积，外接圆，内切圆等）提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛. 2.关于公式的变形：将余弦定理稍加变形，可以得到另外的形式，我们称为余弦定理的推论.掌握这些表达形式，可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理. cos A= bc a c b 2 2 2 2- + ，cos B= ac b c a 2 2 2 2- + ，cos C= ab c b a 2 2 2 2- + . 由上述变形，结合余弦函数的性质，可知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角为锐角.从这一点说，余弦定理可以看作勾股定理的推广，而勾股定理则是余弦定理的特例. 二、余弦定理的证明 教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法，是平面向量知识在解三角形中的应用.另外，对余弦定理的证明，还可以应用解析法、几何法等方法证明. 证明：方法1：（解析法）如图所示，以A为原点，△ABC的边AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.
O C E D O 一、教学目标 3.3（1）垂径定理 1. 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2. 运用垂径定理及其逆定理解决问题． 二、教学重点和难点 重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理． 难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线三、教学过程 （一）情境引入： 1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD ，使 CD ⊥AB ，垂足为 M ． （1） 该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2） 你能图中有哪些等量关系？ （3） 你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明） （二）知识探究： 【探究一】通过上面的证明过程，我们可以得到： 1. 垂径定理 2. 注意： ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。 ③定理中的两个条件缺一不可—— ， ． 3. 给出几何语言 ? 如图，已知在⊙O 中，A B 是弦，C D 是直径，如果 CD⊥AB,垂足为 E, 那么 AE= , AC C ? = , B D = 4. 辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？ B B D O C C D A A E B O
B O A 【探究二】 1. 如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD ，交 AB 于点 M . （1） 下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2） 图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 2. 垂径定理的推论： 3. 辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理 少了“不是直径”，是否也能成立？ 反例： C D 4. 如图，在⊙O 中，AB 是弦（不是直径），CD 是直径， C ? ? （1）如果 AE=BE 那么 CD AB, AC = BD = ? ? ? (2)如果 AC = BC 那么 CD AB ，AE BE ， B D = ? ? ? （3）如果 AD = BD 那么 CD AB ，AE BE ， AC = （三）典例讲解： 1. 例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ⌒ ,点 0 是⌒ 所在圆的圆心），其中 CD CD CD =600m ，E ⌒ 为 上的一点，且 CD OE ⊥CD ，垂足为 F ，EF =90m.求这段弯路的半径． 2. 如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ A E B O
听课随笔 第2课时 【学习导航】 知识网络 ??? ??数学问题航海 测量学正、余弦定理的应用 学习要求 1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。 2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。 【课堂互动】 自学评价 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是： ①_______：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）； ②_______：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； ③_______：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； ④_______：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 【精典范例】 【例1】作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60 ，求3F 的大小与方向（精确到0.1 ）. 【解】 【例2】半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？ 分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设 AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积. 【解】 追踪训练一 1. 如图，用两根绳子牵引重为Ｆ１＝１００Ｎ的物体，两根绳子拉力分别为Ｆ２，Ｆ３，保持平衡．如果Ｆ２＝８０Ｎ，Ｆ２与Ｆ３夹角α＝１３５°． （１）求Ｆ３的大小（精确到１Ｎ）； （２）求Ｆ３与Ｆ１的夹角β的值 （精确到０.１°）．
C B D O A 垂径定理导学案(一) 【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理. 2.利用垂径定理解决一些实际问题． 【学习关键】区分“垂径定理”的题设与结论。 【导学过程】 一．创设情景 引入新课 如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为 m ，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 m ）．（书本82页例题） 二、新知导学 （一）探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么 结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。 （二）探究二： 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ． （1）如图是轴对称图形吗如果是，其对称轴是什么 （2）用折叠法猜测图中有哪些相等的线段和弧如何验证 相等的线段：______________ 相等的弧： _____=______；_____=______。 垂径定理： 文字语言：垂直于弦的直径_______，并且__________________。（题设，结论） 符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于E ∴____=_____，_____=______，_____=______。 (三) 探究三：用垂径定理解决问题 已知：⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ， 求⊙O 的半径。 归纳：圆中常用辅助线——作弦心距，构造Rt △.弦（a ）、 半径（r ）、弦心距（d ），三个量关系为 。 (四) 探究四：垂径定理的推论 文字语言：平分弦（ ）的直径_______，并且______ ______。 符号语言：∵AB 是⊙O_____， _____=______ ∴____=_____，_____=______，_____=______。 (五)利用新知 问题回解 赵州桥AB=8，CD=2，求半径。书本82页例题 三、巩固练习，拓展提高 1.如图，两圆都以点O 为圆心，求证:AC=BD 2.已知：⊙O 中弦AB ∥CD 。 求证：AC ＝BD 3.圆的平行两条弦长分别为6cm 、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离 四、我的收获 C E D O
垂径定理教学设计 第1篇：垂径定理教学设计垂径定理教学设计 教学目标： 1.使学生理解圆的轴对称性 2.掌握垂径定理 3.学会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题。过程与方法 1.通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力 2.锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活。情感、态度与价值观 通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。 教学重点：垂径定理及应用教学难点： 垂径定理的理解及其应用教学用具：圆形纸片，小黑板教学过程： 一、创设情景：地震造成我们小区的圆柱形供水管道损坏，现在工人师傅要为我们换管道，如图，他测量出管道有积水部分的最大深度是3CM，水面的宽度为6CM，这个工人师傅想了又想，也不知道该用多大的水管来替换，你能帮他解决这个问题吗？ 二、引入新课---揭示课题：
1、运用教具与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验，把圆形纸片沿直径对折，观察两部分是否重合，通过实验，引导学生得出结论：(1)圆是轴对称图形 (2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴 (3)圆的对称轴有无数条(4)圆也是中心对称图形.（出示教具演示）。 2、请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦AB；(2)作直径CD垂直弦AB垂足为E。（出示教具演示）引导学生分析直径CD与弦AB此时的关系，说明直径CD垂直于弦AB的，并设问：垂直于弦的直径它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？导出本节课的课题. 三、讲解新课---探求新知 （1）实验--观察--猜想：让学生将上述作好的圆沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有哪些线段相等、弧相等，并得出猜想：在圆O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于E.那么AE=BE ，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.（2）证明：引导学生用“叠合法”证明此定理（3）对定理的结构进行分析（4）结合图形用几何语言表述（5）垂径定理的变式 四、定理的应用： 例1：（2008哈尔滨中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交 ⊙O于点C，且CD=1,则弦AB的长是___________ 练习
第8课时正、余弦定理的应用（2） 【学习导航】 知识网络 ?? ???数学问题航海 测量学正、余弦定理的应用 学习要求 1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。 2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。 【课堂互动】 自学评价 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是： ①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）； ②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； ③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解； ④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 【精典范例】 【例1】作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向（精确到0.1）. 【解】3F 应和12,F F 合力F 平衡，所以3F 和F 在同一直线上， 并且大小相等，方向相反. 如图1-3-3，在1OF F ?中，由余弦定理，得 ()70F N ==再由正弦定理，得 1 50sin1205sin 70FOF ∠==， 所以138.2FOF ∠≈，从而13141.8FOF ∠≈. 答 3F 为70N ，3F 与1F 之间的夹角是141.8. 【例2】半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？ 分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积. 【解】设AOB α∠=.在AOB ?中，由余弦定理，得22212212cos 54cos AB αα=+-??=-.
课题：必修5第二章1、2余弦定理 学习目标： 1．掌握余弦定理及其推导过程，探索推导的多种方法； 2．能够利用余弦定理解决斜三角形的计算等相关问题 课时安排：一课时 教学过程： 一、复习引入： 1正弦定理：在任一个三角形中，和比相等， 即：（R为△ABC外接圆半径） 2正弦定理的应用：从理论上正弦定理可解决两类问题： （1）．已知，求其它两边和一角； （2）．已知，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（注意解的情况）3．已知：在三角形ABC中b=8.c=3.A＝600能求a吗？（用勾股定理来证明） 二、自主探究： [问题]：思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？ 已知：在三角形ABC中，AB=c,AC=b和A求a 阅读教材，探索讨论余弦定理及其推导过程：（用向量来证明）余弦定理： _____________________________________________________________ ____________________________________________________________ 即：_________________________________________________ 推论：_______________________________________ [问题]1.你还能用其他的方法来推导余弦定理吗？ 2、余弦定理与勾股定理有怎样的关系？ 3、观察余弦定理及其推论，我们可以用它们来解决哪类有关三角形的问题。 试试： （1）△ABC中，33 a=，2 c=，150 B=o，求b． （2）△ABC中，2 a=，2 b=，31 c=+，求A． 三、展示点评 例1.在△ABC中，已知3 a=，2 b=，45 B=o，求,A C和c． 【思路探究】 例2.在ΔABC中，已知a＝7，b=3，c＝5,求最大角和sinC。． 【思路探究】 四、总结提升 ※学习小结 五、课后作业 .在△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cosAsinB=sinC,判断△ABC的形状。
24.1.2垂直于弦的直径导学案 广水市实验中学张运才 【学习目标】 1.理解圆的轴对称性． 2.理解垂径定理及其推论，并能应用它们解决有关弦的计算和证明问题． 【学习重点】垂直于弦的直径的性质、推论以及证明． 【学习难点】利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题． 【学习过程】 【我能行】学生自学课本Ｐ80---P81，按照提示思考下面问题： （一）情景导入：观看赵州桥视频。聪明的同学们，你能求出赵州桥桥拱所在圆的半径吗？ （二）自主探究：先自主探究，后小组交流。 探究一：把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得出什么结论？ 我发现： （1）把圆纸片沿着它的任意一条直径所在的直线对折叠时，两个半圆． （2）上面的实验说明：圆是____ __，对称轴是经过圆心的每一条____ ___．圆有条对称轴． 探究二：请同学们按下面的步骤做一做： 第一步，把一个⊙O对折，使圆的两半部分重合，得到一条折痕CD； 第二步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，再沿垂线折叠，得到新的折痕，其中点E 是两条折痕的交点，即垂足； 第三步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，画出折痕AB、CD．观察你所折纸片：（1）在上述的操作过程中，由圆的轴对称性你能得到哪些相等的线段和相等的弧？ （2）你能用一句话概括上述结论吗？ （3）请作出图形并用符号语言表述这个结论． 练习：如下图，哪些能使用垂径定理？为什么？ 【交流学】先独立完成，后小组交流。 1.垂径定理结构：条件：①直径CD过圆心O②CD⊥AB结论：③AE=BE ④弧AC= 弧BC ⑤弧AD=弧BD.如果交换定理的题设和结论的部分语句，如①③作为题设，②④⑤作为结论，命题成立吗？例如在⊙O中，CD是直径，AB是的弦，CD与AB交于点E.如果AE=BE，那么CD与AB垂直吗？注意分情况讨论： （1）若AB是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？ （2）若AB不是⊙O的直径，CD与AB垂直吗？为什么？ 思考：你能用一句话概括上述结论吗？ 推论： 如果交换定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的新结论呢？它们成立吗？ 发现：
第三章圆 《垂径定理》教学设计说明 广东省佛山市华英学校罗建辉 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性，以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识，具备探索证明几何定理的基本技能． 学生活动经验基础：在平时的学习中，学生已掌握探究图形性质的不同手段和方法，具备几何定理的分析、探索和证明能力． 二、教学任务分析 该节内容为1课时．圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比等腰三角形的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理．具体地说，本节课的教学目标是： 知识与技能 1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2．运用垂径定理及其逆定理解决问题． 过程与方法 1．经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法． 情感与态度 1. 培养学生类比分析，猜想探索的能力． 2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
教学难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线． 三、教学设计分析 本节课设计了四个教学环节： 类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结. 第一环节 类比引入 活动内容： 1.等腰三角形是轴对称图形吗？ 2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折， 3.圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？ 活动目的： 通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力． 第二环节 猜想探索 活动内容： 1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由． 条件：① CD 是直径；② CD ⊥AB 结论（等量关系）：③AM =BM ； ④⌒AC =⌒BC ；⑤⌒AD =⌒BD . 证明：连接OA ,OB ,则OA =OB . 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中, ∵OA =OB ，OM =OM ，
听课随笔 第8课时正、余弦定理的应用（2） 【学习导航】 知识网络 ?? ???数学问题航海 测量学正、余弦定理的应用 学习要求 1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。 2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。 【课堂互动】 自学评价 运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是： ①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）； ②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； ③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解； ④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 【精典范例】 【例1】作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向（精确到0.1）. 【解】3F 应和12,F F 合力F 平衡，所以3F 和F 在同一直线上， 并且大小相等，方向相反. 如图1-3-3，在1OF F ?中，由余弦定理，得 ()70F N =再由正弦定理，得 1 50sin1205sin 70FOF ∠==， 所以138.2FOF ∠≈，从而13141.8FOF ∠≈. 答 3F 为70N ，3F 与1F 之间的夹角是141.8. 【例2】半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形 ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？ 分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积. 【解】设AOB α∠=.在AOB ?中，由余弦定理，得
余弦定理学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2 第一章 解三角形 第二节 余弦定理 一、【教学目标】 1.掌握余弦定理的推导过程； 2.应用余弦定理解斜三角形； 3.利用余弦定理进行三角形中的边角关系的转换. 二、【知识梳理】 1.余弦定理：三角形任何一边的_____等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 形式一： a 2＝ ， b 2＝ ， c 2＝ . 形式二： cos A ＝ ，cos B ＝ ，cos C ＝ . 2. 在ABC ?中，根据余弦定理： （1）如果22a b +=2c ，则∠C 为____角； （2）如果22a b +>2c ，则∠C 为____角； （3）如果22a b +<2c ，则∠C 为____角. 三、【典例剖析】 （一）已知两边及一角解三角形 例1:（1）在△ABC 中，(1)已知b =3，c =1，A=60°，求a ； （2）已知b =3，c B=30°，求a 变式练习：在△ABC 中，已知a =2，b =3，C=60°，试证明此三角形为锐角三角形. （二）、已知三边或三边关系解三角形。 例2、（1）、在△ABC 中，如果sinA ：sinB ：sinC=2：3：4，那么cosC 等于________ （2）、已知a =7，b =c 变式训练：1.在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求最大内角的余弦值. 2. 在△ABC 中，已知a =8，b ＝7，C ＝60°，求c 及S △ABC . 3.已知△ABC 中，a ，b ，B ＝45°，求c 及S △ABC .
1．1 ．1 正弦定理 1．初中我们学过解直角三角形，回忆一下直角三角形中的边角关系 边： ； 角： 边角关系： 即： 2．正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比 ，即 3．正弦定理的变形： （1） （2） （3） 4．正弦定理的作用： ① ； ② 。 5．解三角形：一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的 的过程叫作解三角形。 6．三角形面积公式为： 课堂互动 一、已知两角及一边解三角形 例1：已知⊿ABC 中，c=10,A=45°C=30°求b,?S ； 二、已知两边及一边的对角解三角形 例2：C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===? 探究：解的情况 （1）⊿ABC 中，∵π< (1)a=5,b=4,A=120°,求B （ 解）;(2)a=5,b=4,A=90°,求B （ 解） (3)a=5,b= 3 3 10,A=60°,求B （ ）;(4)a=20,b=28,A=40°,求B （ 解） 学后反思： 课堂检测 1．已知⊿ABC 中，a=100,c=350,A=45°,求C 2．⊿ABC 中， 已知a=4,b=24,B=45°，求A 3．⊿ABC 中，() 132,60,45+=?=?=a C B ，求⊿ABC 的面积S 及边b （不要近似计算） 4．求边长为a 的等边三角形的面积。 5．已知b=12,A=30°B=120°,求?S 6．已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 7．（2010湖北理）在中，a=15,b=10,A=60°，则为 A － B C － D 8．已知?ABC 中，一定成立的等式是( ) 1．1 ．2 余弦定理 1．正余弦定理： 2．正弦定理的变形： （1） （2） （3） 3．三角形面积公式为： 4．余弦定理 ： ? ? ? 5．对公式的认识： （1） 是余弦定理的特例 （2）余弦定理主要作用：（1） ；（2） 6．三角形形状的判定： （1）若A 为直角，则 （2）若A 为锐角，则 （3）若A 为钝角，则 课堂互动 一、已知两边及夹角解三角形 ABC ?cos B 3 3 33B b A a A sin sin .= B b A a B cos cos .= A b B a C sin sin .= A b B a D cos cos .=
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