二、直线与圆相交弦长问
题
一、知识储备
性质1：直线与圆相交，则圆心到直
线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2
＜r ；
性质2：由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞
0；
性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B
两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且
倾斜角为α的弦．
(1)当α＝135°时，求AB 的长；
(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线
AB 的方程． 解析：法一： 法二：
[练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C
在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x
截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解析：
[练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
解析：
三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：如图1，直线
l 与圆C 交于A ，B 两点，
设弦心距为d ，圆的半
径为r ，弦长为|AB |，
则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程
与圆的方程联立，设直线与圆的两交
点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |
＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝
1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k
2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． 二、直线与圆相交弦长问
题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直
线的距离d ＝A 2＋B
2＜r ； 性质2：由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭
⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例与练习
[例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆
内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长；
(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．
[解] (1)法一：(几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，
∴直线AB 的方程为y －2
＝－(x ＋1)，
即x ＋y －1＝0. ∵圆心为
(0,0)，
∴|OC |＝|－1|2
＝22.∵r ＝22， ∴|BC |＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝302，∴|AB |＝2|BC |＝30. 法二：(代数法)当α＝135°时，直线
AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8，
得2x 2－2x －7＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2
＝－72
， ∴|AB |＝
1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝
30. (2)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ， ∵k OP ＝－2，∴k AB ＝12， ∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0. [练习已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解：设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴
圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2
＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
[解]法一：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|
＝4.在Rt△AOC中，|OC|
＝|AC|2－|AO|2
＝52－42＝3.设点C坐标
为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，
∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.
法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.
∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.
三、类题通法
求直线与圆相交时弦长的
两种方法
(1)几何法：如图1，直线l
与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
|AB|
22
＋d2＝r2，即|AB|＝2r2－d2.
(2)代数法：如图2所示，
将直线方程与圆的方程联
立，设直线与圆的两交点
分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋k2|x1
－x2|＝1＋1
k2|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．
