高三新数学第一轮复习教案
---------正、余弦定理及应用
一．课标要求：
（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
二．命题走向
对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。
三．要点精讲
1．直角三角形中各元素间的关系：
如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b
a 。 2．斜三角形中各元素间的关系：
如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)
形式二：?????===C R c B
R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) （R 为外接圆半径）
（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角
的余弦的积的两倍。
形式一：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
(解三角形的重要工具)
形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=ab c b a 22
22-+
（4）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是
∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列。
3．三角形的面积公式：
（1）S △＝
21ah a ＝21bh b ＝2
1ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）S △＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2
1ac sin B ； （3）S △＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A B A c +； （4）S △＝2R 2sin A sin B sin C 。（R 为外接圆半径）
（5）S △＝
R abc 4； （6）S △＝))()((c p b p a p p ---；??
? ??++=)(21c b a p ； （7）S △＝r ·p （r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半）
4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。
解斜三角形的主要依据是：
设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。
（1）角与角关系：A +B +C = π；
（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ；
（3）边与角关系：
正弦定理
R C
c B b A a 2s i n s i n s i n ===（R 为外接圆半径）； 余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ； 它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b
a B A =sin sin ，bc a c
b A 2cos 222-+=。 余弦定理判定法：如果
c 是三角形的最大边，则有：
a 2＋
b 2＞
c 三角形ABC 是锐角三角形
a 2＋
b 2＜
c 三角形ABC 是钝角三角形
a 2＋
b 2=
c 2三角形ABC 是直角三角形
四．典例解析
题型1：正、余弦定理
例1．（1）在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；
（2）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，
边长精确到1cm ）。
解析：（1）根据三角形内角和定理，
0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；
根据正弦定理，
sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，
sin 42.9sin66.274.1().sin32.0==≈a C c cm
（2）根据正弦定理， 0
sin 28sin40sin 0.8999.20
==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B
①当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，
sin 20sin7630().sin40==≈a C c cm ②当0116≈B 时，
00000
180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0
0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两
解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
题型2：三角形面积
例2．在?ABC 中，sin cos A A +=22
，AC =2，AB =3，求A t a n 的值和?ABC 的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A 的值。 .2
1)45sin(,22)45sin(2cos sin =+∴=
+=+ A A A A 又0180 < tan tan(4560)2A ∴=+==- .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin += +=+== A S AC AB A ABC ?=?=???+=+12122326434 26sin () 解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin cos A A +的值。 sin cos A A +=22 ① . 0cos ,0sin ,18002 1cos sin 221)cos (sin 2<>∴<<-=∴= +∴A A A A A A A 2 3cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A , ∴-=sin cos A A 62 ② ① + ② 得 s i n A =+264 。 ① － ② 得 c o s A = -264。 从而 sin tan 2cos A A A ===- 以下解法略去。 点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？ 题型3：正、余弦定理判断三角形形状 例3．（2002上海春，14）在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：C 解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径。 五．思维总结 1．解斜三角形的常规思维方法是： （1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A +B +C = π求C ，由正弦定理求a 、b ； （2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A +B +C = π，求另一角； （3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A +B +C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况； （4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A +B +C = π，求角C 。 2．两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin 3．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 高三新数学第一轮复习教案 ---------正、余弦定理及应用 一．课标要求： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 二．命题走向 对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。 三．要点精讲 1．直角三角形中各元素间的关系： 如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二：?????===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) （R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍。 形式一：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 (解三角形的重要工具) 形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=ab c b a 22 22-+ （4）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是 ∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列。 解三角形教学设计 四川泸县二中吴超 教学目标 1.知识与技能 掌握正、余弦定理，能运用正、余弦定理解三角形，并能够解决与实际问题有关的问题。 2.过程与方法 通过小组讨论，学生展示，熟悉正、余弦定理的应用。 3.情感态度价值观 培养转化与化归的数学思想。 教学重、难点 重点：正、余弦定理的应用 难点: 正、余弦定理的实际问题应用 拟解决的主要问题 这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。重点突出三类问题： （1）是围绕利用正、余弦定理解三角形展开的简单应用 （2）是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用 （3）是围绕解三角形在实际问题中的应用展开 教学流程 教学过程 一、知识方法整合 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 = = = 2、三角形面积公式：C S ?AB = = = 3、余弦定理：C ?AB 中2a = 2b = 2c = 4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语 5、思想与能力：代数运算能力，分类整合，方程思想、化归与转化思想等 二、典例探究 例1 [2012·四川卷]（小组讨论，熟悉定理公式的应用） 如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE=1，连接EC 、ED 则sin∠CED=_______（尝试多法） 解3：等面积法 解4：观察角的关系，两角和正切公式 解5：向量数量积定义 练1：在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.? ????0，π6 B.??????π6，π C.? ????0，π3 D.???? ??π3，π 解1：由正弦定理a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知bc ≤b 2＋c 2－a 2=2bc cos A ，即1C D E C D E C D =?==1解：中，， 222210EC ED CD EC ED +-∠?∴=cos CED 10∴∠sin CED 021135CD E C E D C ==∠=解：， sin sin CD EC CED EDC =∠∴∠ sin 10CD EDC EC ?∠∴∠=sin CED 余弦定理 【教学目标】1. 掌握余弦定理的两种表示形式； 2. 证明余弦定理的向量方法； 3. 运用余弦定理解决解三角形问题． 【重点难点】理解和掌握余弦定理的证明方法；余弦定理的应用. 【教学过程】 一、复习回顾： 正弦定理及其所解决的问题： 二.课题导入 思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？ 三.讲授新课 余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的 夹角的 的积的两倍． 公式表达： 2a = ；2b = ；2c = . 推论： cos A = ；cos B = ；cos C = . 定理理解：（1）与勾股定理的关系： （2）余弦定理及其推论的基本作用为： 【典型例题】 例1、在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3a =，1b =，60C =?． （1）求c ； （2）求sin A ． 变式训练1：在ABC ? 中，若a =5b =，30C =?，则(c = ) A B ．C D 例2、已知△ABC 的三边长为3a =，4b = ，c =ABC 的最大内角． 变式训练2：有一个内角为120?的三角形的三边长分别是m ，1m +，2m +，则实数m 的 值为( ) A ．1 B ． 3 2 C ．2 D ． 52 例3、在△ABC 中，已知3b = ，c =，0 30B =，求边a . 变式训练3：△ABC 中，0 120A =，5c =，7a =，则sin sin B C =____________. A B C b c a 例4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝ (a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状． 变式训练4-1：在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，试判断三角形的形状． 变式训练4-2：在△ABC 中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C ?=， 确定△ABC 的形状． 例5、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且cos cos 2B b C a c =- +. （1）求B 的大小； （2 ）若b =，4a c +=，求a 的值． 变式训练5-1：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C =. （1）求cos C ； （2）若5 2 CB CA ?=u u u r u u u r ，且9a b +=，求c . 变式训练5-2：在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π 3 . （1）若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； （2）若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积． 《余弦定理》教案 （一）教学目标 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题， 3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 （二）教学重、难点 重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 （三）学法与教学用具 学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学用具：直尺、投影仪、计算器 （四）教学设想 [创设情景] C 如图1．1-4，在?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b 和∠C ，求边c b a (图1．1-4) [探索研究] 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图1．1-5，设CB a =u u r r ，CA b =u u r r ，AB c =u u r r ，那么c a b =-r r r ，则 b r c r ()()222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-?r r r r r r r r r r r r r r r r r C a r B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+- 正余弦定理的综合应用教学设计 课题名称正余弦定理的综合应用 科目数学（高三）授课人耿向娜 一、教学内容分析 本节课为高三一轮复习中的解三角形部分的习题课。解三角形的知识在历年的高考中与三角函数向量等知识相结合，频繁出现在选择、填空和17题的位置，是学生们的重要得分点之一。本节课对2013年中出现的解三角形问题的分析解答，强化学生对解三角形的理解和巩固，同时消除他们对高考的畏惧感，提升其自信心。 二、教学目标 1、知识目标：熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式、边角关系互化，同时熟练结合三角函数知识求相关函数的最值等。 2、能力目标：培养学生分析解决问题的能力，提高学生的化简计算能力 3、情感目标：让学生在直接面对高考真题的过程中，体会解决问题的快乐，提升他们的自信心，提高他们的备战能力！ 三、学情分析 我所任课的班级是高三22班是文科普通班，他们的数学基础整体上很薄弱，计算能力有待提高。通过三个多月的一轮复习，越来越多的学生对数学产生了兴趣，同时也品尝到数学成绩提高带来的喜悦，具有了一定的函数知识和解决问题的能力。 四、教学重点难点 重点正余弦定理的应用 难点公式的转化和计算 五、教法分析 本节课我利用多媒体辅助教学，采用的是教师引导下的学生自主探究式学习法。 六、教学过程 教学环节教学内容设计意图 一、基 础 知 识 回 顾回顾正弦定理：k C c B b A a = = = sin sin sin ; C k c B k b A k a sin , sin , sin= = = 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 三角形面积公式：A bc B ac C ab S sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = 通过对公式的 回顾，为本节 课解答问题提 供工具。 二、例 题 讲 解类型一：判定三角形形状 1、设在ABC ?中，若B b A a cos cos=,判定该三角形 的形状。 该题的设置目 的在于训练学 生对边角混合 式的转化。此 题可以边化 角，也可角化 边，让学生体 会正余弦定理 的应用和边角 转化的魅力。 形 直角三角形或等腰三角 或 法二：（角化边） 角形 为等腰三角形或直角三 ， 或 ） 解析：法一：（边化角 ? = = + ? = - - + ? - = - ? - + = - + ? - + = - + ? = + = + = ? = ? = b a c b a o b a c b a c b a b a b c a b a c b a ac b c a b bc a c b a B A B A B A B A B A A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) )( ( ) ( ) ( ) ( 2 2 . 2 2 2 2 sin 2 1 2 sin 2 1 sinBcos cos sin π π 1.1.2余弦定理 从容说课 课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力． 在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的 启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系 教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用 教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程 2.余弦定理在解三角形时的应用思路 3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用． 教具准备投影仪、幻灯片两张 第一张:课题引入图片(记作A 如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2 问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a 第二张:余弦定理(记作1.1.2B 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 形式一: a2=b2+c2-2bcco s A，b2=c2+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C 形式二:co s A= bc a c b 2 2 2 2- + ,co s B= ca b a c 2 2 2 2- + ,co s C= ab c b a 2 2 2 2- + 三维目标 一、知识与技能 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法 正弦定理和余弦定理教案 第一课时 正弦定理 (一) 课题引入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B (图1.1-1) (二) 探索新知 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1.1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角 三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1.1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1.1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A D B (图1.1-3) 让学生思考：是否可以用其它方法证明这一等式？ 证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1 == 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =C c sin 证明三：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ 1.设计意图:本节主要内容是对余弦定理的学习，学生之前已经学习 了正弦定理和向量，已经知道了什么是解三角形，学生前面学习的知识是学习本节的基础。本教案引入分两个部分，首先，让学生回顾了正弦定理的内容及正弦定理的主要作用，主要目的是帮助学生巩固旧知识，有助于学生对前面学习的知识的掌握和理解，也为本节课的学习奠定了基础。其次，用一个例子让学生思考，引导学生用已学的知识来解决，结果学生发现无法用已掌握的知识来解决，从而激发学生探究新知识的欲望，进而可以很自然的引入本节内容。新课部分，主要借助向量证明了余弦定理，这样可以帮助学生复习向量的相关内容，同时向量方法是一种较简单的证明方法，学生较易理解和掌握。最后举了两个例子，让学生可以通过解题加强对知识的理解，从而将知识与实际相结合。 2.达到的预期目标：本节主要目标是让学生在掌握正弦定理的基础 上达到对余弦定理的理解和掌握，明白正弦定理和余弦定理是解三角形问题的两种不同但又很类似的重要方法，从学生上课的反应和学生作业的情况，大部分学生对本节的内容已经基本掌握，但还不是很熟练。有待加强练习，已达到让学生熟练掌握的地步。 3.设计的优点和不足：优点：由一个学生用现在的知识无法解决的 问题引出课题，激发了学生探索新知的欲望，同时也给本节课题的提出铺平了道路，很好的进行了知识点之间的过度，同时用向量的方法来证明定理，有助于学生的理解和掌握。 不足：定理的证明虽然用了向量的证明，学生容易理解和掌握， 但没有很好的发掘学生的潜力，没有让学生思考还有没有其他证明的方法，还有例2的选择不是很好，数据太大，加大学生的计算难度。学生初中已学习过直角三角形的勾股定理，勾股定理其实是余弦定理的特例，本教案没有让学生思考勾股定理与余弦定理之间的关系。 4.如何改进：首先在证明定理时可以让学生思考有没有其他的方法 可以证明，提醒他们利用建立平面直角坐标系把各点的坐标写出来和勾股定理（分钝角和锐角）这两种方法来证明，给学生提供一个思路，让他们课下自己证明。这样有助于打开学生的思路，培养他们的发散思维能力。例2可以换一个判断三角形形状的例题，同时数据可以弄的好算一些。可以设计一个思考，让学生思考余弦定理与勾股定理之间的关系，从而加深学生对新知识的理解，弄清知识点之间的联系。 余弦定理 三维目标 （1）知识与技能：能推导余弦定理及其推论，能运用余 弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三 角形。 （2）过程与方法：培养学生知识的迁移能力；归纳总结 的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。 （3）情感、态度与价值观：从实际问题出发运用数学知 《余弦定理》教学设计 一、教学内容解析 本节内容选自普通高中课程标准实验教科书人教A版《数学》必修5第一章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。 正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角形的边角关系提供了新的方法；是对任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。 纵观余弦定理的发展史，它的雏形出现公元前3世纪。在欧几里得《几何原本》卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中，利用勾股定理将余弦定理的几何形式进行了证明。1593年，法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到20世纪，三角形式的余弦定理才一统天下。“余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，以几何定理的身份出现，直到1951年，美国数学家荷尔莫斯在其《三角学》中才真正采用解析几何的方法证明了余弦定理，至于向量方法的出现，更是晚近的事了。” 从新旧教材的内容设计对比来看，无论是问题的提出，定理的证明，简单应用都呈现出变化。旧教材数学第二册（下）中，余弦定理被安排在第五章《平面向量》的第二节解斜三角形中。基于特殊到一般的数学思想，从直角三角形 切入，提出问题后，直接用向量的方法推导定理。新教材将余弦定理安排在独立章节《解三角形》中,首先给出探究：如果已知一个三角形的两边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，从量化的角度研究这个问题，也为余弦定理解三角形的类型做了铺垫。在定理的推导过程中，同样用了向量方法，但在推导前提出思考：联系已经学过的知识，我们从什么途径来解决这个问题？新教材还结合余弦定理和余弦函数的性质，分别对三种形状的三角形进行了量化分析，旧教材没有涉及此内容。 从余弦定理的发展史和教材的设置变化来看，欧式几何依据基本的逻辑原理，建立几何关系，论证严谨，但思维量大，需要分类讨论。而作为沟通代数、几何与三角函数的工具——向量引入后，欧式几何中的平行、相似、垂直都可以转化成向量的加减、数乘、数量积的运量，从而把图形的基本性质转化成向量的运算体系，由此开创了研究几何问题的新方法。而且在证明之后还提出问题：用坐标方法怎样怎样证明余弦定理？还有其他的方法吗? 教材的编排，就是希望学生了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理，另外对向量工具性作用有所体会和认识。 基于以上分析，本节课的教学重点是： 通过对三角形边角关系的探索，发现并证明余弦定理。 二、教学目标设置 结合《课程标准》和教材编排，本节课的教学目标确定为： 1．发现并掌握余弦定理及其推论，利用余弦定理能够解决一些与三角形边角有关的计算问题。 2.通过对三角形边角关系的探索，能证明余弦定理，了解可以从向量、解析方法和三角方法等多种途径证明余弦定理。 正余弦定理教案 教学标题 正余弦定理及其应用 教学目标 熟练掌握正弦定理、余弦定理的相关公式 会用正余弦定理解三角形 会做综合性题目 教学重难点 正弦定理、余弦定理的综合应用 授课内容： 梳理知识 1．正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?= ???+-= ?? . 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ?中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222 A B C A B C A B C +++===. 典型例题 探究点一 正弦定理的应用 例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c . 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC 中．已知a 、b 和A ，求B .若A 为锐角，①当a ≥b 时，有一解；②当a ＝b sin A 时，有一解；③当b sin A b 时，有一解；②当a ≤b 时，无解． 解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝3 2 . ∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin C sin B ＝6＋22 ； 当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， 《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计 设计意图： 学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。作为复习课一方面要将本章知识作一个梳理，另一方面要通过整理归纳帮助学生学会分析问题，合理选用并熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形综合问题和实际应用问题。 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数 学知识的理解和掌握。虽然是复习课，但我们不能一味的讲题，在教学中应体现 以下教学思想： ⑴重视教学各环节的合理安排： 设疑探究拓展实践循环此流程 在生活实践中提出问题，再引导学生带着问题对新知进行探究，然后引导学生回顾旧知识与方法，引出课题。激发学生继续学习新知的欲望，使学生的知识结构呈一个螺旋上升的状态，符合学生的认知规律。 ⑵重视多种教学方法有效整合，以讲练结合法、分析引导法、变式训练法等多种方法贯穿整个教学过程。 ⑶重视提出问题、解决问题策略的指导。 ⑷重视加强前后知识的密切联系。对于新知识的探究,必须增加足够的预备知识,做好衔接。要对学生已有的知识进行分析、整理和筛选，把对学生后继学习中有需要的知识选择出来，在新知识介绍之前进行复习。 ⑸注意避免过于繁琐的形式化训练。从数学教学的传统上看解三角形内容有不少高度技巧化、形式化的问题，我们在教学过程中应该注意尽量避免这一类问题的出现。 二、实施教学过程 评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解. 思考讨论：该题若用余弦定理如何解决? 【例2】已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边， （1）若△ABC的面积为，c=2,A=600,求边a,b的值； （2）若a=ccosB,且b=csinA,试判断△ABC的形状。 （五）变式训练、归纳整理 【例3】已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若 b cosC=(2a-c)cosB (1)求角B (2)设,求a+c的值。 剖析：同样知道三角形中边角关系，利用正余弦定理边化角或角化边，从而解决问题，此题所变化的是与向量相结合，利用向量的模与数量积反映三角形的边角关系，把本质看清了，问题与例2类似解决。 此题分析后由学生自己作答，利用实物投影集体评价，再做归纳整理。 （解答略） 课时小结（由学生归纳总结，教师补充） 1.解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系 常用正弦定理 2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为 边.并常用正余弦定理实施边角转化。 3.用正余弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用 向量的模求三角形的边长。 4.应用问题可利用图形将题意理解清楚，然后用数学模型解决问题。 5.正余弦定理与三角函数、向量、不等式等知识相结合，综合运用解决实际问 题。 课后作业： 材料三级跳 余弦定理 一、教材分析 本节主要研究xxxxxx，分两课时，这里是第一课时。它是在学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解三角形的基础上进行学习的。通过利用平面几何法、坐标法(两点的距离公式)、向量的模,正弦定理等方法推导余弦定理，学生会正确理解余弦定理的结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”问题，体会方程思想，理解余弦定理是勾股定理的特例, 从多视角思考问题和发现问题，形成良好的思维品质,激发学生探究数学，应用数学的潜能，培养学生思维的广阔性。 二、学情分析 本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。 本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了"边"和"角"的互化，从而使"三角"与"几何"有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。教科书首先通过设问的方式，指出了"已知三角形的两边和夹角，无法用正弦定理去解三角形"，进而通过直角三角形中的勾股定理引导学生去探究一般三角形中的边角关系，然后通过构造直角三角形去完 天津职业技术师范大学 人教A版数学必修5 1.2正弦定理余弦定理 的应用举例 理学院 数学0701 田承恩 一、教材分析 本课是人教A版数学必修5 第一章解三角形中1.2的应用举例中测量长度问题。因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。同学们在学习时可以考虑，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件？要注意的是在某种特殊的实际问题下哪些条件可以测量，哪些不能。这节课我们就跟同学们共同研究这个问题。 (一)重点 1.正弦定理、余弦定理各自的公式记忆。 2.解斜三角形问题的实际应用以及全章知识点的总结归纳。 (二)难点 1.根据已知条件如何找出最简单的解题方法。 2.用应用数学的思想解决实际问题。 (三)关键 让学生灵活运用所学正弦定理、余弦定理。并具备解决一些基本实际问题的能力。 二、学情分析 学生已经学习了高中数学大部分内容，已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力；作为高中高年级学生，也已经具有了必要的生活经验。因此，可以通过生活中的例子引入如何用正弦定理、余弦定理解决实际问题。让学生自然而然地接受一些固定解法，这样，学生既学习了知识又培养了能力。 三、学习目标 (一)知识与技能 1.熟练掌握正弦定理、余弦定理的公式 2.掌握应用正弦定理、余弦定理解题的基本分析方法和步骤 (二)过程与方法 1.通过应用举例的教学，培养学生的推理能力，优化学生的思维品 质 2.通过教学中的不断设问，引导学生经历探索、解决问题的过程 (三)情感、态度与价值观 让同学找到学习数学的乐趣，让同学们感受到数学在现实中应用的广泛性。 四、教学手段 计算机，ppt，黑板板书。 五、教学过程（设计） 解斜三角形 正弦定理、余弦定理与三角形面积公式 【提纲挈领】 主干知识归纳 ABC 的6个基本元素： a,b,c,A,B,C .其中三内角 A,B,C 所对边边长分别为 a,b,c . 1．正弦定理 变式： a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC 2．余弦定理 3. 三角形面积公式 1 2 ac sin B 2R sin A sin B sinC. 2 （ 2 ）秦九韶 —海伦公式： S ABC 方法规律总结 1. 基本量观念： ABC 的 6个基本元素： a,b,c,A,B,C ．已知三个基本量（至少一个为边）确定一个 三 角形，正余弦定理是“量化”依据，是初中全等三角形判定定理由定性向定量的转换 . 2. 方程观念： 正余弦定理和面积公式是方程的粗坯， 是解三角形的依据， 从三角形 6 个基本元素来说是 “知 三求三” .有两条主线：一是统一为边（消角）的关系，归结为边为元的代数方程；二是统一为角（消边） 的关系，归结为三角方程 . 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理 更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的 正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 3. 转化思想：利用正余弦定理实现边角间的相互转化 . 4. 利用正弦定理解三角形主要是以下两类： （1）已知两边和一对角； （2）已知两角和一边 . 利用余弦定 理解三角形主要是以下两类： （1）已知三边；（ 2）已知两边及其夹角 . 对于复杂问题需综合利用正余弦定理实现边角关系向统一转化 . 【指点迷津】 【类型一】定理的推导与证明 【例 1】（2011 陕西理 18）叙述并证明余弦定理 . 【解析】 : 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积 的两 abc sin A sin B sinC 2R （其中 R 是 ABC 的外接圆的半 径） a 2 b 2 c 2 2 2bc cos A ， b 2 c 2 a 2 2ca cos B ， c 2 a 2 b 2 2abcosC . 变式： cosA 2 2 2 b c a ,cosB 2bc a 2 b 2 ,cosC 2ac b 2 2ab 1 ) S ABC 11 ab sin C bcsin A 22 p(p a)(p b)(p c),其中 p abc 2 数学：1.1《正弦定理与余弦定理》教案（新人教版必修5）（原创） 余弦定理 一、教材依据：人民教育出版社（A版）数学必修5第一章第二节 二、设计思想： 1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。 2、学情分析：这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。 3、设计理念：由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。 4、教学指导思想：根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是“问题教学法”，精心设计教学内容，提出探究性问 题，经过启发、引导，从不同的途径让学生自己去分析、探索，从而找到解决问题的方法。 三、教学目标： 1、知识与技能： 理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题 2．过程与方法： 通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。 3．情感、态度与价值观： 探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想。通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。 四、教学重点： 通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。 五、教学难点：余弦定理的灵活应用 六、教学流程： (一)创设情境，课题导入： 1、复习：已知A=0 45,b=16解三角形。（可以让学生板练） 30,C=0 2、若将条件C=045改成c=8如何解三角形？ 设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化 高中数学必修5正余弦定理教案 ●教学目标 (一)知识目标 1.三角形的有关性质； 2.正、余弦定理综合运用. (二)能力目标 1.熟练掌握正、余弦定理应用； 2.进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质； 3.综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题. (三)德育目标 通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能，反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化. ●教学重点 正、余弦定理的综合运用. ●教学难点 1.正、余弦定理与三角形性质的结合； 2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系. ●教学方法 启发式 1.启发学生在求解三角形问题时，注意三角形性质、三角公式变形与正弦、余弦定理产生联系，从而综合运用正弦、余弦定理达到求解目的； 2.在题设条件不是三角形基本元素时，启发学生利用正、余弦建立方程，通过解方程组达到解三角形目的. ●教具准备 投影仪、幻灯片 第二张：例题1、2(记作§5.9.4 B) Ⅰ.复习回顾 师：上一节课，我们一起研究了正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用，这一节，我们将综合正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质来求解三角形问题.首先，我们一起回顾正、余弦定理的内容(给出投影片§5.9.4 A). Ⅱ.讲授新课 师：下面，我们通过屏幕看例题.(给出投影片§5.9.4 B) ［例1］分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系.其中sin2α利用正弦二倍角展开后出现了cos α，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的. 解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则 α αααcos sin 222sin 2sin ?+=+=x x x x x 22cos +=∴α① 又由余弦定理可得ｘ2＝（ｘ＋1）2＋（ｘ＋2）2－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cos α② 将①代入②整理得： ｘ2－3ｘ－4＝0 解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍) 所以此三角形三边长为4，5，6. 评述： (1)此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程； (2)在求解过程中，用到了正弦二倍角公式，由此，要向学生强调三角公式的工具性作用，以引起学生对三角公式的重视. ［例2］分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式Ｓ△ABC ＝ 2 1AB ·AC ·sin A ，需求出sin A ，而△ABC 面积可以转化为Ｓ△ADC ＋Ｓ△ADB ，而Ｓ△ADC ＝21AC ·AD sin 2 A ，Ｓ△AD B ＝21AB ·AD ·sin 2A ，因此通过Ｓ△AB C ＝Ｓ△ADC ＋Ｓ△ADB 建立关于含有sin A ，sin 2A 的方程，而 教案设计： 余弦定理 【教材】湘教版必修4第9页至12页. 【教学对象】高二（上）学生 【学情分析】 学生已经会用正弦定理解决三角形相关问题，了解三角形边角之间存在着一定的数量关系，这为本节课的学习奠定了基础。对于正弦定理解决已知两边及夹角问题学生有一定的求知欲，这就促使学生去探索如何求解该类问题. 【教学目标】 知识与技能 （1）掌握余弦定理的证明方法，牢记公式. （2）掌握余弦定理公式的变式，会灵活应用余弦定理. 过程与方法 （1）使学生经历公式的推导过程，培养严谨的逻辑思维. （2）培养学生数形结合的能力. （3）培养学生的问题解决能力. 情感态度价值观 经历余弦定理的推导过程，感受数学思维的严谨美，通过比较余弦定理公式感受数学公式的对称美，通过比较勾股定理以及余弦定理体会一般与特殊的关系. 【教学重点】余弦定理推导 【教学难点】余弦定理推导及应用 【教法学法】 教法： 一、情景教学法：创设问题情境，以学生感兴趣的，并容易理解的情景为开端，让学生在各自熟悉的场景中轻松、愉快地学习. 二、启发性教学法：启发性原则是永恒的。让学生成为课堂上行为的主体. 三、师生互动的探究教学法：充分给学生提供交流与归纳的空间，使整个数学活动生动活泼和富有个性的学习. 学法： 根据新课程理念，结合学生自身年龄特点和思维特点，让学生通过分组讨论， 汇报交流，归纳总结等方式进行学习． 【教学过程设计】 一、教学流程设计 （一）情景引入千岛湖中三个岛屿的距离问题抽象为已知三角形两边及夹角求第三边问题 学生比较余弦定理与勾股定理之间的关系 余弦定理公式在结构上有怎样的特点 利用定理可解决已知两边及夹角求第三边的问题 结合正弦定理分析已知哪些条件可求解某三角形公式的灵活应用，已知三角形三边如何求最大角 利用余弦定理解决引入中的距离问题 回顾正弦定理及正弦定理可解决的两类问题 以锐角三角形为例，通过作高的方法研究三边存在的关系 学生自行探索钝角三角形三边之间的关系 总结、得出余弦定理 （二）探索新知 （四）剖析定理 用三边表示某角余弦值，即用余弦定理解决已知三 边求角的问题 （五）问题解决 （七）例题探究 （六）公式变形 （八）总结归纳 （三）自主探究学生自行探索钝角三角形中边角关系高三第一轮复习正余弦定理教案
公开课教学设计(正余弦定理及其应用)
余弦定理教学案
余弦定理教案完美版
正余弦定理的综合应用
1.1.2 余弦定理 教案(人教A版必修5)
正弦定理和余弦定理教案
余弦定理教案
全国高中数学优质课 余弦定理教学设计
正余弦定理完美教案
(新)高中数学高考一轮复习：正弦定理和余弦定理复习课教学设计
最新余弦定理教案设计
正余弦定理的应用举例教案
高三第一轮复习正弦定理、余弦定理与三角形面积公式
余弦定理教学设计
高中数学必修5正余弦定理教案
余弦定理教案
相关主题
文本预览