高中数学-函数的概念及表示练习

高中数学-函数的概念及表示练习

【考情分析】

高考在本考点的常考题型为选择和填空，分值5分，中高等难度

【考纲研读】

1．了解构成函数的要素，了解映射的概念

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数

3．了解简单的分段函数，并能简单应用

一、选择题

1．(·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝???

1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，

则f (－2)＋f (log 212)＝( )

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

2．(·浙江高考)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( )

A ．f (sin2x )＝sin x

B ．f (sin2x )＝x 2＋x

C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|

D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|

3.(山东)设f (x )={√x ,0

4．(·山东高考)设函数f (x )＝??? 3x －1，x <1，2x ，x ≥1.

则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是( )

A ．????

??23，1 B ．[0，1] C ．????

??23，＋∞ D ．[1，＋∞) 二、填空题

5．(·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝????? cos πx 2，0

x ＋12，－2

6．(·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝??? x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，

则满足f (x )＋f ? ????x －12>1的x 的取值范围是________．

7.(北京)设函数f (x )={x 3-3x ,x ≤a ,-2x ,x >a .

①若a =0,则f (x )的最大值为__________________;

②若f (x )无最大值,则实数a 的取值范围是____________.

8.(浙江)已知λ∈R,函数f(x)={x -4, x ≥λ,

x 2-4x +3, x <λ.当λ=2时,不等式

f(x)<0的解集是____________.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是________________.

9.(课标Ⅰ)设函数f (x )={

e x -1,x <1,x 13,x ≥1,则使得

f (x )≤2成立的x 的取值范围是

_________.

10.(天津文)已知a ∈R,函数f (x )={x 2+2x +a ?2,x ≤0,?x 2+2x ?2a,x >0.

若对任意x ∈[-3,+∞), f (x )≤|x |恒成立,则a 的取值范围是____________.

参考答案

1. 答案： C

解析： ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3；

∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6．

∴f (－2)＋f (log 212)＝9．

2. 答案： D

解析： 对于A ，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝1，这与函数的定

义不符，故A 错误．在B 中，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝π24＋π2，与

函数的定义不符，故B 错误．在C 中，令x ＝1，得f (2)＝2；令x ＝－1，得f (2)＝0，与函数的定义不符，故C 错误．在D 中，变形为f (|x ＋1|2－1)＝|x ＋1|，令|x ＋1|2－1＝t ，得t ≥－1，|x ＋1|＝t ＋1，从而有f (t )＝t ＋1，显然这个函数关系在定义域[－1，＋∞)上是成立的，故选D ．

3. 答案： C

4. 答案： C

解析： 解法一：①当a <23时，f (a )＝3a －1<1，f [f (a )]＝3(3a －1)－1＝9a －4，

2f (a )＝23a －1，显然f [f (a )]≠2f (a )．

②当23≤a <1时，f (a )＝3a －1≥1，f [f (a )]＝23a －1，2f (a )＝23a －1，故f [f (a )]＝2f (a )． ③当a ≥1时，f (a )＝2a >1，f [f (a )]＝22a ，2f (a )＝22a ，故f [f (a )]＝2f (a )．综合①②③知a ≥23．故选C ．

解法二：∵f (x )＝??? 3x －1，x <1，2x ，x ≥1，

而f [f (a )]＝2f (a )， ∴f (a )≥1，

∴有??? a <1，3a －1≥1或???

a ≥1，2a ≥1，

解得23≤a <1或a ≥1， ∴a ≥23，即a ∈????

??23，＋∞，故选C ． 5. 答案： 22

解析： ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )的周期为4，

∴f (15)＝f (－1)＝12，f 12＝cos π4＝22，

∴f [f (15)]＝f 12＝22．

6. 答案： ? ??

??－14，＋∞ 解析： 由题意知，可对不等式分x ≤0，0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．

当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14

， ∴－14＜x ≤0．

当0＜x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12＞1，显然成立．

当x ＞12时，原不等式为2x ＋2x －12＞1，显然成立．

综上可知，x ＞－14．

7. 答案： ①2 ②(-∞,-1)

8. 答案： (1,4);(1,3]∪(4,+∞)

9. 答案： (-∞,8]

10. 答案： [18,2]

高中数学函数概念

函数 1、 函数的概念 定义：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f ，使得A 中任一元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数。记作：x→y=f(x),x ∈A.集合A 叫做函数的定义域，记为D,集合{y ∣y=f(x),x ∈A}叫做值域，记为C 。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x ∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 两个函数相同只需两个要素：定义域和对应法则。 已学函数的定义域和值域 一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 二次函数 c bx ax x f ++=2 )() 0(≠a :定义域R ，值域：当 2、 函数图象 定义：对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x 视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y 视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x 取何值，都同时确定了一个点，由于x 的取值范围是无穷大，同样y 也有无穷个，表示的点也就有无穷个。这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。 常数函数f(x)=1 一次函数f(x)=-3x+1 二次函数f(x)=2x 2+3x+1 反比例函数f(x)=1/x 3、定义域的求法 已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况： 分式中的分母不为零； 偶次根式下的数或式大于等于零； 实际问题中的函数，其定义域由自变量的实际意义确定； 定义域一般用集合或区间表示。 4、值域的求法 ①观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 ②反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。 ③配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x 2+x+2)的值域。 练习：求函数y=2x －5＋√15－4x 的值域. ④判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 ⑤图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例4求函数y=∣x+1∣+√(x-2) 2的值域。 ⑥换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例5求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。 ⑦不等式法 例6求函数y=(2x-1)/(x+1) (1≤x ≤2) 的值域。 5、复合函数 设y=f(u ），u=g(x ），当x 在u=g(x ）的定义域Dg 中变化时，u=g(x ）的值在y=f(u ）的定义域D f 内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量（即函数）。 6、函数的表示方法：列表法，解析法，图像法 7、分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 分段函数经常使用图像法 8、函数解析式的求法 ①代入法 例1已知f(x)=x 2-1,求f(x+x 2) ②待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。 例2已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x+3，求f(x) ③换元法 ④特殊值法 例4已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12 ()()(++=-+成立，且0)1(=f 。 (1)求 )0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。 ⑤方程组法 1、求下列函数的定义域： 2、求下列函数的值域 3 函数? ?? ??>+-≤<+≤+=1,51 0,30 ,32x x x x x x y 的最大值是 。 4已知：x x x f 2)1(2 += +，求)(x f 。 6已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ．

高一数学函数的概念及表示方法

全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念 教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的 值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1：（）是函数吗？ 问题2：与是同一函数吗？ 观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课：

高中数学-函数的概念及表示练习

高中数学-函数的概念及表示练习 【考情分析】 高考在本考点的常考题型为选择和填空，分值5分，中高等难度 【考纲研读】 1．了解构成函数的要素，了解映射的概念 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数 3．了解简单的分段函数，并能简单应用 一、选择题 1．(·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝??? 1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1， 则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 2．(·浙江高考)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin2x )＝sin x B ．f (sin2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1| 3.(山东)设f (x )={√x ,0

高中数学函数的概念与性质(T)

函数的概念与性质 【知识要点】 1.函数的概念及函数的三要素 2.怎么判断函数的单调性 3.怎么判断函数的奇偶性 【典型例题】 例1．求下列函数的解析式，并注明定义域． （1）若x x x f 2)1(+=-，求)(x f ． （2）若31 )1(44-+=+x x x x f ，求)(x f ． 例2.求下列函数的值域． （1）)1(1 3 2≥++=x x x y （2）1)(--=x x x f （3）232--=x x y （4）246 (),[1,4]1 x x f x x x ++= ∈+

例3.已知函数f （x ）=m （x +x 1）的图象与函数h （x ）=41（x +x 1 ）+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求m 的值； （2）若g （x ）=f （x ）+ x a 4在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围. 例4．判断下列函数的奇偶性 （1）334)(2-+-=x x x f （2）x x x x f -+?-=11)1()( 例5．设定义在[-2，2]上的偶函数，)(x f 在区间[0，2]上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实为数m 的取值范围。

例6．已知函数f （x ）=x + x p +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值. （2）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 例7．（2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ， 有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）. （1）求f （1）的值； （2）判断f （x ）的奇偶性并证明； （3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围.

高一数学必修一函数及其表示-函数的概念

1.2函数及其表示 §1.2.1函数的概念 【教学目的】 1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域； 3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号； 4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点】 在对应的基础上理解函数的概念 【教学难点】 函数概念的理解 【教学过程】 一、复习引入 〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函 数的传统定义。 〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 〖提问〗问题1：y =1（x ∈R ）是函数吗？ 问题2：y =x 与y = x x 2 是同一函数吗？ 〖投影〗观察对应： 〖分析〗观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系？ 二、讲授新课 函数的概念 （一）函数与映射 〖投影〗函数：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个

数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =)(x f ，x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{)(x f |x ∈A}，叫做函数y =)(x f 的值域。 函数符号y =)(x f 表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f 。 函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A} 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 映射：设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射. 如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象. 映射概念的理解 (1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A ,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有: (1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系 函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射B A f →: 函数B y A x x f y ∈∈=,),( 集合A,B 可为任何集合,其元素可以是物,人,数等 函数的定义域和值域均为非空的数集 对于集合A 中任一元素a ,在集合B 中都有唯一确定的像 对函数的定义域中每一个x ,值域中都有唯一确定的值与之对应 对集合B 中任一元素b ,在集合A 中不一定有原像 对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应 函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 〖注意〗（1）函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f ：A →B 。这里A ，B 为非空的数集。 （2）A ：定义域，原象的集合；{)(x f |x ∈A}：值域，象的集合，其中{)(x f |x ∈A}?B ；f ：对应法则，x ∈A ，y ∈B （3）函数符号：y =)(x f ，y 是x 的函数，简记) (x f 〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域： 1、一次函数)(x f =ax ＋b (a ≠0)：定义域R ，值域R 2、反比例函数)(x f = x k (k ≠0)：定义域{x |x ≠0}，值域{y | y ≠0} 3、二次函数)(x f =ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)：定义域R ，值域：当a ＞0时，｛y |y ≥a b a c 442 -｝；

(完整word版)高中数学必修一：函数的概念及其表示教案

个性化教学辅导教案 学科: 数学任课教师：周老师授课时间：年月日(星期) - 姓名年级：高一教学课题函数的概念及其表示 阶段基础（）提高（√）巩固（）计划课时第（）次课共（）次课 教学目标知识点：考点：方法： 重点难点重点：难点： 教学内容与教学过程课前 检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________ 一、函数的基本概念 1.映射:设B A、是两个非空的集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合A到集合B的映射,记作B A f→ ：.(包括集合B A，及A到B的对应法则) 对映射概念的认识 (1)B A f→ ：与A B f→ ：是不同的,即A与B上有序的.或者说：映射是有方向的. (2)集合B A、可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合. (3)集合A中每一个输入值,在集合B中必定存在唯一输出值.输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值. 即：(i)不允许集合A中有空余元素； (ii)允许集合B中有剩留元素； (iii)允许多对一，不允许一对多. 2.函数：设B A、是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数) (x f和它对应。称B A f→ ：为从集合A到集合B的一个函数,记作：A x x f y∈ =,) ( (1)函数的定义域、值域： 在函数A x x f y∈ =,) (中，x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值 {}A x x f∈ ) (的集合B叫做函数的值域. 注意:(i)函数符号) (x f y=与) (x f的含义是一样的；都表示y是x的函数,其中x是自变量,) (x f是函数值,连接的纽带是法则f。f是单值对应。 (ii)定义中的集合B A，都是非空的数集,而不能是其他集合； (2)一个函数的构成要素：定义域、值域和对应关系

高中数学：函数的概念及其表示

高中数学：函数的概念及其表示 1．函数与映射的概念 2．函数的三要素 函数由________、________和对应关系三个要素构成，在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的________；与x 的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的________． 3. 函数的表示法 函数的常用表示方法有：________、________、________． 4．分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 常用结论 1．常见函数定义域： (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R . (4)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R . (5)y ＝tan x 的定义域为???? ??xx ∈R 且x ＝k π＋π 2，k ∈Z . 2．基本初等函数的值域： (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为??? ?4ac －b 2 4a ，＋∞；当a <0时，值 域为? ??? －∞，4ac －b 2 4a .

(3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . 题组一 常识题 1．[教材改编] 以下属于函数的有________．(填序号) ①y ＝±x ；②y 2＝x －1；③y ＝x －2＋1－x ； ④y ＝x 2－2(x ∈N )． 2．[教材改编] 已知函数f (x )＝? ????ln x －2，x >0， x ＋a ，x ≤0，若f [f (e)]＝2a ，则实数a ＝________． 3．[教材改编] 函数f (x )＝ 8－x x ＋3 的定义域是________． 题组二 常错题 ◆ 索引：函数概念理解不透彻；分段函数解不等式忘记范围；换元法求解析式，反解忽视范围；函数值域理解不透彻． 4．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列从P 到Q 的各对应关系f 不是函数的是________． ①f ：x →y ＝12x; ②f ：x →y ＝1 3x ； ③f ：x →y ＝2 3 x; ④f ：x →y ＝x . 5．设函数f (x )＝???（x ＋1）2 ，x <1， 4－x －1，x ≥1， 则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为 ______________． 6．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________． 7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个． 题组三 常考题 8．[2015·重庆卷改编] 函数f (x )＝lg(x 2＋x －6)的定义域是________． 9．[2015·全国卷Ⅱ改编] 函数f (x )＝? ????1＋log 3（3－x ），x <1，x 2＋2，x ≥1，则f (－6)＋f (2)＝________. 探究点一 函数的定义域 考向1 求给定函数解析式的定义域

高中数学函数的概念教案

《函数的概念》教案 一、[教学目标] 1、知识与技能目标：掌握函数的概念；理解构成函数的要素；能求一些简单函数的定义域。 2、过程与方法目标：通过对具体问题的思考，分析，引导学生抽象概括出函数的概念，培养学生抽象概括的能力。 3、情感态度价值观目标：通过师生共同探索出函数的概念，总结出函数的要素，激发学生学习数学的兴趣，培养学生刻苦专研的精神。 二、[教学重点] 理解并掌握函数的概念。 三、[教学难点] 理解函数的概念，对符号“ ()x f y=”的掌握；用区间表示函数的定义域 和值域。 四、[教学方法] 直观教学法、启发教学法、课堂讨论法。 五、[教学过程] 1、引入新课 情景1：提供一张表格，把本班中考得分前10名的情况填入表格， y与行驶时间x之间的关系式为：y=80x 情景3：南昌市一天24小时内的气温随时间变化图：（图略） 提问（1）：这三个例子中都涉及到了几个变化的量？（两个） 提问（2）：当其中一个变量取值确定后，另一个变量将如何？（它的 值也随之唯一确定） 提问（3）：这样的关系在初中称之为什么？（函数）引出课题 （二）讲授新课 1．函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数． 记作： y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意： ○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，是一个数，而不是f 乘以x． ③ 两个函数相同必须是它们的定义域和对应关系分别完全相同.

高中数学必修1函数概念及性质知识点总结

数学必修1函数概念及性质（知识点总结） （一）函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础. (3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等. 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象． C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上. 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成. (2) 画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修4三角函数） 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用： 1、直观的看出函数的性质； 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。

重点高中数学函数概念说课稿

重点高中数学函数概念说课稿

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《函数的概念》说课稿 各位专家、评委：大家好！ 我说课的内容是数学人教版普通高中新课程标准实验教科书必修１函数第一课时。我将从背景分析、教学目标设计、教法与学法选择、教学过程设计、教学评价设计这七个方面来汇报我对这节课的教学设想． 一、背景分析 1．教材分析 函数是中学数学一个重要的基本概念，其核心内涵为非空数集到非空数集的一个对应，函数思想是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础；它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具．函数与代数式﹑方程﹑不等式﹑数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切，函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用；函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础．为此本节课设定的教学重点是“函数概念的形成”． 2．学情分析 有利因素：在初中初步学生已经探讨了函数的相关知识，有一定的基础；通过高一第一节“集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数，从根本上揭示函数的本质提供了知识保证. 不利因素：本节课的函数概念是用集合与对应的语言进行刻画的，教学中由实例抽象归纳出函数概念时，对学生的抽象、分析、概括能力要求比较高，学生学起来有一定的难度. 鉴于上述分析我制定了本节课的教学目标． 二、教学目标设计 了解：通过丰富实例让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应；了解构成函数的三要素； 理解：函数概念的本质；抽象的函数符号)(x f 的意义；、 经历：让学生经历函数概念的形成过程和概念的辨析过程，在过程中渗透归纳推理、发展学生的抽象思维 能力. 体验：通过经历以上过程，让学生体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型， 在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，体验函数思想. [设计意图]：这样设计目标，可操作性强，容易检测目标的达成度，同时也体现了素质教育的要求 三、教法与学法选择 任何一堂课都是各种不同教学方法综合作用的结果，我认为本节课主要采用探究发现式教学方法，由浅 入深，由特殊到一般地提出问题.鼓励学生采用观察分析，自主探究，合作交流的学习方法，同时借助于多媒体，让学生经历函数概念的形成与应用过程. 四，教学过程 ．

学而思高中数学8函数的概念

题型一 函数的定义 【例1】判断以下是否是函数： ⑴245y x =-；⑵y x =±；⑶32y x x =-+-；⑷229x y +=． 【例2】函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 【例3】如图所示，能表示“y 是x 的函数”的是 ． O y x x y O O y x ④ ③ ② ① O y x 【例4】如下图（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量,x y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有 ． x y O 1 -11 1 -x y O 1 -11(3). 1 -x y O 1 -1 -11 (1). x y O 1 -11 (2). 典例分析 板块一.函数的概念

【例5】{|02},{|03} M x x N y y =≤≤=≤≤给出下列四个图形，其中能表示从集合M到 集合N的 函数关系的有（） A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 【例6】以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？如果是映射，是不是一一映射． ⑴集合{| A P P =是数轴上的点}，集合R B=，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应； ⑵集合{| A P P =是平面直角坐标系中的点}，集合{(,)|,} B x y x y =∈∈ R R，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应； ⑶集合{| A x x =是三角形}，集合{| B x x =是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆； ⑷集合{| A x x =是华星中学的班级}，集合{| B x x =是华星中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生． 【例7】下列对应中有几个是映射？ 【例8】已知 12 {,} A a a =， 12 {,} B b b =，则从A到B的不同映射共有（） A．4个B．3个C．2个D．1个 【例9】设:f A B →是集合A到B的映射，下列说法正确的是（） A、A中每一个元素在B中必有象 B、B中每一个元素在A中必有原象 C、B中每一个元素在A中的原象是唯一的 D、B是A中所在元素的象的集合

(完整版)高一数学函数的概念及表示方法

全方位教学辅导教案

⑴()2 x y =；⑵3 3x y = ；⑶2x y = 例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3 ) 5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 二、函数－区间的概念及求定义域的方法 教学过程： 一、复习引入： 函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x 和y 之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定 前面我们已经学习了函数的概念，，现在我们来学习区间的概念和记号 二、讲解新课： 1．区间的概念和记号 在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号. 设a,b ∈R ,且a

高中数学-《函数的概念》教案

高中数学-《函数的概念》教案 教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数； 教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 教学过程： 一．引入课题 复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想。 思考: (1) y=1(x ∈R)是函数吗？ (2) y=x 与 y= 是同一函数吗？ 几百年来，随着数学的发展，对函数概念的理解不断深入，对函数概念的描述越来越清晰。现在，我们从集合的观点出发，还可以给出以下的函数定义。 （先认识几个对应） 二．新课教学 （一）函数的有关概念 1．函数的概念： 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数． 记作： y=f(x)，x ∈A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 注意： 2 x x

○ 1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○ 2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，是一个数，而不是f 乘以x ． ③ 两个函数相同必须是它们的定义域和对应关系分别完全相同. ④有时给出的函数没有明确说明定义域,这时它的定义域就是自变量的允许取值范围. 2．构成函数的三要素： 定义域、对应关系和值域 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． （1）满足不等式b x a ≤≤的实数的x 集合叫做闭区间，表示为[]b ,a ； （2）满足不等式b x a <<的实数的x 集合叫做开区间，表示为()b ,a ； （3）满足不等式b x a <≤的实数的x 集合叫做半开半闭区间，表示为[)b a ，； （4）满足不等式b x a ≤<的实数的x 集合叫做也叫半开半闭区间，表示为(]b ,a ； 说明：① 对于[]b ,a ，()b ,a ，[)b a ，，(]b ,a 都称数a 和数b 为区间的端点，其中 a 为左端点， b 为右端点，称b-a 为区间长度； ② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法： 不等式表示法：3a,

高中数学函数概念教学反思.doc

高中数学函数概念教学反思 函数的概念是学习后续"函数知识"的最重要的基础内容，而函数的概念又是一个比较抽象的，对它的理解一直是一个教学难点。下面是由我整理的，希望对您有用。 篇一 函数概念的引入一般有两种方法，一种方法是先学习映射，再学习函数;另一种方法是通过具体的实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，即函数。为了充分运用学生已有的认知基础，为了给抽象概念以足够的实例背景，以有助于学生理解函数概念的本质，我采用后一种方式，即从三个背景实例入手，在体会两个变量之间依赖关系的基础上，引导学生运用集合与对应的语言刻画函数概念。继而，通过例题，思考、探究、练习中的问题从三个层次理解函数概念：函数定义、函数符号、函数三要素，并与初中定义进行对比。 在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，还可以让学生先复习初中学习过的函数概念，并用课件进行模拟实验，画出某一具体函数的图像，在函数的图像上任取一点P，测出点P的坐标，观察点P 的坐标横坐标与纵坐标的变化规律。使学生看到函数描述了变量之间的依赖关系，即无论点P在哪个位置，点P的横坐标总对应唯一的纵坐标。由此，使学生体会到，函数中的函数值的变化总是依赖于自变量的变化，而且由自变量唯一确定。 篇二

学习培训提供的视频，结合本节课的上课经历，我反思如下： 一、备课要完备，上课按照备课来走 备课要多研究课本，研究课本的题目设置，备课前还要翻看海南省五年来高考题，以做到和编书者出题者步调一致。比如新课改后课本多是举例引入或得出概念、公式、定理，淡化逻辑证明，而高考更多是考基础性常规题，那么老实备课的时候就要注意重视应用，淡化理论。 我个人的问题是上课思路容易混乱，喜欢用口头禅，爱重复啰嗦生怕学生不懂，随口加一些不严格的内容。那么解决方法就是(1)备课的时候，通过举例和好玩的生活实例直接引入核心内容，从直观上接受重点"任意x 唯一y"，尽可能简化解释，多做具体示例;(2)上课时铺开课本和备课本，是不是扫两眼，禁止临时加话。(3)在备课基础上，上课讲完备课的内容即可，在各内容之间加一句简单的承上启下的连接就行了。 二、对学生睡觉者记名上报德育处，没有观众的表演没有激情 我认为学习是学生的权利，而不是我强迫学，所以之前我从不管学生讲话玩手机睡觉。但是后面发现居然有一大片睡觉，而且我明明很有激情，讲着讲着我就困了。于是我采用了请班长科代表记名，每堂课交名单给我，期末汇总上交德育处的方法，正好12月12日学校在升旗时，发布了一个自动退学处分，学生都是害怕开除的，所以后面每节课，只有个别自我放弃的学生睡觉了。上课一眼扫下去，都坐得端端正正，我就有更多表演的欲望和随机应变的串场内容。 三、上课多一些夸张的表情和声调，以抵抗数学高难度带来的乏味 数学对海南学生来说，难是肯定的，所以极易疲惫。老师要充满爱的去

高中数学必修一函数的概念及其表示

函数的概念和函数的表示法 考点一：由函数的概念判断是否构成函数 函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。例1. 下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是（） ①A={x∈x∈Z}，B={y∈y∈Z}，对应法则f：x→y= 3 x ; ②A={x∈x>0,x∈R}, B={y∈y∈R}，对应法则f：x→2y=3x; ③A=R,B=R, 对应法则f：x→y=2x; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（） ①②③④ 变式2. 已知函数y=f（x），则对于直线x=a（a为常数），以下说法正确的是（） A.y=f（x）图像与直线x=a必有一个交点 B.y=f（x）图像与直线x=a没有交点 C.y=f（x）图像与直线x=a最少有一个交点 D.y=f（x）图像与直线x=a最多有一个交点变式4.对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y是x的函数②对于不同的x，y的值也不同 ③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式5．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有( ) A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 考点二：同一函数的判定 函数的三要素：定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x相同（） ①. y=x②.y=③. 2 y=④.y=t ⑤.33x y=；⑥.2x y= 变式1. 下列各组函数表示相等函数的是（） A. 29 3 x y x - = - 与3 y x =+ B. 1 y与1 y x =- C. 0 y x =（x≠0）与1 y=（x≠0） D. 21 y x =+，x∈Z 与21 y x =-，x∈Z

高中数学必修一函数的概念知识点总结

必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. - 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数，且a=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. < 典例分析 题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ） A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数： ' ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方； ③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2：区间的表示 【 例1：用区间表示下列集合 （1） }{1≥x x =_____________。 （2）}{42≤x x x 且=_____________。 （4）}{3-≤x x =______________。 题型3：求函数的定义域和值域 例1：求函数的定义域