第五章 机械振动
5–1 在两个相同的弹簧下各悬一物体，两物体的质量比为4:1，则二者作简谐振动的周期之比为_________。
解：由弹簧振子的周期公式k
m
T π
2=可得，二者的周期之比为2:1。 5–2 某星球质量是地球质量的P 倍，半径是地球半径的q 倍，一只在地球上周期为T 的单摆在该星球上的振动周期为 。
解：因e s pM M =，e s qR R =，所以星球上的重力加速度为
g q
p R q pM G
R M G
g 2
2s
2e
2s
s
s =
==
星球上该单摆的振动周期为
T P
q g l T ==s s π
2 5–
3 一汽车载有四人，他们的质量共为250kg ，上车后把汽车的弹簧压下5×10-2m 。若该汽车弹簧共负载1000kg 的质量，则汽车的固有频率为 。
解：由题意可得弹簧的劲度系数为
42
109.41058
.9250?=??==
-x mg k N/m 负载M =1000kg 的质量时，汽车的固有频率为
π
27
1000109.4π21π
21
π24=
?==
=M k ω
νHz 5–4 一弹簧振子，当t =0时，物体处在平衡位置且向x 正方向运动，则它的振动的初相位为 。
解：将0=t 时，0=x ，代入振动方程)(cos ?ω+=t A x ，得?cos 0A =，故
2π
-=?或
2
π 又由于0=t 时，物体向x 正方向运动，即0>v ，即需0sin >-=?ωA x ，故初相位为
2
π
-=?
5–5 一简谐振动方程为)3cos(?+=t A x ，已知t = 0时的初位移为0.04m ，初速度为0.09 m/s ，则振幅A =________，初相? =_____________。
解：振幅22
3
2
22202010509.004.0-?=+=+=
ωv x A m
初相)4
3
arctan()04.0309.0arctan()arctan(00-=?-=-
=x ω?v 5–6 一简谐振动的旋转矢量图如图5-1所示，振幅矢量长2cm ，则该简谐振动的初相为______。振动方程为_____________。
解：由图可得初相位为4
π
=
?，角频率π=ω，故振动方程为
t 图5-1
)4
π
πcos(1022+?=-t x （m ）
5–7 一质点按如下规律沿x 轴作简谐振动，)3/π2π8cos(1.0+=t x （SI ），此振动的周期为 、初相为 、速度最大值为 、加速度最大值为 。
解：由振动方程π8=ω，所以周期为
25.0π8π
2π
2==
=
ω
T s 初相为
3
2π=
? 振幅A =0.1m ，速度最大值为
0.8ππ81.0m =?==ωA v m/s
加速度最大值为
222m π4.6π641.0=?==ωA a m/s 2
5–8 一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达式分别为
)61
2cos(10421π+?=-t x ， )6
52c o s (10322π-?=-t x （SI ）
则其合成振动的振幅为___________，初相为_______________。
解：由两分振动的振动方程知
21104-?=A m ，2
2103-?=A m ，6π1=
?，6
5π
2-=? 所以振幅为
212212
221101)cos(2-?=-++=??A A A A A m
初相正切为
0825.03
71cos cos sin sin tan 22112211==++=φ????A A A A
初相为
?=7.4?
5–9 某同学看到一只鸟落在树枝上的P 处，树枝在10s 内上下振动了6次，如图5-2。鸟飞走后，他把50g 的砝码挂在P 处，发现树枝在10s 内上下振动了12次。将50g 的砝码换成500g 的砝码后，他发现树枝在15s 内上下振动了6次。你估计鸟的质量最接近[ ]。
A ．50g
B ．200g
C ．500g
D ．550g
解：鸟在树枝上时，树枝振动的周期T 0＝1.7s ，挂上50g 的砝码时，树枝振动周期T 1＝0.83s ，挂上500g 的砝码时，树枝振动的周期T 2＝2.5s ，由于T 1＜T 0＜T 2，所以鸟的质量m 应满足50g ＜m ＜500 g ，故（B ）选项正确。
5–10 卡车在水平道路上行驶，货物随车厢上下作简谐运动而不脱离底板，设向下为正方向，其振动图像如图5-3所示，则货物对底板压力小于货
物重力的时刻是[ ]。
图5-2
A ．时刻t 1
B ．时刻t 2
C ．时刻t 4：
D ．无法确定
解：t 1为平衡位置，货物对底板压力等于货物所受重力；时刻t 2为正的最大振幅处，此时货物受到底板向上的支持力和向下的重力，货物有向下的加速度，故此时货物受到的支持力小于货物的重，也即货物对底板压力小于货物重力，而在t 4时刻则与t 2时刻相反。故应选（B ）。
5–11 如图5-4所示，设两弹簧处于自然长度，则振动系统的周期为[ ]。 A ．
m k k 21π
21
+ B ．21π
21
k k m
+ C ．m k k 21π2+ D ．2
1π2k k m +
解：以平衡位置为原点建立坐标x O -。设m 向右偏离平衡位置距离为x ，则左边弹簧被拉长x ，右边弹簧被压缩x ，m 所受的合力（即回复力）为
x k k F )(21+-=
由牛顿第二定律，有
2
2
21d d )(t x m x k k =+- 即
0d d 212=++x k k t x
令
m
k k 2
1+=
ω 则
2
1π
2π2k k m
T +==
ω 故应选（D ）。
5–12 如图5-5所示的振动系统的周期为[ ]。 A ．
m k k k k 2121π
21
+ B ．
)(π212121k k m k k + C ．)(π22121k k m k k + D ．2
121)
(π2k k k k m + 解：以图中物体所在平衡位置为坐标原点，建立坐标系，x 轴的正方向向右。设m 向右偏离平衡位置距离为x ，弹簧1伸长x 1，弹簧2伸长x 2，则有
21x x x += （1）
物体m 所受的回复力为
2211x k x k F -=-= （2）
由（1）式和（2）式可得
x k k k k F 2
12
1+-
=
由牛顿第二定律，有
2
2212
1d d t x m x k k k k =+-
图5-3
图5-4
图5-5
令
)
(212
1k k m k k +=
ω
则
2
121)(π
2π
2k k k k m T +==
ω 故应选（D ）。
5–13 一简谐振动曲线如图5-6所示。则振动周期是[ ]。 A ．2.62s B ．2.40s C ．2.20s D ．2.00s
解：由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为A /2，且向x 轴正方向运动。图5-7是其相应的旋转矢量图。由旋转矢量法可知初相位为3
π
2-
，振动曲线上给出质点从A /2处运动到0=x 处所需时间为1s ，由对应旋转矢量图可知相应的相位差为6
π
52π3π2=+=
??，则角频率为6π5=??=
t ?ωrad/s ，周期为4.2π
2==ω
T s 。故应选（B ）
。 *5–14 一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上（如图5-8所示），作
成一复摆。已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量231
ml J =，此摆作微小振动的周期为
[ ]。
A ．g
l
π
2 B ．g l 2π2 C ．g l 32π2 D ．g l 3π
解：因细棒转动惯量231
ml J =，细棒质心到转动点O 的距离为
l h 2
1
=
。根据复摆的周期公式 g
l
mgh J T 32π
2π
2== 故应选（C ）。
5–15 一物体作简谐振动，振动方程为)π2
1
cos(+
=t A x ω。则该物体在0=t 时刻的动能与/8T t =（T 为振动周期）时刻的动能之比为[ ]。
A ．1:4
B ．1:2
C ．1:1
D ．2:1
E ．4:1 解：物理的振动速度为
图5-7
图5-8
图5-6
)π2
1sin(d d +-==
t A t x ωωv 0=t 时，速度为
ωωA A -=-=π2
1
sin 1v
/8T t =时，速度为
ωωω
ωA A T A 2
2π)214πsin(π)218sin(1-=+-=+-=v 因22
2
121==v v E E ，所以应选（D ）
。 *5–16 两个弹簧振子，甲的固有频率是100Hz ，乙的固有频率是400Hz ，若它们均在频率是300Hz 的驱动力作用下做受迫振动，则[ ]。
A ．甲的振幅较大，振动频率是100Hz
B ．乙的振幅较大，振动频率是300Hz
C ．甲的振幅较大，振动频率是300Hz
D ．乙的振幅较大，振动频率是400Hz 解：在物体作受迫振动时，当振动物体的固有频率和周期性驱动力的频率越接近，则受迫振动物体所获得的能量越多，其振幅越大；稳定受迫振动的频率等于驱动力的频率。故应选（B ）。
5–17 若谐振动方程为m 4ππ20cos 1.0??? ?
?
+=t x ，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和
初相；（2）s 2=t 时的位移、速度和加速度。
解：已知振动方程为??? ?
?
+=4ππ20cos 1.0t x ，由振动方程可计算此题。
（1）振幅：A =0.1m ，角频率：π20=ωrad/s ，频率：Hz 10π
2==ω
f ，
周期：s 1.01
==ν
T ，
初相：4
π
=
?。 （2）s 2=t 时，位移为
m 1007.74πcos 1.04ππ40cos 1.02-?==??? ?
?
+=t x
速度为
s /m 44.44πsin π24ππ40sin π2-=-=??? ?
?
+-=t v
加速度为
222m /s 2804πcos π404ππ40cos π40-=-=??? ?
?
+-=t a
5–20 由质量为M 的木块和倔强系数为k 的轻质弹簧组成一在光滑水平台上运动的谐振子，如图5-11所示，开始时木块静止在O 点，一质量为m 的子弹以速率0v 沿水平方向射入木块并嵌在其中，然后木块（内有子弹）作谐振动，若以子弹射入木块并嵌在木块中时开始计时，试写出系统的振动方程，取x 轴如图。
解：设嵌入子弹的木块的振动方程为)cos(?ω+=t A x 。嵌入子弹的木块作简谐振动的圆频率为
v 0
k
m
M k
+=
ω
设子弹嵌入木块时与木块的共同速度为v ，子弹射入木块前后木块与子弹组成的系统动量守恒，有
v v )(0m M m +=-
得
m
M m +-
=0
v v 由题意知振子的初始条件为：当0=t 时，0=x ，振子的初速度为v ，由此可得
0cos =?A （1）
m
M m A +-
=-0
sin v ?ω （2） 由（1）式得2
π
±
=?，由（2）式知sin ?＞0，因此振子的初相位应为 2
π=
? 振幅为
ω
)(0
m M m A +=
v
所以系统的振动方程为
???
? ??+++=
2πcos )(0t m M k m M m x ωv 5–22 质量为m ，长为l 的均匀细棒可绕过一端的固定轴O 1自由转动，在离轴3
l
l =
'处有一倔强系数为k 的轻弹簧与其连接。弹簧的另一端固定于O 2点，如图5-13所示。开始时棒刚好在水平位置而静止。现将棒沿顺时针方向绕O 1轴转过一小角度θ0，然后放手。
（1）证明杆作简谐振动； （2）求出其周期；
（3）以顺时针为旋转正向，水平位置为角坐标原点，转过角θ0为起始时刻，写出振动表达式。
解：（1）平衡时，重力矩与弹力矩等值反向，设此时弹簧伸长为?x 0，有
03
1
212100=?-='?-l x k mgl l x k mgl 设某时刻杆转过角度为θ，因角度很小，弹簧再伸长近似为
3
l
l x θθ=
'=?
杆受到弹簧向上的拉力为
)3
()(00l
x k x x k Fk θ+
?=?+?=
杆受弹力矩为
图5-13
k l x l l F M k k )3(30θ+?-='-=)33
(2
0l l x k θ+?-=
杆所受合力矩为
3)33
(21220l k
l l x k mgl M M M k G θθ-=+?-=+= 由转动定律，有
2222
d d 313t
ml
J l k θ
αθ==- 0d d 2
2=+
θθm
k
t （1） 由此可见，杆作简谐振动。
（2）由（1）式可得
ω=m k
所以杆振动的周期为
T==ω/π22πk m
（3）由题知t=0时，0θθ=，0d d 0
==t t θ
，得振幅θA =θ0，初位相?0=0，故杆的振动表达式为
t m k cos 0θθ=
\5–24 一物体质量为m =0.25kg ，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k =25N/m ，如果起始时刻物体的位置和速度均为正，且振动系统的初动能为0.02J ，弹簧的势能为0.06J 。求：
（1）物体的振动方程； （2）动能恰等于势能时的位移； （3）经过平衡位置时物体的速度。 解：（1）设物体的振动方程为
)cos(?ω+=t A x （1）
振动物体的角频率为
1025
.025
===
m k ωrad/s （2） 振动物体的机械能为
J 08.02
12
p k ==
+=kA E E E 式中k E 表示振动物体的动能，p E 表示振动物体的势能，所以简谐振动的振幅为
08.025
16.008.0====
k k E A m （3） 当0=t 时，有
J 02.02
12
0==
v m E k
J 06.02
12
0==
kx E p 所以
4.02
5.004
.004.0===m v m/s 25
3
2512.012.00===
k x m 将初始条件代入振动方程（1）式得
23cos =
?，2
1
sin -=? 所以
6
π
-=? （4）
将（2）、（3）和（4）式代入（1）式得到物体的振动方程为
)6
π
10cos(08.0-=t x
（2）当物体的动能等于势能时有
J 04.02
212=+=p k E E kx 所以
m 25
2
=
x （3）经平衡位置时，物体的势能为零，则动能最大，此时动能J 08.0=k E ，则有
J 08.02
12
max ==
v m E k 所以
s /m 08.0max =v
第六章 机械波
6–1 夜晚蚊子以每秒600次的速率扇动翅膀而发出令人烦恼的声音。设声音在空气中的速度为340m/s ，则蚊子发出的声音的波长为 。
解：蚊子扇动翅膀的频率就是声音的频率，又已知声音在空气中的传播速度，则可算出蚊子发出的声音的波长。
57.0600
340
==
=
ν
λu
m 6–2 水银的密度为33m /kg 106.13?，容变弹性模为210m /N 108.2?，则声波在水银中的传播速度为 。
解：声波在水银中的传播速度为
33
101043.1106.13108.2?=??=
=
ρ
B
u m/s
6–3 在钢棒中声速为5100m ／s ，则钢的杨氏模量 。（钢的密度ρ＝
7.8×103kg ／m 3）。
解：由ρ/E u =可得
2112332N/m 1003.2)101.5(108.7?=???==u E ρ
6–4 一平面简谐波沿着x 轴正方向传播，已知其波函数为)10.050(πcos 04.0x t y -=m ，则该波的振幅为 ，波速为 。
解：对比沿x 轴正方向传播的一般波动方程
??
?
???+??? ??-=?ωu x t A y cos
可知该波的振幅为m 04.0，波速为500m/s 。
6–5 图6-1所示为一平面简振波在t ＝2s 时刻的波形图，波的振幅为0.2m ，周期为4s ，则图中P 点处质点的振动方程为 。
解：由t ＝2s 波形图可知原点O 处振动方程为 ???
??--=2π2π2cos T t A y O
???
??--=2π42π2cos 2.0t
(SI) π23πcos 2.0??? ?
?
-=t
P 点2
λ
=
x ，相位比O 点落后π，所以P 点的振动方程为
(SI) 2π2
π
cos 2.0ππ232πcos 2.0??? ??-=??? ??--=t t y p
6–6 一平面简谐机械波在介质中传播时，若一介质质点在平衡位置处的动能为100J ，则该介质质点在平衡位置处的振动势能为__________。
解：波在传播过程中，质点的动能和势能是同相的，且大小相等。故振动势能为100J 。 6–7 太平洋上有一次形成的洋波速度为km/h 740，波长为300km 。横渡太平洋8000km 的距离需要的时间为[ ]。
A ．10.8s
B ．10.8h
C ．26.7h
D ．26.7s 解：h 8.10740
8000
===
u s t ，故应选（B ）
。 6–8 下列函数),(t x f 可表示弹性介质中的一维波动，式中A 、a 和b 是正的常量。其中哪个函数表示沿x 轴负向传播的行波？[ ]。
A ．)sin(),(bt ax A t x f +=
B ．)sin(),(bt ax A t x f -=
C ．bt ax A t x f cos cos ),(=
D ．bt ax A t x f sin sin ),(=
E ．bt ax A t x f cos sin ),(=
解：（C ）、（D ）、（E ）均表示驻波。它们最明显的特点是各点的振幅不同。（A ）、（B ）表示行波，符合行波的形式。其中（B ）沿x 正方向传播，（A ）沿x 负方向传播。故选（A ）。
图6-1
6–9 一简谐波沿x 轴正方向传播，t ＝T ／4时的波形曲线如图6-2所示。若振动以余弦函数表示，且此题各点振动的初相取–π到π之间的值，则[ ]。
A ．0点的初位相为00=?
B ．1点的初位相为π21
1-=?
C ．2点的初位相为π2=?
D ．3点的初位相为π21
3-=?
解：波形图左移
4
λ
，即可得t ＝0时的波形图，如图6-3所示。由t ＝0时的波形图（图6-3中虚线）可知，各点的振动初相为
2
π ,0 ,2
π ,π3210-====????
故答案应选（D ）。
6–10 一平面简谐波，沿x 轴负方向传播，圆频率为ω，波速为u ，设t ＝T ／4时刻的波形如图6-4所示，则该波的表达式为[ ]。
A ．???
??-=u x t A y ωcos B ．??????+??? ??-=2πcos u x t A y ω
C ．??? ??
+=u x t A y ωcos D ．??
????+??? ??+=πcos u x t A y ω
解：图6-4中波形图向右移λ4
1
，可得t ＝0时波形（图6-5中虚线）。在O 点，t ＝0时
y ＝–A ，初相?＝π，振动方程为)π ( cos 0+=t A y ω，又因波向–x 方向传播，所以波动方程为
??
?
???+??? ??+=π cos u x t A y ω （SI ）
故应选（D ）。
6–11 如图6-6所示，从入口S 处送入某一频率的声音。通过左右两条管道路径SAT 和SBT ，声音传到了出口T 处，并可以从T 处监听声音。右侧的B 管可以拉出或推入以改变B
图
6-2
图6-5
图
6-3
图6-4
管的长度。开始时左右两侧管道关于S 、T 对称，从S 处送入某一频率的声音后，将B 管逐渐拉出，当拉出的长度为l 时，第一次听到最低的声音。设声速为v ，则该声音的频率为[ ]。
A ．
l 8v B ．l 4v C ．l
2v D ．l v
解：本题实际上是有关波的干涉的题。当B 管被拉出长度为l 时，从S 进入的声音通过左右两管到达T 处的波程差为l 2，在T 处产生相消的条件为
2
)
12(2λ
+=k l ， ,2,1,0=k
由题给条件是第一次听到最低的声音，即第一次出现声音相消，则取0=k ，所以得l 4=λ，由此得声音的频率为
l
4v
v
=
=
λ
ν 故答案应选（B ）。
*6–12 某时刻驻波波形曲线如图6-7所示，则a 、b 两点的位相差是[ ]。 A ．π B ．π／2 C ．5π／4 D ．0 解：在驻波两波节之间所有质点的振动相位相同，而在驻波波节两侧的点，振动相位相反，故a 、b 两点的位相差是π。答案应选（A ）。
6–15 波源的振动方程为t
y 5π
cos 100.62-?=（m ），它所激起的波以2.0m/s 的速度在一直线上传播，求：
（1）距波源6.0m 处一点的振动方程。 （2）该点与波源的相位差。
解：取波源处为坐标原点，波传播方向为x 轴正方向。由题所给条件，波源激起的简谐波波函数为
)0
.2(5πcos 100.62x
t y -?=-
（1）当x ＝6.0m 时，有
)0.20
.6(5πcos 100.62-?=-t y
)0.3(5
π
cos 100.62-?=-t
（2）距波源6.0m 处质点的振动相位与波源处质点的振动相位差为
π5
35π)0.3(5π-=--=
?t t φ 6–16 一平面简谐波在t ＝0时的波形
曲线如图6-8所示。
（1）已知u ＝0.08m/s ，写出波函数； （2）画出t ＝T /8时的波形曲线。
图6-7 图6-6
A
解：（1）由图6-8可知，λ＝0.4m ，u ＝0.08m/s ，λν/u =＝0.08/0.4＝0.2Hz
以余弦函数表示波函数，由图6-8知，t ＝0，x ＝0时，y ＝0，因而?＝π／2。由此可写出波函数为
)2/ππ5π4.0cos(04.0 π2cos +-=??????+???
?
?-=x x t A y ?λν
（2）t ＝T /8的波形曲线可以将原波形曲线向x 正向平移λ/8＝0.05m 而得，如图6-9中虚线所示。
6–17 一质点在介质中作简谐振动，振幅为0.2m ，周期为4πs ，取该质点过y 0=0.1m 处开始往y 轴正向运动的瞬时为t =0。已知由此质点的振动所激起的横波在x 轴正向传播，其波长为λ=2m 。试求此波动的波函数。
解：由题给条件，现在已经知道该波的振幅2.0=A m ，周期为πs 4=T ，波长λ=2m ，由此可计算出该波的角频率为
5.0π
4π2π2===
T ωrad/s 波速为
2π
1
π42=
==T u λ
m/s 又因0=t 时，y 0=0.1m=A /2，且质点向y 轴正方向传播，由旋转矢量法（图6–10）可得原点处的振动初相位为
3
π-=?
这样就可得到该波的波函数为
()??????
--=??
????+??? ??-=3ππ25.0cos 2.0cos x t u x t A y ?ω
6–19 如图6-12所示，一艘船平行于岸边航行，它到岸边的距离为600m 。从岸上相距800m 的A 、B 两点同时发出的相同频率的电磁波信号，到达图中C 点时产生干涉加强，C 点到A 、B 两点的距离相等。当船行驶到D 点时，船上的接收器第一次出现极小的信号。求电磁波的波长。
解：由于从A 和B 发出的电磁波到达C 点时，在C 点出现干涉加强。A 到C 和B 到C 的距离相等，故从A 和B 发出的电磁波信号的初相位相同。从A 和B 发现的电磁波到达D 点的相位差为
λ
??φ1
212π
2r r ---=?
图6-10
图6-12
A
B
C
D
800
600 图6-9
λBD AD S S -=π2π)12(6001000π2+=-=k λ
所以
1
2800
+=
k λ 由于到D 时第一次出现波的干涉极小，故上式中应取1=k ，所以电磁波的波长为
800=λm
第6章 恒定磁场 1． 空间某点的磁感应强度B 的方向，一般可以用下列几种办法来判断，其中哪个是错误的？ （ C ） （A ）小磁针北（N ）极在该点的指向； （B ）运动正电荷在该点所受最大的力与其速度的矢积的方向； （C ）电流元在该点不受力的方向； （D ）载流线圈稳定平衡时，磁矩在该点的指向。 2． 下列关于磁感应线的描述，哪个是正确的? （ D ） （A ）条形磁铁的磁感应线是从N 极到S 极的； （B ）条形磁铁的磁感应线是从S 极到N 极的； （C ）磁感应线是从N 极出发终止于S 极的曲线； （D ）磁感应线是无头无尾的闭合曲线。 3． 磁场的高斯定理 0S d B 说明了下面的哪些叙述是正确的？ （ A ） a 穿入闭合曲面的磁感应线条数必然等于穿出的磁感应线条数； b 穿入闭合曲面的磁感应线条数不等于穿出的磁感应线条数； c 一根磁感应线可以终止在闭合曲面内； d 一根磁感应线可以完全处于闭合曲面内。 （A ）ad ； （B ）ac ； （C ）cd ； （D ）ab 。 4． 如图所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当曲面S 向长直导线靠近时，穿过曲面S 的磁通量 和面上各点的磁感应强度B 将如何变化？ （ D ） （A ） 增大，B 也增大； （B ） 不变，B 也不变； （C ） 增大，B 不变； （D ） 不变，B 增大。 5． 两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，则在圆心o 处的磁感应强度大小为多少? （ C ） （A ）0； （B ）R I 2/0 ； （C ）R I 2/20 ； （D ）R I /0 。 6、有一无限长直流导线在空间产生磁场，在此磁场中作一个以截流导线为轴线的同轴的圆柱形闭合高斯面，则通过此闭合面的磁感应通量（ A ） A 、等于零 B 、不一定等于零 C 、为μ0I D 、为 i n i q 1 1 7、一带电粒子垂直射入磁场B 后，作周期为T 的匀速率圆周运动，若要使运动周期变为T/2，磁感应强度应变为（B ） A 、 B /2 B 、2B C 、B D 、–B 8 竖直向下的匀强磁场中，用细线悬挂一条水平导线。若匀强磁场磁感应强度大小为B ，导线质量为m ， I
2003—2004学年度第2学期期末考试试卷（A 卷） 《A 卷参考解答与评分标准》 一 填空题：（18分） 1． 10V 2.（变化的磁场能激发涡旋电场），（变化的电场能激发涡旋磁场）. 3. 5， 4. 2， 5. 3 8 6. 293K ，9887nm . 二 选择题：（15分） 1. C 2. D 3. A 4. B 5. A . 三、【解】(1) 如图所示，内球带电Q ，外球壳内表面带电Q -. 选取半径为r （12R r R <<）的同心球面S ，则根据高斯定理有 2() 0d 4πS Q r E ε?==? E S 于是，电场强度 204πQ E r ε= (2) 内导体球与外导体球壳间的电势差 22 2 1 1 1 2200 01211d 4π4π4πR R R AB R R R Q Q dr Q U dr r r R R εεε?? =?=?==- ????? ? r E (3) 电容 12 001221114π/4πAB R R Q C U R R R R εε??= =-= ?-?? 四、【解】 在导体薄板上宽为dx 的细条，通过它的电流为 I dI dx b = 在p 点产生的磁感应强度的大小为 02dI dB x μπ= 方向垂直纸面向外. 电流I 在p 点产生的总磁感应强度的大小为 22000ln 2222b b b b dI I I dx B x b x b μμμπππ===? ? 总磁感应强度方向垂直纸面向外. 五、【解法一】 设x vt ＝, 回路的法线方向为竖直向上( 即回路的绕行方向为逆时
针方向)， 则 21 d cos602B S Blx klvt Φ=?=?= ? ∴ d d klvt t εΦ =- =- 0ac ε < ，电动势方向与回路绕行方向相反，即沿顺时针方向（abcd 方向）． 【解法二】 动生电动势 1 cos602 Blv klvt ε?动生＝＝ 感生电动势 d 111 d [cos60]d 222d d dB B S Blx lx lxk klvt t dt dt dt εΦ=- =?=--?===?感生－ klvt εεε==感生动生＋ 电动势ε的方向沿顺时针方向（即abcd 方向）。 六、【解】 1. 已知波方程 10.06cos(4.0)y t x ππ=- 与标准波方程 2cos(2) y A t x π πνλ =比较得 , 2.02, 4/Z H m u m s νλνλ==== 2. 当212(21)0x k ππΦ-Φ==+合时，A ＝ 于是，波节位置 21 0.52k x k m += =+ 0,1,2, k =±± 3. 当 21222x k A ππΦ-Φ==合时，A ＝ 于是，波腹位置 x k m = 0,1,2, k =±± ( 或由驻波方程 120.12cos()cos(4)y y y x t m ππ=+= 有 (21) 00.52 x k A x k m π π=+?=+合＝ 0,1,2, k =±± 20.122 x k A m x k m π π=?=合＝, 0,1,2, k =±± )
大学物理竞赛指导-经典力学选例 一．质点运动学 基本内容：位置，速度，加速度，他们的微积分关系，自然坐标下切、法向加速度，*极坐标下径向速度，横向速度，直线运动，抛物运动，圆周运动，角量描述，相对运动 1.运动学中的两类问题 (1)已知运动方程求质点的速度、加速度。这类问题主要是利用求导数的方法。 例1 一艘船以速率ｕ驶向码头P ，另一艘船以速率v 自码头离去，试证当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为： ()()ααcos :cos v v ++u u 设航路均为直线，α为两直线的夹角。 证：设任一时刻船与码头的距离为x 、y ，两船的距离为l ，则有 α c o s 2222xy y x l -+= 对ｔ求导，得 ()()t x y t y x t y y t x x t l l d d c o s 2d d c o s 2d d 2d d 2d d 2αα--+= 将v , =-=t y u t x d d d d 代入上式，并应用0d d =t l 作为求极值的条件，则得 ααcos cos 0yu x y ux +-+-=v v ()()αα c o s c o s u y u x +++-=v v 由此可求得 ααc o s c o s v v ++=u u y x 即当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为 ()()αα c o s c o s v : v ++u u (2)已知质点加速度函数a ＝a (x ，v ，t )以及初始条件，建立质点的运动方程。这类问题主要用积分方法。 例2 一质点从静止开始作直线运动，开始时加速度为a 0，此后加速度随时间均匀增加，经过时间τ后，加速度为2a 0，经过时间2τ后，加速度为3 a 0 ,…求经过时间n τ后，该质点的速度和走过的距离。 解：设质点的加速度为 a = a 0+α t ∵ t = τ 时， a =2 a 0 ∴ α = a 0 /τ 即 a = a 0+ a 0 t /τ ， 由 a = d v /d t ， 得 d v = a d t t t a a t d )/(d 0 000τ??+=v v ∴ 2002t a t a τ +=v
第五章 习题解答 5-1 解：等压过程系统做功W ，根据等压过程做功的公式： W=p(V 2-V 1)=νR ΔT 可得ΔT=W/νR ，ν=1mol ，ΔT=W/R W W i T R i T T C Q p 2 72222)(12=+=?+=-=υ υp 5-2 J T R i E 65.124131.82 3102=???=?=?υ 5-3 解：等容过程有W=0，Q=ΔE J T R i E 747930031.82 322=???=?=?=υ 5-4 解：等压过程系统做功W ，根据等压过程做功的公式： W=p(V 2-V 1)=νR ΔT=200J W i T R i T T C Q 2 222)(12+=?+=-=υ υp 单原子分子 i =3，J Q 5002002 23=?+= 单原子分子 i =5，J Q 7002002 25=?+= 5-5. 一系统由如图所示的a 状态沿acb 到达b 状态，有334J 热量传入系统，系统做功J 126。 （1）经adb 过程，系统做功J 42，问有多少热量传入系统? （2）当系统由b 状态沿曲线ba 返回状态a 时，外界对系统 做功为J 84，试问系统是吸热还是放热？热量传递了多少? 解：由acb 过程可求出b 态和a 态的内能之差 Q=ΔE+W ，ΔE=Q -W=334-126=208 J adb 过程，系统作功W=42 J ， Q=ΔE+W=208+42=250J 系统吸收热量 ba 过程，外界对系统作功A=-84 J ， Q=ΔE ＋W=-208-84=-292 J 系统放热 5-6 解：ab 过程吸热，bc 过程吸热 cd 过程放热，da 过程放热 取1atm=105Pa 根据等温、等压过程的吸热公式可得 J V p V p i T T C Q a a b b ab 336)(2)(12=-= -=V υ J V p V p i Q b b c c bc 560)(2 2=-+= J V p V p i Q c c d d cd 504)(2 -=-= J V p V p i Q d d a a da 280)(2 2-=-+= 整个过程总吸热J Q Q Q bc ab 8961=+=，总放热J Q Q Q da cd 7842=+= p
第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？ 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 故 223+=x 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以 故 q q 3 3 - =' (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=， dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 ) (42 20R x dq dE += πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E z
式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。 下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场力大小为 方向沿x 轴正方向。 直线段受到的电场力大小为 方向沿x 轴正方向。 4. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ。求： （1）圆心处O 点的场强； （2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O 点场强。 解：（1）在半圆环上取?λλRd l dq ==d ，它在O 点产生场强大小为 20π4R dq dE ε= ?ελ d R 0π4= ，方向沿半径向 外 根据电荷分布的对称性知，0=y E 故 R E E x 0π2ελ = =，方向沿x 轴正向。 （2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。 5．如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度。 解：建立图示坐标系。在均匀带电细直杆上取dx L q dx dq ==λ，dq 在P 点产生的场强大小为 2 02044x dx x dq dE πελπε== ，方向沿x 轴负方向。
大学物理课后习题答案第六章
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第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？ 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 2 00 200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε 故 223+=x 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以 2 220)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 故 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为 l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的 电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 ) (4220R x dq dE += πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E 2 3220)(41 cos R x xdq dE dE x += =πεθ R O λ1 λ2 l x y z
浙江工业大学学校 204 条目的4类题型式样及交稿式样 热力学第一定律、典型的热力学过程 一. 选择题 题号：20412001 分值：3分 难度系数等级：2 1 如图所示，一定量理想气体从体积V1，膨胀到体积V2分别经历的过程是：A→B等压过程，A→C等温过程；A→D绝热过程，其中吸热量最多的过程 (A) 是A→B. (B) 是A→ C. (C) 是A→D. (D) 既是A→B也是A→C, 两过程吸热一样多。 [ ] 答案：A 题号：20412002 分值：3分 难度系数等级：2 2 质量一定的理想气体，从相同状态出发，分别经历等温过程、等压过程和绝热过程，使其体积增加一倍．那么气体温度的改变(绝对值)在 (A) 绝热过程中最大，等压过程中最小． (B) 绝热过程中最大，等温过程中最小． (C) 等压过程中最大，绝热过程中最小． (D) 等压过程中最大，等温过程中最小．［］ 答案：D 题号：20412003 分值：3分 难度系数等级：2 V
3 一定量的理想气体，从a 态出发经过①或②过程到达b 态，acb 为等温线(如图)，则①、②两过程中外界对系统传递的热量Q 1、Q 2是 (A) Q 1>0，Q 2>0． (B) Q 1<0，Q 2<0． (C) Q 1>0，Q 2<0． (D) Q 1<0，Q 2>0． ［ ］ 答案：A 题号：20413004 分值：3分 难度系数等级：3 4 一定量的理想气体分别由初态a 经①过程ab 和由初态a ′经 ②过程a ′cb 到达相同的终态b ，如p －T 图所示，则两个过程中 气体从外界吸收的热量 Q 1，Q 2的关系为： (A) Q 1<0，Q 1> Q 2． (B) Q 1>0，Q 1> Q 2． (C) Q 1<0，Q 1< Q 2． (D) Q 1>0，Q 1< Q 2． ［ ］ 答案：B 题号：20412005 分值：3分 难度系数等级：2 5. 理想气体向真空作绝热膨胀． (A) 膨胀后，温度不变，压强减小． (B) 膨胀后，温度降低，压强减小． (C) 膨胀后，温度升高，压强减小． (D) 膨胀后，温度不变，压强不变． ［ ］ 答案：A 题号：20412006 分值：3分 难度系数等级：2 6. 一定量的理想气体，从p －V 图上初态a 经历(1)或(2)过程到达末态b ，已知a 、b 两 态处于同一条绝热线上(图中虚线是绝热线)，则气体在 (A) (1)过程中吸热，(2) 过程中放热． (B) (1)过程中放热，(2) 过程中吸热． (C) 两种过程中都吸热． (D) 两种过程中都放热． ［ ］ 答案：B 题号：20412007 分值：3分 p p p V
第五章 稳恒电流 本章提要 1．电流强度 · 当导体中存在电场时，导体中的电荷会发生定向运动形成电流。如果在t ?时间内通过导体某一截面的电量为q ?，则通过该截面的电流I 为 q I t ?= ? · 如果电流随时间变化，电流I 的定义式为 t q t q I t d d lim 0= ??=→? 2．电流密度 · 导体中任意一点的电流密度j 的大小规定为单位时间内通过该点单位垂直截面的电量，j 的方向规定为通过该点的正电荷运动的方向。根据电流密度的定义，导体中某一点面元d S 的电流密度为 d d I j S ⊥ = · 对于宏观导体，当导体中各点的j 有不同的大小和方向，通过导体任意截面S 的电流可通过积分计算，即 d j S S =???I 3．欧姆定律 · 对于一般的金属导体，在恒定条件下欧姆定律有如下表达形式 R U U I 2 1-= 其中R 为导体的电阻，21U U -为导体两端的电势差 · 欧姆定律的微分形式为 E j σ= 其中ρσ1=为电导率
4．电阻 · 当导体中存在恒定电流时，导体对电流有一定的电阻。导体的电阻与导体的材料、大小、形状以及所处状态（如温度）有关。当导体的材料与温度一定时，对一段截面积均匀的导体，其电阻表达式为 S l R ρ = 其中l 为导体的长度，S 为导体的横截面积，ρ为导体的电阻率 5．电动势 · 非静电力反抗静电力移动电荷做功，把其它种形式的能量转换为电势能，产生电势升高。 q A 非= ε · 当非静电力不仅存在于内电路中，而且存在于外电路中时，整个回路的电动势为 l E l k ??=d ε 6．电源电动势和路端电压 · 若电源正负极板的电势分别为U +和U -，电源内阻为r ，电路中电流为I ，则电源电动势为 ()U U Ir +-ε=-- · 路端电压为 Ir U U -=--+ε 7．接触电动势 · 因电子的扩散而在导体接触面上形成的等效电动势。 A B ln n kT e n ε= 其中e 为电子电量，k 为玻尔兹曼常数，T 为热力学温度
第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？ 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 2 00 200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε 故 223+=x 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以 2 220)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 故 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为 l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的 电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 ) (4220R x dq dE += πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E 2 3 2 2 0) (41 cos R x xdq dE dE x += =πεθ R O λ1 λ2 l x y z
式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹角。 ?+= 2 32 2 0) (4dq R x x E x πε 2 32210)(24R x R x +?= πλπε2 32201)(2R x x R += ελ 下面求直线段受到的电场力。在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场力大小为 dq E dF x =dx R x x R 2 3 22021)(2+= ελλ 方向沿x 轴正方向。 直线段受到的电场力大小为 ?=dF F dx R x x R l ?+= 02 3220 21)(ελλ2 ()?? ????+- = 2/1220211 1R l R R ελλ2 方向沿x 轴正方向。 4. 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ。求： （1）圆心处O 点的场强； （2）将此带电半圆环弯成一个整圆后，圆心处O 点场强。 解：（1）在半圆环上取?λλRd l dq ==d ，它在O 点产生场强大小为 20π4R dq dE ε= ?ελ d R 0π4= ，方向沿半径向外 根据电荷分布的对称性知，0=y E ??ελ ?d R dE dE x sin π4sin 0= = R d R E x 000 π2sin π4ελ ??ελπ ==? 故 R E E x 0π2ελ = =，方向沿x 轴正向。 （2）当将此带电半圆环弯成一个整圆后，由电荷分布的对称性可知，圆心处电场强度为零。
西安工业大学试题纸 1.若质点的运动方程为：()2r 52/2t t i t j =+-+（SI ），则质点的v ＝ 。 2. 一个轴光滑的定滑轮的转动惯量为2/2MR ，则要使其获得β的角加速度，需要施加的合外力矩的大小为 。 3.刚体的转动惯量取决于刚体的质量、质量的空间分布和 。 4.一物体沿x 轴运动，受到F =3t (N)的作用，则在前1秒内F 对物体的冲量是 （Ns ）。 5. 一个质点的动量增量与参照系 。（填“有关”、“无关”） 6. 由力对物体的做功定义可知道功是个过程量，试回答：在保守力场中，当始末位置确定以后，场力做功与路径 。（填“有关”、“无关”） 7.狭义相对论理论中有2个基本原理(假设)，一个是相对性原理，另一个是 原理。 8.在一个惯性系下，1、2分别代表一对因果事件的因事件和果事件，则在另一个惯性系下，1事件的发生 2事件的发生（填“早于”、“晚于”）。 9. 一个粒子的固有质量为m 0，当其相对于某惯性系以0.8c 运动时的质量m = ；其动能为 。 10. 波长为λ，周期为T 的一平面简谐波在介质中传播。有A 、B 两个介质质点相距为L ，则A 、B 两个质点的振动相位差=?φ____；振动在A 、B 之间传播所需的时间为_ 。 11. 已知平面简谐波方程为cos()y A Bt Cx =-，式中A 、B 、C 为正值恒量，则波的频率为 ；波长为 ；波沿x 轴的 向传播（填“正”、“负”）。 12.惠更斯原理和波动的叠加原理是研究波动学的基本原理，对于两列波动的干涉而言，产生稳定的干涉现象需要三个基本条件：相同或者相近的振动方向，稳定的位相差，以及 。 13. 已知一个简谐振动的振动方程为10.06cos(10/5)()X t SI π=+，现在另有一简谐振动，其振动方程为20.07cos(10)X t =+Φ，则Φ= 时，它们的合振动振幅最 大；Φ= 时，它们的合振动振幅最小。 14. 平衡态下温度为T 的1mol 单原子分子气体的内能为 。 15. 平衡态下理想气体(分子数密度为n ，分子质量为m ，分子速率为v )的统计压强P= ;从统计角度来看，对压强和温度这些状态量而言， 是理想气体分子热运动激烈程度的标志。
例 有一外半径R1=10 cm ，内半径R2=7 cm 的金属球壳，在球壳中 放一半径R3=5 cm 的同心金属球，若使球壳和球 均带有q=10-8 C 的正电荷，问两球体上的电荷 如何分布？球心电势为多少？ 解：作球形高斯面 例1 把一块相对电容率 r =3的电介质，放在相距d=1 mm 的 两平行带电平板之间. 放入之前，两板的电势差是1 000 V . 试求两板间电介质内的电场强度E ，电极化强度P ，板和电介质的电荷面密度，电介质内的电位移D. 例2 图中是由半径为R1的长直圆柱导体和同轴的半径为R2的薄导体圆筒组成，其间充以相对电容率为 r 的电介质. 设直 导体和圆筒单位长度上的电荷分别为+和- . 求(1)电介质中的 1 R 2 R 3 R q +q +1R 1 R 2 R 3 R q +q +r 2S r ε d + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - U
电场强度、电位移和极化强度； (2)电介质内外表面的极化电荷 面密度. 例2 圆柱形空气电容器中，空气的击穿场强是Eb=3 106 V·m-1 ，设导体圆筒的外半径R2= 10-2 m . 在空气不被击穿的情况下，长圆柱导体的半径R1 取多大值可使电容器存储能量最多？ 例1 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为R1和R2 ，所带电荷为 Q ．若在两球壳间充以电容率为 的电介质，问此 电容器贮存的电场能量为多少？ l + + + + + + + + _ _ _ _ _ _ _ _ + +++ --- - 1 R 2 R 1 R 2 R
1某质点的运动学方程x=6+3t-5t 3 ，则该质点作 （ D ） （A ）匀加速直线运动，加速度为正值 （B ）匀加速直线运动，加速度为负值 （C ）变加速直线运动，加速度为正值 （D ）变加速直线运动，加速度为负值 2一作直线运动的物体，其速度x v 与时间t 的关系曲线如图示。设21t t →时间合力作功为 A 1，32t t →时间合力作功为A 2，43t t → 3 C ） （A ）01?A ，02?A ，03?A （B ）01?A ，02?A ， 03?A （C ）01=A ，02?A ，03?A （D ）01=A ，02?A ，03?A 3 关于静摩擦力作功，指出下述正确者（ C ） （A ）物体相互作用时，在任何情况下，每个静摩擦力都不作功。 （B ）受静摩擦力作用的物体必定静止。 （C ）彼此以静摩擦力作用的两个物体处于相对静止状态，所以两个静摩擦力作功之和等于 零。 4 质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，经过时间T 转动一圈，那么在2T 的时间，其平均 速度的大小和平均速率分别为（B ） （A ） ， （B ） 0， （C ）0， 0 （D ） T R π2， 0 5、质点在恒力F 作用下由静止开始作直线运动。已知在时间1t ?，速率由0增加到υ；在2t ?， 由υ增加到υ2。设该力在1t ?，冲量大小为1I ，所作的功为1A ；在2t ?，冲量大小为2I ， 所作的功为2A ，则（ D ） A ．2121;I I A A <= B. 2121;I I A A >= C. 2121;I I A A => D. 2121;I I A A =< 6如图示两个质量分别为B A m m 和的物体A 和B 一起在水平面上沿x 轴正向作匀减速直线 运动，加速度大小为a ，A 与B 间的最大静摩擦系数为μ，则A 作用于B 的静摩擦力F 的 大小和方向分别为（D ） 轴正向相反与、轴正向相同 与、轴正向相同 与、轴正向相反 与、x a m D x a m x g m x g m B B B B ,,C ,B ,A μμT R π2T R π2T R π2t
习题五 5-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同? 解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为)(t f y =；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x ，又是时间t 的函数，即),(t x f y =． (2)在谐振动方程)(t f y =中只有一个独立的变量时间t ，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程),(t x f y =中有两个独立变量，即坐标位置x 和时间t ，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律． 当谐波方程 ) (cos u x t A y -=ω中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一． (3)振动曲线)(t f y =描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y ，横轴为t ；波动曲线),(t x f y =描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律， 其纵轴为y ，横轴为x ．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x 变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图． 5-2 波动方程y =A cos ［ω( u x t - )+0?］中的u x 表示什么?如果改写为y =A cos (0?ωω+-u x t )，u x ω又是什么意思?如果t 和x 均增加，但相应的［ω( u x t - )+0?］的值不变，由此能从波动方程说明什么? 解: 波动方程中的u x /表示了介质中坐标位置为x 的质元的振动落后于原点的时间；u x ω则表示x 处质元比原点落后的振动位相；设t 时刻的波动方程为 ) cos(0φωω+-=u x t A y t 则t t ?+时刻的波动方程为 ] ) ()(cos[0φωω+?+-?+=?+u x x t t A y t t 其表示在时刻t ，位置x 处的振动状态，经过t ?后传播到t u x ?+处．所以在 ) (u x t ωω-中，当t ，x 均增加时， ) (u x t ωω-的值不会变化，而这正好说明了经过时间t ?，波形即向前传播了t u x ?=?的距离，说明) cos(0φωω+-=u x t A y 描述的是一列行进中的波，故谓之行 波方程． 5-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点? 解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元dV 内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形
2008年下学期2007级《大学物理（下）》期末考试（A 卷） 一、选择题(共27分) 1. (本题3分) (2717) 距一根载有电流为3×104 A 的电线1 m 处的磁感强度的大小为 (A) 3×10-5 T ． (B) 6×10-3 T ． (C) 1.9×10-2T ． (D) 0.6 T ． (已知真空的磁导率μ0 =4π×10-7 T ·m/A) ［ ］ 2. (本题3分)(2391) 一电子以速度v 垂直地进入磁感强度为B 的均匀磁场中，此电子在磁场中运动轨道所围的面积内的磁通量将 (A) 正比于B ，反比于v 2． (B) 反比于B ，正比于v 2． (C) 正比于B ，反比于v ． (D) 反比于B ，反比于v ． ［ ］ 3. (本题3分)(2594) 有一矩形线圈AOCD ，通以如图示方向的电流I ，将它置于均匀磁场B 中，B 的方向与x 轴正方向一致，线圈平面与x 轴之间的夹角为α，α < 90°．若AO 边在y 轴上，且线圈可绕y 轴自由转动，则线圈将 (A) 转动使α 角减小． (B) 转动使α角增大． (C) 不会发生转动． (D) 如何转动尚不能判定． ［ ］ 4. (本题3分)(2314) 如图所示，M 、N 为水平面内两根平行金属导轨，ab 与cd 为垂直于导轨并可在其上自由滑动的两根直裸导线．外磁场垂直水平面向上．当外力使 ab 向右平移时，cd (A) 不动． (B) 转动． (C) 向左移动． (D) 向右移动．［ ］ 5. (本题3分)(2125) 如图，长度为l 的直导线ab 在均匀磁场B 中以速度v 移动，直导线ab 中的电动势为 (A) Bl v ． (B) Bl v sin α． (C) Bl v cos α． (D) 0． ［ ］ 6. (本题3分)(2421) 已知一螺绕环的自感系数为L ．若将该螺绕环锯成两个半环式的螺线管，则两个半环螺线管的自感系数 c a b d N M B
大学物理学第版修订版邮电大学出版社上册第 五章习题答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
习 题5 选择题 (1)一物体作简谐振动，振动方程为)2cos(π ω+=t A x ，则该物体在0=t 时 刻的动能与8/T t =（T 为振动周期）时刻的动能之比为： (A)1：4 （B ）1：2 （C ）1：1 (D) 2：1 [答案：D] (2)弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的 功为 (A)kA 2 (B) kA 2/2 (C) kA 24A ±2A ±23A ±22A ±4cm2cm2cm 23 s 2A cos(2//2)x A t T ππ=-cos(2//3)x A t T ππ=+O θsin mg -S ?R R S ?=θθmg -中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反．即小球在O 点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球为对象，则小球在以O '为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有 令R g =2ω，则有 弹簧振子的振幅增大到原振幅的两倍时，其振动周期、振动能量、最大速度 和最大加速度等物理量将如何变化 解：弹簧振子的振动周期、振动能量、最大速度和最大加速度的表达式分别为 所以当振幅增大到原振幅的两倍时，振动周期不变，振动能量增大为原来的4倍，最大速度增大为原来的2倍，最大加速度增大为原来的2倍。 单摆的周期受哪些因素影响把某一单摆由赤道拿到北极去，它的周期是否变化
解：单摆的周期为 因此受摆线长度和重力加速度的影响。把单摆由赤道拿到北极去，由于摆线长度不变，重力加速度增大，因此它的周期是变小。 简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的在什么情况下是异号的加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增大 解：简谐振动的速度和加速度的表达式分别为 当00sin()cos()t t ω?ω?++与同号时，即位相在第1或第3象限时，速度和加速度同号；当00sin()cos()t t ω?ω?++与异号时，即位相在第2或第4象限时，速度和加速度异号。 加速度为正值时，振动质点的速率不一定增大。 质量为kg 10103-?的小球与轻弹簧组成的系统，按20.1cos(8)(SI)3x t ππ=+ 的规律 作谐振动，求： (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等 (3)s 52=t 与s 11=t 两个时刻的位相差； 解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知： 又 πω8.0==A v m 1s m -? 51.2=1s m -? (2) 0.63N m m F ma == 当p k E E =时，有p E E 2=， 即 )2 1(212122kA kx ?= ∴ m 20 222±=±=A x (3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=?t t
第六章 真空中的静电场 习题选解 6-1 三个电量为q -的点电荷各放在边长为r 的等边三角形的三个顶点上，电荷(0)Q Q >放在三角形的重心上。为使每个负电荷受力为零，Q 之值应为多大？ 解：以三角形上顶点所置的电荷(q -)为例，其余两个负电荷对其作用力的合力为1f ，方向如图所示，其大小为 题6-1图 2 2 2 2 1004330cos 42r q r q f πεπε=??= 中心处Q 对上顶点电荷的作用力为2f ，方向与1f 相反，如图所示，其大小为 2 233200434r Qq r Qq f πεπε==??? ? ?? 由12f f =，得 Q =。 6-2 在某一时刻，从238U 的放射性衰变中跑出来的α粒子的中心离残核234 Th 的中心为159.010r m -=?。试问：（1）作用在α粒子上的力为多大？（2）α粒子的加速度为多大？ 解：（1）由反应 238 234492 902U Th+He → ，可知 α粒子带两个单位正电荷，即 1912 3.210Q e C -==? Th 离子带90个单位正电荷，即 1929014410Q e C -==? 它们距离为159.010r m -=? 由库仑定律可得它们之间的相互作用力为：
19199 122152 0 3.21014410(9.010)5124(9.010) Q Q F N r πε---???==??=? （2）α粒子的质量为： 2727272()2(1.6710 1.6710) 6.6810p n m m m Kg α---=+=??+?=? 由牛顿第二定律得： 28227512 7.66106.6810 F a m s m α--= ==??? 6-3 如图所示，有四个电量均为C q 610-=的点电荷，分别放置在如图所示的1，2，3，4点上，点1与点4距离等于点1与点2的距离，长m 1，第3个电荷位于2、4两电荷连线中点。求作用在第3个点电荷上的力。 解：由图可知，第3个电荷与其它各 电荷等距，均为2 2 r m = 。各电荷之间均为斥力，且第2、4两电荷对第三电荷的作用力大小相等，方向相反，两力平衡。由库仑定律，作用于电荷3的力为 题6-3 图 题6-3 图 N r q q F 22 133 10108.141 -?== πε 力的方向沿第1电荷指向第3电荷，与x 轴成45o 角。 6-4 在直角三角形ABC 的A 点放置点电荷C q 91108.1-?=，B 点放置点电荷 C q 92108.4-?-=，已知0.04,0.03BC m AC m ==，试求直角顶点C 处的场强E 。 解：A 点电荷在C 点产生的场强为 1E ，方向向下 142 11 01108.141 -??== m V r q E πε B 点电荷在C 点产生的场强为2E ，方向向右 142 22 02107.241 -??== m V r q E πε
质 点 运 动 学 选择题 [ ]1、某质点作直线运动的运动学方程为x ＝6+3t -5t 3 (SI)，则点作 A 、匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． B 、匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． C 、变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． D 、变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． [ ]2、某物体的运动规律为2v dv k t dt =-，式中的k 为大于零的常量．当0=t 时，初速v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是 A 、0221v kt v += B 、022 1v kt v +-= C 、02211v kt v +=, D 、02211v kt v +-= [ ]3、质点作半径为R 的变速圆周运动时的加速度大小为(v 表示任一时刻 质点的速率) A 、dt dv B 、R v 2 C 、R v dt dv 2+ D 、 242)(R v dt dv + [ ]4、关于曲线运动叙述错误的是 A 、有圆周运动的加速度都指向圆心 B 、圆周运动的速率和角速度之间的关系是ωr v = C 、质点作曲线运动时，某点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向 D 、速度的方向一定与运动轨迹相切 [ ]5、以r 表示质点的位失， ?S 表示在?t 的时间内所通过的路程，质点在?t 时间内平均速度的大小为 A 、t S ??; B 、t r ?? C 、t r ?? ; D 、t r ?? 填空题 6、已知质点的运动方程为26(34)r t i t j =++ (SI)，则该质点的轨道方程 为 ；s t 4=时速度的大小 ；方向 。 7、在xy 平面内有一运动质点，其运动学方程为：j t i t r 5sin 105cos 10+=（SI ）， 则t 时刻其速度=v ；其切向加速度的大小t a ；该质 点运动的轨迹是 。 8、在x 轴上作变加速直线运动的质点,已知其初速度为v 0，初始位置为x 0加速度为a=C t 2 (其中C 为常量),则其速度与时间的关系v= ， 运动
第五章 刚体力学 一、填空 1.刚体的基本运动包括 和 。 2.刚体的质心公式 。 3.质量为m,半径为R 的均匀薄圆环对过圆心且垂直圆环面的转动惯量是 ，对 圆环直径的转动惯量是 。 4.长度为L,质量为M 均匀细棒，对通过棒的一端与棒垂直轴的转动惯量是 ，对通过棒中点与棒垂直轴的转动惯量是 。 二、简答题 1.什么是刚体？ 2.简述质心运动定理的内容。 3.简述刚体绕某轴转动时的转动惯量的定义式及影响转动惯量的因素。 4.简述转动惯量的平行轴定理和垂直轴定理。 5.简述转动定律的内容。 三、计算题 5.1飞轮以转速{ EMBED Equation.3 |1min 1500n -?=round n 转动，受到制动而 均匀的减速，经而停止。求： （1）角加速度的大小； （2）从制动算起到停止，转过的圈数； （3）制动后，第时角速度的大小。
5.2 已知飞轮的半径为，初速度为，角加速度为。试计算时的 （1）角速度； （2）角位移； （3）边缘上一点的速度； （4）边缘上一点的加速度。 5.3某发动机飞轮在时间间隔内的角位移为 求：时刻的角速度和角加速度。 5.4如图所示，钢制炉门由两个长1.5m的平行臂AB和CD支撑，以角 速率逆时针转动，求臂与铅直成45o时门中心G的速度和加速度。 5.5 桑塔纳汽车时速为166km/h，车轮滚动半径为0.26m，自发动机至驱动轮的转速比为0.909.问发动机转速为每分钟多少转？ 第五章刚体力学答案 一、填空 1.平动，定轴转动 2. 3. 4. 二、简答题
1.什么是刚体？ 刚体是受力作用时不改变形状和体积的物体，是物体的理想化模型。 2.简述质心运动定理的内容。 质点系所受的合外力等于质点系的质量乘以质心加速度。 3.简述刚体转动惯量的定义式，并具体说明转动惯量与哪些因素有关 答：转动惯量定义式：。其与物体的总质量、质量的分布、转轴的位置有关。4.简述转动惯量的平行轴定理和垂直轴定理。 答：平行轴定理：刚体对于某轴的转动惯量等于刚体对于通过其质心且和该轴平行的轴的转动惯量与刚体的质量和两轴间距平方的乘积之和。即：。 垂直轴定理：薄板对于垂直板面轴oz的转动惯量，等于薄板对位于板面内与oz 轴交于一点的两相互垂直的轴ox和oy的转动惯量之和。即：。 5.简述刚体转动定律的内容。 答：刚体在合外力距的作用下，所获得的角加速度与合外力矩的大小成正比，与转动惯量成反比。 三、计算题 5.1飞轮以转速转动，受到制动而均匀的减速，经而停止。求： （1）角加速度的大小； （2）从制动算起到停止，转过的圈数； （3）制动后，第时角速度的大小。 解：（1）初角速度末角速度 由定义得，角加速度 （2）从制动算起到停止，转过的角度 转过的圈数 （3）第时角速度的大小 5.2 已知飞轮的半径为，初速度为，角加速度为。试计算时的 （1）角速度； （2）角位移；