第26卷,第2期 光谱学与光谱分析Vol 126,No 12,pp3722376
2006年2月 Spectroscopy and Spectral Analysis February ,2006
基于卷积型小波包变换的谱线自动提取方法
刘中田1,吴福朝1,罗阿里2,赵永恒2
1.中国科学院自动化研究所模式识别国家重点实验室,北京 100080
2.中国科学院国家天文台,北京 100012
摘 要 天体光谱中的谱线包含重要的天体物理信息。文章提出一种基于卷积型小波包变换的谱线自动提
取方法。该方法由以下主要步骤组成:(1)将观测光谱进行4层卷积型小波包变换;(2)对第四层小波包系数,采用区域相关算法以及阈值处理方法进行噪声处理;(3)选择中高频小波包系数进行谱线特征重构;(4)根据重构后的谱线特征,利用谱线搜索方法,在观测光谱中提取谱线。作者在实验中用恒星、正常星系和活动星系光谱进行谱线提取测试,结果表明该方法具有对噪声鲁棒和谱线提取准确等特点。用该方法提取sloan digital sky survey (SDSS )光谱中的谱线后,计算了红移并与SDSS 给出的红移进行了对比,实验结果间接验证了该方法提取谱线的有效性。
主题词 卷积型小波包;区域相关算法;天体光谱;谱线提取中图分类号:TN91117 文献标识码:A 文章编号:100020593(2006)022*******
收稿日期:2004212228,修订日期:2005205228
基金项目:国家“863”计划(2003AA133060)和国家自然科学基金(60402041)资助项目 作者简介:刘中田,1979年生,中国科学院自动化研究所博士研究生
引 言
谱线提取在光谱分析中起着非常重要的作用[1],作为一种预处理手段,对基于谱线的光谱分类有着直接的影响。以往的谱线提取方法多是以人工参与的半交互方式进行的,常用的天文软件如MIDS ,FIGARO 和IRA F 都是如此。这些处理方法需要借助专家知识来标定谱线的位置,既费时也费力。目前我国正在建造的大天区面积多目标光纤光谱望远镜(简称L AMOST ),建成后每个观测夜可以得到2万～4万条天体光谱,面对如此巨大的海量数据,采用自动的光谱分析方法已成为必然的选择[1]。本文旨在为L AMOST 光谱分析和分类系统研究可靠的光谱谱线提取方法。
由于各种天体光谱的形态不同,再加上连续谱和噪声的影响,自动提取谱线是一项相当困难的工作。自动提取谱线一般的思路是先拟合连续谱,再对光谱归一化,然后进行去噪处理。由于连续谱的物理成因比较复杂,再加上观测设备(望远镜,仪器等)内部参数的影响,使得人们很难得到连续谱的准确模型。以往的连续谱拟合方法如中值滤波方法、多项式插值法以及小波变换方法都是通过对光谱作了一定程度的平滑而实现的,因此拟合出来的连续谱在强谱线附近不够准确,降低了谱线提取的精度[1,2]。赵瑞珍采用小波变换零交叉点方法[2],可以提取出比较准确的发射线或吸收线,但对于既含吸收线又含发射线的光谱,不能同时提取出两种谱
线。另外由于该方法直接对光谱的一阶小波变换的高频系数进行零交叉点搜索,这一搜索算法比较容易受噪声干扰,因此不适合低信噪比光谱的谱线提取。
本文研究了一种基于卷积型小波包变换的谱线自动提取方法。本文的主要特点有:在小波包域内结合了区域相关算法和阈值处理方法进行噪声处理;选择相应的小波包系数进行谱线特征重构;根据重构后的谱线特征,利用谱线搜索方法,在观测光谱中提取谱线。与小波变换零交叉点方法相比,本文方法利用小波包频带细化的特点,在小波包域内进行信噪分离,有效地减小了噪声对谱线提取的影响。另外本文方法可以同时提取出天体光谱中的吸收线和发射线。
1 卷积型小波包变换
多分辨分析可以对信号进行有效的时频分解,但由于其
尺度是按二进制变化的,所以在高频频段其频率分辨率较差。小波包分析能够为信号提供一种更加精细的分析方法[3]
,它将频带进行多层次划分,对多分辨分析没有细分的高频部分进一步分解,从而可以详细分析信号与噪声在中、高频方面的特征。一般的小波包变换算法,当分解层数较大时,各序列的数据长度就会变得很短,这对后续的数据处理很不利。文献[4]提出的卷积型小波包变换算法较好地解决
了这一问题。关于卷积型小波包变换,分解公式为,
f j+1,2n (l )=1
2∑k ∈Z
h (k )?f j ,n (l -2j k )
f j+1,2n+1(l )=
1
2
∑
k ∈Z
g (k )?f j ,n
(l -2j
k )
(1)
重构公式为
f
j ,n
(l )=
1
2
∑k ∈Z
h (k )?f
j +1,2n
(l +2j k )+
12
∑k ∈Z
g (k )?f
j+1,2n+1
(l +2j k )
(2)
其中j 是小波包变换尺度,h (k )称为低通滤波系数,g (k )称为高通滤波系数。
由(1)式的分解公式可以看出,卷积型小波包变换在迭代运算时并没有进行隔二抽一的采样,而只是对上一层的分解结果进行2j k 位移,所以每层中的各频道序列长度始终和原始信号相同,这一特性使得对小波包系数进行进一步的处理比较方便。
2 小波包域降噪方法
对于含噪光谱信号,经过卷积型小波包分解以后,在分解的各分量中,原始信号对应的小波包系数有较强的相关性,而随机噪声却没有这种明显的相关性。因此,可以利用小波包系数对应点处的相关性来区分系数的类别,从而进行取舍,达到去噪的效果。为了避免小波包系数微小的偏移可能导致所求相关系数的不准确性,本文采用区域相关系数[5]。
在区域[x k -m ,x k +m ]上的小波包系数的和
N j ,i (x k )=
∑x k +m
l =x k -m
f
j ,i
(l )(3)
称为局部区域和系数。式中,f j ,i 为尺度j 上的第i 频段小波
包系数,m 为第x k 点的区域相关点数。
第x k 点的区域相关系数为
C N j ,
i (x k )
=N j ,i (x k )N j ,
i+1
(x k )
(4)
第x k 点的归一化区域相关系数为
N j ,i (x k )=C N j ,
i (x k )
(P N j ,i /P C N
j ,i
)1/2
(5)
式中P N j ,i =
∑x k
N
2
j ,i
(x k ),P C N
j ,i
=
∑
x k
C 2
N j ,i (x k
)
。
若| N j ,i (x k )|≥M ?|N j ,i (x k )|,M 为经验系数,则认为f j ,i (x k )为信号,否则认为是随机噪声。
经过区域相关算法之后,由于信号较大边缘会附带一些噪声,可能会对谱线提取造成一定的影响,因此还需要采用阈值处理。阈值方法分为软阈值和硬阈值两种,最初由Do 2noho [6]提出。本文采用硬阈值方法,如下所示。
取λ= σ1
2
ln (N ),对f j ,i (x )作阈值处理
f j ,i (x )=
f j ,i (x ),|f j ,i (x )|≥
λ0,|f j ,i (x )|≤
λ(6)其中,λ为阈值, σ为中高频小波包系数f j ,i (x )均方差的均值,N 为信号离散点数。然后利用f j ,i (x )重构信号,就可以得到去噪后的光谱信号。
3 谱线特征分析
对于含噪光谱信号,f (x )=s (x )+n (x ),s (x
)为原始光
谱信号,n (x )为随机干扰噪声。
巡天观测光谱的噪声来源较为复杂,可以近似为高斯白噪声。光谱中谱线位置对应于其极值点,由于受连续谱和噪声的影响,使得通过找光谱的极值点判别谱线比较困难。
光谱主要是由连续谱、谱线和噪声构成的,在小波包变换域内一般可以较好地提取出谱线对应的特征。谱线和噪声的能量都集中于中高频部分,分离它们比较困难,我们采用了区域相关算法和阈值处理方法,尽量将噪声能量减到最小。实验中,我们选择了db2型的小波对应的小波包[7],采用卷积型小波包变换算法,对光谱信号进行4层小波包变换,得到第4层的小波包系数为f 4,1(x ),f 4,2(x ),…,
f 4,16(x ),然后对f 4,3～f 4,16这14个小波包系数,利用区域
相关算法和阈值处理方法,按照频段从高到底顺序进行处理,令f 4,1(x ),f 4,2(x )小波包系数为零,最后进行小波包
重构,重构所得结果f ′(x )即为我们求得的谱线特征。假设
谱线的理想模型为一光滑函数h (x ),利用上面的变换过程重
构后的谱线特征h ′
(x )如图1所示。Fig 11 Ideal model of the spectral line
(a ),The original spectral line h (x );(b ),The feature of t he
spectral line h ′
(x ) 由上图可以看出,原始谱线h (x )的极值点a 对应于谱线
特征h ′(x )上的极值点A 点。A 点的纵坐标y A 的绝对值|y A |是|h ′
(x )|的最大值,并且有y A >0 当h (x )为发射线时
y A <0 当h (x )为吸收线时
定义1:设定一个阈值δA ,当|y A |>δ
时,我们称极值点A 为有效极值点,它的横坐标即为一条谱线的位置。对应于有效极值点A 的另两个极值点B ,C 我们称之为支撑点。
定义2:谱线特征h ′
(x )中的D ,E 两点称为有效极值点A 的特征边界点,区间[x D ,x E ]为特征区间,可以通过支撑
点B 向左搜索过零点得到D 点,通过支撑点C 向右搜索过零
点得到E 点,过零点x k 由h ′
(x k )?h ′(x k +1)≤0定义[2]。如图1所示,光谱信号的谱线范围[x b ,x c ]包含于特征
区间[x D ,x E ]中,在f ′
(x )中检测到一条谱线后,一般要对3
73第2期 光谱学与光谱分析
原始光谱f (x )在区间[x b ,x c ]内进行端点线性插值
f (x )=
f (x c )-f (x b )
x c -x b
(x -x b )+f (x b ),x ∈(x b ,x c )
(7)
并且把特征区间[x D ,x E ]内的f ′
(x )值设为零,然后重新进行谱线的搜索。当谱线比较密集的时候,特征区间之间会有重叠,增加了谱线搜索的难度,本文把有效极值点和谱线范围[x b ,x c ]的搜索分开进行,较好地解决了密集谱线搜索的
问题。
4 谱线提取算法
如图1,如果我们能够找到b,c 两点,就可以准确地提取出谱线。然而,实际中的谱线并不象h (x )这么光滑,而且谱线中还可能叠加噪声,且噪声一般很难完全滤除,因此我们选择如下的策略进行谱线范围的搜索。
(1)若y A >0,则在区间[x D ,x B ],[x C ,x E ]中对原始光谱f (x )分别搜索最小的极小值点(若无则取最小值点)得到b,c 两点;(2)若y A <0,则在区间[x D ,x B ],[x C ,x E ]中对原始光谱f (x )分别搜索最大的极大值点(若无则取最大值点)得到b,c 两点。
以下给出谱线提取算法的主要步骤。
(1)将光谱信号f (x )作j 层卷积型小波包变换,得到第j 层小波包系数f j ,i (x ),f j ,2(x ),…,f j ,2j (x ),这里j =4;
(2)令f 4,1(x )=0,f 4,2(x )=0,对余下的14个小波包系数,利用区域相关算法和阈值处理方法进行噪声处理,然
后进行小波包系数重构得到谱线特征f ′
(x );(3)令f ′0=f ′(x ),i =1,计算f ′0(x )的均方差σ0,设
定阈值δA =3σ0;
(4)搜索|f ′i-1(x )|的最大极值点x i ,若|f ′(x i )|>3σ0,则极值点x i 为有效极值点,由定义2找出极值点x i 的特征区间[x D ,x E ],并令特征区间内的f ′i-1(x )值为零得到f ′i (x )。若f ′i (x )=f ′i-1(x ),转(5);否则,令i =i +1,转(4);
(5)令f 0(x )=f (x ),i =1;(6)在f ′(x )中由定义1和定义2找出x i 的支撑点B ,C
和特征边界点D ,E,若f ′
(x i )>0,则在区间[x D ,x B ],[x C ,x E ]中对f i-1(x )分别搜索最小的极小值点(若无则取最
小值点)得到b,c 两点,若f ′
(x )<0,则在区间[x D ,x B ],[x C ,x E ]中对f i-1(x )分别搜索最大的极大值点(若无则取最大值点)得到b,c 两点,然后再利用(7)式在b,c 构成的区间[x b ,x c ]内将f i-1(x )进行端点线性插值得到f i (x )。若f i (x )=f i-1(x ),转(7);否则,令i =i +1,转(6);
(7)记l (x )=f (x )/f i (x ),即得到所求的谱线;
(8)将f i (x )作为原始信号进行4层小波包变换,然后将全部高频系数置零后再进行小波包反变换,得到 f (x ),再将 f (x )进行样条拟合后即可得较为满意的连续谱。
5 结果与结论
本文以实际光谱为例,用第4部分所述的谱线提取算法得到的谱线结果如图2
。
Fig 12 The original spectra (up),the feature of spectra(middle)and the extracted spectral lines(dow n)
(a ),Star ;(b ),Active galaxy
从图2(a )可以看出,本文的谱线提取算法可以将恒星中的密集吸收线较好地提取出来,显示了本文算法对谱线较好的识别能力,这是以往的各种谱线提取方法很难做到的。图
2(b )是对活动星系光谱的提取结果。从图中可以看出,光谱
具有较强的发射线,其中在45010～50010nm 波长范围内,
具有两根较弱的吸收线,本文方法同时可以较好地将这些弱
473光谱学与光谱分析 第26卷
Fig 13 The results of continuum spectrum f itting (middle)and extracted spectral lines(dow n)
(a ),The existent wavelet transform met hod ;(b ),The met hod proposed in t his paper
吸收线提取出来。
以下是对连续谱拟合和谱线提取方法的比较。 小波变换方法是对原始光谱进行4～5层小波变换,然后将所有高频系数置零后再进行小波反变换,最后对反变换结果进行样条拟合得到连续谱。如图3(a )所示,由于小波变换方法只是对光谱进行了一定程度的平滑,当原始光谱中存在较强的吸收线时,拟合连续谱时就会受到强谱线的影响,从而使得提取的谱线很不理想。如图3(b )所示,利用本文方法提取出来的谱线比较满意,
其位置和形状信息都比较准
Fig 14 T est redshift z using template matching
versus SDSS redshift z
确,与真实谱线非常接近。本文方法由谱线提取算法中的步骤8来拟合连续谱,这样得到的连续谱从原理上来说不会受到强谱线的影响,相对来说比较准确。 同时,我们利用本文提取出的谱线进行红移测量,以验证本文方法提取谱线的有效性。
测试样本是SDSS 在0266天区的326个正常星系的观测光谱,波长范围为38015～90010nm 。模板来自Kinney 在其文章中构造的星系的模板,长度从12010～100010nm ,覆盖了从紫外到近红外的波长范围。选取其中的Ellipticals 模板,用模板匹配的方法[8],测量红移值,将所得到的红移值与SDSS 给出的红移值进行比较,其结果如图4所示。其中,308个测试数据的红移值与SDSS 给出的红移值的比值约为1,其他数据的红移值偏差较大,也就是说本文模板匹配方法得到的红移值有94148%是较为准确的,从而间接验证了本文方法提取谱线的有效性。
从实验结果可以看出,本文方法首先提取出谱线特征,然后依据该特征进行谱线的搜索,提取出来的谱线比较满意。另外通过红移测量也间接验证了本文方法提取谱线的有效性。该方法的另一个特点是整个谱线提取过程均是全自动进行的,不需要任何人工干预自动地提取出吸收线和发射线。我们进一步的研究集中于,利用该方法提取出的谱线进行天体光谱的光谱分类。
5
73第2期 光谱学与光谱分析
673光谱学与光谱分析 第26卷
参考文献
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光谱分析),2005,25(6):996.
A Method for Auto2Extraction of Spectral Lines
B ased on Convolution Type of W avelet Packet T ransform ation
L IU Zhong2tian1,WU Fu2chao1,L UO A2li2,ZHAO Y ong2heng2
1.National Laboratory of Pattern Recognition,Institute of Automation,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100080,China
2.National Astronomical Observatory,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100012,China
Abstract The important astrophysical information is hidden in spectral lines of astronomical spectra.The presen paper presents a method for auto2extraction of spectral lines based on convolution type of wavelet packet.This method consists of four main steps:First,the observed spectra are transformed by convolution type of wavelet packet with4th scale.Then,the noise with co2 efficients of the4th scale is eliminated by the local correlation algorithm and threshold in the wavelet packet domain.After that, middle and high f requency coefficients are selected to reconstruct the feature of the spectral lines.Finally,with the reconstructed feature of the spectral lines,spectral lines in observed spectra are searched.The results of our experiments,which include the spectral lines of stars,normal galaxies and active galaxies,show that the method can robustly and accurately extract the spectral lines.The method was applied to extract the SDSS spectral lines and compute the redshifts with those lines.By comparing the redshifts with those given by SDSS,the extraction has proven successf ul and practical.
K eyw ords Convolution type of wavelet packet;Local correlation algorithm;Astronomical spectra;Spectral line extraction
(Received Dec.28,2004;accepted May28,2005)
10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达
第26卷,第2期 光谱学与光谱分析Vol 126,No 12,pp3722376 2006年2月 Spectroscopy and Spectral Analysis February ,2006 基于卷积型小波包变换的谱线自动提取方法 刘中田1,吴福朝1,罗阿里2,赵永恒2 1.中国科学院自动化研究所模式识别国家重点实验室,北京 100080 2.中国科学院国家天文台,北京 100012 摘 要 天体光谱中的谱线包含重要的天体物理信息。文章提出一种基于卷积型小波包变换的谱线自动提 取方法。该方法由以下主要步骤组成:(1)将观测光谱进行4层卷积型小波包变换;(2)对第四层小波包系数,采用区域相关算法以及阈值处理方法进行噪声处理;(3)选择中高频小波包系数进行谱线特征重构;(4)根据重构后的谱线特征,利用谱线搜索方法,在观测光谱中提取谱线。作者在实验中用恒星、正常星系和活动星系光谱进行谱线提取测试,结果表明该方法具有对噪声鲁棒和谱线提取准确等特点。用该方法提取sloan digital sky survey (SDSS )光谱中的谱线后,计算了红移并与SDSS 给出的红移进行了对比,实验结果间接验证了该方法提取谱线的有效性。 主题词 卷积型小波包;区域相关算法;天体光谱;谱线提取中图分类号:TN91117 文献标识码:A 文章编号:100020593(2006)022******* 收稿日期:2004212228,修订日期:2005205228 基金项目:国家“863”计划(2003AA133060)和国家自然科学基金(60402041)资助项目 作者简介:刘中田,1979年生,中国科学院自动化研究所博士研究生 引 言 谱线提取在光谱分析中起着非常重要的作用[1],作为一种预处理手段,对基于谱线的光谱分类有着直接的影响。以往的谱线提取方法多是以人工参与的半交互方式进行的,常用的天文软件如MIDS ,FIGARO 和IRA F 都是如此。这些处理方法需要借助专家知识来标定谱线的位置,既费时也费力。目前我国正在建造的大天区面积多目标光纤光谱望远镜(简称L AMOST ),建成后每个观测夜可以得到2万～4万条天体光谱,面对如此巨大的海量数据,采用自动的光谱分析方法已成为必然的选择[1]。本文旨在为L AMOST 光谱分析和分类系统研究可靠的光谱谱线提取方法。 由于各种天体光谱的形态不同,再加上连续谱和噪声的影响,自动提取谱线是一项相当困难的工作。自动提取谱线一般的思路是先拟合连续谱,再对光谱归一化,然后进行去噪处理。由于连续谱的物理成因比较复杂,再加上观测设备(望远镜,仪器等)内部参数的影响,使得人们很难得到连续谱的准确模型。以往的连续谱拟合方法如中值滤波方法、多项式插值法以及小波变换方法都是通过对光谱作了一定程度的平滑而实现的,因此拟合出来的连续谱在强谱线附近不够准确,降低了谱线提取的精度[1,2]。赵瑞珍采用小波变换零交叉点方法[2],可以提取出比较准确的发射线或吸收线,但对于既含吸收线又含发射线的光谱,不能同时提取出两种谱 线。另外由于该方法直接对光谱的一阶小波变换的高频系数进行零交叉点搜索,这一搜索算法比较容易受噪声干扰,因此不适合低信噪比光谱的谱线提取。 本文研究了一种基于卷积型小波包变换的谱线自动提取方法。本文的主要特点有:在小波包域内结合了区域相关算法和阈值处理方法进行噪声处理;选择相应的小波包系数进行谱线特征重构;根据重构后的谱线特征,利用谱线搜索方法,在观测光谱中提取谱线。与小波变换零交叉点方法相比,本文方法利用小波包频带细化的特点,在小波包域内进行信噪分离,有效地减小了噪声对谱线提取的影响。另外本文方法可以同时提取出天体光谱中的吸收线和发射线。 1 卷积型小波包变换 多分辨分析可以对信号进行有效的时频分解,但由于其 尺度是按二进制变化的,所以在高频频段其频率分辨率较差。小波包分析能够为信号提供一种更加精细的分析方法[3] ,它将频带进行多层次划分,对多分辨分析没有细分的高频部分进一步分解,从而可以详细分析信号与噪声在中、高频方面的特征。一般的小波包变换算法,当分解层数较大时,各序列的数据长度就会变得很短,这对后续的数据处理很不利。文献[4]提出的卷积型小波包变换算法较好地解决
wpt4=wpdec(y4,n,'db30'); %对数据进行小波包分解 for i=1:2^n %wpcoef(wpt4,[n,i-1])是求第n层第i个节点的系数 disp('每个节点的能量E1(i)'); E4(i)=norm(wpcoef(wpt4,[n,i-1]),2)*norm(wpcoef(wpt4,[n,i-1]),2)%求第i个节点的范数平方，其实也就是平方和 end 请教各位，小波包能量如何求？ 我的理解 假设信号x，对齐进行n层分解： wpt=wpdec(x,n,wname); 然后各小波包系数重构分量信号： dp(i,: )=(wprcoef(wpt,i)); 小波包能量为： Edp(i)=sum(dp(i,: ).^2); 这样对吗，谢谢大虾指点！ 1.小波分析中，原始信号被分解为逼近部分和细节部分。逼近部分再分解为另一层的逼近和细节，这样的过程重复进行，直到设定的分阶层。然而，在小波包分解中，细节部分也进行相同的分解。小波包分解具有任意多尺度特点，避免了小波变换固定时频分解的缺陷（如高频段频率分辨率低），为时频分析提供了极大的选择余地，更能反映信号的本质和特征。你理解也算是对的。 2. s%为已知信号源 for i=1:4 wpt=wpdec(s,i,'db3'); e=wenergy(wpt); E=zeros(1,length(e)); for j=1:2^i E(j)=sum(abs(wprcoef(wpt,[i,j-1])).^2); end figure(5) subplot(4,1,i); bar(e); axis([0 length(e) 0 130]); title(['第',num2str(i), ' 层']); for j=1:length(e) text(j-0.2,e(j)+20,num2str(e(j),'%2.2f')); end end 这段程序也是从网上下载的，一起学习一下吧。
连续小波变换的概念swt,cwt,dwt 1。连续小波的概念。就是把一个可以称作小波的函数（从负无穷到正无穷积分为零）在某个尺度下与待处理信号卷积。改变小波函数的尺度，也就改变了滤波器的带通范围，相应每一尺度下的小波系数也就反映了对应通带的信息。本质上，连续小波也就是一组可控制通带范围的多尺度滤波器。 2。连续小波是尺度可连续取值的小波，里面的a一般取整数，而不像二进小波a取2的整数幂。从连续小波到二进小波再到正交离散小波，其实就是a、b都连续，a不连续、b连续，a、b都不连续的过程。操作他们的快速算法也就是卷积(快速傅里叶)，多孔(a trous)，MALLAT。在MATLAB里，也就是CWT，SWT，DWT。SWT称平稳小波变换、二进小波变换、或者非抽取小波变换。3。从冗余性上：CWT>SWT>DWT，前面两个都冗余，后面的离散小波变换不冗余。 4。从应用上：CWT适合相似性检测、奇异性分析；SWT适合消噪，模极大值分析；DWT适合压缩。 5。操作。就是在某个尺度上得到小波的离散值和原信号卷积，再改变尺度重新得到小波的离散值和原信号卷积。每一个尺度得到一个行向量存储这个尺度下的小波系数，多个尺度就是一个矩阵，这个矩阵就是我们要显示的时间-尺度图。 6。显示。“不要认为工程很简单”。我的一个老师说过的话。小波系数的显示还是有技巧的。很多人画出的图形“一片乌黑”就是个例子。第一步，一般将所有尺度下的小波系数取模；第二步，将每个尺度下的小波系数范围作映射，映射到你指定MAP的范围，比如如果是GRAY，你就映射到0-255；第三步，用IMAGE命令画图；第四步，设置时间和尺度坐标。MATLAB是个很专业的软件，它把这些做的很好，但也就使我们懒惰和糊涂，我是个好奇心重的人就研究了下。里面有个巧妙的函数把我说的(1,2)两个步骤封装在了一起，就是WCODEMAT，有兴趣的同学可以看看。 希望大家深入研究小波。 这里，还有要说的是，小波目前理论的热点： 1。不可分的小波或者具有可分性质的方向性小波； 2。XLET: CONTOURLET, WEDGELET, SHEARLET, BANDELET, RIDGELET, CURVELET; PLATELET. 3。多分辨率分析+多尺度几何分析的结合，才真正是我们所需要的。比如小波域的WEDGELET等等。 最后，几点建议： 1。理论研究和实际应用不同，工程上很多问题小波并不是最好的，在做项目的时候大家要实际情况，实际对待。
应用天地 2008年 2月第 27卷第 2期 基于小波包能量谱分析的电机故障诊断 唐友怀张海涛罗珊姜喆 (工程兵工程学院南京 210007 摘要 :小波包是继小波分析后提出的一种新型的多尺度分析方法 [1], 解决了小波分析在高频部分分辨率差的缺点 , 体现了比小波分析更好的处理效果。文章描述了小波包分析方法的基本原理及其实现算法 , 并从能量分布的角度出发 , 阐述了在电机故障诊断中 , 利用小波包分析方法将模糊故障信号进行量化、分解 , 从而便于用单片机进行处理、判断的一种新的应用途径 , 在实验室中模拟各种电机故障进行了实验验证 , 实验进一步表明基于小波包能量谱分析的电机故障诊断方法是一种方便灵活并且准确度很高的故障诊断方法。关键词 :小波包 ; 故障诊断 ; 能量谱 ; 电机中图分类号 :TP182文献标识码 :A B ased on w avelet p acked energy motor fau lt diagnosis Haitao L uo Shan Jiang Zhe (College of Engineering Corps , Nanjing 210007 Abstract :The wavelet packed is presented as a new kind of multiscale analysis technique followed Wavelet analysis. it re 2solved t he wavelet analysis disadvantage on t he part of high frequency resolution lower , showed better treat ment effect t han wavelet analysis. The f undamental and it s realization arit hmetic of t he wavelet packed analysis met hod are described in t his paper. A new application approach of t he wavelet packed met hod on t he motor fault diagnosis from energy distrib 2uting angle is expatiated. And given t he experimental met hod and t he conclusion. and a new application approach which is convenient for t he microchip to process and judge by using t he wavelet packed analysis met hod to make the f uzzy motor fault diagnosis signals quantized and analyzed
第32卷第6期 2007年11月 测绘科学 Science of Surveying and M app ing Vol 132No 16 Nov 1 作者简介:徐克红(19822),女,山东泰安人,辽宁工程技术大学与中国测绘科学研究院联合培养硕士研究生,主要研究方向为卫星轨道确定。E 2mail:xukehong0719@1631com 收稿日期:2007206228 太阳黑子数时间序列的奇异谱分析和小波分析 徐克红 ①② ,程鹏飞①,文汉江 ① (①中国测绘科学研究院,北京 100039;②辽宁工程技术大学,辽宁阜新 123000) 【摘 要】本文对小波变换和奇异谱分析方法进行了简要介绍,对离散小波的分解和重构、奇异谱分析的重构进 行了详细阐述。结合太阳黑子数1749年至2007年3月期间的月平均值时间序列进行了小波变换的分解和重构及SS A 方法的重构,提取了其主要的周期特性,并对两种分析方法进行了比较。【关键词】小波分析;离散小波的分解与重构;奇异谱分析;太阳黑子数【中图分类号】P228 【文献标识码】A 【文章编号】100922307(2007)0620035204 1 引言 太阳黑子是太阳光球上经常出现的阴暗斑点,是太阳活动的羁绊标志,是反映太阳辐射变化的重要指标,一般用太阳黑子数表示。太阳黑子数反映了太阳活动强弱的变化,对地球的影响很大,诸如地磁变化、大气运动、气候异常、海洋变化等,都和太阳黑子数变化有着不同程度的关系。因此研究太阳黑子数的变化有利于深入了解它对卫星轨道、定位等方面的影响。 对太阳黑子数变化的研究已有很多,韩延本,韩刚用小波分析的方法对太阳黑子数变化进行研究,验证了小波分析方法的可行性,并得到太阳黑子数变化包含多种周期分量的结论。郝立生,李新,李月英利用Morlet 小波变换对太阳活动变化进行了研究,得到太阳活动存在141和106a 的变化周期。 小波变换的概念是1984年法国地球物理学家J 1Morlte 在分析处理地球物理勘探资料时提出来的。其数学基础是19世纪的傅里叶变换,其后理论物理学家A 1Gr oss man 采用平移和伸缩不变性建立了小波变换的理论体系。1989年S 1Mallat 提出了多分辨率分析概念,统一了在此之前的各种构造小波的方法,特别是提出了二进小波变换的快速算法,使得小波变换完全走向实用性[8]。 奇异谱分析(SS A )是对一维的时间序列进行分析的主成分分析方法。该方法适用于从短噪声时间序列中提取信息。SS A 在时空域中,通过将序列分解成元素行为模式的方法,将含在延迟坐标相空间的信息拆开,通过使用数据适应滤波器来帮助将时间序列分开为统计的独立成分,这些成分可以当作趋势、振动或噪声来进行分类。 本文选用太阳黑子数月平均值,采用小波变换和奇异谱分析的方法对该时间序列进行分析,同时对两种分析方法进行比较。 2 奇异谱分析 主成分分析(PCA,Princi pal Component Analysis ),也称为经验正交函数(E OF,E mp irical O rthogonal Functi on ), 可以由多维的时间序列中获取时间序列的主要成分,是常用的多元统计分析方法之一,主要将多个彼此相关的指标变换为少数几个彼此独立的综合指标即主成分,并要求主成分能反映原始数据的几乎全部信息,其中,常用于对一维的时间序列进行分析的方法称为奇异谱分析(SS A,Sin 2gular s pectru m analysis )。 奇异谱方法(SS A )是一种特别适合于研究周期振荡行为的分析方法,它是从时间序列的动力重构出发,并与经验正交函数相联系的一种统计技术,是E OF 分解的一特殊应用。分解的空间结构与时间尺度密切相关,可以较好地从含噪声的有限尺度时间序列中提取信息,目前已应用于多种时间序列的分析中。 SS A 的具体操作过程是,将一个样本量为n 的时间序列按给定嵌套空间维数(即窗口长度)构造一资料矩阵。当这一个资料矩阵计算出明显成对的特征值,且相应的E OF 几乎是周期性或正交时,通常就对应着信号中的振荡行为,可见SS A 在数学上相应于E OF 在延滞坐标上的表达。 对给定的X 1,X 2,…,X n 的时间序列,给定嵌套维数M ,M 一根断条： >> %采样频率 fs=10000; nfft=10240; %定子电流信号 fid=fopen('duantiao.m','r');%故障 N=2048; xdata=fread(fid,N,'int16'); fclose(fid); xdata=(xdata-mean(xdata))/std(xdata,1); %功率谱 figure(1); Y=abs(fft(xdata,nfft)); plot((0:nfft/2-1)/nfft*fs,Y(1:nfft/2)); xlabel('频率f/Hz'); ylabel('功率谱P/W'); %3层小波包分解 T=wpdec(xdata,3,'db4'); %重构低频信号 y1=wprcoef(T,[3,1]); %y1的波形 figure(2); subplot(2,2,1); plot(1:N,y1); xlabel('时间t/n'); ylabel('电流I/A'); %y1的功率谱 Y1=abs(fft(y1,nfft)); subplot(2,2,2); plot((0:nfft/2-1)/nfft*fs,Y1(1:nfft/2)); xlabel('频率f/Hz'); ylabel('功率谱P/W'); 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。 这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因 小波变换的原理及m a t l a b仿真程序 基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参 数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。 2011-2012 学年第一学期 2011级硕士研究生考试试卷 课程名称：小波变换理论及应用任课教师：考试时间：分钟 考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）； B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）； C（√）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。 一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。（20分） 二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。（25分） 三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。（25分） 四、平时成绩。（30分） （一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵 将平方可积空间中任意函数f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记CWT ）其表达式为 t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(? ∞+∞--=ψψ （ 1.1） 其中，a ∈R 且a ≠0。式（1.19）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸 缩，b 为时间平移因子。其中)(| |1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。 从式（1.1）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。 ① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。 ② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。 图1.5 计算小波变换系数示意图 ③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。 ④ 调整参数a ，尺度伸缩，重复①～③步骤。 ⑤ 重复①～④步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图1.7所示。 C =0.2247 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%小波包分解程序%% m=load('300_30.txt'); 导入文件名为300_30的txt文件N=length(m); for i=1:N-1 ; q(i,1)=m(i,1); end; d=q'; s1=d; change=1000; [c,l] = wavedec(d,3,'db4'); %提取小波分解后的低频系数 ca3=appcoef(c,l,'db4',3); %提取各层小波分解后的高频系数cd3=detcoef(c,l,3); cd2=detcoef(c,l,2); cd1=detcoef(c,l,1); %对信号强制消噪 cdd3=zeros(1,length(cd3));%第三层高频系数cd3全置0 cdd2=zeros(1,length(cd2));%第二层高频系数cd2全置0 cdd1=zeros(1,length(cd1));%第一层高频系数cd1全置0 c1=[ca3,cdd3,cdd2,cdd1];%建立新的系数矩阵 s2=waverec(c1,l,'db4')%为新的分解结构 %[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',d); %s2=wdencmp('gbl',c,l,'db4',4,thr,sorh,keepapp); %subplot(413) %plot(1:change,s2(1:change)); %title('默认软阈值消噪后信号') figure(1) subplot(9,2,1) plot(1:change,s1(1:change)) title('原始信号') ylabel('S1') subplot(9,2,2) plot(1:change,s2(1:change)) title('强制消噪后信号') ylabel('S2') wpt=wpdec(s1,3,'db1','shannon'); %plot(wpt); %重构第三层个节点小波系数 s130=wprcoef(wpt,[3,0]); 第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换 3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑∑ ∑∑+∞-∞=+∞ -∞ =+∞-∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ 基于小波包的图像压缩及matlab实现 摘要：小波包分析理论作为新的时频分析工具，在信号分析和处理中得到了很好的应用，它在信号处理、模式识别、图像分析、数据压缩、语音识别与合成等等许多方面都取得了很有意义的研究成果。平面图像可以看成是二维信号，因此，小波包分析很自然地应用到了图像处理领域，如在图像的压缩编码、图像消噪、图像增强以及图像融合等方面都很好的应用。本文将对小波包分析在图像处理中的应用作以简单介绍。 关键词：小波包图像处理消噪 1.小波包基本理论 1.1 小波包用于图像消噪 图像在采集、传输等过程中，经常受到一些外部环境的影响，从而产生噪声使得图像发生降质，图像消噪的目的就是从所得到的降质图像中去除噪声还原原始图像。图像降噪是图像预处理中一项应用比较广泛的技术，其作用是为了提高图像的信噪比突出图像的期望特征。图像降噪方法有时域和频域两种方法。频率域方法主要是根据图像像素噪声频率范围，选取适当的频域带通过滤波器进行滤波处理，比如采用Fourier变换（快速算法FFT）分析或小波变换（快速算法Mallat 算法）分析。空间域方法主要采用各种平滑函数对图像进行卷积处理，以达到去除噪声的目的，如邻域平均、中值（Median）滤波等都属于这一类方法。还有建立在统计基础上的lee滤波、Kuan滤波等。但是归根到底都是利用噪声和信号在频域上分布不同进行的：信号主要分布在低频区域。而噪声主要分布在高频区域，但同时图像的细节也分布在高频区域。所以，图像降噪的一个两难问题就是如何在降低图像噪声和保留图像细节上保持平衡，传统的低通滤波方法将图像的高频部分滤除，虽然能够达到降低噪声的效果，但破坏了图像细节。如何构造一种既能够降低图像噪声，又能保持图像细节的降噪方法成为此项研究的主题。在小波变换这种有力工具出现之后，这一目标已经成为可能。 基于小波包变换消噪方法的主要思想就是利用小波分析的多尺度特性，首先对含有噪声的图像进行小波变换，然后对得到的小波系数进行阈值化处理，得到 小波包分解与重构 function wpt= wavelet_packetdecomposition_reconstruct( x,n,wpname ) %% 对信号进行小波包分解，得到节点的小波包系数。然后对每个节点系数进行重构。% Decompose x at depth n with wpname wavelet https://www.doczj.com/doc/0e10890586.html,ing Shannon entropy. % % x-input signal,列向量。 % n-the number of decomposition layers % wpname-a particular wavelet.type:string. % %Author hubery_zhang %Date 20170714 %% wpt=wpdec(x,n,wpname); % Plot wavelet packet tree (binary tree) plot(wpt) %% wavelet packet coefficients.default：use the front 4. cfs0=wpcoef(wpt,[n 0]); cfs1=wpcoef(wpt,[n 1]); cfs2=wpcoef(wpt,[n 2]); cfs3=wpcoef(wpt,[n 3]); figure; subplot(5,1,1); plot(x); title('原始信号'); subplot(5,1,2); plot(cfs0); title(['结点',num2str(n) ' 1',' 系数']) subplot(5,1,3); plot(cfs1); title(['结点',num2str(n) ' 2',' 系数']) subplot(5,1,4); plot(cfs2); title(['结点',num2str(n) ' 3',' 系数']) subplot(5,1,5); plot(cfs3); title(['结点',num2str(n) ' 4',' 系数']) %% reconstruct wavelet packet coefficients. rex0=wprcoef(wpt,[n 0]); rex1=wprcoef(wpt,[n 1]); rex2=wprcoef(wpt,[n 2]); rex3=wprcoef(wpt,[n 3]); figure; subplot(5,1,1); 1.小波变换的概念 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。 2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种，为什么？ 有几种定义小波(或者小波族)的方法: 缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。 高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet 小波。 缩放函数:小波由时域中的小波函数 (即母小波)和缩放函数 (也称为父小波)来定义。 小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。 对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。 小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数。例如墨西哥帽小波。 3.小波变换分类 小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。 DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。 4.小波变换的优点 从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点： (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法) 另: 1) 低熵性变化后的熵很低; 2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性 3) 去相关性域更利于去噪; 4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。 小波变换的一个最大的优点是函数系很丰富, 可以有多种选择, 不同的小波系数生成的小波会有不同的效果。噪声常常表现为图像上孤立像素的灰度突变, 具有高频特性和空间不相关性。图像经小波分解后可得到低频部分和高频部分, 低频部分体现了图像的轮廓, 高频部分体现为图像的细节和混入的噪声, 因此, 对图像去噪, 只需要对其高频系数进行量化处理即可。 5.小波变换的科学意义和应用价值 实验一:连续小波变换 实验目的： 通过编程更好地理解连续小波变换，从而对连续小波变换增加了理性和感性的认识，并能提高编程能力！通过连续小波变换了解信号中的频率分量。 实验原理： 一维连续小波变换公式： ()1*2(,)f t b W a b a f t dt a ψ+∞ - -∞ -??= ??? ? 当小波函数()t ψ为实函数时 (,)f W a b ()12(,)f t b W a b a f t dt a ψ+∞ --∞ -??== ??? ? 在给定尺度下，对待分析信号()f t 和小波函数()t ψ按照s t nT =，s b nT =进行采样，其中s T 为采样间隔，则小波变换可近似如下： ()12 ()(,)s f s s n n k T W a b T a f nT a ψ- ?? -= ??? ∑ =()1 2 n n k T a f n a ψ- -??? ???∑ 对给定的a 值，依次求出不同a 值下的一组小波系数，由于数据采样间隔?t 为0.03 （常量），所以可以把这个系数忽略,并通过公式下面对小波变换矩阵进行归一化处 理。 (,)(,)min *255max min m n wfab m n I -= - 、 实验结果： 程序附录： （1）墨西哥小波函数 function Y=mexh0(x) if abs(x)<=5 Y=((pi^(-1/4))*(2/sqrt(3)))*(1-x*x)*exp(-(x*x)/2); else Y=0; end; （2）实验程序 load('data.mat'); n=length(dat); amax=70; % 尺度a的长度 a=zeros(1,amax); wfab=zeros(amax,n); %小波系数矩阵 mexhab=zeros(1,n); % ，某尺度下小波系数 for s=1:amax %s 表示尺度 for k=1:n mexhab(k)=mexh0(k/s); end for t=1:n % t 表示位移 wfab(s,t)=(sum(mexhab.*dat))/sqrt(s); %将积分用求和代替 mexhab=[mexh0(-1*t/s),mexhab(1:n-1)]; %mexhab 修改第一项并右移 end end wfab_abs=abs(wfab); for index=1:amax max_coef=max(wfab_abs(index,:)); min_coef=min(wfab_abs(index,:)); ext=max_coef-min_coef; wfab_abs(index,:)=255*(wfab_abs(index,:)-min_coef)/ext; end figure(1); plot(dat); title('原始数据图'); xlabel('时间') ylabel('幅度') figure(2); image(wfab_abs); colormap(pink(255)); title('连续小波变换系数图'); xlabel('时间') ylabel('尺度') 1 小波变换的基本理论 信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。小波变换（DWT ）是现代谱分析工具，他既能考察局部时域过程的频域特征，又能考察局部频域过程的时域特征，因此即使对于非平稳过程，处理起来也得心应手。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换能将图像变换为一系列小波系数，这些系数可以被高效压缩和存储，此外，小波的粗略边缘可以更好地表现图像，因为他消除了DCT 压缩普遍具有的方块效应。通过缩放母小波（Mother wavelet ）的宽度来获得信号的频率特征， 通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。 小波变换是当前应用数学中一个迅速发展的领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力工具。它是以局部化函数所形成的小波基作为基底展开的，具有许多特殊的性能和优点，小波分析是一种更合理的进频表示和子带多分辨分析。 2小波包变换的基本理论和原理 概论：由于正交小波变换只对信号的低频部分做进一步分解，而对高频部分也即信号的细节部分不再继续分解，所以小波变换能够很好地表征一大类以低频信息为主要成分的信号，但它不能很好地分解和表示包含大量细节信息（细小边缘或纹理）的信号，如非平稳机械振动信号、遥感图象、地震信号和生物医学信号等。与之不同的是，小波包变换可以对高频部分提供更精细的分解，而且这种分解既无冗余，也无疏漏，所以对包含大量中、高频信息的信号能够进行更好的时频局部化分析。 2.1小波包的定义： 正交小波包的一般解释 仅考虑实系数滤波器. {}n n Z h ∈{}n n Z g ∈()11n n n g h -=-( )()( )()22k k Z k k Z t h t k t g t k φφψφ∈∈?=-?? =-??小波包及能量频谱的MATLab算法
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