北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期
《数学物理方程》期末试题(A 卷)
(参考答案)
学院__________ 专业___________ 学号 __________ 姓名____________
1、( 10分)试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为：
玫［I h .丿&」V h .丿&
其中E是圆锥体的杨氏模量，「是质量密度，h是圆锥的高(如下图所示)
【提示：已知振动过程中，在x处受力大小为ES ，S为x处截面面积。】
ex
【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是r1和r2，如图所示。于是，我们有
2、：：u(x dx,t) 2 u(x,t) — 2 u2(x,t)
E( D) E( * ) ( A )dx 于
x x t r1 = (h「x)tan :
r2= (h _(x dx)) tan :
上式化简后可写成
2
2
：：U(X,t)
2
:：u(x,t) 2, ；u (x,t)
E[(h -x)
卜亠 & -(h -'X) 〔x J - - (h -'X)dx 2
从而有
E ：：[(^x)2；：U(x ,t)H-(^x)2：：u2(x,t) .x :X
:t 或成
2
::[(1「)2汽("]“2(1「)小叩)
.x
h ：：x h ；：t
其中a^E
，证明完毕。
2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片， 它的一边y=b 处于较高温度U ，其它三边y=0.
x = 0和x = a 则处于冷却介质中，因而保持较低的温度 u o 。试求该截面上的稳定温度
分布u(x,y)，即求解以下定解问题:
u|y 卫二 %, u|y 生二 U, 0 x a. 【提示：可以令u(x, y)二u 0 v(x, y)，然后再用分离变量方法求解。】
【解】令u(x, y) v(x, y)，则原定解问题变为
Wl x￡=0, V=0, 0cy v|y/0, v|y 子U _u °, 0 x a. 分离变量: f 2 \d U ； ：2 U =0, 0 ： x ： a, 0 ： y ： b; y =0, 0 ： x ：： a, 0 ： y ： b; ■ 2 y ?2 -2 v(x,y) =X(x)Y(y) 代入方程得到关于X和Y的常微分方程以及关于X的定解条件: X X = 0, X(0) =0,X(a) =0; Y - Y =0 可以判定，特征值 (n =1,,2,3J||) 特征函数 n 二 X(x) = X n(x) =C n S in—x (n =1,,2,3JI|) 利用特征值、可以求得 丫(y) =Y n(y) =A n e叨B n^；y(n = 1,,2,3,l|l) 于是求得特征解 n r n iy n，1 V n(x,y)=(代e= B n e^ )sin x (n =1,,2,3JI|) a 形式解为 n -y _j-y 门二 v(x, y)二為V n(x, y)二為(A n e~ B n e^ )sin x 吕 3 r Q Q v(x,0)=迟(An+B n)sin O0 b v(x,b)八(A n e吗B n e n =1pg n a )sin —— x 二U -u0 得到 A n B n =0 八也如二 4 “， 、 A e a B e a(U - u。) (n 二2k) (n =2k 1) 解得 卩 代一B才4(U -U。) _bn j[ W (e a -e a ) (n =2k) (n =2k 1) 最后得到原定解冋题的解是 4(U —u °)￡ 1 a —y s . (2kf 匕乔1 sh (2k+1Mb Sin a 3、 （20分）试用行波法求解下列二维半无界问题 0 . t, x ：：：：：; 0 ：：： x ：：：：：; 0 ::: t ：：：：：. 【解】方程两端对 x 求积分，得 X ：： X U y dx = 0 f(x,y)dx h 1(y) ex 也即 -：u x 0 f (x,y)dx h(y) .y 0 对y 求积分，得 y ；U y x dy 二 f (x,y)dxdy g(x) h(y) ；y 也即 y x u(x, y)二 0 0 f(x, y)dxdy g(x) h(y) 由初始条件得 u(x,0) =g(x) h(0) = (x) u(0, y)二 g(0) h(y) J (y) 也即 g(x)八(x)-h(0) h(y)=5y)-g(0) 再取x =0，于是又有 g(0)=?(0)-h(0) h(0) (0)-g(0) 从而得 g(0) h(0)仝(0) =「(0) 于是 g(x)二(x)-h(0) = (x)-'- (0) g(0) h(y) J (y)— g(0) J (y)— (0) h(0) u(x, y) =u o JI u(x,O) = (x), 将这里的g(x)和h(y)代入u(x, y)的表达式中，即得 y x u(x,y) = ° 0f(x, y)dxdy g(x) h(y) y x 「° ° f(x, y)dxdy "X)- - (0) g(0) -(y) 一(0) h(0) y x 二 o o f(x,y)dxdy (x) '- (y)「( 0) 4、(20分)用积分变换法及性质，求解无界弦的自由振动问题: c u 2 c u — =a ―，t>0 c t ?U y=?(X) [1 石, a' 0, 【解】对变 元 x作Fourier变换，令 Ug,t) =〕u(x, y)e"^dx = F[u] □od ①伸)=J ?(x)e如dx= F[?] _oO ?) = jM(x)e dx = F 则有 ：U=-a2(o2U, U y=g), 丫=屮㈣ 方程的通解是 U ?,t) =G? )cos a国t+C2?)sin a^t 由初始条件得 G?) =6?), a ⑷ C2?)=甲 可得 1 G?) =6?), C2?)=——甲(⑷) a⑷| x p： at 【提示：可利用逆Fourier积分变换公式: ='■ 方程的解 1 U (^,t) =◎(国)cos a^t + ——普 ?)sin a^t a⑷ 查表可得 从而 F 」[￥?)sna ^] = F 」[￥(co)]*F 」[ sina '“]=汽⑴ f (x ―巧也=丄⑴di a 缚 a 灼 ? 2a ‘X 』 注意到 F ，[①(眄cos a 灼t] 十①(灼)^^] =￡[丁⑴左] dt a ① dt 2a 心 1 [(x at) - (x -at)] 2 最后得到原问题的解 u(x,t) =F 」[「( )cos a t] F '[?(，) sina "] ao 1 1 x -at [(x at) -(x-at)] x J()d 2 2a 即 1 , 1 x at u(x,t) (x at) O-at) x J ( )d 2 2a x 」t 这就是d 'Alembert 公式。 5、 （20分）对于平面上的调和函数 u （x,y ） A u = 0, 1）试证明Dirichlet 边值问题解的唯一性，即：方程」| 只有零解; u oT °. 从而 u(x,t) =F 」[U( ?,t)] i i 1 二 F [?/( )cosa t] F [ ( )sin a t] ao jL [Sin a^t] L I — =f (x) = 2a I 0, |x| ：：： at 1 — 2a 0, -at ：： x ：： at 2）用Green函数法，试求解边值界为g（x, y）的上半平面调和函数的Poisson表达式。 2 6、（20分）半径为r0的球形区域内部没有电荷，球面上的电位为u°cos -，u0为常数, 求球形区域内部的电位分布。即求解以下定解问题（球坐标形式）： 1上(s,M)=o, 0汀5 ;r2& c r r2s in 日拠的 2八 u r^=U o COS 6 【解答】由于球面上边界条件中不含有变量「,故只考虑轴对称解，可以用分离变量法求解该问题。为此令 u(r,扪二R(r)W) 代入方程，得 2 2 0 丄"0、小 / 2d R小dR °(r dr2 2r dr) R(d.2 ct^d.H0 改写成r2 窘2r dR 赛ctg，霁 --------------- = -------------------- =九 R 0 令=n(n ? 1), x =cos v, P -心，可将上面两个方程改写成 2 d R dR、 z 2 (r r 2r )「'；R =0 dr2dr 2 (^x2)^^ -2x-dP n(n 1)P=0 dx dx 上面第二个方程是一个勒让德方程，其通解为P n(x)。而第一个方程是一个欧拉方程，它的 通解是 尺(r) =G r nx - C2r4n 1) 再根据R的有界性，应有C2 =0，从而 尺(r) =C n r nx 于是，原问题的解是 u(r,x)「C n r n R(x) n =0 边界条件为 u 0 = u°cos2日 或写成 2 u r 十U0X 即有 cd u°X2二' C n「0n P n(X) n ￡ 根据已有的结果 1 2 B(x) (3x2—1), R(x)=1 2 或 1 2 F2(cos v) (3cos2 v -1), F0(cos v) =1 2 从而 2 2 1 x2/(x) 3R(X) 3 3 于是有 2 1 - - n U0(2P2(X)fP o(X))八CnQPJx) 3 3 nuo 比较两端P n(x)的系数，可知 C o 二也，C^2u2, C n =0(n =0,2) 3 3「o 从而 u(r, v) = F Po(cosv) r2F2(cosv) 3 3 T o U o 2u o 1 2 - - 2 - (3cos 二-1) 3 3 T o 2 1 r 2 2 - Uo[1 (—) (3cos 1)] 3 T o 7、(1o分)用Ritz-Galerkin方法求下列问题的近似解： '-2 .2 —U o =0, (x, y) 11 ? ex cy 丨q = 0. 其中区域J. ={( x, y) I X2 y2乞R2}，u o为常数。 【提示：取近似解为U1 =A(R2-X2 -y2)】 【解】取基函数组?:0二R2—x2—y2，求u( x, y)的近似解， U1 =A o =A(R2 _X 2_y )。 泛函 J(u)=丄!! (| U 2 _2fujdxdy 2 Q =- (2Ax)2 (2Ay)2 —2u °A(R 2 —x 2 一 y 2 ) dxdy 2 1 _ 二丄 I 「4A 2 (X 2 y 2)「2u 0AR 2 2Au 0(x 2 y 2) dxdy 2 '■.1 _ 1 2：1 R 2 2 2 2 dr o (4A 2r 2 -2u 0AR 2 2Au 0r 2)rdr R 2 3 2 3 -o (4A r -2u o AR r 2u o Ar )dr 有 可得 最后得到定解问题的近似解为 U(x ， t)=U ^4(R ^x ^y 2 ) -”R 4 dJ(uJ dA = (2 A-土)二 R 4 =0 2 A 上 4 北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期 《数学物理方程》期末试题(A 卷) (参考答案) 学院__________ 专业___________ 学号 __________ 姓名____________ 1、( 10分)试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为： 玫［I h .丿&」V h .丿& 其中E是圆锥体的杨氏模量，「是质量密度，h是圆锥的高(如下图所示) 【提示：已知振动过程中，在x处受力大小为ES ，S为x处截面面积。】 ex 【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是r1和r2，如图所示。于是，我们有 2、：：u(x dx,t) 2 u(x,t) — 2 u2(x,t) E( D) E( * ) ( A )dx 于 x x t r1 = (h「x)tan : r2= (h _(x dx)) tan : 上式化简后可写成 2 2 ：：U(X,t) 2 :：u(x,t) 2, ；u (x,t) E[(h -x) 卜亠 & -(h -'X) 〔x J - - (h -'X)dx 2 从而有 E ：：[(^x)2；：U(x ,t)H-(^x)2：：u2(x,t) .x :X :t 或成 2 ::[(1「)2汽("]“2(1「)小叩) .x h ：：x h ；：t 其中a^E ，证明完毕。 2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片， 它的一边y=b 处于较高温度U ，其它三边y=0. x = 0和x = a 则处于冷却介质中，因而保持较低的温度 u o 。试求该截面上的稳定温度 分布u(x,y)，即求解以下定解问题: u|y 卫二 %, u|y 生二 U, 0 x a. 【提示：可以令u(x, y)二u 0 v(x, y)，然后再用分离变量方法求解。】 【解】令u(x, y) v(x, y)，则原定解问题变为 Wl x￡=0, V=0, 0cy 第九章定解问题的物理意义 基本要求与教学内容： 1、理解波动方程、热传导方程、Poison方程和Laplace方程的物理意 义, 根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。 2、第一、第二类边界条件的物理意义。根据具体物理问题，掌握确 定这两类边界条件的方法。 3、初始条件的意义及确定。 本章重点： 掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法，即泛定方程和定解条件。 第十章利用积分变换解无界问题 基本要求与教学内容： 1、熟练掌握利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程，理 解其解的物理意义。 2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。 本章重点： 利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程 第十一章一维有界问题的分离变量 基本要求与教学内容： 1、理解分离变量法的基本概念：方法、条件、不同定解问题的通解 形式。 2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。 3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解：1）分离变量得到 的两个方程；2）由本征值问题确定相应的本征值和本征函数；3）确定关于)(t T方程的解（或者与其对应变量方程的解）；4）定解问题的通解；5）由定解条件确定待定系数（通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法）。 4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程：1)对应齐次 方程和齐次边界条件的本征函数的确定；2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开, 方程的解按本征函数的展开；3)求解关于)(t T 方程的解；4)定解问题的解。 5、掌握非齐次边界条件的齐次化。 本章重点： ?第二类齐次边界条件的本征值和本征函数 ?用分离变量法求解一维有界问题的解 ?利用本征函数展开解一维有界非齐次方程 ?非齐次边界条件的齐次化 一、填空题 1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。 2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程： 第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0 x x y y u u +=， (,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型； 二、选择题 1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］ (A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ( )22 0y xx xxy u x y u u +++=； (D) 340t x xx u u u ++=； 2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］ (A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=； (C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题 ()()( )()()()2,0,00,,0 ,0,,0tt xx x x t u a u t x l u t u l t u x x u x x ?φ?=>< 复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0 z f z e d ζζζ= ? ，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)u x y = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - 2013-2014学年度第二学期数理方程（B ）期末考试试题 考后回忆版本 一、求下列偏微分方程的通解),(y x u u =（16分） （1）y x y x u 22=???（2）xy x u y x u y =??+???2二、求下列固有之问题的解。要求明确指出固有值及其所对应的固有函数（10分） ?????=′+∞<<<=+′+′′.0)2(,)0()20(,022y y x y x y x y x λ三、求第一象限}0,0|),{(2 >>∈=y x R y x D 的第一边值问题的Green 函数。（12分） 四、用积分变换法求解下列方程。（12分）???=>+∞<<<=).21(),0(,)(),0(. 1)1,(,0)0,()0,10(,4x x u x x x u t u t u t x u u t xx tt δ?七、用分离变量法求解下列方程。（15分） ?????=<++=++=++0|)1(,1 222222z y x zz yy xx u z y x z u u u 八、求解下列定解问题。（5分） ?????==>+∞< 《数学物理方程》期末试题（A 卷） （参考答案） 学院 专业 学号 姓名 1、 （10分）试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为： 其中E 是圆锥体的杨氏模量，ρ是质量密度，h 是圆锥的高（如下图所示）： 【提示：已知振动过程中，在x 处受力大小为u ES x ??，S 为x 处截面面积。】 【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是1r 和2r ，如图所示。于是，我们有 上式化简后可写成 从而有 或成 其中2 E a ρ = ，证明完毕。 2、 （20分）考虑横截面为矩形的散热片，它的一边y b =处于较高温度U ，其它三边0y =， 0x =和x a =则处于冷却介质中，因而保持较低的温度0u 。试求该截面上的稳定温度 分布(,)u x y ，即求解以下定解问题： 【提示：可以令0(,)(,)u x y u v x y =+，然后再用分离变量方法求解。】 【解】令0(,)(,)u x y u v x y =+，则原定解问题变为 分离变量： 代入方程得到关于X 和Y 的常微分方程以及关于X 的定解条件： 可以判定，特征值 特征函数 利用特征值n λ可以求得 于是求得特征解 形式解为 由边界条件，有 得到 解得 最后得到原定解问题的解是 3、 （20分）试用行波法求解下列二维半无界问题 【解】方程两端对x 求积分，得 也即 对y 求积分，得 也即 由初始条件得 也即 再取0x =，于是又有 从而得 于是 将这里的()g x 和()h y 代入(,)u x y 的表达式中，即得 4、 （20分）用积分变换法及性质，求解无界弦的自由振动问题： 【提示：可利用逆Fourier 积分变换公式：11 ,||sin []20, ||x at a t F a a x at ωω-? 天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线 于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数 太 原 科 技 大 学 数学物理方程 课程试卷 卷 一．填空（每小题3分，共15分） （1） 三维热传导方程的一般形式为_____________。 （2）设函数 的傅里叶变换为 , 则方程 的傅里叶变换 为______________。 （3）下列拉普拉斯方程的诺依曼问题 是否有解________。 （4）区域 的格林函数 在区域边界上 =______。 （5）一维热传导方程的基本解为_____________________。 二．化下列方程为标准型，说明其类型并求解此定解问题（15分）。 ()u x t ,()U t α,2tt xx u a u =222 0,sin 4r R u x y R u n θ=?=+???=??? Ω()0,G M M 21(,0)0,(,0)2xx xy yy y u u u u x u x x --=???==?? 三．用行波法求下列初值问题的解（20分）。 241,,0,(,0),(,0)1,.tt xx t u u x R t u x x u x x x R =+∈???==+∈?? 四．用分离变量法求下列初边值问题的解（15分）。 22,01,0,(0,)1,(1,)0,0,(,0),.t xx u u x t u t u t t u x x x R =-??=-=??=∈? 五． 用拉普拉斯变换法求下列初边值问题的解（15分）。 六．证明题（20分） （1）（5分）证明 9,0,0,(0,)cos ,lim (,)0,(,0)0,(,0)0,0. tt xx x t u u x t u t t u x t u x u x x →+∞?=+∞??==??==+∞?? ()() x x x δδ'=- 北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ） （参考答案） 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分） 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求 出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ，其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法，有 于是 6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得 以及 设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为 问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有 再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令 得到 交换u,v ，得到 上面第二式减去第一式，得到 证毕。 8． 证明关于Bessel 函数的等式： 第二章 定解问题与偏微分方程理论 习题2.1 1. 密度为ρ均匀柔软的细弦线x =0端固定，垂直悬挂，在重力作用下，于横向拉它一下，使之作微小的横振动。试导出振动方程。 2. 长为L ，均匀细杆，x = 0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b 静止后（在弹性限度内）突然放手，细杆作自由振动。试写出振动方程的定解条件。 3. 长为L 、密度为ρ的底半径为R 的均匀圆锥杆（轴线水平）作纵振动，锥的顶点固定在x =0处。导出此杆的振动方程。 4. 一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x =0端固定，以槌水平击其x =L 端，使之获得冲量I 。试写出定解问题。 习题2.2 1. 一半径为r ，密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 的匀质圆杆，如同截面上的温度相同，其侧面与温度为u 1的介质发生热交换，且热交换的系数为k 1。试导出杆上温度u 满足的方程。 4. 设有一根具有绝热的侧表面的均匀细杆，它的初始温度为)(x ?，两端满足下列边界条件之一： （1）一端（x =0）绝热，另一端（x = L ）保持常温u 0； （2）两端分别有热流密度q 1和q 2进入； （3）一端（x =0）温度为u 1(t )，另一端（x = L ）与温度为)(t θ的介质有热交换。 试分别写出上述三种热传导过程的定解问题。 习题2.4 1. 判断下列方程的类型： （1）04=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ； （2）02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ； （3）02222=+++++u au bu au au au y x yy xy xx ； （4）0=+yy xx xu u 。 2. 求下列方程的通解 （1）0910=++yy xy xx u u u ； （3）0384=++yy xy xx u u u 。 第三章 分离变量法 习题3.1 2. 求解下列定解问题 长沙理工大学考试试卷 ………………………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 ………………………………………………………………………………………………………………… 课程名称（含档次） 数学物理方程与特殊函数 课程代号 专 业 层次（本、专） 本 科 考试方式（开、闭卷） 闭卷 一．判断题：（本题总分25分，每小题5分） 1．二阶线性偏微分方程062242=+++-y x yy xy xx u u u u u 属于椭圆型； （ ） 2．定解问题的适定性包括解的稳定性、解的唯一性和解的存在性； （ ） 3．如果格林函数),(0M M G 已知，且它在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数，又若狄利克雷 问题???=Ω∈=?Γ ).,,(|,),,(0z y x f u z y x u 在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数的解存在，那么其解可 表示为=)(0M u dS n G z y x f ??Γ??-) ,,(； （ ） 4．设)(x P n 为n 次Legendre 多项式，则0)()(1 1 1050358?-=dx x P x P ； （ ） 5．设)(x J n 为n 阶Bessel 函数，则 [])()(021ax xJ a ax xJ dx d =． （ ） 二．解答题：（本题总分65分） 1．（本小题15分）设有一根长为l 的均匀细杆，它的表面是绝热的，如果它的端点温度为1),0(u t u =，2),(u t l u =，而初始温度为0T ，写出此定解问题． 2．（本小题20分）利用固有函数法求解下面的定解问题 ???????====><<+=. 0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x l x t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数． 3．（本小题15分）求出方程xy u u yy xx =+的一个特解． 第 1 页（共 2 页） 2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷 电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 14点 至 16 点 ，共 2小时） 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2012年 12 月 28 日 成绩 考核方式： （学生填写） 1．把方程 22222320u u u x x y y ???++=????化为标准型，指出其 类型，求出其通解. (10分) 2. 设定解问题：(10分) 2000(),0,0,,0(),(),0. tt xx x x l t t t u a u f x x l t u A u B t u x u x x l ?ψ====?-=<<>?? ==>??==≤≤?? 将该定解问题化成可直接分离变量求解的问题(不需要求出解的具体形式)。 学 号 姓 学 院 教 座位 ……………………密……………封……………线……………以…………… 第 1页 3． 长为l 的均匀细杆，其侧面与左端保持零度，右端绝热，杆内初始温度分布为()x ?，求杆内温度分布 (,)u x t . (20分) 4．求下面的定解问题：（10分） 22 009,(,0)18,sin 18 t tt xx t t t u u x e x R t u x x u x ==?-=∈>??=++=+??. 第2页 5．求22 cos()a e x d ?τ??+∞-?.（10分） 6． 222 23()(22)(25) s s F s s s s s ++=++++，求Laplace 逆变换1 (())L F s -.（10分） 一. (10分)填空题 1.初始位移为)(x ?,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题: ?????==>+∞<<∞-===).(),(0,,00 2 x u x u t x u a u t t t xx tt ψ? 2.为使定解问题 ???? ???=======0 ,000 02t l x x x xx t u u u u u a u （0u 为常数） 中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x u 0 3.方程0=xy u 的通解为)()(),(y G x F y x u += 4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题. 5．方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为 1cos 6 1),(22 3-++= y x y x y x u 二. (10分)判断方程 02=+yy xx u y u 的类型，并化成标准形式． 解：因为)0(02≠<-=?y y ，所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。 ……2分 它的特征方程是 022 =+??? ??y dx dy …… 5分 即iy dx dy ±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=- 作变换：???==x y ηξln …… 7分 求偏导数 ????? ???? ??-====)(1 1 2ξξξξ ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式 ξηηξξu u u =+ …… 10分 三. (10分)求解初值问题 ?????==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020 解：x x x x a cos )(,)(,22===ψ? 利用达朗贝尔公式 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( … …5分 得 南京信息工程大学数理方程考试试题A 2008年 11月 任课教师 学生所在系 专业 年级 班级 学生姓名 学号 一、(9分) 判断下列方程的类型 (1) 230xx xy yy u u u ++= (2) 22cos (3sin )0xx xy yy y u xu x u yu --+-= (3) 220xx yy x u y u -= 二、(20分)设二阶偏微分方程450xx xy yy u u u ++= (1) 写出特征方程,并求特征线; (2) 将偏微分方程进行化简. 三、(10分)用D ’Alembert 公式求解下列弦振动方程; 22 ,0 (,0),(,0)cos tt xx t u a u x t u x x u x x x ?=-∞<<∞>?==-∞<<∞? 四、(20分)用分离变量法求解下列方程; (1) 20,0 (0,)0,(,)00 (,0),(,0)0tt xx t u a u x l t u t u l t t u x x u x l x x l ?=<<>? ==≥??==-≤≤? 五、(20分) 用Green 函数法求解下列定解问题; 00 |(,)xx yy zz z u u u z u f x y =++=>?? =? 六、(21分) (1) 写出下列定解问题的Fourier 变换之后的形式 ?? ? ??∞≤≤∞-=>∞<<∞-+=x x x u t x t x f u a u xx t )()0,(0,),(2? (2)求出函数|| ()(0)a x f x xe a -=>的Fourier 变换 (3)求出出上述问题的形式解. 。。。。 （本卷共六大题） 一． 判断题（每题2分）. 1. 2u u x y x y x ??+=???是非线性偏微分方程.( ) 2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( ) 3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式， 则 ( ) 4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( ) 5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ?= 的解.( ) 二． 填空题（每题2分）. 1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程. 2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________. 3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________. 4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________. 5. []()____________.at m L e t s = 三．求解定解问题（12分） 200sin ; 0,0;0. t xx x x x x l t u a u A t u u u ω===-==== 四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分） （1） 001,0,0; 1,1. xy x y u x y u y u ===>>=+= （2） 00230, 1.t t t y y y e y y =='''+-='== 五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。（12分） 南京信息工程大学数理方程期终考试试卷 A 2008年 12月 任课教师 学生所在系 专业 年级 班级 学生姓名 学号 一、 填空题（共60分） 1. 方程44442242(,)u u u f x y x x y y ???++=????是 四 阶 线性 （“线性”或“非线性”） 非齐次 （“齐次”或“非齐次”）偏微分方程（3分）； 2. 方程222220u u a t x ??-=??的全部解可写为(,)u x y =()()f x at g x at ++-（,f g 是任意二阶连续可微函数） ；（3分） 3. 二维Laplace 方程22220u u u x y ???=+=??的基本解为(,)u x y =12π（3分） 4. 若(,)i u x t 是非齐次波动方程22222(,)i u u a f x t t x ??-=??的解，则1 (,)i i i c u x t ∞=∑满足的微分方程是222221 (,)i i n u u a c f x t t x ∞=??-=??∑；（3分） 5. 方程2222223260u u u u u x x y y x y ?????+-++=??????的类型属于 双曲型或波动方程 ，其特征方程为3dy dx =或1dy dx =-，特征曲线为 13y x c -=和 2y x c +=，可以将其化为标准型的自变量变换为3y x y x ξη=-??=+?，若要消去一阶导数项，可以通过函数变换 (,)(,) u v e λξμηξηξη+=（其中,λμ待定）；（5分） 6. 定解问题2,0(,0)(),(,0)() tt xx t u a u x t u x x u x x x ?ψ?=-∞<<∞>?==-∞<<∞?属于初值 问题（“初值”或“边值”），其解的表达式为(,)u x y = 11[()()]()22x at x at x at x at d a ??ψξξ+-++-+?；定解问题0u x u f x n ?=∈Ω????=∈Γ???属于 数理方程练习题一(2009研 1. 设(,u u x y =,求二阶线性方程 20u x y ?=?? 的一般解。 解先把所给方程改写为 (0u x y ??=?? 2分两边对x 积分,得 (0((u u dx dx y y y x y ?????==+=????? 4分这里, (y ?是任意函数。再两边对y 积分,得方程的一般解为y ((((u u dy y dy f x f x g y y ??==+=+?? ? 6分这里,(,(f x g y 是任意两个一次可微函数。 2. 设 u f = 满足Laplace 方程 222 2 0u u x y ????+ = 求函数u. 解 : ,.r x r y r x r x r ??===?? ''(,(.u x u y f r f r x r y r ???==?? 3分因此有 222''' 223222 ''' 223 ((((u x y f r f r x r r u y x f r f r y r r ?=+??=+? 3分原方程化为:'''1((0f r f r r += 2分故有 :1212(ln r u f r c c c c ==+= 2分 例1 求Cauchy 问题 2 20 00(,(0,cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==?-=∈?∞??==∈??R R 的解. 解由定理3.1得 22222((1u(x, tcos 221 cos sin x at x at x at x at d a x a t x at a ξξ+-++-=+=++? 例2 求解Cauchy 问题 200cos (,(0,cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==?-=∈?∞?≥?? ==?? 2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入， 设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是()2 x l x -，试写出其定解问题。(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .?????????===>< 222sin cos ,(0,0)(0,)3,(,)6 4(,0)31,(,0)sin tt xx t u a u x x x l t l l u t u l t x u x u x x l l πππ?=+<<>???==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)： ???????==??=??=+=-).()(0 022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???????=+=>>=???==,1, 10 ,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： 数学物理方程期末考试试题及答案 一、求解方程（15分） ??? ??===-=+=-. )()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψ? 其中)0()0(ψ?=。 解：设?? ?+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得： )()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψ?=+=+ 由)0()0(ψ?=即得： )0()2 ()2( ),(?ψ?--++=at x at x t x u 。 二、利用变量分离法求解方程。（15分） ??? ??==≥==∈=-====)(,)(, 0,0, ),(,000 02x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψ? 其中l x ≤≤0。0>a 为常数 解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，at C at C T λλsin cos 21+= 由边值条件得： 2 1)( ,0l n C πλ== l x n at A at B u n n n πλλsin )sin cos (1 += ∑∞ = ?= l n dx l x n x l B 0sin )(2π?，?=l n dx l x n x an A 0 sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与稳定性. (15分) 证明：设u e v ct -=代入方程： ?? ? ??====-=). (),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ? ??====-=0),(,),0(00 02t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。 四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分). ,0,0>=++=?z u u u u zz yy xx ).(0 x f u z == 解：设),,(ζηξp 是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点 ),,(?ηξ-p 格林函数： 2 2 2 ) ()()(1 41),,,(?ηξπηξ-+-+-- =z y x y x G 2 2 2 ) ()()(1 41?ηξπ ++-+-+ z y x 2 /32220 ])()[(2?ηξπ? +-+-= ??-=??=y x z G n G z 方程的解：dx y x y x u R ?+-+-= 2 2/3222])()[() ,(2),(?ηξ?π ? ηξ 1. 将下列函数展开为球函数()()sin 0,1,2,,cos cos 0,1,2,3,m m l l m m l Y P m l ?θ?θ?=?? ??=?? ??=???? ""的形式。 (1) ()sin sin cos sin θθθ?+ (2) sin sin θ? (3) ()6cos 1sin cos θθ?+ 2. 将下列函数展开为球函数()()sin 0,1,2,,cos cos 0,1,2,3,m m l l m m l Y P m l ?θ?θ?=?? ??=?? ??=???? ""的 形式。 (1) ()3sin 2sin cos 2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 21θ?θ?θ?????++? (2) sin cos θ? (3) ()13cos sin cos θθ?+ 3. 如图所示，长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在弦的中间点以横向力0F 把弦拉开，然后突然撤除这力，求解弦的振动。 4. 求解细杆导热问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布 ()20t u bx l x ==? 5. 在球坐标系下将三维波动方程220tt u a u ??=分离变量。其中，拉普拉斯算符在球坐标系下的形式为 22 222222 111sin sin sin u u u u r r r r r r θθθθθφ??????????=++ ????????????? ()()()()()()()()(),,,,;,. u r T t v v R r Y Y θφθφθφθφ===ΘΦr r 求出()T t ，()R r ，(),Y θφ，()θΘ，()φΦ分别满足的本征方程以及通解的形式。 6. 在柱坐标系下将三维输运方程220t u a u ??=分离变量。其中，拉普拉斯算符在柱坐标系下的形式为 222 22211u u u u r r r r r z φ???????=++???????? ()()()()()()(),,,. u r T t v v R r Z z θφφ==Φr r 求出()T t ，()R r ，()φΦ，()Z z 分别满足的本征方程以及通解的形式。 7. 在半径为0r 的球的(1)内部，(2)外部求解定解问题 2222 0, 1cos cos cos .3r r u u r θ??=??=? ??=?+??? 8. 均匀中空介质球壳，内半径为1r ，外半径为()21r r >，壳层内介电常数为ε，壳层外和中间空心部分为真空。把介质球壳放在点电荷04q πε的电场中，球心跟点电荷相距()2d r >，求解介质球壳外、介质球壳区域、和中间空心区域内的静电场中的电势。 ()0cos ,1l l l h P h θ∞ ==<∑ 数理方程期末试题B答 案 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷 （B ） （参考答案） 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分） 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3．设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为 零，又没有外力作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ， 并由此求出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n πsin ，其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法，有 于是 6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得 以及 设0ρβλn n =为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为 问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题（共2分，每题10分） 7．证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。研究生数理方程期末试题-10-11-1-A-答案
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