第二章函数导数及其应用(理)2-1
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第2讲函数的表示法知能训练1.若f(x+2)=2x+3,则f(x) = ( )A. 2x+1B. 2x—1C. 2x—3D. 2%+712.已知代方=-^(无工±1),贝9()A. fg・ f( — x)=lB. f( — x)+f(x)=OC. f\x) • f\ — x) = —1D. f( —/)+f(x)=l3.(2017年安徽黄山质检)已知是一次函数,且代代力]=/+2,则f(x)=( )A. x~\~ 1B. 2x—1C. ~x+1D. x+1 或一x—14.下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )A. f\x) = |B. f{x)=x-\x\C. f^=x+\.D. f3=_x5.如图X2-2-l(l),在直角梯形力跑中,动点P从点B出发,由B-CfXA沿边运动,设点P运动的路程为x, AMP的面积为f(x).若函数y=f3的图象如图X2-2-K2), 则△九力的面积为()A. 10B. 32C. 18D. 166.若函数fg , gd)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f\x) 一财=£,则有() A.f(2)<f(3)<g(0) B. g(0)53)52)C. f(2)<g(0心(3)D. g(0)〈f(2)</*(3)27.己知函数f(x) =2*+] + sin 才,则f( —2) + f( —1) + f(0) + f(l) + f(2) = ___________ .8.(2016 年浙江)设函数f(x) =x +3#+l.已知日HO,且f{x)— /(a) = (x—b) (x—a)2fx丘R, 贝实数臼= ________ , b=_________ .窜质丹华9.根据条件求下列各函数的解析式:(1)已知fCr)是二次函数,若f(0)=0, f{x+1) = f(x) +x+1,求代v)的解析式;(2)已知求心的解析式;(3)己知f\x)满足2f(x) +4£)=3X,求f\x)的解析式.10.定义:如果函数y=f{x)在定义域内给定区间[曰,b]上存在xo(a<xo<H),满足fg) r A— f o= ------ ,则称函数y=f^)是[幼方]上的“平均值函数”,心是它的一个“均值点”.如尸=/是[—1,1]上的平均值函数,0就是它的均值点.(1)判断函数f(x) = -x2+^x在区间[0,9]上是否为平均值函数.若是,求岀它的均值点;若不是,请说明理由;(2)若函数#+/加+1是区I'可[―1, 1]上的平均值函数,试确定实数加的取值范围.第2讲函数的表示法 1. B 2. A3. A 解析:设 f(必=kx~\~b,则由 ] =x+2,可得 k(kx+b) +Z?=x+2,即&■ +kb+b=x+2. AA 2=1, kb+b=2.解得 k=\,力=1,则 f(x)=x+l.故选 A.4. C 解析:将f(2力表示出来,看与2f\x)是否相等.对于A, f(2x) = |2” =2|” = 2A%);对于 B, f<2x} =2x- 12^| =2 (x~ | ) =2f(x);对于 C, f(2x) =2/+lH2f(Q ;对 于D, f(20=—2x=2f(0.故只有C 不满足f(2方=2fCr).故选C.5. D 解析:由y=f(x)的图象,得当x=4和x=9时,胪的面积相等,:・BC=4, BC+CD=g,即 CD=5.易知初=14一9 = 5.如图 D90,过点〃作 DEVAB 于点 £ •: Z 3=90° , :・DE=BC=4.在 Rt △必〃中,AE=pA#_DF=3. :.AB=AB'+E'B=3 + 5=S.1 1・・・ S^=-ABX BC=~X 8 X 4 = 16.6. D 解析:仁 _xf — x —g — x =e ,所以 f(2)=匸1,f(3)=—「,g(O)= — l ・ 显然 g(0)<f(2)〈f(3).故选 D.AO) =b ••• f(一2) + f(—1) + AO) +A1)+ A2) = 5.8. —2 1 解析:f{x) — =x+^x +1 —』一3/—1 = /+3,—3/, (x_D {x-2a-b=Z.— a) 2=x~ (2a+Z?) •(a 2+2atl) x — a b,所 a +2aA=0,2 i3 o 2 { — a b=_a ~5a.d — —2, b=1.9.解:⑴ 设 /(%) = ax + bx+ ,由 AO) =0,得 f{x) =ax +bx. 又由 f(x+l) =f(x)+x+l,得日(x+1)'+〃(/+1) =ax+bx+ x+1, 即 /+(2日+b)卄日+〃=/+(方+l)x+l.2臼+ b= b+1,* 日HO,・:曰=Z?=a+ b={.因此 f{x) =*#+*¥.7. 5解析:2*/ f(x) +/( — %) =2 ]+ sin ^4 2 2^+1sin 尸侖+2x+1 1+2”解得尸0(舍去)解得g =三二,如二咎.1 —x 1 — /*(2)t=-~,由此,得^=7—(t^-1).1 + x 1 + t从而fd)的解析式为/'(%)=・丄飞(好-1) • 1十X(3)・・・2fd)+£ = 3x,①・••把①中的x换成丄,得X2绘+f(心•②3① X2—②,得3/(A)=6X—•x・"3=2「卄0).10. ----------------------------------------------------------------------------- 解:(l)rtl定义知,关于的方程一#+心=——占------------------------------------------- 在(0, 9)±有实数根时, 函数fd) = —/+4尢是[0, 9]上的平均值函数.• I f — f而一x+4x=心不可解得山=5, &= — 1.又山=5丘(0, 9)[曲=—1年(0, 9),故舍去],・・・f3 =—芒+心是[0, 9]上的平均值函数,5是它的均值点.(2) V f^=~x+mx+ \是[一1, 1]上的平均值函数,・・・关于x的方程一#+〃圧+1= —在(一1,1)内有实数根.由一x + mx-\-1 = : , 得”一mx-\-m—1=0.1 ——解得 =A2=l.又呈=1毎(一1, 1),:,x\ = m— 1 必为均值点,即-l<iw-l<l.・••所求实数m的取值范围是0〈冰2.。
第二节函数的单调性与最值课标要求考情分析1。
理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。
1。
主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题.2.题型以选择题、填空题为主,若与导数交汇命题则以解答题的形式出现,属中高档题.知识点一函数的单调性1.增函数、减函数的定义定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2:(1)增函数:当x1〈x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;(2)减函数:当x1〈x2时,都有f(x1)〉f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.2.单调性、单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y =f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.注意以下结论1.对∀x1,x2∈D(x1≠x2),错误!>0⇔f(x)在D上是增函数,错误!<0⇔f(x)在D上是减函数.2.对勾函数y=x+错误!(a〉0)的增区间为(-∞,-错误!]和[错误!,+∞),减区间为[-错误!,0)和(0,错误!].3.在区间D上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.4.函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.知识点二函数的最值1.思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]〉0,则函数f(x)在区间D上是增函数.(√)(2)函数y=1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(×)(3)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则f(x)为增函数.(×)(4)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(×)解析:(2)此单调区间不能用并集符号连接,取x1=-1,x2=1,则f(-1)〈f(1),故应说成单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞).(3)应对任意的x1<x2,f(x1)〈f(x2)成立才可以.(4)若f(x)=x,f(x)在[1,+∞)上为增函数,但y=f(x)的单调递增区间是R.2.小题热身(1)下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是(A)A.y=错误!-x B.y=x2-xC.y=ln x-x D.y=e x(2)函数f(x)=-x+错误!在区间错误!上的最大值是(A)A.错误!B.-错误!C.-2 D.2(3)设定义在[-1,7]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的增区间为[-1,1]和[5,7].(4)函数f(x)=错误!的值域为(-∞,2).(5)函数f(x)=错误!在[2,6]上的最大值和最小值分别是4,错误!.解析:(1)对于A,y1=错误!在(0,+∞)内是减函数,y2=x在(0,+∞)内是增函数,则y=1x-x在(0,+∞)内是减函数;B,C选项中的函数在(0,+∞)上均不单调;选项D中,y=e x 在(0,+∞)上是增函数.(2)∵函数y=-x与y=错误!在x∈错误!上都是减函数,∴函数f(x)=-x+错误!在错误!上是减函数,故f(x)的最大值为f(-2)=2-错误!=错误!.(3)由图可知函数的增区间为[-1,1]和[5,7].(4)当x≥1时,f(x)=log错误!x是单调递减的,此时,函数的值域为(-∞,0];x<1时,f(x)=2x是单调递增的,此时,函数的值域为(0,2).综上,f(x)的值域是(-∞,2).(5)函数f(x)=错误!=错误!=2+错误!在[2,6]上单调递减,所以f(x)min=f(6)=错误!=错误!。
第九讲函数与方程知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理知识点一函数的零点1.函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.注:函数的零点不是点.是函数f(x)与x轴交点的横坐标,而不是y=f(x)与x轴的交点.2.几个等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.3.函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么函数y =f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.知识点二二分法1.对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2.给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:(1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;(2)求区间(a,b)的中点c;(3)计算f(c);①若f(c)=0,则c就是函数的零点;②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).(4)判断是否达到精确度ε,即:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)(3)(4).重要结论1.有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.(4)由函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示.所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.事实上,只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时,函数值才变号,即相邻两个零点之间的函数值同号.(5)若函数f(x)在[a,b]上单调,且f(x)的图象是连续不断的一条曲线,则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a,b]上只有一个零点.2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点零点个数两个零点一个零点无零点双基自测题组一走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( ×)(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在当b2-4ac<0时没有零点.( √)(3)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.(×)(4)若f(x)在区间[a,b]上连续不断,且f(a)·f(b)>0,则f(x)在(a,b)内没有零点.( ×)(5)函数y=2x与y=x2只有两个交点.( ×)[解析](1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标.(2)当b2-4ac<0时,抛物线与x轴无交点,故没有零点.(3)函数图象若没有穿过x轴,则f(a)·f(b)>0.(4)若在区间[a,b]内有多个零点,f(a)·f(b)>0也可以.(5)y=x2与y=2x在y轴左侧一个交点,y轴右侧两个交点,如在x=2和x=4处都有交点.题组二走进教材2.(必修1P92AT2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:x 1 2 3 4 5f(x) -4 -2 1 4 7在下列区间中,函数f(x)A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)[解析]由所给的函数值的表格可以看出,x=2与x=3这两个数字对应的函数值的符号不同,即f(2)·f(3)<0,所以函数在(2,3)内有零点,故选B.3.(必修1P92AT1改编)下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是( C )[解析]A,B图中零点两侧不异号,D图不连续.故选C.4.(必修1P92AT4改编)为了求函数f(x)=2x+3x-7的一个零点,某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示:x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.5 1.562 5f(x) -0.871 6 -0.578 8 -0.281 3 0.210 1 0.328 43 0.641 15则方程2x+3x=7的近似解(精确到0.1)可取为( C )A.1.32 B.1.39C.1.4 D.1.3[解析]通过上述表格得知函数唯一的零点x0在区间(1.375,1.437 5)内,故选C.题组三走向高考5.(2015·安徽,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A )A.y=cos x B.y=sin xC.y=ln x D.y=x2+1[解析]y=cos x是偶函数且有无数多个零点,y=sin x为奇函数,y=ln x既不是奇函数也不是偶函数,y=x2+1是偶函数但没有零点,故选A.6.(2019·全国卷Ⅲ,5分)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为( B )A.2 B.3C.4 D.5[解析]f(x)=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x),令f(x)=0,则sin x=0或cos x=1,所以x=kπ(k∈Z),又x∈[0,2π],所以x=0或x=π或x=2π.故选B.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一,函数的零点考向1 确定函数零点所在区间——自主练透例1 (1)若函数f(x)的图象是连续不断的,且f(0)>0,f(1)·f(2)·f(4)<0,则下列命题正确的是( D )A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点B.函数f(x)在区间(1,2)内有零点C.函数f(x)在区间(0,2)内有零点D.函数f(x)在区间(0,4)内有零点(2)(2021·开封模拟)函数f(x)=x+ln x-3的零点所在的区间为( C )A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)(3)(多选题)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)·(x-c)+(x-c)(x-a)的零点位于区间可能为( BC )A.(-∞,a) B.(a,b)C.(b,c) D.(c,+∞)[解析](1)因为f(1)·f(2)·f(4)<0,所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于0.若f(1)<0,则在(0,1)内有零点,在(0,4)内必有零点;若f(2)<0,则在(0,2)内有零点,在(0,4)内必有零点;若f(4)<0,则在(0,4)内有零点.故选D.(2)解法一:利用零点存在性定理因为函数f(x)是增函数,且f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3>0,所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故选C.解法二:数形结合函数f(x)=x+ln x-3的零点所在区间转化为g(x)=ln x,h(x)=-x+3的图象的交点横坐标所在范围.如图所示,可知f(x)的零点在(2,3)内.(3)易知f(a)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)·(b-a),f(c)=(c-a)(c-b).又a<b<c,则f(a)>0,f(b)<0,f(c)>0,又该函数是二次函数,且图象开口向上,可知两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,故选B、C.名师点拨MING SHI DIAN BO确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,然后再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断. 考向2 函数零点个数的确定——师生共研例2 (1)函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x -2,x≤0,-1+ln x ,x>0的零点个数为( B )A .3B .2C .7D .0(2)已知f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧|lg x|,x>0,2|x|,x≤0,则函数y =2f 2(x)-3f(x)+1的零点个数为5.[解析] (1)解法一:(直接法)由f(x)=0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,x 2+x -2=0或⎩⎪⎨⎪⎧x>0,-1+ln x =0,解得x =-2或x =e. 因此函数f(x)共有2个零点.解法二:(图象法)函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2个零点. (2)令2f 2(x)-3f(x)+1=0,解得f(x)=1或f(x)=12,作出f(x)的简图:由图象可得当f(x)=1或f(x)=12时,分别有3个和2个交点,则关于x 的函数y =2f 2(x)-3f(x)+1的零点的个数为5.名师点拨 MING SHI DIAN BO函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a ,b]上是连续的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:利用函数y =f(x)的图象与x 轴的交点的个数,从而判定零点的个数,或转化为两个函数图象交点个数问题.画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.〔变式训练1〕(1)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x≤0,1+1x ,x>0,则函数y =f(x)+3x 的零点个数是( C )A .0B .1C .2D .3(2)设函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f(x)=e x+x -3,则f(x)的零点个数为( C ) A .1 B .2 C .3D .4(3)(2020·河南名校联考)函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x|,x>0,2x ,x≤0,则函数g(x)=3[f(x)]2-8f(x)+4的零点个数是( A )A .5B .4C .3D .6[解析] (1)由已知得y =f(x)+3x =⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x≤0,1+1x+3x ,x>0.令x 2+x =0,解得x =0或x =-1.令1+1x +3x =0(x>0)可得3x 2+x +1=0.因为Δ=1-12<0,所以方程3x 2+x +1=0无实根.所以y =f(x)+3x 的零点个数是2.(2)f(x)=e x+x -3在(0,+∞)上为增函数,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=e 12-52<0,f(1)=e -2>0,∴f(x)在(0,+∞)上只有一个零点,由奇函数性质得f(x)在(-∞,0)上也有一个零点,又f(0)=0,所以f(x)有三个零点,故选C .(3)本题考查函数的零点与方程根的个数的关系.函数g(x)=3[f(x)]2-8f(x)+4=[3f(x)-2][f(x)-2]的零点,即方程f(x)=23和f(x)=2的根.函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x|,x>0,2x ,x≤0的图象如图所示,由图可得方程f(x)=23和f(x)=2共有5个根,即函数g(x)=3[f(x)]2-8f(x)+4有5个零点. 考向3 函数零点的应用——多维探究 角度1 与零点有关的比较大小例3 已知函数f(x)=2x+x ,g(x)=x -log 12x ,h(x)=log 2x -x 的零点分别为x 1,x 2,x 3,则x 1,x 2,x 3的大小关系为( D )A .x 1>x 2>x 3B .x 2>x 1>x 3C .x 1>x 3>x 2D .x 3>x 2>x 1[解析] 由f(x)=2x+x =0,g(x)=x -log 12x =0,h(x)=log 2x -x =0,得2x=-x ,x =log 12x ,log 2x=x ,在平面直角坐标系中分别作出y =2x与y =-x 的图象;y =x 与y =log 12x 的图象;y =log 2x 与y =x 的图象,由图可知:-1<x 1<0,0<x 2<1,x 3>1.所以x 3>x 2>x 1.角度2 已知函数的零点或方程的根求参数例4 (2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧e x,x≤0,ln x ,x>0,g(x)=f(x)+x +a.若g(x)存在2个零点,则a 的取值范围是( C ) A .[-1,0) B .[0,+∞) C .[-1,+∞) D .[1,+∞)[解析]令h(x)=-x -a ,则g(x)=f(x)-h(x).在同一坐标系中画出y =f(x),y =h(x)图象的示意图,如图所示.若g(x)存在2个零点,则y =f(x)的图象与y =h(x)的图象有2个交点.由图知-a≤1,∴a≥-1.名师点拨 MING SHI DIAN BO 1.比较零点大小常用方法:(1)确定零点取值范围,进而比较大小; (2)数形结合法.2.已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解. 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2021·安徽蚌埠月考)已知函数f(x)=3x+x ,g(x)=log 3x +x ,h(x)=x 3+x 的零点依次为a ,b ,c ,则a ,b ,c 的大小关系为( B )A .a<b<cB .a<c<bC .a>b>cD .c>a>b(2)(角度2)(2021·杭州学军中学月考)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x-a ,x≤0,2x -1,x>0(a∈R),若函数f(x)在R 上有两个零点,则a 的取值范围是( D )A .(-∞,-1)B .(-∞,-1]C .[-1,0)D .(0,1][分析] (1)解法一:依据零点存在定理,确定a ,b ,c 所在区间,进而比较大小;解法二:分别作出y =3x、y =log 3x 、y =x 3与y =-x 的图象,比较其交点横坐标的大小即可.[解析](1)解法一:∵f(-1)=3-1-1=-23,f(0)=1,∴a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-23,0,又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=log 313+13=-23,g(1)=1,∴b∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13,1,显然c =0,∴a<c<b,故选B .解法二:数形结合法,在同一坐标系中分别作出y =3x、y =log 3x 、y =-x 的图象,结合图象及c =0可知a<c<b ,故选B .解法三:由概念知b>0,a<0,c<0,∴b 最大,选B .(2)∵当x>0时,f(x)=2x -1, 由f(x)=0得x =12,∴要使f(x)在R 上有两个零点, 则必须2x-a =0在(-∞,0]上有解. 又当x ∈(-∞,0]时,2x∈(0,1]. 故所求a 的取值范围是(0,1].考点二 二分法及其应用——自主练透例5 (1)用二分法研究函数f(x)=x 3+3x -1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x 0∈(0,0.5),第二次应计算f(0.25).(2)在用二分法求方程x 3-2x -1=0的一个近似解时,现在已经将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可判定该根所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32,2. (3)在用二分法求方程x 2=2的正实数根的近似解(精确度0.001)时,若我们选取初始区间是[1.4,1.5],则要达到精确度要求至少需要计算的次数是7.[解析] (1)因为f(0)<0,f(0.5)>0,由二分法原理得一个零点x 0∈(0,0.5);第二次应计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫0+0.52=f(0.25).(2)区间(1,2)的中点x 0=32,令f(x)=x 3-2x -1,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=278-4<0,f(2)=8-4-1>0,则根所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32,2. (3)设至少需要计算n 次,由题意知1.5-1.42n<0.001,即2n >100.由26=64,27=128,知n =7. 名师点拨 MING SHI DIAN BO1.用二分法求函数零点的方法:定区间,找中点,中值计算两边看,同号去,异号算,零点落在异号间.周而复始怎么办?精确度上来判断.2.利用二分法求近似解需注意的问题(1)在第一步中:①区间长度尽量小;②f(a),f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0; (2)根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与相应方程的根是等价的.(3)虽然二分法未单独考过,但有可能像算法中的“更相减损术”一样,嵌入到程序框图中去考查.名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数零点的综合问题例6 (2021·山西五校联考)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧-2x ,x≤0-x 2+x ,x>0,若函数g(x)=f(x)-a 恰有三个互不相同的零点x 1,x 2,x 3,则x 1x 2x 3的取值范围是( A )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫-132,0B .⎝ ⎛⎭⎪⎫-116,0 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,132 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫0,116 [解析] 解法一:显然x≤0时,-2x =a ,有一根不妨记为x 1,则x 1=-a 2(a≥0),当x>0时-x 2+x=a 即x 2-x +a =0有两个不等正根,不妨记为x 2,x 3,则Δ=1-4a>0,即a<14,从而-a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-116,0且x 2x 3=a.∴x 1x 2x 3=-a 22∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-132,0,故选A .解法二:作出y =f(x)及y =a 的图象,显然0<a<14,不妨设x 1<x 2<x 3显然x 1<0,x 2>0,x 3>0,∴x 1x 2x 3<0排除C 、D ,又当x 2趋近x 3时,x 2x 3趋近14,x 1趋近-18,故x 1x 2x 3趋近-132.故选A .名师点拨 MING SHI DIAN BO以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础,通过作图、想象,发现该问题的相关数学知识及其联系,快速解决该问题.〔变式训练3〕(2021·东北三省四市模拟)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x +1,x≤0,|lg x|,x>0.若f(x)=a(a∈R)有四个不等实根,则所有实根之积的取值范围是( B )A .(-∞,1)B .[0,1)C .(0,1)D .(1,+∞)[解析] 本题考查已知方程根的个数求根的乘积的取值范围. 设四个根依次为x 1,x 2,x 3,x 4(x 1<x 2<x 3<x 4), 则-2≤x 1<-1,-1<x 2≤0,x 1+x 2=-2, 由|lg x 3|=|lg x 4|,得-lg x3=lg x4,则lg x3+lg x4=lg(x3x4)=0,∴x3x4=1,∴x1x2x3x4=x1x2=(-2-x2)x2=-(x2+1)2+1∈[0,1).故选B.。
第2课时利用导数证明不等式构造函数证明不等式:构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时,根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数,利用函数单调性、极值、最值加以证明.常见的构造方法有:(1)直接构造法:证明不等式f(x)〉g(x)(f(x)<g(x))转化为证明f(x)-g(x)>0(f(x)-g(x)〈0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论,如ln x≤x-1,e x≥x+1,ln x〈x<e x(x〉0),错误!≤ln(x+1)≤x(x>-1);(3)特征分析构造法:稍作变形再构造,对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数,把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式,根据“相同结构"构造辅助函数;(4)构造双函数:若直接构造函数求导难以判断符号,导函数零点也不易求得,因此函数单调性与极值点都不易获得,则可构造函数f(x)和g(x),利用其最值求解.方法1直接构造差函数法【例1】已知函数f(x)=1-错误!,g(x)=错误!+错误!-bx(e为自然对数的底数),若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是A(1,1),且在点A处的切线互相垂直.(1)求a,b的值;(2)求证:当x≥1时,f(x)+g(x)≥错误!.【解】(1)因为f(x)=1-ln x x,所以f′(x)=错误!,f′(1)=-1。
因为g(x)=错误!+错误!-bx,所以g′(x)=-错误!-错误!-b。
因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是A(1,1),且在点A处的切线互相垂直,所以g(1)=1,且f′(1)·g′(1)=-1,即g(1)=1+a-b=1,g′(1)=-a-1-b=1,解得a=-1,b=-1。
(2)证明:由(1)知,g(x)=-错误!+错误!+x,则f(x)+g(x)≥2x⇔1-错误!-错误!-错误!+x≥0.令h(x)=1-错误!-错误!-错误!+x(x≥1),则h′(x)=-错误!+错误!+错误!+1=错误!+错误!+1.因为x≥1,所以h′(x)=ln xx2+错误!+1>0,所以h(x)在[1,+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(1)=0,即1-错误!-错误!-错误!+x≥0,所以当x≥1时,f(x)+g(x)≥错误!。
第十讲 函数模型及其应用知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点 函数模型及其应用 1.几类常见的函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型f(x)=ax +b(a ,b 为常数,a≠0)反比例函数模型 f(x)=kx +b(k ,b 为常数且k≠0)二次函数模型 f(x)=ax 2+bx +c(a ,b ,c 为常数,a≠0)指数函数模型 f(x)=ba x+c(a ,b ,c 为常数,b≠0,a >0且a≠1) 对数函数模型 f(x)=blog a x +c(a ,b ,c 为常数,b≠0,a >0且a≠1) 幂函数模型f(x)=ax n +b(a ,b 为常数,a≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y =a x(a>1)y =log a x(a>1) y =x n(n>0)在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0,当x>x 0时,有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;(3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下:重要结论1.函数f(x)=x a +bx (a>0,b>0,x>0)在区间(0,ab]内单调递减,在区间[ab ,+∞)内单调递增.2.直线上升、对数缓慢、指数爆炸双基自测题组一 走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y =2x的函数值比y =x 2的函数值大.( × )(2)“指数爆炸”是指数型函数y =a·b x+c(a≠0,b>0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × ) (3)幂函数增长比直线增长更快.( × ) (4)不存在x 0,使ax 0<x a0<log a x 0.( × ) [解析] (1)当x =-1时,2-1<(-1)2.(2)“指数爆炸”是针对b>1,a>0的指数型函数g(x)=a ·b x+c.(3)幂函数增长速度是逐渐加快的,当变量较小时,其增长很缓慢,题目说的太绝对,也没有任何条件限制.(4)当a∈(0,1)时存在x 0,使ax 0<x a0<log a x 0. 题组二 走进教材2.(必修1P 107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是( D )A .收入最高值与收入最低值的比是3∶1B .结余最高的月份是7月C .1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D .前6个月的平均收入为40万元3.(必修1P 107A 组T1改编)在某个物理实验中,测量得变量x 和变量y 的几组数据,如下表:x 0.50 0.99 2.01 3.98 y-0.990.010.982.00则对x ,y 最适合的拟合函数是( D ) A .y =2x B .y =x 2-1 C .y =2x -2D .y =log 2x[解析] 根据x =0.50,y =-0.99,代入计算,可以排除A ;根据x =2.01,y =0.98,代入计算,可以排除B 、C ;将各数据代入函数y =log 2x ,可知满足题意,故选D .4.(必修1P 104例5改编)某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y =alog 3(x +1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们将发展到( A )A .200只B .300只C .400只D .500只[解析] ∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y =alog 3(x +1),这种动物第2年有100只, ∴100=alog 3(2+1),∴a=100,∴y=100log 3(x +1), ∴当x =8时,y =100log 3(8+1)=100×2=200.故选A .5.(必修1P 107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C(x)=12x 2+2x +20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为18万件.[解析] 利润L(x)=20x -C(x)=-12(x -18)2+142,当x =18时,L(x)有最大值. 题组三 走向高考6.(2020·全国Ⅲ,4)Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位:天)的Logistic 模型:I(t)=K1+e -0.23(t -53),其中K 为最大确诊病例数.当I(t *)=0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则t *约为(ln 19≈3)( C )A .60B .63C .66D .69[解析] 本题以Logistic 模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算.由题意可得I(t *)=K 1+e -0.23(t *-53)=0.95K ,化简得e -0.23(t *-53)=119,即0.23(t *-53)=ln 19,所以t *=ln 190.23+53≈30.23+53≈66.故选C .考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点 函数模型及应用考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透例1 (1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( A )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是( ABC )A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(3)有一个盛水的容器,由悬在它的上空的一条水管均匀地注水,最后把容器注满,在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示.若图中PQ为一线段,则与之对应的容器的形状是( B )[解析] (1)通过题图可知A 不正确,并不是逐月增加,但是每一年是递增的,所以B 正确.从图观察C 是正确的,D 也正确,1月至6月比较平稳,7月至12月波动比较大.故选A .(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上,A 正确;七月的平均温差约为10 ℃,而一月的平均温差约为5 ℃,故B 正确;三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右,基本相同,C 正确;平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个,D 错误.故选A 、B 、C .(3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状,且函数图象的变化先慢后快,所以容器下边粗,上边细.再由PQ 为线段,知这一段是均匀变化的,所以容器上端必是直的一段,故排除A 、C 、D ,选B .名师点拨 MING SHI DIAN BO 1.用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可.2.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象. (2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.考向2 已知函数模型解决实际问题——师生共研例2 (2020·北京十一中月考)已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后,14C 的残余量占原始量的一半).设14C 的原始量为a ,经过x 年后的残余量为b ,残余量b 与原始量a 的关系为b =ae-kx,其中x 表示经过的时间,k 为一个常数.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年.(参考数据:log 20.767≈-0.4).[解析] 由题意可知,当x =5 730时,ae -5 730k=12a ,解得k =ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%=e -ln 25 730x ,得ln 0.767=-ln 25 730x ,x =-5 730×ln 0.767ln 2=-5 730×log 2 0.767≈2 292.〔变式训练1〕(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展,制定了一项激励销售人员的奖励方案:销售额为8万元时,奖励1万元;销售额为64万元时,奖励4万元,若公司拟定的奖励模型为y =alog 4x +b(其中x 为销售额,y 为相应的奖金).某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为1_024万元.[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧alog 48+b =1,alog 464+b =4,即⎩⎪⎨⎪⎧32a +b =1,3a +b =4,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-2.所以y =2log 4x -2,当y =8时,有2log 4x -2=8,解得x =1 024. 考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究 角度1 一次函数、二次函数分段函数模型例3 某校学生研究学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化,老师讲课开始时,学生的兴趣激增;接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散,设f(t)表示学生注意力指标.该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大,表明学生的注意力越集中)如下: f(t)=⎩⎪⎨⎪⎧100a t10-60(0≤t≤10),340(10<t≤20),-15t +640(20<t≤40)(a>0且a≠1).若上课后第5分钟时的注意力指标为140,回答下列问题: (1)求a 的值;(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较,哪个时间注意力更集中?并请说明理由; (3)在一节课中,学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长? [解析] (1)由题意得,当t =5时,f(t) =140, 即100·a 510-60=140,解得a =4.(2)因为f(5)=140,f(35)=-15×35+640=115,所以f(5)>f(35),故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中.(3)①当0<t≤10时,由(1)知,f(t)=100·4t10-60≥140,解得5≤t≤10; ②当10<t≤20时,f(t) =340>140恒成立;③当20<t≤40时,f(t)=-15t +640≥140,解得20<t≤1003.综上所述,5≤t≤1003.故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003-5=853分钟.名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的范围,特别是端点值.(2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理,不重不漏. (3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值. 角度2 指数函数与对数函数模型例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位:m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为:v =a +blog 3Q10(其中a ,b 是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ,b 的值;(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s ,则其耗氧量至少要多少个单位? [分析](1)根据已知列出方程组→解方程组求a ,b 的值 (2)由(1)列出不等式→解不等式求Q 的最小值[解析] (1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s ,此时耗氧量为30个单位,则a +blog 33010=0,即a +b =0;当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s , 则a +blog 39010=1,整理得a +2b =1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a +b =0,a +2b =1,得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =1. (2)由(1)知,v =a +blog 3Q 10=-1+log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ,则v ≥2,所以-1+log 3Q 10≥2,即log 3Q 10≥3,解得Q10≥27,即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s ,则其耗氧量至少要270个单位.名师点拨 MING SHI DIAN BO指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型,在两类模型中,指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型,与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题.〔变式训练2〕(1)(角度1)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R 元),若每年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30-52R 万件,要使附加税不少于128万元,则R 的取值范围是( A )A .[4,8]B .[6.10]C .[4%,8%]D .[6%,10%](2)(角度2)一个容器装有细沙a cm 3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为y =ae-bt(cm 3),经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过16min ,容器中的沙子只有开始时的八分之一.[解析] (1)根据题意,要使附加税不少于128万元,需⎝ ⎛⎭⎪⎫30-52R ×160×R%≥128,整理得R 2-12R +32≤0,解得4≤R≤8,即R∈[4,8]. (2)当t =0时,y =a ,当t =8时,y =ae -8b=12a ,∴e -8b =12.令y =18a ,即ae -bt =18a ,e -bt =18=(e -8b )3=e-24b,则t =24,∴再经过16 min ,容器中的沙子只有开始时的八分之一.名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数y =x +ax(a>0)模型及应用例5 (2021·烟台模拟)小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x 万件,需另投入流动成本为W(x)万元.在年产量不足8万件时,W(x)=13x 2+x(万元);在年产量不小于8万件时,W(x)=6x +100x -38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品当年能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少? [解析] (1)因为每件产品售价为5元,则x 万件产品的销售收入为5x 万元,依题意得: 当0<x<8时,L(x)=5x -⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2+x -3=-13x 2+4x -3.当x≥8时,L(x)=5x -⎝ ⎛⎭⎪⎫6x +100x -38-3=35-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +100x .所以L(x)=⎩⎪⎨⎪⎧-13x 2+4x -3,0<x<8,35-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +100x ,x≥8.(2)当0<x<8时,L(x)=-13(x -6)2+9,此时,当x =6时,L(x)取得最大值L(6)=9(万元).当x≥8时,L(x)=35-⎝⎛⎭⎪⎫x +100x ≤35-2x ·100x=35-20=15(万元).此时,当且仅当x =100x,即x =10时,L(x)取得最大值15万元.因为9<15,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元. 名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域.(2)利用模型f(x)=ax +bx 求解最值时,注意取得最值时等号成立的条件.〔变式训练3〕某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留3 m 宽的空地.当矩形温室的边长各为40_m ,20_m 时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是648_m 2.[解析] 设矩形温室的左侧边长为x m ,则后侧边长为800x m ,所以蔬菜种植面积y =(x -4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫800x -2=808-2⎝⎛⎭⎪⎫x +1 600x (4<x<400). 因为x +1 600x≥2x ·1 600x=80,所以y≤808-2×80=648.当且仅当x =1 600x ,即x =40时取等号,此时800x=20,y max =648.即当矩形温室的相邻边长分别为40 m ,20 m 时,蔬菜的种植面积最大,最大面积是648 m 2.。