我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：贵州民族学院
参赛队员(打印并签名) ：1. 龚道杰
2. 张凤
3. 姚肖伟
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：
日期： 2009 年 7 月 25 日
年凝冻日数的Markov链预测法
4#
【摘要】
本文根据所给数据，利用Markov链建立了预测年凝冻日数的模型，分别从整体和局部两个角度进行分析。
首先，我们直接以年凝冻日数为依据，对其进行K-均值聚类分析，划分
状态。用频率估计概率的方法，估算出一步转移概率矩阵，1/6
5/65/3328/33P ??=??
??，然后建立Markov 链模型()1/6
5/6()(0)(0)5/3328/33n
n P n P P P ??=?=???
??
。以2008年作为初始状态，估计出
2009
年凝冻日数所处状态为
(1)(0)P P P =?()0.1520.848=。按K-均值标准可知，即2009年凝冻的天数在
15天以内的可能性为84.8%，在15天以上的可能性为15.2%。
由于上述模型选取的是以年为单位的数据，只能估计出2009年的凝冻日
数所处区间。为提高精度，我们选取2000-2008年的具体凝冻天数和日期，记每一天只存在两种状态，出现雨凇为状态1，否则为状态0。然后由相邻两年间的状态转移变化，得出一步转移概率矩阵i P ，1,2,...,8i =。由这8个一步转移概率矩阵，根据一步转移矩阵P 的n 次方与n 步转移概率矩阵()n P 之差的范数和达到最小的准则，选出优化后的一步转移概率矩阵
0.95000.0500*0.78890.2111P ??=???? ,再次建立Markov 链模型。以2008年为初始状态，预测2009年的概率分布为
[]*(2009)(2008)0.91060.0894P P P =?= ，由频率稳定于概率，知2009年凝冻天数的估计值为14天。
关键词： Markov 链 转移概率矩阵 频率估计概率
1. 问题提出
1.1背景知识
凝冻是指冬季出现的温度低于0℃有过冷却降水或固体降水和结冰现象发生的天气现象，即气象台所说的出现雨凇的天气。雨凇的形成与气温，降水量，湿度等因素有关，超冷却的降水碰到温度等于或低于零摄氏度的物体表面使所形成玻璃状的透明或无光泽的表面粗糙并覆盖层，就叫做雨凇。其造成的危害巨大，高压线塔的倒塌，电力瘫痪，交通瘫痪，农作物的冻亡等。因而对出现雨凇天气的预测显得尤为重要。
1.2问题分析
根据所给1969-2008年的数据，建立一个年凝冻日数的预测模型，预测2009年的凝冻日数，并作出误差分析。数据给出了是否出现雨凇与气温、降水量、湿度、气压和风速的关系，而雨凇的出现是一个随机过程，与多个因素有关，且受干预变量的影响，因而传统的回归分析方法，效果不好，而Markov 链构造模型不需要从复杂的预测因子中寻找各因素之间的相互规律，只需要考虑事件本身的演变特点，通过计算转移概率矩阵来预测内部状态的变化。
2. 建模准备 2.1数据分析与处理
以年为单位，统计出现雨凇的天数，见表1：
2.2 Markov 链预测的理论基础 2.2.1 Markov 链定义
（Markov 链）[1] 随机过程{Xn ，0,1,2...n =｝称为Markov 链，若它只取有限或可列个值012,,,...E E E （我们以｛0,1,2,...｝来标记01,,...,E E 并称它们是过程的状态，｛0,1,2...｝或者其子集记为S ，称为过程的状态空间）.对任意的0n ≥及状态011,,,...,,n i j i i i -有
1{n P X j +=︱00112211,,,...,,n n n X i X i X i X i X i --=====｝ =1{n P X j +=︱}.n X i = （5.1.1） 式（5.1.1）刻画了Markov 链的特性，称为Markov 性。 2.2.2 转移概率矩阵
由转移概率组成的矩阵，形如
00
010210
1112202122......()...ij p p p p
p p P p p p p ??????==??
????
称P 为转移概率矩阵。且ij p (,)i j S ∈有性质： (1)0,,;ij p i j S ≥∈
(2)1,.ij j s
p i S ∈=?∈∑ 【2】
2.2.3（C-K 方程） 对一切,0,,n m i j S ≥∈有
()(1);m n m n
ij ik kj k s
p p p +∈=∑
(1)(2)(2).n n n P P P P P P P --=?=??=???=(n) 其证明如下：
{}()0|m n ij m n p p X j X i ++===
=
{}
{}
00,m n p X j X i p X i +===
={}
{}00,,m n m k s
p X j X k X i p X i +∈====∑
（全概率公式）
={}{}{}
{}
0000,,,,m n m m k s
m p X j X k X i p X k X i p X i p X k X i +∈========∑
={}{}00|,|m n m m k s
p X j X k X i p X k X i +∈=====∑
=()()
n m kj ik
k s
p p ∈∑ =()()m n ik kj k s
p p ∈∑ 【3】
2.3.4 传统的频率估计概率估算一步转移概率矩阵的方法为：
已知系统存在n 种状态，状态空间为S ={0,1,2,…n}.假设在Ｎ次观测中，系统处于第i 种状态共有i n 次，显然1n
j j N n ==∑．用ij n 表示系统从状态i
经过一步转移到状态j 的频数，显然有1
,(,),n
i ij ij j n n i j S n ==∈∑组成的矩阵()
ij n 称为转移频数矩阵。将转移频数矩阵的第i 行第j 列元素ij n 除以i 行各元素总和所得的值称为转移概率，记为,,ij p i j I ∈。即有/ij ij i p n n =，于是我们得到用频率估计出一步转移概率矩阵P ．【４】
3.符号说明
符号 说明
i t 第j 期的概率分布
ij P 从状态i 到状态j 的转移概率
I 状态空间且{0,1}I = i t 频率
4．模型的建立
4.1 模型假设
1）雨凇的年出现次数是一簇依赖于时间的随机变量，其变化过程是一个随机过程；
2）该随机过程具有无后效性；
3）雨凇年出现次数状态的一步转移概率矩阵只与时间差有关，与时间起点无关。
4.2模型建立
4.2.1以表1为基础，建立Markov 链预测模型 ：
1）利用SPSS 软件，以K 均值聚类法将过去的年凝冻日数分为2个区间，确定每年凝冻日数的状态,见表2：
2）根据表2，以频率估计概率的方法，计算一步转移概率矩阵。
出现状态1的次数为716-=，出现状态2的次数为33。由1转为1的
次数为1，故转移概率111/6P =；由1转为2的次数为5，故转移概率125/6P
=；由2转为1的次数为5，故转移概率215/33P =；由2转为2的次数为28，故转移概率22=28/33P 。
由此可得雨凇年出现次数状态的一步转移概率矩阵为：
1/6
5/65/3328/33P ??=??
??
； Markov 链的基本原理就是利用初始状态概率向量和状态转移概率矩阵来推知预测对象将来一个时期所处的状态。
记0(0){},j P P X j j S ==∈，则有12(0)((0),(0),...,(0),...)j P P P P =，称它为Markov 链的初始分布，显然有(0)1j j S
P ∈=∑。由上述 C-K 方程 可知Markov 链
在任一时刻n 的一维分布由初始分布(0)P 和n 步转移概率矩阵所确定。
即Markov 链的预测模型为 ()
1/6
5/6()(0)(0)5/3328/33n
n P n P P P ??=?=???
??
。 （1）
4.2.2 根据所建Markov 链模型，进行预测
用2008年凝冻天数作为初始状态，即()(0)01P =.利用模型（1）式，计算可得2009年凝冻天数的一维分布为：
()1/6
5/6(1)(0)015/3328/33P P P ??=?=? ???
()0.1520.848=
这表明2009年的凝冻天数所处的状态为1的概率为0.152，状态为2的概率为0.848.由之前SPSS 软件的K-均值聚类可知，凝冻的天数在15天以内的可能性为84.8%，在15天以上的可能性为15.2%。
4.3 模型检验和结果分析
该模型虽然预测出了2009年凝冻日数的范围，并计算出其以84.8%的概率稳定于该状态，却无法的估计出2009年凝冻的具体天数。
由于凝冻基本发生在1月、2月、3月、11月、12月，而2009年前三个月的历史天气数据可以查得，见数据1 【5】
2009年贵阳雨淞出现的次数
日期 雨淞出现 日期 雨淞出现 日期 雨淞出现 1-1 1 2-1 0 3-1 0 1-2 0 2-2 0 3-2 0 1-3 0 2-3 0 3-3 0 1-4 1 2-4 0 3-4 0 1-5 0 2-5 0 3-5 0 1-6 1 2-6 0 3-6 0 1-7 1 2-7 0 3-7 0 1-8 0 2-8 0 3-8 0 1-9 0 2-9 0 3-9 0 1-10 0 2-10 0 3-10 0 1-11 0 2-11 0 3-11 0 1-12 0 2-12 0 3-12 0 1-13 0 2-13 0 3-13 0 1-14 0 2-14 0 3-14 0 1-15 0 2-15 0 3-15 0 1-16 0 2-16 0 3-16 0 1-17 0 2-17 0 3-17 0 1-18 0 2-18 0 3-18 0 1-19 0 2-19 0 3-19 0 1-20 0 2-20 0 3-20 0 1-21 0 2-21 0 3-21 0 1-22 0 2-22 0 3-22 0 1-23 0 2-23 0 3-23 0 1-24 1 2-24 0 3-24 0 1-25 1 2-25 0 3-25 0 1-26 1 2-26 0 3-26 0 1-27 1 2-27 0 3-27 0
1-28 0 2-28 0 3-28 0
1-29 0 3-29 0
1-30 0 3-30 0
1-31 0 3-31 0
由数据1可得，2009年发生凝冻1月天数为8天，2月天数为0天，3月天数为0天。
对题目所附数据做简单统计分析，见表3
根据上表可知，凝冻发生在前三个月的频率为
1(16410811)/3290.8602
t=++= ,发生在后两个月的频率为
2(343)/3290.1398
t=+=。即凝冻发生在11月、12月的天数和远小于1月、
2月、3月的天数和，粗略估计2009年11月、12月的天数和小于8天，则2009
全年凝冻天数小于15天。与模型（1）非常吻合。
Markov链预测模型成功的关键在于转移概率矩阵的可靠性，因此模型的构造需要足够多的准确的统计数据，而本题提供了40个年度凝冻日数的数据偏少，会影响预测精度。本题在求转移概率矩阵的时候，采用的是传统的估算方法，先假设已知随机过程在n种状态的观测次数及系统从当前时刻向下一时刻转移次数的情况下，用频率估计概率的方法估算出一步转移概率矩阵。但在实际情况下，没有足够的观测次数，会导致一步转移概率矩阵和真实值相差很大。
对于本题，如果改为从具体每天是否出现雨凇的状态考虑，40年的海量数据，将会极大提高我们模型的估计精度。
5．模型的改进
5.1数据分析
用SAS软件对表1的数据作时序图和自相关图（程序见附件），检验其
平稳性。
时序图：
自相关图：
结合时序图与自相关图分析，以年为单位，其凝冻天数基本上平稳。我们不妨取2000—2008年的数据进行分析预测。
5.2 对数据处理并再次建模
从2000-2008年，2月有28或29天，为计算方便，统一取28天，则每年关于凝冻的数据有 151个。
2000年出现雨凇的天数
1月2月3月11月12月00000
01000
01000
01000
01000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
10000
10000
10000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
10000
00000
10000
1000
0000
000
2001年出现雨凇的天数
1月2月3月11月12月
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
10000
00000
00000
00000
00000
00001
10000
00000
00000
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
10000
10000
00000
00000
0000
0000
000
观察上述两组数据，对于每一天雨凇的出现只存在两种情况，出现或否,即两种状态{0,1}
I=.现在我们以天为单位，以2000-2001年的数据为例进行分析。2000年的统计数据有151个，其中处于状态0的有141个，处于状态1的有10个。
P=；
记其分布为(2000)(141/15110/151)
P=；
同理可知(2001)(145/1516/151)
从2000年转移至2001年，
状态00
→有3个；
→有138个；状态01
状态10
→有1个。
→有 9个；状态11
则2000年到2001年的转移概率矩阵为
1138/1413/1419/101/10P ??
=???
? ； 既有 []1138/1413/141(2000)*141/15110/151(2001)9/101/10P P P ??==???? 。 同理 2001年到2002年转移概率矩阵为
2138/1468/1464/51/5p ??=???? ； 2002年到2003年转移概率矩阵为
3134/1428/14210p ??=???? ； 2003年到2004年转移概率矩阵为
4127/14316/1437/81/8p ??=???? ； 2004年到2005年转移概率矩阵为
5119/13415/13414/173/17p ??=???? ； 2005年到2006年转移概率矩阵为
6127/1336/1337/92/9p ??=???? ； 2006年到2007年转移概率矩阵为
7133/1418/14110p ??=???? ； 2007年到2008年转移概率矩阵为
8111/14332/1433/85/8p ??=???? 。
由以上八个转移概率矩阵可以看出，实际生活中相邻时刻的一步转移概率矩阵并不是完全相等的，为了能得出一个尽量精确的一步转移概率矩阵来预测2009年的数据，我们需要对上述转移概率矩阵进行优化。余波等人给出了利用最优化的思想，使一步转移矩阵P 的n 次方与n 步转移概率矩阵()n P 之差的范数
和达到最小的准则，建立模型如下：
目标函数： 1min ()||||n
i i f P P P ==-∑ （2）
约束条件： 11,1,2,...,0,,1,2,...,n
ij j ij
p i n
P i j n =?==???≥=?∑ 。 【6】
（矩阵范数）对任意,,m n A B R ?∈称|||| 为m n R ?空间的矩阵范数，指|||| 满足：
(1)||||0;||||00(2)||||||||||
(3)||||||||||||
A A A A A A
B A B λλ≥=?==+≤+ 对任意
C λ∈ 设()ij A a M =∈， 定义1/2
2,1||||||n ij i j a A =??
?
??
=∑。 【7】
结合本题数据，利用模型（2）建立规划求解：
优化后的一步转移概
率矩阵记为[]*
0.95000.0500
(2009)(2008)
[114/15137/151]0.
91060.089
0.78890.2111
P P P ??===???? 目标函数： 8
*1
m i n ()||||
i
i f P P P ==-∑
约束条件：
由MATLAB 软件求解得
0.9500
0.050
*0.78890.2111
P ??=?
??? ; 以2008年基期，预测2009年的概率分布有
[]*
(2009)(2008)0.91060.0894P P
P =?=[]151*(2009)137.494213.5058
P = 则预测2009年发生凝冻的天数为 14天。
6、模型的优缺点分析
本文从整体和局部两个角度分别建模，两个模型的结果大致吻合，说明Markov 链模拟的效果还不错。对于本题，雨凇的出现可以看成是一个随机过程，而影响雨凇出现的因素太多，若直接分析影响因素，会十分麻烦，且由于干预变量会使模型的精度大为降低。
Markov 链模型的优点在于它不需要从复杂的预测因子中寻找个因素之间的相互规律，直接通过概率矩阵来预测内部状态的变化。可是Markov 链对转移概率矩阵的要求很高，实际中，由于观测数据的限制，误差影响，会造成转移
概率矩阵精度的降低。因此为保证Markov链模拟的准确性，需要收集足够多的准确的数据。
参考文献
【1】张波，张景肖.应用随机过程.北京：清华大学出版社，2008年，P74.. 【2】张波，张景肖.应用随机过程.北京：清华大学出版社，2008年，P75.【3】张波，张景肖.应用随机过程.北京：清华大学出版社，2008年，P81.【4】于波, 陈希镇, 华栋.马尔柯夫链在农作物年景预测中的应用.统计与决策2007年第21期.
【5】历史天气数据https://www.doczj.com/doc/0d13416340.html,/lstqw/ 2009年7月23日.
【6】于波, 陈希镇, 华栋.马尔柯夫链在农作物年景预测中的应用.统计与决策2007年第21期.
【7】 [ppt] Chapter1.2 向量范数与矩阵范数—武汉大学精品课程https://www.doczj.com/doc/0d13416340.html,/jpkcsite/szfx/Data/2009年7月23日
附录
1、程序
（时序图）
data text1;
input days@@;
time=intnx('year','1969',_n_-1);
cards;
15 6 0 8 1 20 8 8 16 6 4 8 10 7 3 27 0 3 3 12
8 6 0 1 6 3 0 8 5 4 0 10 6 9 8 17 18 108 37
;
proc gplot data=text1;
plot days*time;
symbol c=black v=star i=join;
run;
（自相关图）
data text2;
input freq@@;
time=intnx('year','1969',_n_-1);
cards;
15 6 0 8 1 20 8 8 16 6 4 8 10 7 3 27 0 3 3 12 8
6 0 1 6 3 0 8 5 4 0 10 6 9 8 1
7 1
8 10 8 37
;
proc arima data=text2;
identify var=freq;
run;
2.数据
2002年出现雨凇的天数1月2月3月11月12月00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
10000
10000
00000
00000
00000
10000
10001
00001
00001
00001
0000
0001
000
2003年出现雨凇的天数
1月2月3月11月12月00000 01000 00000 00000 10100 10100 00000 00000 10000 00000 00000 01000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 10000 00000 0000 0000 000
2004年出现雨凇的天数
1月2月3月11月12月00000 01000 01000
01000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 10000 00000 10000 00000 10000 10000 00001 10001 10000 00001 00001 0001 0001 001
2005年出现雨凇的天数
1月2月3月11月12月11000 00000 00000 00000 00001 00001 00000 00000 10000 11000
01000 01000 00000 00000 00000 01000 00000 00000 10000 10000 10000 00000 00000 00000 10000 10000 00000 0000 0000 100
2006年出现雨凇的天数
1月2月3月11月12月00000 00000 00000 01000 10000 10000 10000 00000 00000 00000 00000 00000 00100 00000 00000 00000 01000
00000 10000 10000 10000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 0000 0000 000
2007年出现雨凇的天数
1月2月3月11月12月00000 00000 10000 00000 00000 00000 00100 00000 00000 00000 00000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 00000 00000 00000 00000 00000 00000
00000 00000 00000 00000 0000 000 000
2008年出现雨凇的天数
1月2月3月11月12月01000 01000 01000 01000 01000 01000 01000 01000 01000 01000 01000 01000 11000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10001 10001 10001 10000 11000 10000 10000 1000 1001
马尔柯夫链预测法 如果事物的发展过程及状态只与事物当时的状态有关，而与以前状态无关时，则此事物的发展变化称为马尔柯夫链。如果系统的安全状况具有马尔柯夫性质，且一种状态转变为另一种状态的规律又是可知的，那么可以利用马尔柯夫链的概念进行计算和分析．来预测未来特定时刻的系统安全状态。 马尔柯夫链是表征一个系统在变化过程中的特性状态，可用一组随时间进程而变化的变量来描述。如果系统在任何时刻上的状态是随机性的，则变化过程是一个随机过程，当时刻 t 变到时刻1+t ，状态变量从某个取值变到另一个取值，系统就实现了状态转移。系统从某 种状态转移到各种状态的可能性大小，可用转移概率来描述。 假定系统的初始状态可用状态向量表示为： ()()()()()[] 00302010,,,,n s s s s s = (5-19) 状态转移概率矩阵为： ????? ???????=nn n n n n p p p p p p p p p p 21 22221 11211 (5-20) 状态转移矩阵是一个n 阶方阵，满足概率矩阵的一般性质，即满足10≤≤ij p 且 11 =∑=n j ij p 。也就是说，状态转移矩阵的所有行变量都是概率向量。 一次转移向量() 1s 为： ()p s s 0) 1(= 二次转移向量() 2s 为： ()()20)1(2p s p s s ==
类似地 ()()10)1(++=k k p s s 【例5-4】某单位对1250名接触硅尘人员进行使康检查时，发现职工的健康状况分布如表5-6所示。 表5-6 接尘职工健康状况 根据统计资料，一年后接尘人员的健康变化规律为： 健康人员继续保持健康者剩70％。有20％变为疑似硅肺，10％的人被定为硅肺，即 7.011=p , 2.012=p ，1.013=p 原有疑似硅肺者一般不可能恢复为健康者，仍保持原状者为80％，有20％被正式定为硅肺，即 021=p ，8.022=p ，2.023=p 硅肺患者一般不可能恢复为健康或返回疑似硅肺，即 ,031=p 032=p ，133=p 。 状态转移矩阵为： ???? ? ?????=3332 31 232221 131211 p p p p p p p p p p 预测一年后接尘人员的健康状况为： () ()()() () [] ???? ??????=?=3332 31 2322 21131211 03020101p p p p p p p p p S S S p S S
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：贵州民族学院 参赛队员(打印并签名) ：1. 龚道杰 2. 张凤 3. 姚肖伟 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2009 年 7 月 25 日 年凝冻日数的Markov链预测法 4# 【摘要】 本文根据所给数据，利用Markov链建立了预测年凝冻日数的模型，分别从整体和局部两个角度进行分析。
首先，我们直接以年凝冻日数为依据，对其进行K-均值聚类分析，划分 状态。用频率估计概率的方法，估算出一步转移概率矩阵，1/6 5/65/3328/33P ??=?? ??，然后建立Markov 链模型()1/6 5/6()(0)(0)5/3328/33n n P n P P P ??=?=??? ?? 。以2008年作为初始状态，估计出 2009 年凝冻日数所处状态为 (1)(0)P P P =?()0.1520.848=。按K-均值标准可知，即2009年凝冻的天数在 15天以内的可能性为84.8%，在15天以上的可能性为15.2%。 由于上述模型选取的是以年为单位的数据，只能估计出2009年的凝冻日 数所处区间。为提高精度，我们选取2000-2008年的具体凝冻天数和日期，记每一天只存在两种状态，出现雨凇为状态1，否则为状态0。然后由相邻两年间的状态转移变化，得出一步转移概率矩阵i P ，1,2,...,8i =。由这8个一步转移概率矩阵，根据一步转移矩阵P 的n 次方与n 步转移概率矩阵()n P 之差的范数和达到最小的准则，选出优化后的一步转移概率矩阵 0.95000.0500*0.78890.2111P ??=???? ,再次建立Markov 链模型。以2008年为初始状态，预测2009年的概率分布为 []*(2009)(2008)0.91060.0894P P P =?= ，由频率稳定于概率，知2009年凝冻天数的估计值为14天。 关键词： Markov 链 转移概率矩阵 频率估计概率 1. 问题提出 1.1背景知识 凝冻是指冬季出现的温度低于0℃有过冷却降水或固体降水和结冰现象发生的天气现象，即气象台所说的出现雨凇的天气。雨凇的形成与气温，降水量，湿度等因素有关，超冷却的降水碰到温度等于或低于零摄氏度的物体表面使所形成玻璃状的透明或无光泽的表面粗糙并覆盖层，就叫做雨凇。其造成的危害巨大，高压线塔的倒塌，电力瘫痪，交通瘫痪，农作物的冻亡等。因而对出现雨凇天气的预测显得尤为重要。
33. 马尔可夫预测 马尔可夫预测，是一种预测事件发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。 马尔可夫预测法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有一定的稳定性。因此，必须具有足够的统计数据，才能保证预测的精度与准确性。换句话说，马尔可夫预测模型必须建立在大量的统计数据的基础之上。 （一）经典马尔可夫模型 一、几个概念 状态：指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果； 状态转移：事件的发展，从一种状态转变为另一种状态； 马尔可夫过程：在事件的发展过程中，若每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。 状态转移概率：在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。由状态i E 转为状态j E 的状态转移概率 ()(|)i j j i ij P E E P E E p →== 状态转移概率矩阵：假定某一个事件的发展过程有n 个可能的状
态，即1,,n E E ，则矩阵 1111n n nn p p P p p ????=?????? 其中，ij p 为从状态i E 转为状态j E 的状态转移概率，称为状态转移概率矩阵。 状态转移矩阵满足： (i) 01, ,1,,ij p i j n ≤≤= (ii) 1 1n ij j p ==∑ 二、状态转移矩阵的计算 即求出从每个状态转移到其它任何一个状态的状态转移概率ij p ，一般采用频率近似概率的思想进行计算。 例1某地区农业收成变化的三个状态，即E1“丰收”、E2“平收”和E3“欠收”。下表给出了该地区1960~1999年期间农业收成的状态变化情况（部分）。 计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵。 datas=xlsread('Agriculture.xlsx');
文献综述 数学与应用数学 马尔柯夫链在班级成绩预测中的应用 马尔柯夫链是数学中具有马尔科夫性质的离散随机过程. 在该过程中, 给定当前信息的情况下, 过去(即当期以前的历史状态)对于预测将来(即当期以后的未来状态)是无关的. 考虑只取有限个或可数个值的随机过程{}n ,0,1,2,X n =K , 若不另外说明, 过程可能取得值的集合将以非负整数集{}0,1,2,K 来表示. 若n X i =, 就说过程在时刻n 处于状态i , 假设每当过程处于状态i , 则在下一时刻处于状态j 的概率是固定的ij P , 也即假设对一切状态011,,,,,n i i i i j -K 及一切0n ≥又 {}1111100,,,,/n n n n ij P X j P X i X i X i X i +--======K , 这样的随机过程称为马尔柯夫链. 式(2.1)解释为, 对马尔柯夫链, 给定现在的状态n X 及过去的状态011,,,n X X X -K , 将来的状态1n X +的条件分布于过去的状态无关, 只依赖于现在的状态, 这称为马尔科夫性. 马尔柯夫链是一个有着广泛应用的随机过程模型, 它对一个系统由一种状态转移到另一种状态给出了定量分析. 马尔柯夫在1906年首先做出了这类过程. 而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的. 马尔柯夫链与布朗运动以及遍历假说被列为二十世纪初期重要课题, 但马尔柯夫寻求的不仅在于数学动机, 名义上是对于纵属事件大数法则的扩张. 其中, 马尔柯夫链用在基于观察数据的二到三维离散变量的随机模拟. 这一应用类似于“克里金”地理统计学, 被称为是“马尔柯夫链地理统计学”. 经过近百年的发展已形成完整的理论体系, 并且广泛被应用于社会、经济、科技、生态、农业、环境、医学、水利水电等众多科学领域. 自从我国著名的数学家、教育家中科院王梓坤院士在上世纪50年代将马尔柯夫理论引入国内以后, 我国学者对马尔柯夫过程的研究也取得了丰硕的成果, 在生灭过程的构造和它的积分型泛函的分布、马尔科夫过程的零壹律、Martin 边界与过份函数、马尔柯夫过程与位势理论的关系、多参数马尔柯夫过程等方面做了很多开创性工作, 近年来也不断有新的研究成果推出, 这些都标志着我国数学界对马尔柯夫理论的研究理论研究达到了世界领先水平.
利用马尔柯夫链对天津市恩格尔系数的实证分析 把天津市恩格尔系数的变化过程看成是一个马尔可夫链，并针对恩格尔系数的特点引入恩格尔系数增减率，建立天津市恩格尔系数变化对马尔可夫链模型，并进行预测分析，以供有关方面参考。 标签：马尔柯夫链天津市恩格尔系数 1 分析背景 恩格尔系数是从一个方面反映一个国家或地区消费结构状况，衡量居民生活水平高低，且被世界各国广泛采用的消费结构指标。联合国粮农组织(FAO)根据各国的消费习惯，利用恩格尔系数对一个国家或地区的居民生活质量提出了一个相对标准，即60%以上为绝对贫困，50%-60%为勉强度日，40%-50%为小康，30%-40%为富裕，30%以下为最富裕。联合国粮农组织的这一举措，使恩格尔系数成为评价国家或地区生活水平高低的重要标准之一，恩格尔系数和恩格尔定律得到了广泛的认同。 中国从改革开放以来，随着经济发展，居民收入差距扩大，消费档次逐步拉开，引起人们对恩格尔系数普遍关注。另外，中国宣布“总体达到小康”，其衡量标准之一就是恩格尔系数。我国劳动和社会保障部确定最低工资标准的方法之一就是恩格尔系数法。因此研究恩格尔系数具有和重要的现实意义。 2 马尔可夫链 马尔可夫链的数学定义为：设随机过程的状态空间S为R中的可列集。如果对T中任意n个参数t1＜t2＜…tn，以及使 成立的S中任意状态i1，…in-1与in均有则称为马尔可夫链。设I为离散的马尔可夫链的状态空间。称条件概率 ，为的h步转移概率。转移概率表示已知过程在m的马尔可夫链称为齐次马尔可夫链。此时，k步转移概率可以记为p(k)。当时k=1，称为一步转移概率，简记为p；并且p(k)=pk，k≥1。概率转移矩阵中的元素具有非负性以及行和为1两个性质。 应用马尔可夫链的方法预测的基本思路是:如果某种事物或某种现象的各状态的时间序列为马尔可夫链，则根据T(u-1)时刻的状态估计或预报T(u)时刻的状态。对于一个符合马尔可夫过程的时间序列，先根据具体情况，将其划分成若干离散的状态，再计算一阶转移概率矩阵。由T(u-1)时刻的S(u-1)某状态，经一步转移到T(u)时刻的S(u)某状态的概率，称为一步转移概率。一步转移概率为：，其中ωu为状态S(u)出现的次数，ωuk为从状态S(u)转移到状态S(k)的次数，puk 为由状态S(u)经过一阶转移到状态S(k)的转移概率。
马尔科夫预测案例 一、 市场占有率的预测 例1：在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供。分别用1，2，3表示。去年12月份对2000名消费者进行调查。购买厂家1，2和3产品的消费者分别为800，600和600。同时得到转移频率矩阵为： 3202402403601806036060180N ?? ?= ? ??? 其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费 者继续购买厂家1的 产品。转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人。N 的第二行与第三行的含义同第一行。 （1） 试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。 （2） 试求均衡状态时，各厂家的市场占有率。 解：（1）用800，600和600分别除以2000，得到去年12月份各厂家的市场占有率，即初始分布0(0.4,0.3,0.3)p =。 用800，600和600分别去除矩阵N 的第一行、第二行和第三行的各元素，得状态转移矩阵： 0.40.30.30.60.30.10.60.10.3P ?? ?= ? ??? 于是，第k 月的绝对分布，或第 月的市场占有率为： 00()(1,2,3,,7)k k P p P k p P =?= 1k =时，()()10.40.30.30.40.30.30.60.30.10.520.240.240.60.10.3p ?? ? == ? ??? 2k =时，()()()220.40.30.30.520.240.240.4960.2520.252p P P === 3 k =时, ()()()330.40.30.30.4960.2520.2520.50080.24960.2496p P P === 类似的可以计算出4p ，5p ，6p 和7p 。
基于绝对分布的马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，用步长为一的马尔可夫链模型和初始分布推算出未来时段的绝对分布来做预测分析，即为传统的马尔可夫链预测方法之一，可称之为“基于绝对分布的马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“ADMCP法”。其具体方法步骤如下: (1)计算指标值序列均值x，均方差s，建立指标值的分级标准(相当于确定马尔可夫链的状态空间)，可根据资料序列的长短及具体间题的要求进行。例如，可以样本均方差为标准(也可以用有序聚类的方法建立分级标准等)将指标值分级，即按4.2.1中指出的方法确定马尔可夫链的状态空间E=[1, 2，一，m]; (2)按(1)所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态; (3)对(2)所得的结果进行统计计算，可得步长为一的马尔可夫链的转移概率矩阵 ，它决定了指标值状态转移过程的概率法则; (4)“马氏性”检验(应用工作者使用该方法时，一般都不做这一步，本文加上这一步意在完善"ADMCP法，’); (5)若以第1时段作为基期，该时段的指标值属于状态i，则可认为初始分布为 这里P(0)是一个单位行向量，它的第i个分量为1，其余分量全为0。于是第l+1时段的绝对分布为 第l+1时段的预测状态j满足: ;为预测第l+k时段的状态，则可 得到所预测的状态j满足: (6)可进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。 4.3.2叠加马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，利用各阶(各种步长)马尔可夫链求得的绝对分布叠加来做预测分析，也是传统的马尔可夫链预测方法之一，可称之为“叠加马尔可夫链预测方法”不妨记其为“SPMCP 法’，。其具体方法步骤如下: (1)计算指标值序列均值x，均方差s，建立指标值的分级标准(相当于确定马尔可夫链的状态空间)，可根据资料序列的长短及具体问题的要求进行; (2)按“(1)"所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态: (3)对“(2)”所得的结果进行统计，可得不同滞时(步长)的马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程的概率法则; (4)“马氏性”检验(应用工作者使用该方法时，一般也不做这一步，本文加上这一步同样意在完善，"SPMCP法”): (5)分别以前面若干时段的指标值为初始状态，结合其相应的各阶转移概率矩阵即可预测出该时段指标值的状态概率 (6)将同一状态的各预测概率求和作为指标值处于该状态的预测概率，即 ,所对应的i即为该时段指标值的预测状态。待该时段的指标值确定之后，将其加入到原序列之中，再重复步骤"(1)一(6)"，可进行下时段指标值状态的预测。
实验7：马尔柯夫预测 7.1实验目的 1、了解状态及状态转移的概念，理解马尔科夫链定义和性质，能根据具体实例和研究目的划分状态； 2、掌握用Excel 软件计算一步转移概率矩阵的全过程； 3、掌握利用Excel 软件进行马尔科夫链、市场占有率、马尔科夫稳态的相关预测。 7.2实验原理 7.2.1 马尔柯夫预测的基本原理 马尔可夫预测法是马尔科夫过程和马尔科夫链在经济预测领域的一种应用，这种方法通过对事物状态划分、研究各状态的初始概率和状态之间转移概率来预测事物未来状态变化趋势，以预测事物的未来。 7.2.1．1马尔可夫链 若时间和状态参数都是离散的马尔科夫过程，且具有无后效性，这一随机过程为马尔可夫链。无后效性可具体表述为如果把随机变量序列{}(),Y t t T ∈的时间参数s t 作为“现在”，那么s t t >表示“将来”，s t t <表示“过去”，那么，系统在当前的情况()s Y t 已知的条件下，()Y t “将来”下一时刻所处的的情况与“过去”的情况无关，随机过程的这一特性称为无后效性。 7.2.1．2状态及状态转移 1、状态是指客观事物可能出现或存在的状况。在实际根据研究的不同事物、不同的预测目的，有不同的预测状态划分。 （1）预测对象本身有明显的界限，依状态界限划分。如机器运行情况可以分为“有故障”和“无故障”两种状态，天气有晴、阴、雨三种状态。（2）研究者根据预测事物的实际情况好预测目的自主划分。如：公司产量按获利多少人为的分为畅销、一般销售、滞销状态。这种划分的数量界限依产品不同而不同。 2、状态转移是指所研究的系统的状态随时间的推移而转移，及系统由某一时期所处的状态转移到另一时期所处的状态。发生这种转移的可能性用概率描述，称为状态转移概率 7.2.2状态转移概率矩阵及计算原理 1、概念：状态转移概率指假如预测对象可能有E 1，E 2，…，E n 共n 种状态，
开题报告 数学与应用数学 马尔可夫链预测方法及其一类应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义 概率论自1654年创立以来, 已由最初的博弈分析问题发展成为现今的方法论综合性学科. 而其中随机过程已经是现代概率论发展的必然性. 在这其中, 马尔可夫在1906年的"大数定理关于相依变量的扩展"（Extension de la loi de grands bombers etc）论文中首次创立的马尔可夫链已经成为了概率论的重中之重. 马尔可夫是世界上著名的数学家、社会学家. 他所研究的范围非常的广泛, 涉及到概率论、数论、数的集合、函数逼近论、数理统计、微分方程等方面. 马尔可夫在1906~1912年间, 他提出并研究了一种能用数学分析方法研究自然过程的一般图示, 后人把这种图示以他的姓氏命名为马尔可夫链(Markov Chain). 在当时, 马尔可夫开创性地采用了一种对无后效性的随机过程的研究范式, 即在已知当前状态的情况下, 过程的未来状态与其过去状态无关, 这就是现在大家非常熟悉了解的马尔可夫过程. 在现实生活当中, 有许多过程都能被看作成马尔可夫过程. 如软件可靠性测试、传染病受感染的人数、农村剩余劳动力流动趋势预测、液体中微粒所作的布朗运动、产品市场占有率及利润率的变动等等. 也正是由于马尔可夫链在生活中所具有的普遍存在性, 马尔可夫链理论才被广泛应用于近代的物理学, 生物学, 地质学, 计算机科学, 公共事业, 教育管理、经济管理、以及企业人员管理、桥梁建筑等各个领域. 马尔可夫链运用数学模型对定性问题进行预测提供了一种思路, 丰富了预测的内容. 其大体上可以分为以下几个步骤: 首先, 把现象看作成为一个系统, 并对该系统进行科学的划分. 根据系统的实际和需要划分出多个状态, 系统所划分出来的各个状态就是要预测的内容. 其次, 对现象各种状态的状态概率进行统计测定, 也就是判定出系统当前处于什么状态. 然后, 对各系统未来发展的每次转移概率进行预测, 就是要确定出系统是如何转移的. 最后, 根据系统当前的各种状态和转移概率矩阵, 推测出系统经过若干次转移后, 到达
马尔可夫链预测方法 一、基于绝对分布的马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，用步长为一的马尔可夫链模型和初始分布推算出未来时段的绝对分布来做预测分析方法，称为“基于绝对分布的马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“ADMCP 法”。其具体方法步骤如下: 1．计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准，即确定马尔可夫链的状态空间I ，这可根据资料序列的长短及具体间题的要求进行。例如，可用样本均方差为标准，将指标值分级，确定马尔可夫链的状态空间 I =[1, 2，…，m ]； 2．按步骤1所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态； 3．对步骤2所得的结果进行统计计算，可得马尔可夫链的一步转移概率矩阵1P ，它决定了指标值状态转移过程的概率法则； 4．进行“马氏性” 检验； 5．若以第1时段作为基期，该时段的指标值属于状态i ，则可认为初始分布为 (0)(0,,0,1,0,0)P = 这里P (0)是一个单位行向量，它的第i 个分量为1，其余分量全为0。于是第2时段的绝对分布为 1(1)(0)P P P =12((1),(1),,(1))m p p p = 则第2时段的预测状态j 满足：(1)max{(1),}j i p p i I =∈； 同样预测第k ＋1时段的状态，则有 1()(0)k P k P P =12((),(),,())m p k p k p k = 得到所预测的状态j 满足: ()max{(),}j i p k p k i I =∈ 6．进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。 二、叠加马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，利用各种步长的马尔可夫链求得的绝对分布叠加来做预测分析，的方法，称为“叠加马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“SPMCP 法’。其具体方法步骤如下: 1) 计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准(相当于确定马尔可夫链的状态空间)，可根据资料序列的长短及具体问题的要求进行； 2) 按1)所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态； 3) 对2)所得的结果进行统计，可得不同滞时(步长)的马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程的概率法则； 4) 马氏性检验； 5) 分别以前面若干时段的指标值为初始状态，结合其相应的各步转移概率矩阵即可预测出该时段指标值的状态概率 (6)将同一状态的各预测概率求和作为指标值处于该状态的预测概率，即 ,所对应的i 即为该时段指标值的预测状态。待该时段的指标值确定之后，将其加 入到原序列之中，再重复步骤"(1)一(6)"，可进行下时段指标值状态的预测。 (7)可进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。
马尔科夫预测与决策法
马尔科夫预测与决策法——是应用随机过程中马尔科夫链的理论和方法研究分析有关经济现象变化规律并借此对未来进行预测和决策的一种方法。 池塘里有三张荷叶，编号为1，2，3，假设有一只青蛙随机地在荷叶上跳来跳去。在初始时刻t ，它在第二张荷叶上。在时 ，它有可能跳到第一张或者第三张荷叶上，也有可能在原刻t 1 地不动。我们把青蛙某个时刻所在的荷叶称为青蛙所处的状态。这样，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态有关，与它以前所处的状态无关。实际上青蛙在一段时间内在荷叶间跳或不跳的过程就是一个马尔科夫过程。 2010年6月6日Sunday2
马尔可夫性与转移概率矩阵 一个过程或系统在未来时刻的状态只依赖于现状时刻的状态，而与以往更前的时刻无关，这一特性就成为无后效性（无记忆性）或马尔可夫性（简称马氏性）。换一个说法，从过程演变或推移的角度上考虑，如果系统在时刻的状态概率，仅依赖于当前时刻的状态，而与如何达到这个状态的初始概率无关，这一特性即马尔可夫性。 2010年6月6日Sunday3
设随机变量序列，{X ,X2, ···,X n, ···},它的状态集合记为 1 S= {s1,s2 , ···, s n, ···} 若对任意的k和任意的正整数i , i2 , ···,i k, i k+1,有下式成 1 立： P{X k+1= s ik+1| X1= s i1, X2= s i2, ···X k= s ik} = P{X k+1= s ik+1| X k= s ik} ,X2, ···,X n, ···} 为一个马尔可夫则称随机变量序列{X 1 链（Markov chains）。 2010年6月6日Sunday4
实验4：马尔柯夫预测 实验目的 1、了解状态及状态转移的概念，理解马尔科夫链定义和性质，能根据具体实例和研究目的划分状态； 2、掌握用Excel 软件计算一步转移概率矩阵的全过程； 3、掌握利用Excel 软件进行马尔科夫链、市场占有率、马尔科夫稳态的相关预测。 实验原理 马尔柯夫预测的基本原理 马尔可夫预测法是马尔科夫过程和马尔科夫链在经济预测领域的一种应用，这种方法通过对事物状态划分、研究各状态的初始概率和状态之间转移概率来预测事物未来状态变化趋势，以预测事物的未来。 马尔可夫链 若时间和状态参数都是离散的马尔科夫过程，且具有无后效性，这一随机过程为马尔可夫链。无后效性可具体表述为如果把随机变量序列{}(),Y t t T ∈的时间参数s t 作为“现在”，那么s t t >表示“将来”，s t t <表示“过去”，那么，系统在当前的情况()s Y t 已知的条件下，()Y t “将来”下一时刻所处的的情况与“过去”的情况无关，随机过程的这一特性称为无后效性。 状态及状态转移
1、状态是指客观事物可能出现或存在的状况。在实际根据研究的不同事物、不同的预测目的，有不同的预测状态划分。 （1）预测对象本身有明显的界限，依状态界限划分。如机器运行情况可以分为“有故障”和“无故障”两种状态，天气有晴、阴、雨三种状态。（2）研究者根据预测事物的实际情况好预测目的自主划分。如：公司产量按获利多少人为的分为畅销、一般销售、滞销状态。这种划分的数量界限依产品不同而不同。 2、状态转移是指所研究的系统的状态随时间的推移而转移，及系统由某一时期所处的状态转移到另一时期所处的状态。发生这种转移的可能性用概率描述，称为状态转移概率 状态转移概率矩阵及计算原理 1、概念：状态转移概率指假如预测对象可能有E 1，E 2，…，E n 共n 种状态，其每次只能处于一种状态i E ，则每一状态都具有n 个转向（包括转向自身），即：1i E E →1 、2i E E →、 、i n E E →，将这种 转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。最基本的是一步转移概率(|)j i P E E ，它表示某一时间状态i E 经过一步转移到下一时刻状态 j E 的概率，可以简记为ij P 。 2、状态转移概率矩阵P 系统全部一次转移概率的集合所组成的矩阵称为一步转移概率矩阵，简称状态转移概率矩阵
基于马尔科夫链对股票价格预测 一、选题背景 股票市场是经济发展的“晴雨表”和“警报器”，它的作用一直受到政府和广大投资者的广泛关注。一方面，股票投资者希望更准确的掌握股价变化趋势，这样才能获得更多的利润并合理规避风险；另一方面，作为一个宏观调控者，国家也需要了解股票价格走向，对国家的经济建设具有重大意义。综上，对股票价格市场的研究及预测是有着其理论意义和广阔的应用前景的。 我国的第一支股票于1985年发行，现在已经有沪、深两大交易所，上百家证券公司，3000多个证券营业部，7000多万证券投资者。随着科技的不断进步，计算机和网络技术在股票市场上越来越得以应用，更加促进了股票市场的发展。但进入21世纪后，中国股市几乎一直处于危机的状态。而随着时代不断向前发展，危机也在逐步扩散和加深，进而成为由多种因素形成的复合危机。长久以来，我国股市制度缺陷被忽视，使得市场里的消极的因素不断积聚，最后演变成今天较为严重的危机。 股票是市场经济不断发展的产物，并通过发行与交易反过来促使市场经济向前发展。由于股票市场行情受多方面的影响，规律复杂，同时投资者的结构有着其特殊性，不同类型的投资者个人心理状态不尽相同，产生不同的股票交易行为，从而引起股价波动，
难以掌控。 股票市场价格波动，股市才能运行。分析影响股价的因素，不仅可以为投资者提供依据，还可以对股票市场进行把握以促进其发展。由于国家经济正快速向前发展，股民人数也在逐年攀升，股票价格预测的需求也更加迫切了。所谓预测，就是要用历史的数据挖掘信息，来估计未来的情况，做下一步打算，这便是模糊数据所要完成的工作。而马尔科夫链模型模糊数学中应用较为广泛的一个方法。 二、马尔科夫法 （一）马尔科夫链 马尔科夫链，是数学领域中具有马尔科夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前指示或信息的情况下，过去（即现在时期以前的历史状态）对与预测将来（即现在时期以后的状态）是无关的。如果n个连续变动事物在变动过程中，其中任一次变动的结果都具有无后效性，那么，这n个连续变动事物的集合就叫做马尔科夫链，这类事物演变的过程称为马尔科夫过程。（二）马尔科夫模型 公式为Sk+1=Sk·P，其中Sk是预测对象在t=k时刻的状态向量；P为为一步转移概率矩阵；Sk+1是预测的结果。 S(k+1)=S(0)·Pk+1=S(k)·■ （三）状态转移概率 客观事物可能有E1，E2，…，En共n种状态，其每次只能处于
随机过程报告记录——马尔可夫链
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马尔可夫链 马尔可夫链是一种特殊的随机过程，最初由A.A .M arkov 所研究。它的直观背景如下:设有一随机运动的系统E (例如运动着的质点等)，它可能处的状态记为 ,....E ,...,E ,E n 10总共有可数个或者有穷个。这系统只可能在时刻t=1,2,…n,…上 改变它的状态。随着∑的运动进程，定义一列随机变量Xn,n=0,1, 2, ?其中Xn=k ，如在t=n 时，∑位于Ek 。 定义1.1 设有随机过程}{T n X n ∈，，若对任意的整数T n ∈和任意的 ,,...,110I i i i n ∈+条件概率满足 }i {},...,i X i {1n 100 01n 1n n n n n n i X X P i X X P ======++++ 则称}{T n X n ∈，为马尔可夫链，简称为马氏链。 实际中常常碰到具有下列性质的运动系统∑。如果己知它在t=n 时的状态，则关于它在n 时以前所处的状态的补充知识，对预言∑在n 时以后所处的状态，不起任何作用。或者说，在己知的“现在”的条件下， “将来”与“过去”是无关的。这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性”，或者称为“无后效性”。 假设马尔可夫过程}{T n X n ∈，的参数集T 是离散时间集合，即T={0,1,2,…},其相应Xn 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I={1,2,..}。 定义1.2 条件概率 }{P 1)(i X j X p n n n ij ===+ 称为马尔可夫链}{T n X n ∈，在时刻n 的一步转移矩阵，其中i ，j ∈I ，简称为转 移概率。 一般地，转移概率)(P n ij 不仅与状态i,j 有关，而且与时刻n 有关。当)(P n ij 不依赖于时刻n 时，表示马尔可夫链具有平稳转移概率。若对任意的i ，j ∈I ，马尔可夫