两个平面平行的判定和性质
一.选择题
1.α,β是两个不重合的平面,b a ,是两条不同的直线,在下列条件下,可判断βα//的是 A.α,β都平行于直线b a , B.α内有三个不共线的点到β的距离相等 C.b a ,是α内两条直线,且ββ//,//b a D.b a ,是异面直线,且ββαα//,//,//,//b a b a
2. 已知:n m ,表示两条直线,γβα,,表示平面,下列命题中正确的个数是 ( ) ①若βαγβγα//,//,,则且n m n m =?=?
②若n m ,相交且都在α,β外,βαβα//,//,//,//n n m m ,则βα// ③若,//,//βαm m 则βα// ④若,//,//,//n m n m 且βα则βα//
A.1 个
B.2个
C.3个
D.4个 3. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成角θ的取值范围是（ ） A.2
0π
θ<
< B.2
0π
θ≤
< C.3
0π
θ≤
≤ D.3
0π
θ≤
<
4. 给出下列四个命题:
①夹在两个平行平面间的线段中,较长的线段与平面所成的角较小; ②夹在两个平行平面间的线段相等,则它们与两个平面所成的角相等; ③夹在两个平行平面间的线段相等,则这两线段必平行;
④夹在两个平行平面间的平行线段必相等.其中正确的命题有( )
A.①②④
B.②③④
C.①③
D.④ 二.填空
5.如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是
6.如果βα//，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AC AB ⊥，且2=AB ，直线AB 与平面α所成的角为?30，则线段AC 长的取值范围为 .
7.(1)直线b a //，α平面//a ，则b 与平面α的位置关系是_____________．
(2)A 是两异面直线a 、b 外的一点，过A 最多可作___________个平面同时与a 、b 平行．
三、解答题
8.如图，βα//，AB βα，交于A 、B ，CD βα，交 于C 、D ，AB ?CD ＝O ，O 在两平面之间，
AO ＝5，BO ＝8，CO ＝6．求CD ．
9.如图，已知平面α∥平面β，线段PQ 、PF 、QC 分别交平面α于A 、B 、C 、点，交平面β于D 、F 、E 点，PA ＝9，AD ＝12，DQ ＝16，△ABC 的面积是72， 试求△DEF 的面积．
10.如图，平面α∥平面β，111,ABC A B C ??分别在,αβ，线段AA 1、BB 1、CC 1交于点O ，O 在,αβ之间，若AB ＝2AC ＝2，∠BAC ＝60°，OA :OA 1＝3:2． 求111A B C ?的面积．
Q F D E C A B α β P B 1 A 1
C 1 β
α B
C
A O
两个平面平行的判定和性质（一） ●教学目标 (一)教学知识点 1．两个平面的位置关系． 2．两个平面平行的判定方法． (二)能力训练要求 1．等价转化思想在解决问题中的运用． 2．通过问题解决提高空间想象能力． (三)德育渗透目标 1．渗透问题相对论观点． 2．通过问题的证明寻求事物的统一性． ●教学重点 两个平面的位置关系；两个平面平行的判定． ●教学难点 判定定理、例题的证明． ●教学方法 启发式 在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程． 平面的位置关系也需以实物(教室)为例，启发诱思完成．通过师生互议，解决例1问题． ●教具准备 投影片两张 第一张：(记作§9．5．1 A) 第二张：(记作§9．5．1 B)
●教学过程 Ⅰ．复习回顾 师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理． 性质定理：归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题． 立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会． 下面继续研究面面位置关系． Ⅱ．讲授新课 1．两个平面的位置关系 除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系． ［师］观察教室前、后两个面，左、右两个面及上、下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的．［师］打开教材竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线．观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线．结合生观察教室的结论，引导其寻找平面公共点，然后给出定义． 定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行． 如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线． 两个平面的位置关系只有两种： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线． ［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β． 下面给出两个示意图，同学们考虑哪个较直观？ ［生］图(1)较直观，图(2)不直观． ［师］从以上两种画法，告诉我们画图过程中应注意什么？图(2)为何不直观？
典型例题一例1：已知正方体ABCD - A1B1C1D1. 求证：平面 AB1D111平面C1BD . 证明：T ABCD - A1B1C1D1 为正方体, ??? D1A//C1B , 又C1B 平面C1BD , 故D1A// 平面 C1BD . 同理D1B1 //平面C1BD . 又D1A D1B1 D1 , ???平面AB1D1// 平面C1BD . 说明：上述证明是根据判定定理1实现的.本题也可根据判定定理2证明，只需连接AC 即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离. 典型例题二 例2:如图，已知// , A a, A 求证：a . 证明：过直线a作一平面，设 b . ?/ // ??? a1 // b 又a//
? a//b 在同一个平面内过同一点A有两条直线a,a1与直线b平行? a与a1重合，即a
说明：本题也可以用反证法进行证明. 典型例题三 例3:如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一 个也相交. 已知：如图，// ,1 A. 求证：I与相交. 证明：在上取一点B，过I和B作平面，由于与a有公共点 A , 与有公共点 B . ???与、都相交. 设a, b . ?/ // ? a//b 又I、a、b都在平面内，且I和a交于A . T I与b相交. 所以I与相交. 典型例题四 例4:已知平面// , AB , CD 为夹在a ,间的异面线段，E、F分别为AB、CD的中点. 求证：EF〃, EF // . 证明：连接AF并延长交于G . ??? AG CD F ? AG , CD确定平面，且 DG .
?/// ，所以AC//DG , ACF GDF , 又AFC DFG , CF DF , ??? △ ACF ◎△ DFG ? ??? AF FG ? 又AE BE , ? EF//BG, BG ? 故EF // ? 同理EF // 说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理. 典型例题六 例6如图，已知矩形ABCD的四个顶点在平面上的射影分别为A1、B1、G、D1，且A、B i、C i、D i互不重合，也无三点共线. 求证：四边形A i B i C i D i是平行四边形. 证明：T AA , DD i ?- AA // DD i 不妨设AA和DD i确定平面 . 同理BB i和 CC i确定平面 又AA i // BB i，且BB i ? AA // 同理AD // 又AA i AD A // A D i, B i C i
两个平面平行的判定和性质 一.选择题 1.α,β是两个不重合的平面,b a ,是两条不同的直线,在下列条件下,可判断βα//的是 A.α,β都平行于直线b a , B.α内有三个不共线的点到β的距离相等 C.b a ,是α内两条直线,且ββ//,//b a D.b a ,是异面直线,且ββαα//,//,//,//b a b a 2. 已知:n m ,表示两条直线,γβα,,表示平面,下列命题中正确的个数是 ( ) ①若βαγβγα//,//,,则且n m n m =?=? ②若n m ,相交且都在α,β外,βαβα//,//,//,//n n m m ,则βα// ③若,//,//βαm m 则βα// ④若,//,//,//n m n m 且βα则βα// A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 3. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成角θ的取值范围是（ ） A.2 0π θ< < B.2 0π θ≤ < C.3 0π θ≤ ≤ D.3 0π θ≤ < 4. 给出下列四个命题: ①夹在两个平行平面间的线段中,较长的线段与平面所成的角较小; ②夹在两个平行平面间的线段相等,则它们与两个平面所成的角相等; ③夹在两个平行平面间的线段相等,则这两线段必平行; ④夹在两个平行平面间的平行线段必相等.其中正确的命题有( ) A.①②④ B.②③④ C.①③ D.④ 二.填空 5.如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是 6.如果βα//，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AC AB ⊥，且2=AB ，直线AB 与平面α所成的角为?30，则线段AC 长的取值范围为 . 7.(1)直线b a //，α平面//a ，则b 与平面α的位置关系是_____________． (2)A 是两异面直线a 、b 外的一点，过A 最多可作___________个平面同时与a 、b 平行． 三、解答题 8.如图，βα//，AB βα，交于A 、B ，CD βα，交 于C 、D ，AB ?CD ＝O ，O 在两平面之间，
平面与平面平行的判定教案 文昌中学数学组曾叶 教学目标 1.使学生理解和掌握两个平面平行的判定定理及应用； 2.加深学生对转化的思想方法的理解及应用. 教学重点和难点 重点:两个平面平行的判定定理； 难点:两个平面平行的判定定理的证明. 教学设计过程 一、复习提问 师:上节课我们研究了两个平面的位置关系，请同学们回忆一下，两个平面平行的意义是什么？ 生:两个平面没有公共点. 师:对，如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的直线与另一个平面具有怎样的位置关系呢? 生:平行. 师:为什么? 生:用反证法，假设不平行，则这些线中至少有一条和另一个平面有公共点或在另一个面内，而此两种情况都说明这两个平面有公共点，与两个面平行矛盾. 师:证得很好.反过来，如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行.由以上结论，就可以把两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线和另一个平面平行的问题.但要注意:两个平面平行，虽然一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，但
这两个平面内的所有直线并不一定互相平行，它们可能是平行直线也可能是异面直线，但不可能是相交直线. 〔对旧知识复习，又有深入，同时又点出了“转化”的思想方法，为引入新课作铺垫〕二、新课 师:接下来，我们共同对两个平面平行作定性研究，先来研究两个平面平行的判定——具有什么条件的两个平面是平行的呢? 生:根据两个平面平行的定义，只要能证明一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，就可得出两个平面平行. 师:很好，实质就是由线面平行来得到面面平行.而实际上，判定两个平面平行，并不需要一个平面内的所有直线都平行于另一个平面. 下面我们共同研究判定两个平面平行的其它方法，请大家思考以下几个命题. (1)平面α内有一条直线与平面β平行，则α∥β，对吗? (2)平面α内有两条直线与平面β平行，则α∥β，对吗? 〔学生讨论回答，并举出反例，得(1)，(2)不对，教师接着问〕 (3)平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥β，对吗? 〔教师对学生的回答，作出适当评述〕 师:以上三个命题均为假命题，那么，怎样修改一下命题的条件，就可得出正确结论? 〔学生讨论后，教师请一名同学回答〕 生:把条件改为:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面. 师:说说你的想法. 生:我想，两条相交直线确定一个平面，若它们分别与另一个平面平行，则所确定的平面也一定与这个平面平行. ［此是学生的猜想，教师给予肯定，并引导学生进行严格论证］ 师:下面我们来证明.先把命题完整的表述出来.
两个平面平行的判定和性质 年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____ 一、选择题(共21题，题分合计105分) 1.夹在两平行平面之间的两条线段的长度相等的充要条件是 A.两条线段同时与平面垂直 B.两条线段互相平行 C.两条线段相交 D.两条线段与平面所成的角相等 2.平面α与平面β平行,它们之间的距离为d (d >0),直线a 在平面α内,则在平面β内与直线a 相距2d 的直线有 A.一条 B.二条 C.无数条 D.一条也没有 3.以下四个命题:①P A ?PB 是平面α的两条相等的斜线段,则它们在平面α内的射影必相等;②平面α内的两条直线l 1? l 2,若l 1?l 2均与平面β平行,则α//β;③若平面α内有无数个点到平面β的距离相等,则α//β;④α?β为两相交平面,且α不垂直于β,α内有一定直线a ,则在平面β内有无数条直线与a 垂直.其中正确命题的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.已知直线l ⊥平面α,直线m 平面β,有下列四个命题:(1) α∥β?l ⊥m ;(2) α⊥β?l ∥m ;(3)l ∥m ?α⊥β;(4)l ⊥ m ?α∥β,其中正确的两个命题是: A.(1)与 (2) B.(1)与(3) C.(2)与(4) D.(3)与(4)
5.两个平面平行的条件是 A.一个平面内一条直线平行于另一个平面 B.一个平面内两条直线平行于另一个平面 C.一个平面内的无数条直线平行于另一个平面 D.一个平面内的任一条直线平行于另一个平面 6.两平面α与β平行,α ? a,下列四个命题中 ①α与β内的所有直线平行 ②α与β内的无数条直线平行 ③α与β内的任何一条直线都不垂直 ④α与β无公共点 其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 7.给出下列命题: ①平行于同一条直线的两平面平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,则这两个平面平行④一条直线和两个平面所成的角相等,则这两个平面平行. 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 8.在下列条件中,可判断平面α与β平行的是 A.α?β都垂直于平面r. B.α内存在不共线的三点到β的距离相等. C.l,m是α内两条直线,且l∥β,m∥β. D.l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β. 9.给出下列命题: ①平行于同一条直线的两平面平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,则这两个平面平行④一条直线和两个平面所成的角相等,则这两个平面平行. 其中真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 10.给出以下命题: (1)平面α∩平面β=直线l,点P∈α,点P∈β,则P∈l (2)过平面的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个
两个平面平行的判定和性质 9.5两个平面平行的判定和性质（3） 教学内容： 1、两个平面的位置关系 2、两个平面平行的判定和性质 教学目标： 分清两个平面的位置关系：能利用两个平面平行的判定定理以及课本中例1来判定两个平面平行；能根据两个平面平行的性质定理证明两条直线互相平行；能利用课本中例2证明直线和平面垂直；理解两个平行平面的距离这一概念，能求两平面间的距离。 教学过程： 一、知识讲解： 没有公共点--两平面平行 1、两个平面的位置关系有两种： 有一条公共直线--两平面相交 画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。 2、证明两平面平行的方法： （1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。
（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是： a∩b，a α，b α，a∥β，b∥β，则α∥β． （3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是： a⊥α，a⊥β则α∥β． （4）平行于同一个平面的两个平面平行 . 3、两个平面平行的性质有五条： （1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为： "面面平行，则线面平行"。用符号表示是：α∥β，a α，则a∥β． （2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为： "面面平行，则线线平行"。用符号表示是：α∥β， α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b． （3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证 线面垂直。用符号表示是：α∥β，a⊥α，则a⊥β．（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。（课本P38练习第3题） （5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。（课本
直线与平面、平面与平面平行的判定 [学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题. 知识点一直线与平面平行的判定定理 语言叙述符号表示图形表示 平面外一条直线与此平面内的一条直线平 行，则该直线与此平面平行 ?? ? ?? a?α b?α a∥b ?a∥α 思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？ 答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误. 知识点二平面与平面平行的判定定理 语言叙述符号表示图形表示 一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行 ?? ? ?? a?α，b?α a∩b＝A a∥β，b∥β ?α∥β 思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内. 题型一直线与平面平行的判定定理的应用 例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、 DA的中点. 求证：(1)EH∥平面BCD； (2)BD∥平面EFGH. 证明(1)∵EH为△ABD的中位线， ∴EH∥BD.
∵EH?平面BCD，BD?平面BCD， ∴EH∥平面BCD. (2)∵BD∥EH，BD?平面EFGH， EH?平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 跟踪训练1在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC. 证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两 点，连接PQ. 因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心， 所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1. 所以MN∥PQ. 又因为MN?平面ADC，PQ?平面ADC， 所以MN∥平面ADC. 题型二面面平行判定定理的应用 例2如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1. 证明由棱柱性质知， B1C1∥BC，B1C1＝BC， 又D，E分别为BC，B1C1的中点， 所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形， 因此EB∥C1D， 又C1D?平面ADC1， EB?平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1. 连接DE，同理，EB綊BD，
§9.2.2 直线、平面平行的判定（2） 3、直线与平面 时间：2018、12、7 （总第65课时） 一、教学目标： 1、知识与技能 理解并掌握两平面平行的判定定理。 2、过程与方法 让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定。 3、情感、态度与价值观 进一步培养学生空间问题平面化的思想。 二、教学重点、难点 重点：两个平面平行的判定。 难点：判定定理、例题的证明。 三、学法与教学用具 1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出两平面平行的判定。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 （一）创设情景、引入课题 引导学生观察、思考教材第57页的观察题，导入本节课所学主题。 （二）研探新知 1、问题： （1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？ （2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？ 通过长方体模型，引导学生观察、思考、交流，得出结论。 两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： a β b β
a∩b = P β∥α a∥α b∥α 教师指出：判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2、例2 引导学生思考后，教师讲授。 例子的给出，有利于学生掌握该定理的应用。 （三）自主学习、加深认识 练习：教材第59页1、2、3题。 学生先独立完成后，教师指导讲评。 （四）归纳整理、整体认识 1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件？ 2、在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方，请向老师提出。（五）作业布置 第65页习题2.2 A组第7题。 板书设计： 1、定义 2、判定 3、性质
《平面与平面平行的判定》同步练习 一、选择题；班级姓名 1．设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有( ) ①l?α,m?α,且l∥β,m∥β；②l?α,m?α,且l∥m；③l∥α,m∥β,且l∥m A 1个 B 2个 C 3个 D 0个 2．已知：命题：P：α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等；命题：Q：α∥β，则下面成立的是（） A P?Q ，P?Q B P?Q，P?Q C P?Q， D P?Q，P?Q 3．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（） ①α，β分别过两条平行直线；②a，b为异面直线，α过a平行b，β过b平行a； A ① B ② C ①② D 无 4．下列命题中为真命题的是（） A 平行于同一条直线的两个平面平行 B 垂直于同一条直线的两个平面平行 C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行． D若三条直线a、b、c两两平行，则过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c都平行． 5．下列命题中正确的是( ) ①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行； ③垂直于同一直线的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行 A ①② B ②③ C ③④ D ②③④ 二、填空题； 6．下列命题中正确的是（填序号）； ①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； ②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
C M B A 1 B 1 C 1 A ③平行于同一直线的两个平面一定相互平行； ④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 ； 7． 若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是 ； 8． 如右图,点P 是光源,将投影片放在平面α内,问投影幕所在 平面β与平面α______时,投影图象的形状不发生变化. 三、解答题； 9. 如图：直三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 中，1==CB CA ，?=∠90BCA ，棱 21=AA ，M 、N 分别为A 1B 1、AB 的中点 求证：平面A 1NC ∥平面BMC 1 10．已知四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，P 为AC 上一点，且AP ： PC=2：1，求证：（1） BD ∥面CMN ；（2）平面MNP//平面BCD. C D A M N P
线面、面面关系的判定与性质 一、线面关系的转换网络图 1﹒线线平行： （1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性）﹒ （4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 这条直线和交线平行（线面平行→线线平行）﹒ （6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行 →线线平行）﹒ （12）线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行﹒ 2﹒线线垂直： （9）线面垂直的性质：一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线（线面垂直→线线垂直）其它判定方法：利用平面几何中证明线线垂直的方法（如勾股定理，等腰直角三角形底边上的高，正方形（菱形）的对角线等）﹒ 3﹒线面平行： （2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行（线线平行→线面平行）﹒ （5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行→线 面平行）﹒ 4﹒线面垂直： （7）线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面（线线 垂直→线面垂直）﹒ （11）线面垂直的判定定理推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个 平面﹒ （14）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面﹒
（10）面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个 平面（面面垂直→则线面垂直）﹒ 5﹒面面平行： （4）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行（线面 平行→面面平行）﹒ （13）定理：垂直于同一条直线的两个平面平行﹒ 6﹒面面垂直： （8）面面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，另一个平面过这条线，则这两个平面垂直 （面面垂直→则线面垂直）﹒ 7.直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 这个角的范围为]90,0[0 . （2）斜线与平面成角计算一般步骤： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把这个角放在三角形中计算. 注：斜线PA 与平面α所成的角为PAB ∠，其中α平面⊥PB . 二、典型例题 例1：三棱锥ABC P -中，ABC PA 平面⊥， 0 90=∠BAC ，证明：PAC BA 平面⊥. （判定定理、定义） 变式1：三棱锥ABC P -中，PA AC ⊥，ABC ?满足0 90=∠BAC ， AC PA =，D 是边PC 的中点， 证明：DAB PC 平面⊥. （判定定理、定义、等腰三角形的高） C B A P C D A P B P A B α
平面与平面平行的判定 【教学目标】 1．掌握空间两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的定义； 2．掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化。 【教学重点】 两个平面平行的判定定理、性质定理 【教学难点】 两个平面平行的判定定理、性质定理的应用 【课时安排】 1课时 【教学过程】 一、复习引入： 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。 它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α?，a A α=，//a α。 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 推理模式：,,////l m l m l ααα???。 证明：假设直线l 不平行与平面α， ∵l α?，∴l P α=， 若P m ∈，则和//l m 矛盾， 若P m ?，则l 和m 成异面直线，也和//l m 矛盾， ∴//l α。 a α a α
3． 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 推理模式：//,,//l l m l m αβα β?=?。 证明：∵//l α，∴l 和α没有公共点， 又∵m α?，∴l 和m 没有公共点； 即l 和m 都在β内，且没有公共点，∴//l m 。 二、讲解新课： 1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行。 2．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的。 3．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行。 推理模式：：a β?，b β?，a b P =，//a α，//b α//βα?。 分析：这个定理从正面证(用定义)比较困难，所以考虑用反证法。 启发：（1）如果平面α和平面β不平行，那么它们的位置关系怎样？ （2）如果平面α和平面β相交，那么交线c 和平面β中的直线a 与b 各有怎样的位置关系？ （3）相交直线a 与b 都与交线c 平行，这合理吗？为什么？ 证明：假设c βα=， ∵a β?，//a α， ∴//a c ，同理//b c 。 即在平面β内过点P 有两条直线与c 平行，与公理4矛盾， ∴假设不成立，∴//βα。 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。 推理模式： ,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=??=???。 4．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 推理模式：//,,//a b a b αβγ αγβ==?。 证明：∵//,,a b αβαβ??，∴,a b 没有公共点， 又∵,a b γγ??，∴//a b 。 β α m l c P b a β α γ b a β α
两个平面平行的性质 一、教学目的：（1）掌握两个平面平行的性质；（2）能利用性质解决有关线线平行的问题； （3）明确两平行平面间的距离并求两平行平面间的距离. 二、教学重点、难点：两个平面平行的性质；利用性质解决有关线线平行的问题. 三、教学过程：1、复习：两个平面平行的判定方法： 2、两个平面平行的性质（1）：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. 3、两个平面平行的的性质（2）：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 4、练习：判断下列命题的真假，对真命题给出证明，对假命题举出反例. 1、;////,//,,βαββαα???n m n m 2、n m n m //,,//???βαβα； 3、βαβα//,//l l ??； 4、α内的任一直线都平行于βαβ//?. 四、典型例子分析： [例1]：求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 已知： 求证： [说明]：（1）βαβα⊥?? ??⊥l l //，可以用来判断直线与平面垂直依据. （2）和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线； （3）夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段； （4）两个平行平面的公垂线的长度叫做这两个平行平面的距离. α β l
[例2]：如图，b a ,是异面直线，,//,,//,αβααa b b a ?? （1） 求证：βα//； （2） 求证：b a ,间的距离等于平行平面α与平面β平面的距离. [说明]： 练习：求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等. [思考题]：AB 、CD 为夹在两个平行平面βα,间的异面线段，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，求证：MN//)//(βαMN . 作业：1 、一条直线和两个平行平面相交，求证它和两个平面所成的角相等. 2、两个平行平面之间的距离等于12cm ，一条直线和它们相交成060角，求这条直线上夹在这两个平面间的线段的长. α β a b
2、2、4 平面与平面平行的性质教案 【教学目标】 1、通过图形探究平面与平面平行的性质定理； 2、熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用； 3、进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力. 【教学重难点】 重点：通过直观感知, 操作确认, 概括并证明平面和平面平行的性质定理。 难点：平面和平面平行的性质定理的证明和应用。 【教学过程】 1、 教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出课前预习学案中的结论 结论：<1>结合长方体模型, 可知：或平行或异面； <2>直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平 行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行； <3>文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行； 符号语言：b a b a //,,//?=γ?β=β?αβα；图形语言如图所示： <4>应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.应用线面平 行性质定理的口诀：“见到面面平行, 先过某些直线作两个平面的交线.” 2、思考：如果平面βα//,那么平面α内的直线a 和平面β内的哪些直线平行？怎么找出这些直线？ (教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出结论) 结论：过直线a 做平面与平面β相交,则交线和a 平行. (在教师的启发下, 师生共同概括完成上述结论及证明过程, 从而得到两个平面平行的性质定理)。 3、平面和平面平行平行的性质定理 定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行。 符号表示： b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβαI I 证明： ==,,a b a b a b a b a b αγβγαβ αβ??因为∩，∩所以，又因为∥所以没有公共点又因为同在平面γ内所以∥ 教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 4、平面和平面平行的性质定理应用 例1:求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等. D C B A β α
平面与平面平行的判定与性质 、选择题 1平面a//平面3,点A、C € a,点B、D € 3,则直线AC //直线BD的充要条件是（） A . A B // CDB . AD // CB C．AB 与CD 相交D．A、B、C、D 四点共面 2. "内存在着不共线的三点到平面3的距离均相等"是“a 3的（） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件 D .既不充分也不必要的条件 3.平面a//平面3,直线a i,a P€ 3,则过点P的直线中（） A ?不存在与a平行的直线 B ?不一定存在与a平行的直线 C.有且只有一条直线与a平行 D.有无数条与a平行的直线 4.下列命题中为真命题的是（） A ?平行于同一条直线的两个平面平行 B .垂直于同一条直线的两个平面平行 C.若一个平面内至少有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行. D .若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有一个平面与b, c均平行. 5.已知平面a//平面3且a 3间的距离为d , I l,a l '则3与I之间的距离的取值范围为（） A . （d,?B. （d,+ ? C. {d} D . （0, s） 6.已知直线a、b、c i ,a且a// 3、b // 3 c// 3,贝U “、b、c到平面3的距离均相等"是“a 3的（）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件D .既不充分也不必要的条件 7.给出以下命题： ①夹在两个平行平面间的线段，较长的与平面所成的角较小； ②夹在两个平行平面间的线段，如果它们的长度相等，则它们必平行； ③夹在两个平行平面间的线段，如果它的长度相等，则它们与平面所成的角也相等； ④在过定点P的直线中，被两平行平面所截得的线段长为d的直线有且只有一条，则两平行平面间的距离 也为d 其中假命题共有（） A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4 个 &设％// 3, P€ a, Q€ 3当P、Q分别在平面％、3内运动时，线段PQ的中点X也随着运动，则所有的动点X （）聞創沟燴鐺險爱氇谴净。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 A .不共面 B ?当且仅当P、Q分别在两条平行直线上移动时才共面
《平面与平面平行的判定》的教学设计 一、教材分析 1.《课标》要求 几何学是研究现实世界中物体的形状，大小和位置关系的数学学科。本教材强调“直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算”是探索和认识空间图形及其性质的主要方法。高一阶段立体几何的学习更注重“直观感知，操作确认”并适度进行“思辨论证”。本节要求通过直观感知，操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理。借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理；直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行的性质与判定，并对某些结论进行论证，通过直观感知、操作确认，归纳出判定定理。 2.地位和作用 本课是在学生学习了平面的性质、线线关系、线面关系之后，且已具备一定数学能力和方法的基础上进行的。两个平面平行的判定定理是立体几何中的一个重要定理。它揭示了线线平行、线面平行、面面平行的内在联系，体现了转化的思想。通过本课的学习，不仅能进一步培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后继的知识学习中去，为以后学习面面垂直打下基础。所以，本课既是前期知识的发展，又是后继课程有关图形研究的前驱，在教材当中起到一个承上启下的作用。 二、教学内容分析: 本节教材选自人教A版数学必修②第二章第一节课，本节内容在立几学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，类比直线与平面平行的判定定理探究过程，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出平面与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用。 三、学情分析： 学生已有一些平面几何基础，在学习了线线、线面关系后，已具备了本节课所需的预备知识，具有一定的分析问题、解决问题的能力，并且空间想象能力，逻辑推理能力已初步形成。也学习了直线和平面平行的判定，本节课与上一节课的研究顺序和方法基本相同，学生也有了一定的研究经验。故在本节课的教学中可以充分利用学生已有的知识和空间构图的想象能力进行教学；但在如何发现判定两个平面平行的判定方法上存在难点，故可以借助教师事务的展示和多媒体课件的演示，使学生在一系列的设问中找到正确的结论 四、设计思想 本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出平面与平面平行的判定定理，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平
典型例题一 例1：已知正方体 1111-D C B A ABCD ． 求证：平面//11D AB 平面BD C 1． 证明：∵1111-D C B A ABCD 为正方体， ∴B C A D 11//， 又 ?B C 1平面BD C 1， 故 //1A D 平面BD C 1． 同理 //11B D 平面BD C 1． 又 1111D B D A D = ， ∴ 平面//11D AB 平面BD C 1． 说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接C A 1即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离． 典型例题二 例2：如图，已知βα//，a A ∈，α∈A β//a ． 求证：α?a ． 证明：过直线a 作一平面γ，设1a =αγ ， b =γβ ． ∵βα// ∴b a //1 又β//a ∴b a // 在同一个平面γ内过同一点A 有两条直线1,a a 与直线b 平行
∴a 与1a 重合，即α?a ． 说明：本题也可以用反证法进行证明． 典型例题三 例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交． 已知：如图，βα//，A l =α ． 求证：l 与β相交． 证明：在β上取一点B ，过l 和B 作平面γ，由于γ与α有公共点A ，γ与β有公共点B ． ∴γ与α、β都相交． 设a =αγ ，b =γβ ． ∵βα// ∴b a // 又l 、a 、b 都在平面γ内，且l 和a 交于A ． ∵l 与b 相交． 所以l 与β相交． 典型例题四 例4：已知平面βα//，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点． 求证： α//EF ，β//EF ． 证明：连接AF 并延长交β于G ． ∵F CD AG =
平面与平面平行的判定 一、学习内容分析 本节课选自《普通高中标准实验教科书—数学必修二》（人教版）第二章点、直线、平面之间的位置关系第二节直线、平面平行的判定及其性质，主要研究平面与平面平行的判定方法。根据课标要求和学生情况，本节课分为四个课时，今天学习第二课时。本节课是建立在学习空间中直线与直线、直线与平面位置关系基础上的一节课，并为后续学习平面与平面平行性质奠定基础。 教材首先通过观察三角板所在平面与桌面位置关系引入课题，然后将两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，体现数学中的转化思想。接着根据两个平面中直线的关系探究两个平面的位置关系，体现分类讨论思想，培养了学生自主探究的能力。 二、学习者分析 （1）从已有知识来看，学生已经学习了空间点、直线、平面之间的位置关系，掌握了直线与平面平行的判定定理； （2）从已有经验来看，学生已经掌握了分类讨论、转化的思想； （3）从已有能力来看，学生已经具有了自主探索、简单的空间想象能力。 但对于高二学生来说，他们初次接触空间立体几何，对于空间的部分问题仍有较大困惑，空间想象能力还不是很强。 三、教学目标 （1）知识与技能目标： ①通过直观感知，操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理； ②理解并掌握两平面平行的判定方法； ③能够运用两个平面平行的判定方法解决相关问题。 （2）过程与方法目标： ①通过观察相关模型以及实物，培养分析、归纳的能力； ②在探究平面与平面平行判定定理的过程中，体会分类讨论、转化的思想。（3）情感、态度与价值观目标： 在发现中学习，提高学习数学的积极性，培养主动探究、合作交流的意识 四、教学重难点 （1）教学重点：两个平面平行的判定； （2）教学难点：探究平面与平面平行的判定定理以及应用判定定理解决相关问题。 五、教学过程 （一）复习旧知，导入新课 问题一： ①平面几何中，判定两直线平行有哪几种方法？ ②直线与平面平行有哪些方法？ ③平面与平面有哪些位置关系？ 师生活动：教师提出问题，引导学生进行回答。 【设计意图】通过回顾两直线平行、直线与平面平行的判定方法引出平面与平面之间的关系，从而引入课题：平面与平面平行的判定。在探索平面与平面平行的判定定理以及应用定理进行证明过程中，仍然要用到直线平行以及直线与平面平
2.2.1 直线与平面平行的判定 ：知识要点 直线与平面平行的判断方法有两种 1 根据定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行 . （ 一般用反证法． ） 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平 面平行. （符号表示为： a ,b ,a//b a// . 图形如图所示） . 二：例题 判定定理证明：已知： a α， b α，且 a ∥b 求证： a∥α 例 1 ：求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另 外两边所在的平面。 已知：如图空间四边形 ABCD 中，E 、F 分 别是 AB 、 求证： EF ∥平面 BCD 证明： 例 2: 正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为 DD 1的中点，试判断 BD 1与平面 AEC 的位置 关系，说明理由 a A F 点 B C1 C B
三练习： 1. 判断下列说法是否正确，并说明理由． ○1 平面 外的一条直线 a 与平面 内的无数条直线平行则直线 a 和平面 平行； ○2平面 外的两条平行直线 a,b ，若 a// ，则b// ； ○3 直线a 和平面 平行，则直线 a 平行于平面 内任意一条直线； ○ 4 直线 a 和平面 平行，则平面 中必定存在直线与直线 a 平行． A. l 1 ∥α B. l 2 α C. l 2 ∥α或l 2 α D. l 2 与α相交 3．以下说法（其中 a ，b 表示直线， 表示平面） ①若 a ∥b ， b ，则 a ∥ ②若 a ∥ ，b ∥ ，则 a ∥b ③若 a ∥b ， b ∥ ，则 a ∥ ④若 a ∥ ，b ，则 a ∥b 其中正确说法的个数是（ ） . A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 4.已知a ，b 是两条相交直线， a ∥ ，则 b 与 的位置关系是（ ）. A. b ∥ B. b 与 相交 C. b α D. b ∥ 或 b 与 相交 5. 如果平面 外有两点 A 、B ，它们到平面 的距离都是 a ，则直线 AB 和平面 的 位置关系一定是（ ） . A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB 6．平面 与△ ABC 的两边 AB 、 AC 分别交于 D 、E ，且 AD ∶DB=AE ∶EC ，求证： BC ∥平面 . 7．P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， E 为PB 的中点， O 为 AC ， BD 的交点. （1）求证：EO ‖平面PCD ； （2）图中EO 还与哪个平 面平行？ 8. 在正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别为棱 BC 、C 1D 1的中点. 求证： EF ∥平面 BB 1D 1D 2. 已知直线 l 1、l 2 , 平面α, l 1 ∥l 2 , l 1∥α 那么 l 2 与平面 α 的关系是（ ）.