多元函数的极值与最值
1.求函数z=x3+y3?3xy的极值。
步骤:
1)先求驻点(另偏导数等于0,联立)
2)再求ABC
A=f xx(x0, y0)
B=f xy(x0, y0)
C=f yy(x0, y0)
3)(1)当B2-AC<0时,f(x,y)在点(x o,y o)处取得极值,
且当A<0时取得极大值f(x o,y o),当A>0时取得极小值f(x o,y o),当A<0时取得极大值f(x o,y o);
(2)当B2-AC>0时,f(x o, y o )不是极值;
(3)当B2-AC=0时,f(x o,y o)是否为极值不能确定,需另做讨论.
=3x2?3y=0
解:?z
?x
?z
=3y2?3x=0
?y
联立得驻点为(0,0),(1,1)
A=f xx(x0, y0)=6x(对x求偏导,再对x求偏导)
B=f xy(x0, y0)=-3(对x求偏导,再对y求偏导)
C=f yy(x0, y0)=6y(对y求偏导,再对y求偏导)
在点(0,0)处,A=0,B=-3,C=0,由B2-AC=9>0,故在此处
无极值。
在点(1,1)处,A=6,B=-3,C=0, B2-AC=-27<0,又因为
A>0,故在此处为极小值点,极小值为
F (1, 1) =x3+y3?3xy=?1
2.求函数f(x, y)=x2+(y?1)2的极值。
解:f x’=2x=0
F y’=2y-2=0
联立得驻点为(0,1)
A=f xx(x0, y0) =2
B=f xy(x0, y0) =0
C=f yy(x0, y0) =2
在点(0,1)处A=2,B=0,C=2由B2-AC=-4<0,又因为A>0,故在此处为极小值点,极小值为
F (0, 1) = 0
3.制造一个容积为a的无盖长方体,使之用料最少,则长宽高为多少?
解:另长宽高分别为x, y, z
故xyz=a, z=a
xy
S=xy+2(x a
xy +y a
xy
)=xy+2(a
y
+a
x
)
S x’=y+2(?a
x2
)=0
S y ’= x+2(?a
y
)=0
解得当X=Y=Z=3√2a的时候用料最少
多元函数的极值与最值 1.求函数z=x3+y3?3xy的极值。 步骤: 1)先求驻点(另偏导数等于0,联立) 2)再求ABC A=f xx(x0, y0) B=f xy(x0, y0) C=f yy(x0, y0) 3)(1)当B2-AC<0时,f(x,y)在点(x o,y o)处取得极值, 且当A<0时取得极大值f(x o,y o),当A>0时取得极小值f(x o,y o),当A<0时取得极大值f(x o,y o); (2)当B2-AC>0时,f(x o, y o )不是极值; (3)当B2-AC=0时,f(x o,y o)是否为极值不能确定,需另做讨论. =3x2?3y=0 解:?z ?x ?z =3y2?3x=0 ?y 联立得驻点为(0,0),(1,1) A=f xx(x0, y0)=6x(对x求偏导,再对x求偏导) B=f xy(x0, y0)=-3(对x求偏导,再对y求偏导) C=f yy(x0, y0)=6y(对y求偏导,再对y求偏导) 在点(0,0)处,A=0,B=-3,C=0,由B2-AC=9>0,故在此处
无极值。 在点(1,1)处,A=6,B=-3,C=0, B2-AC=-27<0,又因为 A>0,故在此处为极小值点,极小值为 F (1, 1) =x3+y3?3xy=?1 2.求函数f(x, y)=x2+(y?1)2的极值。 解:f x’=2x=0 F y’=2y-2=0 联立得驻点为(0,1) A=f xx(x0, y0) =2 B=f xy(x0, y0) =0 C=f yy(x0, y0) =2 在点(0,1)处A=2,B=0,C=2由B2-AC=-4<0,又因为A>0,故在此处为极小值点,极小值为 F (0, 1) = 0 3.制造一个容积为a的无盖长方体,使之用料最少,则长宽高为多少? 解:另长宽高分别为x, y, z 故xyz=a, z=a xy S=xy+2(x a xy +y a xy )=xy+2(a y +a x ) S x’=y+2(?a x2 )=0 S y ’= x+2(?a y )=0
定理10.2(函数取得极值的充分条件) 设函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的邻域内存在二阶连续 偏导数,且00(,)0x f x y =,00(,)0y f x y =.记00(,)xx f x y A =, 00(,)xy f x y B =,00(,)yy f x y C =,则有 (1) 当20A C B ->时,00(,)x y 是极值点.且当0A >时,000(,)P x y 为极小值点;当0A <时,000(,)P x y 是极大值点. (2) 当20A C B -<时,000(,)P x y 不是极值点. (3) 当20A C B -=时,不能判定000(,)P x y 是否为极值点,需要另外讨论. 证 (1) 利用二元函数的一阶泰勒公式,因 0000(,)(,)f x h y k f x y ++- 20000001(,)(,)(,)2x y f x y h f x y k h k f x h y k x y q q 轾抖犏=+++++犏抖臌, 01q << 由已知条件,00(,)0x f x y =,00(,)0y f x y =,故 20000001(,)(,)(,)2f x h y k f x y h k f x h y k x y q q 轾抖犏++-=+++犏抖臌 220000001(,)2(,)(,)2 xx xy yy f x h y k h f x h y k hk f x h y k k q q q q q q 轾=++++++++犏臌 利用矩阵记号, 记h r k 骣÷?÷?=÷?÷?÷桫,(,)r h k ¢=,0()A B Hf P B C 骣÷?÷?=÷?÷?÷桫 ,000(,)P r x h y k q q q +=++ 0000 0()()()()()xx xy xy yy f P r f P r Hf P r f P r f P r q q q q q 骣++÷?÷?+=÷?÷++÷?桫, 可改写上式为 00()()f P r f P +-000 0()()1(,)()()2xx xy xy yy f P r f P r h h k k f P r f P r q q q q 骣骣++÷÷??÷÷??=÷÷??÷÷++?÷÷?桫桫01()2r Hf P r r q ¢=+ 01q << (1) 进一步,又有 00()()f P r f P +-00011()[()()]22 r Hf P r r Hf P r Hf P r q ⅱ= ++- (2) 当20A C B ->且0A >时,二次型0()r Hf P r ¢正定,因此对于任何00h r k 骣骣÷÷??÷÷??= ÷÷??÷÷?麋桫桫,0()0r Hf P r ¢>。特别地,在单位圆{22(,)1}Q x y x y +=上,连续函数0()Q Hf P Q ¢ 取得的最小值0m >。 因此,对任何00h r k 骣骣÷÷??÷÷??= ÷÷??÷÷ ?麋桫桫,我们有 22 00()(())r r r Hf P r r Hf P r m r r ⅱⅱ = ¢ 另一方面,由于(,)f x y 二阶偏导数在点000(,)P x y 连续,对任何:02 m e e <<,总可取0d >,使得0r d ¢<<时,有 00()()xx xx f P f P r q e -+<,00()()xy xy f P f P r q e -+<,00()()yy yy f P f P r q e -+< 从而, 220000[()()][()()]2r Hf P r Hf P r r Hf P r Hf P r r r q q e ⅱ+-W+-? 于是,
1 设函数2 2(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值,试求常 数a ,并确定极值的类型. 2 求函数2 2 z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小 值. 3(04研) 设(,)z z x y =是由2 226102180x xy y yz z -+--+=确定的函 数,求(,)z z x y =的极值点和极值. 4 求函数23 u xy z =在条件x y z a ++=(其中,,,a x y z R + ∈)下的条 件极值.
1 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值,试求常数a ,并确定极值的类型. 分析 这是二元函数求极值的反问题, 即知道(,)f x y 取得极值,只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题. 解 因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在,因此点(1,1)-必为驻点, 则有 2(1,1) (1,1) (1,1)(1,1) 40220f x a y x f xy y ----??=++=??????=+=???, 因此有410a ++=,即5a =-. 因为 22 (1,1) 4f A x -?==?,2(1,1) (1,1) 22f B y x y --?= ==-??, 22 (1,1)(1,1) 22f C x y --?===?, 2242(2)40AC B ?=-=?--=>,40A =>, 所以,函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值. 2 求函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值. 分析 这是多元函数求最值的问题.只需要求出函数在区域内可能的极值点及在区域边界上的最大值和最小值点,比较其函数值即可. 解 由 20z x y x ?=-=?,20z y x y ?=-=?解得0x =,0y =,且(0,0)0z =. 在边界1,0,0x y x y +=≥≥上, 22()313(1)133z x y xy x x x x =+-=--=-+, 它在[0,1]上最大值和最小值分别为1和 1 4 ; 同理,在边界1,0,0x y x y +=-≤≤上有相同的结果. 在边界1,0,0x y x y -=-≤≥上, 22()1(1)1z x y xy x x x x =-+=++=++,
二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点,现对二元函数的极值与最值的求法总结如下: 1.二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点,难以判断是否是极值点;对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件: 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值,则0),('00=y x f x ,0),('00=y x f y ,即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件:设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数,且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ,令A y x f xx =),('00, B y x f xy =),('00,C y x f yy =),('00,则 当02<-AC B 且 A<0时,f ),(00y x 为极大值; 当02<-AC B 且A>0,f ),(00y x 为极小值; 02 >-AC B 时,),(00y x 不是极值点。 注意: 当B 2-AC = 0时,函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值,也可能没有极值,需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 -2xy 的极值. 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,先求出一阶偏导,再令其为零确定极值点即可,然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值,并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数: y x x z 232 -=??, x y y z 22-=??. x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z . 再求函数的驻点.令x z ??= 0,y z ??= 0,得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0,0)、),(3 2 32. 利用定理2对驻点进行讨论:
. .. . 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract............................................................................................................. .. (1) Keywords.......................................................................................................... .. (1) 引言 (1) 1定理中用到的定义 (2) 2函数极值的判定定理.............................................................. .. (5) 3多元函数极值判定定理的应用 (7) 参考文献 (8)
多元函数极值的判定 摘要:通过引入多元函数的导数,给出了多种方法来判定多元函数的极值. 关键词:极值;条件极值;偏导数;判定 The judgement of the extremum of the function of many variables Abstract:This paper passes to lead into the derivative of the function of many variables, and give several methods to judge the extremum of the
function of many variables and the conditional extremum of the function of many variables . Keywords : extremum; conditional ;partial derivative 引言 在现行的数学分析教材中,关于多元函数的极值判定,一般只讲到二 元函数的极值判定,在参考文献[1]和[3]中有关多元函数极值的判定是都是在实际情况中一定有极值的问题,本文将引入多元函数的偏导数把二元函数的极值判定推广到多元函数极值问题中去. 1 定理中用到的定义 定义1.1[]1 函数f 在点000(,)P x y 的某领域0()U P 有定义.若对于任何点 0(,)()P x y U P ∈,成立不等式 0()()f P f P ≤(或0()()f P f P ≥), 则称函数f 在点0P 取得极大值(或极小值),点0P 称为f 的极大值(或极小值)点. 定义1.2[]1 设函数(,)z f x y =, (,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈,且0(,)f x y 在 0x 的某一领域有定义,则当极限 0000000(,)(,)(,) lim x xf x y f x x y f x y x x →+-= 存在时,称这个极限为函数f 在点00(,)x y 关于x 的偏导数,记作 00(,) x y f x ??. 定义1.3[]3 设n D R ?为开集,12(,, ,)n P x x x D ∈,00 0012 2(,,,)P x x x D ∈ :f D R →,若在某个矩阵A ,使当0()P U P ∈时,有 000 ()()() lim P P f P f P A P P P P →----, 则称n 元函数12(,, ,)n f x x x 在点0P 可导.称A 为在点0P 处的导数,记为
第八节 多元函数的极值及其求法 教学目的:了解多元函数极值的定义,熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法,并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法 求条件极值。 教学重点:多元函数极值的求法。 教学难点:利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容: 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于),(00y x 的点,如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <, 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >, 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f .极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数2243y x z +=在点(0,0)处有极小值。因为对于点(0,0)的任 一邻域内异于(0,0)的点,函数值都为正,而在点(0,0)处的函数值为零。从
几何上看这是显然的,因为点(0,0,0)是开口朝上的椭圆抛物面 2243y x z +=的顶点。 例2 函数22y x z +-=在点(0,0)处有极大值。因为在点(0,0)处函 数值为零,而对于点(0,0)的任一邻域内异于(0,0)的点,函数值都为负, 点(0,0,0)是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。 例3 函数xy z =在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点(0,0)处的函数值为零,而在点(0,0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点。 定理1(必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在点),(00y x 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零: 0),(,0),(0000==y x f y x f y x 证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义,在点 ),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地,在该邻域内取0y y =,而0x x ≠的点,也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值,因此必有 0),(00=y x f x
第十一讲 二元函数的极值 要求:理解多元函数极值的概念,会用充分条件判定二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值。 问题提出:在实际问题中,往往会遇到多元函数的最大值,最小值问题,与一元函数相类似,多元函数的最大值,最小值与极大值,极小值有密切的关系,因此以二元函数为例,来讨论多元函数的极值问题. 一.二元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义,对于该邻域内的所有 ),(),(00y x y x ≠,如果总有),(),(00y x f y x f <,则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有 极大值;如果总有),(),(00y x f y x f >,则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值. 函数的极大值,极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 例1.函数xy z =在点)0,0(处不取得极值,因为在点)0,0(处的函数值为零,而在点 )0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点. 例2.函数2 2 43y x z +=在点)0,0(处有极小值. 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f . 从几何上看,点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2 2 43y x z +=的顶点,曲面在点 )0,0,0(处有切平面0=z ,从而得到函数取得极值的必要条件. 定理1(必要条件) 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在点),(00y x 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零,即0),(00=y x f x ,0),(00=y x f y . 几何解释 若函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值0z ,那么函数所表示的曲面在点),,(000z y x 处的切平面方程为 ))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=- 是平行于xoy 坐标面的平面0z z =. 类似地有三元及三元以上函数的极值概念,对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000=z y x f x ,0),,(000=z y x f y ,0),,(000=z y x f z
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容,已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题,在高考中以各种题型中均出现,对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题,其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景:一般函数类型 解题模板:第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ; 第二步求方程'()0f x =的根; 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号; 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ,求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1,无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下:首先令'()0f x =,可解出其极值点,然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性,进而求出函数()f x 的极大值和极小值. 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10,则(2)f 等于( ) A .11或18 B .11 C .18 D .17或18 【答案】C 【解读】
试卷分析:b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a .当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值. 当???-==11 4b a 时, )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ,0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ;0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意. 所以???-==114b a .181622168)2(=+-+=∴f .故选C . 考点:函数的单调性与极值. 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--,若1x =是()f x 的极大值点,则a 的取值范围为 ( ) A .()1,0- B .()1,-+∞ C .()0,+∞ D .()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点:函数的极值. 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值,则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析:因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= , 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+,由()'0f x =得2x =或1x m =-,又因为
第八节多元函数的极值及其求法 教学目的:了解多元函数极值的定义,熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法,并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点:多元函数极值的求法。 教学难点:利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容: 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于 ),(00y x 的点,如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <, 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >, 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f .极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数2 243y x z +=在点(0,0)处有极小值。因为对于点(0,0)的任 一邻域内异于(0,0)的点,函数值都为正,而在点(0,0)处的函数值为零。从 几何上看这是显然的,因为点(0,0,0)是开口朝上的椭圆抛物面 2 243y x z +=的顶点。
例2函数2 2y x z +-=在点(0,0)处有极大值。因为在点(0,0)处函 数值为零,而对于点(0,0)的任一邻域内异于(0,0)的点,函数值都为负, 点(0,0,0)是位于xOy 平面下方的锥面2 2y x z +-=的顶点。 例3 函数xy z =在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点(0,0)处的函数值为零,而在点(0,0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点。 定理1(必要条件)设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数,且在点),(00y x 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零: ),(,0),(0000==y x f y x f y x 证不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义,在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地,在该邻域内取0y y =,而0x x ≠的点,也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值,因此必有 0),(00=y x f x 类似地可证 ),(00=y x f y
多元函数的极值及其应用 作者:程俊 指导老师:黄璇 学校:井冈山大学 专业:数学与应用数学
【摘要】 多元函数的极值是函数微分学中的重要组成部分,本文对几种特殊的多元函数进行了简单的介绍,对多元函数的极值常见的求法进行了研究,并引入其在生活中、生产中解决实际问题的广泛应用,突显这一学术课题在生活中的重大意义。如今构建经济型节约社会慢慢成为我们共同努力的方向,而最优化问题是达到这一目标的有效途径,其常常有与多元函数的极值息息相关。对函数极值的研究不仅把理论数学推上一个高度,给经济方面,生活方面带来的益处不容小觑,本人浅谈极值问题,为了抛砖引玉,希望这一课题能有更广大额发展空间 【关键词】:多元函数;极值;生活中的应用
目录 Ⅰ引言 (1) Ⅱ多元函数极值的介绍………………………………………… 2.1什么是多元函数………………………………………… 2.2函数的极值理论………………………………………… Ⅲ几种函数的极值的常见求法……………………………… 3.1高中极值求法的弊端………………………………… 3.2拉格朗日乘数法……………………………………… 3.3消元法…………………………………………………… 3.4均值不等式法…………………………………………… Ⅳ多元函数在生活中的应用……………………………………
引言 历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,函数概念对数学发展的影响,可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡,回顾函数概念的历史发展,看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程,是一件十分有益的事情,它有助于我们提高对函数的认识。而函数的极值的作用已经蔓延到经济领域,在各种解决最优化中应用广泛,从而引发了本人对该课题的研究兴趣。 编者 2014年2月
函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地,设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义, (1)若对于0x 附近的所有点,都有)()(0x f x f <,则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值,记作 )(0x f y =极大值; (2)若对0x 附近的所有点,都有)()(0x f x f >,则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值,记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值. 要点诠释: 求函数极值的的基本步骤: ①确定函数的定义域; ②求导数)(x f '; ③求方程0)(='x f 的根; ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值;在开区间),(b a 内连 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值
续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1 ()(0)f x x x = >. 要点诠释: ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个,但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤: 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义,在开区间(,)a b 内有导数,则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下: (1)求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '; (2)求方程0)(='x f 在),(b a 内的根; (3)求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ,)(b f ; (4)比较上面所求的值,其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值,最小者为函数 ()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】 类型一:利用导数解决函数的极值等问题 例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值,试求m 的值,并求 )(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程; 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三: 【变式1】设a 为实数,函数()22,x f x e x a x =-+∈R . (1)求()f x 的单调区间与极值;