平方根与算术平方根概念辨析
教学目标：通过此教学片段使学生掌握平方根与算术平方根的区别与联系。 教学重点：详尽辨析平方根与算术平方根的区别与联系。
教学难点：准确区分平方根与算术平方根的区别。
教学过程：
平方根与算术平方根是初中数学中的两个重要概念，因为它们定义相近，联系紧密，所以初学的同学很容易混淆。为帮助同学们正确理解和区分这两个概念，现将它们的区别与联系总结如下：
一、区别：
1.定义不同。
平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即
，那么这个数x 叫做a 的平方根。例如，
，2是4的平方根，，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。
算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即，那么这个正数x 叫做
a 的算术平方根（特别规定：0的算术平方根是0）。例如，
，正数2是4的算术平方根。虽然，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根。
2.表示方法不同。
平方根：一个非负数a 的平方根记做。例如，5的平方根记做。 算术平方根：一个非负数a 的算术平方根记作。例如，5的算术平方根记作
。 3.个数不同。
平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。例如，16的平方根有两个，一个是4，另一个是－4。
算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个，且这个数是正数。例如，16的算术平方根只有一个，是4。
二、联系
1.二者之间存在着从属关系。
一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，算术平方根是平方根中的一个。 例如，9的两个平方根是 ，其中3是9的算术平方根。
2.二者被开方数的取值范围相同。
3
只有非负数才有平方根，负数没有平方根。
只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。
一个数没有平方根，它一定也没有算术平方根。
课堂小结：
区别平方根算术平方根
定义不同如果一个数的平方等于a，这
个数就叫做a的平方根
非负数a的非负平方根叫a
的算术平方根
个数不同正数有两个平方根正数的算术平方根只有一个表示方法不同
联系：
(1)具有包含关系。
(2)存在条件相同：被开方数为非负数。
(3)0的平方根和算术平方根都是0。
练习：
1.判断下列说法是否正确
（1）6是36的算术平方根。
（2）7是49的一个平方根。
（3）2)4
( 的平方根是-4。
（4）0的平方根与算术平方根都是0。
2. 求下列各数的算术平方根。
（1）225．（2）（3）0.49 （4）
教学反思：
环球雅思学科教师辅导教案 学员编号：年级：七年级课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：张杰 授课类型T-平方根，立方根C-平方根，立方根T-平方根，立方根星级★★★★★★★★★ 教学目标1了解平方根与算术平方根的概念，理解负数没有平方根及非负数开平方的意义。 2理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示，能用科学计算器求平方根及其近似值。 3通过对具体问题的分析，使学生感受到立方根在现实生活中的客观存在，了解立方根的概念。 授课日期及时段2015 年 2 月 4 日：—： 一．平方根，立方根 1课堂导入 平方根 【教学过程】 （一）探求新知 1、探讨：有面积为8平方厘米的正方形吗如果有，那它的边长是多少（少数学习超前的学生可能能答上来）这个边长是个怎样的数你以前见过吗 2、引入“无理数”的概念：像8（2.……）这样无限不循环的小数就叫做无理数。 3、你还能举出哪些无理数（2，3） 4、9、1/3是无理数吗 4、有理数和无理数统称为实数。 T.同步
思路与技巧：此题要求正确理解a a a -± ，， 的意义，其中a ≥0。 3、探究|a|与2a 的关系。（参考答案：|a|=2a ） 4、求下列各式中的x ：（1）4x 2-49=0； （2） x 2=1。 （此题的关键是把原等式转化成x 2=a 的形式，再利用平方根的定义及性质求出x 。） 5、如果一个正数的平方根是a+3与2a-15，那么这个正数是多少 思路与技巧：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以（a+3）+（2a-15）=0，从而求出a 的值后，再求出这个数即可。 三、小结与巩固 1、平方根与算术平方根有怎样的性质 2、如果a 2=b ，已知b 的值，求a 的运算过程叫做（ 开平方 ）运算；它与（ 平方 ）运算互为逆运算。 3、若3=，那么300=。 4、盖房时，在墙上留出了0.81m 2的正方形墙洞预备安装窗户，求正方形窗户的边长。 【教学过程】 一、复习导入 1、如果b=-169，那么-b 有平方根吗如果有，写出-b 的平方根。 2、填空： （16）2= _______________（-16）2=_______________ 216= _______________ 2)16(-=_______________ （25）2= _______________（-25）2=_______________ 225= _______________ 2)25(-=_______________ 二、无理数 1、你能作出面积是8平方厘米的正方形吗 2、将一个2×4的长方形，对折两次，得到如下的图形：
《平方根》教案 柳桥中心学校高伟 教学目标: 知识与技能目标： 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性； 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根 过程与方法目标： 1．通过学习算术平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。 2．通过拼大正方形的活动，体验解决问题的方法的多样性，发展形象思维。 情感与态度目标： 1.通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。 2.通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。 教学重点：算术平方根的概念。 教学难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 教学方法：小组合作探究、发现法 教学准备：多媒体、剪刀、彩纸 教学过程： 一、创设情境导入新课 同学们，2003年10月15日，“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功，实现了中华民族千年的飞天梦想（多媒体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面）．那么，宇宙飞船离开地球进人正常轨道，它运行的速度在什么范围吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度（米／秒）而小于第二宇宙速度：（米／秒）．、的大小满足 .其中，g是物理中的一个常量、R是地球的半径。怎样求、呢？即使给出g、R的对应值，利用我们已学过的知识，也很难求出。这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容． 这节课我们先学习有关算术平方根的概念． [设计意图]使学生感受到“神五”的成功发射这一伟大壮举，竟然与我们将要学习的本章知识有着密切的联系，激发起学生的好奇心和学习兴趣，感受到学习算术平方根的必要性。 请看下面的问题． 多媒体展示教科书第160页的问题 问题一： 学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴。他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 很容易算出画布的边长等于5dm。 说说，你是怎样算出来的？ 如果这块正方形画布的面积为单位1，那么它的边长是多少？如果面积分别为9、16 、36、呢？ （边问边展示幻灯片） 上面的问题，可以归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题．实际上是已知一个正数，求这个正数平方的问题． [设计意图]通过幻灯片的演示，直观的把实际问题，抽象为数学问题，为学习算术平方根提供背景和素材，进而引入算术平方根的概念。 二、自主探究合作交流
6.1平方根教案 一、教学目标 知识目标：掌握算数平方根概念与性质，能及时通过开开方运算求一个非负数的算数平方根，理解平方与开方互为逆运算。 能力目标：通过对平方根概念及性质的探究，渗透分类讨论和数形结合的数学思想方法，提高数学探究能力和归纳表达能力。 情感目标：鼓励学生积极主动地参与数与学的整个过程，激发学生求知的欲望，增强学生学习数学的兴趣与信心。 二、教学重难点 重点：算数平方根的概念和求法 难点：算数平方根的求法 三、教学过程： （一）情景引入 问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25 dm2 的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ （二）探索归纳 1、探索： 学生能根据自己有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为5dm。 接下来教师可以再深入地引导此问题： 如果正方形的面积分别是1、9、16、36、4/25，那么正方形的边长分别是多少呢？ 学生会求出边长分别是1、3、4、6、2/5，接下来教师可以引导性地提问：上面的问题他们有共同点吗？他们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。 2、归纳： （1）算数平方根的概念：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a那么这个正数x叫做a的算数平方根。 （2）算数平方根的表示方法： a的算数平方根记为√a，读作“根号a”或者“二次根号a”，a叫做被开方数。（三）应用 例1、求下列各数的算数平方数： (1)100 (2)49/64 (3)0.0001 (4)0 解：（1）因为102=100，所以100的算数平方根是10，即√100＝10； （2）因为（7/8）2=49/64，所以49/64的算数平方根是7/8，即√49/64＝7/8；（3）因为（0.01）2=0.0001，所以0.0001的算数平方根是0.01，即√0.0001＝0.01； （4）因为（0）2=0，所以0的算数平方根是0，即√0＝0； 注：①根据算数平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算； ②求带分数的算数平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解； ③0的算数平方根是0. 由此例题教师可以引导学生思考如下问题： 你能求出－1，－36，－100的算数平方根吗？任意一个负数有算数平方根吗？ 归纳：一个正数的算数平方根有1个，0的算数平方根是0，负数没有算数平方根。即：只有非负数才有算数平方根，如果x＝√a有意义，那么a≥0,x≥0 注：a≥0且√a≥0这一点对于初学者不太容易理解，教师不要太强求，可以再以后的教学中慢慢渗透。 例2：下列各式表示什么意思？你能求出它们的值吗？ √25；√0.81；√49/81；√（－11）2；√62 分析：此题本质还是求几个非负数的算数平方根。 解：√25＝5 √0.81＝0.9 √（－11）2＝11 √62＝6
姓名学生姓名填写时间 学科数学年级初二教材版本人教版阶段第（44 ）周观察期：□维护期：□ 课题名称平方根与立方根课时计划 第（）课时 共（）课时 上课时间 教学目标1.理解并掌握算术平方根，平方根,立方根,开算术平方根，开平方及开立方的概念. 2.明确算术平方根与平方根，平方根与立方根的区别与联系. 3.明确平方与开方，立方与开立方都是互为逆运算. 4.培养学生的求同和求异思维，能从相似的事物中观察到它们的共同点和不同点 教学重点1.掌握平方根、开平方及开立方的概念. 2.了解开方与开方，立方与开立方都是互逆的运算，会利用这两个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根，平方根及立方根. 3.了解平方根与算术平方根的区别与联系. 教学难点1.平方根与算术平方根，平方根与立方根的区别与联系. 2.明白负数不能进行开平方运算的原因，任何数都有立方根的原因 教学过程（一）导入 1.你能求出下列各数的平方吗? 0, -1, 2.3, - 1 5 , -3, 3, 1, 1 5 能.02=0 (-1)2=1 2.32=5.29 (- 1 5 )2= 1 25 (-3)2=9 32=9 12=1 ( 1 5 )2= 1 25 （二）定义 一个正数x的平方等于a，即a x= 2，这个正数x叫做a的算术平方根a的算术平方根记做a，读作“根号a” a x= 2(x为正数) 规定：0的算术平方根是0，记作0 0= 明确：被开方数a≥0；算术平方根a≥0 因为开平方与平方互为逆运算，所以求一个数的平方根可以利用平方来做。 算术平方根与平方根 a x=
（1）9的算术平方根是 （2）9的算术平方根是 （3）0．01的算术平方根是 （4）610-的算术平方根是 （5）()2 4-的算术平方根是 （6）10的算术平方根是 （7） ()26-= 2 2.1= 4 12 = ()2 = ()2 5-= 发现：)0(),0(22≤-=≥=a a a a a a 由乘方运算法则()222 b a ab =，可知b a b a ab ==2 2 2 3、计算 4、看你理解的有多好！ （1）若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________. （2）81的算术平方根为_________，04.0=_________ （3）正数_________的平方为 9 71,25 144的算术平方根为_________. ①∵( )2 =169,∴169的算术平方根是___,即 ____169=③∵( )2=1.96,∴1.96的算术平方根是__,即 ____ 96.1=④∵( )2 =(-1)2 ,∴(-1)2 的算术平方根是__即 ____ )1(2 =-2.下列说法错误的是( ) A.(-3)2的算术平方根是 B.(-3)2的算术平方根是-3 C.-(-16)的算术平方根是4 D.|-4|的算术平方根是2 E. 72的算术平方根是7 F. -72的算术平方根是-7 G. 5是25的算术平方根 H.(-2)4 的算术平方根是8 ②∵( )2=4 12,∴4 12 的算术平方根是___，即4 12 = 1.填空： ______ 0016.0=______ ) 2005(2 =-______ )64(=--____ 256=____ 1169=______ 3 6 =
《算术平方根》教学设计 都匀市杨柳街中学张启航 教材：人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》七年级下 目标：1、知识与技能 （1）了解算术平方根的概念，懂得使用根号表示正数的算术平方根。 （2）会求正数的算术平方根并会用符号表示。 2、过程与方法 （1）经历算术平方根概念的形成过程，理解平方与开方之间是互为 逆，会求正数的算术平方根并会用符号表示。 （2）通过引导、启发学生探索、合作交流等数学活动，使学生掌握 研究问题的方法。 3、情感态度与价值观 让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，激发学生的学习兴趣。重点：算术平方根的概念。 难点：算术平方根的概念。 学情、教法分析： 《算术平方根》是人教版教材七年级数学第6章第一节的内容。 在此之前，学生们已经掌握了数的平方，这为过渡到本节内容的学习起到了铺垫的作用。本课是《实数》的开篇第一课，掌握好算术平方根的概念和计算，为今后学习根式运算、方程、函数等知识作出了铺垫，提供了知识积累。本节课中重难点不多，利于学生对知识的掌握，利于学生能力的发展。因此，本节课通过引导、启发学生探索、交流、
合作等数学活动，初步培养学生分析问题、解决问题的能力，使学生掌握研究问题的方法，从而学会学习。 教具：课件、计算机、投影仪。 过程： 一、创设情境，复习引入 1、我们知道，要求正方形的面积，只要知道边长，利用面积公式即可救出；知道面积，怎样求边长呢？如：“学校要举行美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？” （1）谁来说这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？ （2）大家说了很多方法，我们知道52＝25，所以这个正方形画布的边长应取5分米；现在请同学们根据这一方法填写下表： 2、想一想：如果正方形的面积是10 dm2，它的边长是多少？ 表中的数，我们很容易知道是什么数的平方，但10是什么数的平方呢？这就是我们今天要学习的“算术平方根”，学习后大家说知道了。 二、感知新知识 1、算术平方根的概念 （1）从填表知道正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的算术平方根；正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根。
第1课时 算术平方根 【落红不是无情物，化作春泥更护花。出自龚自珍的《己亥杂诗·其五》 ◆教学目标】 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性； 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根； 3.通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣。 【教学难点与重点】 1. 重点：算术平方根的概念。 2. 难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 【教学过程】 一、 情境导入 同学们，2003年10月15日，这是我们每个中国人值得骄傲的日子．因为这一天，“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功，实现了中华民族千年的飞天梦想（多媒体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面）．那么，你们知道宇宙飞船离开地球进人轨道正常运行的速度是在什么范围吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度1v （米／秒）而小于第二宇宙速度：2v （米／秒）．1v 、2v 的大小满足gR v gR v 2,2 221==.怎样求1v 、2v 呢？这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容． 设计理念：“神舟”五号成功发射和安全着陆，标志着我国在攀登世界科技高峰的征程上又迈出具有重大历史意义的一步，是我们伟大祖国的荣耀．此内容有感染力，使学生对 本章知识的应用价值有一个感性认识，同时激发学生的好奇心和学习的兴趣．这里的计算实际上是已知幂和乘方的指数求底数的问题，是乘方的逆运算，学生以前没有见过，由此引出了本章所要研究的主要内容，以及研究这些内容的大体思路．
这节课我们先学习有关算术平方根的概念． 请看下面的问题． 你是怎样算出画框的边长等于5dm的呢？（学生思考并交流解法） 这个问题相当于在等式扩=25中求出正数x的值． 练习：教科书第160页的填表．这个问题抽象成数学问题就是已知正方形的面积求正方形的边长，这与学生以前学过的已知正方形的边长求它的面积的过程互逆，学时可以让学生初步体会这种互逆的过程，为后面的学习做准备。 二、归纳新知 上面的问题，可以归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题．实际上是乘方运算中，已知一个数的指数和它的幂求这个数． 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0. 也就是，在等式2x=a (x≥0)中，规定x =a. 思考：这里的数a应该是怎样的数呢？ 试一试：你能根据等式：2 12=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来． 想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？ 建议：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值．例如25表示25的算术平方根，为……a也可以写成2a,读作“二次根号a”。 算术平方根的概念比较抽象，原因之一是学生对石这个新 的符号的理解要有一个过程．通过此问题，使学生对符号“而”表示的具体含义有更具、更深刻的认识． 三、用新知 例．求下列各数的算术平方根：
13.2立方根（第一课时）教案 一、教学目标 知识与技能： 1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根，让学生体会一个数的立方根的唯一性. 2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根，分清一个数的立方根与平方根的区别。 3、能用有理数估计一个无理数的大致范围，使学生形成估算的意识，培养学生的估算能力。 过程与方法 1、帮助学生了解数的立方根的概念和性质，会用三次根号表示数的立方根，让学生体会一个数的立方根 的惟一性. 2、帮助学生了解开立方运算与立方运算之间的互逆关系，掌握用立方运算求一个数的立方根的方法，帮 助学生了解用计算器求某些数的立方根的方法.. 3、帮助学生认识平方根与立方根的区别. 情感、态度与价值观 1、通过立方根的学习，认识数学与人类生活的密切联系，激发学生的学习兴趣. 2、通过探究活动，锻炼克服困难的意志，增强自信心，激发学生的探索热情. 二、教学重难点 教学重点：了解数的立方根的概念和性质，会用三次根号表示数的立方根，用立方运算求一个数的立方根. 教学难点：用立方运算求一个数的立方根，认识平方根与立方根的区别. 三、教学方法：讨论比较法、讲练结合，合作，交流，探究. 四、教学用具：计算器、黑板、粉笔 五、教学过程： Ⅰ、复习 师：请同学们回忆上节课我们是怎样定义平方根的？它的符号怎么表示？ 生：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根（或二次方根）。符号表示：“a ±”其中0≥a （教师板书） 师：昨天我们还学习了一种新的运算，是什么运算呢？它是怎么定义的？ 生：开立方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。?平方（互为逆运算） 师：那么平方根有什么样的性质呢？ 生：正数有两个平方根，它们是互为相反数；0的平方根还是0；负数没有平方根。 教师引导学生回忆，并回答出平方根的定义、符号表示及性质，对定义及符号进行板书出来，性质利用表格的形式板书出来，有利于跟本节课的新知识进行对比。 被开方数 平方根 正数 2个，是互为相反数
教学内容：算术平方根教学案例 【案例背景】 一、教材分析： 《算术平方根》是人教版八年级上第十三章第一节内容，属于“数与代数”领域，重点结合实际问题情景认识算术平方根、平方根的意义，能够对算术平方根进行符号表示，能够利用概念的本质探获求算术平方根、平方根的方法，理解算术平方根、平方根的性质。本节共三课时，本课为第一课时，从学生熟悉的正方形面积与边长之间的关系入手提出已知面积探求边长的问题，通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。通过对这一节课的学习，既可以让学生了解算术平方根的概念，会用符号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性，又可以渗透化归思想（将求算术平方根的运算转化为求幂底数的运算）将为学生以后学习平方根奠定基础；同时这一节也是联系数学与生活的桥梁。 二、学情分析： 教学对象是七年级学生，在学习本章之前，已经经历了有理数、一元一次方程等数与代数知识的学习，知道有理数刻画现实问题的局限性，具有乘方有关概念及运算的基础，理解乘方运算的本质，对加减、乘除运算的互逆关系有了明晰的认识，拥有计算正方形等几何图形面积的技能，在前面的学习过程中，积累了自主探究、合作学习的的经验，具有一定的观察、分析、归纳、概括能力具备了一定的合作与交流能力。这节课的教学，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情境引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性。 三、教学目标： 知识与技能目标： 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根； 2.了解开方与乘方互为逆运算，会求非负数的算术平方根 过程与方法目标： 让学生在观察、探索等活动中，获得对非负数的算术平方根特点的认识 情感与态度目标： 1.让学生积极参与数学活动,培养其对数学的好奇心与求知欲。 2.通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学源于生活，再用数学来解决实际生活中的问题，让学生获得成功的体验，并形成实事求是的态度。 四、教学重难点： 重点：让学生理解算术平方根的概念 难点：让学生能根据算术平方根的概念求非负数的算术平方，从具体问题中找出等量关系。 课前准备：
11.1 立方根 【教学目标】 知识与技能 （1）使学生理解立方根的概念，能运用根号正确表示一个数的立方根； （2）掌握用开立方运算求某些数的立方根的方法. 过程与方法 （1）通过对比体会平方根、立方根的联系和区别； （2）在学习开立方运算求一个数立方根的过程中，体会开立方运算与立方运算之间的互逆关系. 情感与态度与价值观 （1）发展学生的求同存异思维，使他们能在复杂的环境中明辨是非，并做出正确地处理.（2）通过探究活动，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情. 【重点和难点】 1．重点：立方根的概念；求某数的立方根的方法. 2. 难点：平方根、立方根的概念及区别；求一个数的立方根. 【教学过程】 一、学法设计 在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式.在学习的过程中让学生仔细观察、大胆猜测、交流讨论、分析推理，最后归纳总结.让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体. 二、教法设计 针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课可选择用类比及引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，注重启发、疏导学生自主探索，合作交流.在探究活动中，引导学生利用概念思考问题，对于学生的回答给予点拨，及时评价.这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性. 三、教学过程设计 （一）创设情境、复旧导新 1.填表： 定义表示方法性质分别与平方根的联系 平方根 若a x= 2，则 x叫做a的平方 根. a ± ①正数的平方根有两个，它 们互为相反数； ②0的平方根是0； ③负数没有平方根. 平方根包含算术平 方根，算术平方根是平 方根中的一个；平方 根、算术平方根都只有
七年级数学下册《6.1算术平方根（第1课时）》教学设计 一、教学目标： 1.知识与技能目标 （1）了解算术平方根的概念，会用根号表示一个正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。 （2）了解算术平方根的性质。 （3）了解一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆关系求某些非负数的算术平方根。 2.过程与方法目标 （1）通过创设情境让学生得出新知，加强概念形成的教学，提高学生的思维水平。（2）通过对平方根概念及性质的探究，提高数学数感和符号感，以及抽象思维的能力。 3.情感态度与价值观目标 （1）鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过程，激发学生求知的欲望，增加学生学习数学的兴趣与信心。 （2）通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系的。 二、教学重难点： 教学重点：算术平方根的概念和性质，会用根号表示一个正数的算术平方根。 教学难点：对算术平方根的概念和性质的理解，尤其是对算术平方根的双重非负性的理解。 三、教学准备： 教具准备：多媒体课件，白板 四、教学时间： 四十分钟 五、教学过程： （一）创设情境、导入新课 学校为了趣味接力比赛，要在运动场上圈出一个面积为100平方米的正方形场地，这个正方形场地的边长应为多少? （谁来说这块正方形场地的边长应取多少米？你是怎么算出来的？） （二）合作交流、探究新知 解答上一个问题后，请同学们完成下表： 这个填表中的问题实际上是一个问题，什么问题？它们都是已知正方形面积求边长的问题。（通过解决这个问题，我们就引出了算术平方根的概念）
正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的算术平方根。正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根。 说说6和36这两个数？……（多让几位同学说，学生说得不正确的地方教师随即纠正） 说说1和0这两个数？（教师让学生拿出提前准备好这样的10张卡片，一面写1－10，另一面写1－10的平方.生任意抽一张卡片，让其他学生回答平方或算术平方根。） （三）总结提炼、梳理延伸 说了这么多，同学们大概已经知道了算术平方根的意思.那么什么是算术平方根呢？（出示算术平方根的定义并板书） 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a 的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数． 也就是，在等式x2＝a（x≥0）中，规定x＝a. 规定：0的算术平方根是0。 注：讲解算术平方根的双重非负性， 探究a：（1）a可以取任何数吗？（2）a是什么数？ 目的：进一步明确a在什么情况下有意义，什么情况下无意义，理解算术平方根的双重非负性。 （四）实例演练、巩固提高 例1：能否用两个面积为1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？ 如上图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的４个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2 dm2的大正方形． 教师：同学们说得很好，还有其他的方法吗？（鼓励学生探究） 学生思考，可以采用下列方法：把两个小正方形中的一个沿对角线剪成4部分，然后和另一个小正方形拼在一起，如下图. 教师：说得好，你知道这个大正方形的边长是多少吗？ 设大正方形的边长为x dm，则x2＝2. 由算术平方根的意义可知x＝2， 所以大正方形的边长是2dm. 练习1：求下列各数的算术平方根： （1）0.0025 （2）81 （3）32 （4）(-6)2
精品教学教案设计| Excellent teaching plan 教师学科教案[ 20–20学年度第__学期] 任教学科： _____________ 任教年级： _____________ 任教老师： _____________ xx市实验学校
精品教学教案设计| Excellent teaching plan 《用计算器求平方根和立方根》教案 教学目标 ( 一) 知识目标 1. 会用计算器求平方根和立方根. 2. 经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力. ( 二 ) 能力训练目标 1. 鼓励学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲. 2. 鼓励学生自己探索计算器的用法，并能熟悉用法. 3. 能用计算器探索有关规律的问题，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. ( 三 ) 情感与价值观目标 让学生经历运用计算器的活动，培养学生探索规律的能力，发展学生合理推理的能力.教学重点、难点 1. 探索计算器的用法. 2.用计算器探求数学规律 . 教学方法 学生自主探究法. 教学过程 ( 一) 新课导入 我们在前几节课分别学习了平方根和立方根的定义，还知道乘方与开方是互为逆运算. 比如23828 的立方根， 82 的立方，有时可以根据逆运算来求方根或平方、立方. 对于 1 =，叫叫 0以内数的立方，20以内数的平方要求大家牢记在心，这样可以根据逆运算快速地求出这些 特殊数的平方根或立方根，那么对于不特殊的数我们应怎么求其方根呢？可以根据估算的方 法来求，但是这样求方根的速度太慢，这节课我们就学习一种快速求方根的方法，用计算器开方 . ( 二) 新课讲解 【师】请大家互相看一下计算器，拿类型相同的计算器的同学请坐到一起. 这样便于大家互相讨论问题. 如果你的计算器的类型与书中的计算器的类型相同，请你按照书中的步骤 熟悉一下程序，若你的计算器的类型不同于书中的计算器，请拿相同类型计算器的同学先要 探索一下如何求平方根、立方根的步骤，把程序记下来，好吗？给大家 8分钟时间进行探索. 【师】现在根据自己掌握的程序计算 5.89，32 ,3 1285 , 5+1 7
6 .1算术平方根 袁新启 教材分析： 本课教材所处位置是本章的第一节，学生对数的认识要由有理数范围扩大到实数范围，而本课是学习无理数的前提，是学习实数的衔接与过渡，并且是以后学习实数运算的基础，对以后学习物理、化学等知识及实际问题的解决起着举足轻重的作用． 学情分析： 学生已掌握一些完全平方数，能说出一些完全平方数是哪些有理数的平方，同时对乘方运算也有一定的认识． 学习目标： 知识与技能：1．了解算术平方根的意义，会用根号表示一个非负数的算术平方根，会用平方运算求某些非负数的算术平方根； 2．经历从平方运算到求算术平方根的演变过程，体会两者的互逆关系，发展思维能力． 过程与方法：经历探索算术平方根的过程，能用算术平方根求某非负数的算术平方根． 情感态度和价值观：让学生体验数学与生活实际是紧密相连，激发学生的学习兴趣． 学习重难点：
重点：1.算术平方根的概念； 2.算术平方根与被开方数之间的大小变化规律. 难点：算术平方根的双重非负性. 教学过程： ●情景导入 （1）一个正方形桌面的边长是 1.5m，求这个桌面的面积是多少平方米？ （2）已知一个正方形画布的面积是25dm2，求它的边长. （3）如果一个正方形展厅的地面面积为55m2，求它的边长. ●探究归纳 我们知道52＝25，所以这个正方形画布的边长应取5分米； 现在请同学们根据这一方法填写下表： 正方形的面积 1 9 16 36 55 …边长 1 3 4 6 0.4 ？… 2 点●概念引入 定义：如果一个正数x的平方等于a,即 ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“
”，读作“根号a”。a叫做被开方数。 规定：0的算术平方根是0。 【试一试】略 ●讨论性质 a可以取任何数吗？ 表示的是什么数？ 负数没有算术平方根。 算术平方根的双重非负性 例2、下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
上埠二中《农村中小学信息技术与数学教学有效整合的实践研究》课题组 2.2 平方根 第1课时算术平方根 第一环节：问题情境 方法一：问题导入 内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我 的小正方形，通过剪一剪，1们做过的：由两个边长为a的大的正方形，那么有拼一拼，得到一个边长为2aa是无理数．在2是有理数，，，2?a2aaxx 叫的平方，叫前面我们学过若，则反过来ax?的什么呢？本节课我们一起来学习．
方法二：问题导入 前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结内容：合图形完成填空：222，，，?z?x?y 2?w． 让学生体会到学习算目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，术平方根的必要性．2222，但不能求得，，；能求得效果：能表示，4z?5w?2?x3?y2?z wx ，，的值．y方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前说明：启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二． 上埠二中《农村中小学信息技术与数学教学有效整合的实践研究》课题组 第二环节：初步探究1：情境引出新概念内容2222x，你能求出来，，已知幂和指数，求底数，，4z?5?2w?x3y?吗？让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．目的：wx之间的数但无是2到效果：学生可以估算出之间的数，，是1到23y wx，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——，，法表示y开方．都是激发学生继续往下学习说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，x ，你能求出来吗？”的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数 2：在上面思考的基础上，明晰概念：内容2axxa就叫做，那么这个正数，如果一个正数一般地，即的平方等于ax?a的算术平方．特别地，我们规定的算术平方根，记为“”，读作“根号0”a0?0 ，即0．根是目的：对算术平方根概念的认识．知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆效果：了解算术平方根的概念，的． 巩固概念3：简单运用内容求下列各数的算术平方根：1 例49 (4) 14．；(3) ；(1) 900；(2) 1 64利用平方运算求一个正数的算体验求一个正数的算术平方根的过程，目的：有的正数的算让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，术平方根的方法，的算术平方根是．术平方根只能用根号表示，如1414效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个，负数没有算术平方根．0的算术平方根是0正数的算术平方根是正数，
平方根 1．了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；(重点) 2．了解开平方与平方是互逆运算，会用开平方运算求非负数的平方根．(难点) 一、情境导入 填空：(1)3的平方等于9，那么9的算术平方根就是________； (2)25的平方等于425，那么425 的算术平方根就是________； (3)展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长为________米． 还有平方等于9，425 ，49的其他数吗？ 二、合作探究 探究点一：平方根的概念及性质 【类型一】 求一个数的平方根 求下列各数的平方根： (1)12425 ；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5)81. 解析：把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反 数的平方根． 解：(1)∵12425＝4925，(±75)2＝4925，∴12425的平方根为±75，即±12425＝±75； (2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±0.0001＝±0.01； (3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4) 2的平方根是±4，即±（－4）2 ＝±4； (4)∵(±10－3)2＝10－6，∴10－6的平方根是±10－3，即±10－6＝±10－3； (5)∵(±3)2＝9＝81，∴81的平方根是±3. 方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(5)中是求9的
平方根． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型二】 利用平方根的性质求值一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4，求这个数． 解析：因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a ＋1和a －4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解． 解：由于一个正数的两个平方根是2a ＋1和a －4，则有2a ＋1＋a －4＝0，即3a －3＝0，解得a ＝1.所以这个数为(2a ＋1)2＝(2＋1)2＝9. 方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第11题 探究点二：开平方及相关运算 求下列各式中x 的值： (1)x 2＝361; (2)81x 2－49＝0； (3)49(x 2＋1)＝50; (4)(3x －1)2＝(－5)2. 解析：若x 2＝a (a ≥0)，则x ＝±a ，先把各题化为x 2＝a 的形式，再求x .其中(4)中可将(3x －1)看作一个整体，先通过开平方求出这个整体的值，然后解方程求出x . 解：(1)∵x 2＝361，∴开平方得x ＝±361＝±19； (2)整理81x 2－49＝0，得x 2＝4981 ，∴开平方得x ＝±4981＝±79； (3)整理49(x 2＋1)＝50，得x 2＝ 149，∴开平方得x ＝±149＝±17； (4)∵(3x －1)2＝(－5)2，∴开平方得3x －1＝±5.当3x －1＝5时，x ＝2；当3x －1 ＝－5时，x ＝－43.综上所述，x ＝2或－43 . 方法总结：利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值．一个正数的
12.1平方根与立方根 三维教学目标 知识与技能： 1、了解平方根的概念、开平方的概念。会用根号表示一个数的平方根。 2、了解平方运算与开平方运算是互为逆运算 3、会用平方根的概念求某些非负数的平方根。 过程与方法： 1、让学生经历概念形成过程，提高学生的思维水平。 2、培养学生的求同和求异思维，能从相似的事物中观察到他们的共同点和不同点。 情感态度与价值观： 1、创设学生熟悉的问题情景，培养他们对数学的好奇心和求知欲。 2、在学生已有数学经验的基础上，探求新知，让学生获得成功的快乐。 3、提高学生“用数学”的意识。 教学重点：会用平方根的概念求某些非负数的平方根。 教学难点：对只有非负数才有平方根的理解。 课堂导入 1、到目前为止我们已学过哪些运算？ 2、一个正方形边长为5厘米，它的面积为多少？是什么运算？它的 教学过程 一、创设问题情景 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，她想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？如果画布的面积依次改为：9、16、36……那么相应的边长是多少？ 二、探索归纳 (1) 平方根的概念 2，则x叫做a的平方根。 若a x= 52= (2) 举例：∵25 ∴5是25的一个平方根 问：25的平方根只有一个吗？还有哪些数的平方也等于25？ (3)总结求一个数平方根的方法。 三、举例应用 例1 求100的平方根． 解因为102＝100，（－１０）2＝１００，除了10和－１０以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－１０，也可以说，100的平方根是±１０． 例2求36的平方根。 解：因为, ±所以36的平方根为±6. 36 (2= )6 四、试一试
算术平方根（教案说明） 一、教材分析 1、教材内容 人教版义务教育课程标准实验教材数学八年级上册第十三章《实数》第一节《平方根》第一课时：算术平方根。 2、在教材中的地位与作用 本课教材所处位置是本章的第一节，主要介绍算术平方根的概念和求法，由于实际中所求问题的答案往往是正数的情况，因此先学习算术平方根，让学生看到算术平方根与实际的联系，在学习算术平方根的基础上再学习平方根。学生对数的认识要由有理数范围扩大到实数范围，而本课是学习无理数的前提，是学习实数的衔接与过渡，并且是以后学习实数运算的基础，所以本节内容既是对前面所学知识的深化和发展，也是今后学习根式运算、用直接开平方法、公式法解一元二次方程等的重要依据。 二、教学目标 根据本教材的结构和内容分析，结合着八年级学生他们的认知结构及其心理特征，依据新课标“知、过、情”三个维度，我制定了以下的教学目标： 1、知识与技能目标：让学生理解和掌握算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，了解算术平方根的非负性；了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求一个非负数的算术平方根。 2、过程与方法目标：让学生经历从实际例子归纳出算术平方根的概念，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。 3、情感与价值观目标：让学生体验数学与生活息息相关，从生活中来，到生活中去；体验数学的作用与价值，建立自信心，提高学习热情，使人人学到有用的数学。 三、教学的重点、难点和关键 教学重点: 算术平方根的概念。 教学难点: 算术平方根的计算和运用。 教学关键：求算术平方根运算要靠它的逆运算平方来进行。 四、学情分析： 学生已掌握一些完全平方数，能说出一些完全平方数是哪些有理数的平方，同时对乘方运算也有一定的认识。这对求一些简单数的算术平方根没问题，但对于一些复杂的问题，学生要用到逆向思维去解决还是很困难，因此，要引导学生深刻理解算术平方根的概念及求法。 五、教学方法和手段： （1）根据教材内容结合学生的认知特点，采用“先学后教，当堂训练”的教学方式。 （2）通过适量典型丰富的练习突破重点和难点。 （3）利用媒体形象直观地展示引例、例题及练习，帮助学生理解概念，活跃课堂气氛，增大教学密度，提高教学效率。
算术平方根、平方根、立方根提高部分 教学内容 一、同步知识梳理 知识点1：算术平方根的概念 如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”。 规定0的算术平方根是0。 知识点2：算术平方根的双重非负性 负数没有平方根，即被开方数一定是正数或0, 0a ≥；算术平方根是非负数，即0a ≥。 二、同步题型分析 【例1】 下列说法正确的是（ ） A ．-5是-25的平方根 B ．3是（-3）2 的算术平方根 C ．（-2）2 的平方根是2 D ．8的平方根是±4 【例2】 （2011?毕节地区）16的算术平方根是（ ） A ．4 B ．±4 C ．2 D ．±2 【例3】 若21(2)m n -+-＝0，则m ＝________，n ＝_________。 三、课堂达标检测
【检测题25】 若a a -=-2)2(2，则a 的取值范围是 。 【检测题26】 化简：= -2)3(π 。 【检测题27】 如果a a 21)12(2-=-，则（ ） A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥1 2 【检测题28】 已知()01522 =++++-c b a 那么a+b-c 的值为___________. 一、同步知识梳理 知识点3：平方根的概念 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。即：如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根，记作a ±，读作“正、负根号a ”。 知识点4：平方根的性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 知识点5：两个重要的公式 ①()0≥a a a =2 ） （； ②a a =2 二、同步题型分析 【例1】 判断下列说法的是否正确 (1)a 的平方根可以写成±a .( ) (2)只有正数才有平方根.( )
2019-2020年八年级数学上册 12.1平方根与立方根平方根课时1 教案华东师大版 三维教学目标 知识与技能： 1、了解平方根的概念、开平方的概念。会用根号表示一个数的平方根。 2、了解平方运算与开平方运算是互为逆运算 3、会用平方根的概念求某些非负数的平方根。 过程与方法： 1、让学生经历概念形成过程，提高学生的思维水平。 2、培养学生的求同和求异思维，能从相似的事物中观察到他们的共同点和不同点。 情感态度与价值观： 1、创设学生熟悉的问题情景，培养他们对数学的好奇心和求知欲。 2、在学生已有数学经验的基础上，探求新知，让学生获得成功的快乐。 3、提高学生“用数学”的意识。 教学重点：会用平方根的概念求某些非负数的平方根。 教学难点：对只有非负数才有平方根的理解。 课堂导入 1、到目前为止我们已学过哪些运算？
2、一个正方形边长为5厘米，它的面积为多少？是什么运算？它的 教学过程 一、创设问题情景 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，她想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？如果画布的面积依次改为：9、16、36……那么相应的边长是多少？ 二、探索归纳 (1) 平方根的概念 若，则x叫做a的平方根。 (2) 举例：∵ ∴5是25的一个平方根 问：25的平方根只有一个吗？还有哪些数的平方也等于25？ (3)总结求一个数平方根的方法。 三、举例应用 例1 求100的平方根． 解因为10＝100，（－１０）＝１００，除了10和－１０以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－１０，也可以说，100的平方根是±１０．