1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
一、选择题
1．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数和是( )．
A ．2n ＋
1
B ．2n ＋
1＋1
C ．2n ＋
1－1
D ．2n ＋
1－2
2．
在2n
x ? ?
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )． A ．－7
B ．7
C ．－28
D ．28
3．(2
8展开式中不含x 4项的系数的和为( )．
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
4
．已知1n
x ???展开式中的第10项是常数，则展开式中系数最大的项是( )．
A ．第19项
B ．第17项
C ．第17项或第19项
D ．第18项或第19项
5．已知(1－2x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )．
A ．1
B ．－1
C ．36
D ．26
二、填空题
6．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3 ＋…＋a 11的值为__________．
7．设
(1)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M ,8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为__________．
8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶
3.
三、解答题
9．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于5
216
5
x ? ?的展开式的常数项，而(a 2＋1)n
的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．
10．设m ，n ∈N ，f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋x )n .
(1)当m ＝n ＝2 013时，f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 013x 2 013，求a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－ a 2 013的值．
(2)若f (x )展开式中x 的系数为20，当m ，n 变化时，试求x 2系数的最小值．
11.求证：(1)1
C n ＋22
C n ＋…＋C n
n n ＝n ·2n －
1；
(2)0
C n ＋1211C C 23n n +＋…＋11C 11
n n
n n =++ (2n ＋
1－1)．
12．在杨辉三角形中，每一数值是它左上角和右上角两个数值之和，三角形开头几行如下：
(1)利用杨辉三角展开(1－x)6；
(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001；
(3)在杨辉三角形中的哪一行会出现相邻的数，它们的比是3∶4∶5?
参考答案
1.【解析】令x ＝1，可知其各项系数和为2＋22＋…＋2n ＝2n ＋
1－2. 【答案】D
2.【解析】由已知n 为偶数，则
2
n
＋1＝5， ∴n ＝8.
∴822n x x ??-= ??的展开式通项公式为T r ＋1
＝88C 2r
r
r x -???? ? ???
＝
(－1)r ·8483
8
1C 2r
r r
x
--
??
? ?
??
，令8－43r ＝0，得r ＝6，∴常数项为T 7＝(－1)6·2
6
811C 24???= ???
×28＝7. 【答案】B
3.【解析】令x ＝1，得展开式中各项系数之和为(2
)8＝1，
由T r ＋1
＝88C 2
r
r
r -?，令r ＝8，得T 9＝88C ·
20x 4＝x 4，其系数为1， ∴展开式中不含x 4的项的系数和为1－1＝0. 【答案】B
4.【解析】T 10＝9
C n
n －9
·9
99
391C n n x x --=，由T 10为常数，得93
n -－9＝0，所以n ＝36，故第19项系数最大． 【答案】A
5.【解析】由已知展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，a 1，a 3，a 5小于零．
令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，①
令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝36.②
∴①＋②得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝631
2+，
①－②得a 1＋a 3＋a 5＝6
132
-.
∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝66313122
+-+＝36
.
【答案】C
6.【解析】令x ＝1，得a 0＝－2.
令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2. 【答案】2
7.【解析】当x ＝1时，可得M ＝1，二项式系数之和N ＝2n ，
由已知M ·N ＝64， ∴2n ＝64，n ＝6.
∴第四项T 4＝36C ·
(3·(－1)3＝－160x .
【答案】－160x
8.【解析】由题可设第n 行的第14个与第15个数的比为2∶3，
故二项展开式的第14项和第15项的系数比为2∶3，即1314
C :C n n ＝2∶3，
所以
!!
:(13)!13!(14)!14!
n n n n -?-?＝2∶3，
∴
142
133
n =-.∴n ＝34. 【答案】34
9.
解：由52165
x ?+ ?，得T r ＋1
＝5520522
55
1616C C 55r r
r
r r r x x
---????
=?? ? ?????
，
令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，
所以r ＝4，常数项T 5＝4
516
C 5
?
＝16. 又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ，由此得到2n ＝16，n ＝4. 所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝2
4C a 4＝54. 所以a
＝10.解：(1)当m ＝n ＝2 013时，f (x )＝(1＋2x )2 013＋(1＋x )2 013，
x ＝－1，得f (－1)＝(－1)2 013＝－1，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 013＝－1.
(2)由已知11
2C C m n +＝2m ＋n ＝20，
∴n ＝20－2m .
∴x 2的系数为222
(1)(1)2C C 422m n m m n n --+=?
+
＝2m 2－2m ＋1
2
(20－2m )(19－2m )＝4m 2－41m ＋190.
当m ＝5，n ＝10时，f (x )展开式中x 2的系数最小，最小值85.
11.分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将
等式左边各项变化的系数固定下来，从而使用二项式系数性质012C C C n n n ++＋…＋C n
n ＝2n .
证明：(1)∵!C !()!k
n n k k k n k =?
-＝!
(1)!()!
n k n k --
＝1
1(1)!C (1)!()!
k n n n n k n k ---?
=--.
∴左边＝0
1
11C C n n n n --+＋…＋1
1C n n n -- ＝n (0
1
11C C n n --+＋…＋1
1C n n --)＝n ·2n －
1＝右边． (2)
11!
C 11()!
k n
n k k n k =?++- ＝
!1(1)!
(1)!()!1(1)!()!
n n k n k n k n k +=?+-++-
＝
1
11C 1
k n n +++. ∴左边＝121111C C 11n n n n +++++＋…＋1
11C 1n n n +++.
＝11n +(12
11C C n n +++＋…＋11C n n ++) ＝11
n +(2n ＋
1－1)＝右边． 12.分析：(1)根据杨辉三角的规律“每个数都等于它肩上的两个数的和，每行两端都是1”可写出第6行二项式系数，但要注意每项的正负号．
(2)求0.9986的近似值一般都是把它化为(1－0.002)6，再利用上面的展开式．
(3)根据二项展开式可知，杨辉三角的第n 行的数依次为0
1
2
C ,C ,C n n n ，…，C r
n ，…，C n
n ，因此可设出这相邻的三个数，运用组合数公式列出方程组，解此方程组即可求出n . 解：(1)由杨辉三角知，第6行二项式系数为：1,6,15,20,15,6,1. 所以(a ＋b )6＝a 6＋6a 5b ＋15a 4b 2＋20a 3b 3＋15a 2b 4＋6ab 5＋b 6.
令其中a ＝1，b ＝－x ，得(1－x )6＝1－6x ＋15x 2－20x 3＋15x 4－6x 5＋x 6.
(2)0.9986＝(1－0.002)6＝(1－x )6＝1－6×0.002＋15×0.0022＋…＋0.0026≈1－6×0.002＝0.988.
(3)设在第n 行出现，并设相邻的三个数分别是1C k n -，C k n ，1
C k n +，那么有1
13C ,4C 4C ,
5C k
n
k n k
n k n
-+?=????=??
∴3
!!()!,4(1)!(1)!!4!(1)!(1)!,5!()!!n k n k k n k n n k n k k n k n -?=??-?+-??+?--?=??-?
即3,4141,5k n k k n k
?=??+-?+?=?-?
∴373,495,
n k n k -=-??-=?解得n ＝62，k ＝27，即第62行，此时262728
626262C :C :C ＝3∶4∶5.
选修2-3 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质 一、选择题 1．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1 B ．2n －1 C ．2n ＋1－1 D ．2n [答案] C [解析] 解法一：令x ＝1得，1＋2＋22＋…＋2n ＝1×(2n ＋1－1)2－1 ＝2n ＋1－1. 解法二：令n ＝1，知各项系数和为3，排除A 、B 、D ，选C. 2．(x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的是( ) A ．第4项 B ．第4、5两项 C ．第5项 D ．第3、4两项 [答案] B [解析] (x －y )n 的展开式，当n 为偶数时，展开式共有n ＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，展开式有n ＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x －y )7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项． 3．若? ?? ??x 3＋1x 2n 展开式中的第6项的系数最大，则不含x 的项等于 ( ) A ．210 B ．120
C ．461 D ．416 [答案] A [解析] 由已知得，第6项应为中间项，则n ＝10. T r ＋1＝C r 10·(x 3)10－r ·? ?? ??1x 2r ＝C r 10·x 30－5r . 令30－5r ＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 6 10＝210. 4．(2008·安徽·6)设(1＋x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] A [解析] ∵a 0＝a 8＝C 08＝1，a 1＝a 7＝C 18＝8，a 2＝a 6＝C 28＝28，a 3 ＝a 5＝C 38＝56，a 4＝C 4 8＝70，∴奇数的个数是2，故选A. 5．设n 为自然数，则C 0n 2n －C 1n 2 n －1＋…＋(－1)k C k n 2n －k ＋…＋(－1)n C n n ＝( ) A ．2n B ．0 C ．－1 D ．1 [答案] D [解析] 原式＝(2－1)n ＝1，故选D. 6．设A ＝37＋C 27·35＋C 47·33＋C 67·3，B ＝C 17·36＋C 37·34＋C 57· 32＋1，则A －B ＝( ) A ．128 B ．129 C ．47 D ．0 [答案] A
解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】
2019高二数学解三角形公式总结 解三角形问题是历年高二数学考试考查的重点，属必考内容，掌握好高二数学三角函数的公式必不可少。下面是本人给大家带来的高二数学解三角形公式总结，希望对你有帮助。 高二数学解三角形公式 高二数学学习方法 抓好基础是关键 数学习题无非就是数学概念和数学思想的组合应用，弄清数学基本概念、基本定理、基本方法是判断题目类型、知识范围的前提，是正确把握解题方法的依据。只有概念清楚，方法全面，遇到题目时，就能很快的得到解题方法，或者面对一个新的习题，就能联想到我们平时做过的习题的方法，达到迅速解答。弄清基本定理是正确、快速解答习题的前提条件，特别是在立体几何等章节的复习中，对基本定理熟悉和灵活掌握能使习题解答条理清楚、逻辑推理严密。反之，会使解题速度慢，逻辑混乱、叙述不清。 严防题海战术 做习题是为了巩固知识、提高应变能力、思维能力、计算能力。学数学要做一定量的习题，但学数学并不等于做题，在各种考试题中，有相当的习题是靠简单的知识点的堆积，利用公理化知识体系的演绎而就能解决的，这些习题是要通过做一定量的习题达到对解题方法的展移而实现的，但，随着高考的改革，高考已把考查的重点放在创造型、能力型的考查上。因此要精做习题，注意知识的理解和灵活应用，当你做完一道习题后不访自问：本题考查了什么知识点?什么方法?我们从中得到了解题的什么方法?这一类习题中有什么解题的通性?实现
问题的完全解决我应用了怎样的解题策略?只有这样才会培养 自己的悟性与创造性，开发其创造力。也将在遇到即将来临的期末考试和未来的高考题目中那些综合性强的题目时可以有一个科学的方法解决它。 归纳数学大思维 数学学习其主要的目的是为了培养我们的创造性，培养我们处理事情、解决问题的能力，因此，对处理数学问题时的大策略、大思维的掌握显得特别重要，在平时的学习时应注重归纳它。在平时听课时，一个明知的学生，应该听老师对该题目的分析和归纳。但还有不少学生，不注意教师的分析，往往沉静在老师讲解的每一步计算、每一步推证过程。听课是认真，但费力，听完后是满脑子的计算过程，支离破碎。老师的分析是引导学生思考，启发学生自己设计出处理这些问题的大策略、大思维。当教师解答习题时，学生要用自己的计算和推理已经知道老师要干什么。另外，当题目的答案给出时，并不代表问题的解答完毕，还要花一定的时间认真总结、归纳理解记忆。要把这些解题策略全部纳入自己的脑海成为永久地记忆，变为自己解决这一类型问题的经验和技能。同时也解决了学生中会听课而不会做题目的坏毛病。 积累考试经验 本学期每月初都有大的考试，加之每单元的单元测验和模拟考试有十几次，抓住这些机会，积累一定的考试经验，掌握一定的考试技巧，使自己应有的水平在考试中得到充分的发挥。其实，考试是单兵作战，它是考验一个人的承受能力、接受能力、解决问题等综合能力的战场。这些能力的只有在平时的考试中得到培养和训练。 高二数学学习技巧
杨辉三角与二项式系数的性质 教学反思 本节课有以下几点值得一提： 一、目标定位准确 本节课，在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标基本符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1．放手发动学生 把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释： 一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2．彰显理性数学 本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.
解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π<
总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b < 1.3.2二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示： 表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？） 【提示】设这一数为r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： 1 1 01C C 02 C 12 C 2 2C 03 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 0 5C 1 5C 2 5C 35 C 4 5C 55 C 1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数 表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成 以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =? ， 解三角形 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC ?中，已知a、b、A （1）若A为钝角或直角，则当b a>时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b< < sin时，三角形有两解； 当b a≥时，三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式 1．余弦定理：在ABC ?中，角C B A、 、的对边分别为c b a、 、，则有 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ，其变式为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3．三角形的面积公式 （1） c b a ABC ch bh ah S 2 1 2 1 2 1 = = = ? （ a h、 b h、 c h分别表示a、b、c上的高）； （2）B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? （3）= ?ABC S C B A R sin sin sin 22（R为外接圆半径） （4） R abc S ABC4 = ? ； （5）) )( )( (c p b p a p p S ABC - - - = ? 其中) ( 2 1 c b a p+ + = （6）l r S ABC ? = ?2 1 （r是内切圆的半径，l是三角形的周长） 杨辉三角和二项式系数的性质练习 1.在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( ) A ．第15项 B ．第16项 C ．第17项 D ．第18项 解：第6项的二项式系数为C 520，又C 1520＝C 520，所以第16项符合条件． 2．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3. 解：设第n 行从左至右第14与第15个数之比为2∶3， 则3C 13n ＝2C 14n ， 即3n ！13！(n －13)！＝2n ！14！(n －14)！ .解得n ＝34. 3.设(1－2x )2 014＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 014·x 2 014(x ∈R)． (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 014的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 014|的值 解：(1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝(－1)2 014＝1.① (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 014＝32 014.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＝1－32 014， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013＝1－32 0142. (3)∵T r ＋1＝C r 2 014(－2x )r ＝(－1)r · C r 2 014·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N ＋)，a 2k >0(k ∈N)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 014|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 014＝32 014. 4.如图，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 二项式定理 知识要点 （一）探究 3 4 a b a b ++,（）（）的展开式 问题1：()()112233 a b a b a b +++（）展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 问题2：将上式中，若令123123, a a a a b b b b ======,则展开式又是什么？ 思考一：合并同类项后，为什么2 a b 的系数是3？ 问题3： 4 a b +（）的展开式又是什么呢？ 结论： 404132223344 44444a b C a C a b C a b C ab C b +=++++（）； （二）猜想、证明“二项式定理” 问题4： n a b +（）的展开式又是什么呢？ 思考二： （1） 将 n a b +（）展开有多少项？ （2）每一项中，字母,a b 的指数有什么特点？ （3）字母,a b 指数的含义是什么？是怎么得到的？ （4）如何确定,a b 的系数？ 二项式定理： 0111222()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++L L ()n *∈N ； （三）归纳小结：二项式定理的公式特征 （1）项数：_______； （2）次数：字母a 按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b 按升幂排列，次数由____递增到______； （3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____； （4）通项：1k T +=__________；指的是第1k +项，该项的二项式系数为______； （5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做n a b +（）的二项展开式。 高二数学解三角形单元测试题 （时间120分钟，满分150分） 一、选择题：（每小题5分，共计60分） 1. △ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( ) A 直角三角形 B 等腰直角三角形 C 等边三角形 D 等腰三角形 2. 在△ABC 中，c=3，B=300，则a 等于（ ） A B ． C D ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ） A ．a=7，b=14，A=300有两解 B ．a=30，b=25，A=1500有一解 C ．a=6，b=9，A=450有两解 D ．a=9，c=10，B=600无解 4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ ） A ．4 1- B ． 4 1 C ．3 2- D ． 3 2 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C B A c b a sin sin sin ++++等于( ) A ．33 B ．3392 C ．338 D ．2 39 6. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则?的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．-5 7.关于x 的方程02 cos cos cos 2 2 =-??-C B A x x 有一个根为1，则△AB C 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 8. 设m 、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( ) A.0＜m ＜3 B.1＜m ＜3 C.3＜m ＜4 D.4＜m ＜6 9. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) A.60° B.120° C.60°或120° D.45° 10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) A.0°＜A ＜30° B.0°＜A ≤45° C.0°＜A ＜90° D.30°＜A ＜60° 11.在△ABC 中，A B B A 2 2 sin tan sin tan ?=?，那么△ABC 一定是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 12. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ） (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定 二、填空题（每小题4分，满分16分） 13.在△ABC 中，有等式：①asinA=bsinB ；②asinB=bsinA ；③acosB=bcosA ；④ sin sin sin a b c A B C += +. 其中恒成立的等式序号为______________ 14. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。 15. 在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________. 16. 已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积4 222c b a S -+=，则角C=____________． 概率 2.1离散型随机变量及其分布列 一、离散型随机变量 在射击比赛中，选手击中靶上的圆形或环形区域内得分，得分值由靶心往外依次可记为：10环，9环，8环，…，1环，0环。那么射击选手射击一次，可以出现的结果为：10环，9环，8环，…，1环，0环。 例如抛一枚硬币，所有可能的结果是：“正面向上”，“反面向上”。 1、 随机变量：在这些试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是 随着试验的结果的不同而变化的，我们把变量X 叫做一个随机变量。 随机变量常用大写字母X,Y …表示。 例如：设某射击选手每次射击所得的环数是X ，那么X 是一个随机变量。X 的取值范围是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}。 例：100件产品中，含有5件次品，从中取出4件，那么可能出现的“次品件数”。设X 是一个随机变量，X={ }。 练习1：写出下列各离散型随机变量可能取的值： （1）从10张已编号的卡片（1—10号）中任取一张，被取出的卡片的号数； （2）抛掷一个骰子得到的点数； （3）一个袋子里装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； 练习2：把一枚硬币先后抛掷两次，如果出现两个正面得5分，出现两个反面得-3分，其他结果得0分，列表写出可能出现的结果与对应的分值。 2、离散型随机变量：如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量。 二、离散型随机变量的分布列 1、 离散型随机变量X 的概率分布（或离散型随机变量X 的分布列） 概率分布表需要列出： （1） X 所有可能的值； （2） X 取每一个值的概率。如下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 2、 离散型随机变量的分布列有下面两条性质： （1） p i ≥0，i=1,2,3…. ，n ； （2） p 1+p 2+…+p n =1. 3、 两点分布：如果随机变量X 的分布列为 其中0 高二数学 杨辉三角与二项式系数的性质练习题（二） 班级 姓名 1.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等，则n 为（ ） A .8 B .9 C .10 D .11 2.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ ） A .第2n+1项 B .第2n+2项 C .第2n 项 D 第2n+1项或2n+2项 3.10110--1的末尾连续零的个数是（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.若n 为奇数，777712211---+???+++n n n n n n n C C C 被9除所得的余数是（ ） A .0 B .2 C .7 D .8 5.5 n +13 n (n N ∈)除以3的余数是（ ） A .0 B .0或1 C .0或2 D .2 6.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ） A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44 7.! 20123181920!417181920!21920C 0 4?????????+???+???+?+的值是（ ） A .217 B .218 C .219 D .220 8.(1-2x)15的展开式中的各项系数和是（ ） A .1 B .-1 C .215 D .315 9. 在(ax+1)7的展开式中，(a>1)，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，则a 的值是 。 10.设112 1 31 )13(x x +展开式中各项系数和为A ，而它的二项式系数之和为B ，若A+B=272，那么展开式中x -2项的系数是 。 11.关于二项式(x -1)2007有下列四个命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1； ②该二项展开式中系数最大的项是第1004项； ③该二项展开式中第6项为200162007x C ； ④当x=2008时，(x -1)2007除以2008的余数是2007。 其中正确命题的序号是 。 12.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图所示的0~1三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 行全行的数都为1的是第 行。 解三角形测试题 一、选择题： 1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于（） A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120° 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b=2,∠A=30°C．a=1,b=2,∠A=100°D．b=c=1, ∠B=45° 3、在锐角三角形ABC中，有（） A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosA A ． )sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβ α-?a C ． )sin(cos sin αββα-a D ．) cos(sin cos βαβ α-a 8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南 偏东60°,则A,B 之间的相距 （ ） A ．a (km) B ．3a(km) C ．2a(km) D ．2a (km) 二、填空题： 9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____. 11、在ΔABC 中，若S ΔABC = 4 1 (a 2+b 2－c 2 ),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=32 31 ,则cosC=_______. 三、解答题： 13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B). 14、已知ΔABC 三个内角A 、B 、C 满足A+C=2B, A cos 1+ C cos 1 =－ B cos 2 , 求2 cos C A -的值. 15、二次方程ax 2－2bx+c=0,其中a 、b 、c 是一钝角三角形的三边,且以b 为最长. D C 解三角形卷一 一．选择题 1．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为 A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－14 2、在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为 A B C D 3、在ABC △中，::1:2:3A B C =，则sin :sin :sin A B C = A 、1:2:3 B 、 C 、 D 、2 4、在ABC △中，sin :sin :sin 4:3:2A B C =，那么cos C 的值为 A 、14 B 、14- C 、78 D 、1116 5、在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为 A 、3π B 、6π C 、4 π D 、12π 6、在ABC △中，60,16,A b == 面积3220=S ，则c = A 、610 B 、75 C 、55 D 、49 7、在ABC △中，()()()a c a c b b c +-=+，则A = A 、30 B 、60 C 、120 D 、150 8、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B === C 、7,5,80a b A === D 、14,16,45a b A === 二、填空题。 9．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ． 10．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 22 A ，则此三角形是__________三角形． 11. 在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ． 精心整理杨辉三角的规律以及定理 1二项式定理与杨辉三角 杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。 222 则 为： 1 1(11 ）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。 由上式可以看出，(a+b)n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2…n-n，b的次数依次上升，0、1、2…n次方。系数是杨辉三角里的系数。 2杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1(1) 11(1+1=2) 121(1+2+1=4) 1331(1+3+3+1=8) 6，…n 3 1615201561 把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6 把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15 把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20 把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15 把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6 把斜行(6)中第7行之前的数字相加得1 将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全 相同的。 n (3)中第 2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。 3、第n行的数字有n+1项。 4、第n行数字和为2(n-1)。（2的(n-1)次方） 5 (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。 [1] 6、第n行的第m个数和第n-m个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质练习 一、选择题 1．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数和是( )． A ．2n ＋1 B ．2n ＋1＋1 C ．2n ＋1－1 D ．2n ＋ 1－2 2 ．在2 n x ? ?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )． A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28 3．(2 )8展开式中不含x 4项的系数的和为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 4 ．已知1n x ???展开式中的第10项是常数，则展开式中系数最大的项是( )． A ．第19项 B ．第17项 C ．第17项或第19项 D ．第18项或第19项 5．(2012云南昆明一中月考，理6)已知(1－2x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )． A ．1 B ．－1 C ．36 D ．26 二、填空题 6．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3 ＋…＋a 11的值为__________． 7．(2012安徽安庆模拟，理14)设 (1)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M,8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为__________． 8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶ 3. 三、解答题 9．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于5 2165 x ? ?的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值． 10．设m ，n ∈N ，f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋x )n . 2008山东省莱州一中解三角形单元测试题 （时间120分钟，满分150分） 一、选择题：（每小题5分，共计60分） 1. △ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( ) A 直角三角形 B 等腰直角三角形 C D 等腰三角形 2. 在△ABC 中，3c=3，B=300，则a 等于（ ） A 3 B ．3 C 3或3 D ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ） A ．a=7，b=14，A=300有两解 B ．a=30，b=25，A=1500有一解 C ．a=6，b=9，A=450有两解 D ．a=9，c=10，B=600无解 4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cos C 的值为 （ ） A ．41- B ．41 C ．3 2 - D ．32 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C B A c b a sin sin sin ++++等于( ) A ．33 B ．3 39 2 C ．338 D ．2 39 6. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则?的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．-5 7.关于x 的方程02 cos cos cos 2 2 =-??-C B A x x 有一个根为1，则△AB C 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 8. 设m 、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( ) ＜m ＜3 ＜m ＜3 ＜m ＜4 ＜m ＜6 9. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) ° ° °或120° ° 10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) °＜A ＜30° °＜A ≤45° °＜A ＜90° °＜A ＜ 60° 2019-2020学年高一数学 杨辉三角与二项式系数(二)作业 1.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等，则n 为（ ） A .8 B .9 C .10 D .11 2.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ ） A .第2n+1项 B .第2n+2项 C .第2n 项 D 第2n+1项或2n+2项 3.10110-1的末尾连续零的个数是（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.若n 为奇数，777712211---+???+++n n n n n n n C C C 被9除所得的余数是（ ） A .0 B .2 C .7 D .8 5.5 n +13 n (n N ∈)除以3的余数是（ ） A .0 B .0或1 C .0或2 D .2 6.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ） A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44 7.!20123181920!417181920!21920C 0 4?????????+???+???+?+ 的值是（ ） A .217 B .218 C .219 D .220 8.(1-2x)15的展开式中的各项系数和是（ ） A .1 B .-1 C .215 D .315 9. 在(ax+1)7的展开式中，(a>1)，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，则a 的值是 。 10.设112131)13(x x + 展开式中各项系数和为A ，而它的二项式系数之和为B ，若A+B=272，那么展开式中x 2项的系数是 。 11.关于二项式(x 1)2007有下列四个命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1； ②该二项展开式中系数最大的项是第1004项； ③该二项展开式中第6项为200162007x C ； ④当x=2008时，(x 1)2007 除以2008的余数是2007。 其中正确命题的序号是 。 12.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图所示的01三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 行全行的数都为1的是第 行。 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……… ……… ……… 13.用二项式定理证明6363+17能被16整除.(完整版)教学案例.杨辉三角与二项式系数性质(标准)
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