济川中学初三数学锐角三角函数复习讲义
一．基础训练：
1.△ABC中a、b、c分别是∠A．∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（）
A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b
2.如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的
米180米
3.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为
第2题
第4题第5题4.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度1:5
i=，则AC
的长度是
cm．
5.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若BD：AD=1：4，则
tan∠BCD的值是
6.如图所示，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P?是AB?延长线上
一点，?BP=2cm，则tan∠OPA等于
7..计算：
（1）-3－2+(2π－1)0－
3
3
tan30°－cos45°（2）
2
45
tan
45
cos
2
30
cos
60
tan
45
sin
+
?
+
8.某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图7所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8. 8m．在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD= 3.2m．已知斜坡CD的坡比i=1AB。（结果保留整数，参≈1.7）
9.如图，在ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，BC =14，AD=12，sinB=0.8 求：（1）线段DC 的长； （2）tan ∠EDC 的值。
二．典型例题
例1：如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 分别是小正方形的顶点，在△ABC 与 △DEF 中，下列结论成立的是（ ） A ．∠BAC=∠EDF B ．∠DFE=∠ACB C ．∠ACB=∠EDF D ．以上都不对 例2.
（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA ·tanB= sinA cosB
cosA sinB sin 2A+cos 2
A=
（2）已知∠A 为锐角，且cosA ≤，那么∠A 的范围是
（3）若α为锐角，且cos α=,则m 的取值范围是 例3：水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD ．如图9所示，已知迎水坡面AB 的长为16米，∠B ＝60°，背水坡面CD 的长为
固后大坝的横截面为梯形ABED ，CE 的长为8米．
（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？
（2）求加固后大坝背水坡面DE 的坡度．
例4：如图Rt △ABC ，∠C=90°，AC=AB ，用尺规作图，作一个角等于22.5°
(不写作法，保
留作图痕迹)，并求tan22.5°
的准确值。
例5：求证：三角形的面积等于两边的长与其夹角的正弦值的乘积的一半；
E
D
C B
A
A
B
C A B C
D E
例6：如图，在航线的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处． （1）求观测点B 到航线l 的距离；
（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h ）．（
1.73，sin 760.97°≈，cos 760.24°≈，tan 76 4.01°≈）
二．课堂作业
1.已知锐角α的正弦值是方程(21)(3)0x x --=的根，则∠α的正弦值为（ ）
A ．
1
2
B ．3
C ．
12
或3 D ．300
2.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，
则迎水坡面AB 的长度是（ ）
A ．100m
B ．1003m
C ．150m
D ．503m
3.如图，2014年12月10日，中国渔民在中国钓鱼岛附近捕鱼作业，
中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60o
方向的B 地，有一艘日本军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民。此时，C 地位于中
国海监船的南偏东45o
方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？（2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
4.如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集 热管AB 与支架CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心，支架CD 与水平面AE 垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架 DE=76厘米，∠CED=60°. (1)求垂直支架CD 的长度。（结果保留根号） （2）求水箱半径OD 的长度。（结果保留根号）
课后作业：
1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，下列各式中一定正确的是（ ） (A)sinA ＝sinB (B)sinA ＝cosB (C)tanA ＝tanB (D) cosA ＝cosB
2.表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示3点
30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10公分。如图，若此钟面显示3点45分时，A 点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为多少公分？ ( )
A ．3322－
B ． ＋16
C ．18
D ．19
3.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图)，那么，由此可知，B C 、两地相距m.
4.如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC =135°，BC 的长约是25m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是 m ．
5、如图，菱形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，BE=DF=
1
4
BD ，若四边形AECF 为正方形，则tan∠ABE=_________．
第2题 第3题 第4题 第5题
6、等腰三角形的腰长为2cm ，面积为1 cm 2
，则顶角的度数为
7.为了迎接青奥，社区组织奥林匹克会旗传递仪式．需在会场上悬挂奥林匹克会旗，已知矩形DCFE 的两边DE 、DC 长分别为1.6m 、1.2 m ．旗杆DB 的长度为2 m ，DB 与墙面AB 的夹角∠DBG 为35°．当会旗展开时如图 （1）求DF 的长；
（2）求E 点离墙面AB 距离．（结果精确到0.1 m.参考数据： sin35°≈0.57，
cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
E F
C
D
A
B
8.坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．
（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高．图1为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶（M）的仰角α=35°，在A点和塔之间选择一点B，测出看塔顶（M）的仰角β=45°，然后用皮尺量出A、B两点的距离为18.6m，自身的高度为1.6m．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度；（tan35°≈0.7，结果保留整数）（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP的长为am（如图2），你能否利用这一数据设计一个测量方案如果能，请回答下列问题：
①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：；
②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据．
③请说出你的测量方案
9.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F,过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．
（1）求证：PB与⊙O相切；
（2）若OD=2，OP=8，求EF的长；
（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．
聚焦中考
1.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF 交DE于点G．
（1）求证：△DCF≌△ADG．
（2）若点E是AB的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．
2.小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，
B、D两点立于地面，经测量： AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF=32cm．
(1)求证：AC∥BD；
(2)求cos∠OEF值
(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由。（参考数据：sin61.90.882,cos61.90.471,tan28.10.533
?≈?≈?≈）
命题：许小玲审核：顾玉先
济川中学初三数学锐角三角函数复习讲义 一．基础训练： 1.△ABC中a、b、c分别是∠A．∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（） A．csinA=a B．bcosB=c C．atanA=b D．ctanB=b 2.如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的 米180米 3.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为 第2题 第4题第5题4.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度1:5 i=，则AC 的长度是 cm． 5.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若BD：AD=1：4，则 tan∠BCD的值是 6.如图所示，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P?是AB?延长线上 一点，?BP=2cm，则tan∠OPA等于 7..计算： （1）-3－2+(2π－1)0－ 3 3 tan30°－cos45°（2） 2 45 tan 45 cos 2 30 cos 60 tan 45 sin + ? + 8.某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图7所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8. 8m．在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD= 3.2m．已知斜坡CD的坡比i=1AB。（结果保留整数，参≈1.7）
9.如图，在ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，BC =14，AD=12，sinB=0.8 求：（1）线段DC 的长； （2）tan ∠EDC 的值。 二．典型例题 例1：如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 分别是小正方形的顶点，在△ABC 与 △DEF 中，下列结论成立的是（ ） A ．∠BAC=∠EDF B ．∠DFE=∠ACB C ．∠ACB=∠EDF D ．以上都不对 例2. （1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA ·tanB= sinA cosB cosA sinB sin 2A+cos 2 A= （2）已知∠A 为锐角，且cosA ≤，那么∠A 的范围是 （3）若α为锐角，且cos α=,则m 的取值范围是 例3：水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD ．如图9所示，已知迎水坡面AB 的长为16米，∠B ＝60°，背水坡面CD 的长为 固后大坝的横截面为梯形ABED ，CE 的长为8米． （1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？ （2）求加固后大坝背水坡面DE 的坡度． 例4：如图Rt △ABC ，∠C=90°，AC=AB ，用尺规作图，作一个角等于22.5° (不写作法，保 留作图痕迹)，并求tan22.5° 的准确值。 例5：求证：三角形的面积等于两边的长与其夹角的正弦值的乘积的一半； E D C B A A B C A B C D E
１．2任意角的三角函数 (一)、任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y , 那么: (1）y 叫做α的正弦，记作sin α,即sin y α=; （２）x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=; （３)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=; 可以看出:当()2k k Z π απ=+∈时,α的终边在y 轴上,这时点P 的横坐标0x =,所以 tan y x α=无意义，除此之外，对于确定的角α，以上三个值都是唯一确定的。 正弦，余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将它们统称为三角函数。 注:取角α的终边上任意一点(,)P a b (原点除外) ,则对应的角α的正弦值 sin α=，余弦值cos α=tan b a α=。注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理。 例1、有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若sin α>0,,则α是第一、二象限的角; ④若α是第二象限的角，且(,)P x y 是其终边上一点,则 cos α=（其中正确的命 题的个数是） . Ａ、1 B 、2 C 、3 D 、４ 例２、若sin 0θ<且tan 0θ>,则θ是第_____＿____象限角。 例３、若sin cos 0θθ>,则θ在(） A 、第一或第二象限 B 、第一或第三象限 C 、第一或第四象限 Ｄ、第二或 四象限 例4、已知sin sin ,cos cos ,sin cos 0θθθθθθ=-=-?≠且，判断点(tan ,sin )P θθ在 第几象限。 例５、已知角α的终边过点(3,4)(0)P a a a -≠,求2sin cos αα+的值 例6、有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若sin 0α>,则α是第一、二象限角;
复习讲义：三角函数 一、知识点归纳： ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin α= ，cos α= ，tan α= ． 10、三角函数在各象限的符号： 第一象限 为正，第二象限 为正，第三象限 为正，第四象限 为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：
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第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==，
()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线 OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变形形 式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα 例4．已知cos(π+α)=－2 1，2 3π<α<2π，则sin(2π－α)的值是（ ）．
三角函数 1．同角三角函数的基本关系式：1 cos sin2 2= +α αα α α tan cos sin = 2．诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） α α πsin ) sin(- = +α α πcos ) cos(- = +α α πtan ) tan(= + α α πsin ) sin(= -α α πcos ) cos(- = -α α πtan ) tan(- = - α α π cos ) 2 sin(= +α α π sin ) 2 cos(- = +α α π cos ) 2 sin(= - α α π sin ) 2 cos(= -α αsin ) sin(- = -α αcos ) cos(= - 3．两角和与差的公式 , β α β α β αsin cos cos sin ) sin(+ = +β α β α β αsin cos cos sin ) sin(- = - β α β α β αsin sin cos cos ) cos(- = +β α β α β αsin sin cos cos ) cos(+ = - β α β α β α tan tan 1 tan tan ) tan( - + = + β α β α β α tan tan 1 tan tan ) tan( + - = - 4．倍角公式α α αcos sin 2 2 sin=1 cos 2 sin 2 1 sin cos 2 cos2 2 2 2- = - = - =α α α α α α α α 2 tan 1 tan 2 2 tan - = 5．降幂公式 2 2 cos 1 sin2 α α - = 2 2 cos 1 cos2 α α + =α α α2 sin 2 1 cos sin= 6．幅角公式x b x aω ωcos sin+) sin( 2 2? ω+ + =x b a，其中 a b = ? tan 8．补充公式α α α α α2 sin 1 cos sin 2 1 ) cos (sin2± = ± = ±， 2 cos 2 sin sin 1 α α α± = ± * 知识点睛 图象 ）
锐角三角函数 知识点一：锐角三角函数 1、锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 2、锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边 A A ∠= sin 。 3、锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边 A A ∠=cos 。 4、锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan 。 sin α，cos α，tan α都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。 考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosB=5 4 ，则AC ：BC ：AB=（ ） A 、3：4：5 B 、5：3：4 C 、4：3：5 D 、3：5：4 2、已知锐角α，cosα= 3 5 ，sinα=_______，tanα=_______。 3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB= = ______。 4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= 1 3 ，则BC 等于_______。 5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ） A 、ncosB B 、1 n cosB C 、cos n B D 、不变 考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形 例1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 6、如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 面积（结果可保留根号）。 注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三
任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)分类:按旋转方向分为、和零角;按终边位置分为和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S=. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad. (2)公式: 角α的弧度数的绝对值|α|=l r(弧长用l表示) 角度与弧度的换算①1°=π180rad,②1rad=180π° 弧长公式弧长l= 扇形面积公式S=12lr=12|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=,cos α=,tanα=y x(x≠0). (2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-16-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角α 的、和. 图3-16-1 常用结论 象限角与轴线角 (1)象限角
(2)轴线角 题组一常识题 1.[教材改编]终边在射线y=-3x(x<0)上的角的集合是. 2.[教材改编](1)67°30'=rad; (2)π12=°. 3.[教材改编]半径为120mm的圆上长为144mm的弧所对圆心角α的弧度数是. 4.[教材改编]若角α的终边经过点P(-1,2),则sinα-cosα+tanα=. 题组二常错题 ◆索引:对角的范围把握不准;由值求角时没有注意角的范围;求三角函数值时没有考虑角的终边所在的象限;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错. 5.在△ABC中,若sin A=. 6.已知点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,则在[0,2π]内α的取值范围 是. 7.已知角α的终边落在直线y=-3x上,则|sinα|sinα-|cosα|cosα=. 8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为cm2. 课堂考点探究 探究点一角的集合表示及象限角的判定 1(1)设集合M=x x=k2·180°+45°,k∈Z,N=x x=k4·180°+45°,k∈Z,那么() A.M=N B.M?N C.N?M D.M∩N=? (2)已知角α的终边在图3-16-2中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则所有角α构成的集合是. 图3-16-2 [总结反思]把角表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,即可判断其所在的象限. 式题(1)已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.
三角函数 知识点精讲： 定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。 ????? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为___________________________________ 第二象限角的集合为___________________________________ 第三象限角的集合为___________________________________ 第四象限角的集合为___________________________________ 终边在x 轴上的角的集合为______________________________ 终边在y 轴上的角的集合为______________________________ 终边在坐标轴上的角的集合为____________________________ 3、与角α终边相同的角的集合为{} 360,k k ββα=?+∈Z 二、弧度制 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。 360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==． 三、任意角的三角函数 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的
第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），
它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变 形形式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα
三角函数基本概念及方法指导 一、角的概念的推广 1、角的定义： 2、角的分类： （1）角按旋转方向的分类：正角：负角： 零角： （2）角按终边位置的分类：象限角： 轴线角 【注：角的顶点与始边】 特别：终边相同的角表示： 【注：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。】 例题讲解： 例1、角概念的理解：锐角是第几象限角？第一象限的角都是锐角吗？ 例2、象限角的理解 第一象限角的集合： 第二象限角的集合： 第三象限角的集合： 第四象限角的集合： 练习：－1120°角所在象限是 例3、如何表示终边相同的角: 与30°角的终边相同的角的表达式. 练习：1、角α的终边落在一、三象限角平分线上,则角α的集合是 2、与角－1560°终边相同角的集合中最小的正角是 3、写出与-2250角终边相同角的集合，并在集合中求出-7200~10800内的所有角。 例4：已知角α是第二象限角，求：（1）角2 α 是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。 【注：两种方法说明。延伸3倍关系】 思考：若α是第四象限的角，则α- 180是第几象限角？ 二、弧度制 1、弧度概念：在半径为单位长度的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度角度制 2、角度制转化为弧度制：（实质说清楚）例1、把'3067 化成弧度 3、弧度制转化为角度制：如：把rad π5 3化成度 例1、若α＝－3，则角α的终边在第几象限？ 转化过程要求必须非常熟悉：掌握0到360内所有特殊角转化 4、弧长、面积公式;180r n l π=r α=?,3602R n S π=扇12 lR =【注：要求不记公式，要掌握推导过程】 例1、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 2、某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 3、半径为1的圆上有两点A,B 若AMB 的长=2,求弓形AMB 的面积 角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 sin cos tan
任意角的三角函数教案（第一课时） 一．教材分析 三角函数是函数的一个基本组成部分，也是一个重要组成部分，在整个高中以至于大学都会经常用到三角函数的知识。初中已经学习过锐角的三角函数，教材第一节学习了任意角的表示方法，这些是学习任意角三角函数的基础。本节课的主要内容是：弦、余弦、正切的定义；正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各个象限的符号 二．教学目标 1、理解任意角的三角函数的定义； 2、会求任意角的三角函数值； 3、体会类比，数形结合的思想。 三.重点，难点 教学重点：理解任意角的三角函数的定义。 教学难点：从函数的角度理解三角函数。 四，教学过程 （一） 新课引入 （二） 练习：sin30= cos30= tan30= 那么300度，30000度呢？ 我们已经学习了锐角三角函数，知道它是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限。在α的终边上任取一点P （a,b ），它与原点的距离r ＝22b a +>0,表示三角函数；
sin α=r b , cos α=r a , tan α=a b .取P ，使r=1,则sin α=b cos α=a tan α=a b ,引入单位圆的概念。 （三） 概念介绍 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x,y ），那么， （1） y 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α＝y ； （2） x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； （3） x y 叫做α的正切，记作tan α，即tan α=x y 。 正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。 （四） 例题讲解 例一 求3 5π的正弦，余弦和正切值。 小结：让学生熟悉三角函数的概念，用单位圆表示三角函数。 例二 已知角α的终边经过p （－3，－4），求角α的正弦，余弦，正切值。 小结：通过这道题的求解，让学生知道质押知道终边上一个点的左边就可以求出三角函数值，于是用角的终边上任意点坐标的比值来定义三角函数和用单位圆是等价的。引导学生思考这种“等价性”的原因，并让他们自己给出新的定义： 角α的终边上一点P （a,b ），它与原点的距离r ＝22b a +>0,则 （1） r b 叫做三角形的正弦，即sin α=r b ; （2） r a 叫做三角形的余弦，即cos α=r a ; （3） a b 叫做三角形的正切，即tan α=.a b
高一数学下必修四第一章三角函数第一讲：三角函数（1） ? ? ? ? ? 正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090, k k k αα ?<
-- 高一数学下必修四第一章三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
-- 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=，1180π = ，180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ，则l r α=,2C r l =+， 211 22 S lr r α==. 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐 标是(),x y ，它与原点的距离是 () 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. １0、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正． 11、三角函数线:sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT . 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；() sin 2tan cos α αα = sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ?? ?. １３、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-.
__________________________________________________ 高一数学下必修四第一章三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<
__________________________________________________ 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π = ，180157.3π??=≈ ??? ． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+， 211 22 S lr r α==． 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标 是(),x y ，它与原点的距离是 () 0r r =>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；() sin 2tan cos α αα = sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ?? ?． 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．
文件和资料标准化管理制度 1 目的 通过对公司文件资料的有效控制，确保工作现场使用唯一有效的文件资料，并形成统一规范的编写格式及 处理程序。 2 适用范围 本制度适用于公司所有公务文书、文件和资料的管理。 3 术语和定义 3.1 公文：指公司在处理各种公务时使用的应用文书，包括：决定、决议、通知、通报、报告、请示、批 复、函（电报）、会议纪要。 3.2 制度（程序）：指要求公司成员共同遵守的，按一定程序办事的规程性文件。 3.3 办法：指公司针对某项工作依照其所需标准制定的考核奖惩性的文件。 3.4 标准：指公司对某项工作应达到的要求进行规范和约定的文件。 3.5 规章制度：公司各种制度、规定、办法的泛称。 3.6 记录：指公司对某项活动的各工作环节、结果进行记录，可供事后追溯该项活动完成质量的证据性文 件，主要为表格形式。 4 职责权限 4.1 经理负责公司制度、办法、标准、计划、记录和以公司名义下发的公文的批准。 4.2 管理者代表负责制度、办法、标准、计划、记录的审核。 4.3 各单位负责本单位相关文件资料的编写、审核、打印、校对工作。 4.4 总经办负责以公司名义下发执行的各类文件资料的编号、发放、收回、作废销毁和归档，负责对各单 位文件资料管理情况进行监督检查。 4.5 各单位负责以本单位名义下发执行的各类文件资料的编号、发放、收回、作废销毁和归档。 5 工作程序 5.1 文件资料的编写格式 5.1.1 文件资料的用纸标准： 公司各类文件资料的正式编印一般用A4(210mm×297mm)型纸张。图纸表格等不宜减小时，该页应按以上纸型尺寸折叠装订。张贴的公文用纸大小，根据实际需要确定。 5.1.2 文件和资料章、条、款的编排规则： 5.1.2.1 根据文件内容的编排划分，“章”就是一个章节，包括条和款，“条”是章的一个部分，“款”是章或条的一个 层次。章、条均用阿拉伯数字编号。 5.1.2.2 “章”应左起空两格书写，如第1章用“1”标注，右侧空一格写该章的标题，标题一行书写不够时，可另起一行，这一行的第一个字与标题的第一个字平排书写。章与章之间应空一行编排。 5.1.2.3 “条”在“章”的编号右下加一个小圆点，再写该条在该章所处的顺序，如第4章第1条，用“4.1”表示，后空一格书写该条的标题。如果一章的各条根据需要再分为若干下一层次的小条，其编号表示方法同上，如第4章第2条，再分3小条，则分另表示为“4.2.1”、“4.2.2”、“4.2.3”，如果“4.2.1”再分为2个小条，则分别表
考点13 三角函数定义【思维导图】 【常见考法】 考点一：终边相同的角1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为。
2．下列各组角中，终边相同的角是 。 A ． 2k π与()2 k k Z π π+∈ B ．3 ± k π π与 ()3 k k Z π ∈ C ．()21+k π与 ()()41k k Z π±∈ D ．6 k ππ+与()6k k Z π π±∈ 3．已知集合|22,4 2k k k Z π π απαπ?? + ≤≤+ ∈??? ? 则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是 。 A ． B ． C ． D ． 4．集合M={|,24k x x k ππ=+∈Z}，N={|,4 k x x k π =∈Z}，则 。 A ．M ?N B ．N ?M C ．M N=? D ．M N=R 考点二：三角函数定义 1．角α的终边经过点（2，﹣1），则2sinα+3cosα的值为 。
2．已知角θ的终边经过点P （4，m ），且sinθ=3 5 ，则m 等于 。 3．若点(),P x y 是330角终边上异于原点的任意一点，则y x 的值是 。 4．在平面直角坐标系中,点()1,2A 是角α终边上的一点,点()1,1B -是角β终边上的一点,则()cos αβ-的值是 。 5如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点11(,)A x y 和第二象限内的点22(,)B x y 都在单位圆O 上， AOx α∠=，3 AOB π ∠= .若212 13 y = ，则1x 的值为 。 6．0,t <设点2,12t P t ?? + ?? ?是角α终边上一点，当OP 最小时，cos α的值是 。 7．已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin （α+β）＝ 2 ，则cosβ＝ 。
三角函数复习资料 一、选择题： 1．(2007年全国高考题)函数f (x ) ＝ | sin x ＋cos x |的最小正周期是 A ．π 4 B ．π 2 C ．π D ．2π 2．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若函数)sin()(?ω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则?ω和的取值是 A ．3 ,1π ?ω= = B ．3 ,1π ?ω- == C ．6 ,21π ?ω== D ．6 ,21π ?ω-== 4．函数]),0[)(26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 A ． ]3 , 0[π B ． ]12 7, 12 [ ππ C ． ]6 5, 3 [ ππ D ． ],6 5[ ππ 5．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数．若)(x f 的最小正周期是π，且当]2 ,0[π ∈x 时，x x f sin )(=， 则)35( π f 的值为 A ． 2 1- B ． 2 1 C ． 2 3- D ． 2 3 6．(2006年全国高考题)锐角三角形的内角A 、B 满足tan A －A 2sin 1 ＝ tan B ，则有 A ．sin 2A –cos B ＝ 0 B ．sin 2A ＋ cos B ＝ 0 C ．sin 2A – sin B ＝ 0 D ．sin2A ＋sinB ＝0 7．为了得到函数)6 2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象 A ．向右平移π 6个单位长度 B ．向右平移π 3个单位长度 C ．向左平移π 6 个单位长度 D ．向左平移π 3 个单位长度 8．当0 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ. §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l = α. 3、弧长公式 ：R R n l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 2 1 3602==π. §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：x y x y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点，那么： （设r = sin y r α= ，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、 特殊角0°，30°45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值. §1.2.21、 平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 2、 商数关系：α α αcos sin tan = . 3、 倒数关系：tan cot 1αα= §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为Z k ∈） §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-1202 2 π π ππ（， ）（，，）（，，）（，，）（，，）.(完整word版)高中数学专题系列三角函数讲义(2)
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