气垫导轨上弹簧振子振动的研究
力学实验最困难的问题就是摩擦力对测量的影响。气垫导轨就是为消除摩擦而设计的力学实验的装置，它使物体在气垫上运动，避免物体与导轨表面的直接接触，从而消除运动物体与导轨表的摩擦，也就是说，物体受到的摩擦阻力几乎可以忽略。利用气垫导轨可以进行许多力学实验，如测速度、加速度，验证牛顿第二定律、动量守恒定律，研究简谐振动、阻尼振动等，本实验采用气垫导轨研究弹簧振子的振动。 一、必做部分：简谐振动 [实验目的]
1．测量弹簧振子的振动周期T 。 2．求弹簧的倔强系数k 和有效质量
0m 。
[仪器仪器]
气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 [实验原理]
在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图13-1所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。
设质量为m 1的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为x 0，当m 1距平衡点x 时，m 1只受
弹性力)(01x x k +-与)(01x x k --的作用，其中k 1是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 x
m x x k x x k =--+-)()(0101（1） 令 12k k =
方程（1）的解为
)s i n (00?ω+=t A x （2）
说明滑块是做简谐振动。式中：A —振幅；0?—初相位。
m k
=
0ω
（3）
0ω叫做振动系统的固有频率。而
01m m m += （4）
式中：m —振动系统的有效质量；m 0—弹簧的有效质量；m 1—滑块和砝码的质量。
0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系：
k m m k m
T 010
222+===
ππ
ωπ
（5）
在实验中，我们改变m 1，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。
图13-1简谐运动原理图
[实验内容]
1．按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。
2．测量图13-1所示的弹簧振子的振动周期T ，重复测量6次，与T 相应的振动系统的有效质量是01
m m m +=，其中m 1就是滑块本身（未加砝码块）的质量，m 0为弹簧的有效质
量。
3．在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤2测量相应的周期T ，这时系统的有效质量
02m m m +=，其中 m 2应是滑块本身质量加上两块砝码的质量和。
4．再用03m m m +=和04m m m +=测量相应的周期T 。式中：+=13m m “4块砝码
的质量”；
+=14m m “6块砝码的质量”。（注意记录每次所加砝码的号数，以便称出各自
的质量。）
5．测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。 6．在天平上称衡两弹簧的实际质量与其有效质量进行比较。
7．求出弹簧的倔强系数k 和有效质量0m ，以及弹簧的有效质量与实际质量之比。 [数据处理]
1．用逐差法处理数据。 由下列公式：
???????
????+=+=+=+=)(4)(4)(4)(40422
4032
2
3022
220122
1
m m k T m m k T m m k
T m m k
T ππππ （6）
???????
--='-=---=
'-=-2
2242422422
2242123132132
2
123
)(4)
(4)(4)
(4T T m m k m m k
T T T T m m k m m k T T ππππ
（7）
故 )
(21
k k k ''+'= （8）
如果由（7）式得到k k '''和的数值是一样的（即两者之差不超过测量误差的范围），说明（5）式中T 与m 的关系是成立的。将平均值k 代入（6）式，得
i
i oi m T k m -=22
4π （i=1, (4)
（9）
∑==4
1041i oi
m m
（10）
平均值0m 就是弹簧的有效质量。 2．用作图法处理数据
以2
i T 为纵坐标，m i 为横坐标，作i i m T -2图，得直线。其斜率为k 2
4π，截距为02
4m k π，
由此可求出k 和m 0。
[思考题] 仔细观察，可以发现滑块的振幅是不断减小的，那么为什么还可以认为滑块是做简谐振动？实验中应如何尽量保证滑块做简谐振动？
二、选做部分：阻尼振动 [实验目的]
1．观测弹簧振子在有阻尼情况下的振动，测定表征阻尼振动特性的一些参量，如对数减缩
Λ、驰豫时间τ、品质因数Q 的方法；
2．利用动态法测定滑块和导轨之间粘性阻尼常量b 。 [实验仪器]
气垫导轨，滑块，弹簧，光电门，数字毫秒计，附加物。 [实验原理]
一个自由振动系统由于外界和内部的原因，使其振动的能量逐渐减少，振幅因之逐渐衰减，最后停止振动，这就是阻尼振动。在单摆和天平的实验中我们观察到阻尼振动，实际上不仅在力学实验中，也不限于机械运动，例如，电流指针的运动，LRC 振荡电路中的电流、电压变化等也是阻尼振动。
本实验的阻尼谐振子由气垫导轨上的滑块和一对弹簧组成，如图13-2。此时滑块除受弹簧恢复力作用外，还受到滑块与导轨之间的粘性阻力的作用。在滑块速度较小时，粘性阻力F 阻和滑块的速度成正比，即
dt dx
b
bv F ==阻 （11）
图13-2阻尼振动原理图
式中b 为粘性阻尼常量。气垫导轨上由滑块和一对弹簧组成的振动系统，在弹性力kx 和阻尼力F 阻作用下，滑块的运动方程为
dt dx b kx dt x d m --=22 （12）
式中m 为滑块质量。令
m k m b ==
20,2ωδ，其中常数δ称为阻尼因数，0ω为振动系统的固
有频率，则式（12）可改写为
022
02
2=++x dt dx dt x d ωδ （13）
当阻力较小时，此方程的解为
)c o s (0?ωδ+=-t e A x f t （14）
其中220δωω-=f ，而阻尼振动周期T 为
22022δωπ
ωπ
-=
=
f
T （15）
由以上可知，阻尼振动的主要特点是：
1．阻尼振动的振幅随时间按指数规律衰减，如图13-3，即t
e A A δ-=0。显然，振幅衰减的
快慢和阻尼因数δ的大小有关，而
m b
2=
δ，因而和粘性阻尼常量b 及振子质量m 有关。
2．阻尼振动周期T 要比无阻尼振动周期
)
2(0
ωπ
=
T 略长，阻尼越大，周期越长。
为直观地反映阻尼振动的衰减特性，常用对数减缩Λ、弛豫时间τ及品质因数Q 来表示。在弱阻尼情况下，它们清楚地反映了振动系统的振幅及能量衰减的快慢，而且提供了粘性阻尼常量b 的动态测量方法。 （1）对数减缩Λ
是指任一时刻 t 的振幅A （t ）和过一个周期后的振幅A （t+T ）之比的对数，即
T e A e A T t t
δΛδδ==+--)
(00ln （16）
将
m b
2=
δ代入上式，得
T m b Λ
2=
（17）
即测出Λ，就能求得δ或b 。
（2）弛豫时间τ
它是振幅A 0衰减至初值 e -1(=0.368) 倍所经历的时间，即
100--=e A e A r δ
所以
Λδ
τT
=
=
1
（18）
（3）品质因数Q
一个振动系统的品质因素又称Q 值，是一个应用极为广泛的概念，它在交流电系统及无线电电子学中是一个很常见的术语。品质因数是指振动系统的总能量E 与在一个周期中所损耗的能量?E 之比的2π 倍，用Q 表示，则
E E Q ?π
2=
（2-19）
阻尼振动中，能量的损耗是由于克服阻尼力作功而造成的，其作功的功率等于阻尼力的大小bv 乘以运动速率v ，即等于bv 2。在振动时，bv 2是一个变量，可用一个周期中的平均值作为这一周期中的平均效果。这样，一个周期中的能量损耗?E 等于一个周期中克服阻尼力作的功，所以
T bv E 平均)(2=?
而对于振动系统而言，一个周期中的平均动能等于平均势能，且均等于总能量的一半，即
E kx mv 21)21()21(22==平均平均
m E
v =
平均)(2
因而
T
m
E b E =? （20）
综合式（20）、（17）、（19），得出
Λπ
=
Q （21）
从以上的讨论可知，只要测出阻尼振动的对数减缩，就能求出反映阻尼振动特性的其它量，如、Q b 、
τ。
[实验内容]
1．利用半衰期法求Λ。测定滑块、弹簧组成的阻尼谐振子的对数减缩Λ，弛豫时间τ及品质因数Q 。
半衰期是指阻尼振动的振幅从初值A 0减到A 0/2时所经历的时间，记为T h ，则
h
T e A A δ-=00
2
由此可得
δ
2
ln =
h T
参照式（16）可得，
h T T 2
ln =
Λ （22）
用停表测出阻尼谐振子的振幅从A 0减小到A 0/2的时间T h 及周期T ，计算对数减缩Λ，进而求出τ和Q 值以及阻尼常量b 值。
2．考查振子质量及弹簧的劲度系数k 对阻尼振动各常数的影响。
在滑块上附加质量、改换不同劲度系数的弹簧再测Q b 、及τ值，从对比中分析其影响。 [思考题]
1．阻尼振动周期比无阻尼（或阻尼很小时）振动周期长，你能否利用此实验装置设法加以证明？
2．讨论在振动系统的m 和k 相同的情况下，阻尼的大小对对数减缩Λ及品质因数Q 的影响。
3．现有直径不同而质量相同的有机玻璃圆板，可安装在滑块上，圆板面和振动方向垂直，滑块在振动时在有机玻璃板的后面将产生空气的旋涡，这时有压差阻力作用在圆板上。研究加上圆板后，振动系统粘性阻尼常量b 将如何变化？b 值和圆板面积大小有何关系？
弹簧振子的简谐振动 弘毅学堂汪洲 26 实验目的： （1）测量弹簧振子的振动周期T。 （2）求弹簧的倔强系数k和有效质量0m 实验器材 气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 实验原理： 在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图2.2.4所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐运动。
设质量为1m 的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为0x ，当1m 距平衡点x 时，1m 只受弹性力10()k x x -+与10()k x x --的作用，其中1k 是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 1010()()k x x k x x mx -+--=&& 令 12k k = 则有 kx mx -=&& ① 方程①的解为 00sin()x A t ω?=+ 说明滑块做简谐振动。式中，A 为振幅，0?为初相位，0ω叫做振动系统的固有圆频率。有 0k m ω=
且 10m m m =+ 式中，m 为振动系统的有效质量，0m 为弹簧的有效质量，1m 为滑块和砝码的质量。 0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系 222T πω= == ② 在实验中，我们改变1m ，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。 实验内容： （1）按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。 （2）将滑块从平衡位置拉至光电门左边某一位置，然后放手让滑块振动，记录A T 的值。要求记录5位有效数字，共测量10次。 （3）再按步骤（2）将滑块从平衡位置拉至光电门右边某一位置测量B T ，重复步骤（2）共测量10次。 取A T 和B T 的平均值作为振动周期T ，与T 相应的振动系统有效质量是 10m m m =+，其中1m 就是滑块本身（未加砝码块）的质量，0m 为弹簧的有效质量。 （4）在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤（2）和步骤（3）测量相应的周期。有效质量20m m m =+，其中2m 为滑块本身质量加上两块砝码的质量和。 （5）再用30m m m =+和40m m m =+测量相应的周期T 。式中， 3m =1m +“4块砝码的质量” 4m =1m +“6块砝码的质量” 注意记录每次所加砝码的号码，以便称出各自的质量。
生活中的振动 【教学目标】 1．知识与技能 （1）知道阻尼振动和无阻尼振动，并能从能量的观点给予说明； （2）知道受迫振动的概念。知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，而跟振动物体的固有频率无关； （3）理解共振的概念，知道常见的共振的应用和危害。 2．过程与方法： 3．情感、态度与价值观： 【教学重点】 受迫振动，共振。 【教学难点】 驱动力的频率、固有频率的区别。 【教学过程】 复习提问 注意观察教师的演示实验。教师把弹簧振子的振子向右移动至B点，然后释放，则振子在弹性力作用下，在平衡位置附近持续地沿直线振动起来。重复两次让学生在黑板上画出振动图象的示意图（图1中的Ⅰ）。 再次演示上面的振动，只是让起始位置明显地靠近平衡位置，再让学生在原坐标上画出第二次振子振动的图象（图1中的Ⅱ）。Ⅰ和Ⅱ应同频、同相、振幅不同。
结合图象和振子运动与学生一起分析能量的变化并引入新课。 新课教学 现在以弹簧振子为例讨论一下简谐运动的能量问题。 问提1：振子从B向O运动过程中，它的能量是怎样变化的？（弹性势能减少，动能增加。） 问提2：振子从O向C运动过程中能量如何变化？振子由C向O、又由O向B运动的过程中，能量又是如何变化的？ 问提3：振子在振动过程中总的机械能如何变化？（运用机械能守恒定律，得出在不计阻力作用的情况下，总机械能保持不变。） 1．总机械能守恒 将振子从B点释放后在弹簧弹力（回复力）作用下，振子向左运动，速度加大，弹簧形变（位移）减少，弹簧的弹性势能转化为振子的动能。当回到平衡位置O时，弹簧无形变，弹性势能为零，振子动能达到最大值，这时振子的动能等于它在最大位移处（B点）弹簧的弹性势能，也就是等于系统的总机械能。 在任何一位置上，动能和势能之和保持不变，都等于开始振动时的弹性势能，也就是系统的总机械能。 小结：由于简谐运动中总机械能守恒，所以简谐运动中振幅不变。如果初始时B点与O 点的距离越大，到O点时，振子的动能越大，则系统所具有的机械能越大。相应地，振子的振幅也就越大，因此简谐运动的振幅与能量相对应。 问提4：怎样才能使受阻力的振动物体的振幅不变，而一直振动下去呢？（应不断地向系统补充损耗的机械能，以使振动物体的振幅不变。） 这种振幅不变的振动叫等幅振动。例如：电铃响的时候，铃锤是做等幅振动。电磁打点计时器工作时，打点针是做等幅振动。挂钟的摆是做等幅振动，它们的共同特点是，工作时振动物体不断地受到周期性变化外力的作用。这种周期性变化的外力叫驱动力。 2．受迫振动 在驱动力作用下物体的振动叫受迫振动。例如内燃机气缸中活塞的运动，缝纫机针头的运
××大学实验报告 学院：×× 系：物理系专业：×× 年级：××级 姓名：×× 学号：×× 实验时间：×× 指导教师签名：_______________ 实验四：气垫弹簧振子的简谐振动 一．实验目的与要求： 1. 考察弹簧振子的振动周期与振动系统参量的关系。 2. 学习用图解法求出等效弹簧的倔强系数和有效质量。 3. 学会气垫调整与试验方法。 二．实验原理： 1.弹簧的倔强系数 弹簧的伸长量x 与它所受的拉力成正比 F=kx k=X F 2.弹簧振子的简谐运动方程 根据牛顿第二定律，滑块m 1 的运动方程为 -k 1(x+x 01)-k 2(x-x 02)=m 2 2dt x d ,即-(k 1+k 2)x=m 2 2dt x d 式中，m=m 1+m 0（系统有效质量），m 0是弹簧有效质量，m 1是滑块质量。令 k=k 1+k 2,则 -kx= m 2 2dt x d 解为x=A sin （ω0t+ψ0 ），ω0= m k = m k k 2 1+ 而系统振动周期 T 0=0 2ωπ=2π k m
当 m 0《 m 1时，m 0=3 s m ，m s 是弹簧的实际质量（m 0与m s 的关系可简单写成 m 0=3 m s ）。 本实验通过改变m 1测出相应的T ，以资考察T 和m 的关系，从而求出m 0和 k 。 三．主要仪器设备： 气垫导轨、滑块（包括挡光刀片）、光电门、测时器、弹簧。 四．实验内容及实验数据记录： 1.气垫导轨水平的调节 使用开孔挡光片，智能测时器选在2pr 功能档。让光电门A 、B 相距约60cm (取导轨中央位置),给滑块以一定的初速度(Δ t 1和Δt 2控制在20-30ms 内),让 它在导轨上依次通过两个光电门.若在同一方向上运动的Δ t 1和Δt 2的相对 误差小于3%,则认为导轨已调到水平.否则重新调整水平调节旋钮。 2.研究弹簧振子的振动周期与振幅的关系 先将测时器设置于6pd （测周期）功能档。按动选择钮，屏幕显示6pd 时，按动执行键，显示为0。每按一次选择键，显示加1；当达到预定值（如预置数为n =6，则表示测3个周期的时间）后，将滑块拉离平衡点6.00厘米（即选定某一振幅），再按执行键，放手让其运动，进入测周期操作。当屏幕上显示预置数减为0后，显示屏上出现总时间t ；由此可得周期T = n t 2。 再重新测量几次并取平均值。并测量滑块和弹簧的质量，利用T 0= 2ωπ =2π k m 计算弹簧的倔强系数。取不同的振幅测量，探讨周期与振幅是否有关。 3.观测简谐振动周期T 与m 的关系，并求出k 与弹簧的有效质量m 0。
“弹簧振子”模型 太原市第十二中学 姚维明 模型建构： 【模型】常见弹簧振子及其类型问题 在简谐运动中，我们对弹簧振子（如图1，简称模型甲）比较熟悉。在学习过程中，我们经常会遇到与此相类似的一个模型（如图2，简称模型乙）。认真比较两种模型的区别和联系，对于培养我们的思维品质，提高我们的解题能力有一定的意义。 【特点】①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx ，“回复力”为振子运动方向上的合力。加速度为m kx a -= ②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。这是解题的关键。 模型典案： 【典案1】把一个小球挂在一个竖直的弹簧上，如图2。当它平衡后再用力向下拉伸一小段距离后轻轻放手，使小球上下振动。试证明小球的振动是简谐振动。 〖证明〗设弹簧劲度系数为k ，不受拉力时的长度为l 0，小球质量为m ，当挂上小球平衡时，弹簧的伸长量为x 0。由题意得mg=kx 0 容易判断，由重力和弹力的合力作为振动的回复力 假设在振动过程中的某一瞬间，小球在平衡位置下方，离开平衡位置O 的距离为x,取向下的方向为正方向 则回复力F=mg+[-k(x 0+x)]=mg-kx 0-kx= -kx 根据简谐运动定义，得证 比较： （1）两种模型中，弹簧振子都是作简谐运动。这是它们的相同之处。 (2）模型甲中，由弹簧的弹力提供回复力。因此，位移(x)，回复力(F)，速度(v)，加速度(a)，各量大小是关于平衡位置O 点对称的。 (3)模型乙中，由弹簧的弹力和重力两者的合力提供回复力。弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称．．．的，这点要特别注意。但是，回复力（加速度）大小关于平衡位置是对称．．的。在解题时我们经常用到这点。 【典案2】如图3所示，质量为m 的物块放在弹簧上， 弹簧在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A 时，物体对弹 簧的最大压力是物重的1.8倍，则物体对弹簧的最小压力是 物重的多少倍？欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅 最大为多少？ 〖解析〗1)选物体为研究对象，画出其振动过程的几个 特殊点，如图4所示， O 为平衡位置，P 为最高点，Q 为最低点。 图2 m 图3 P 点
弹簧振子的简谐振动 弘毅学堂汪洲 2016300030016 实验目的： （1）测量弹簧振子的振动周期T。 （2）求弹簧的倔强系数k和有效质量 m 实验器材 气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 实验原理： 在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图2.2.4所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐运动。
设质量为1m 的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为0x ，当1m 距平衡点x 时，1m 只受弹性力10()k x x -+与10()k x x --的作用，其中1k 是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 1010()()k x x k x x mx -+--= 令 12k k = 则有 kx mx -= ① 方程①的解为 00sin()x A t ω?=+ 说明滑块做简谐振动。式中，A 为振幅，0?为初相位，0ω叫做振动系统的固有圆频率。有 0ω= 且 10m m m =+
式中，m 为振动系统的有效质量，0m 为弹簧的有效质量，1m 为滑块和砝码的质量。 0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系 222T πω= == ② 在实验中，我们改变1m ，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。 实验内容： （1）按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。 （2）将滑块从平衡位置拉至光电门左边某一位置，然后放手让滑块振动，记录A T 的值。要求记录5位有效数字，共测量10次。 （3）再按步骤（2）将滑块从平衡位置拉至光电门右边某一位置测量B T ，重复步骤（2）共测量10次。 取A T 和B T 的平均值作为振动周期T ，与T 相应的振动系统有效质量是10m m m =+，其中1m 就是滑块本身（未加砝码块）的质量，0m 为弹簧的有效质量。 （4）在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤（2）和步骤（3）测量相应的周期。有效质量 20m m m =+，其中2m 为滑块本身质量加上两块砝码的质量和。 （5）再用30m m m =+和40m m m =+测量相应的周期T 。式中， 3m =1m +“4块砝码的质量” 4m =1m +“6块砝码的质量” 注意记录每次所加砝码的号码，以便称出各自的质量。 （6）测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。 （7）在天平上称出两弹簧的实际质量并与其有效质量进行比较。 数据处理： 1、用逐差法处理数据 由下列公式 221 104()T m m k π=+
振动是造成工程结构损坏及寿命降低的原因，同时，振动将导致机器和仪器仪表的工作效率、工作质量和工作精度的降低。 控制振动的一个重要方法就是隔振。从振动控制的角度研究隔振，不涉及结构强度的计算，它只是研究如何降低振动本身。这里所介绍的隔振方法，就是将振源与基础或连接结构的近刚性连接改成弹性连接，以防止或减弱振动能量的传递，最终达到减振降噪的目的。 隔振的作用有两个方面：一是减少振源振动传至周围环境；二是减少环境振动对物体或设备的影响。原理是在设备和底座之间安装适当的隔振器，组成隔振系统，以减少或隔离振动的传递。有两类隔振，一是隔离机械设备通过支座传至地基的振动，以减少动力的传递，称为主动隔振；另一种是防止地基的振动通过支座传至需保护的精密设备或仪表仪器，以减小运动的传递，称为被动隔振。 在一般隔振设计中，常常用振动传递比T 和隔振率η来评价隔振效果。主动隔振传递比等于物体传递到底座的振动与物体振动之比，被动隔振传递比等于底座传递到物体的振动与底座的振动之比，两个方向的传递比相等。 隔振效率： η=（1- T ) ·100% 传递比T ： ]u D )u -/[(1u D (1T 2 2 2 2 2 2 ++= ） 式中D 为阻尼比，0 f u f = 为激振频率和共振频率的比。 只有传递比小于1才有隔振效果。因此T<1的区域称为隔振区。 隔振可以分为两类，一类是对作为振动源的机械设备采取隔振措施，防止振动源产生的振动向外传播，称为积极隔振或主动隔振；另一类是对怕受振动干扰的设备采取隔振措施，以减弱或消除外来振动对这一设备带来的不利影响，称为消极隔振或被动隔振。对于薄板类结构振动及其辐射噪声，如管道、机械外壳、车船体和飞机外壳等，在其结构表面涂贴阻尼材料也能达到明显的减振降噪效果，我们称这种振动控制方式为阻尼减振。
弹簧振子的简谐振动 弘毅学堂汪洲26 实验目的： （1）测量弹簧振子的振动周期T。 （2）求弹簧的倔强系数k和有效质量 m 实验器材 气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 实验原理： 在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图2.2.4所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐运动。
设质量为1m 的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为0x ，当1m 距平衡点x 时，1m 只受弹性力10()k x x -+与10()k x x --的作用，其中1k 是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 1010()()k x x k x x mx -+--= 令 12k k = 则有 kx mx -= ① 方程①的解为 00sin()x A t ω?=+ 说明滑块做简谐振动。式中，A 为振幅，0?为初相位，0ω叫做振动系统的固有圆频率。有 0k m ω= 且
10m m m =+ 式中，m 为振动系统的有效质量，0m 为弹簧的有效质量，1m 为滑块和砝码的质量。 0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系 222T πω= == ② 在实验中，我们改变1m ，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。 实验内容： （1）按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。 （2）将滑块从平衡位置拉至光电门左边某一位置，然后放手让滑块振动，记录A T 的值。要求记录5位有效数字，共测量10次。 （3）再按步骤（2）将滑块从平衡位置拉至光电门右边某一位置测量B T ，重复步骤（2）共测量10次。 取A T 和B T 的平均值作为振动周期T ，与T 相应的振动系统有效质量是10m m m =+，其中1m 就是滑块本身（未加砝码块）的质量，0m 为弹簧的有效质量。 （4）在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤（2）和步骤（3）测量相应的周期。有效质量20m m m =+，其中2m 为滑块本身质量加上两块砝码的质量和。 （5）再用30m m m =+和40m m m =+测量相应的周期T 。式中， 3m =1m +“4块砝码的质量” 4m =1m +“6块砝码的质量” 注意记录每次所加砝码的号码，以便称出各自的质量。 （6）测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。 （7）在天平上称出两弹簧的实际质量并与其有效质量进行比较。 数据处理：
弹簧振子的简谐振动 弘毅学堂汪洲2016300030016 实验目的： （1）测量弹簧振子的振动周期T。 （2）求弹簧的倔强系数k和有效质量 m 实验器材 气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、光电门、数字毫秒计。 实验原理： 在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图2.2.4所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐运动。
设质量为1m 的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为0x ，当1m 距平衡点x 时，1m 只受弹性力10()k x x -+与10()k x x --的作用，其中1k 是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 1010()()k x x k x x mx -+--= 令 12k k = 则有 kx mx -= ① 方程①的解为 00sin()x A t ω?=+ 说明滑块做简谐振动。式中，A 为振幅，0?为初相位，0ω叫做振动系统的固有圆频率。有 0k m ω= 且
10m m m =+ 式中，m 为振动系统的有效质量，0m 为弹簧的有效质量，1m 为滑块和砝码的质量。 0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系 222T πω= == ② 在实验中，我们改变1m ，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。 实验内容： （1）按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。 （2）将滑块从平衡位置拉至光电门左边某一位置，然后放手让滑块振动，记录A T 的值。要求记录5位有效数字，共测量10次。 （3）再按步骤（2）将滑块从平衡位置拉至光电门右边某一位置测量B T ，重复步骤（2）共测量10次。 取A T 和B T 的平均值作为振动周期T ，与T 相应的振动系统有效质量是10m m m =+，其中1m 就是滑块本身（未加砝码块）的质量，0m 为弹簧的有效质量。 （4）在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤（2）和步骤（3）测量相应的周期。有效质量20m m m =+，其中2m 为滑块本身质量加上两块砝码的质量和。 （5）再用30m m m =+和40m m m =+测量相应的周期T 。式中， 3m =1m +“4块砝码的质量” 4m =1m +“6块砝码的质量” 注意记录每次所加砝码的号码，以便称出各自的质量。 （6）测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。 （7）在天平上称出两弹簧的实际质量并与其有效质量进行比较。 数据处理：
第六节简谐运动的能量阻尼振动 教学目标： 一、知识目标： 1、知道振幅越大，振动的能量（总机械能）越大。 2、对单摆，应能根据机械能守恒定律进行定量计算。 3、对水平的弹簧振子，应能定量地说明弹性势能与动能的转化。 4、知道什么是阻尼振动和阻尼振动中能量转化的情况。 5、知道在什么情况下可以把实际发生的振动看作简谐运动。 二、能力目标： 1、分析单摆和弹簧振子振动过程中能量的转化情况，提高学生分析和解决问题的能力。 2、通过阻尼振动的实例分析，提高处理实际问题的能力。 三、德育目标： 1、简谐运动过程中能量的相互转化情况，对学生进行物质世界遵循对立统一规律观点的渗透。 2、振动有多种不同类型说明各种运动形式都是普遍性下的特殊性的具体体现。 教学重点： 1、对简谐运动中能量转化和守恒的具体分析。 2、什么是阻尼振动。 教学难点： 关于简谐运动中能量的转化。 教学方法： 1、多媒体展示弹簧振子和单摆的振动过程，观察、讨论、阅读课文，得到水平弹簧振子和单摆的振动过程中动能和势能的转化情况。 2、多媒体、结合实验演示，得到阻尼振动的概念。 3、对比认识各种振动的特点。 教学用具： CAI课件、单摆、水平弹簧振子 教学过程： 一、导入新课： 1、演示：取一个单摆，将摆球拉到一定高度后释放，观察它的摆动情况如何？ 2、现象：单摆的振幅会越来越小，最后停下来。 3、思考：实际振动的单摆为什么会停下来呢？ 今天，我们就来共同探究这个问题。 二、新课教学： （一）、简谐运动的能量： 1、用多媒体模拟简谐运动： 2、分析简谐运动中的能量转化情况： 简谐运动A→O O→A′A′→O O→A 能量的变化动能↑↓↑↓势能↓↑↓↑总能不变 3、总结： ⑴、简谐运动在振动过程中系统的能量守恒，振幅保持不变，叫等幅振动或无阻尼振动。
第二讲 简谐振动模型 【教学目标】 1.掌握简谐振动模型一弹簧振子 2.学习计算简谐振动模型→单摆的周期 【知识点一】弹簧振子 1、定义：物体和弹簧所组成的系统. 条件(理想化) ： ①物体看成质点 ②忽略弹簧质量 ③忽略摩擦力 2、回复力：指向平衡位置的合外力提供 回复力。 左图：弹簧弹力提供回复力， 小球的平衡位置为O ，在AB 两点间做简谐振动， 振幅为OA=0B 右图：弹簧弹力和重力的合力提供回复力 3、周期：2m T K π= , 由振子质量和弹簧的劲度系数共同决定,与振幅无关。 ★运动规律包含振幅与周期 【例】如图所示，是一弹簧振子，设向右方向为正，O 为平衡位置，则下列说法不正确的是（ ） A A→O 位移为负值，速度为正值 B O→B 时，位移为正值，加速度为负值 C B→O 时，位移为负值，速度为负值 D O→A 时，位移为负值，加速度为正值 【例】弹簧振子做简谐运动的振动图像如图2所示，在t1至t2这段时间内（ ） A 振子的速度方向和加速度方向都不变 B 振子的速度方向和加速度方向都改变 C 振子的速度方向改变，加速度方向不变 D 振子的速度方向不变，加速度方向改变 【例】同一个弹簧振子从平衡位置被分别拉开5cm 和2cm,松手后均作简谐运动,则它们的振幅之比A1:A2=______,最大加速度之比a1:a2=_____,振动周期之比T1:T2=______. ★回复力 【例】如图所示,物体A 放在物体B 上,B 与弹簧相连,它们在光滑水平面上一起做简谐运动.当弹簧伸长到最长时开始记时(t = 0),取向右为正方向,A 所受静摩擦力f 随时间t 变化的图象正确的是( )
湖北文理学院物理实验教学示范中心 实 验 报 告 学院 专业 班 学号： 姓名： 实验名称 简谐振动与阻尼振动的研究 实验日期： 年 月 日 实验室： N1-103 [实验目的]: 1. 验证在弹性恢复力作用下,物体作简谐振动的有关规律；测定弹簧的弹性系数K 和有效质量m. 2. 测定阻尼振动系统的半衰期和品质因数，作出品质因数Q 与质量M 的关系曲线。 [仪器用具]:仪器、用具名称及主要规格（包括量程、分度值、精度等） 气垫导轨、滑块、附加质量(2)、弹簧(4)、光电门(2)、数字毫秒计. [实验原理]:根据自己的理解用简练的语言来概括(包括简单原理图、相关公式等) 1．简谐振动 在水平气垫导轨上的滑块m 的两端连接两根弹性系数1k 、2k 近乎相等的弹簧，两弹簧的另一端分别固定在气轨的两端点。滑块的运动是简谐振动。其周期为： 2 122k k M T +== π ω π 由于弹簧不仅是产生运动的原因，而且参 加运动。因此式中M 不仅包含滑块（振子）的质量m ，还有弹簧的有效质量0m 。M 称为弹簧振子系统的有效质量。经验 证：0m m M += 其中 s m m 31 0=，s m 为弹簧质量。假设：k k k ==21则有周期： 22T πω= = 若改变滑块的质量m ?，则周期2T 与m ?成正比。222 4422M m T k k ππ?=+。以2T 为纵坐标，以m ?为横坐标，作2T -m ?曲线。则为一条斜率为242k π的直线。由斜率可以求出弹簧的弹性系数k 。求出弹性系数后再根据式22 42M T k π=求出弹簧的 有效质量。 2．阻尼振动 简谐振动是一种振幅相等的振动，它是忽略阻尼振动的理想情况。事实上，阻尼力不可避免，而抵抗阻力做功的结果，使振动系统的能量逐渐减小。因此，实验中发生的一切自由振动，振幅总是逐渐减小以至等于零的。这种振动称为阻尼振动。用品质因数（即Q 值），来反映阻尼振动衰减的特性。其定义为：振动系统的总能量E 与在一个周期中所损耗能 量E ?之比的π2倍，即 2E Q E π =?；通过简单推导也有： 12 ln 2 T Q T π= 2 1T 是 阻尼振动的振幅从 0A 衰减为 2 0A 所用时 间，叫做半衰期。测出半衰期就可以计算出品质因数Q 。在实验中，改变滑块的质量。作质量与品质因数的关系曲线。 [实验内容]: 简述实验步骤和操作方法 1. 打开气泵观察气泵工作是否正常，气轨出气孔出气大小是否均匀。 2. 放上滑块，调节气轨底座，使气轨处于水平状态。 3. 把滑块拉离平衡位置，记录下滑块通过光电门10次所用的时间。 4. 改变滑块质量5次，重复第3步操作。 5. 画出m T -2 关系曲线，.据m T -2关系曲线，求出斜率K ，并求出弹性系数k 。 6. 用天平测量滑块（附挡光片）、每个附加物的质量后；求出弹簧的有效质量。 7. 用秒表测量滑块儿的振幅从A 0衰减到A 0/2所用的时间2 1T ；求出系统的品质因数Q 8. 滑块上增至4个附加物，重复步骤7作出Q-m ?的关系曲线；
阻尼振动的探究 摘要： 以弹簧振子的阻尼振动及RLC电路的阻尼振荡为例，探究了阻尼振动。同时，以这两个阻尼振动系统为例分析了阻尼振动衰减时的特点。 关键词： 阻尼振动阻尼系数衰减 R esearch on damped vibration Abstract:: Abstract This article researches into damped vibration by the example of spring oscillator’s damped vibration and the example of RLC’s damped vibration.At the same time,this article researches the points of damped vibration’s attenuation by the two examples. Keyword: damped vibration damping coefficient attenuation 简谐运动又叫做无阻尼自由振动。但实际上，任何的振动系统都是会受到阻力作用的，这种实际振动系统的振动叫做阻尼振动。在阻尼系统中，振动系统要不断地克服阻力做功，
所以它的能量将不断地减少。一定时间后回到平衡位置。弹簧振子在有阻力情况下的振动就是阻尼振动。 分析安置在一个水平光滑表面的弹簧振子。取弹簧处于自然长度时的平衡位置为坐标原点。忽略空气等阻力，则弹簧振子只受到弹簧的弹力作用。即 由牛顿第二定律，可得 此微分方程的通解为 给定初始值，弹簧在t=0时，x=，,则此微分方程的解为 弹簧振子在初始时刻，被拉离坐标原点距离，即弹簧被拉长(而后，弹簧由于弹簧拉力作用而返回原点，很容易就可以想到弹簧将作往复运动。如方程所描述弹簧作简谐振动。如果考虑弹簧振子运动时的阻力，情况将如何呢？ 由实验，可知运动物体的速度不太大时，介质对物体的阻力与速度成正比。又阻力总与速度方向相反，所以阻力与速度有如下关系： 为正比例常数。则此时，上面所列弹簧振子的运动方程应为： 考虑此方程，令。可知即为弹簧振子在无阻力振动时的角频率，称为阻尼系数，如此可得： 此微分方程通解为： A,B由弹簧振子的初始值，即t=0时的x，值决定。由上通解无法直观看出弹簧振子的实际运动景象如何。下面以与的大小关系分为三种情况考虑。 时，可将通解化为如下形式： ) 其中 而由弹簧振子的初始值决定。其位移时间图像，大致如下
第２６卷第５期 Ｖ０１．２６Ｎｏ．５ 周口师范学院学报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＺｈｏｕｋｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ２００９年９月 Ｓｅｐ．２００９ 弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨 周俊敏，王玉梅 （周口师范学院物理系，河南周口４６６００１） 摘要：从能量的观点出发，分别讨论了弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程，并通过解微分方程，得出结论．这些结论对指导实验和生产实践有一定的参考价值． 关键词：弹簧振子；振动周期；机械能守恒；运动方程中图分类号：０３２６文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—９４７６（２００９）０５—００５８—０３ 弹簧振子在生产实践中有着十分广泛的应用，而振动的周期是描述振动系统运动的一个非常重要的基本物理量，因此探讨弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响就显得十分必要．在实验教学中笔者发现，大部分实验教材直接给出弹簧振子的振动周 ｒ‘‘—？———＝７ 的正方向，建立坐标系如图１（ｂ）所示．设质点的位置坐标为Ｘ，引即为质点相对于坐标原点的位移． 取物体为研究对象，作用在物体上的力有两个：重力大小为ｍｇ，方向竖直向下；弹簧对物体的拉力Ｆ＝一ｋ（ｘ＋ｚ。），方向竖直向上．由此可知物体的合力Ｆ台一一点（ｚ＋Ｘ。）＋ｍｇ＝一妇．由简谐 图１ 期公式为Ｔ一２，ｒ＾／ｍ＋ｃＭ，学生通过实验测出ｆ Ｖ Ｋ 值的范围为０．３２～０．３４，但未从理论上分析ｃ值在这一范围的原因［１－３］．另外，教材中分析弹簧振子振动周期时，大都从力的观点［４＿５１出发得出运动方程．笔者从能量的观点出发，分别讨论弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程，并通过解运动方程得出弹簧振子的振动周期以及 １
实验原理 振动现象在自然界十分普遍，如喇叭，机械表，共振筛等，从普遍意义上讲，如果一个物理量在某一数值附近反复的变化，都可以称为振动，如：电压，电流，位移等，因此自然界存在着各种各样的振动，而描写振动的数学方程也存在着许多共同之处。 振动和波动的理论是声学、地震学、建筑力学、光学、无线电技术等学科的基础。而简谐振动又是振动和波的理论基础，在数学上，任何一个复杂的函数，都可以通过傅里叶级数展开成一系列正弦函数和余弦函数的和。在物理上，一切复杂的振动都可以看作是多个简谐振动的合成。因此熟悉简谐振动的规律及其特征，对于学习振动和波的理论是十分必要的。 气垫导轨是一种采用气垫进行实验的装置，它可以消除导轨对运动滑块的直接摩擦。 将两根劲度系数分别为k1，k2的弹簧一端固定，另一端系一个质量为m 的物体，以物体的平衡位置为坐标原点，如图1所示。 在弹簧的弹性限度内，物体离开平衡位置的位移与它所受到弹力的关系为： F ＝－k x （1） 若忽略空气阻力，由牛顿第二定律得，令，则前面公 22d x m kx dt =-2k m ω=
式又可写成： （2） 由此可知，系统作的是谐振动，其振动周期是 或者写成 （3），以上 各式中，k=k1+k2。 公式（3）说明：T 仅决定于振子本身的特性，与初始条件无关；当k 一定时，正比于m ，即～m 图为一直线，其斜率为b= 实验仪器 简谐振动实验所需的仪器：气垫导轨，光电门计时系统，电子天平，滑 块，弹簧两根 022 2=+x dt x d ω2T =2 2 4T m k π=2T 2T 2 4k π存储 气垫导轨装置及计时系统
第二讲简谐振动模型【教学目标】 1.掌握简谐振动模型一弹簧振子 2.学习计算简谐振动模型单摆的周期【知 识点一】弹簧振子 1 、定义：物体和弹簧所组成的系统. 条件 (理想化 ) ：①物体看成质点 ②忽略弹簧质量 ③忽略摩擦力 2、回复力：指向平衡位置的合外力提供 回复力。 左图：弹簧弹力提供回复力， 小球的平衡位置为O，在 AB 两点间做简谐振动， 振幅为 OA=0B 右图：弹簧弹力和重力的合力提供回复力 3 、周期：T m , 由振子质量和弹簧的劲度系数共同决定,与振幅无关。2 K ★运动规律包含振幅与周期 【例】如图所示，是一弹簧振子，设向右方向为正，O 为平衡位置，则下列说法不正确的是（） A A→O位移为负值，速度为正值 B O→B时，位移为正值，加速度为负值 C B→O时，位移为负值，速度为负值 D O→A时，位移为负值，加速度为正值 【例】弹簧振子做简谐运动的振动图像如图 2 所示，在 t1 至 t2这段时间内（） A 振子的速度方向和加速度方向都不变 B 振子的速度方向和加速度方向都改变 C 振子的速度方向改变，加速度方向不变 D 振子的速度方向不变，加速度方向改变 【例】同一个弹簧振子从平衡位置被分别拉开5cm 和 2cm, 松手后均作简谐运动,则它们的振幅之比A1:A2=______,最大加速度之比a1:a2=_____, 振动周期之比 T1:T2=______. ★回复力 【例】如图所示 ,物体 A 放在物体 B 上 ,B 与弹簧相连 ,它们在光滑水平面上一起做简谐运动.当弹簧伸长到最长时开始记时 (t = 0), 取向右为正方向 ,A 所受静摩擦力 f 随时间 t 变化的图象正确的是 ()
单自由度弹簧振子阻尼影响分析 张少鲲 摘要 分析单自由度阻尼系统的阻尼系统对其固有振动模态的影响，用SIMPACK建立动态力学模型通过其动力学模型模拟实现其振动规律曲线，并改变其初始条件，实现一组曲线的脉冲过度函数，改变传统运算算法，使结果运算简便明了。 引言 通过过传统方法，用基本公式分析阻尼振动，并根据传统算法编程，用实现其振动规律曲线，并绘制曲线。由于传统计算公式要考虑复数运算，其要避开复数运算，所以程序显得繁琐，改变其中算法公式，用直接实现其算法，并绘制相应曲线。改变其初始条件，实现一组曲线的脉冲过度函数，并用绘制其过渡曲线。 阻尼振动 不论是弹簧振子还是单摆，由于外界的摩擦和介质阻力总是存在，在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量，振幅就会逐渐减小，经过一段时间，振动就会完全停下来。这种振幅越来越小的振动叫做阻尼振动。 动力学分析 阻尼力： R= - Cy’C为阻尼系数（N·S/m） 对振子应用牛顿第二定律： my’’+cy’+ky=0 阻尼振动的动力学方程为： y’’+2εy’+w2y=0 固有角频率： w2=k/m 阻尼系数： S2+2εS+w2=0 角频率： wε=√(w2-ε2)
图像方程： y=e-st(B1sinwεt+B2coswεt) SIMPACK动力学模型构建 应用SIMPACK软件构建弹簧振子动力学模型，设置振子质量为2kg，弹簧刚度为8N·S/m。首先构建其基本3D模型 单自由度阻尼弹簧振子3D模型视图 设置其传感器与弹簧的各个关系 有阻尼的弹簧振子2D拓扑图
实验数据分析 标准状况下，通过SIMPACK分析软件，输出位移图像 弹簧阻尼为1N·S/m，阻尼频率≈1.98Hz，对数衰减率≈0.20 增大阻尼系数，再次进行模拟计算 弹簧阻尼为2N·S/m，阻尼频率≈1.94Hz，对数衰减率≈0.31
弹簧振子的简谐振动 实验目的： （1） 测量弹簧振子的振动周期T 。 （2） 求弹簧的倔强系数k 和有效质量0m 实验原理： 设质量为1m 的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为0x ，当1m 距平衡点x 时，1m 只受弹性力10()k x x -+与10()k x x --的作用，其中1k 是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 1010()()k x x k x x mx -+--= 令 12k k = 则有 kx mx -= ① 方程①的解为 00sin()x A t ω?=+ 说明滑块做简谐振动。式中，A 为振幅，0?为初相位，0ω叫做振动系统的固有圆频率。有 0ω= 且 10m m m =+ 式中，m 为振动系统的有效质量，0m 为弹簧的有效质量，1m 为滑块和砝码的质量。 0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系 222T πω= == ②
在实验中，我们改变1m ，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和 0m 。 实验内容： （1）按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。 （2）将滑块从平衡位置拉至光电门左边某一位置，然后放手让滑块振动，记录A T 的值。要求记录5位有效数字，共测量10次。 （3）再按步骤（2）将滑块从平衡位置拉至光电门右边某一位置测量B T ，重复步骤（2）共测量10次。 取A T 和B T 的平均值作为振动周期T ，与T 相应的振动系统有效质量是 10m m m =+，其中1m 就是滑块本身（未加砝码块）的质量，0m 为弹簧的有效质量。 （4）在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤（2）和步骤（3）测量相应的周期。有效质量20m m m =+，其中2m 为滑块本身质量加上两块砝码的质量和。 （5）再用30m m m =+和40m m m =+测量相应的周期T 。式中， 3m =1m +“4块砝码的质量” 4m =1m +“6块砝码的质量” 注意记录每次所加砝码的号码，以便称出各自的质量。 （6）测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。 （7）在天平上称出两弹簧的实际质量并与其有效质量进行比较。 数据处理： 1、用逐差法处理数据 由下列公式 2 21 104()T m m k π=+ 2 22 204()T m m k π=+
气轨上弹簧振子的简谐振动 目的要求： （1）用实验方法考察弹簧振子的振动周期与系统参量的关系并测定弹簧的劲度系数和有效质量。 （2）观测简谐振动的运动学特征。 （3）测量简谐振动的机械能。 仪器用具： 气轨（自带米尺，2m,1mm），弹簧两个，滑块，骑码，挡光刀片，光电计时器，电子天平（0.01g），游标卡尺（0.05mm），螺丝刀。 实验原理： （一）弹簧振子的简谐运动过程: 质量为m1的质点由两个弹簧与连接，弹簧的劲度系数分别 为k1和k2，如下图所示： 当m1偏离平衡位置x时，所受到的弹簧力合力为 令 k=，并用牛顿第二定律写出方程 解得 X=Asin() 即其作简谐运动，其中 在上式中，是振动系统的固有角频率，是由系统本身决定的。m=m 1+m0是振动系统的有效质量，m 0是弹簧的有效质量，A是振幅，是初相位，A和由起始条件决定。系统的振动周期为
通过改变测量相应的T，考察T 和的关系，最小二乘法线性拟合求出k 和 （二）简谐振动的运动学特征: 将（）对t 求微分 ） 可见振子的运动速度v 的变化关系也是一个简谐运动，角频率为，振幅为，而且v 的相位比x 超前 .消去t，得 v2=ω02(A2?x2) x=A时，v=0，x=0 时，v 的数值最大，即 实验中测量x和v 随时间的变化规律及x和v 之间的相位关系。 从上述关系可得 （三）简谐振动的机械能: 振动动能为 系统的弹性势能为 则系统的机械能 式中：k 和A均不随时间变化。上式说明机械能守恒，本实验通过测定不同位 置x上m 1的运动速度v，从而求得和，观测它们之间的相互转换并验证机 械能守恒定律。 （四）实验装置： 1.气轨设备及速度测量 实验室所用气轨由一根约2m 长的三角形铝材做成，气轨的一端堵死，另 一端送入压缩空气，气轨的两个方向上侧面各钻有两排小孔，空气从小孔喷出。把用合金铝做成的滑块放在气轨的两个喷气侧面上，滑块的内表面经过精加工
Simple harmonic motion of soring oscillator The purpose ： （1） 测量弹簧振子的振动周期T 。 （2） 求弹簧的倔强系数k 和有效质量0m The principles ： 设质量为1m 的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为0x ，当1m 距平衡点x 时，1m 只受弹性力10()k x x -+与10()k x x --的作用，其中1k 是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 1010()()k x x k x x mx -+--=&& 令 12k k = 则有 kx mx -=&& ① 方程①的解为 00sin()x A t ω?=+ 说明滑块做简谐振动。式中，A 为振幅，0?为初相位，0ω叫做振动系统的固有圆频率。有 0ω= 且 10m m m =+ 式中，m 为振动系统的有效质量，0m 为弹簧的有效质量，1m 为滑块和砝码的质量。 0ω由振动系统本身的性质所决定。振动周期T 与0ω有下列关系
222T π ω= == ② 改变1m ，测出相应的T ，考虑T 与m 的关系，从而求出k 和0m 。 The procedure ： （1）按气垫导轨和计时器的使用方法和要求，将仪器调整到正常工作状态。 （2）将滑块从平衡位置拉至光电门左边某一位置，然后放手让滑块振动，记录A T 的值。要求记录5位有效数字，共测量10次。 （3）再按步骤（2）将滑块从平衡位置拉至光电门右边某一位置测量B T ，重复步骤（2）共测量10次。 取A T 和B T 的平均值作为振动周期T ，与T 相应的振动系统有效质量是 10m m m =+，其中1m 就是滑块本身（未加砝码块）的质量，0m 为弹簧的有效质 量。 （4）在滑块上对称地加两块砝码，再按步骤（2）和步骤（3）测量相应的周期。有效质量20m m m =+，其中2m 为滑块本身质量加上两块砝码的质量和。 （5）再用30m m m =+和40m m m =+测量相应的周期T 。式中， 3m =1m +“4块砝码的质量” 4m =1m +“6块砝码的质量” 注意记录每次所加砝码的号码，以便称出各自的质量。 （6）测量完毕，先取下滑块、弹簧等，再关闭气源，切断电源，整理好仪器。 （7）在天平上称出两弹簧的实际质量并与其有效质量进行比较。
大学物理习题解答第2章 思 考 题 2.1 从运动学的角度看，什么是简谐振动？从动力学的角度看，什么是简谐振动？ 答：从运动学的角度看，弹簧振子相对平衡位置的位移随时间按余弦函数的规律变化，所作的运动就是简谐振动。从动力学的角度看，如果物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比，而方向相反，那么该物体的运动就是简谐振动。 2.2 弹簧振子的振幅增大到2倍时，其振动周期、振动能量、 最大速度和最大加速度等物理量将如何变化？ 答：弹簧振子的运动方程为0cos()x A t ω?=+，速度为0sin()v A t ωω?=-+，加速度的为)cos(02?ωω+-=t A a ，振动周期2k T m π=，总能量为2 2 1kA E = 。所以，弹簧振子的振幅A 增大到2倍时，其振动周期不变，振动能量为原来的4倍，最大速度为原来的2倍，最大加速度为原来的2倍。 2.3 下列运动是否为简谐振动？ （1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动； （2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动； （3）曲柄连杆机构使活塞作往复运动； （4）小磁针在地磁的南北方向附近摆动。 答：（2）、（4）为简谐振动，（1）、（3）、不是简谐振动。 2.4 三只相同的弹簧（质量忽略不计）都一端固定，另一端连接质量为m 的物体，它们放置情况不同，其中一个平放，一个斜放，另一个竖直放。如果它们振动起来，则三者是否均为简谐振动，它们振动的周期是否相同？ 答：三者均为简谐振动，它们振动的周期也相同。 2.5 当谐振子作简谐振动的振幅增大为原来的2倍时，谐振子的什么量也增大为原来的2倍？ 答：最大速度和最大加速度。 2.6 一弹簧振子作简谐振动，其振动的总能量为E 1。如果我们将弹簧振子的振动振幅增加为原来的2倍，而将重物的质量增加为原来的4倍，则新的振子系统的总能量是否发生变化？ 答：弹簧振子2 12 E kA = ，所以新的振子系统的总能量增加为原来的4倍。 2.7 一质点作简谐振动，振动频率为n ，则该质点动能的变化频率是多少？ 答：该质点动能的变化频率是2n 。 2.8 受迫振动的频率是否由振动系统的固有频率所决定？ 答：不是。