一、第六章 圆周运动易错题培优（难）
1．如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有小物体A 、B 、C ，质量分别为m 、2m 、3m ，A 叠放在B 上，C 、B 离圆心O 距离分别为2r 、3r 。C 、B 之间用细线相连，圆盘静止时细线刚好伸直无张力。已知C 、B 与圆盘间动摩擦因数为μ，A 、B 间摩擦因数为3μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g ，现让圆盘从静止缓慢加速，则（ ）
A ．当23g
r
μω=时，A 、B 即将开始滑动 B ．当2g
r
μω=32
mg
μ C ．当g
r
μω=C 受到圆盘的摩擦力为0
D ．当25g
r
μω=C 将做离心运动 【答案】BC 【解析】 【详解】
A. 当A 开始滑动时有：
2033A f mg m r μω==??
解得：
0g
r
μω＝
当23g
g
r
r
μμω= B. 当2g g r r μμω= < 时，以AB 为整体，根据2 F mr ω向 ＝可知 29 332 F m r mg ωμ??= 向＝ B 与转盘之间的最大静摩擦力为： 23Bm f m m g mg μμ=+=（） 所以有： Bm F f >向 此时细线有张力，设细线的拉力为T ， 对AB 有： 2333mg T m r μω+=?? 对C 有： 232C f T m r ω+=?? 解得 32mg T μ= ，32 C mg f μ= 选项B 正确； C. 当ω= 时， AB 需要的向心力为： 2339AB Bm F m r mg T f ωμ'??=+＝＝ 解得此时细线的拉力96Bm T mg f mg μμ'-== C 需要的向心力为： 2326C F m r mg ωμ??＝＝ C 受到细线的拉力恰好等于需要的向心力，所以圆盘对C 的摩擦力一定等于0，选项C 正确； D. 当ω= C 有： 212 325 C f T m r mg ωμ+=??= 剪断细线，则 12 35 C Cm f mg f mg μμ= <= 所以C 与转盘之间的静摩擦力大于需要的向心力，则C 仍然做匀速圆周运动。选项D 错误。 故选BC 。 2．两个质量分别为2m 和m 的小木块a 和b （可视为质点）放在水平圆盘上，a 与转轴OO ’的距离为L ，b 与转轴的距离为2L ，a 、b 之间用强度足够大的轻绳相连，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g ．若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，开始时轻绳刚好伸直但无张力，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ） A ．a 、b 所受的摩擦力始终相等 B ．b 比a 先达到最大静摩擦力 C ．当2kg L ω=a 刚要开始滑动 D ．当23kg L ω=b 所受摩擦力的大小为kmg 【答案】BD 【解析】 【分析】 【详解】 AB ．木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律可知，木块受到的静摩擦力f =mω2r ，则当圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动时，木块b 的最大静摩擦力先达到最大值；在木块b 的摩擦力没有达到最大值前，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律可知，f=mω2r ，a 和b 的质量分别是2m 和m ，而a 与转轴OO ′为L ，b 与转轴OO ′为2L ，所以结果a 和b 受到的摩擦力是相等的；当b 受到的静摩擦力达到最大后，b 受到的摩擦力与绳子的拉力合力提供向心力，即 kmg +F =mω2?2L ① 而a 受力为 f′-F =2mω2L ② 联立①②得 f′=4mω2L -kmg 综合得出，a 、b 受到的摩擦力不是始终相等，故A 错误，B 正确； C ．当a 刚要滑动时，有 2kmg+kmg =2mω2L +mω2?2L 解得 34kg L ω＝ 选项C 错误； D. 当b 恰好达到最大静摩擦时 2 02kmg m r ω=? 解得 02kg L ω= 因为 32432kg kg kg L L L >> ，则23kg L ω=时，b 所受摩擦力达到最大值，大小为kmg ，选项D 正确。 故选BD 。 3．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，管道内侧壁半径为R ， 小球半径为r ，则下列说法中正确的是（ ） A ．小球通过最高点时的最小速度min v Rg = B ．小球通过最高点时的最小速度min 0v = C ．小球在水平线ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D ．小球在水平线ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 【答案】BC 【解析】 【详解】 AB.因是在圆形管道内做圆周运动，所以在最高点时，内壁可以给小球沿半径向外的支持力，所以小球通过最高点时的最小速度可以为零．所以选项A 错误，B 正确； C.小球在水平线ab 以下的管道中运动时，竖直向下的重力沿半径方向的分力沿半径方向向外，小球的向心力是沿半径向圆心的，小球与外壁一定会相互挤压，所以小球一定会受到外壁的作用力，内壁管壁对小球一定无作用力，所以选项C 正确； D.小球在水平线ab 以上的管道中运动时，当速度较小时，重力沿半径方向上的分力大于或等于小球做圆周运动需要的向心力，此时小球与外壁不存在相互挤压，外侧管壁对小球没有作用力，选项D 错误． 4．如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m 、m 、2m 的可视为质点的三个物体A 、B 、C ，圆盘可绕垂直圆盘间的动摩擦因数均为0.1μ=，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。三个物体与中心轴O 处共线且0.2 m OA OB BC r ====。现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力。若圆盘从静止开始转动，角速度ω极其缓慢地增大，重力加速度g 取210 m/s ，则对于这个过程，下列说法正确的是（ ） A ．A 、 B 两个物体同时达到最大静摩擦力 B ．B 、 C 两个物体所受的静摩擦力先增大后不变 C ．当ω>时整体会发生滑动 D ω<<时，在ω增大的过程中B 、C 间细线的拉力不断增大 【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】 ABC ．当圆盘转速增大时，由静摩擦力提供向心力。三个物体的角速度相等，由 2F m r ω= 知，由于C 的半径最大，质量最大，故C 所需要的向心力增加得最快，最先达到最大静摩擦力，此时 21222C mg m r μω?=? 得 1ω= = 当C 所受的摩擦力达到最大静摩擦力之后，BC 间细线开始提供拉力，B 的摩擦力增大，达到最大静摩擦力后，AB 间细线开始有力的作用，随着角速度增大，A 所受的摩擦力将减小到零然后反向增大，当A 与B 的摩擦力也达到最大值，且B 、C 间细线的拉力大于AB 整体的摩擦力时整体将会出现相对滑动，此时A 与B 还受到细线的拉力，对C 有 2 2222T mg m r μω+?=? 对AB 整体有 2T mg μ= 得2ω，当 ω> = 时，整体会发生滑动。故A 错误，BC 正确。 D ω<<时，在ω增大的过程中，BC 间细线的拉力逐渐增大。故D 错误。 故选BC 。 5．如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m 、m 、2m 的可视为质点的三个物体A 、B 、C ，圆盘可绕垂直圆盘的中心轴'OO 转动。三个物体与圆盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。三个物体与轴O 共线且OA OB BC r ===，现将三个物体用轻质细线相连，保持细线伸直且恰无张力。使圆盘从静止开始转动，角速度极其缓慢地增大，则对于这个过程，下列说法正确的是（ ） A ．A 、 B 两个物体同时达到最大静摩擦力 B ．B 、 C 两个物体所受的静摩擦力先增大后不变，A 物体所受的静摩擦力先增大后减小再增大 C ．当g r μω> 时整体会发生滑动 D 2μμω<< g g r r 时，在ω增大的过程中，B 、C 间的拉力不断增大 【答案】BCD 【解析】 【分析】 【详解】 ABC ．当圆盘转速增大时，静摩擦力提供向心力，三个物体的角速度相等，由2F m r ω=知，由于C 的半径最大，质量最大，故C 所需要的向心力增加最快，最先达到最大静摩擦力，此时 ()21222m g m r μω=? 解得 12g r μω= 当C 的摩擦力达到最大静摩擦力之后，B 、C 间细线开始出现拉力，B 的摩擦力增大，达到最大静摩擦力后，A 、B 间细线开始有力的作用，随着角速度增大，A 的摩擦力将减小到零然后反向增大，当A 达到最大静摩擦力时，对C 有 ()2 2222T m g m r μω+=? 对A 、B 整体有 2T mg μ= 解得 2g r μω= 当g r μω> A 错误，BC 正确； D 2μμω<< g g r r 时，C 所受摩擦力已是最大静摩擦力，对C 分析有 224T mg mr μω+= 在ω增大的过程中，B 、C 间的拉力不断增大，故D 正确。 故选BCD 。 6．A 、B 、C 三个物体放在旋转圆台上，它们由相同材料制成，A 的质量为2m ，B 、C 的质量各为m ．如果OA=OB=R ，OC=2R ，则当圆台旋转时（设A 、B 、C 都没有滑动），下述结论中正确的是( ) A ．物体A 向心加速度最大 B ．B 物静摩擦力最小 C ．当圆台旋转转速增加时，C 比B 先开始滑动 D ．当圆台旋转转速增加时，A 比B 先开始滑动 【答案】BC 【解析】 A 、三个物体都做匀速圆周运动，角速度相等，向心加速度2 n a r ω=，可见，半径越大， 向心加速度越大，所以C 物的向心加速度最大，A 错误； B 、三个物体的合力都指向圆心，对任意一个受力分析，如图 支持力与重力平衡，由静摩擦力f 提供向心力，则得 f n F =． 根据题意，222C A B r r r R === 由向心力公式2 m n F r ω=，得三个物体所受的静摩擦力分别为： ()2222A f m R m R ωω==, 2B f m R ω=. ()2222C f m R m R ωω==, 故B 物受到的静摩擦力最小，B 正确； C 、 D 当ω变大时，所需要的向心力也变大，当达到最大静摩擦力时，物体开始滑动．当转速增加时，A 、C 所需向心力同步增加，且保持相等．B 所需向心力也都增加，A 和C 所需的向心力与B 所需的向心力保持2：1关系．由于B 和C 受到的最大静摩擦力始终相等，都比A 小，所以C 先滑动，A 和B 后同时滑动，C 正确；D 错误；故选BC ． 7．如图所示，b球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，BC为圆周运动的直径，竖直平台与b球运动轨迹相切于B点且高度为R。当b球运动到切点B时，将a球从切点正上方的A点水平抛出，重力加速度大小为g，从a球水平抛出开始计时，为使b球在运动一周的时间内与a球相遇(a球与水平面接触后不反弹)，则下列说法正确的是（） A．a球在C点与b球相遇时，a球的运动时间最短 B．a球在C点与b球相遇时，a球的初始速度最小 C．若a球在C点与b球相遇，则a2gR D．若a球在C点与b球相遇，则b 2R g 【答案】C 【解析】【分析】【详解】 A．平抛时间只取决于竖直高度，高度R不变，时间均为 2R t g =A错误。 BC．平抛的初速度为 x v t =时间相等，在C点相遇时，水平位移最大 max 2 x R = 则初始速度最大为： max 2 2 R v gR t == 故B错误，C正确。 D．在C点相遇时，b球运动半个周期，故b球做匀速圆周运动的周期为 2 22 b R T t g == 故D错误。 故选C。 8．如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳能承受的最大拉力为2mg．重力加速度的大小为g，当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，下列说法错误的是() A ．圆环角速度ωg R 时，小球受到2个力的作用 B ．圆环角速度ω2g R C ．圆环角速度ω等于2 g R D ．圆环角速度ω6g R 2个力的作用 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 A 、 B 、设角速度ω在0～ω1范围时绳处于松弛状态，球受到重力与环的弹力两个力的作用，弹力与竖直方向夹角为θ，则有mg tan θ＝mR sin θ·ω2，即cos g R ωθ =，当绳恰好 伸直时，θ＝60°，对应12g R ω= A 、 B 正确. 设在ω1＜ω＜ω2时绳中有张力且小于2mg ，此时有F N cos 60°＝mg ＋F T cos 60°，F N sin 60°＋F T sin 60°＝mω2R sin 60°，当F T 取最大值2mg 时代入可得26g R ω= ，即当6g R ω>时绳将断裂，小球又只受到重力、环的弹力两个力的作用，C 错误，D 正确. 本题选错误的故选C. 【点睛】 本题主要考查了圆周运动向心力公式的应用以及同学们受力分析的能力，要求同学们能找出临界状态并结合几何关系解题. 9．如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点。则杆对球的作用力是（ ） ①a 处为拉力，b 处为拉力 ②a 处为拉力，b 处为推力 ③a 处为推力，b 处为拉力 ④a 处为推力，b 处为推力 A ．①③ B ．②③ C ．①② D ．②④ 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 a 处圆心在上方，合力提供向心力向上，故需有向上的拉力大于向下的重力； b 处合力向下，重力也向下，受力如图： 根据牛顿第二定律有 2 1v F mg m R ＝ 当F 1＜0，杆对球有推力，向上； 当F 1＞0，杆对球有拉力，向下； 当F 1=0，杆对球无作用力。 故杆对球的作用力情况①②都有可能，选项C 正确，ABD 错误。 故选C 。 10．在游乐园质量为m 的人乘坐如图所示的过山车，当过山车从高度释放之后，在竖直平面内通过了一个光滑的圆周轨道（车的轨迹如图所示的虚线），下列说法正确的是（ ） A ．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去 B ．人在最低点时对座位的压力大于mg C ．人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等 D ．人在最高点时对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 A ．当人与保险带间恰好没有作用力时，由重力提供向心力得 2v mg m R =临 解得临界速度为 =v gR 临 当速度v gR ≥ 时，没有保险带，人也不会掉下来。选项A 错误； B ．人在最低点时，加速度方向竖直向上，根据牛顿第二定律分析可知，人处于超重状态，人对座位的压力大于mg ，选项B 正确； C ．在最高点和最低点速度大小不等，根据向心加速度公式2 =v a r 可知，人在最高点和最低 点时的向心加速度大小不相等，选项C 错误； D ．当人在最高点的速度v gR >时人对座位就产生压力。当速度增大到2v gR =时， 压力为3mg ，选项D 错误。 故选B 。 11．如图所示为某一传动机构中两个匀速转动的相互咬合的齿轮，a 、b 、c 、d 四点均在齿轮上。a 、b 、c 、d 四个点中角速度ω与其半径r 成反比的两个点是（ ） A ．a 、b B ．b 、c C ．b 、d D ．a 、d 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 a 、 b 同轴转动， c 、 d 同轴转动，角速度相同，b 、c 紧密咬合的齿轮是同缘传动，边缘点线速度相等，根据v =ωr 得b 、c 两点角速度ω与其半径r 成反比，选项B 正确，ACD 错误。 故选B 。 12．上海磁悬浮线路需要转弯的地方有三处，其中设计的最大转弯处半径达到8000米，用 肉眼看几乎是一条直线，而转弯处最小半径也达到1300米。一个质量50kg 的乘客坐在以360km/h 不变速率驶过半径2500米弯道的车厢内，下列说法不正确的是（ ） A ．弯道半径设计特别长可以使乘客在转弯时更舒适 B ．弯道半径设计特别长可以减小转弯时列车的倾斜程度 C ．乘客受到来自车厢的力大小约为539N D ．乘客受到来自车厢的力大小约为200N 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 A ．根据 2v a R = 在速度一定的情况下，转弯半径越大，需要的向心加速度越小，乘客在转弯时感觉越平稳、舒适，A 正确； B ．为了使列车行驶安全，在转弯时一般内轨比外轨低，让支持力的水平分力提供列车做圆周运动的向心力，转弯半径越大，需要的向心力越小，列车的倾斜程度越小，B 正确； CD ．根据 2 v F m R = 代入数据可得，转弯时的向心力大约为200N ，而车箱给人的合力 22=()539N F mg F +=合 C 正确， D 错误。 故不正确的应选D 。 13．如图所示，一个半径为R 的实心圆盘，其中心轴与竖直方向的夹角为30?，开始时，圆盘静止，其上表面覆盖着一层灰尘，没有掉落。现将圆盘绕其中心轴旋转，其角速度从零缓慢增大至ω，此时圆盘表面上的灰尘75%被甩掉。设灰尘与圆盘间的动摩擦因数为 μ= 3 ，重力加速度为g ，则ω的值为（ ） A 2g R B 32g R C 52g R D g R 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 越靠近边缘的灰尘越容易被甩掉，剩余的灰尘半径为r ，则 22(175%)R r ππ-= 解得 12 r R = 在圆盘的最低点，根据牛顿的第二定律 2cos sin mg mg m r μθθω-= 解得 2g R ω= A 正确，BCD 错误。 故选A 。 14．如图所示，一根轻杆，在其B 点系上一根细线,细线长为R,在细线下端连上一质量为 m 小球．以轻杆的A 点为顶点，使轻杆旋转起来,其B 点在水平面内做匀速圆周运动,轻杆的轨迹为一个母线长为L 的圆锥，轻杆与中心轴AO 间的夹角为α．同时小球在细线的约束下开始做圆周运动,轻杆旋转的角速度为ω,小球稳定后，细线与轻杆间的夹角β = 2α．重力加速度用g 表示,则（ ） A ．细线对小球的拉カ为mg /sina B ．小球做圆周运动的周期为π/ω C ．小球做圆周运动的线速度与角速度的乘积为gtan2a D ．小球做圆周运动的线速度与角速度的比值为(L+R)sina 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 细线的拉力满足cos F mg α=，得cos mg F α = ，选项A 错误；小球达到稳定状态后做匀速 圆周运动，其周期与轻杆旋转的周期相同，周期2T πω = 的 ，选项B 错误；小球做圆周运 动，根据题意有tan(2)mg mv ααω-=得，小球的线速度与角速度的乘积是 tan v g ωα=，选项C 错误；小球做圆周运动的线速度与角速度的比值即是半径，根据题 意得()sin r L R α=+，选项D 正确． 综上所述本题答案是：D 15．如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O A 、两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质置为m 的小球上，OA OB AB ==现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB 始终在竖直平面内，若转动过程中OB AB 、两绳始终处于拉直状态，重力加速度为g ，则下列说法正确的是（ ） A ．O B 绳的拉力范围为3 03 mg B ．OB 绳的拉力范围为323 33mg mg C ．AB 323 mg D ．AB 绳的拉力范围为3 0mg 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大。这时二者的值相同，设为 1F ，则 12cos 30F mg ?= 133 F mg = 增大转动的角速度，当AB 绳的拉力刚好等于零时，OB 拉力最大，设这时绳的拉力2F ，则 2cos30F mg ?= 223 3 F mg = 因此OB拉力范围为 ~mg AB拉力范围为0~，故ACD错误，B正确。故选B。
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