一、第六章圆周运动易错题培优(难)
1.如图所示,用一根长为l=1m的细线,一端系一质量为m=1kg的小球(可视为质点),另一端固定在一光滑锥体顶端,锥面与竖直方向的夹角θ=30°,当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时,细线的张力为T,取g=10m/s2。则下列说法正确的是()
A.当ω=2rad/s时,T3+1)N B.当ω=2rad/s时,T=4N
C.当ω=4rad/s时,T=16N D.当ω=4rad/s时,细绳与竖直方向间夹角大于45°
【答案】ACD
【解析】
【分析】
【详解】
当小球对圆锥面恰好没有压力时,设角速度为,则有
解得
AB.当,小球紧贴圆锥面,则
代入数据整理得
A正确,B错误;
CD.当,小球离开锥面,设绳子与竖直方向夹角为,则
解得
,
CD正确。
故选ACD。
2.如图,质量为m的物块,沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下,半球形金属壳竖直放置,开口向上,滑到最低点时速度大小为v,若物体与球壳之间的摩擦因数为μ,则物体在最低点时,下列说法正确的是()
A.滑块对轨道的压力为B.受到的摩擦力为
C.受到的摩擦力为μmg D.受到的合力方向斜向左上方
【答案】AD
【解析】
【分析】
【详解】
A.根据牛顿第二定律
根据牛顿第三定律可知对轨道的压力大小
A正确;
BC.物块受到的摩擦力
BC错误;
D.水平方向合力向左,竖直方向合力向上,因此物块受到的合力方向斜向左上方,D正确。
故选AD。
3.如图甲所示,半径为R、内壁光滑的圆形细管竖直放置,一可看成质点的小球在圆管内做圆周运动,当其运动到最高点A时,小球受到的弹力F与其过A点速度平方(即v2)的关系如图乙所示。设细管内径略大于小球直径,则下列说法正确的是()
A.当地的重力加速度大小为R b
B.该小球的质量为a b R
C.当v2=2b时,小球在圆管的最高点受到的弹力大小为a D.当0≤v2<b时,小球在A点对圆管的弹力方向竖直向上【答案】BC
【解析】
【分析】
【详解】
AB.在最高点,根据牛顿第二定律
2
mv
mg F
R
-=
整理得
2
mv F mg R
=- 由乙图斜率、截距可知
a mg =, m a R b
=
整理得
a m R
b =
,b g R
= A 错误,B 正确;
C .由乙图的对称性可知,当v 2=2b 时
F a =-
即小球在圆管的最高点受到的弹力大小为a ,方向竖直向下,C 正确; D .当0≤v 2<b 时,小球在A 点对圆管的弹力方向竖直向下,D 错误。 故选BC 。
4.高铁项目的建设加速了国民经济了发展,铁路转弯处的弯道半径r 是根据高速列车的速度决定的。弯道处要求外轨比内轨高,其内外轨高度差h 的设计与r 和速率v 有关。下列说法正确的是( )
A .r 一定的情况下,预设列车速度越大,设计的内外轨高度差h 就应该越小
B .h 一定的情况下,预设列车速度越大,设计的转弯半径r 就应该越大
C .r 、h 一定,高速列车在弯道处行驶时,速度越小越安全
D .高速列车在弯道处行驶时,速度太小或太大会对都会对轨道产生很大的侧向压力 【答案】BD 【解析】 【分析】 【详解】
如图所示,两轨道间距离为L 恒定,外轨比内轨高h ,两轨道最高点连线与水平方向的夹角为θ。
当列车在轨道上行驶时,利用自身重力和轨道对列车的支持力的合力来提供向心力,有
2
=tan h v F mg mg m L r
θ==向
A . r 一定的情况下,预设列车速度越大,设计的内外轨高度差h 就应该越大,A 错误;
B .h 一定的情况下,预设列车速度越大,设计的转弯半径r 就应该越大,B 正确;
C .r 、h 一定,高速列车在弯道处行驶时,速度越小时,列车行驶需要的向心力过小,而
为列车提供的合力过大,也会造成危险,C 错误;
D .高速列车在弯道处行驶时,向心力刚好有列车自身重力和轨道的支持力提供时,列车对轨道无侧压力,速度太小内轨向外有侧压力,速度太大外轨向内有侧压力,D 正确。 故选BD 。
5.如图所示,匀速转动的水平圆盘上放有质量分别为2kg 和3kg 的小物体A 、B ,A 、B 间用细线沿半径方向相连。它们到转轴的距离分别为R A =0.2m 、R B =0.3m 。A 、B 与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍。g 取10m/s 2,现极其缓慢地增大圆盘的角速度,则下列说法正确的是( )
A .小物体A 达到最大静摩擦力时,
B 受到的摩擦力大小为12N B .当A 恰好达到最大静摩擦力时,圆盘的角速度为4rad/s
C .细线上开始有弹力时,圆盘的角速度为
230
3
rad/s D .当A 恰好达到最大静摩擦力时,剪断细线,A 将做向心运动,B 将做离心运动 【答案】AC 【解析】 【分析】 【详解】
A .当增大原盘的角速度,
B 先达到最大静摩擦力,所以A 达到最大静摩擦力时,B 受摩擦力也最大,大小为
f B=km B
g =0.4?3?10N=12N
故A 正确;
B .当A 恰好达到最大静摩擦力时,圆盘的角速度为ω,此时细线上的拉力为T ,由牛顿第二定律,对A
2A A A k T R m g m ω-=
对B
2B B B T km g m R ω+=
联立可解得
s 13
102
ω=
故B 错误;
C. 当细线上开始有弹力时,此时B 物体受到最大摩擦力,由牛顿第二定律,有
2B B 1B k m R m g ω=
可得
1230
rad/s 3
ω=
故C 正确;
D. 当A 恰好达到最大静摩擦力时,剪断细线,A 物体摩擦力减小,随圆盘继续做圆周运动,而B 不再受细线拉力,最大摩擦力不足以提供向心力,做离心运动,故D 错误。 故选AC 。
6.如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,管道内侧壁半径为R , 小球半径为r ,则下列说法中正确的是( )
A .小球通过最高点时的最小速度min v Rg =
B .小球通过最高点时的最小速度min 0v =
C .小球在水平线ab 以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定无作用力
D .小球在水平线ab 以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力 【答案】BC 【解析】 【详解】
AB.因是在圆形管道内做圆周运动,所以在最高点时,内壁可以给小球沿半径向外的支持力,所以小球通过最高点时的最小速度可以为零.所以选项A 错误,B 正确;
C.小球在水平线ab 以下的管道中运动时,竖直向下的重力沿半径方向的分力沿半径方向向外,小球的向心力是沿半径向圆心的,小球与外壁一定会相互挤压,所以小球一定会受到外壁的作用力,内壁管壁对小球一定无作用力,所以选项C 正确;
D.小球在水平线ab 以上的管道中运动时,当速度较小时,重力沿半径方向上的分力大于或等于小球做圆周运动需要的向心力,此时小球与外壁不存在相互挤压,外侧管壁对小球没有作用力,选项D 错误.
7.如图所示,足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆,原长为L 的轻质弹簧套在竖直杆上,质量均为m 的光滑小球A 、B 用长为L 的轻杆及光滑铰链相连,小球A 穿过竖直杆置于弹簧上。让小球B 以不同的角速度ω绕竖直杆匀速转动,当转动的角速度为ω0时,小球B 刚好离开台面。弹簧始终在弹性限度内,劲度系数为k ,重力加速度为g ,则
A .小球均静止时,弹簧的长度为L -
mg
k
B .角速度ω=ω0时,小球A 对弹簧的压力为mg
C .角速度ω02kg
kL mg
-D .角速度从ω0继续增大的过程中,小球A 对弹簧的压力不变 【答案】ACD 【解析】 【详解】
A .若两球静止时,均受力平衡,对
B 球分析可知杆的弹力为零,
B N mg =;
设弹簧的压缩量为x ,再对A 球分析可得:
1mg kx =,
故弹簧的长度为:
11mg
L L x L k
=-=-
, 故A 项正确;
BC .当转动的角速度为ω0时,小球B 刚好离开台面,即0B
N '=,设杆与转盘的夹角为θ,由牛顿第二定律可知:
2
0cos tan mg m L ωθθ
=?? sin F mg θ?=杆
而对A 球依然处于平衡,有:
2sin k F mg F kx θ+==杆
而由几何关系:
1
sin L x L
θ-=
联立四式解得:
2k F mg =,
02kg
kL mg
ω=
-
则弹簧对A 球的弹力为2mg ,由牛顿第三定律可知A 球队弹簧的压力为2mg ,故B 错误,C 正确;
D .当角速度从ω0继续增大,B 球将飘起来,杆与水平方向的夹角θ变小,对A 与B 的系统,在竖直方向始终处于平衡,有:
2k F mg mg mg =+=
则弹簧对A 球的弹力是2mg ,由牛顿第三定律可知A 球队弹簧的压力依然为2mg ,故D 正确; 故选ACD 。
8.如图所示,一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内,其中管道半径为R . 现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动,当小球通过最高点时速率为v 0,则下列说法中错误的是
A .若0v gR
B .若0v gR >
,则小球对管内上壁有压力 C .若00v gR <<
D .不论v 0多大,小球对管内下壁都有压力
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
A .到达管道的最高点,假设恰好与管壁无作用力.则有:小球仅受重力,由重力提供向心力,即:
20
v mg m R
=
得
0v gR =
所以A 选项是正确的,不符合题意. B .当0v gR >
,则小球到达最高点时,有离心的趋势,与内上壁接触,从而受到内上壁向下
的压力,所以小球对管内上壁有压力,故B 选项是正确的,不符合题意. C .当00v gR <<
则小球到达最高点时, 有向心的趋势,与内下壁接触,从而受到内下壁
的压力.所以C 选项是正确的,不符合题意.
D .小球对管内壁的作用力,要从速度大小角度去分析.,若0v gR >有压力;若00v gR <<
D 不正确,符合题意.
9.如图所示,放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R ,质量为m 的带孔小球穿在环上,同时有一长为R 的细绳一端系于球上,另一端系于圆环最低点,绳上的最大拉力为2mg ,当圆环以角速度ω绕竖直直径转动,且细绳伸直时,则ω不可能...
为( )
A .
2g
R
B .2
g R
C .
6g R
D .
7g
R
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
因为圆环光滑,所以小球受到重力、环对球的弹力、绳子的拉力等三个力。细绳要产生拉力,绳要处于拉伸状态,根据几何关系可知,此时细绳与竖直方向的夹角为60°,如图所示
当圆环旋转时,小球绕竖直轴做圆周运动,向心力由三个力在水平方向的合力提供,其大小为
2F m r ω=
根据几何关系,其中
sin60r R ?=
一定,所以当角速度越大时,所需要的向心力越大,绳子拉力越大,所以对应的临界条件是小球在此位置刚好不受拉力,此时角速度最小,需要的向心力最小,对小球进行受力分析得
min tan60F mg ?=
即
2
min tan60sin60mg m R ω??=
解得
min 2g
R
ω=
当绳子的拉力达到最大时,角速度达到最大,
m max N ax 606sin sin 0F T F ?=+? N max cos cos 6060T mg F =??+
可得
max 33g F m =
同理可知,最大角速度为
max 6g R
ω=
则
7g R 不在26g g
R R
ω≤≤范围内,故选D 。
10.如图所示,粗糙水平圆盘上,质量相等的A 、B 两物块叠放在一起,随圆盘一起做匀速圆周运动,则下列说法正确的是( )
A .A 对
B 的摩擦力指向圆心
B .B 运动所需的向心力大于A 运动所需的向心力
C .盘对B 的摩擦力是B 对A 的摩擦力的2倍
D .若逐渐增大圆盘的转速(A 、B 两物块仍相对盘静止),盘对B 的摩擦力始终指向圆心且不断增大 【答案】C 【解析】 【详解】
A .两物体随圆盘转动,都有沿半径向外的滑动趋势,受力分析如图
则所受静摩擦力均沿半径指向圆心,由牛顿第三定理可知A 对B 的静摩擦力沿半径向外,故A 错误;
B .两物体随圆盘转动,角速度相同为ω,运动半径为r ,则两物体转动所需的向心力均为
2m r ω,即B 运动所需的向心力等于A 运动所需的向心力,故B 错误;
C .对整体由牛顿第二定律可知
22B f m r ω=
对A 由牛顿第二定律得
2BA f m r ω=
则盘对B 的摩擦力是B 对A 的摩擦力的2倍,故C 正确;
D .在增大圆盘转速的瞬间,两物体有沿半径向外的趋势和沿切线向后的趋势,则此时静摩擦力方向在径向和切向之间,与线速度成锐角,径向分力继续提供向心力,切向分力提供切向加速度使线速度增大,从而保证滑块继续跟着圆盘转动,而物体随转盘一起转时静摩擦力又恢复成沿半径方向提供向心力,故增大圆盘转速,盘对B 的摩擦力大小不断增大,但方向不是始终指向圆心,故D 错误。 故选C 。
11.在游乐园质量为m 的人乘坐如图所示的过山车,当过山车从高度释放之后,在竖直平面内通过了一个光滑的圆周轨道(车的轨迹如图所示的虚线),下列说法正确的是( )
A .车在最高点时人处于倒坐状态,全靠保险带拉住,若没有保险带,人一定会掉下去
B .人在最低点时对座位的压力大于mg
C .人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等
D .人在最高点时对座位仍可能产生压力,但压力一定小于mg 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
A .当人与保险带间恰好没有作用力时,由重力提供向心力得
2v mg m
R
=临
解得临界速度为
=v gR 临
当速度v gR ≥
时,没有保险带,人也不会掉下来。选项A 错误;
B .人在最低点时,加速度方向竖直向上,根据牛顿第二定律分析可知,人处于超重状态,人对座位的压力大于mg ,选项B 正确;
C .在最高点和最低点速度大小不等,根据向心加速度公式2
=v a r
可知,人在最高点和最低
点时的向心加速度大小不相等,选项C 错误; D .当人在最高点的速度v gR >时人对座位就产生压力。当速度增大到2v gR =时,
压力为3mg ,选项D 错误。 故选B 。
12.长为L 的细线一端系一质量为m 的小球(可视为质点),另一端固定在一光滑锥顶上,光滑锥顶角为2θ,轴线在竖直方向,如图甲所示。使小球在水平面内做角速度为ω的匀速圆周运动,线的张力为T ,经分析可得2-T ω关系图像如图乙所示,已知重力加速度为g 。则( )
A .sin a mg θ=
B .g b L
=
C .图线1的斜率1sin k mL θ=
D .图线2的斜率2k mL =
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
A .当角速度为零时,受力分析则有
cos T mg a θ==
故A 错误。
B .当小球贴着光滑圆锥做匀速圆周运动时,由题图可知,当角速度的平方达到b 时,支持力为零,有
2tan sin mg mL θθω=
解得
2cos g
b L ωθ
==
故B 错误。
C .小球未脱离圆锥时,有
2sin cos sin T N mL θθθω-= cos sin T N mg θθ+=
联立两式解得
22cos sin T mg mL θθω=+
可知图线1的斜率
21sin k mL θ=
故C 错误。
D .当小球脱离圆锥后,有
2sin sin T a mL a ω=
即
2T mL ω=
则图线2的斜率
2k mL =
故D 正确。 故选D 。
13.游乐园里有一种叫“飞椅”的游乐项目,简化后的示意图如图所示.已知飞椅用钢绳系着,钢绳上端的悬点固定在顶部水平转盘上的圆周上.转盘绕穿过其中心的竖直轴匀速转动.稳定后,每根钢绳(含飞椅及游客)与转轴在同一竖直平面内.图中P 、Q 两位游客悬于同一个圆周上,P 所在钢绳的长度大于Q 所在钢绳的长度,钢绳与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2.不计钢绳的重力.下列判断正确的是( )
A .P 、Q 两个飞椅的线速度大小相同
B .无论两个游客的质量分别有多大,θ1一定大于θ2
C .如果两个游客的质量相同,则有θ1等于θ2
D .如果两个游客的质量相同,则Q 的向心力一定大于P 的向心力 【答案】B 【解析】
【详解】
BC .设钢绳延长线与转轴交点与游客所在水平面的高度为h ,对游客受力分析,由牛顿第二定律和向心力公式可得:
2tan tan mg m h θωθ=
则:
P Q h h =
设圆盘半径为r ,绳长为L ,据几何关系可得:
cos tan r
h L θθ=
+ 因为:
P Q L L >
所以:
12θθ>
由上分析得:无论两个游客的质量分别有多大,θ1一定大于θ2;故B 项正确,C 项错误。 A .设游客做圆周运动的半径为R ,由几何关系可得:
sin R r L θ=+
所以:
P Q R R >
两游客转动的角速度相等,据v R ω=可得:
P Q v v >
故A 项错误。
D .对游客受力分析,游客所受向心力:
n tan F mg θ=
如果两个游客的质量相同,12θθ>,所以P 的向心力一定大于Q 的向心力,故D 项错误。
14.如图所示,A 、B 是两只相同的齿轮,A 被固定不能转动。若B 齿轮绕A 齿轮运动半周,到达图中的C 位置,则B 齿轮上所标出的竖直向上的箭头所指的方向是( )
A .竖直向上
B .竖直向下
C .水平向左
D .水平向右
【答案】A 【解析】 【详解】
若B齿轮逆时针绕A齿轮转动,当B齿轮转动1
4
周时,B齿轮在A齿轮正上方,B齿轮上
所标出箭头所指的方向竖直向下;B齿轮继续转动1
4
周,B齿轮到达图中的C位置,B齿
轮上所标出箭头所指的方向竖直向上。
若B齿轮顺时针绕A齿轮转动,当B齿轮转动1
4
周时,B齿轮在A齿轮正下方,B齿轮上
所标出箭头所指的方向竖直向下;B齿轮继续转动1
4
周,B齿轮到达图中的C位置,B齿
轮上所标出箭头所指的方向竖直向上。
综上,BCD三项错误,A项正确。
15.用一根细线一端系一小球(可视为质点),另一端固定在一光滑锥顶上,如图所示。设小球在水平:面内做匀速圆周运动的角速度为ω,线所受拉力为T,则下列T随2ω变化的图像可能正确的是()
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
对小球受力分析如图
当角速度较小时,小球在光滑锥面上做匀速圆周运动,根据向心力公式可得
2sin cos sin T N mL θθθω-=?
cos sin T N mg θθ+=
联立解得
22cos sin T mg mL θθω=+?
当角速度较大时,小球离开光滑锥面做匀速圆周运动,根据向心力公式可得
2sin sin T mL ααω=?
则
2T mL ω=
综上所述,ABD 错误,C 正确。 故选C 。