储油罐的变位识别与罐容表标定
摘 要
本文对A 试题进行了分析和研究。
为了解决加油站中储油罐的变位识别与罐容表标定问题，同时分析罐体变位对罐容表的影响，通过建立出在不同油位值情况下比较精准的罐内油位高度与储油量的函数关系模型，利用采集到的小椭圆型储油罐和实际储油罐的实验数据，借助相关软件对问题进行深入研究。
针对问题一：为了研究罐体变位后对罐容表的影响，本文首先根据所给的简化小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），利用微元法，建立出在不同油位值情况下的平头罐体油位高度与储油量的函数对应关系——积分模型（模型一）。对于倾斜角为 4.1a =?的纵向变位情况，通过等面积法找到倾斜时油标显示值H 1与对应同体积的水平状态下液高2H 的函数关系，从而得出倾斜角为 4.1a =?时罐内油位高度与储油量的函数关系。利用添加多项式对模型进行校正，用MATLAB 软件编程得到所加多项式的参数，得到贴近实际的油位高度与储油量的数学关系模型，并运用该模型得到初始油标值为0，间隔1cm 的罐容表标定值。
再用SPSS 软件中的曲线估计过程拟合得到小椭圆储油罐无变位时油位高度与储油量的函数关系，求解得到无变位时的罐容表。通过比较小椭圆储油罐无变位和变位斜角为 4.1a =?时的罐容表标定值，分析出罐体变位前后储油量最大差值大约为270L ，较小差值65L ，平均差值为178.87L ，说明小椭圆罐体变位后对罐容表的影响是很大的。
针对问题二：研究主体为圆柱体、两端为球冠体的实际储油罐，对其进行分段计算，主体1V 的求法沿用问题一中所建立的分段函数数学模型，两端球冠体采用近似椭球的体积求法。建立出含有参数纵向倾斜角度α和横向偏转角度β的实际罐体显示与储油量的函数对应关系——积分模型（模型二）。并根据所给采集数据在MATLAB 软件中利用最小二乘法估计出变位参数角度α和β的数值： 2.779, 4.693αβ==
将得到的α和β估计值代入模型二中的分段函数关系式中，通过计算理论的累加出油量与检测数据的累加出油量差值，用SPSS 软件中的曲线估计过程拟合得到罐内探针、管线等所占的体积与显示油高的函数关系，并作为修正因子带入的建立的模型二中，得到修正后的模型二（实际罐体显示油高与储油量的函数关系式）。运用该模型得到初始油标值为0，间隔10cm 的实际储油罐罐容表标定值。同样用SPSS 软件中的曲线估计过程拟合得到实际储油罐显示油高与显示油量容积的函数关系，求解得到无变位时的罐容表。通过比较两个罐容表，分析出实际平均差值为2123L ，平均相对误差达到14.54%。说明实际储油罐罐体变位后对罐容表的影响是比较大。
最后使用中途补充进油之后的采集数据对模型二进行检验。通过比较模型二得到的理论累加出油量与实际累加出油量，二者平均相对差值为0.162%，说明用最小二乘法拟合得到的参数α、β的估计值与真实值是非常接近的，也证明了所建立的模型二是正确的并且所运用的最小二乘法、曲线估计法等方法是可靠的。
关键字: 积分模型 微元法 最小二乘法 曲线估计 罐容表
一、问题的提出
“油位计量管理系统”是采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
有些储油罐在使用一段时间后，罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。典型的储油罐主体为圆柱体，两端为球冠体。现研究典型的变位后罐内油位高度与储油量的对应关系，并对变形后的罐容表进行重新标定。
现在通过数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 4.1
a=?的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
二、问题的分析
罐容表是储油罐内油位高度与储油量的对应关系。当罐体变位时，储油罐内燃油的几何形状会发生改变，罐体在水平状态时的罐容表不再如实反映储油罐内油位高度与储油量的对应关系。
问题一：根据题中所给的储油罐尺寸，建立起罐体在不同位置状态下罐内油位高度与储油量的函数关系。要想解出这种函数关系，应首先理清罐体在水平状态时储油罐内油位高度与储油量的关系。确立这一关系后，可以利用一些等效几何关系将罐体变位后的罐内储油量转换为罐体在水平状态下的某一油位高度对应的储油量，进而初步确立罐体变位后的罐容表。
由于实际的储油罐并非简单的密闭容器，其内部还有一些管线。为使所得到的数学模型能跟贴近实际，应根据附表中所给数据进行相关修正，并利用相关实际数据对修正后的模型进行验证，进而得到更贴近真实的罐体变位的罐容表标定值。
问题二：在建立实际油罐的数学模型时，可在问题一中已建立的模型基础上，分别探究罐体发生纵向倾斜和横向偏转时，含有参数α和度β的实际罐体油位高度与储油量的函数对应关系。利用MATLAB软件，通过最小二乘法可以估计出变位参数角度α和β的数值。
三、模型的假设
1、储油罐的几何形状均是规则的，内部不存在凸凹是完全光滑的；
2、不考虑温度对油体积变化的影响；
3、在问题1中罐体的变位只是纵向变位，问题2中储油管的变位也只是纵向倾斜和横向
偏转，不存在其他形式的变位；
4、忽略油浮子的体积，并假设油浮子及油位探针之间无摩擦，移动是灵活的；
5、附表中的数据均是真实可信的采集数据，不存在会导致结果不真实的问题。
四、符号的约定与说明
a——椭圆体截面的长轴半径
b——椭圆体截面的短轴半径
c——实际油罐中球冠体的近似椭球形的横轴半径
S——罐内所储油的截面面积
H——在油浮子处的油深
1
H——水平状态时的相当高度
2
h——发生纵向倾斜和横向倾斜时的显示油高
α——纵向倾斜角度
β——横向偏转角度
R——实际油罐直圆柱部分的半径
D——实际油罐直圆柱部分的直径
L——小椭圆型储油罐/实际油罐内的纵向长度
L——油罐从一端开始到油位探针在储油罐底面投影点的距离
1
V——小椭圆型储油罐/实际油罐内的燃油体积
V——实际油罐中直圆筒部分燃油的体积
1
V——实际油罐中左边球冠体内燃油的体积
2
V——实际油罐中右边球冠体内燃油的体积
3
x——进行曲线拟合时的自变量
y——进行曲线拟合时的因变量
五、模型的建立与求解
问题1：
为了研究罐体变位后对罐容表的影响，根据所给的简化小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），利用微元法建立出在不同油位值情况下的平头罐体油位高度与储油量的函数对应关系——积分模型（模型一）。问题一的解题过程如图1-1所示。
图1-1 问题一的解题过程示意图
对于倾斜角为 4.1a =?的纵向变位情况，通过等面积法找到倾斜时油标显示值1H 与对应同体积的水平状态下液高2H 的函数关系，从而得出倾斜角为 4.1a =?时罐内油位高度与储油量的积分模型。利用添加修正因子对模型进行校正，得到贴近实际的油位高度与储油量的数学关系模型。
模型一 平头罐体内油位高度与储油量的函数关系 ——积分模型 1、罐体无变位时的积分模型
当罐体无变位时，利用微元法推导得出在不同油位值情况下的油位高度2H 与平头罐体储油量V 的函数关系，建立油位高度与储油量的积分模型。
首先，建立如图1-2所示的坐标系，平头罐体的横截面积为椭圆形，其长半轴为a ，短半轴为b ，油面高度为2H （图中CD ）。
图1-2-1 图 1-2-2
图1-2 油罐的椭圆横截面积积分示意图
在图1-2坐标系下的椭圆方程为：22
221x y a b
+= （1）
直线AB 的方程为：AB 2()y b H =-- （2）
由（1）式得到的曲线ACB 的方程为：ACB y =
将（2）式代入（1）式，整理后得到：x =微元面积（图1-2中所示黑条面积）：d
S y d x =
其中[]AB ACB 2()y y y b H ?=-=---??
当油面低于O 点时（即20H b <≤时），如图1-2-1所示，油面横截面积为：
[
](
))
20
220
22()2arcsin 2x
S b H dx
b a x H b x a a H b ab ?=---????=-+??
???
?=-+? （3）
当油面高于O 点时（即22b H b <≤时）
，如图1-2-2所示，同理可得油面横截面积为
)2S ab b H ab π=--+?? （4） 其次，根据无倾斜时的罐体内油量V S L =?，按照2H 的不同情况将列出如下表达式：
（1）当20H b <
≤时：
)
2V H b abL =-+ （5） （2）当22b H b <≤
时：
)2V abL L b H ab π=--+??
（6） 上述表达式（5） （6）为平头罐体无变位时，储油量与油位高度的积分模型。 2、罐体有变位时的积分模型
罐体发生变位后油罐内的燃油变成了不规则的几何体，罐体内油位高度与储油量不再满足水平状态下的关系。由于纵向倾斜角很小（4.10），利用等面积法（即将罐内燃油的纵向截面形状转化为相等面积的矩形），将有变位时的油体积转化为无变位时的油体积，再利用罐体无变位时的函数关系求解，得到罐体发生纵向倾斜变位时的积分模型。
首先，按照等面积法求出有变位时油位高度1H 与水平状态时的相当高度2H 的函数关系211()H F H =。有变位时的储油量V 等于在相当高度2H 时的油面横截面积与储油罐纵向长度的乘积，函数关系为22()V F H =。根据1f 和2f 的表达式可推导出储油量V 和油位高度1H 的函数关系，即1()V F H =。过程如下：
图1-3中显示了罐体倾斜时储油罐中的油面情况，其中2OM FQ 2b ==（椭圆短轴），
1GQ H =（变位时油位高度），12EC H =（水平状态时的相当高度）, 1OB N =（变位时油面较高处的油深），12AC N =（变位时油面较低处的油深），WP H =，1OC L =，
1OQ L =。
图1-3 罐体倾斜时储油罐的纵向截面
其次，将该模型根据油面位置的高低分四段来推导其几何关系：
（1）当油面处于11M C 油面下时，即1220tan H L α≤≤，罐内所储油的纵向截面为三角形（如图1-4）。此时存在的几何关系有：111tan N H L α=+,1212H N =，1cot L'N α=。整理得： 22cot L'H α= (7)
图1-4 油量位于11M C 油面下时储油罐的纵向截面
利用三角形面积等于矩形面积（S S = ），即1122''N L H L =，代入1N 得到有变位时油位高度1H 与水平状态时2H 的函数关系： 11
2tan 22
H L H α=
+ (8) 此时罐内的储油量应满足如下关系：V S L'=?。其中S 为在相当高度2H 时的油面横截面积，因为此时2H 的范围是20H b <≤，所以S 的表达式为式（3）。
（2）当油面处于11M C 与BA 之间时，即12tan L H b α<≤，罐内所储油的纵向截面为梯形。此时存在的几何关系有：111tan N H L α=+,111tan N H L α=+，
211tan tan N H L L αα=+-。
利用梯形面积面积等于矩形面积（11EKOC BOC A =S S 矩形梯形），即()11222N N L H L +=，代入1N 、2N 可得到有变位时油位高度1H 与水平状态时的相当高度2H 的函数关系：
211tan 2L H H L α?
?=+- ??
? (9)
此时2H 的范围也是20H b <≤，故S 的表达式仍为式（3）。
（3）当油面处于BA 与22M C 之间时，即1222tan b H b L α<≤-，有变位时油位高度1
H 与水平状态时的相当高度2H 的函数关系与油面处于11M C 与BA 之间时的函数关系相同（式（9））。但此时油面横截面积S 对应的相当高度2H 的范围是22b H b <≤，所以S 的表达式为式（4）。
（4）当油面处于22M C 之上且没有末过油孔时（如图1-5），即2N b >，而12H b ≤，用()12b H -代替1H ，用()1L L -代替1L ，则()1112tan N b H L L α=-+-，此时水平液高
1212H N =，经整理后得： ()2111
2tan 2H b H L L α=
-+-???
? (10)
图1-5 油面处于22M C 之上且没有浸没油孔时储油罐的纵向截面
罐内储油量：V S L'=?。其中S 的表达式为式（4），底长cot L'N α=，即：
()112tan cot L'b H L L αα=-+-???? (11)
综上所述，将建立的储油量和标高的四段函数关系整理如下：
（1）当110()tan H L L a ≤≤-时: 112tan 22
H L
H α=+
)
22
2cot
V H b abH a
=-+?（12）
（2）当
111
()tan tan
2
L
L L a H b L a
??
-<≤+-
?
??
时:
211
tan
2
L
H H Lα
??
=+-
?
??
)
2
V H b abL
=-+（13）
（3）当
111
tan2tan
2
L
b L a H b L a
??
+-<≤-
?
??
时:
211
tan
2
L
H H Lα
??
=+-
?
??
)
2
V abL b H abL
π
=--+
??
；（14）
（4）当
11
2tan2
b L a H b
-<≤时: ()
211
1
2tan
2
H b H L Lα
=-+-
??
??；
)
()()
2
11
2cot
V abL H b ab
b H L L
π
α
=--+?
??
-+-
??
??
；（15）
上述表达式（12） （15）为平头罐体有变位时，储油量与油位高度的积分模型。模型优化罐内油位高度与储油量的应函数关系的检验与修正
1、利用MATLAB软件绘制出上述模型一（四段函数）的曲线图，同时根据附件1中给出的小椭圆储油罐倾斜变位进油时油位高度与进油量数据，画出小椭圆储油罐变位时油位高度与实际储油量的散点图（见附录程序1），从图1-6中可以看出理论储油量略高于实际储油量。产生偏差的主要原因是由于油罐内的油位探针、进油管、出油管占有部分容积以及忽略了容器壁厚的影响等造成的，所以理论储油量比实际储油大。
2、将储油罐倾斜变位进油时油位高度数据带入到对应的两段函数中，利用MATLAB 软件（见附录程序1）得到这列油位高度值所对应的理论储油量，并与对应的理论储油量做差，得到在不同油位高度时罐内探针、管线等所占的体积对储油量的影响情况（详见附录表1）。以油位高度为自变量、理论储油量与实际储油量之差为因变量，利用SPSS 软件中的曲线估计过程对变量进行非线性拟合（如图1-7），得到回归方程
2
11
0.132610.591550.39077
V H H
?=-+-。
分析表明:F=536.997、显著性水平为0.000、相关系数平方（R2）=0.956，说明方程拟合程度是很好的。
图1-6 修正前的模型理论曲线与实际曲线关系图
图1-7 油位高度与理论、实际油量之差的拟合曲线
3、由回归方程2110.132610.591550.39077V H H ?=-+-可知， 1
0.2736m H ≤时会出现0V ?≤的情况（即此时理论储油量小于实际储油量），与实际不符，所以用于修正模型一的二次方程仅适合10.2736m H ≥的情况。由于油位高度较小时，罐内探针、管线等所占的体积对储油量的影响很小可以忽略，所以不需要对10.2736m H ≤的时模型一中的函数进行修正。
将回归方程依次代入到对应10.2736m H ≥时的模型一中函数关系式中，得到修正后储油量与油位高度的函数关系模型，将修正后的模型一整理如下：
（1）当110()tan H L L a ≤≤- 时: 112tan 22
H L
H α=+
)
222cot arcsin
V H b abH a =
-+?
； （16）
（2）当11()tan 0.2736L L a H -<≤
时: 211tan 2L H H L α
?
?=+- ?
??
)
2V H b abL =
-+ （17）
（3）当110.2736tan 2L H b L a ??<≤+- ??? 时: 211tan 2L H H L α
?
?=+- ???
)
2211(0.132610.591550.39077)
V H b abL H H =
-+--+-； （18） （4）当111tan 2tan 2L b L a H b L a ??+-<≤- ??? 时: 211tan 2L H H L α?
?=+- ???
)22
11arcsin (0.132610.591550.39077)V abL b H abL H H π=--+??--+-； （19）
（5）当112tan 2b L a H b -<≤ 时: ()2111
2tan 2
H b H L L α=-+-????
)()()22
1111arcsin 2cot (0.132610.591550.39077)V abL H b ab b H L L H H πα=--+?
??-+---+-????
； （20）
4、根据修正后的模型一，利用MATLAB软件绘制出修正后模型一（五段函数）的曲线图与实际储油量散点图（见附录程序2），从图1-8中可以看出修正后模型一对应的储油量能够和实际储油量吻合得很好。由此可以得出结论，经过修正后的模型一能够较为精准得表示出实际油量与油位高度的关系。
图1-8修正前、后的模型曲线与实际曲线关系图
模型应用求解罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值并分析小椭圆罐体变位后对罐容表的影响
1、运用修正后的模型一中储油量与油位高度的函数关系式，以0作为初始油标值，
α=）每次增加1cm，利用MATLAB软件（见附录程序3）得到小椭圆储油罐罐体变位（0
4.1
后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（油位高度为0时，油量为1.4822L）。部分结果如下（详见附录表2）。
α=）表1-1 修正后模型一对应的小椭圆罐罐容表的部分数据（0
4.1
高度（以m为单位）和实际储油量（以立方米为单位）的数据,以油位高度为自变量、实际储油量为因变量，利用SPSS软件中的曲线估计过程对变量进行非线性拟合，得到拟合程度很高的三次回归方程:
23
=-++-
y x x x
0.049258 1.670437 4.31597 2.407254
回归方程方差分析表明: F=1.072E6显著性水平为0.000、相关系数平方（R2）=1.000，说明三次方程拟合程度是很高的。
利用拟合得到的三次回归方程，借助 MATLAB软件（见附录程序4）得到小椭圆储油罐无变位时的罐容表标定值（详见附录表3），部分数据如下：
表1-2 小椭圆罐无变位时罐容表部分数据
1-3所示，罐体变位前后储油量最大差值大约为270L，较小差值65L，平均差值为178.87L，说明小椭圆罐体变位后对罐容表的影响是很大的。
实际油罐的两端是两个球冠体，先考虑纵向倾斜对罐内储油量的影响（油量V与纵向倾斜角度α的关系），再考虑横向偏转对罐内储油量的影响（油量V与横向偏转角度β的关系）。可以将油罐分为两个部分：中间的直圆柱和两边的两个球冠体，油罐内的储油量体积可以看成是这两大部分的加和。问题二的解题过程如图2-1所示。
图2-1 问题二的解题过程示意图
模型2 实际罐体内油位高度与储油量的函数关系——积分模型 1、模型准备 纵向倾斜：
储油罐内的直圆柱部分即为模型一中椭圆柱的特殊情况，将模型一中的公式（12） （15）的长短半轴a 、b 变为等长半径R ，即可得到在纵向倾斜状态下的直圆柱筒内油浮子位置与燃油体积的关系。对于储油罐的两个球缺体的燃油体积，如果直接利用微元法进行积分求体积运算量很大，因此在处理时采取如下方法（见图2-2）。假设在倾斜时球冠体内的燃油液面仍与储油罐的罐身平行，这样处理后会使两个球冠体的液体体积与实际体积相比正好是“一多一少”，而这“一多一少”的两部分体积可以认为是近似相互抵消的。即近似认为11
22
BWP AW P =S S 多边形多边形，则总体积V 是1V （纵向截面1
OBAC 对应的体积）、2V （纵向截面1OBP 对应的体积）和3V （纵向截面12AC P 对应的体积）三部分的加和。
图 2-2 实际罐体发生纵向倾斜时的纵向截面
将两个球冠体的圆面重合相接，可近似看成一个椭球体（如图2-2），通过微元法可得椭球体内部任意高度的液体体积，这样就可以确立每半个球缺体在任意液面高度情况下所对应的液体体积。椭球体内任意高度的液体体积的推导过程如下：
图2-3-1 图2-3-2
图 2-3 椭球体内任意高度的液体体积示意图
在图2-3下的椭球方程为：222
2221x y z a b c
++=，即
2
2
2
2
2222111x z y y a c b b +
=??
??-- ? ???
??
对体积微分：()'
S dV y dy =，即()()'
2
22
32123
322
ac
ac
=
h b V'b
y dy b h'h'b
b b ππ--=
-
+?，其中
h'H b =-。经整理后得到球体内部任意高度的液体体积：
()()3'2
321233ac V b H b H b b b π?
?=
---+????
（21） 则在油罐一侧封头的体积是：
23
3212()()233ac V b H b H b b b π?
?=
---+????
（22） 则对应图2-3的几何关系，对应式（22）可得：
()()323211
12233c V R N R N R R R π?
?=
---+????
（23） ()()32
332212233c V R N R N R R R π?
?=
---+???? （24）
其中111+tan N H L α=，211()tan N H L L α=+-。 横向偏转：
罐体发生横向偏转时，油浮子的读数h 与油高1H 的关系可通过几何模型（如图2-4）求出。
图 2-4 发生横向偏转时的几何示意图
根据三角形几何关系，可以得到发生横向偏转角度β时，对储油罐的标高影响。函数表达式如下：
()1cos h H R R β=-- （25）
2、模型建立
与所建立的模型一相同，模型二中储油量V 与显示油高h 的函数关系式仍要分成四段处理，将各关系式加以整理，得到在如下四段函数关系式：
1、当110()tan H L L a ≤≤-时，储油量V 与其它变量的关系式为：
123V V V V =++ （26）
)
2
12222cot 2cot V H H R H R α=-+?()()32
321111
12tan tan 233c V R H L R H L R R R παα?
?=
+--+-+????
30V =
11
2tan 22
H L H α=
+ ()1c o s h H R R β=--； 2、当111()tan tan 2L L L H R L a α??
-<≤+- ???
时，储油量V 与其它变量的关系式为：
123V V V V =++ （27）
)
212V H R LR =-+
()()32
321111
12tan tan 233c V R H L R H L R R R παα?
?=
+--+-+????
()()()()32
33111112tan tan 233c V R H L L R H L L R R R παα?
?=
-------+????
211tan 2L H H L α?
?=+- ???
()1c o s h H R R β=--；
3、当111tan 2tan 2L R L a H R L a ??
+-<≤- ???
时，储油量V 与其它变量的关系式为：
123V V V V =++ （28）
)2
2
12V R L R H LR π?=--+?????
()()32
321111
12tan tan 233c V R H L R H L R R R παα?
?=
+--+-+????
()()()()32
33111112tan tan 233c V R H L L R H L L R R R παα?
?=
-------+????
211tan 2L H H L α?
?=+- ???
()1c o s h H R R β=--；
4、当112tan 2R L a H R -<≤时，储油量V 与其它变量的关系式为：
123V V V V =++ （29）
)()()2
2
1211.cot V R L H R R D H L L πα=--+-+-??????
222
3
V cR π=
()()()32
33111112tan tan 233c V R H L L R H L L R R R παα?
?
=-------+????????
()2111
tan 2
H D H L L α=
-+-???? ()1c o s h H R R β=-- 上述表达式（26） （29）为平头罐体有变位时，储油量与油位高度的积分模型。 参数确定 用最小二乘法求解纵向倾斜角α和横向偏转角β
1、建立含有参数的函数关系：
设定参数0V ，表示最初时刻（未出油之前）罐内燃油的总体积。建立累加出油量V 累与出油过程中罐内理论储油量V 的关系式：()V V V V =--?0累(V ?含义与模型一中相同，即表示罐内探针、管线等所占的体积)。由于储油量V 、管线所占体积V ?都是关于显示油高h 的函数，所以V 累也是关于h 的函数，可表示为0V F h V V αβ=?累（，，，,）其中α、β、V 0是待估参数, V ?是关于h 的变量。
2、确定参数值：
利用EXCEL 软件处理附件2中的数据，得到补充进油之前和补充进油之后的总共600个累计出油量数据（见附录表4、表5）。取中途加油过程之前 600h ≤≤1500时显示油高与累加出油量的两列数据，对应函数()V V V V =--?0累（理论储油量V 的表达式为已
建立的模型二中第二段函数式），应用MATLAB 软件编程（见附录程序5），用最小二乘法 进行参数拟合，得到倾角α和横向偏转角β的估计值（其中058.5548V =）：
2.779, 4.693αβ==
模型优化 实际储油罐内油位高度与储油量对应函数关系的修正
1、由()V V V V =--?0累可得V V V V ?=+-0累（取估计值058.5548V =），利用MATLAB 软件，将附录表3中途加油过程之前显示油高与累加出油量的两列数据代入上式，得到 h 与V ?两列数据（见附录程序6），利用SPSS 软件中的曲线估计过程对两个变量进行非线性拟合（如图2-5），回归分析结果如表2-2所示，可知三次回归方程
230.031470.259650.111660.06463V h h h ?=+-+拟合程度很高，能很好的表示出理论储油量和实际储油量之差与显示油高之间的关系。
图2-5 模型二理论储油量和实际储油量之差与显示油高的拟合曲线
2、将得到的三次回归方程依次代入到模型二中的四段函数关系式中，即将式（26）、（27）、（28）、（29）中的表达式123V V V V =++替换为123V V V V V =++-?，其他表达式不变，就得到了发生倾斜变位的实际储油罐储油量与显示高度的函数关系模型。 模型的应用 求解罐体变位后的罐容表标定值并分析罐体变位对罐容表的影响 1、将得到的α、β估计值分别代入到修正后模型二中的四个函数关系式中，得到修正后的储油量与罐内油标显示值的分段函数关系式，以10cm 作为初始油标值，每次增加10cm ，利用MATLAB 软件对罐容表进行标定（见附录程序7），可以得到罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值如下（显示油高为0时油量为41.337L ）：
2、分析附件2中实际储油罐的检测数据，可知显示油量容积一列数据即为罐体无变位时油位高度对应的储油量，利用SPSS 软件中的曲线估计过程对显示油高（以m 为单位）和显示油量容积（以立方米为单位）两列数据进行非线性拟合，得到拟合程度很高的三次回归方程: 231.033259.9517312.29805 2.73499y x x x =-++-。
回归方程方差分析表明: F=2.908E8、显著性水平为0.000、相关系数平方（R 2）=1.000，通过显著性检验。
利用拟合得到的三次回归方程，借助MATLAB 软件（见附录程序8）得到实际储油罐无变位时的罐容表标定值（见表2-4），通过比较表2-3和表2-4数据(排除两表中的第一组数据)，可以发现实际储油罐发生罐体变位后，显示油量容积与实际储油量最大差值达到2560L ，平均差值为2123L ，平均相对误差达到14.54%。说明实际储油罐罐体变位后对罐容表的影响是比较大。
模型的检验 利用中途补充进油后的采集数据对模型二进行检验
由于在使用最小二乘法估计参数α、β的数值和进行模型修正的过程中时，仅使用了附件2中补充进油之前的采集数据，现使用中途补充进油之后的采集数据对模型二进行检验。
考虑到补充进油前后的初始总油量0V 不同，首先根据表达式0()V V V V =--?累，利用补充进油后对应6001500h ≤≤时显示油高与累加出油量两列数据，并通过MATLAB 软件（见附录程序9）计算得到补充进油后的初始总油量055.5587V =。再将055.5587V =带入到表达式()V V V V =--?0累中，利用修正后的模型二得到与补充进油后全部显示油高数据相对应的理论累加出油量，并与采集得到的全部累加出油量数据进行比较，分别作出对应相同显示油高的理论累加出油量和用于检测的实际累加出油量曲线图2-6。
从图中可以看出理论累加出油量与用于检测的实际数据散点图吻合的非常好，程序运行结果显示实际值与理论值的差值在-4.99L 到22.02L 之间波动，平均差值为1.21L ，平均相对差值为0.162%，说明用最小二乘法拟合得到的参数α、β的估计值与真实值是非常接近的，也证明了所建立的模型二是正确的并且所运用的最小二乘法、回归分析的方法是可靠的。
图2-6理论累加出油量和用于检测的实际累加出油量曲线图
六、模型的评价
模型一中使用等面积法将罐体倾斜时的储油体积转换为水平状态下的储油体积，让问题得到了一定程度的简化，得到了相对简单的函数关系；根据油位的具体高度情况分段讨论，得到了不同范围内油位高度与储油量的函数关系，符合实际情况；考虑到油罐的部分体积被各种管线占用，对原模型进行了修正，增添了修正因子，修正得到了与真实情况几乎完全吻合的函数曲线，可见本模型有较高的实用价值。
模型二中采用了“一多一少，相互补偿”的方法来处理球冠部分液面高度与燃油体积的关系，让积分过程得到了简化；根据问题2附表中的出油量可求出累计出油量的准确值，在建模时直接建立累计出油量与显示油高的函数关系，这样就避免了将过多的未知参数引进模型；根据修正后的模型二，利用最小二乘法估计出α与β数值后，利用第二次采集数据对模型进行检验，发现累计出油量于用于检测的实际数据非常接近，很好的验证了模型的正确性。
模型缺点：在建立积分模型的过程中，利用微元法确立函数关系的积分过程比较复杂。在进行参数估计时，参数估计值对预置的初值依赖性比较大，而且参数数目较多，致使参数的估计值可能出现较大偏差。
七、参考文献
[1]陈东彦，李冬梅，《数学建模》,北京：科学出版社，2007年。
[2]姜启源，《数学模型》（第三版），北京：高等教育出版社，2003年。
[3]赵海，《卧式储油罐罐内油品体积标定的实用方法》，北京；科学出版社，2004年。
交巡警服务平台的设置与调度 摘要 由于警务资源有限，需要根据城市的实际情况与需求建立数学模型来合理地确定交巡警服务平台数目与位置、分配各平台的管辖范围、调度警务资源。设置平台的基本原则是尽量使平台出警次数均衡，缩短出警时间。用出警次数标准差衡量其均衡性，平台与节点的最短路衡量出警时间。 对问题一，首先以出警时间最短和出警次数尽量均衡为约束条件，利用无向图上任意两点最短路径模型得到平台管辖范围，并运用上下界网络流模型优化解,得到A区平台管辖范围分配方案。发现有6个路口不能在3分钟内被任意平台到达，最长出警时间为5.7分钟。 其次，利用二分图的完美匹配模型得出20个平台封锁13个路口的最佳调度方案，要完全封锁13个路口最快需要8.0分钟。 最后，以平台出警次数均衡和出警时间长短为指标对方案优劣进行评价。建立基于不同权重的平台调整评价模型，以对出警次数均衡的权重u和对最远出警距离的权重v 为参数，得到最优的增加平台方案。此模型可根据实际需求任意设定权重参数和平台增数，由此得到增加的平台位置，权重参数可反映不同的实际情况和需求。如确定增加4个平台，令u=0.6，v=0.4，则增加的平台位置位于21、27、46、64号节点处。 对问题二，首先利用各区平台出警次数的标准差和各区节点的超距比例分析评价六区现有方案的合理性，利用模糊加权分析模型以城区的面积、人口、总发案次数为因素来确定平台增加或改变数目。得出B、C区各需改变2个平台的位置，新方案与现状比较，表明新方案比现状更合理。D、E、F区分别需新增4、2、2个平台。利用问题一的基于不同权重的平台调整评价模型确定改变或新增平台的位置。 其次，先利用二分图的完美匹配模型给出80个平台对17个出入口的最优围堵方案，最长出警时间12.7分钟。在保证能够成功围堵的前提下，若考虑节省警力资源，分析全市六区交通网络与平台设置的特点，我们给出了分阶段围堵方案，方案由三阶段构成。最多需调动三组警力，前后总共需要29.2分钟可将全市路口完全封锁。此方案在保证成功围堵嫌疑人的前提下，若在前面阶段堵到罪犯，则可以减少警力资源调度，节省资源。 【关键字】：不同权重的平台调整评价模糊加权分析最短路二分图匹配
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则 的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
题目（黑体不加粗三号居中） 摘要（黑体不加粗四号居中） （摘要正文小4号，写法如下） （第1段）首先简要叙述所给问题的意义和要求，并分别分析每个小问题的特点（以下以三个问题为例）。根据这些特点对问题 1 用······的方法解决；对问题 2 用······的方法解决；对问题3 用······的方法解决。 （第2段）对于问题1，用······数学中的······首先建立了······ 模型I。在对······模型改进的基础上建立了······模型II。对模型进行了合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果大约为······，然后借助于······数学算法和······软件，对附件中所提供的数据进行了筛选，去除异常数据,对残缺数据进行适当补充,并从中随机抽取了3 组数据（每组8 个采样）对理论结果进行了数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。（方法、软件、结果都必须清晰描述，可以独立成段，不建议使用表格） （第3段）对于问题2用······ （第4段）对于问题3用······ 如果题目单问题，则至少要给出2种模型，分别给出模型的名称、思想、软 件、结果、亮点详细说明。并且一定要在摘要对两个或两个以上模型进行比较， 优势较大的放后面，这两个（模型）一定要有具体结果。 （第5段）如果在……条件下，模型可以进行适当修改，这种条件的改变可能来自你的一种猜想或建议。要注意合理性。此推广模型可以不深入研究，也可以没有具体结果。 关键词：本文使用到的模型名称、方法名称、特别是亮点一定要在关键字里出现，5~7个较合适。 注：字数700-1000 之间；摘要中必须将具体方法、结果写出来；摘要写满几乎 一页，不要超过一页。摘要是重中之重，必须严格执行！。 页码：1（底居中）
比赛论文格式要求： 1、论文用白色A4纸打印，上下左右各留出2.5厘米的页边距。 2、论文第一页为泉州师范学院大学生数学建模竞赛承诺书，具体内容和格式见附件1，参赛队必须在竞赛承诺书上签名。 3、论文题目和摘要写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文。 4、论文从第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。 5、论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 6、论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。图形应绘制在文中相应的位置，比例适当。 7、提醒大家注意：摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（最好在300字以内，注意篇幅不能超过一页）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 8、引用别人的成果或其他公开的资料 (包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出：（1）参考书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地，出版社，出版年。 （2）参考期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号，起止页码，出版年。 （3）参考网上查到的资料的表达方式： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 比赛流程： 参赛队伍利用2013.5.11到2013.5.13三天的时间利用所学的知识解决实际问题，由老师根据参赛队伍提交的论文，根据评奖标准评选出一等奖、二等奖、三等奖，评出的优秀队伍将送去参加全国性的比赛。注意：比赛规则与赛场纪律： 1、每个参赛队队员不得超过三名，参赛队队员应是具有泉州师范学院正式学籍的本、专科生，参赛队允许参赛队员跨年级跨专业跨学院组成，三人之间分工明确、协作完成。比赛期间参赛队不得任意换人，若有参赛队队员因特殊原因退出，则缺人比赛。 2、教师可以从事赛前辅导及有关组织工作，但在比赛期间不得以任何形式对参赛队员进行指导或参与讨论。 3、比赛以相对集中的形式进行，比赛期间，参赛队队员可以利
车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 随着城市化进程加快，城市车辆数的增加，致使道路的占用现象日益严重，同时也导致了更多交通事故的发生。而交通事故发生过程中，路边停车、占道施工、交通流密增大等因素直接导致车道被占用，进而影响了城市道路的通行能力。本文在视频提供的背景下通过数据采集，利用数据插值拟合、差异对比、车流波动理论等对这一影响进行了分析，具体如下： 针对问题一，首先根据视频1中交通事故前后道路通行情况的变化过程运用物理观察测量类比法、数学控制变量法提取描述变量（如事故横断面处的车流量、车流速度以及车流密度）的数据，从而通过研究各变量的变化，来分析其对通行能力的影响。而视频1中有一些时间断层，我们可根据现有的数据先用统计回归对各变量数据插值后再进行拟合，拟合过程中利用残差计算值的大小来选择较好的模型来反应各变量与事故持续时间的关系，进而更好地说明事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 针对问题二：沿用问题一中的方法，对视频2中影响通行能力的各个变量进行数据采集，同样使用matlab对时间断层处进行插值拟合处理，再将所得到的的变化图像与题一中各变量的变化趋势进行对比分析，其中考虑到两视频的时间段与两视频的事故时长不同，从而采用多种对比方式（如以事故发生前、中、后三时段比较差值、以事故相同持续时间进行对比、以整个事故时间段按比例分配时间进行对比）来更好地说明这一差异。由于小区口的位置不同、时间段是否处于车流高峰期以及1、2、3道车流比例不同等因素的影响，采用不同的数据采集方式使采集的变量数据的实用性更强，从而最后得到视频1中的道路被占用影响程度高于视频2中的影响程度，再者从差异图像的变化波动中得到验证，使其合理性更强。 针对问题三：运用问题1、2中三个变量与持续时间的关系作为纽带，再根据附件5中的信号相位确定出车流量的测量周期为一分钟，测量出上游车流量随时间的变化情况，而事故横断面实际通行能力与持续时间的关系已在1、2问中由拟合得到，所以再根据波动理论预测道路异常下车辆长度模型的结论，结合采集数据得到的函数关系建立数学模型，最后得出事故发生后，车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间以及路段上游车流量这三者之间的关系式。 针对问题四：在问题3建立的模型下，利用问题4中提供的变量数据推导出其它相关变量值，然后代入模型，估算出时间长度，以此检验模型的操作性及可靠性。 关键词：通行能力车流波动理论车流量车流速度车流密度
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填 写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的 话）： 所属学校（请填写完整的全 名）： 参赛队员 (打印并签名) ： 1. 2.
3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。
摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。 一、问题的重述 数学建模竞赛要求解决给定的问题，所以一般应以“问题的重述”开始。 此部分的目的是要吸引读者读下去，所以文字不可冗长，内容选择不要过于分散、琐碎，措辞要精练。 这部分的内容是将原问题进行整理，将已知和问题明确化即可。 注意： 在写这部分的内容时，绝对不可照抄原题！
二、论文格式规范 (一)“论文首页”编写 竞赛论文首页为“编号页”，只包含队号、队员姓名、学校名信息，第二页起为摘要页和正文页。参赛队有关信息不得出现于首页以外的任何一页，包括摘要页，否则视为违规。 (二)“论文摘要页”编写 竞赛使用“统一摘要面”。为了保证评审质量，提请参赛研究生注意摘要一定要将论文创新点、主要想法、做法、结果、分析结论表达清楚，如果一页纸不够，摘要可以写成两页。
(三)“论文文本”要求————“全国研究生数学建模竞赛论文 格式规范” ●每个参赛队可以从A、B、C、D、E题中任选一题完成论文。（赛题类型以 比赛下载为准） ●论文用白色A4版面；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距;从左侧装订。 ●论文题目和摘要写在论文封面上，封面页的下一页开始论文正文。 ●论文从编号页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从 “1 ”开始连续编号。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他汉字 一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距。程序执行文件，和源程序一起附在电子版论文中以备检查。 ●请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），请认真 书写（注意篇幅一般不超过两页，且无需译成英文）。全国评阅时对摘要和论文都会审阅。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上甚至在“博客”上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 全国研究生数学建模竞赛评审委员会 2011年9月20日修订
２01４高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为,我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示(包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等)。 我们参赛选择的题号是(从Ａ/B/C/Ｄ中选择一项填写)：B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）: 所属学校（请填写完整的全名)： 参赛队员(打印并签名) :1. 2． 3．
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): ?（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致,只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。) 日期： 20１4 年 9 月15日 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号）:
２０14高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用）：
全国大学生数学建模竞赛论文格式规范 （全国大学生数学建模竞赛组委会，2019年修订稿） 为了保证竞赛的公平、公正性，便于竞赛活动的标准化管理，根据评阅工作的实际需要，竞赛要求参赛队分别提交纸质版和电子版论文，特制定本规范。 一、纸质版论文格式规范 第一条，论文用白色A4纸打印(单面、双面均可)；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 第二条，论文第一页为承诺书，第二页为编号专用页，具体内容见本规范第3、4页。 第三条，论文第三页为摘要专用页（含标题和关键词，但不需要翻译成英文），从此页开始编写页码；页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。摘要专用页必须单独一页，且篇幅不能超过一页。 第四条，从第四页开始是论文正文（不要目录，尽量控制在20页以内）；正文之后是论文附录（页数不限）。 第五条，论文附录至少应包括参赛论文的所有源程序代码，如实际使用的软件名称、命令和编写的全部可运行的源程序（含EXCEL、SPSS等软件的交互命令）；通常还应包括自主查阅使用的数据等资料。赛题中提供的数据不要放在附录。如果缺少必要的源程序或程序不能运行（或者运行结果与正文不符），可能会被取消评奖资格。论文附录必须打印装订在论文纸质版中。如果确实没有源程序，也应在论文附录中明确说明“本论文没有源程序”。 第六条，论文正文和附录不能有任何可能显示答题人身份和所在学校及赛区的信息。 第七条，引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上资料)必须按照科技论文写作的规范格式列出参考文献，并在正文引用处予以标注。 第八条，本规范中未作规定的，如排版格式（字号、字体、行距、颜色等）不做统一要求，可由赛区自行决定。在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求。 二、电子版论文格式规范 第九条，参赛队应按照《全国大学生数学建模竞赛报名和参赛须知》的要求提交以
全国大学生数学建模竞赛论文格式规范 ●本科组参赛队从A、B题中任选一题，专科组参赛队从C、D题中任选一题。（全国 评奖时，每个组别一、二等奖的总名额按每道题参赛队数的比例分配；但全国一等奖名额的一半将平均分配给本组别的每道题，另一半按每道题参赛队比例分配。） ●论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 ●论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。 ●论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和 格式见本规范第三页。 ●论文题目、摘要和关键词写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文，不要目录。 ●论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开 始连续编号。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题用小四 号黑体字，左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距。打印文字内容时，应尽量避免彩色打印（必要的彩色图形、图表除外）。 ●提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文 评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。 全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ●论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在20页以内，附录页数不限）。 ●在论文纸质版附录中，应给出参赛者实际使用的软件名称、命令和编写的全部计算 机源程序（若有的话）。同时，所有源程序文件必须放入论文电子版中备查。论文及程序电子版压缩在一个文件中，一般不要超过20MB，且应与纸质版同时提交。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文 献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： ●[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 ●参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： ●[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 ●参考文献中网上资源的表述方式为： ●[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要求的第 一页前增加其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。 ●本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。
优化和评价的收费亭的数量 景区简介 由於公路出来的第一千九百三十，至今发展十分迅速在全世界逐渐成为骨架的运输系统，以其高速度，承载能力大，运输成本低，具有吸引力的旅游方便，减少交通堵塞。以下的快速传播的公路，相应的管理收费站设置支付和公路条件的改善公路和收费广场。 然而，随着越来越多的人口密度和产业基地，公路如花园州公园大道的经验严重交通挤塞收费广场在高峰时间。事实上，这是共同经历长时间的延误甚至在非赶这两小时收费广场。 在进入收费广场的车流量，球迷的较大的收费亭的数量，而当离开收费广场，川流不息的车辆需挤缩到的车道数的数量相等的车道收费广场前。因此，当交通繁忙时，拥堵现象发生在从收费广场。当交通非常拥挤，阻塞也会在进入收费广场因为所需要的时间为每个车辆付通行费。 因此，这是可取的，以尽量减少车辆烦恼限制数额收费广场引起的交通混乱。良好的设计，这些系统可以产生重大影响的有效利用的基础设施，并有助于提高居民的生活水平。通常，一个更大的收费亭的数量提供的数量比进入收费广场的道路。 事实上，高速公路收费广场和停车场出入口广场构成了一个独特的类型的运输系统，需要具体分析时，试图了解他们的工作和他们之间的互动与其他巷道组成部分。一方面，这些设施是一个最有效的手段收集用户收费或者停车服务或对道路，桥梁，隧道。另一方面，收费广场产生不利影响的吞吐量或设施的服务能力。收费广场的不利影响是特别明显时，通常是重交通。 其目标模式是保证收费广场可以处理交通流没有任何问题。车辆安全通行费广场也是一个重要的问题，如无障碍的收费广场。封锁交通流应尽量避免。 模型的目标是确定最优的收费亭的数量的基础上进行合理的优化准则。 主要原因是拥挤的
数码相机定位模型（题目） 摘要 此处为摘要正文 一定要写好。主要写三个方面： 1. 解决什么问题（一句话） 2. 采取什么方法（引起阅卷老师的注意，不能太粗，也不能太细） 3. 得到什么结果（简明扼要、生动、公式要简单、必要时可采用小图表） 关键词：差分近似，误差补偿算法，Simpson积分公式3-5关键词即可
目录 1.问题重述..........................................................................................................................错误！未定义书签。 2.模型假设..........................................................................................................................错误！未定义书签。 3.符号说明..........................................................................................................................错误！未定义书签。…………………………… 说明：目录页可以没有，如果内容比较多，可以有目录页
一问题重述 二问题分析 三模型假定 四问题分析 五模型建立与求解
六模型检验 七模型评价 八模型推广结合社会实际问题
九参考文献 [1] 吕显瑞等,数学建模竞赛辅导教材,长春：吉林大学出版社,2002。 [2] 刘来福,曾文艺,数学模型与数学建模北京：北京师范大学出版社，1997。 [3] 陈如栋,于延荣,数学模型与数学建模，北京：国防工业出版社,2006。 [4] 姜启源,谢金星,叶俊,数学模型（第三版），北京：高等教育出版社,2003。 [5] 梁炼，数学建模。华东理工大学大学出版社 2005.3。 [6] 周义仓，赫孝良，西安交通大学出版社，1998.8。 [7] 邓俊辉译,计算几何-算法与应用（第二版）北京：清华大学出版社，2005.9。 [8] 刘卫国，MATLAB程序设计教程，北京：中国水电水利出版社,2005。 [9] 熊慧,论人口预测对上海市未来十年人口总数的预测,人口研究,28(1):88-90,2003。 [10] 2003年国民经济和社会发展统计公报，https://www.doczj.com/doc/0714499172.html,。2008年9月20日。
华南师范大学数学建模竞赛论文格式规范 ●参赛队从A、B题中任选一题，在组委会公布的比赛时间内完成一篇论 文。 ●论文（答卷）用白色A4纸单面打印，上下左右各留出至少2.5厘米的 页边距。 ●论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第三页。 ●论文第二页为编号专用页，用于评阅前后对论文进行编号，具体内容和 格式见本规范第四页。 ●论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。 ●论文（从论文题目和摘要那一页开始，直到附录结束）每一页的顶部都 需要有参赛队的参赛报名号以及页码。我们建议在每页上使用页眉，例如： 参赛报名号 # 321 第 1 页 共 20 页 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他 汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 ●摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅 中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，不应该包含图表，且无需译成英文）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规 定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●必须以附录的形式提供论文中所用到的程序的全部源代码。计算结果和 相关的图表如果篇幅过长，也可以放入附录。 ●参赛队按组委会的规定提交的论文电子版，必须与打印版一致。承诺书 和编号专用页为第一个Word文件，以“承诺书”加参赛报名号为文件名，例如： 承诺书
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参 赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等） 与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违 反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3.
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 9 月 15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
东北大学数学建模竞赛论文格式规范和规则 参赛队从A、B题中任选一题。 １.论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。２.论文的第一页为封面页（本文档最后一页），根据中心安排的参赛编号填写参赛编号和选择题目，保留你选择的题目前的√号即可。 ３.论文题目和摘要写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文。 ４.论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。 ５.论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ６.论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 ７.提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ８.引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。解答过程中使用的数据不得引用文献类型（１）（２）（３）（４）中出现的数据，引用数据必须表明出处。 各类文献的表述格式如下（其它类型文献不得引用）： （1）专著格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 书名[M]. 出版地：出版社，年代：页码. （2）期刊论文格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 论文名称[J]. 期刊名称，年度，卷（期）：起止页码. （3）会议论文格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 论文名称[C]//会议名称，会议举办地，年度，起止页码. （4）学位论文格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 学位论文名称[D]. 发表地：学位授予单位，年度：页码. （5）电子文献格式： 序号. 作者. 电子文献题名(电子文献及载体类型标识). 电子文献的出处或可获得地址,发表或更新日期/引用日期。只考虑两种电子文献： ［DB/OL］—联机网上数据库(database online) ［EB/OL］—网上电子公告(electronic bulletin board online) 样例： [1]Peitgen H O, Jurgens H, Saupe D. Chaos and fractals[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1992:202-213. [2]Zhao Shi, Wang Yi-ding, Wang Yun-hong. Extracting hand vein patterns from low-quality images: a new biometric technique using low-cost devices[C]// Fourth International Conference on Image and Graphics. Sichuan, 2007:667-671.
论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。 摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。
一、 问题的重述 数学建模竞赛要求解决给定的问题，所以一般应以“问题的重述”开始。 此部分的目的是要吸引读者读下去，所以文字不可冗长，内容选择不要过于分散、琐碎，措辞要精练。 这部分的内容是将原问题进行整理，将已知和问题明确化即可。 注意： 在写这部分的内容时，绝对不可照抄原题！ 应为：在仔细理解了问题的基础上，用自己的语言重新将问题描述一篇。应尽量简短，没有必要像原题一样面面俱到。 二、 模型假设 作假设时需要注意的问题： ①为问题有帮助的所有假设都应该在此出现，包括题目中给出的假设！ ②重述不能代替假设！ 也就是说，虽然你可能在你的问题重述中已经叙述了某个假设，但在这里仍然要再次叙述！ ③与题目无关的假设，就不必在此写出了。 三、 变量说明 为了使读者能更充分的理解你所做的工作， 对你的模型中所用到的变量，应一一加以说明，变量的输入必须使用公式编辑器。 注意： ①变量说明要全 即是说，在后面模型建立模型求解过程中使用到的所有变量，都应该在此加以说明。 ②要与数学中的习惯相符，不要使用程序中变量的写法 比如： 一般表示圆周率；c b a ,, 一般表示常量、已知量；z y x ,, 一般表示变量、未知量 再比如：变量21,a a 等，就不要写成:a[0],a[1]或a(1),a(2) 四、模型的建立与求解 这一部分是文章的重点，要特别突出你的创造性的工作。在这部分写作需要注意的事项有： ①一定要有分析，而且分析应在所建立模型的前面； ②一定要有明确的模型，不要让别人在你的文章中去找你的模型； ③关系式一定要明确；思路要清晰，易读易懂。
第五届MathorCup全球大学生数学建模挑战赛暨CAA 2015世界大学生数学建模竞赛论文格式及提交规范 ●参赛队从A、B、C、D题中任选一题。（A题和B题为传统的数学建模竞赛题，C 题和D题为信息交叉学科的题目；评奖时，一、二、三等奖的总名额按每道题参赛队数的比例分配。） ●参赛队通过竞赛报名系统提交电子版论文（参见《第五届MathorCup全球大学生数 学建模挑战赛暨CAA 2015世界大学生数学建模竞赛报名和参赛须知》，以下简称“报名和参赛须知”）。参赛队统一提交压缩包，压缩包的名称为“***#.zip”或者“***#.rar”，其中“***”为参赛队号，“#”为题号。比如“0001B.zip”或者“0001B.rar”。 ●压缩包内必须包含承诺书（见《第五届MathorCup全球大学生数学建模挑战赛暨CAA 2015世界大学生数学建模竞赛承诺书》）、论文的PDF文件。承诺书的名称为“***承诺书.pdf”，论文名称为“***.pdf”其中“***”为参赛队号。比如0001参赛队提交的压缩包名称为“0001B.zip”或者“0001B.rar”，压缩包内含有两个PDF文件，一个为“0001承诺书.pdf”，另一个为“0001.pdf”。 ●论文题目、摘要和关键词写在论文第一页上（无需译成英文），并从此页开始编写 页码；页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要，请认真书写（但篇幅不能超过一页）。 ●论文第二页为目录页，所有参赛队论文必须包含目录（但篇幅不能超过一页）。 ●从第三页开始是论文正文。论文不能有页眉或任何可能显示答题人身份和所在学校 等的信息。 ●论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在30页以内，附录页数不限）。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文 献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●在论文纸质版附录中，应提供参赛者实际使用的软件名称、命令和编写的全部计算 机源程序（若有的话）。同时，参赛队的所有源程序文件必须保存至正式获奖名单公布。 ●本规范中未作规定的，如排版格式（字号、字体、行距、颜色等）不做统一要求， 但要保持页面美观。 ●不符合本格式规范的论文将被视为违反竞赛规则，无条件取消评奖资格。 ●本规范的解释权属于MathorCup全球大学生数学建模挑战赛组委会。 MathorCup全球大学生数学建模挑战赛组委会 2015年3月3日修订
城市表层土壤重金属污染分析 摘要 本文旨在对城市土壤地质环境的重金属污染状况进行分析，建立模型对金属污染物的分布特点、污染程度、传播特征以及污染源的确定进行有效的描述、评价和定位。 对于重金属空间分布问题，首先基于克里金插值法，应用Surfer 8软件对各数据点的分布情况进行模拟，得到了直观的重金属污染空间分布图形；随后，分别用内梅罗综合污染指数以及模糊评价标准和模型对城区内不同区域重金属的污染程度进行了评判。 对于金属污染的主要原因分析问题，基于因子分析法、问题一的结果和对各个金属污染物的来源分析等因素，判断出金属污染的主要原因有：工业生产、汽车尾气排放、石油加工并推测该区域是镍矿富集区。随后讨论了污染源之间的相互关系和不同金属的污染贡献率。 针对污染源位置确定问题，我们建立了两个模型：模型一以流程图的形式出现，基于污染传播的一般规律建立模型，求取污染源范围，模型作用更倾向于确定污染源的位置；模型二基于最小二乘法原理，建立了拟合二次曲面方程，在有效确定污染源的同时也反映了其传播特征，模型更加清楚，理论性也更强。 在研究城市地质环境的演变模式问题中，我们对针对污染源位置确定问题所建模型的优缺点进行了评价，同时建立了考虑了时间，地域环境和传播媒介的污染物传播模型，从而反映了地质的演变。 综上所述，本文模型的特点是从简单的模型建立起，强更准确的数学模型发展，逐步达到目标期望。 关键词：重金属污染，克里金插值最小二乘法因子分析流程图
一、问题重述 1.1问题背景 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。评价和研究城市土壤重金属污染程度，讨论土壤中重金属的空间分布，研究城市土壤重金属污染特征、污染来源以及在环境中迁移、转化机理，并对城市环境污染治理和城市进一步的发展规划提出科学建议，不仅有利于城市生态环境良性发展，有利于人类与自然和谐，也有利于人类社会 健康和城市可持续发展[1] 。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS 记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 1.2 目标任务 (1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。 (2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。 (3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。 (4) 分析所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，分析还应收集的信息，并进一步探索怎样利用收集的信息建立模型及解决问题。 二、 模型假设 1）忽略地下矿源对污染物浓度的影响； 2）认为海拔对污染物的分布较小，故只在少数模型中讨论其作用； 3）认为题目中的采样方式是科学的，能够客观反映污染源的分布。 三、 符号说明 3.1第一问中的符号说明 i p ——污染物i 的环境污染指数 i C ——污染物i 的实测值 i S ——污染物i 的背景值 m ax (/)i i C S ——土壤污染指数的最大值 (/)i i avg C S ——土壤污染指数的平均值
关于2011东北大学软件学院第四届“科技节”之数学建模竞赛题目的通知发布者：陈晨 2011-12-08 09:29 打印 注意：请先阅读“2011东北大学科技节数学建模竞赛论文格式规范和规则” 2011东北大学“科技节”数学建模竞赛题目 A货币基金操作 下表为2011-12-02由中国银行发布的世界主要外汇牌价。 某货币基金管理人的工作是，每天将现有的美元、英镑、马克、日元四种货币按当天的汇率进行兑换，使在满足需要的条件下，按美元计算的价值最高。现有货币和当天需求如下：
建立你的数学模型说明： 问该天基金管理人当天应如何操作。 如果不限定持有的货币种类，以目前中国主权基金的规模量为限如何操作能获得最大效益。 B预测司机是否闯红灯 有报道称最近科研人员研发了一种预测司机是否闯红灯的算法，该算法通过分析车辆的数个参数的算法，包括车辆的减速，车辆离交通信号灯的距离以及何时红灯亮起等，并且研究人员能够在短时间内获得某辆车的3D运动，利用这些数据可以判断哪些车辆是由可能违反交通规则的人驾驶的，而哪些车辆是由遵纪守法的人驾驶的。 建立你的数学模型，预测司机是否闯红灯，并说明算法的实用性和可操作性。
所做题目编号（A、B中选一）：___A__ 参赛队员： 序号姓名班级学号 1 陶蔚软信1001 2 杨得天软信1001 3 彭莹自动化1103
货币基金操作 一摘要 本题的货币基金操作问题可以理解为如何在货币之间兑换取得最大效益。根据题目提供的外汇牌价表，计算出货币之间的兑入、兑出汇率。对问题分析之后，问题一采用线性规划求解最小化问题，首先建立目标函数Minz(x)，在matlab 里用linprog函数求解得到符合条件的解。按照解的情况，在实际操作中对资金作如下分配： 可以实现获得最大效益，资金总量为20.2118*10^8,也就是说这些解是有效的。对于问题二，经过高度抽象化后，建立了一个数学模型，同样采用线性规划求解最小化的方法，但是由于涉及到的数据很多，用matlab编程比较复杂，相比之下，用lingo较为简单，得到了满足约束条件的解后，按照解的情况，对资金进行如下操作： 用1.355669*10^8兑换欧元； 用0.1293339*10^8兑换日元； 用3757.776*10^8兑换瑞典克朗； 用 4.739247*10^8兑换英镑； 用0.0000000*10^8兑换其他国家货币； 根据实际情况分析，这些解存在着缺陷，货币基金管理者用99.6%以上的中国主权基金兑换瑞典克朗，这就要考虑到瑞典克朗的规模量，其他货币的需求量等问题，所以这些解不符合实际。发现在实际中无法操作，因此这些解只对该模型有效。 关键词：货币兑换线性规划解有效