8.4两条直线的位置关系（1）——1课时
教学内容：
江苏省职业学校教材《数学》基础模块第二册第8章 §8.4 第1课时
教材分析：
在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的解的相互关系。引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。
教学目标：
一、知识与技能：
（1）会求两条直线的交点；
（2）会通过方程判断两直线相交。
二、过程与方法
（1）通过研究两直线的位置关系与他们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力；
（2）师生共同探究，增强学生从特殊性总结出一般性的能力。
三、情感态度与价值观
通过学习两直线相交的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想。
教学重点：解直线方程的方程组求两条直线的交点。
教学难点: 通过直线方程判断两条直线相交的方法。
教学过程：
（一）创设情境
引例：已知某商品的需求量1y （万件）和供给量2y （万件）与市场价格x （元／件）分别近似地满足下列关系式：,202,7021-=+-=x y x y 那么市场平衡的价格（商品需求量与 量相等时的价格）与平衡需求量（商品的需求量与供给量相等时的数量）分别是多少呢？ 设计意图：从现实的例子出发，让学生讨论，通过具体的数字代入比较，作图，找到问题解
决的方法，然后由特殊到一般转化，找到求解两条直线的交点的方法。
（二）探求新知
两条直线的交点：
设两条直线的方程分别是,0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l 两条直线相交方程组 0
111=++C y B x A 有唯一解
0222=++C y B x A
（三）巩固应用
例1：求直线062:1=+-y x l 和022:2=++y x l 的交点坐标。
解题思路：方程组求解，利用消元法求解，教师需板书具体的过程，让学生对初中已学的知识进行巩固。
例2：直线l 经过原点，且经过另两条直线0632=++y x 和02=--y x 的交点，求直线l 的方程。
解题思路：先解方程组求交点坐标，然后求直线l 的斜率，再用点斜式求直线方程。
设计意图：例1-2，难度逐布加大，特别是例2，既是对新知的应用，又是对旧知的巩固。提高学生解题的综合能力。
（四）拓展提高
思考题：
（1）
方程组
,0632=-+y x 有解吗？反映了两直线什么位置关系？
.032
3=-+y x （2）方程组 0632=-+y x 有解吗？反映了两直线什么关系？
01632=-+y x
设计意图：先让学生动手解方程，然后作图，发现两直线的关系，除了相交，还可以重合，平行，这样为下节课的学习打下基础。然后教师带领大家观察这几组方程组解的特点，结合图形，得到方程组的解与两直线的位置关系。填如下表格：
（五）课堂练习
学生上黑板演示解题过程，师生共同交流。
（六）本课小结
通过解两条直线对应方程构成的方程组来研究两条直线相交的位置关系，学会用消元法来解方程组。
（七）课后作业
（八）板书设计
8.4两条直线的位置关系——相交
设两条直线的方程分别是,0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l 方程组 0
111=++C y B x A 有唯一解
0222=++C y B x A
例1-3
教学反思：
在教法和学法上突出教材重点，力求突破难点，加深学生对知识的理解，较多地采用了提问的形式，用问题层层推进。
8.4两条直线的位置关系（2）——1课时
教学内容：
江苏省职业学校教材《数学》基础模块下册第8章 §8.4 第2课时
教学目标：
一、知识与技能：掌握两条直线平行的判断方法；
二、过程与方法：
（1）代数化处理几何问题中的平行问题；
（2）师生共同探讨，注意引导学生知识点的融合。
三、情感态度与价值观：培养分类讨论的思想及全面思考问题的思维方式。 教学重点：两直线平行的判断。
教学难点：两直线平行判断的各类问题。
教学过程：
（一）创设情境
提问：直线可以用斜率来刻画它的倾斜程度，那么能否用斜率来判断两直线是否平行？ 带着问题，引导学生画图，让学生自己总结，可以结合初中所学：
两直线平行
而现在的角就是直线的倾斜角，再联系斜率。
可能有学生会发现斜率不存在的现象，所以可以带领学生分类讨论，得到结论。 设计意图：让学生学会从代数角度去解决几何问题，学会数形结合考虑问题。
（二）探求新知
分类讨论：
（1）当21,l l 斜率都不存在21//l l ；
（2）当21,l l 斜率都存在，21//l l 2121,b b k k ≠=且
注：2121,b b k k ==且时，21,l l 重合
（三）巩固应用
例1：判断下列直线是否平行？
（1） 直线032,0221=-+=-y x l y x l ：：
； （2） 直线0322,021=--=-y x l y x l ：
：. 解题思路：将直线的一般式化为斜截式，看两条直线的关系，是对新授知识的简单应用。 例2：判断经过点)0,1(),3,2(-B A 的直线1l ，与经过点)0,1(P 且斜率为1的直线2l 是否平行。
解题思路：看斜率，但要注意截距是否不等。
例3：求过点)3,1(-A ，且与直线012=--y x 平行的直线的方程。
解题思路：找到要求直线的斜率，然后用点斜式。
设计意图：将新知和旧知结合起来，一步一步深入，既是对旧知的巩固，又是对新知的应用。
（四）课堂练习
学生上黑板演示解题过程，师生共同交流。
（五）本课小结
本节课主要学习了判断两直线平行的方法，注意它的前提是斜率都存在。
（六）课后作业
（七）板书设计
8.4两条直线的位置关系——平行
（1）当21,l l 斜率都不存在21//l l ；
（2）当21,l l 斜率都存在，21//l l 2121,b b k k ≠=且
注：2121,b b k k ==且时，21,l l 重合
例1-3
教学反思：
在学习中，要让学生体会学习的乐趣，让学生学以致用。
8.4两条直线的位置关系（3）——1课时
教学内容：
江苏省职业学校教材《数学》基础模块下册第8章 §8.4 第3课时
教学目标：
一、知识与技能：掌握两条直线垂直的判断方法；
二、过程与方法：
（1）创设数学情境；
（2）师生共同探讨，注意引导学生知识点的融合。
三、情感态度与价值观：培养分类讨论的思想及全面思考问题的思维方式。 教学重点：两直线垂直的判断。
教学难点：两直线垂直的公式推导及分类讨论。
教学过程：
（一）创设情境
提问：上节课我们从斜率的角度研究了两直线的平行关系，那么这节课我们来研究一下两直线另一种特殊关系——垂直。接着请学生回忆研究两直线平行要注意的地方，即对直线的斜率的考虑，得到本节课的结论。
（二）探求新知
通过板书图形，推导出以下结论：
（1）当直线21,l l 斜率都存在，有1l l ⊥ 121-=?k k
（2）当直线21l l ⊥，且1l 的斜率不存在，则2l 的斜率为0.
（三）巩固应用
例1：根据下列直线方程，判断直线21,l l 的位置关系：
（1）；
：，：013201221=-+=--y x l y x l （2）；
：，：0325072522=-+=++y x l y x l （3）.0554015321=+-=--y x l y x l ：，：
解题思路：把直线的一般式化解成斜截式，求直线的斜率和截距，判断两直线的关系。 例2：已知四点),11,6(),4,3(),4,8(),1,3(--D C B A
（1） 求直线AB ，直线CD 的斜率；（2）判断AB 与CD 的位置关系。 解题思路：斜率公式的直接应用，然后看两斜率直线的位置关系。
例3：已知三角形的顶点为),3,2(),2,1(),2,3(--C B A 求BC 边上的高AD 所在直线的方程。 解题思路：求BC 的斜率，确定AD 边上的高的斜率，然后用点斜式的到所求直线方程。
设计意图：将新知和旧知结合起来，一步一步深入，既是对旧知的巩固，又是对新知的应用。
（四）课堂练习
学生上黑板演示解题过程，师生共同交流。
（五）本课小结
本节课研究了两条窒息垂直的判定，判断两直线垂直时要注意分情况讨论。
（六）课后作业
1、已知四点)1,4(),1,0(),4,3(),4,2(D C B A ---，判断直线CD AB 与的位置关系。
2、求过点)1,9(-Q ，且垂直于直线0352=-+y x 的直线的方程。
（七）板书设计
8.4两条直线的位置关系——垂直
（1）当直线21,l l 斜率都存在，有21l l ⊥121-=?k k
（2）当直线21l l ⊥，且1l 的斜率不存在，则2l 的斜率为0.
例1-3
教学反思：
让学生学习数形结合，分类讨论的数学思想，
课题：7.3两条直线的位置关系（二）垂直 教学目的： 1．熟练掌握两条直线垂直的条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 2．通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力． 3．通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 教学重点：两条直线垂直的条件王新敞 教学难点：两直线的垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1、在平面几何中，两条直线垂直垂直的判定定理与性质定理是怎么描述的？ 2、问题：在直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征判断两条直线垂直？ 二、讲解新课： 问题：如果两条直线的斜率分别是 1 k和 2 k，则这两条直线垂直时斜率之间有怎样的关系？ 用倾斜角的关系推导：如果 2 1 l l⊥，这时 2 1 α α≠，否则两直线平行王新敞设2 1 α α>，甲图的特征是 1 l与 2 l的交点在x轴上方；乙图的特征是 1 l与 2 l的交 点在x轴下方；丙图的特征是 1 l与 2 l的交点在x轴上，无论哪种情况下都有2 1 90α α+ =．因为 1 l和 2 l的斜率为 1 k和 2 k，即0 1 90 ≠ α，所以0 2 ≠ α王新敞 2 2 1tan 1 ) 90 tan( tan α α α- = + =，即 2 1 1 k k- =或1 2 1 - = k k王新敞
反过来，如果2 11 k k - =或121-=k k ?20190αα+=?21l l ⊥． 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即 21l l ⊥?2 11 k k - =?121-=k k 王新敞 一般性结论：21l l ⊥?121-=k k 王新敞 或一条直线斜率不存在，另一条直线 斜率为0 特殊情况下的两直线垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 一般性结论：21l l ⊥?121-=k k 王新敞 或一条直线斜率不存在，另一条直线 斜率为0 三、例题讲解： 例1 判断下列两直线是否垂直，并说明理由： （1）121 :42,:5;4 l y x l y x =+=- + （2）1:536,:355;l x y l x y +=-= （3）12:5,:8.l y l x == 例2 求过点A （3，2）且垂直于直线4580x y +-=的直线方程 例3 已知直线03)1()2(=--++y a x a 与02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直，求a 的值． 解 ： ∵21+=a A ，12-=a A ，a B -=11，322+=a B 且两直线互相垂直 ∴0)32)(1()1)(2(=+-+-+a a a a ，解之得1±=a 王新敞
《两条直线的位置关系》说课稿 一、关于教材分析 1、教材的地位和作用 直线是最常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有广泛的应用.初中几何对直线的基本性质作了比较系统的研究.初中代数研究了一次函数的图象和性质，高一数学研究了平面向量、三角函数.直线的方程是以上述知识为基础的，同时是平面解析几何学的基础知识，是进一步学习圆锥曲线以及其它曲线方程的基础，也是学习导数、微分、积分等的基础王新敞 “两条直线的位置关系”是在学生学习直线方程的基础上，进一步研究两直线位置关系的一节内容，我们知道两条直线垂直在生活中应用事例非常多，在诸多求解角度、面积、长度等方面都要用到两直线的垂直关系，因此，找到两条直线垂直的充要条件，尤其是两直线垂直与方程中系数的关系成为急需解决的问题。另外，学生已经具备直线的有关知识（如垂直定义、向量垂直、方向向量、法向量、直线方程等），这样探索两直线垂直的充要条件成为可能，通过探索两直线垂直的充要条件，可以培养学生分析问题、解决问题的能力。 2、教学目标分析 我确定教学目标的依据有以下三条： （1）教学大纲、考试大纲的要求 （2）新教材的特点
（3）所教学生的实际情况 教学目标包括：知识、能力、情感等方面的内容． “两条直线的位置关系”是平面解析几何重要的基础知识，也是教学大纲和考试大纲要求掌握的一个知识点．按照大纲“在传授知识的同时，渗透数学思想方法，培养学生数学能力”的教学要求，结合新教材向量的引入，又根据所带班级学生的情况，我把本节课的教学目标确定为： 1．熟练掌握两条直线垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．能够根据两条直线的位置关系求直线的方程 2．通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力． 3．通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 教学重点：两条直线垂直的充要条件 教学难点：两直线垂直问题的转化与两直线的系数关系 二、关于教学方法和教学用具的说明 1、教学方法的选择 （1）指导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”． （2）教学方法：观察---探索——归纳---应用 本节课的任务主要是两条直线垂直的充要条件及应用．我选
2.1两条直线的位置关系（第2课时） 一、教学目标： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 2. 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生 的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性。 二、教学过程 1、创设情境引入新课 观察生活中的图片，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？ 设计意图：数学来源于生活，从生活中的图形中抽象出几何图形。在比较中发现新知，加深了学生对垂直和平行的感性认识，感受垂直“无处不在”；使学生充分体验到现实世界的美来源于数学的美，在美的享受中进入新知识的殿堂.激发学生的学习兴趣。 2、总结归纳讲授新知 定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直（perpendicular），其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。 说明：两条线段垂直是指它们所在的直线垂直。 表示：通常用“⊥”表示两直线垂直。直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD； 直线l 与直线m垂直，记作l⊥m．其中，点O是垂足． 设计意图：强调知识内容的准确性，加深对概念的理解。 3、动手实践探究新知 动手画一画1：你能画出两条互相垂直的直线吗？你有哪些方法？小组交流，相互点评。 1．你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
两条直线的位置关系判断 方法 设平面上两条直线的方程分别为1 1 1 1 2 2 2 2 :0,:0 l a x b y c l a x b y c ++=++= 一．行列式法 记系数行列式为112 2 ,a b D a b =112 2 ,x c b D c b -= -112 2 y a c D a c -= - 1 l 和相交?0D ≠ 1 221b a b a ≠? 1 l 和2 l 平行?0,0x D D =≠或0,0y D D =≠ 1 l 和重合?0===x y D D D 二．比值法 1 l 和相交2 12 1 b b a a ≠ ()0b ,a 2 2≠； 1 l 和垂直?0b a b a 2 21 1=+； 1 l 和平行2 1 212 1 c c b b a a ≠= () 0c ,b ,a 222≠； 1 l 和重合2 1 212 1 c c b b a a == ()0c ,b ,a 222≠ 三．斜率法
1 1 1 2 2 2 :y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ?与相交2 1k k ≠ ； 1 2 l l ?与平行2 121 b b k k ≠=， 12l l ?与重合2 121b b k k ==，； 12l l ?与垂直-1 .=21k k ; 特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件； （2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件； （3）两条直线平行?它们的斜率均存在且相等或者均不存在； （4）两条直线垂直?他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在；
两条直线的位置关系及其判定教学目标 (1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角. (3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标. (4)掌握点到直线距离公式的推导和应用. (5)进一步掌握求直线方程的方法. (6)进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法. (7)通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法. 教学建议 一、教材分析 1.知识结构 2.重点、难点分析重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的距离. 难点是两条直线垂直条件的推导;一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导. 页 1 第 本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂
直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的 应用，因此非常重要. (1)平行与垂直 ①平行 在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件(即判定定理和性质定理)转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况. ②垂直 教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在. (2)夹角①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和 的夹角这三个概念. 到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则+ = . 与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向. 页 2 第
2.1两条直线的位置关系 主备人：祁梅华 教学目标 (一)教学知识点 1.余角、补角及对顶角的定义. 2.余角、补角及对顶角的性质. (二)能力训练要求 1.经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力. 2.在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题. (三)情感与价值观要求 通过在具体情境下的讨论，让学生理解基础知识的同时，提高他们理论联系实际的观念. 教学重点、难点 1.互为余角、互为补角的定义及其性质. 2.对顶角的定义及性质. 3、互为余角、互为补角、对顶角的定义的理解. 教学过程 一、学 1、创设现实情景，引入新课 ［师］在上册第四章“平面图形及其位置关系”中，我们学习了“平行”与“垂直”，大家想一想：什么是平行线？ ［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. ［师］很好，在日常生活中，我们随处可见道路、房屋、山川、桥梁……等这些大自然的杰作和人类的创造物.这其中蕴涵着大量的平行线和相交线. 下面大家来看几幅图片：(出示投影片：桥的图片，宫殿、建筑物、门等的图片) 你能从这些图案中找出平行线和相交线吗？ (同学们踊跃发言，都能准确地找出其中的平行线和相交线) ［师］同学们找得都对，说明大家掌握了所学内容.从今天开始，我们将深入学习这方面的内容：第二章平行线与相交线. 在这一章里，我们将发现平行线和相交线的一些特征，并探索两条直线平行的条件，我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案. 相信大家，一定会学得很好. 2、自主探究。 我们知道，在打台球时，只有通过选择适当的方向用白球撞击所打的球后，反弹的球才会入袋.如图所示(电脑显示上图).此时：∠1=∠2. 让我们来看看模拟实例(电脑演示：用白球撞击红球，红球反弹后入袋) 下面我们来看红球滑过的痕迹(电脑演示；让学生了解：数学源于实际). 我们不难看出：台球运动的路线和球桌的边框可以构成下图： 图2－1 其中：CD与EF垂直，各个角与∠1有什么关系？ 大家来分组讨论一下.
两条直线的位置关系判断方法 设平面上两条直线的方程分别为11112222:0,:0 l a x b y c l a x b y c ++=++= 一．行列式法 记系数行列式为1 122,a b D a b = 和相交?0D ≠1221b a b a ≠? 1l 和2l 平行?0,0x D D =≠或0,0y D D =≠ 和重合?0 ===x y D D D 二．比值法 和相交()0b ,a 22≠； 和垂直?0b a b a 2211=+； 和平行()0c ,b ,a 222≠； 和重合()0c ,b ,a 222≠ 三．斜率法 111222:y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ?与相交21k k ≠； 2121b b k k ≠=， 2121b b k k ==，； -1.=21k k ; 特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不 为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件； （2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件； （3）两条直线平行?它们的斜率均存在且相等或者均不存在； （4）两条直线垂直?他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在； 1122,x c b D c b -=-1122y a c D a c -=-1l 2l 1l 2l 1l 2l ?2 121b b a a ≠1l 2l 1l 2l ?21212 1c c b b a a ≠=1l 2l ?2 12121c c b b a a ==12l l ?与平行12l l ?与重合12l l ?与垂直
第二章相交线与平行线 1两条直线的位置关系（第2课时） 课时安排说明: 《两条直线的位置关系》共分两课时，我们在第一课时已经学习了在同一平面内两条直线的位置关系、对顶角、余角、补角的定义及其性质；今天我们将要学习第二课时，主要内容是掌握垂直的定义及其表示方法，会借助有关工具画垂线，掌握垂线的有关性质并会简单应用。 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生的知识技能基础：学生在小学已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经对角及其分类有了一定的认识；上一节课又进一步学习了两直线的位置关系、两角互补、互余等概念，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。 学生活动经验基础：在上一节课，通过引导学生走进生活，从身边熟悉的情境出发，使学生经历了从现实生活中抽象出数学模型的过程；让学生通过直观和大量的操作活动，引导学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；鉴于学生已有充分的知识储备，本课时将继续延续还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图（或者操作）、合作交流的过程，给学生一个充分发表见解的舞台，激发学生的创新精神，提高学生的自信力，打造高效课堂！ 二、教学任务分析 根据七年学生好奇的心理，首先应引导学生走进现实世界，用一双慧眼去发现有关垂直的情境，借助视觉思维的直观性，复习旧知识，提炼新知识，让学生在主动“探索发现”的过程中增进对数学知识的理解，激发他们的创造力，在无形中培养学生的推理能力！根据学生已经具备的知识储备和能力，特制定目标如下： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。
空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结 论可作为定理使用) 反证法 假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平 行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不 是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ? ? ?共面直线 ?? ? ??相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 知识点三 空间等角定理 1.定理 判断或证明两个角相等或互补 2.推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 思考 如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？ 答 不一定.这两条直线可能相交、平行或异面 知识点四 异面直线所成的角 1.概念：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).
第二章相交线与平行线 《两条直线的位置关系》共分两课时，我们在第一课时已经学习了在同一平面内两条直线的位置关系、对顶角、余角、补角的定义及其性质；今天我们将要学习第二课时，主要内容是掌握垂直的定义及其表示方法，会借助有关工具画垂线，掌握垂线的有关性质并会简单应用。 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生的知识技能基础：学生在小学已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经对角及其分类有了一定的认识；上一节课又进一步学习了两直线的位置关系、两角互补、互余等概念，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。 学生活动经验基础：在上一节课，通过引导学生走进生活，从身边熟悉的情境出发，使学生经历了从现实生活中抽象出数学模型的过程；让学生通过直观和大量的操作活动，引导学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；鉴于学生已有充分的知识储备，本课时将继续延续还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图（或者操作）、合作交流的过程，给学生一个充分发表见解的舞台，激发学生的创新精神，提高学生的自信力，打造高效课堂！ 二、教学任务分析 根据七年学生好奇的心理，首先应引导学生走进现实世界，用一双慧眼去发现有关垂直的情境，借助视觉思维的直观性，复习旧知识，提炼新知识，让学生在主动“探索发现”的过程中增进对数学知识的理解，激发他们的创造力，在无形中培养学生的推理能力！根据学生已经具备的知识储备和能力，特制定目标如下： 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 2. 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等 活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三， 学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”
第二章 相交线与平行线 1两条直线的位置关系（第2课时） 导预习 1. 垂直 2. 点与直线的位置关系 导课堂 第一步：情境创设 问题：1.观察下面三个图形，你能找出其中相交的直线吗？他们有什么特殊的位置关系？ 2．你还能提出哪些问题？. 第二步：目标展示 知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线。 (2)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质，会进行简单的应用。 (3)初步尝试进行简单的推理。 过程与方法：经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。 情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理，在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性。 第三步：合作探究 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直（perpendicular ），其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。通 b c a
常用“⊥”表示两直线垂直。 动手画一画1： 工具1：你能借助三角尺或者量角器，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？工具2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 说出你的画法和理由. 工具3：你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看吧！请说明理由。 归纳结论： 1. 点A和直线m的位置关系有 两种：点A可能在直线m上， 也可能在直线m外。 2.平面内，过一点有且只有 ．．．．一 条直线与已知直线垂直。 2.1—1 2.1—2 你能画出两条互相垂直的直线吗？ 你有哪些方法？小组交流，相互点评 用自己的语言描述你的画法。 图2.1-3 A A m
两条直线的位置关系（1）习题 一、选择题 1、下列说法中，正确的个数是（ ） ①在同一个平面内不相交的两条线段必平行 ②在同一个平面内不相交的两条直线必平行 ③在同一个平面内不平行的两条线段必相交 ④在同一个平面内不平行的两条直线必相交 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） 3下列说法正确的是（ ） A 、一个角的补角一定比这个角大 B 、锐角大于它的余角 C 、两个角都与一个角互余，则这两个角一定相等 D 、互为余角、互为补角的关系必须在同一个图形中 4、已知∠A = 40°，则∠A 的余角的补角是（ ） A 、50° B 、150° C 、40° D 、130° 5、如果∠1 + ∠2 = 90°，∠2+ ∠3= 90°，则 （ ） A 、 ∠1 =∠2 B 、 ∠1 = ∠3 C 、 ∠2 =∠3 D 、 ∠1 = ∠2 = ∠3 6、∠1与∠2互补且相等， ∠3与∠2是对顶角，则∠3的一半是（ ） A 、45° B 、80° C 、75° D 、30° 7、若互为余角的两个角之差为40°，则较大的角为（ ） A 、40° B 、50° C 、65° D 、75° 8、若∠α+ ∠β = 90°，∠β与∠γ互为余角，则∠α与∠γ的关系是（ ） A 、互余 B 、互补 C 、相等 D 、不确定 9、三条线相交于一点，所成的小于平角的对顶角有（ ） A 、3对 B 、4对 C 、5对 D 、6对 2 A 2 B 2 D 2 C
10、∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，若∠3=75°，则∠1的度数是（） A、75° B、105° C、90° D、75°或105° 二、填空题 11、∠1与∠2是对顶角，∠1=38°，则∠1= ； 12、右图所示，一个破损的扇形零件，利用图中的量 角器可以量出这个扇形零件的圆心角是度，你的 根据是； 13、如图1，是由两个相同的直角三角形ABC和FDE 拼成的，则图中与∠A相等的角有个，分别是； ∠1与∠A关系是；∠2与∠1的关系是； 14、∠α=25°，则∠α的余角= ；∠α的补角= ； 15、已知：∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3互补，则∠2+∠3= ； 16、互为补角的两个角的度数之比为2:7，则这两个角分别是= ； 17、已知∠α的补角是∠α的4倍，则∠α=； 三、解答题： 16、如图，已知：直线AB与CD相交于点O，∠1=50度．求：∠2和∠3的度数． 17、直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD=100°，∠1=30°，求∠2的度数．
2.1两条直线的位置关系说课稿 今天我说课的内容是北师版新教材七年级下册第二章第一节《两条直线的位置关系》。下面，我将重点从课标，教材分析，教学建议这三个方面对本节课加以说明。 一、说课标 数学课程目标分为知识与技能、解决问题、数学思考、情感与态度四个维度，新课标指出，有效的数学学习不能单纯的依赖模仿与记忆，动手操作、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。这节课我们的学习目标如下： 1、结合具体情景了解同一平面内两条直线的两种位置关系，能正确判断相交和平行，知道对顶角，余角和补交的概念和运用。 2、结合具体情景体会数学与日常生活的联系。 3、在探索活动中，培养学生的观察、操作、想象等能力，发展初步的空间观念。 教学的重点是让学生理解掌握对顶角、余角、补交的运用。 二、说教材 新数学课程标准将“空间与图形”安排为一个重要的学习领域，强调发展学生的空间观念和空间想象能力。“两条直线的位置关系”就属于“空间与图形”这一领域的内容，它是学生在认识了直线和角等概念的基础上进行教学的，教材通过具体的生活情境，让学生充分感知同一平面内两条直线的两种位置关系。正确认识相交、平行、对顶角、余角、补交等概念是学生今后学习三角形、平行四边形等几何知识的基础。同时，它也为培养学生的空间观念提供了一个很好的载体。 1、引导学生通过观察、讨论、感知生活中的相交与平行的现象。 2、帮助学生初步理解相交与平行、对顶角、余角、补交知识。 3、培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生具有合作探究的学习意识。 三、说教法和学法的建议 课堂教学首先是情感成长的过程，然后才是知识成长的过程，学生的学习过程是一
教学目标 (1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角. (3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标. (4)掌握点到直线距离公式的推导和应用. (5)进一步掌握求直线方程的方法. (6)进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法. (7)通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法. 教学建议 一、教材分析 1.知识结构 2.重点、难点分析 重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的距离. 难点是两条直线垂直条件的推导;一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导.
本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要. (1)平行与垂直 ①平行 在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件(即判定定理和性质定理)转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况. ②垂直 教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在. (2)夹角 ①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和的夹角这三个概念. 到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则 + = . 与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向. 当到的角为锐角时，则和的夹角也是 ;当到的角为钝角时，则和的夹角也是 . ②在求直线到的角时，应注意分析图形的几何性质，找出与，的倾斜角，关系，得出或，然后由，联想差角的正切公式，便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示，推导出. 再由与的夹角与到的角之间的关系，而得出夹角计算公式
2.1 两条直线的位置关系 教学分析 教学目标： 1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。 2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。 3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。 4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。 教学重难点 重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用。 难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。 教学准备实物图片、ppt课件。 我的思考 本节内容首先介绍平行线、相交线，在初中数学中起到承上启下的作用。在小学，学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了，本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础。 本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫. 从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本课认识做好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大. 教学设计 教学过程 一、创设情境，引入新课 教师活动： 向同学们展示一些生活中的图片：双杠、铁轨、比萨斜塔等，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。 【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础。】 二、建立模型，探索新知 互动探究一、平行线、相交线的概念： 师生活动： 1、请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位置关系？各种位置关系，分别叫做什么？（选取一个小组的代表上黑板上演示给大家看）(板书：①平行、②相交、③重合，并给出相交线的定义) 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。 2、凡未作特别说明，我们只研究不重合的情形，则去掉重合这种情况，在同一平面上两条直线有几种位置关系？（板书：去掉③重合，并总结出同一平面内的两条直线的位置关系）
《两条直线的位置关系》教学设计 教学目标 一、知识与技能 1在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义； 2.会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线； 二、过程与方法 1. 经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和 有条理表达的能力； 2. 善于举一反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识； 三、情感态度和价值观 1. 激发学生学习数学的兴趣，认识到现实生活中蕴含着大量的数量和图形的有关问题； 2. 在解决实际问题的过程中了解数学的价值，通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性；教学重点 对顶角、余角、补角、垂直的定义及其性质； 教学难点 性质的应用； 教学方法 引导发现法、启发猜想、讲练结合法 课前准备 教师准备 课件、多媒体； 学生准备 练习本； 课时安排 1课时 教学过程 一、导入
观察下面几幅生活中的图片
问题 2:针对这三幅图，你还能提出哪些问题？ 数学来源于生活，通过引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系，总结出同一平 面内两条直线的基本位置关系，体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用，为引入新课做好准备 二、新课 在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 如图2-1，直线AB与CD相交于点0,那么/ 1与/ 2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？与同伴交流? 直线AB与CD相交于点0,/ 1与/ 2有公共顶点0,它们的两边互为反向延长线，这样的两个 角叫做对顶角? 对顶角有如下性质：对顶角相等? 设置问题的目的是通过创设生动有趣的活动情景，为学生提供了观察、操作、推理、交流等丰富 的活动素材，使学生在自主学习的过程中，学会对顶角的概念及其性质?同时进一步培养学生抽象几 何图形进行建模的能力? 在图2-1中，/ 1与/ 3有什么数量关系？ 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角? 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角? 注意：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。 如图2-2，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时 a和b的关系是
2.1两条直线的位置关系 教学目标： 1、在具体的现实情境中，了解同一平面内两条直线的位置关系是平行和相交，理解对顶角、余角、补角等概念。 2、探索并掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等的性质。 3、进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想。 4、体会观察、归纳、推理对数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用，初步数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益。 教学重难点 重点：余角、补角、对顶角的性质及其应用。 难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。 教学准备实物图片、ppt课件。 我的思考 本节内容首先介绍平行线、相交线，在初中数学中起到承上启下的作用。在小学，学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了，本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础。 本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系，并为寻找角之间的数量关系打下基础.同时也为以后的学习做好铺垫. 从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础，对于本课认识做好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生经常找角的数量关系，应用价值很大. 教学设计 教学过程 一、创设情境，引入新课 教师活动： 向同学们展示一些生活中的图片：双杠、铁轨、比萨斜塔等，让学生观察生活中的两条直线之间的位置关系。 【设计意图：让学生观察图片，不但可以体会到几何来源于生活，激发学生学习的兴趣，还可以为下面的分类提供依据，为了解平行线、相交线的概念打下基础。】 二、建立模型，探索新知 互动探究一、平行线、相交线的概念： 师生活动： 1、请各组同学每人拿出两支笔，用它们代表两条直线，随意移动笔，观察笔与笔有几种位 置关系？各种位置关系，分别叫做什么？（选取一个小组的代表上黑板上演示给大家看）(板书：①平行、②相交、③重合，并给出相交线的定义) 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。
七年级数学下2.1两条直线的位置关系练习题（北师大有答案）《两条直线的位置关系》习题一、选择题 1．在一个平面内，任意三条直线相交，交点的个数最多有( ) A.7个 B.6个 C.5个 D.3个2．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是( ) A.相交、平行 B.相交、垂直 C.平行、垂直 D.平行、相交、垂直 3．下列说法中错误的个数是( ) (1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行； (2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (3)不相交的两条直线叫做平行线； (4)有公共顶点且有一条公共边的两个互补的角互为邻补角． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4．面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是( ) A. B. C. D. 5．如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于( ) A.30° B.34° C.45° D.56° 6．如图，点P在直线AB外，在过P点的四条线段中表示点P到直线AB距离的是线段( ) A.PA B.PB C.PC D.PD 二、填空题 7．如图，两条直线a、b相交于点O，若∠1=70°，则∠2=_____． 8．试用几何语言描述下图：_____． 9．如图，要从小河引水到村庄A，请设计并作出一最佳路线，理由是_____． 10．如图，AC⊥BC，AC=3，BC=4，AB=5，则点B到AC的距离为_____．三、解答题 11．如图，已知：直线AB 与CD相交于点O，∠1=50度．求：∠2和∠3的度数． 12．已知直线y=x+3与y轴交于点A，又与正比例函数y=kx的图象交于点B(-1，m) ①求点A的坐标；②确定m的值； 13．如图，已知DE⊥AO于E，BO⊥AO于O，FC⊥AB于C，∠1=∠2，DO和AB有怎样的位置关系？为什么？ 14．平面上有9条直线，任意两条都不平行，欲使它们出现29个交点，能否做到，如果能，怎么安排才能做到？如果不能，请说明理由． 15．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠BOD=25°，求∠AOE和∠DOF的度数．
两条直线的位置关系（基础）知识讲解 【要点梳理】 要点一、同一平面内两条直线的位置关系 同一平面内，两条直线的位置关系：相交和平行. （1）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.两直线平行，用符号“∥”表示. 如下图，两条直线互相平行，记作AB∥CD或a∥b. （2）互相重合的直线通常看做一条直线，两条线段或射线平行是指它们所在的直线平行. （3）相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线，这个公共点叫做交点.两条直线相交只有一个交点. 一组相交线产生两对对顶角。即∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4是对顶角。 ∠1和∠2，∠2和∠3，,3和∠4，∠4和∠1是邻补角 要点二、对顶角、补角、余角 1.余角与补角 （1）定义：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角． 类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角． （2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等． 要点诠释： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，而与它们的位置无关． (2)一个锐角的补角比它的余角大90°． 2.对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念 “三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图. (1)条直线AB,CD与同一条直线EF相交．
(2)“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成． (3)∠1和∠3，∠2和∠4是对顶角；∠1和∠2，∠1和∠4互为邻补角；∠4和∠5是同旁内角；∠1和∠5是同位角；∠4和∠6是内错角 （2）性质：对顶角相等．邻补角互补即和为180? 要点三、垂线 1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相 垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点 叫垂足．如图． 要点诠释： ⊥； (1)记法：直线a与b垂直，记作：a b 直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可 以作垂直的性质，即有： ∠=°判定 AOC 90 CD⊥AB． 性质 2．垂线的性质： （1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释： （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 要点诠释： （1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． 类型一、两条直线的位置关系 1.如图，在正方体中：
两条直线的位置关系 A 卷 一、选择题 1、直线A 1x + B 1y + C 1 = 0，(A 1B 1≠0)与直线A 2x + B 2y + C 2 = 0，(A 2B 2≠0)垂直的充要条件是( ) A 、C 1 C 2≠0 B 、A 1B 1+ A 2B 2 = 0 C 、A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 D 、A 1 B 2－A 2 B 1 = 0 2、两直线斜率相等是两直线平行的( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、即不充分也不必要条件 3、直线l 1：x + my + 6 = 0和直线l 2：(m －2)x + 3y + 2m = 0互相平行，则m 的取值为( ) A 、－1或3 B 、－1 C 、－3 D 、－1或 －3 4、点A(a ，b) 关于直线l ：x －y = 0的对称点是( ) A 、(－a ，－b) B 、(a ，－b) C 、(b ，a) D 、(－b ，－a) 5、点M(3，－2)到直线2x + 3y +5 = 0的距离是( ) A 、5 B 、 13 5 C 、5 D 、 13 10 6、两直线x 2－xy －6y 2 = 0所夹的锐角是( ) A 、300 B 、450 C 、600 D 、1350 7、两条直线3x+ 2y + n = 0和2x －3y + 1 = 0的位置关系是( ) A 、平行 B 、垂直 C 、相交但不垂直 D 、与n 的值有关 二、填空题 8、已知直线x + ky + 2 = 0经过两直线3x + 2y －9 = 0和x －1 = 0的交点，则k 的值等于 。 9、两条平行线3x + 4y －12 = 0和6x + 8y + 11 = 0的距离是 。 10、过原点的直线与直线083=+-y x 的夹角为300，则其方程是 。 11、直线ax + by + 4 = 0过(－1，1)且与直线(a －1)x + y + b = 0垂直，则a = ， b = 。 12、直线x + my + 6 = 0与(m －2)x + 3y + m = 0相交，则m 的范围是 。 13、直线mx + 10y = 3与3x + (n －1)y = －1 重合，则m = ，n = 。 三、解答题 14、求垂直于3x －4y = 7且与两坐标轴围成的三角形周长为10的直线方程。 15、求经过点A (－2，2)且在第二象限与两坐标轴围成的三角形面积最小时的直线方程。 16、两平行线l 1，l 2分别过P 1(1，0)与P 2(0，5)，若l 1与l 2的距离为5，求两条直线的方程。 17、已知二次方程x 2 + xy －6y 2－20x －20y + k = 0表示两条直线，试求k 的值与两条直线的方程。