1实验：探究碰撞中的不变量

一、实验原理

1．一维碰撞

两个物体碰撞前沿同一直线运动，碰撞后仍沿这条直线运动．这种碰撞叫做一维碰撞．2．实验的基本思路：寻求不变量

在一维碰撞的情况下，设两个物体的质量分别为m1、m2，碰撞前的速度分别为v1、v2，碰撞后的速度分别为v1′、v2′，如果速度的方向与我们设定的坐标轴的正方向一致，取正值，反之则取负值．探究以下关系式是否成立：

(1)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′；

(2)m1v21＋m2v22＝m1v1′2＋m2v2′2；

(3)v1

m1＋v2

m2＝

v1′

m1＋

v2′

m2.

二、实验方案设计

方案1：用气垫导轨结合光电门的实验探究 (1)质量的测量：用天平测量．

(2)速度的测量：v ＝Δx

Δt ，式中的Δx 为滑块上挡光板的宽度，Δt 为数字计时显示器显示的滑

块上的挡光板经过光电门的时间． (3)碰撞情景的实现

图1

如图1所示，利用弹簧片、细绳、弹性碰撞架、胶布、撞针、橡皮泥设计各种类型的碰撞，利用在滑块上加重物的方法改变碰撞物体的质量．

(4)器材：气垫导轨、光电计时器、滑块(带挡光板、两个)、弹簧片、细绳、弹性碰撞架、胶布、撞针、橡皮泥、天平．

方案2：利用摆球结合机械能守恒定律的实验探究

图2

(1)所需测量量：悬点至球心的距离l ，摆球被拉起(碰后)的角度θ，摆球质量m . (2)速度的计算：v ＝2gl (1－cos θ).

(3)碰撞情景的实现：如图2所示，用贴胶布的方法增大两球碰撞时的能量损失． (4)器材：带细线的摆球(两套)、铁架台、量角器、坐标纸、胶布、天平． 方案3：利用“光滑”水平面结合打点计时器的实验探究

(1)所需测量量：纸带上两计数点间的距离Δx ，小车经过Δx 所用的时间Δt ，小车质量m . (2)速度的计算：v ＝Δx

Δt

.

(3)碰撞情景的实现：如图3所示，A 运动，B 静止，在两小车的碰撞端分别装上撞针和橡皮泥，碰撞时撞针插入橡皮泥中，把两个小车连接成一体．

图3

(4)器材：长木板、打点计时器、纸带、小车(两个)、撞针、橡皮泥、天平． 三、实验步骤

不论哪种方案，实验过程均可按实验方案合理安排，参考步骤如下：

(1)用天平测出相关质量．

(2)安装实验装置．

(3)使物体发生一维碰撞，测量或读出相关物理量，计算相关速度，填入预先设计好的表格．

(4)改变碰撞条件，重复实验．

(5)通过对数据的分析处理，找出碰撞中的不变量．

(6)整理器材，结束实验．

四、数据处理

将实验中测得的物理量填入下表，物体碰撞后运动的速度与原来的方向相反时需要注意正负号.

通过研究以上实验数据，找到碰撞前后的“不变量”．

五、注意事项

1．前提条件：应保证碰撞的两物体发生的是一维碰撞，即两个物体碰撞前沿同一直线运动，碰撞后仍沿同一直线运动．

2．方案提醒：

(1)若利用气垫导轨进行实验，调整气垫导轨时，注意利用水平仪确保导轨水平．

(2)若利用摆球进行实验，两小球静放时球心应在同一水平线上，且刚好接触，摆线竖直，将一个小球拉起后，两条摆线应在同一竖直平面内．

3．探究结论：寻找的不变量必须在各种碰撞情况下都不改变，才符合要求.

一、利用气垫导轨结合光电门的实验探究

1．本实验碰撞前、后速度大小的测量采用极限法，v ＝

Δx Δt ＝d

Δt

，其中d 为遮光条的宽度． 2．实验误差存在的主要原因是摩擦力的存在．利用气垫导轨进行实验，调节气垫导轨时注意利用水平仪，确保导轨水平．

例1 某同学利用气垫导轨做“探究碰撞中的不变量”的实验．气垫导轨装置如图4所示，所用的气垫导轨装置由导轨、滑块、弹射架、光电门等组成．

图4

(1)下面是实验的主要步骤：

①安装好气垫导轨，调节气垫导轨的调节旋钮，使导轨水平； ②向气垫导轨通入压缩空气； ③接通光电计时器；

④把滑块2静止放在气垫导轨的中间； ⑤滑块1挤压导轨左端弹射架上的橡皮绳；

⑥释放滑块1，滑块1通过光电门1后与左侧固定弹簧的滑块2碰撞，碰后滑块1和滑块2依次通过光电门2，两滑块通过光电门2后依次被制动；

⑦读出滑块通过两个光电门的挡光时间分别为：滑块1通过光电门1的挡光时间Δt 1＝10.01 ms ，通过光电门2的挡光时间Δt 2＝49.99 ms ，滑块2通过光电门2的挡光时间Δt 3＝8.35 ms ； ⑧测出挡光片的宽度d ＝5 mm ，测得滑块1的质量为m 1＝300 g ，滑块2(包括弹簧)的质量为m 2＝200 g.

(2)数据处理与实验结论： ①实验中气垫导轨的作用是：

A ．________________________________________________________________________；

B ．________________________________________________________________________. ②碰撞前滑块1的速度v 1为__________ m /s ；碰撞后滑块1的速度v 2为__________ m/s ；滑块2的速度v 3为__________ m/s.(结果均保留两位有效数字)

③在误差允许的范围内，通过本实验，同学们可以探究出哪些物理量是不变的？通过对实验数据的分析说明理由．(至少回答2个不变量)

a ．________________________________________________________________________；

b ．________________________________________________________________________. 答案 见解析

解析 (2)①A.大大减小了因滑块和导轨之间的摩擦而引起的误差． B ．保证两个滑块的碰撞是一维的．

②滑块1碰撞之前的速度v 1＝d

Δt 1＝5×10－310.01×10－3 m /s ≈0.50 m/s ；

滑块1碰撞之后的速度

v 2＝d

Δt 2＝5×10－349.99×10－3

m /s ≈0.10 m/s ；

滑块2碰撞之后的速度v 3＝d

Δt 3＝5×10－38.35×10－3 m /s ≈0.60 m/s ；

③a.系统质量与速度的乘积之和不变．

原因：系统碰撞之前m 1v 1＝0.15 kg·m /s ，系统碰撞之后m 1v 2＋m 2v 3＝0.15 kg·m/s. b ．系统碰撞前后总动能不变．

原因：系统碰撞之前的总动能E k1＝12m 1v 21＝0.037 5 J 系统碰撞之后的总动能 E k2＝12m 1v 22＋12m 2v 23＝0.037 5 J 所以系统碰撞前后总动能相等． c ．系统碰撞前后质量不变．

二、利用摆球结合机械能守恒定律的实验探究

1．碰撞前后摆球速度的大小可从摆线的摆角反映出来，所以方便准确地测出碰撞前后绳的摆角大小是实验的关键．

2．根据机械能守恒定律计算碰撞前后摆球的速度．

例2 (2016·宁波效实中学高二第二学期期中)如图5所示的装置中，质量为m A 的钢球A 用细线悬挂于O 点，质量为m B 的钢球B 放在离地面高度为H 的小支柱N 上．O 点到A 球球心的距离为L .使悬线在A 球释放前伸直，且线与竖直方向的夹角为α，释放A 球，当A 球摆动到最低点时恰与B 球碰撞，碰撞后，A 球把轻质指示针OC 推移到与竖直方向夹角为β处，B 球落到地面上，地面上铺一张盖有复写纸的白纸D .保持α角度不变，多次重复上述实验，白

纸上记录到多个B 球的落点．

图5

(1)图中x 应是B 球初始位置到________的水平距离．

(2)为了探究碰撞中的守恒量，应测得________________等物理量．

(3)用测得的物理量表示(v A 为A 球与B 球刚要相碰前A 球的速度，v A ′为A 球与B 球刚相碰后A 球的速度，v B ′为A 球与B 球刚相碰后B 球的速度)： m A v A ＝________________； m A v A ′＝________________； m B v B ′＝________________.

答案 (1)B 球平均落点 (2)m A 、m B 、α、β、L 、H 、x (3)m A 2gL (1－cos α) m A 2gL (1－cos β) m B x

g 2H

解析 小球A 在碰撞前、后的摆动过程中，满足机械能守恒定律．小球B 在碰撞后做平抛运动，则x 应为B 球的平均落点到初始位置的水平距离．要得到碰撞前后的m v ，需要测量m A 、m B 、α、β、L 、H 、x 等物理量，碰撞前对小球A ，由机械能守恒定律得m A gL (1－cos α)＝12m A v 2

A ，则m A v A ＝m A

2gL (1－cos α).

碰撞后对小球A ，由机械能守恒定律得 m A gL (1－cos β)＝1

2m A v A ′2，

则m A v A ′＝m A

2gL (1－cos β).

碰撞后小球B 做平抛运动， 由x ＝v B ′t ，H ＝1

2gt 2得

m B v B ′＝m B x

g 2H

. 三、利用“光滑”水平面结合打点计时器的实验探究

1．这种碰撞的特征是：碰撞前一个物体有速度，另一物体静止，碰撞后二者速度相同．

2．碰撞前和碰撞后的速度是反映在同一条纸带上的．

3．保证平面光滑和水平是实验成功的重要条件．“光滑”水平面可通过将长木板一端垫高以平衡摩擦力得到．

例3某同学运用以下实验器材，设计了一个碰撞实验来寻找碰撞前后的不变量：打点计时器、低压交流电源(频率为50 Hz)、纸带、表面光滑的长木板、带撞针的小车A、带橡皮泥的小车B、天平．

该同学设计的实验步骤如下：

A．用天平测出小车A的质量为m A＝0.4 kg，小车B的质量为m B＝0.2 kg

B．更换纸带重复操作三次

C．小车A靠近打点计时器放置，在车后固定纸带，把小车B放在长木板中间

D．把长木板平放在桌面上，在一端固定打点计时器，连接电源

E．接通电源，并给小车A一定的初速度v A

(1)请将以上步骤按操作的先后顺序排列出来_______________________________________．

(2)打点计时器打下的纸带中，比较理想的一条如图6所示，根据这些数据完成下表．

图6

(3)根据以上数据猜想碰撞前后不变量的表达式为______．

答案(1)ADCEB(2)见解析(3)m A v A＋m B v B＝(m A＋m B)v AB

解析(1)按照先安装，后实验，最后重复实验的顺序，该同学正确的实验步骤为ADCEB. (2)碰撞前后小车均做匀速直线运动，由纸带上的点迹分布可求出其速度．碰撞前小车A做匀速直线运动，B静止．碰撞后小车A、B合为一体，结合纸带分析，碰撞前对应纸带的AC段，碰撞后对应纸带的EH段．注意打点计时器的频率为50 Hz，打点时间间隔为0.02 s，通过计算得下表.

(3)由表中数值可看出m v一行中数值相同，可猜想碰撞前后不变量的表达式为m A v A＋m B v B ＝(m A＋m B)v AB.

1．在利用气垫导轨探究碰撞中的不变量实验中，哪些因素可导致实验误差()

A．导轨安放不水平B．滑块上挡光板倾斜

C．两滑块质量不相等D．两滑块碰撞后粘合在一起

答案AB

2．某同学把两个大小不同的物体用细线连接起来，中间夹一被压缩的弹簧，如图7所示，将这一系统置于光滑的水平桌面上，烧断细线，观察两物体的运动情况，进行必要的测量，探究物体间相互作用时的不变量．

图7

(1)该同学还必须用到的器材是____________________________________________________；

(2)需要直接测量的数据是________________________________________________________；

(3)根据课堂探究的不变量，本实验中表示碰撞前后不变量的表达式应为_________________ _______________________________________________________(用测得的物理量符号表示)．答案(1)刻度尺、天平(2)两物体的质量m1、m2和两物体落地点分别到桌面两侧边缘的水平距离x1、x2

(3)m 1x 1＝m 2x 2

解析 物体离开桌面后做平抛运动，取左边物体的初速度方向为正方向，设两物体的质量和平抛初速度分别为：m 1、m 2、v 1、v 2，平抛运动的水平位移分别为x 1、x 2，平抛运动的时间为t ，需要验证的方程：0＝m 1v 1－m 2v 2，其中：v 1＝x 1t ，v 2＝x 2

t ，代入得到m 1x 1＝m 2x 2，故需

要测量两物体的质量m 1、m 2和两物体落地点分别到桌面两侧边缘的水平距离x 1、x 2，需要的器材为刻度尺、天平．

3．(2016·温州十校高二下学期期中)某同学设计了一个用打点计时器做“探究碰撞中的不变量”的实验：在小车A 前端装有橡皮泥，推动小车A 使之匀速运动，然后与原来静止在前方的小车B 相碰并粘合成一体，继续做匀速运动．他设计的装置如图8所示，在小车A 的后面连着纸带，电磁打点计时器电源频率为50 Hz.

图8

(1)木板的一端下边垫着小木片用以__________． (2)在实验中，需要的测量工具有( ) A ．弹簧测力计 B ．毫米刻度尺 C ．天平

D ．螺旋测微器

(3)已测得小车A (包括橡皮泥)的质量为m 1＝0.310 kg ，小车B (包括撞针)的质量为m 2＝0.205 kg ，由以上测量可得：(结果均保留三位有效数字) 碰撞前两车质量与速度的乘积之和为______ kg·m/s ； 碰撞后两车质量与速度的乖积之和为______ kg·m/s.

(4)结论：________________________________________________________________________. 答案 (1)平衡摩擦力 (2)BC (3)0.620 0.618

(4)在实验误差允许的范围内，两小车的质量与速度的乘积之和在碰撞中保持不变

一、选择题

1.用如图1所示的装置探究碰撞中的不变量时，必须注意的事项是( )

图1

A．A到达最低点时，两球的球心连线可以不水平

B．实验时，拉起A球，应由静止释放，以便较准确地计算小球碰撞前的速度

C．多次测量减小误差时，A球必须从同一高度下落

D．A、B两小球碰撞后可以粘合在一起共同运动

答案BCD

解析要保证一维对心碰撞，必须保证碰撞时球心在同一高度，A项错；为了较准确地利用机械能守恒定律计算小球碰前的速度，小球释放时速度必须为零，B项对；实验要求多次测量求平均值，必须保证过程的重复性，A球必须从同一高度下落，C项正确；两球碰撞后，有各种运动情况，所以D正确．

2．对于实验“探究碰撞中的不变量”最终的结论m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，下列说法正确的是()

A．仅限于一维碰撞

B．任何情况下m1v21＋m2v22＝m1v1′2＋m2v2′2都一定成立

C．式中的v1、v2、v1′、v2′都是速度的大小

D．式中的不变量是m1和m2组成的系统的质量与速度的乘积之和

答案AD

二、非选择题

3．在用气垫导轨做“探究碰撞中的不变量”实验时，左侧滑块质量为m1＝170 g，右侧滑块质量为m2＝110 g，挡光片宽度d为3.00 cm，两滑块之间有一压缩的弹簧片，并用细线连在一起，如图2所示．开始时两滑块静止，烧断细线后，两滑块分别向左、右方向运动．挡光片通过光电门的时间分别为Δt1＝0.32 s，Δt2＝0.21 s．则两滑块的速度分别为v1′＝________m/s，v2′＝________m/s(保留三位有效数字)．烧断细线前m1v1＋m2v2＝________kg·m/s，烧断细线后m1v1′＋m2v2′＝________kg·m/s.可得到的结论是________________________________．(取向左为速度的正方向)

图2

答案0.094－0.1430 2.5×10－4在实验误差允许的范围内，烧断细线前后两滑块质量

与各自速度的乘积之和为不变量 解析 两滑块速度

v 1′＝d Δt 1＝3.00×10－

2

0.32

m /s ≈0.094 m/s ，

v 2′＝－d Δt 2＝－3.00×10－2

0.21 m /s ≈－0.143 m/s ，

烧断细线前m 1v 1＋m 2v 2＝0

烧断细线后m 1v 1′＋m 2v 2′＝(0.170×0.094－0.110×0.143) kg·m /s ＝2.5×10－4 kg·m/s ， 在实验误差允许的范围内，m 1v 1＋m 2v 2＝m 1v 1′＋m 2v 2′

4．如图3所示，在实验室用两端带竖直挡板C 、D 的气垫导轨和带固定挡板的质量都是M 的滑块A 、B 做“探究碰撞中的不变量”实验：

图3

(1)把两滑块A 和B 紧贴在一起，在A 上放一质量为m 的砝码，置于导轨上，用电动卡销卡住A 和B ，在A 和B 的固定挡板间放一弹簧，使弹簧处于水平方向上的压缩状态． (2)按下电钮使电动卡销放开，同时启动两个记录两滑块运动时间的电子计时器，当A 和B 与挡板C 和D 碰撞同时，电子计时器自动停表，记下A 运动至C 的时间t 1，B 运动至D 的时间t 2.

(3)重复几次取t 1、t 2的平均值． 请回答以下几个问题：

(1)在调整气垫导轨时应注意______________________________________________； (2)应测量的数据还有____________________________________________________； (3)作用前A 、B 两滑块的速度与质量的乘积之和为______________，作用后A 、B 两滑块的速度与质量的乘积之和为________________．(用测量的物理量符号和已知的物理量符号表示)

答案 (1)用水平仪测量并调试使得气垫导轨水平 (2)A 至C 的距离L 1、B 至D 的距离L 2 (3)0 (M ＋m )L 1t 1－M L 2t 2或M L 2t 2－(M ＋m )L 1

t 1

解析 (1)为了保证滑块A 、B 作用后做匀速直线运动，必须使气垫导轨水平，需要用水平仪加以调试．

(2)要求出A 、B 两滑块在电动卡销放开后的速度，需测出A 至C 的时间t 1和B 至D 的时间t 2，并且要测量出两滑块到两挡板的运动距离L 1和L 2，再由公式v ＝x

t 求出其速度．

(3)设速度方向向左为正方向，根据所测数据求得两滑块的速度分别为v A ＝L 1t 1，v B ＝－L 2

t 2.作用

前两滑块静止，v ＝0，速度与质量的乘积之和为0；作用后两滑块的速度与质量乘积之和为(M ＋m )L 1t 1－M L 2

t 2.若设速度方向向右为正方向，同理可得作用后两滑块的速度与质量的乘积之

和为M L 2t 2－(M ＋m )L 1

t 1

.

5．有甲、乙两辆小车，质量分别为m 1＝302 g 、m 2＝202 g ，甲小车拖有纸带，通过打点计时器记录它的运动情况，乙小车静止在水平桌面上，甲小车以一定的速度向乙小车运动，跟乙小车发生碰撞后与乙小车粘合在一起共同运动．这个过程中打点计时器在纸带上记录的点迹如图4所示，在图上还标出了用刻度尺量出的各点的数据，已知打点计时器的打点频率为50 Hz.

图4

(1)从纸带上的数据可以得出：两车碰撞过程经历的时间大约为________ s ；(结果保留两位有效数字)

(2)碰撞前甲车的质量与速度的乘积大小为______ kg·m /s ，碰撞后两车的质量与速度的乘积之和为________ kg·m/s ；(结果保留三位有效数字)

(3)从上述实验中能得出的结论是___________________________________________． 答案 (1)0.10 (2)0.202 0.203

(3)在误差允许的范围内，两车的质量与速度的乘积之和保持不变

解析 本题通过分析纸带来确定甲车速度的变化．从纸带上0点开始每0.02 s 内甲车位移分别为13.2 mm 、13.5 mm 、13.5 mm 、12.6 mm 、11.7 mm 、10.8 mm 、9.9 mm 、9 mm 、8.1 mm 、8 mm 、8 mm.

(1)从以上数据可知从第3个点到第8个点是碰撞过程，则t ＝5×0.02 s ＝0.10 s.

(2)碰撞前甲车速度v 1＝40.2

3×0.02×10－3 m /s ＝0.670 m/s ，碰撞前甲车质量与速度的乘积m 1v 1

＝0.302 kg ×0.670 m /s ≈0.202 kg·m/s ；碰撞后两车的速度v 2′＝v 1′＝v ′＝118.3－94.2

3×0.02

×10

－3

m /s ≈0.402 m/s ，碰撞后两车的质量与速度的乘积之和为(m 1＋m 2)v ′＝(0.302＋

0.202)×0.402 kg·m /s ≈0.203 kg·m/s.

(3)在误差允许范围内，两车的质量与速度的乘积之和保持不变．

6．某班物理兴趣小组选用如图5所示装置来“探究碰撞中的不变量”．将一段不可伸长的轻质小绳一端与力传感器(可以实时记录绳所受的拉力)相连并固定在O 点，另一端连接小钢球A ，把小钢球拉至M 处可使绳水平拉紧，小钢球自由下垂静止时处在N 点，在N 点右侧放置一水平气垫导轨，气垫导轨上放有一小滑块B (B 上安装宽度较小且质量不计的遮光板)、光电门(已连接数字毫秒计)．当地的重力加速度为g .

图5

某同学按如图所示安装气垫导轨、滑块B (调整滑块B 的位置使小钢球自由下垂静止在N 点时与滑块B 接触而无压力)和光电门，调整好气垫导轨高度，确保小钢球A 通过最低点时恰好与滑块B 发生正碰．让小钢球A 从某位置释放，摆到最低点N 与滑块B 碰撞，碰撞后小钢球A 并没有立即反向，碰撞时间极短．

(1)为完成实验，除了毫秒计读数Δt 、碰撞前瞬间绳的拉力F 1、碰撞结束瞬间绳的拉力F 2、滑块B 的质量m B 和遮光板的宽度d 外，还需要测量的物理量有_____________________ ___________________________________________________． A ．小钢球A 的质量m A B ．绳长L

C ．小钢球从M 到N 运动的时间

(2)滑块B 通过光电门时的瞬时速度v B ＝________(用题中已给的物理量符号来表示) (3)实验中的不变量的表达式是：______________________________________________. (用题中已给的物理量符号来表示)

答案 (1)AB (2)d Δt (3)F 1m A L －m 2A gL ＝F 2m A L －m 2A gL ＋m B d Δt 解析 滑块B 通过光电门时的瞬时速度v B ＝d Δt

.

根据牛顿第二定律得：F 1－m A g ＝m A v 21

L

.

F 2－m A g ＝m A v 2

2L

.

实验中的不变量为：m A v1＝m A v2＋m B v B

整理得，F1m A L－m2

A gL＝F2m A L－m2

A

gL＋m B

d

Δt.

所以还需要测量小钢球A的质量m A以及绳长L.