七年级数学一元二次方程及其解法（配方法，公式法）人教实验版五
四制
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
一元二次方程及其解法（配方法，公式法）
二. 基础知识：
1. 一元二次方程的概念
2. 降次解一元二次方程
① 用配方法解一元二次方程（配方法解方程的一般步骤应重点掌握）
② 用公式法解一元二次方程（公式的推导方法是应重点掌握）
三. 重点和难点：
1. 重点：一元二次方程的概念和公式法解一元二次方程
2. 难点：配方法解方程
【典型例题】
[例1] ① 下列关于x 的方程
（1）02=++c bx ax
（2）0342=-+x x （3）0432=+-x x （4）0352=+-x x
中，一元二次方程的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 解：选A
根据一元二次方程定义易知（2）（3）不是一元二次方程，而（1）当0=a 时，方程就不是一元二次方程了。
② 下列关于x 的方程
（1）02=++c bx ax （2）0652
=++k k
（3）02
142333=--x x （4）023)3(22=-++x x m 中，是一元二次方程的为。（只填代号）
解：应填（4）
由（1）可知，（1）不一定为一元二次方程，而（4）中032>+m ，所以应为一元二次方程
[例2] 解方程：1422-=x x
解法一：（配方法）
将方程变形为1422-=-x x
方程两边都除以2，得2122-
=-x x 配方，得22212112+-=+-x x ，即2
1)1(2=-x 解得2
21±=x ∴2211+
=x 2212-=x 解法二：（公式法）
将方程变形为01422
=+-x x
∵2=a ，4-=b ，1=c
∴8816124)4(422=-=⨯⨯--=-ac b ∴4
2242284242±=⨯±=-±-=a ac b b x ∴2211+
=x 2212-=x
[例3] 已知关于x 的方程12)3(-+m x m 01)1(2=--+x m
（1）m 为何值时，它是一元二次方程，并求出此方程的解；
（2）m 为何值时，它是一元一次方程。
解：（1）要使方程为一元二次方程，则必须满足
⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+2
1032m m 解得3=m 当3=m 时，原方程为一元二次方程 此时，方程为01)13(2322=--+x x ∵32=a )13(2-=b 1-=c ∴16)1(324)13(4422=-⨯⨯--=-ac b ∴3
442323224)13(2242±+-=⨯±--=-±-=a ac b b x ∴2131-=x ，6
332+-=x （2）若使原方程为一元二次方程，则应分以下几种情况进行讨论： ①⎩⎨⎧≠-=+010
3m m 解得3-=m ②⎪⎩⎪⎨⎧≠+++=-0
)1(23112m m m 解得2±=m ③⎩⎨⎧≠-=-0
)1(2012m m 解得1-=m
∴ 当3-=m 或2±
或1-时，原方程是一元二次方程
[例4] 关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，求a 。
解：∵01)1(22=-++-a x x a 是一元二次方程
∴01≠-a ∴1≠a
把0=x 代入原方程中，得12=a
∴1±=a ∵1≠a ∴1-=a
[例5] 已知一个直角三角形的两直角边的长恰是方程07822
=+-x x 的两个根，求这个直角三角形的斜边长。
解：∵2=a ，8-=b ，7=c
∴85664724)8(422=-=⨯⨯--=-ac b ∴2
242288242±=⨯±=-±-=a ac b b x ∴2241+=x 2
242-=x ∴ 斜边长为34
)24(4)24(2
2=-++
[例6] 已知c 为实数，并且方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程032
=-+c x x 的一个根，求方程032=-+c x x 的根及c 的值。
解：设方程032=+-c x x 的一个根为0x ，则由题意：
⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=+-)2(0)(3)()1(03020020c x x c x x （1）－（2）得0=c
当0=c 时，方程032=-+c x x 化为032=+x x
解得01=x ，32-=x
[例7] 若方程012=++mx x 与方程02
=--m x x 只有一个相同的实数根，求m 的值。
解：设两个方程相同的实数根为0x ，则
01020=++mx x ①0020=--m x x ② ①－②得0)1()1(0=+++m x m
即0)1)(1(0=++x m
∴1-=m 或10-=x
当1-=m 时，两个方程相同且方程无解 ∴1-=m （舍）
当10-=x 时，0)1()1(2=----m ，2=m
[例8] 有一种特殊材料制成的质量为30克的泥块，现将它切成大小两块，将较大泥块放在一架不等臂的天平的左盘中，称得质量为27克；又将较小泥块放在该天平的右盘中，称得质量为8克，若只考虑天平的臂长不等，其他因素忽略不计，请你依据物理学中的杠杆的平衡原理，求出较大泥块和较小泥块的质量。
解：设较大泥块的质量为x 克，则较小泥块的质量为)30(x -克。
若天平左、右臂长分别为acm 和bcm ，由杠杆平衡原理，得
⎩⎨⎧-==)
2)(30(8)1(27x b a b ax 由（1）÷（2）得)30(:278:x x -=
由比例的性质，得278)30(⨯=-x x
整理得0216302
=+-x x
解得181=x ，122=x
由题意18=x 时，1230=-x 12=x 时不合题意舍去
答：较大泥块质量为18克，较小泥块质量为12克。
【模拟试题】
1. 用配方法解方程：01622=+-x x
2. m 为何值时，关于x 的方程m x m x m m 5)1()2(2=+--是一元二次方程？
3. 用适当方法解下列方程： ①02)52(2
12=--x ②03762=-+x x ③0154)53(22=++-x x
【试题答案】 1. 2731+=x ，2732-=x 2. 2-=m
3. ①271=x ，232=x ②311=x ，232-=x ③321=x ，522=x
一元二次方程概念与解法 课首小测 解下列方程： （1）2x-3=4 （2）3x+6=11 （3 ） 2 42532-=-=+y x y x （4） 1 831552-=+=+y x y x 参考答案：（1）x=3.5 (2)x=5 3 (3) { 11==X Y (4) { 12547 =-=x y 1知识梳理 1、一元二次方程的概念 只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫一元二次方程。 一元二次方程的一般形式是20ax bx c ++=（a 、b 、c 是已知数且a ≠0），其中ax 2叫做 ，bx 叫做 ，a 叫做 系数，b 叫做 系数，c 叫做 。 2、一元二次方程的常用解法 (1) 形如)0(2 ≥=a a x 或)0()(2 ≥=-a a b x 的一元二次方程，可用 方法. (2) 配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①化二次项系数为1； ②移项,使方程左边．．为二次项和一次项,右边．．为常数项； ③方程两边都加上一次项系数一半．．．．．．．的平方．． ；
④把原方程变为2()x m n +=的形式； ⑤如果方程右边是非负数，就可以直接用开平方法求出方程的解. (3)公式法：求根公式为=x （ ≥0） (4)因式分解法：因式分解法的步骤： ①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。 3、根的判别式:一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 根的情况（ac b 42-=?） (1)当Δ＞0时，方程有 实数根； (2)当 时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程 . ※※易错知识辨析 （1 般形式中0≠a （2 （3 （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 2经典例题 例题1：（1）关于x 的方程5)3(7 2 =---x x m m 是一元二次方程，则m =__-3______. （2）将方程（x+1）2+（x -2）（x+2）= 1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 参考答案：04222=-+x x ， 2 2x ， 2， 2x, -4 【变式练习】 1、方程化为一般形式为 011732 =-+x x ，它的二次项系数是 3 ，一次项系数是 17 ，常数项是 -1 。 2、已知方程，（1）当k 为何值时，是一元二次方程。（2）当 k 为何值时，是一元一次方程？ 参考答案：k ≠±1, k=1 43)5)(31(+=+-x x x 07)1()1(2 2 =-++-x k x k
七年级数学一元二次方程及其解法（配方法，公式法）人教实验版五 四制 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 一元二次方程及其解法（配方法，公式法） 二. 基础知识： 1. 一元二次方程的概念 2. 降次解一元二次方程 ① 用配方法解一元二次方程（配方法解方程的一般步骤应重点掌握） ② 用公式法解一元二次方程（公式的推导方法是应重点掌握） 三. 重点和难点： 1. 重点：一元二次方程的概念和公式法解一元二次方程 2. 难点：配方法解方程 【典型例题】 [例1] ① 下列关于x 的方程 （1）02=++c bx ax （2）0342=-+x x （3）0432=+-x x （4）0352=+-x x 中，一元二次方程的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：选A 根据一元二次方程定义易知（2）（3）不是一元二次方程，而（1）当0=a 时，方程就不是一元二次方程了。 ② 下列关于x 的方程 （1）02=++c bx ax （2）0652 =++k k
（3）02 142333=--x x （4）023)3(22=-++x x m 中，是一元二次方程的为。（只填代号） 解：应填（4） 由（1）可知，（1）不一定为一元二次方程，而（4）中032>+m ，所以应为一元二次方程 [例2] 解方程：1422-=x x 解法一：（配方法） 将方程变形为1422-=-x x 方程两边都除以2，得2122- =-x x 配方，得22212112+-=+-x x ，即2 1)1(2=-x 解得2 21±=x ∴2211+ =x 2212-=x 解法二：（公式法） 将方程变形为01422 =+-x x ∵2=a ，4-=b ，1=c ∴8816124)4(422=-=⨯⨯--=-ac b ∴4 2242284242±=⨯±=-±-=a ac b b x ∴2211+ =x 2212-=x [例3] 已知关于x 的方程12)3(-+m x m 01)1(2=--+x m （1）m 为何值时，它是一元二次方程，并求出此方程的解；
第十二章一元二次方程 第 1 课一元二次方程 一、教学目的 1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义． 2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义． 3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式． 二、教学重点、难点 重点：一元二次方程的定义． 难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 三、教学过程 复习提问 1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？ 2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？ (l)3x+4=l ；(2)6x-5y=7； 3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”． 引入新课 1．方程的分类： 通过上面的复习，引导学生答出： 学过的几类方程是 没学过的方程是 x2-70x+825=0 ， x(x+5)=150． 这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”而在整式方程中， “只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．” 据此得出复习中学生未学过的方程是 (4)一元二次方程： x2-70x+825=0 ， x(x+5)=150 ． 同时指导学生把学过的方程分为两大类：
2．一元二次方程的一般形式 注意引导学生考虑方程 x2-70x+825=0 2 和方程 x(x+5)=150 ，即 x +5x=150， 2 可化为： x +5x-150=0 ． 从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为 ax2+bx+c=0(a ≠ 0) 的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．强调，其中ax 2，bx，c 分别称为二次项、一次项、常数项；a， b 分别称为二次项系数、一次项系数．要特别注意：二次项系数 a 是不等于 0 的实数 (a=0 时，方程化为bx+c=0 ，不再是二次方程了) ； b， c 可为任意实数．例把方程 5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常 数项． 讲解例题 课堂练习P5-6 1、2 课堂小结 1．方程分为两大类： 判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次． 2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最 高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．其一般形式是ax2+bx+c=0(a ≠ 0) ，其中 b，c 均可为任意实数，而 a 不能等于零． 作业：教材中相关习题． 第 2 课一元二次方程的解法 ( 一) 一、教学目的 1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程． 2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax 2+c=0(a ＞ 0，c ＜0) 的方法． 二、教学重点、难点 重点：准确地求出方程的根． 难点：正确地表示方程的两个根． 三、教学过程 复习过程 回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据． 求下列各式中的x： 1． x2=225； 2 ． x2 -169=0 ； 3． 36x 2=49； 4 ． 4x2-25=0 ． 回答解题过程中的依据． 解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．
初中数学一元二次方程知识点总结(含习 题) 一元二次方程知识点的总结 知识结构梳理： 1、概念 1) 一元二次方程含有一个未知数。 2) 未知数的最高次数是2. 3) 是方程。 4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0. 2、解法
1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。 2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。 3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。 4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。 5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。 3、应用 1) 一元二次方程可用于解某些求值题。 2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。
知识点归类： 考点一：一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。③未知数的最高次数是2. 考点二：一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 考点三：解一元二次方程的方法
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。 解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。选择哪种方法要根据具体情况而定。 直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。 配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。 因式分解法是将方程左边分解成两个一次因式的乘积，然后令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个方 程得到原方程的解。 公式法是用求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a解方程，需要先 确定方程的系数a、b、c，求出b²-4ac的值，然后代入求根公 式得到方程的解。
一元二次方程 一、本章知识结构框图 二、具体内容 （一）、一元二次方程的概念 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02 =++c bx ax 才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 （二）、一元二次方程的解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如n x =2 或)0()(2 ≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未 知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2 的方程的解法：
当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0
原创百度文库VIP 专属文档，侵权必究！ 学校 班级 姓名 学号 一元二次方程知识点总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a ≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax 2 +bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时， b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解,将方程化为两个因式相乘的形式，然后另每个因式分别为零。 5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ 当ac b 42 -=∆>0时，方程有两个不相等的实数根； 当ac b 42 -=∆=0时，方程有两个相等的实数根； 当ac b 42 -=∆<0时，方程无实数根。 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02 ≠=++ a a c x a b x 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a c x x =21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数的相反数；两根之积等于常数项。 7. 总结知识框架
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（基础） 【学习目标】 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程； 2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程； 3. 能应用根的判别式判断一元二次方程求根的情况，通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 【要点梳理】 要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程 ，当 时， . 2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当 时，原方程没有实数根. 要点诠释： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 3.一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中， （1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0； （2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0； （3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0. 要点诠释： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0. 4.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；
一元二次方程及其解法（一）直接开平方法和配方法—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式； 2.掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题； 3.了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 4.理解解法中的降次思想和转化思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想. 增强数学应用意识和能力. 【要点梳理】 要点一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念 通过化简后，只含有（）(一元)，并且未知数的最高次数是（）(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，三个条件缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释： (1)只有当时，方程才是一元二次方程； (2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.要点二、一元二次方程的解法 1．直接开方法解一元二次方程 (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据：（）定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根．
初一数学二元一次方程组的解法人教实验版 【本讲教育信息】 一、教学内容： 二元一次方程组的解法 二､教学重点： （1）掌握二元一次方程和二元一次方程组的概念 （2）掌握二元一次方程组的解法 三､知识点扫描： （1）二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数项的次数是1的方程。 （2）二元一次方程组：两个二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组。 （3）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 （4）代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法.简称代入法。 （5）加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边相加或相减，就能消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 四､中考考点分析： 本节中考命题的重点是二元一次方程（组）的有关概念及二元一次方程（组）的解法，考查方法有直接用代入法或加减法解二元一次方程组，分值不高，且以填空､选择､简单解答题的形式出现。 【典型例题】 例一､已知二元一次方程组⎩ ⎨⎧=-=-)2(3n m 2)1(4n 2m ，则m+n 的值是（ ）。 A ､1 B ､0 C ､－2 D ､－1 解法一：由（1）得m=4+2n 代入（2）中得2（4+2n ）－n=3解得n=－3 5 m= 3 2 ∴m+n=－1 解法二：用（2）－（1）得m+n=－1
例二､［2008中考试题］若方程组⎩ ⎨⎧=+=-9.30b 5a 313 b 3a 2的解是 ⎩ ⎨ ⎧==2.1b 5 .8a 则方程组⎩ ⎨ ⎧=-++=--+9.30)1y (5)2x (313 )1y (3)2x (2的解是（ ） A 、⎩⎨⎧==2.1y 5.8x B 、⎩⎨⎧==2.2y 5.10x C 、⎩⎨⎧==2.2y 5.6x D 、⎩ ⎨⎧==2.0y 5.10x 解： 例三、若方程组⎩⎨⎧=-=-16by ax 332y x 5与⎩ ⎨⎧=-=-22by 2ax 519 y 2x 有相同的解，求a ､b 的值。 解：因两方程组同解，故⎩⎨⎧=-=-②①19y 2x 32y x 5的解与⎩⎨⎧=-=-④ ③ 22by 2ax 516by ax 3的解相同。可先求 出x ､y 的值，代入第二个新方程中即可求出a ､b 由题意⎩⎨⎧=-=-②①19y 2x 32y x 5解得⎩⎨⎧-==7y 5 x 把x=5，y=－7代入⎩⎨⎧=-=-④③22by 2ax 516by ax 3中即 ⎩⎨⎧=+=+16b 7a 1522b 14a 25解得⎩ ⎨ ⎧-==2b 2 a 点评：此题若分别求方程组的解是不可能的，但观察发现其中有两个方程只与x ､y 有关。故可化为两个新方程组来求解，从而化难为易。 例四、如果⎩⎨⎧-==2y 3x 是方程组⎩⎨⎧=-=+5by ax 1by ax 的解，求a 2008+2b 2008的值。 解：由⎩⎨⎧-==2y 3x 是方程组⎩⎨⎧=-=+5by ax 1by ax 的解，得⎩⎨⎧=+=-5b 2a 31b 2a 3，解这个方程组，得⎩ ⎨⎧==1b 1 a 故 a 2008+2 b 2008=1+2×1=3 ［变式题］甲､乙两人同求方程ax －by=7的整数解，甲求出的一组解为⎩ ⎨⎧==4y 3 x 而乙把 ax －by=7中的7错看成1，求得一组解为⎩ ⎨⎧==2y 1 x 试求a ､b 的值。 解：把x=3，y=4代入ax －by=7中得3a －4b=7① 把x=1，y=2代入ax －by=1中得a －2b=1② 将①②联立成方程组⎩⎨⎧=-=-1b 2a 7b 4a 3得⎩ ⎨⎧==2b 5 a 故a ､ b 的值分别是5､2。 【点评】本例中，乙求出的解不满足原方程，而满足方程ax －by=1，这是极易出错的地方，应在理解题意上去克服。 例5、已知方程组⎩ ⎨⎧=++=+m y 3x 22 m y 5x 3的解适合方程8y x =+，求m 。 解：要求m 的值，可先求x ､y 用m 表示的代数式，再求m 的值
专题07一元二次方程及其应用的核心知识点精讲 1.了解一元二次方程的概念，并会用直接配开平方法、因式分解法、公式法和配方法 解一元二次方程； 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两根是否相等； 3.了解根与系数的关系，能解决与根有关的代数式求值题； 4.能列一元二次方程解实际问题；并能结合具体问题的实际意义，检验方程解的合理性
【题型1：一元二次方程的解法】 【典例1】（2023•广州）解方程：x2﹣6x+5＝0． 1．（2023•赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方后正确的是（） A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17 2．（2023•齐齐哈尔）解方程：x2﹣3x+2＝0． 【题型2：一元二次方程的判别式及应用】 【典例2】（2023•荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围； （2）当k＝1时，用配方法解方程． 1．（2023•滨州）一元二次方程x2+3x﹣2＝0根的情况为（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．不能判定 2．（2023•聊城）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0 3．（2023•泰安）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是． 【题型3：一元二次方程根与系数的关系及应用】 【典例3】（2023•内江）已知a、b是方程x2+3x﹣4＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝．
21.2 .2一元二次方程的解法 公式法 教学目标 1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。 2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。 3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。 研讨过程 一、复习旧知，提出问题 1.用配方法解下列方程： （1）x x 10152 =+ (2)2 1 31203 x x -+ = 2.用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 3.用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？ 二、探索解法 问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠转化为 222 4()4b b ac x a a -+=吗？ 因为0a ≠，方程两边都除以a ，得 移项，得 配方，得 即 问题2：当2 40b ac -≥，且0a ≠时，22 44b ac a -大于等于零吗？ 得出结论：当2 40b ac -≥时，因为0a ≠，所以2 40a >，从而 22 404b ac a -≥。 问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？ 得出结论，当2 40b ac -≥时，一般形式的一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的根为 2b x a +=，即x =。 由以上研究的结果，得到了一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式： x = （2 40b ac -≥） 这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公
1,2=0；当m＜0时，方程没有实数解． 中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（提高） 【考纲要求】 1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程； 2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)． 2.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：把方程变成x2=m的形式，当m＞0时，方程的解为x=±m；当m＝0时，方程的解x
（2）配方法：通过配方把一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 变形为 x + ⎪ = 如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0)的两个根是 x 、x ，那么 x + x = - ，x ⋅ x = c ． a a ⎛ ⎝ b ⎫2 b 2 - 4ac 2a ⎭ 4a 2 的形式，再 利用直接开平方法求得方程的解． （ 3 ） 公 式 法 ： 对 于 一 元 二 次 方 程 ax 2 + bx + c = 0 ， 当 b 2 - 4ac ≥ 0 时 ， 它 的 解 为 x = -b ± b 2 - 4ac 2a ． （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等 于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释： 直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一 般方法． 易错知识辨析： （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元 二次方程一般形式中 a ≠ 0 . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化 1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 3．一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式为 ∆ = b 2 - 4ac ． △>0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根； △ ＝0 ⇔ 方程有两个相等的实数根； △<0 ⇔ 方程没有实数根． 上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释： △ ≥0 ⇔ 方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系 b 1 2 1 2 1 2 要点诠释： （1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． （2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分 解法，再考虑用公式法． （3）一元二次方程 a x 2 + bx + c = 0 (a ≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方 程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题． （4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已 知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代 数式为根的一元二次方程．
解一元二次方程——配方法导学案（新版新 人教版） 第3课时解一元二次方程-配方法 一、学习目标1．掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤； ．学会利用配方法解一元二次方程. 二、知识回顾1．形如的一元二次方程，利用求平方根的方法，立即可得ax+= ± 从而解出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫“直接开平方法”. ．如果方程能化成x2＝p或2＝p的形式,那么利用直接开平方法可得x＝ ± 或x＋n= ± ． 三、新知讲解1．配方法的依据 配方法解一元二次方程的依据是完全平方公式及直接开平方法． ．配方法的步骤
化—— 化二次项系数为1 如果一元二次方程的二次项系数不是1，那么在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1. 移——移项 通过移项使方程左边为 二次项 和 一次项 右边为 常数项 配——配方 在方程两边都加上 一次项系数一半的平方 根据完全平方公式把原方程变为的形式． 解——用直接开平方法解方程. 四、典例探究 ．配方法解一元二次方程 【例1】用配方法解下列方程时，配方有错误的是 A．x2﹣2x﹣99=0化为2=100B．x2+8x+9=0化为2=25 c．2t2﹣7t﹣4=0化为2=D．3x2﹣4x﹣2=0化为2= 总结：配方法解一元二次方程的一般步骤：
把二次项的系数化为1； 把常数项移到等号的右边； 等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 用直接开平方法解这个方程. 练1用配方法解方程： x2﹣2x﹣24=0；3x2+8x-3=0；x=120. ．用配方法求多项式的最值 【例2】当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值． 总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值. 练2用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0． 练3已知a、b、c为△ABc三边的长． 求证：a2﹣b2+c2﹣2ac＜0． 当a2+2b2+c2=2b时，试判断△ABc的形状． 五、课后小测一、选择题 ．若把代数式x2﹣2x+3化为2+形式，其中，为常数，结果为 A．2+4B．2+2 c．2+4D．2+2
一元二次方程的解法教学设计 学习目标 1、一元二次方程的求根公式的推导 2、会用求根公式解一元二次方程． 3、通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯 学习重、难点 重点：一元二次方程的求根公式． 难点：求根公式的条件：b2-4ac≥0 学习过程： 一、自学质疑： 1、用配方法解方程：2x2-7x+3＝0． 2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 3、用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？ 二、交流展示： 刚才我们已经利用配方法求解了一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c＝0(a≠0)呢? 三、互动探究： 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的．因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根． 注：(1)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号． (2)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值；当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解；当b2-4ac＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了． 四、精讲点拨： 例1、用公式法解下列方程： (1)；(2)． 总结:其一般步骤是： (1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值．(注意符号) (2)求出b2-4ac的值．(先判别方程是否有根) (3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出 的值，最后写出方程的根． 例2、解方程： （1）2x2-7x+3＝0 （2）x2-7x-1＝0 (3) 2x2-9x+8＝0 (4) 9x2+6x+1＝0 五、纠正反馈： 做书上第Ｐ90练习。
用配方法解一元二次方程 【知识与技能】 掌握用配方法解一元二次方程. 【过程与方法】 理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体验降次的数学思想方法. 【情感态度】 在学生合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐趣. 【教学重点】 用配方法解一元二次方程. 【教学难点】 用配方法解一元二次方程的方法和技巧. 一、情境导入，初步认识 问题要使一块长方形的场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长与宽各是多少？思考如果设这个长方形场地的宽为xm，则长为，由题意可列出的方程为，你能将此方程化为(x+n)2=p的形式，并求出它的解吗？ 【教学说明】经历从实际问题中抽象出一元二次方程模型的过程，进一步增强学生的数学建模能力，并通过思考，用类比、转化思想方法探索出解这类方程的一种方法，导入新课.教学过程中，应给予学生充分思考，交流活动时间，达到探索新知的目的. 二、思考探究，获取新知 【教学说明】让学生阅读第6~7页探究内容，再完成下面的“想一想”. 想一想1.下列各题中的括号内应填入怎样的数合适？谈谈你的看法. （1）x2+10x+( )=(x+ )2; (2)x2-3x+( )=(x- )2; (3)x2-2 3 x+( )=(x- )2; (4)x2+1 2 x+( )=(x+ )2. 2.利用上述想法，试试解下列方程：(1)x2+10x+3=0; (2)x2-3x+1=0; (3)x2-2 3 x=4; (4)x2+ 1 2 x-7=0. 1.依次填入：（1）25；5；（2）9 4 ， 3 2 ；（3） 1 9 ； 1 3 ；（4） 1 16 ， 1 4 . 2.解：（1）原方程可化为：x2+10x=-3,配方，得x2+10x+25=-3+25,即（x+5）2=22,∴x+5= 22即x122222
一元二次方程的解法配方法教学设计（共5则范文） 第一篇：一元二次方程的解法配方法教学设计（共） 教学目标： （一）知识与技能： 1、理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程。 2、能利用配方法解决实际问题，增强学生的数学应用意识和能力。 （二）过程与方法目标： 1、经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，使学生体会到转化的数学思想。 2、在理解配方法的基础上，熟练应用配方法解一元二次方程的过程，培养学生用转化的数学思想解决实际问题的能力。 （三）情感,态度与价值观 启发学生学会观察,分析,寻找解题的途径，提高学生分析问题,解决问题的'能力。 教学重点、难点： 重点：理解并掌握配方法，能够灵活运用用配方法解一元二次方程。 难点：通过配方把一元二次方程转化为（x+m）2=n(n≥0)的形式。 教学方法：根据教学内容的特点及学生的年龄、心理特征及已有的知识水平，本节课采用问题教学和对比教学法，用“创设情境——建立数学模型——巩固与运用——反思、拓展”来展示教学活动。 教学过程 教学过程 教学内容 学生活动 设计意图 一复习旧知 用直接开平方法解下列方程： （1）9x2=4(2)(x+3)2=0
总结：上节课我们学习了用直接开平方法解形如（x+m）2=n(n≥0)的方程。 二创设情境，设疑引新 在实际生活中，我们常常会遇到一些问题，需要用一元二次方程来解决。 例：小明用一段长为 20米的竹篱笆围成一个矩形，怎样设计才可以使得矩形的面积为9米？ 三新知探究提问：这样的方程你能解吗？ x2＋6x＋9＝0 ① 2、提问：这样的方程你能解吗？ x2＋6x＋4＝0 ② 思考：方程②与方程①有什么不同？能否把它化成方程①的形式呢？ 归纳总结配方法： 通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的解，这样的解法叫做配方法。 配方法的依据：完全平方公式 配方法的关键：给方程的两边同时加上一次项系数一半的平方 点拨：先通过移项将方程左边化为x2＋ax形式，然后两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后直接开平方求解。 四合作讨论，自主探究 1、配方训练 (1)x2+12x+()=(x+6)2 (2)x2-12x＋()＝(x-)2 (3)x2+8x+()=(x+)2 (4)x2+mx+()=(x+)2 强调：当一次项系数为负数或分数时，要注意运算的准确性。 2、将下列方程化为（x+m）2=n (n≥0)的形式并计算出X值。 （1）x2－4x＋3＝0
第十二章一元二次方程 第1课一元二次方程 一、 教学目的 1 •使学生理解并能够掌握整式方程的定义. 2 •使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义. 3 •使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式. 二、 教学重点、难点 重点：一元二次方程的定义. 难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别. 三、 教学过程 复习提问 1. 什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？ 2. 指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？ (l) 3x+4=l ; (2)6x-5y=7 ; -70^ + 825 = 0； 3. 结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”. 引入新课 1. 方程的分类： 通过上面的复习，引导学生答出： 学过的几类方程是 (I)—元一次方程£ 3x +4 = 1* = 5) ⑵二元二次方程：6s -5y = 7,年-专=0; * 4 5 3 〔3)分式方程* 1 --- ---- 0; ?+ ------ = 4； y y -* 2 没学过的方程是 2 x -70x+825=0 , x(x+5)=150 . 这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程.”而在整式方程中， “只含 有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程叫做一元二次方程.” 据此得出复习中学生未学过的方程是 ____ 2 ⑷一元二次方程：x-70x+825=0 , x(x+5)=150 . 同时指导学生把学过的方程分为两大类： 〔整式方程; | 分式方桎. (7)x(z + 5) = ISO,
2•—元二次方程的一般形式 注意引导学生考虑方程 2 x -70x+825=0 2 和方程 x(x+5)=150，即 x +5x=150, 可化为：x +5x-150=0 • 从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为 2 ax +bx+c=O(a 丰 0) 的形式•并称之为一元二次方程的一般形式•强调，其中 ax , bx , c 分别称为二次项、 一次项、常数项；a , b 分别称为二次项系数、一次项系数•要特别注意：二次项系数 a 是 不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0,不再是二次方程了 ); b , c 可为任意实数. 例 把方程5x(x+3)=3(x-1)+8 化成一般形式.并写出它的二次项系数、 一次项系数及常 数项. 讲解例题 课堂练习 P5-6 1 、2 课堂小结 判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数； 判别一元一次方程，一元 二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次. 2•一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最 高次数是2,则这样 的整式方程称一元二次方程. 其一般形式是ax 2+bx+c=0(a 工0),其中b , c 均可为任意实数，而 a 不能等于零. 作业：教材中相关习题. 第2课一元二次方程的解法(一) 一、 教学目的 1 •使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程. 2•引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、 归纳出解一元二次方程 ax 2+c=0(a >0, c v 0)的方法. 二、 教学重点、难点 重点：准确地求出方程的根. 难点：正确地表示方程的两个根. 三、 教学过程 复习过程 回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据. 求下列各式中的x ： 2 2 2 2 1. x =225; 2 . x -169=0 ; 3. 36x =49; 4 . 4x -25=0 . 回答解题过程中的依据. 1.方程分为两大类: 方程 整式方桂; 分式方程.