《数学模型》考试题型
填空题(16分) （基本概念）
简答题(24分) （基本概念）
计算题(60分)（基本计算）
复习重点章节：
Ch1.建立数学模型（基本概念）
§1 数学建模的背景及重要意义；
§2模型和数学模型的概念；
§3数学建模的流程图、基本方法和步骤；
§4数学模型的分类与特点；
Ch2.初等模型（基本计算）
§10量纲分析与无量纲化；
Ch3.简单的优化模型（基本概念）
§1存储模型
§2生猪的出售时机；
Ch4.数学规划模型（基本计算）
§1奶制品的生产与销售；
Ch5. 微分方程模型（基本概念及计算）
§1传染病模型；
§3正规战与游击战
Ch6.稳定性模型（基本概念及计算）
§1捕鱼业的持续收获；
§2军备竞赛
Ch7. 差分方程模型（基本计算）
§1市场经济中蛛网模型
Ch8.离散模型（基本概念）
§1 层次分析模型；
§2循环比赛的名次
Ch9.概率模型（基本概念）
§1传送系统的效率；
§2 报童的诀窍；
§3 随机存贮策略；
典型题型
1．建立数学模型的基本步骤为：模型准备、、
、、、模型应用等.
2．数学模型按照应用领域分类的数学模型名称有：人口模型、水资源模型、 、 、 等.
3．每对顶点之间都有一条边相连的 称为竞赛图．4个顶点的竞赛图共有 种形式．
4．求正互反矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法
有： 、 、 ．
5．写出5个按照建模目的分类的数学模型名称．
6.写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称以及5个按照应用领域分类的模型名称. 答:按数学方法分类:初等模型,几何模型,微分方程模型,统计回归模型,数学规划模型
7.有4支球队A 、B 、C 、D 进行单循环赛，比赛结果是这样的：A 胜B 和C ，B 胜C 和D ，C 胜D ，D 胜A.试给出这4支球队比赛对应的竞赛图或其邻接矩阵.它是否为双向连通图？并给出这4支球队的名次．
答：这4支球队的竞赛图对应的邻接矩阵为 ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=0001100011000110A ，它是双向连通的.； 令T e )1,,1,1( =，分别计算8,,3,2,1,)
1()( ===-k e A s A s k k k .从而可得这4支球队A 、B 、C 、D 的名次为{（A ，
B ），（D ，
C ）}
8.基于思想性、艺术性、娱乐性、票房等四项因素，拟用层次分析法在电影A 、电影B 、电影C 这三个方案中选一个，画出目标为“评选影片”的层次结构图.
9. ．写出数学建模过程的流程图
（10）开普勒第三定律可由万有引力定律得到.设行星运行的周期t 与其椭圆轨道长半轴l 、太阳与行星的质量m 、万有引力常数k 有关，试用量纲分析方法给出行星运行周期t 的表达式.（万有引力
定律公式为：22
1r
m m k f =）
解：设t ,l ,m ,k 的关系为(f t ,l ,m ,k )=0.其量纲表达式为100][T M L t =，
001][T M L l = ，0
10][T M L m =，
2][-=LMT k 2L 2-M =213--T M L ,其中L ，M ，T 是基本量纲.
量纲矩阵为
A= )
()()()()()
()(200111003010k m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--
齐次线性方程组Ay=0 ，即
⎪⎩⎪
⎨⎧==-=+0
2y - y 0 y y 0y 3y 41
4342
的基本解为)1,1,3,2(---=Y
由量纲i P 定理 得 1
1
3
2---=k m
l t π. ∴ k
m l t 3
λ
=，其中λ是无量纲常数.
10.雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运
动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.
解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.
其量纲表达式为
[v ]=LM 0T -1 [ρ]=L -3MT 0 [μ]=L -1MT -1 [γ]=LM 0T 0 [g ]=LM 0T -2
其中L ，M ，T 是基本量纲.
量纲矩阵为
A=)
()()()()
()()()(210010
11001
1311g v T M L μργ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----
齐次线性方程组Ay=0 即
⎪⎩
⎪
⎨
⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y
的基本解为
⎪⎩
⎪⎨⎧
---=--=)
21
,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21
y y
得到两个相互独立的无量纲量
⎩⎨⎧==-----2
/112/322
/12/11g g v μργ
πγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(1
2
1-=πϕπ
∴
)(12/12/3-=μργϕγυg g , 其中ϕ是未定函数.
11．某糕点厂生产两种糕点产品：精制糕点和普通糕点，已知每千克精制和普通糕点的原料（面粉、
生产精制糕点和普通糕点的产量，使厂商获得的利润最大.
解：为方便起见，设精制糕点和普通糕点的产量分别为10x 千克和10y 千克，糕点的利润为Z （千元），由题意得此问题的数学模型为：
y x Z 23max +=
s.t. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0
,01531222153y x y x y x y x
模型的求解：
用图解法.可行域为：由直线
,0153:1222:153:3:21===+=+=+y x y x l y x l y x l 及
组成的凸五边形区域.
直线C y x l =+23:在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l 过32l l 与的交点时，
Z 取最大值. 由⎩⎨
⎧=+=+15312
22y x y x 解得：23,29==y x ，5.162
3
2293max =⨯+⨯=Z （千元）.
故生产精制糕点和普通糕点分别为45千克和15千克，糕点的利润为16.5（千元）.
（11）一食品加工厂用牛奶生产21,A A 两种产品，1桶牛奶可以在甲设备上有12小时加工成3公斤1A ，或者在乙设备上有8小时加工成4公斤2A ，每公斤1A 获利24元，每公斤2A 获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480个小时，并且甲设备每天至多能加工100公斤1A ，而乙设备的加工能力没有限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大.
12．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2
(11k
k k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.
解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2
(
11k
k k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：
0,)2
(
0101 ααx x x y y k
k k -+-=-++ --------------------（1）
0,
)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）
由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3）
（1）代入（3），可得)2
(
0102x x x x x k
k k -+-=-++αβ
∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：
022
=++αβαβλλ
容易算出其特征根为
4
8)(22
,1αβ
αβαβλ-±-=
---------------（5） 当αβ≥8时，显然有
4
48)(22αβ
αβαβαβλ-
≤---= -----------（6） 从而
2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 2
2,1αβ
λ=
要使特征根均在单位圆内，即
2,1λ1 ，必须 2 αβ．
故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．
（12）. 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产
周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)3
1
32(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品
价格k y 的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.
解：已知需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)3
1
32(
11-++=k k k y y g x . 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：
0,)(00>--=-ααx x y y k k （1）
0,)3
1
32(0101>-+=--+ββy y y x x k k k （2）
从上述两式中消去k x 可得
,2,1,)1(323012=+=++++k y y y y k k k αβαβαβ， （3）
上式是我们所建立关于商品价格k y 的差分方程模型，且是二阶线性常系数差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的特征方程
0232
=++αβαβλλ
容易算出其特征根为
6
12)2(222
,1αβ
αβαβλ-±-=
---------------（4） 当αβ≥3时，显然有
3
33)(22αβ
αβαβαβλ-
≤---= -----------（5） 从而2λ ≥1，2λ在单位圆外．下面设3<αβ，由(5)式可以算出 3
2,1αβ
λ=
．要使特征根均在单位圆内，
即
2,1λ1 ，必须 3<αβ．
故0P 点稳定平衡条件为 3<αβ．
13．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(N
x
rx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .
（1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;
（2）．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,并求此时渔场鱼量水平*
0x . 解：（1）.)(t x 变化规律的数学模型为
h N
x
rx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即 02=+-h rx x N r ----（1）)4(42
N
h r r N rh r -=-=∆ ，
（1）的解为：2
412,1N
rN
h
N x -±=
① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点；
②当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为2
0N x =
. N
rx r N rx N x r x f 2)1()('-=--
= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dt dx
∴0x 不稳定；
③ 当0 ∆时，得到两个平衡点：
2411rN
h N N x --=
， 2412rN
h N N x -
+=
易知 21N x ， 2
2N
x ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f
∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.
（2）．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0
)(..max x f t s h
即 )1(max N x rx h -=， 易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2
*
0N x =这个平衡点不稳定.
要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x ,且尽量接近2N ,但不能等于2N
.
（13）试求Gompertz 模型：
()Ex x
N
rx dt t dx -=ln 的非零平衡点，并讨论其稳定性． (P178页 ) 其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型,又单位捕捞量为Ex h =.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持
续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*
0x (.x
N
rx t x
ln )(= ) 解：（1）)(t x 变化规律的数学模型为
Ex x
N
rx dt t dx -=ln )( 记Ex x N rx x f -=ln )( ，令0)(=x f ，即 Ex x
N
rx -ln ＝0
得到两个平衡点：（如图所示）
r
E Ne x -=0，01=x
可证0x 稳定，01=x 不稳定
（与E ，r 的大小无关）.
E r x
N
r x f --=ln
)(' 0)(0'<-=r x f ， x
∞=)(1'
x f e
N 0x N
（2）最大持续产量的数学模型为：max h ＝Ex s.t. 0,0ln
≠=-x Ex x
N
rx ∴ r
E
ENe h -= r
E r E e r
EN Ne dE dh ---=
由
0=dE dh ，得E r m = ，故最大持续产量e
rN
h m =
此时捕捞强度E r m =，渔场鱼量水平e
N x =*
0.
（记 Ex x
N rx x F -=ln
)( 令()0=x F ，得0ln =-Ex x N
rx
∴非零平衡点为r
E
Ne
x -=0． 又 ()E r x
N r x F --=ln
'，()00'
<-=r x F ． ∴ 平衡点o x 是稳定的.）
.
14. 考虑某地区传染病问题，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为单位.将人群分为健康人和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i ，又设每个病人每天有效接触
的平均人数是λ.试建立描述()t i 变化的数学模型，并作出
i dt
di
~图形.
一.摘要 在分析和研究了这种水泥凝固时放出的热量与这种水泥的四种化学成分有关，通过对所给的数据研究之后，提出了简单的多元线性回归模型，且在通过多种方法建立了回归模型，综合这几种方法建立的多元线性回归模型解决了我们面临的实际问题。模型求解和模型检验的结果表明，我们建立的模型是非常符合所求解的问题的，而且简单易懂，可操作性较高。 以下这个方程为上述模型的结果： 多元线性回归模型： y=62.4054+ 1.5511x1+ 0.5102x2+ 0.1019x3-0.1441x4 关键词：多元线性回归模型模型求解模型检验 二.问题重述 题目1：某种水泥在凝固时放出的热量y(卡/克)与水泥种的下列四种化学成分有关： X1: 3CAO.AL2O3的成分（%） X2: 3CAO.SiO2的成分（%） X1: 4CAO.AL2O3.Fe2O3的成分（%） X1: 2CAO.SiO2的成分（%） 请用四种方法为发热量建立回归方程。
三.模型假设 1. 水泥在凝固时放出热量为固定值，收集的数据准确无误 2. 假设x1，x2，x3,x4为自变量，y 为因变量 3. 假设y 与诸x 之间的线性关系可实际表示为 011223344y b b x b x b x b x e =+++++ 4. 0b 是实际回归常数，j b 是实际回归系数（j=1.2.3.4……）e 是回归余 四.问题分析与模型准备 1. 问题分析 回归分析法是一种处理变量间相关关系的数理统计方法，不仅可以提供变量间相关关系的数学表达式，而且可以利用概率统计知识对此关系进行分析，以判别其有效性；还可以利用关系式，由一个或多个变量值，预测和控制另一个因变量的取值，进一步可以知道这种预测和控制达到了何种程度，并进行因素分析。回归分析法就是以统计回归概念为基础，采用多种类型的回归法建立预测方程，包括一元线性、多元线性、非线性等。多元线性回归时要确定因变量与多个自变量之间的定量关系，它的数学模型为： 011223344i i i i i y b b x b x b x b x e =+++++ 其中，0b ，1b ，m b 为待定参数；i e 为随机变量，是除x 以外其他随机因素对y 影响的总和。其中，称 E( y) =b 0+b 1 x 1 + …+b m x m 为理论回归方程。 在实际问题的研究中，事先并不能断定随机变量y 与变量x 1，x 2，…，x m 之间是否有线性关系，在进行回归参数的估计前，用多元线性回归方程去拟合随机变量y 与变量x 1，x 2 ，…，x m 之间的关系，只是根据一些定性分析所作的一种假设。因此，当求出线性回归方程后，还需对回归方程进行显著性检验，一般采用两种统计方法对回归方程进行检验，一种是回归方程显著性的F 检验；另一种是回归系数显著性的t 检验。 2. 图一给出所要求的数据 考虑y 对这四个变量的线性回归，其实验数据如下表：
数学建模习题及答案 数学建模是一种将数学方法应用于实际问题求解的技能。通过数学建模，我们可以将现实世界中的问题转化为数学问题，并运用数学工具和计算机技术进行求解。在本文中，我们将讨论几个常见的数学建模习题及对应的答案。 1、人口增长模型 人口增长是现实生活中一个普遍的问题。该问题可以通过指数增长模型进行描述。假设初始人口数量为P0，年增长率为r，则t年后的人口数量可以表示为P0ert。例如，如果初始人口为1000人，年增长率为0.05，则10年后的人口数量为1000e0.0510约等于1628人。 2、投资回报模型 投资回报是金融领域中一个关键问题。该问题可以通过几何布朗运动模型进行描述。假设初始投资为S0，每日回报率为μ，标准差为σ，则t天后的投资回报可以表示为S0e^(μt + σWt)，其中Wt表示标准布朗运动。例如，如果初始投资为100元，每日回报率为0.01，标准差为0.05，则10天后的投资回报可以表示为100e^(0.01 × 10 + 0.05 × sqrt(10) × N(0,1))，其中N(0,1)表示标准正态分布的随机变量。 3、随机游走模型
随机游走是物理学中一个著名的问题。该问题可以通过随机过程进行描述。假设每次向上走或向下走的概率为p和q，则t步之后的位置可以表示为Xt = (Wt+1-Wt) ∑_{i=0}^{t-1} (-1)^i，其中Wt表示标准布朗运动。例如，如果初始位置为0，每次向上走和向下走的概率都为0.5，则5步之后的位置可以表示为X5 = (W6-W0) ∑_{i=0}^{4} (-1)^i。 4、传染病模型 传染病模型是公共卫生领域中一个重要的问题。该问题可以通过SIR 模型进行描述。假设总人数为N，其中易感者、感染者和康复者的人数分别为S、I和R，感染者的传染率为β，康复率为γ，则t时刻 的易感者、感染者和康复者的人数可以表示为S(t)、I(t)和R(t)。 例如，如果初始时刻易感者、感染者和康复者的人数分别为999、1 和0，传染率为0.2，康复率为0.1，则经过25天之后易感者、感染者和康复者的人数可以表示为S(25) ≈ 976.64、I(25) ≈ 22.36和R(25) ≈ 478.69。 这些数学建模习题是实际生活中经常遇到的问题。通过求解这些问题，我们可以加深对数学建模的理解和应用。这些问题的求解方法也可以帮助我们更好地解决类似的问题。 数学建模课后习题 数学建模课后习题：探索斐波那契数列的奥秘
高二数学数学建模练习题及答案 一、简答题 1. 什么是数学建模？ 数学建模是将现实问题抽象为数学模型，通过数学方法进行分析、求解并得出相应结论的过程。它将数学知识与实际问题相结合，帮助我们理解问题的本质，预测和优化相关情况。 2. 数学建模的步骤有哪些？ 数学建模通常包括以下步骤： （1）问题的理解和描述：明确问题的背景、目标和限制条件，并对问题进行适当的简化和抽象。 （2）建立数学模型：将问题转化为数学表达式，建立合适的数学模型。 （3）模型的求解：利用数学方法对模型进行求解，得到定量的结果或结论。 （4）模型的验证和分析：对模型的结果进行检验，分析结果的合理性和可靠性。 （5）结果的解释与应用：解释模型结果，为实际问题提供有效的解决方案，并给出具体的应用建议。 3. 数学建模的意义是什么？
数学建模在许多领域都具有重要意义： （1）在科学研究中，数学建模可以帮助解决实际问题，推动科学发展。 （2）在工程技术中，数学建模可以优化设计，提高效率和质量。 （3）在经济管理中，数学建模可以帮助决策者制定合理的策略和政策。 （4）在社会科学中，数学建模可以辅助分析社会问题，提供决策依据。 （5）数学建模还培养了学生的创新思维和解决问题的能力。 4. 数学建模过程中需要的数学知识有哪些？ 数学建模需要的数学知识包括但不限于： （1）数学分析：微分方程、积分、极限等。 （2）线性代数：矩阵运算、特征值与特征向量等。 （3）概率与统计：概率分布、统计推断等。 （4）最优化理论：线性规划、非线性规划等。 （5）图论与网络优化：最短路径、最小生成树等。 二、应用题 1. 盒子问题
高考数学数学建模练习题及答案 一、综合分析题 某城市2019年的二氧化硫（SO2）和氮氧化物（NOx）排放量分别为15.2万吨和20.8万吨。根据监测数据，该城市出现了严重的空气污染，为了改善空气质量，政府制定了下列措施： 1. 实施尾气治理方案，使汽车尾气排放的SO2和NOx总量每年减少10%。 2. 推广清洁能源车辆，使其占机动车保有量的比例增加4%。 3. 建设新的绿化景观，增加每年吸收的SO2和NOx总量3%。 根据以上措施，解答以下问题： 1. 计算2023年该城市汽车尾气排放的SO2和NOx总量。 2. 估计2023年该城市机动车保有量。 3. 计算新绿化景观每年吸收的SO2和NOx总量。 解答： 1. 计算2023年汽车尾气排放的SO2和NOx总量： 2019年汽车尾气排放的SO2总量：15.2万吨 2019年汽车尾气排放的NOx总量：20.8万吨
汽车尾气排放的SO2和NOx总量每年减少10%，即每年剩余原量的90%。 2023年汽车尾气排放的SO2总量：15.2万吨 * 0.9 = 13.68万吨 2023年汽车尾气排放的NOx总量：20.8万吨 * 0.9 = 18.72万吨因此，2023年该城市汽车尾气排放的SO2总量为13.68万吨，NOx总量为18.72万吨。 2. 估计2023年该城市机动车保有量： 假设2019年该城市机动车保有量为A辆。 推广清洁能源车辆，使其占机动车保有量的比例每年增加4%。 这可以表示为公式：A * (1 + 0.04)^4 = 1.04^4 * A 2023年该城市机动车保有量：1.04^4 * A 因此，估计2023年该城市机动车保有量为1.1699A辆。 3. 计算新绿化景观每年吸收的SO2和NOx总量： 新绿化景观每年吸收的SO2和NOx总量增加3%。 假设2019年新绿化景观每年吸收的SO2总量为B吨，NOx总量为C吨。 2023年新绿化景观每年吸收的SO2总量：B * (1 + 0.03)^4 2023年新绿化景观每年吸收的NOx总量：C * (1 + 0.03)^4
数学模型精选习题 数学模型是指应用数学和计算机科学的方法，针对实际问题进 行建模和求解，以便更好地理解和解决问题。数学模型的求解需 要运用多种数学知识和工具，例如微积分、统计学、线性代数等。 在学习数学模型中，练习习题是巩固知识和提高技能的关键。 以下是一些精选的数学模型习题，供大家参考。 1. 假设你是一家小餐馆的老板，你需要计算每个月的成本和利润。你的餐馆一共有10个员工，包括服务员、厨师和清洁工。每 个员工每个月获得的工资不同，你需要计算每个月的总工资。你 的餐馆还需要买菜、水、电等。根据历史数据，你已经了解到每 份菜肴的成本和销售价格。你需要计算每个月的总成本和总利润。 2. 在某个城市中，电动汽车和传统汽车交通相互竞争。你需要 建立一个数学模型来确定电动汽车在城市中的最佳数量。这个模 型应该考虑以下因素：每辆电动汽车所需的成本、每千瓦时的电费、每公里的运营成本、每公里的环保效益等。你需要根据历史 数据和市场需求来确定城市中最佳电动汽车数量。
3. 假设你是一家银行的金融分析师。你需要建立一个数学模型，以帮助你预测未来的股票价格和市场趋势。你需要考虑各种因素，如经济政策、行业竞争、公司业绩、国际贸易和政治风险等。你 需要通过建立一个模型，预测未来一段时间内不同公司的股票价格，以便为客户提供投资建议。 4. 在某个城市的房地产市场中，你需要建立一个数学模型来预 测未来一年的房价走势。你需要考虑各种因素，如人口增长、经 济发展、环境因素、市政设施等。你需要通过建立一个模型，预 测未来一年的城市房价上涨或下跌的概率，并为客户提供置业建议。 5. 在一个高速公路的监控系统中，你需要建立一个数学模型， 以帮助你预测未来的交通流量和高峰时段。你需要考虑各种因素，如天气、节假日、周日等。你需要通过建立一个模型，预测未来 一段时间内高速公路收费站的交通流量，以便做好道路管理和交 通管制。 总之，数学模型是一项非常有用的技能，可以帮助我们更好地 理解和解决实际问题。以上精选的数学模型习题，可以帮助我们 练习数学模型的建立和求解，提高我们的技能和能力。
培养小学生数学思维的数学建模练习题 数学建模是培养小学生数学思维的重要途径之一。通过数学建模练 习题，可以帮助学生将数学知识应用于实际问题的解决，培养他们的 抽象思维、创造力和解决问题的能力。下面我们来看几个具体的数学 建模练习题，通过解答这些题目，小学生们可以锻炼自己的数学思维。 1. 游乐场购票问题 假设某游乐场的门票价格为30元/人，该游乐场当天共接待了300人，总收入为多少？ 解答思路： 我们可以使用简单的乘法运算来解答这个问题。首先，我们知道门 票价格是30元/人，而接待人数为300人，所以我们可以通过30元/人 × 300人来计算总收入。计算结果为9000元。 2. 水果篮子问题 小明家有一个装满水果的篮子，篮子里有5个苹果、3个橙子和2 个香蕉。小明从篮子里随机取出一个水果，那么他取到橙子的概率是 多少？ 解答思路： 首先，我们需要计算篮子里总共有多少个水果，这个数量为5个苹 果+3个橙子+2个香蕉=10个水果。然后，我们知道小明取到橙子的可
能性，就是篮子里橙子的个数除以总水果的个数，即3个橙子/10个水果=0.3。 3. 炒菜比例问题 小明妈妈在炒菜的时候，需要将肉丝和蔬菜的比例控制在1:3。如果小明妈妈用了200克的肉丝，那么她需要用多少克的蔬菜？ 解答思路： 我们可以通过比例的运算来解答这个问题。已知肉丝和蔬菜的比例是1:3，所以我们可以建立一个等式：肉丝/蔬菜 = 1/3。已知肉丝为200克，我们可以将这个等式变形为：200克/蔬菜 = 1/3。通过交叉乘法，我们可以得到蔬菜 = (200克 × 3)/1 = 600克。 通过以上三个例子，我们可以看出数学建模练习题的重要性。这些题目不仅考察了学生对数学知识的掌握，更加注重他们的思维能力和解决问题的能力。培养小学生的数学思维需要多样化的练习，而数学建模练习题则提供了一个创造性的学习环境，让学生在实践中学习和探索。 总结起来，通过数学建模练习题的训练，可以帮助小学生提高他们的数学思维能力，并将所学的数学知识与实际问题相结合。这种综合运用的方式可以培养学生的创造力和解决问题的能力，让他们对数学有更深入的理解和应用。因此，在未来的教学中，我们应该重视数学建模练习题的使用，为学生提供更多机会去运用数学知识解决实际问题，激发他们的学习兴趣和数学思维。
小学生数学习题练习巩固对数学中的模型理 论的理解 数学是一门抽象的学科，为了帮助小学生更好地理解数学概念和理论，教师们通常会运用具体的模型来辅助教学。通过数学习题的练习，小学生可以加深对数学中的模型理论的理解。本文将介绍一些常见的 小学数学习题，并通过解题过程帮助小学生巩固对数学中的模型理论 的理解。 一、加法模型 加法是小学数学中的基础运算之一。在应用加法时，我们可以通过 模型来描绘问题，并通过求解来得出答案。 例子1：小明有3个苹果，小红有2个苹果，请问他们手里一共有 多少个苹果？ 解析：这个问题可以用加法模型来解决。我们可以将小明的苹果用 一组苹果图形表示，其中有3个苹果，同样地，我们用另一组苹果图 形来表示小红的苹果，其中有2个苹果。将这两组苹果图形相加，就 能得到答案： 3 + 2 = 5。所以，小明和小红手里一共有5个苹果。 例子2：班级里有10个男生，8个女生，求男生和女生人数的总和。 解析：这个问题同样可以使用加法模型来解决。我们将男生用棍子 图形表示，其中有10个。同样地，我们用另一组棍子图形来表示女生，其中有8个。将这两组棍子图形相加，就能得到答案：10 + 8 = 18。所以，班级里男生和女生的人数总和是18人。
通过这些加法模型的练习，小学生们能够更好地理解加法运算的概 念和应用。 二、减法模型 除了加法，减法也是小学数学中需要掌握的运算之一。我们同样可 以使用减法模型来解决问题。 例子1：班级里有15个学生，其中9个学生是男生，请问女生的人 数是多少？ 解析：这个问题可以用减法模型来解决。我们将班级里的学生用一 组棍子图形表示，其中有15个学生。然后，我们用另一组棍子图形来 表示男生，其中有9个。通过进行减法运算，我们可以得到答案：15 - 9 = 6。所以，班级里女生的人数是6人。 例子2：小明有8个糖果，他吃掉了3个，请问他还剩下几个糖果？ 解析：这个问题同样可以使用减法模型来解决。我们可以将小明的 糖果用一组糖果图形表示，其中有8个糖果。通过进行减法运算，我 们可以得到答案：8 - 3 = 5。所以，小明还剩下5个糖果。 通过这些减法模型的练习，小学生们能够更好地理解减法运算的概 念和应用。 三、乘法模型 接下来，我们来介绍乘法模型。乘法是小学数学中的重要运算，乘 法模型可以帮助小学生更好地理解乘法的概念。
初中数学数学模型应用练习题及参考答案 1. 题目：小明每天骑自行车上学，上一次维修后他发现，每骑行1 公里需要250个脚蹬。如果小明骑行8公里，脚蹬的总脚程是多少个？ 答案：小明骑行8公里，脚蹬的总脚程为8公里 × 250个脚蹬 = 2000个脚蹬。 2. 题目：甲、乙两个人合作修建一座墙，甲每小时砌砖75块，乙 每小时砌砖60块。如果他们合作8小时，共砌砖多少块？ 答案：甲每小时砌砖75块，乙每小时砌砖60块，所以他们每小时 共砌砖75块 + 60块 = 135块。他们合作8小时，共砌砖135块 × 8小 时 = 1080块。 3. 题目：若一个数的2/5等于20，那么这个数是多少？ 答案：设这个数为x，则有：2/5x = 20。通过交叉相乘得到：2x = 20 × 5。计算得到：2x = 100，所以x = 100 ÷ 2 = 50。所以这个数是50。 4. 题目：某图书店打折促销，原价100元的书现以8折出售，打完 折的价格是多少？ 答案：原价100元的书以8折出售，打完折的价格为100元 × 0.8 = 80元。 5. 题目：一只长方体纸箱的长度是宽度的3倍，而宽度是高度的2倍，已知纸箱的总体积为240立方厘米，求纸箱的长、宽、高分别是 多少？
答案：设纸箱的高度为h，则宽度为2h，长度为3 × 2h = 6h。根据 体积的计算公式，可得到方程：h × 2h × 6h = 240。化简得到：12h^3 = 240。两边同时除以12得到：h^3 = 20。求解方程，可得到h ≈ 2.714。 所以纸箱的长约为6 × 2.714 ≈ 16.286厘米，宽约为2 × 2.714 ≈ 5.428厘米，高约为2.714厘米。 6. 题目：某班级有50名学生，男生和女生的比例为3:2。求男生和 女生的人数各是多少？ 答案：男生和女生的比例为3:2，所以男生数与女生数可表示为3x 和2x，总学生数为50人，所以有3x + 2x = 50。解方程得到5x = 50， 所以x = 50 ÷ 5 = 10。男生数为3x = 3 × 10 = 30人，女生数为2x = 2 ×10 = 20人。 7. 题目：从甲地到乙地的距离为90千米，A、B两辆车同时相向而行，A车每小时比B车快10千米，若相向行驶6个小时后两车相遇， 则A车和B车的速度分别是多少？ 答案：设B车的速度为x千米/小时，则A车的速度为(x + 10)千米/ 小时。根据速度与时间的关系，可得到距离等于速度乘以时间的方程：(x + x + 10) × 6 = 90。化简得到：12x + 60 = 90。解方程得到x = 30 - 5 = 25。所以A车的速度为25 + 10 = 35千米/小时，B车的速度为25千 米/小时。 8. 题目：某商品原价120元，商家对其进行了5%的降价出售，打 完折后的价格是多少？
数学模型练习题 数学模型是现实问题的抽象表示，通过运用数学方法对问题进行建模、求解和分析，从而得出合理的结论和解决方案。为了帮助大家更 好地理解和应用数学模型，下面将给出几个实际问题，供大家练习建 立数学模型的能力。 题目一：物体自由落体模型 问题描述：一个物体从静止状态开始自由落体，经过5秒后与地面 接触，求物体的下落距离。 解题思路：根据自由落体的运动规律，可以建立如下的数学模型。 设物体下落距离为d（单位：米），下落时间为t（单位：秒），则可 以得到如下的关系式： d = 0.5 * g * t^2（式一） 其中g为重力加速度，等于9.8米/秒^2。代入t=5秒，就可以得到 物体的下落距离d。 题目二：人口增长模型 问题描述：某地区人口数量在2000年时为100万人，经过20年后 增长到150万人，求该地区的年均人口增长率。 解题思路：通过建立数学模型，可以计算出该地区的年均人口增长率。设年均人口增长率为r（单位：%），增长时间为t（单位：年），则可以得到如下的关系式：
(150 - 100) / 100 = r * t（式二） 根据式二，可以解得r的值，代表年均人口增长率。 题目三：传染病传播模型 问题描述：某传染病在某城市传播，已知每天感染人数的增长率为5%，每天治愈人数的增长率为2%，求在某天时感染人数与治愈人数 的差值。 解题思路：利用数学模型，可以计算出感染人数与治愈人数的差值。设感染人数为x，治愈人数为y，传播时间为t（单位：天），则可以 得到如下的关系式： x - y = (0.05x - 0.02y) * t（式三） 通过求解式三，可以得到在某天时感染人数与治愈人数的差值。 题目四：金融投资模型 问题描述：某人在银行存款年利率为3%的情况下，计划将10000 元本金存入银行，经过10年后将本金和利息一同取出，请计算最后能 取出的总金额。 解题思路：通过建立数学模型，可以计算出最后能取出的总金额。 设最后能取出的总金额为A（单位：元），本金为P（单位：元），存款年利率为r（单位：%），存款时间为t（单位：年），则可以得到 如下的关系式： A = P * (1 + r/100)^t（式四）
人教版六年级数学上册教材中的数学模型建 立训练 数学在我们的生活中扮演着重要的角色，它帮助我们解决问题、分 析数据和做出决策。数学模型是数学的应用之一，它允许我们使用数 学的方法来描述和解决实际问题。在人教版六年级数学上册教材中， 我们将学习和训练如何建立数学模型来解决问题。 一、了解数学模型 首先，让我们先来了解一下什么是数学模型。数学模型是用数学符 号和公式来描述现实世界中的问题或现象的工具。通过建立数学模型，我们可以把复杂的问题简化为数学上可以解决的形式。它允许我们利 用已知的数学理论和方法，来预测未知的结果或解决实际问题。 二、建立数学模型的步骤 在人教版六年级数学上册教材中，我们学习到了建立数学模型的一 般步骤。下面我将为大家简单介绍一下。 1. 理解问题：第一步是确切地理解问题。我们需要明确问题的背景、条件和目标。只有充分理解问题，才能准确地建立数学模型。 2. 确定变量：第二步是确定问题中的关键变量。变量是我们用来表 示和解决问题的数学符号。通过仔细观察和思考，我们可以找出问题 中的重要变量，并为它们选择合适的符号。
3. 建立关系：第三步是建立变量之间的关系。通过观察问题中的条件和要求，我们可以找到变量之间的数学关系。这可以是简单的相等关系，也可以是复杂的函数关系。 4. 制定方程：第四步是根据建立的关系，写出数学方程。方程是数学模型的核心，它们用来描述问题中的数学关系和约束条件。 5. 解决方程：第五步是解决方程。我们可以使用数学方法和技巧来求解方程，从而得到我们需要的数值结果。 6. 检验模型：最后一步是检验模型。我们需要将得到的数值结果与实际情况进行比较，验证模型的准确性和可行性。如果模型不符合实际情况，我们需要对模型进行修改和改进。 三、数学模型在实际中的应用 人教版六年级数学上册教材中的数学模型练习案例丰富多样，涵盖了各个领域的应用。比如，在“城市规划”这个章节中，我们可以学习如何通过数学模型来规划城市的交通网和基础设施布局，以满足人们出行和生活的需求。 在“商场促销”这个章节中，我们可以学习如何通过数学模型来分析销售数据和消费者行为，从而制定更有效的促销策略，提高销售量和收益。 在“物流运输”这个章节中，我们可以学习如何通过数学模型来优化物流运输路线和配送计划，以降低成本和提高效率。
数学建模练习题 在现实世界中，数学建模是一种重要的方法，用于解决各种实际问题。它涉及到数学的应用和计算机模拟，能够帮助我们理解问题的本质，并提供解决方案。本文将通过几个数学建模练习题来展示数学建 模的过程和应用。 1. 飞机加油问题 假设有一架飞机需要从城市A飞往城市B，两个城市之间距离为D。飞机能够在没有加油的情况下飞行的最大距离为C。现在问题是，如 果在途中没有燃料补给的情况下，飞机能否成功到达城市B？ 解决这个问题的关键是确定飞机所需燃料的量。我们可以将这个问 题转化为一个线性规划问题，使用数学模型进行求解。首先，我们定 义一个变量x，表示从城市A到城市B的过程中，飞机在每个加油站 加油的次数。然后，我们需要确定一个目标函数和一组约束条件。 目标函数: 最小化加油次数x 约束条件: 1) 飞机的剩余燃料不能低于零 2) 飞机在每个加油站加油的燃料不能超过C 通过对目标函数和约束条件的建模，我们可以使用线性规划方法求 解出最小加油次数x。如果x的解存在且为整数，那么飞机能够成功到 达城市B。
2. 电网规划问题 假设某地区需要建设一个电力供应系统，满足不同城市的电力需求。每个城市的电力需求不同，而且城市之间的距离也不同。现在问题是，如何规划电力输送网络，以使得总成本最小？ 解决这个问题的关键在于确定电力输送网络的布局和容量。我们可 以将问题转化为一个最小生成树问题，并使用算法求解。 首先，我们需要建立一个图模型，其中每个城市表示一个节点，城 市之间的距离表示边的权重。然后，通过应用最小生成树算法，我们 可以找到一个具有最小总成本的电力输送网络。 最小生成树算法的基本思想是从图的一个节点开始，逐步扩展，直 到覆盖所有的节点，并使得总成本最小。经过算法求解后，我们可以 得到满足电力需求的电力输送网络布局。 3. 交通流量优化问题 在城市交通管理中，如何合理安排交通流量，以减少拥堵和提高通 行效率是一个重要问题。假设有一幅城市路网，每条道路的容量和流 量需求都不同。现在问题是，如何调整道路的流量分配，以使交通拥 堵最小？ 解决这个问题的关键是确定每条道路上的车辆流量。我们可以建立 一个数学模型来描述交通流量分配的优化问题。首先，我们需要定义 一个目标函数和一组约束条件。 目标函数: 最小化交通拥堵
小学数学建模练习题 在小学数学教学中，数学建模是一种培养学生综合应用数学解决实 际问题的能力的有效方法。通过数学建模，学生可以运用所学的数学 知识和技能，将数学运用到生活实际中，培养他们的创新思维和问题 解决能力。为了提高学生的数学建模能力，以下是一些小学数学建模 练习题，供大家练习和思考。 题目一：小明放风筝 小明想放风筝，他站在一个长方形草坪的一角，正北方向有一面墙，南边是一条宽为10米的小溪，他希望风筝飞向墙上方，但是又不希望 风筝落入小溪中。现在假设整个草坪的长和宽分别是100米和50米， 请问小明站在哪个位置放风筝比较好呢？ 题目二：水果销售 某水果店的负责人想要通过一些促销活动提高水果的销量。经过分析，他发现在夏季，顾客特别喜欢购买西瓜和橙子。为了促进销售， 他决定对这两种水果进行优惠。西瓜的售价为每斤2元，而橙子的售 价为每斤1元。他希望考虑到顾客的购买力和需求情况，从而设置一 个合理的促销策略，使得总销售额最大化。请帮助他确定西瓜和橙子 的最佳促销比例。 题目三：花坛设计 小学的花坛设计已经老旧不堪，学校决定对花坛进行翻新。花坛的 形状为一个等腰梯形，底边长为4米，上底边长为2米，高为3米。学
校希望设计一个新的花坛，使得花坛内尽可能多地摆放花朵。已知每平方米花坛能够容纳8朵花，请计算这个新花坛最多可以摆放多少朵花。 题目四：学校跑步比赛 学校要举办一场跑步比赛，共有4个年级的学生参加，每个年级的学生人数分别为100人、150人、120人和80人，比赛规则是每个年级选择3名参赛选手代表该年级参加比赛。为了公平起见，学校希望每个年级参加比赛的总成绩最好的选手之和尽可能接近。请帮助学校确定每个年级的3名代表选手。 题目五：果园采摘 小明去果园采摘水果，他发现果园里有苹果、橘子和桃子，他看到的苹果数是橘子数的2倍，橘子数又是桃子数的3倍。小明准备采摘苹果和橘子，但是由于时间有限，他只能采摘400个水果，请问他应该采摘多少个苹果和多少个橘子才能使得采摘的水果总重量最大？ 以上是五道小学数学建模练习题，通过这些练习题，学生可以锻炼他们的数学思维和解决问题的能力。希望大家能够认真思考，并动手实践，提升自己的数学建模能力。数学建模的学习不仅能够提高学生的数学水平，还能够培养他们的逻辑思维和创新能力，在今后的学习和工作中都能起到积极的作用。加油！
小学数学五大模型练习题 在小学数学教学中，五大模型是教师经常使用的一种教学方法。它 包括了常见的五种问题解决模型，即归纳模型、演绎模型、类比模型、建模模型和解决问题的启发模型。通过学习和练习这些模型，学生可 以提高对数学问题的分析和解决能力。本文将针对小学数学五大模型 进行一系列练习题的介绍和解析。 一、归纳模型 归纳模型强调观察事物，找出其中的规律，由此推广到更一般的情况。下面是一道归纳模型的练习题： 练习题1：阿明用2元钱买了4个苹果，那么他用8元钱可以买几 个苹果？ 解析：观察题目中的数据，可以发现钱和苹果的数量存在一定的倍 数关系。根据归纳模型的思路，我们可以得出苹果数量是钱数的2倍 的规律。因此，阿明用8元钱可以买8个苹果。 二、演绎模型 演绎模型强调从已知条件出发，进行推理和演绎，得出问题的结论。下面是一道演绎模型的练习题： 练习题2：有一个数，它是3的倍数，它加上4得到的和还是3的 倍数，那么这个数是多少？
解析：根据演绎模型的思路，我们从已知条件出发进行推理。设这 个数为x，根据题目条件，得到以下两个等式： 1）x是3的倍数：x = 3n （n为自然数） 2）x加上4得到的和是3的倍数：(x + 4) = 3m （m为自然数） 将第一个等式代入第二个等式，得到 3n + 4 = 3m。整理等式，得到 3n + 1 = 3m。由于3n是3的倍数，所以3n + 1不可能是3的倍数。因此，不存在满足条件的数。 三、类比模型 类比模型强调将问题与已经熟悉的情境进行类比，找到相似之处， 利用已有的知识解决问题。下面是一道类比模型的练习题：练习题3：班级里有30个男生和18个女生，请问男生人数是女生 人数的几倍？ 解析：根据类比模型的思路，我们可以用一个已知的情境进行类比：小明抓了30只蚂蚁和18只蜘蛛，请问蚂蚁的数量是蜘蛛数量的几倍？ 从直观上来看，蚂蚁和蜘蛛数量的比例应该与男生和女生的比例相同。因此，男生人数是女生人数的 $\frac{30}{18}$ 倍。 四、建模模型 建模模型强调将实际问题抽象为数学模型，通过数学计算解决问题。下面是一道建模模型的练习题：
几何的七大模型练习题 1、图17是一个正方形地板砖示意图，在大正方形ABCD中 AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=DD2，中间小正方形EFGH的面积是16平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米? 分析与解连AC和BD两条大正方形的对角线，它们相交于O，然后将三角形AOB放在DPC处(如图18和图19)。 已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米，所以小正方形EFGH 的边长是4厘米。 又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是72÷2=36平方厘米，即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长就是6厘米。由此得出，正方形OCPD的边长是4+6=10厘米，当然正方形OCPD 的面积就是102，即100平方厘米。而正方形OCPD的面积恰好是正方形ABCD的面积的一半，因此正方形ABCD的面积是200平方厘米。 答：正方形ABCD的面积是200平方厘米。 2、图21是一个圆形钟面，圆周被平均分成了12等份。已知圆形的半径是6厘米，那么图中阴影的面积是多少平方厘米? 分析与解题中告诉我们：圆周被平均分成了12等份，因此连接OE， 答：阴影的面积是18.84平方厘米。 3、为了美化校园，东升小学用鲜花围成了两个圆形花坛。小圆
形花坛的面积是3.14平方米，大圆形花坛的半径是小圆形花坛半径 的2倍。大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大多少平方米? 分析与解我们知道圆的面积与半径的平方成正比。题中告诉我们，大圆的半径是小圆半径的2倍，那么大圆面积是小圆面积的22倍。 大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大 3.14×(22-1) =3.14×3 =9.42(平方米) 答：大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大9.42平方米。 3、有两个长方形，甲长方形的长是98769厘米，宽是98765厘米;乙长方形的长是98768厘米，宽是98766厘米。这两个长方形的 面积哪个大? 分析与解利用长方形面积公式，直接计算出面积的大小，再进行比较，这是可行的，但是计算太复杂了。 可以利用乘法分配律，将算式变形，再去比较两个长方形的面积大小，这就简便多了。 甲长方形的面积是： 98769×98765 =98768×98765+98765 乙长方形的面积是 98768×98766 =98768×98765+98768
几何模型 例1、长方形的长是8厘米，宽是6厘米，三角形AOB的面积为16平方厘米，求三角形DOC 的面积 DA=10-2=8 BD=6 10×6÷2=30 练习1、如图，正方形边长为10厘米，AB和正方形底边垂直，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 10×10÷2=50（cm²） 例题2、如图所示，正方形ABCD的边长为10厘米，BO长8厘米，BO垂直于AE，求AE的长。 连接BE 正方形面积：10×10=100（cm²） 三角形ABE面积：100÷2=50（cm²） AE：50×2÷8=12.5（cm） 练习2、如图所示，正方形ABCD的边长为12厘米，DE＝16厘米，AF垂直于DE，则AF的长度是多少？
连接AE 三角形AED的面积 12×12÷2=72（cm²） AF：72×2÷16=9（cm） 例题3、如图，四边形ABCD、ACEF都是平行四边形，已知AD＝12厘米，AD上的高为8厘米，求阴影部分面积。 △ABC面积：12×8÷2=48（cm²） 阴影部分面积=△ABC面积=48（cm²） 例题4、如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG＝3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？ 连接AG 正方形面积：4×4=16（cm²） △AGD面积=正方形面积一半=长方形面积一半 长方形面积=16（cm²） DE：16×2÷5=3.2（cm） 练习4、如图，正方形ABCD的边长是6厘米，求长方形EDGF的面积是多少平方厘米？
连接AG 正方形面积：6×6=36（cm²） △AGD面积=正方形面积一半=长方形面积一半 长方形面积=36（cm²） 例题5、如图，ABCD是一个长方形，DEFG是一个平行四边形，E点在BC边上，FG过A点，已知三角形AKF与三角形ADG面积只和等于5平方厘米。DC＝CE＝3厘米，求三角形BEK 的面积。 连接AE △ADE=长方形ABCD面积的一半=平行四边形DEFG面积的一半 △AEF的面积+△ADG的面积=△ABE的面积+△CDE的面积 △AEK是公共部分 所以△AKF的面积+△ADG的面积=△BEK的面积+△CDE的面积 △AKF的面积+△ADG的面积=5cm² △CDE的面积：3×3÷2=4.5（cm²） △BEK的面积：5-4.5=0.5（cm²） 练习5、如图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分面积为？ 一半模型： 3×4÷2=6（cm²）
数学建模习题 1．木材采购问题 一个木材贮运公司，有很大的仓库，用于贮运出售木材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分贮存起来以后出售。已知:该公司仓库的最大贮藏量为20万立方米，贮藏费用为（a+bu）元/万立方米，其中：a=70,b=100,u为贮存时间（季度数）。已知每季度的买进、卖出价及预计的销售量为: 2．飞机投放炸弹问题 某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。为完成此项任务的汽油耗量限制为48000公升，重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。飞机携带重型炸弹时每公升汽油可飞行2 公里，带轻型炸弹时每公汽油可飞行3公里。又知每架飞机一次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每公升汽油飞行4公里）外。起飞和降落每次各消耗100公升。有关数据如下表所示： 为了使摧毁敌方军事目标的可能性最大，应如何确定飞机轰炸的方案。
3．三级火箭发射问题 建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。 （1）设卫星绕地球作匀速圆周运动，证明其速度为v= R^gr;, R为地球半径,r为卫星与地心距离，g为地球表面重力加速度。要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速v应为多少。（2）设火箭飞行中速度为v（t）,质量为m（t）,初速为零，初始质量m， 火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u，忽视重力和阻力对火箭的影响。用动量 守恒原理证明v（t）= u in j。由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措m（t） 施。 （3）火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）m；燃料m；结构（外壳、燃料仓等）m，其中m 在m + m中的比例记作九P一般九不小于10%。证明若m p =0（即火箭不带卫星），则燃料用 完时火箭达到的最大速度为v =-u in九. 已知，目前的u=3km/s，取九=10%，求v。这个结果说明什么。 （4）假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结构质量与燃 料质量以和1-的比例同时减少，用动量守恒原理证明v（t）=（1-九）u in %。 m（t） 问燃料用完时火箭末速为多少，与前面的结果有何不同。 （5）（4）是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的办法一段段地丢 弃无用的机构部分。记m为第i级火箭质量（燃料和结构）,九m为结构质量（入 ii 对各级是一样的I有效载荷仍用m，表示，当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构，同时第2级点火。再设燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，比 例系数为k。证明3级火箭的末速V =3uln 1±1。计算要使丫=10.5km/s，发3九k +1 3 射1吨重的卫星需要多重的火箭（u，九用以前的数据）。若用2级或4级火箭， 结果如何。由此得出使用3级火箭发射卫星的道理。 4．评选优秀班集体 用AHP建立评选优秀班集体的数学模型（以四个班为例进行评价） 5．梯子长度问题 一栋楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽a=2米，高b=3米，温室正上方是楼房的窗台。清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园
第一部分课后习题 1.学校共1000名学生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍;学生们要组 织一个10人的委员会,试用下列办法分配各宿舍的委员数： 1按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; 22.1节中的Q值方法; 将所得商数从大到小取前10个10为席位数,在数字下标以横线,表中A,B,C行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配的席位;你能解释这种方法的道理吗; 如果委员会从10人增至15人,用以上3种方法再分配名额;将3种方法两次分配的结果列表比较; 4你能提出其他的方法吗;用你的方法分配上面的名额; 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗;比如洁银牙膏50g装 的每支1.50元,120g装的3.00元,二者单位重量的价格比是1.2：1;试用比例方法构造模型解释这个现象; 1分析商品价格C与商品重量w的关系;价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定,这些成本中有的与重量w成正比,有的与表面积成正比,还有与w无关的因素; 2给出单位重量价格c与w的关系,画出它的简图,说明w越大c越小,但是随着w的增加c 减少的程度变小;解释实际意义是什么; 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生,打算按照放生的鱼的重量给予奖励,俱乐部只 准备了一把软尺用于测量,请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法;假定鱼池中只有一种鲈鱼,并且得到8条鱼的如下数据胸围指鱼身的最大周长： 先用机理分析建立模型,再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道,要求布条不重叠,问布条与管道轴线的夹角 应多 大如图;若知道管道长度,需用多长布条可考虑两端的影响;如果管道是其他形状呢;