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数学重点、难点归纳辅导
第一部分
第一章集合与映射
§1.集合
§2.映射与函数
本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。
第二章数列极限
§1.实数系的连续性
§2.数列极限
§3.无穷大量
§4.收敛准则
本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。
第三章函数极限与连续函数
§1.函数极限
§2.连续函数
§3.无穷小量与无穷大量的阶
§4.闭区间上的连续函数
本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。
第四章微分
§1.微分和导数
§2.导数的意义和性质
§3.导数四则运算和反函数求导法则
§4.复合函数求导法则及其应用
§5.高阶导数和高阶微分
本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。
第五章微分中值定理及其应用
§1.微分中值定理
§2.L＇Hospital法则
§3.插值多项式和Taylor公式
§4.函数的Taylor公式及其应用
§5.应用举例
§6.函数方程的近似求解
本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。
第六章不定积分
§1.不定积分的概念和运算法则
§2.换元积分法和分部积分法
§3.有理函数的不定积分及其应用
本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。
第七章定积分（§1 —§3）
§1.定积分的概念和可积条件
§2.定积分的基本性质
§3.微积分基本定理
第七章定积分（§4 —§6）
§4.定积分在几何中的应用
§5.微积分实际应用举例
§6.定积分的数值计算
本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。
第八章反常积分
§1.反常积分的概念和计算
§2.反常积分的收敛判别法
本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。
第九章数项级数
§1.数项级数的收敛性
§2.上级限与下极限
§3.正项级数
§4.任意项级数
§5.无穷乘积
本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。
第十章函数项级数
§1.函数项级数的一致收敛性
§2.一致收敛级数的判别与性质
§3.幂级数
§4.函数的幂级数展开
§5.用多项式逼近连续函数
本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。
第十一章 Euclid空间上的极限和连续
§1.Euclid空间上的基本定理
§2.多元连续函数
§3.连续函数的性质
本章教学要求：了解Euclid空间的拓扑性质，掌握多元函数的极限与连续性的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，掌握紧集上连续函数的性质。
第十二章多元函数的微分学（§1—§5）
§1.偏导数与全微分
§2. 多元复合函数的求导法则
§3.Taylor公式
§4.隐函数
§5.偏导数在几何中的应用
第十二章多元函数的微分学（§6—§7）
§6.无条件极值
§7.条件极值问题与Lagrange乘数法
本章教学要求：掌握多元函数的偏导数与微分的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，熟练掌握多元函数与隐函数的求导方法，掌握偏导数在几何上的应用，掌握求多元函数无条件极值与条件极值的方法。
第十三章重积分
§1.有界闭区域上的重积分
§2.重积分的性质与计算
§3.重积分的变量代换
§4.反常重积分
§5.微分形式
本章教学要求：理解重积分的概念，掌握重积分与反常重积分的计算方法，会熟练应用变量代换法计算重积分，了解微分形式的引入在重积分变量代换的表示公式上的应用。
第十四章曲线积分与曲面积分
§1.第一类曲线积分与第一类曲面积分
§2.第二类曲线积分与第二类曲面积分
§3.Green公式，Gauss公式和Stokes公式
§4.微分形式的外微分
§5.场论初步
本章教学要求：掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法，掌握Green 公式，Gauss 公式和Stokes 公式的意义与应用，理解外微分的引入在给出Green 公式，Gauss 公式和Stokes 公式统一形式上的意义，对场论知识有一个初步的了解。
第十五章 含参变量积分 §1.含参变量的常义积分 §2.含参变量的反常积分
§3.Euler 积分
本章教学要求：掌握含参变量常义积分的性质与计算，掌握含参变量反常积分一致收敛的概念，一致收敛的判别法，一致收敛反常积分的性质及其在积分计算中的应用，掌握Euler 积分的计算。
第十六章 Fourier 级数 §1.函数的Fourier 级数展开 §2. Fourier 级数的收敛判别法 §3. Fourier 级数的性质
§4. Fourier 变换和Fourier 积分 §5.快速Fourier 变换
本章教学要求：掌握周期函数的Fourier 级数展开方法，掌握Fourier 级数的收敛判别法与Fourier 级数的性质，对Fourier 变换与Fourier 积分有一个初步的了解。
试题
一、解答下列各题
1、求极限 lim
tan tan sin ln()
.
x x x →--22
1
2、
.
d )1(3x
e e x x ?+求
3、求极限．lim ...x x x x x x →∞+++++100101
010*********
4、
．
，求设y tdt x
y x
'=?
30
22
sin
5、设，；
，求，其中．f x x x x x x x f a f a a ()()()=-+≤->?????++->2
2
1121110
6、求极限．
－lim ln x x x
→-121
7、设 ，求y x x y =++''()ln()3131
8、
．
求dx x
x ?
-2
1
2
31
9、
设 ，求．y x x e dy x
x ()=-=321
10、 求由方程常数确定的隐函数
的微分．
x
y a a y y x dy 2
3
23
2
30+=>=()()
11、
设由和所确定试求
．y y x x s y s dy dx
==+=-()()(),1121
221
2
12、设由方程所确定求y y x y e
y x y x
=='+(),
13、若证明x x x x >++>0122
2
,ln() 14、．
求?
+16
1 4x x dx
15、
．求?
-2
1
2
4x x dx
16、
.
)1)(1(d 2?
++x x x
求
二、解答下列各题
1、?,,20,问其高应为多少要使其体积最大其母线长要做一个圆锥形漏斗cm
2、
求曲线与所围成的平面图形的面积y x y x =-=22
. 3、
[]求曲线和在上所围成的平面图形的面积y x y x ==2301,. 三、解答下列各题 证明方程在区间，内至少有一个实根．x x 57412-=()
四、解答下列各题
[
)判定曲线在，上的凹凸性y x x =++∞()30
第二部分
（1） 课程名称：微分几何
（2） 基本内容：三维空间中经典的曲线和曲面的理论。主要内容有：
曲线论，内容包括：曲线的切向量与弧长；主法向量与从法向量；曲率与扰率；Frenet 标架与Frenet 公式；曲线的局部结构；曲线论的基本定理；平面曲线的一些整体性质，
如切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauchy-Crofton公式；空间曲线的一些整体性质，如球面的Crofton公式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。
曲面的局部理论，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基本形式；曲面上的活动标架与基本公式；Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部结构；Gauss映照与第三基本形式；全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的平行移动。
基本要求：通过本课程的学习，学生应掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与研究微分几何的一些常用方法。以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。
二、讲授纲要
第一章三维欧氏空间的曲线论
§1 曲线曲线的切向量弧长
教学要求：理解曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧长参数表示曲线。
§2 主法向量与从法向量曲率与扰率
教学要求：理解曲率与挠率、主法向量与从法向量、密切平面与从切平面等基本概念，会计算曲率与挠率。
§3 Frenet标架Frenet公式
教学要求：掌握Frenet公式，能运用Frenet公式去解决实际问题。
§4 曲线在一点邻近的性质
教学要求：能表达曲线在一点领域内的局部规范形式，理解扰率符号的集合意义。
§5 曲线论基本定理
教学要求：掌握曲线论的基本定理，能求已知曲率与扰率的一些简单的曲线。
§6 平面曲线的一些整体性质
6．1 关于闭曲线的一些概念
6．2 切线的旋转指标定理
6．3 凸曲线*
6．4 等周不等式*
6．5 四顶点定理*
6．6 Cauchy-Crofton公式*
教学要求：理解平面曲线的一些基本概念：闭曲线、简单曲线、切线像、相对全曲
率、旋转指标、凸曲线。掌握平面曲线的一些整体性质：简单闭曲线切
线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与
Cauchy-Crofton公式。
§7 空间曲线的整体性质
7．1 球面的Crofton公式*
7．2 Fenchel定理*
7．3 Fary-Milnor定理*
教学要求：理解全曲率的概念。掌握空间曲线的一些整体性质：球面的Crofton公式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。
第二章三维欧氏空间中曲面的局部几何
§1 曲面的表示切向量法向量
1．1 曲面的定义
1．2 切向量切平面
1．3 法向量
1．4 曲面的参数表示
1．5 例
1．6 单参数曲面族平面族的包络面可展曲面
教学要求：掌握曲面的三种局部解析表示；会求曲面的切平面与法线；了解旋转曲面与直纹面的表示；掌握可展曲面的特征。
§2 曲面的第一、第二基本形式
2．1 曲面的第一基本形式
2．2 曲面的正交参数曲线网
2．3 等距对应曲面的内蕴几何
2．4 共形对应
2．5 曲面的第二基本形式
教学要求：掌握曲面的第一基本形式及相关量——曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角与面积的计算，并理解其几何意义；了解等距对应与共形对应；掌握
第二基本形式。
§3 曲面上的活动标架曲面的基本公式
3．1 省略和式记号的约定
3．2 曲面上的活动标架曲面的基本公式
3．3 Weingarten变换W
3．4 曲面的共轭方向渐近方向渐近线
教学要求：掌握曲面上的活动标架与曲面的基本公式，能求正交参数曲线网的联络系
数；理解Weingarten变换与共轭方向、渐近方向，会求一些简单曲线的
渐近曲线。
§4 曲面上的曲率
4．1 曲面上曲线的法曲率
4．2 主方向主曲率
4．3 Dupin标线
4．4 曲率线
4．5 主曲率及曲率线的计算总曲率平均曲率
4．6 曲率线网
4．7 曲面在一点的邻近处的形状
4．8 Gauss映照及第三基本形式
4．9 总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面
教学要求：理解法曲率、主方向与主曲率、曲率线、总曲率和平均曲率概念与几何意义，并会对它们进行计算；掌握Gauss映照及第三基本形式；能对全脐曲
面与总曲率为零的曲面进行分类；掌握极小曲面的几何意义并会求一些简
单的极小曲面。
§5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理
5．1 曲面的基本方程
5．2 曲面论的基本定理
教学要求：掌握、理解曲面的基本方程与曲面论基本定理。
§6 测地曲率测地线
6．1 测地曲率向量测地曲率
6．2 计算测地曲率的Liouville公式
6．3 测地线
6．4 法坐标系测地极坐标系测地坐标系
6．5 应用
6．6 测地扰率
6．7 Gauss-Bonnet公式
教学要求：理解与掌握测地曲率和测地线、测地扰率、法坐标系、测地极坐标系与测地坐标系的定义及其几何意义；能用Liouville公式计算测地曲率与测地
线；能用测地极坐标系对总曲率为常数的曲面进行研究；理解（局部）
Gauss-Bonnet公式。
§7 曲面上的向量的平行移动
7．1 向量沿曲面上一条曲线的平行移动绝对微分
7．2 绝对微分的性质 7．3 自平行曲线
7．4 向量绕闭曲线一周的平行移动 总曲率的又一种表示 7．5 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系 教学要求：理解向量沿曲面上一条曲线的平行移动与绝对微分。 习题：
1. 证明推论
2.
3.1，
2. 设X ，Y 为Banach 空间，X b a t x →],[:)(是连续抽象函数, 对有界线性算子Y X T →:，
证明：Tx 在],[b a 上R －可积，并且
??
=b a
b
a
dt t x T dt t Tx )()(。
3. 设],[b a C 到],[b a C 中的算子T 由?
+=
t
a
ds s x s t Tx 22)]()[1())((给出，T 在任一元素x 处
是否F －可导？若答案肯定，求导算子)(x T '。
4. 设f 是n
R 到R 中的一个1C 映射。证明：f 在n R x ∈0处沿方向n R h ∈的G －微分
);(0h x df 等于 grad f (x 0) h T ,
这里 grad f =（
n
x f x f x f x f ????????Λ,,,321）, ;),,(21n h h h h Λ= 在n n e x x x x x x x x f 132131),;(-+++=ΛΛ 和 ),1,0,,0,0,3,2,1(Λ=h
)1,2,3,,1,(0Λ-=n n x 的情况下计算);(0h x df ，又问：f 在n R x ∈处的F －导数是什么？
当n
n x x x x x f ++++=Λ33221)(时求)(x f '。
5. 设3
2:R R T →由)54,3,(),(2
22y x y xy y x y x T ++-=定义，求T 在（－1，2）处沿方
向（1，－1）的G －微分。
解：写?????
? ??++-=???? ??y x y xy y x y x T 543222，知????? ??+-=????
??'5432222xy y y x y x T ，故所求G －微分为????
?
??-=???? ??-??????????---=???? ??-???? ??-'152115414421121T 。
6. 设X 、Y 是赋范线性空间，T ：Y X →由X x y Ax Tx ∈?+=,0定义，其
Y y ∈0，∈A B (X, Y )，证明T 在X x ∈?处F —可微，且求其F —导算子。
解：
o
o o y Ah Ax y Ax y h x A x T h x T X h X x ++=+-++=-+∈?∈?)()()()(,,θ+=--Ah y Ax o ，由于∈A B (X, Y )，且T h h
),0(,001
→→=-θ在x 处是F —可微的，
且A x T =')(。
7. 设23:R R T →由()3222),,(,)2,23(),,(R z y x R xz y y x z y x T ∈?∈+-=确定，求T 在（1，2，－1）处的F —导数。
解：采用列向量表示，T 将???? ??z y x 变换成??? ??+-xz y y x 22322，故T 在???? ??z y x 处的 F —导数应是变换T 的Jacobi 矩阵???? ??-x y z x 222026，在)1,2,1(),,(-=z y x 处，此矩阵为???
? ??--242026，在
列向量表示下，T 在（1，2，－1）处的F —导数作为线性算子就是此常数矩阵决定的变换：
,,2420263321321321R h h h h h h h h h ∈?
???
?
???????? ?????? ??--?????
??α右端即23212124226R h h h h h ∈??? ??++--故T 在（1，2，－1）处的F —导数就是将),,(321h h h ?变换为)242,26(32121h h h h h ++--的线性变换。
［备注1：这一答案保持了原题用行向量叙述的方式。］
［备注2：当2
3
:R R T →表示为3222,223R z y x R xz y y x z y x T ∈???? ???∈?
?? ??+-=???? ??，我们可得T 在???
? ??z y x 处的F —导数是：
???? ??-=???? ?????? ??'x y z x z y x T 222026，即3321321321,222026R h h h h h h x y z x h h h z y x T ∈?
???
??????? ?????? ??-=???? ?????? ?????? ??'， 故 =???
?
?????? ?????? ??-'321121h h h T
332132121,24226R h h h h h h h h ∈?
??
?
?????? ?
?++-- 或 ????
?
?--=???? ?????? ??-'242026121T ，算子对向量的作用以相应的矩阵对向量的左乘表示。］
第三部分
1. 高等代数基本定理
设K 为数域。以][x K 表示系数在K 上的以x 为变元的一元多项式的全体。如果
)0(],[......)(0110≠∈+++=-a x K a x a x a x f n n n ，则称n 为)(x f 的次数，记为)(deg x f 。
定理（高等代数基本定理） C ][x 的任一元素在C 中必有零点。
命题 设)10(,......)(01
10≥≠+++=-n a a x
a x a x f n n n ，是C 上一个n 次多项式，a 是一个复数。则存在C 上首项系数为0a 的1-n 次多项式)(x q ，使得
)())(()(a f a x x q x f +-=
证明 对n 作数学归纳法。
推论 0x 为)(x f 的零点，当且仅当)(0x x -为)(x f 的因式（其中1)(deg ≥x f ）。
命题（高等代数基本定理的等价命题） 设n n n a x
a x a x f +++=-......)(1
10 )10(0≥≠n a ，为C 上的n 次多项式，则它可以分解成为一次因式的乘积，即存在n 个复数n a a a ,......,,21，使
))......()(()(210n x x x a x f ααα---=
证明 利用高等代数基本定理和命题1.3，对n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设K 是一个数域，x 是一个未知量，则等式
0 (11)
10=++++--n n n n a x a x
a x a （1） （其中0,,......,,010≠∈a K a a a n ）称为数域K 上的一个n 次代数方程；如果以K x ∈=α带入（1）式后使它变成等式，则称α为方程（1）在K 中的一个根。
定理（高等代数基本定理的另一种表述形式） 数域K 上的)1(≥n 次代数方程在复数域C 内必有一个根。
命题 n 次代数方程在复数域C 内有且恰有n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C 上两个n 次、m 次多项式
)0(......)(10≠+++=n n n a x a x a a x f ， )0(......)(10≠+++=m m
m b x b x b b x g ，
如果存在整整数l ,n l m l ≥≥,,及1+l 个不同的复数121,,......,,+l l ββββ，使得
)1,......,2,1()
()(+==l i g f i i ββ，
则)()(x g x f =。
1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性
设1
01()n n n f x a x a x a -=+++L ，其中0,0i a K a ∈≠。设()0f x =的复根为
12,,,n αααL （可能有重复），则
121
0112121
()()()()()().
n
i n i n n n n f x x x x x a x x αααααααααα=-=-=---=-+++++∏L L L L
所以
)()1(2110
1
n a a ααα+++-=Λ； ∑≤≤≤-=n
i i i i a a 21210202
)1(αα； ΛΛΛΛΛΛΛΛ
.)1(210
n n n
a a αααΛ-= 我们记
1),,,(210=n ααασΛ；
n n αααααασ+++=ΛΛ21211),,,(；
ΛΛΛΛΛΛΛΛ
∏≤≤≤≤≤=
n
i i i i i i n r r r
ΛΛΛ212
1021),,,(ααα
ααασ；
ΛΛΛΛΛΛΛΛ
n n n αααααασΛΛ2121),,,(=
（12,,,n σσσL 称为12,,,n αααL 的初等对称多项式）。于是有
定理2.5 (韦达定理) 设1
01()n n n f x a x a x a -=+++L ，其中0,0i a K a ∈≠。设()0
f x =的复根为12,,,n αααL 。则
),,,()1(21110
1
n a a ααασΛ-=； ),,,()1(21220
2
n a a ααασΛ-=； ΛΛΛΛΛΛΛΛ
).,,,()1(210
n n n n
a a ααασΛ-= 命题 给定R 上n 次方程
0 (11)
10=++++--n n n n a x a x
a x a ， 00≠a ， 如果
b a +=αi 是方程的一个根，则共轭复数b a -=αi 也是方程的根。
证明 由已知，
1011......0n n n n a a a a ααα--++++=.
两边取复共轭，又由于∈n a a a ,......,,10R ，所以
1011......0n n n n a a a a ααα--++++=.
高等代数试题
设V V L ∈∈ξσ),(，并且 α，)(ασ，…，)(1
ασ-k 都不等于零，但0)(=ασk ，证明：α，
)(ασ，…，)(1ασ-k 线性无关
答案：按线性无关的定义证明
2、令][x F n 表示一切次数不大于n 的多项式连同零多项式所成的向量空间，
)()(:'x f x f ασ，求σ关于以下两个基的矩阵：
（1）1，x ，2
x ，…，n
x ，
（2）1，c x -，!2)(2c x -，…，!
)(n c x n
-，F c ∈
答：（1）?????????????
???0000
0000200001
0Λ
ΛΛΛΛΛΛ
ΛΛn （2）???????
??????
???0000
1000
0100001
Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛ 3、4F 表示数域F 上四元列空间 取
????
?
?
???
???-----=7931181332111511A 对于 4F ∈ξ，令 ξξσA =)( 求 ))dim(ker(σ，))dim(Im(σ
解：2)(=A R ，取4
F 的一个基（如标准基），按列排成矩阵B ，矩阵AB 的列向量恰是这个基的象。又0B ≠，所以 2A R )AB (R ）＝（＝ 所以 2))dim(Im(＝σ
2)(4))dim(ker(=-==A R 解空间的秩σ
4、设F 上三维向量空间的线性变换σ关于基{
}321,,ααα的矩阵是 ??
??
?
?????---6788152051115，求σ关于基 321332123211224332αααβαααβαααβ++=++=++= 的矩阵
??
??
??????==-3211AT T B ?????
?????=211243132T
5、令σ是数域F 上向量空间V 的一个线性变换，并且满足条件
，证明：（1）
{}V ∈-=ξξσξσ)()ker( （2）)Im()ker(σσ⊕=V
证明：（1）{}V ∈-∈
?ξξσξα)(，则
0)()()()())(()(2=-=-=-=ξσξσξσξσξσξσασ，)(σαKer ∈
反之，)(σβKer ∈，0)(=βσ，{}V ∈-∈-=ξξσξβσββ)()(
于是 {}V ∈-=
ξξσξσ)()ker(
)()(,ξσξσξαα+-=∈?V ，即)Im()ker(σσ+=V
设
)
Im()ker(σσβ?∈ 由
)
Im(σβ∈，有
V
∈ν，使得
）（）＝（，所以＝因βσνσσσβσνσβνσ22),()(,)(== 又 )ker(σβ∈，所以
00）＝（，于是）＝（νσβσ，即 0＝β 所以 0)Im()ker(＝σσ?
6、设 ????
??????----=163053064
A ，求10A
解：特征值 21321-＝，＝＝λλλ
特征向量 T
），，＝（1001ξ T ），，＝（0122-ξ，T ），，＝（1113-ξ
），，＝（321ξξξP 则 ，Λ=-AP P 111010-Λ=P P A
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得数学者得天下，数学的重要性不言自明，一定要好好准备，我高中，大学数学底子还不错，自己也努力了，感觉数学里面最容易的还是线性代数和概率论和数理统计，因为题型有限，变化不大，对比历年真题就会发现。真正难的是高数，因为花样太多了，虽然考点有限，但是怎么个综合法，你就不知道了，所以高数题目要多见识，今年考研高数证明题我就看过很类似的，所以很快就做出来了，没见过的同学都不知道怎么下手。我今年数学考得不太好的 原因是我线性代数和概率论各算错一道题目，后悔死了，所以大家在准备考研时，别忘记提 醒自己时刻细心做题。数学的辅导书我很反感陈文登的，比较支持李永乐的，蔡遂林的也不错。 我数学资料做了一大批。要不我把做过的辅导书点评下，仅供参考！ 2008数学大纲解析：由于2009没出版，只能用2008的，这是本好书，都是真题，分析透彻，建议买。 轻轻松松考高分线代概率历年真题分类解析——李永乐，这本书对历年真题对比分析， 让你知道考研真正考什么？该准备什么。强烈推荐。 2006考研数学历年真题解析与指导--高教，图书馆借的，现在不出版了，也是分析真题, 像大纲解析，如果图书馆有的话，可以看看。 2009数学考试分析--高教，近3年的试题分析，数一到数四都包括，花2天时间琢磨出题的变化，觉得不错，你会发现一些规律。 武钟祥的历年真题分析，这是我认为真题分析最全面最好的书，里面涵盖了所以年份的试题，数一到数四的都有，大家要知道，数学题目经常是今年数学一考了，明年后年可能数学三考，只是变换出题的方式，大家不要只看数学一的题目。强烈推荐。其实上面这么多 书我觉得最好的还是这本，有一本就够了。 线性代数辅导讲义--李永乐，这本书要多看几遍，越看越好，越看越懂，然后做真题。强烈推荐。 概率论与数理统计辅导讲义--龚兆仁，还可以，有些地方有些繁琐，有些根本不会考的也作了详细介绍。 数学基础过关660题--李永乐。不是很必要买，做了没什么感觉。 陈文登的复习指南，我不推荐买，原因就不说了，你们在网上搜搜看评价，本人用过，的确不怎么样。 李永乐的全书，贴合实际，但是稍显繁琐，很多同学到了11月底才看完，根本没时间去想，思 考。感觉知识点是全，是细，但是你记起来就不容易了。数学的记不像政治，数学 要练习，多思考才能有体会，才能记得深刻，最后才能灵活用。如果买全书的话，要注意时
第一部分 第一章集合与映射 §1.集合 §2.映射与函数 本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。 第二章数列极限 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则 本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。 第三章函数极限与连续函数 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数 本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。 第四章微分 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分 本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。 第五章微分中值定理及其应用 §1.微分中值定理 §2＇法则 §3.插值多项式和公式 §4.函数的公式及其应用 §5.应用举例 §6.函数方程的近似求解 本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。 第六章不定积分
§1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用 本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。 第七章定积分（§1 —§3） §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理 第七章定积分（§4 —§6） §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。 第八章反常积分 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。 第九章数项级数 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。 第十章函数项级数 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数 §4.函数的幂级数展开 §5.用多项式逼近连续函数 本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。
最新下载(https://www.doczj.com/doc/0b19448716.html,) 中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息 数学重点、难点归纳辅导 第一部分 第一章集合与映射 §1.集合 §2.映射与函数 本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。 第二章数列极限 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则 本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。 第三章函数极限与连续函数 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数 本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。 第四章微分 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分 本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。 第五章微分中值定理及其应用 §1.微分中值定理 §2.L＇Hospital法则 §3.插值多项式和Taylor公式 §4.函数的Taylor公式及其应用 §5.应用举例
§6.函数方程的近似求解 本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。 第六章不定积分 §1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用 本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。 第七章定积分（§1 —§3） §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理 第七章定积分（§4 —§6） §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。 第八章反常积分 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。 第九章数项级数 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。 第十章函数项级数 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数
考研高数笔记 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第一章 函数、极限、连续 第1节 函数 a) 反函数和原函数关于y=x 对称。 b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。 d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。 e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为 |T/a|。 f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角 函数。初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。 第2节 极限 a) 左右极限存在且相等?极限存在。 b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中 0=(x)ɑlim 0 x x →。（等价无穷小） c) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性） d) A x =→)(f lim 0 x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性） e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内 f(x)有界。（有界性） f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算） g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无 穷小和有界量乘积仍然是无穷小。 h) ) ()(lim x g x f =l
精心整理 第一章 函数、极限、连续 第1节 函数 a) 反函数和原函数关于y=x 对称。 b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。 d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。 e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。 f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等函数即上述五大类函 数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。 第2节 极限 a) 左右极限存在且相等?极限存在。 b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中0=(x)ɑlim 0 x x →。（等价无穷小） c) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性） d) A x =→)(f lim 0 x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性） e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x)有界。（有界性） f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算） g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和有界量乘积仍然是无穷小。 h) ) ()(lim x g x f =l i. l=0，f(x)=o(g(x)). ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶. iii.0 150分考研学长自己进行总结整理的数学笔记——呕心沥血之作，对大家绝对有很大帮助！！！题记：得数学者得天下，数学的重要性不言自明，一定要好好准备，我高中， 大学数学底子还不错，自己也努力了，感觉数学里面最容易的还是线性代数和概率论和数理统计，因为题型有限，变化不大，对比历年真题就会发现。真正难的是高数，因为花样太多了，虽然考点有限，但是怎么个综合法，你就不知道了，所以高数题目要多见识，今年考研高数证明题我就看过很类似的，所以很快就做出来了，没见过的同学都不知道怎么下手。我今年数学考得不够好的原因是我线性代数和概率论各算错一道题目，后悔死了，所以大家在准备考研时，别忘记提醒自己时刻细心做题。数学的辅导书我个人比较反感陈文登的，蛮支持李永乐的，蔡遂林的也不错。我数学资料做了一大批。要不我把做过的辅导书点评下，仅供参考！ 一、辅导书点评 2008数学大纲解析：由于2009没出版，只能用2008的，这是本好书，都是真题，分析透彻，建议买。 轻轻松松考高分线代概率历年真题分类解析——李永乐，这本书对历年真题对比分析，让你知道考研真正考什么？该准备什么。强烈推荐。 2006考研数学历年真题解析与指导--高教，图书馆借的，现在不出版了，也是分析真题，很像大纲解析，如果图书馆有的话，可以看看。 2009数学考试分析--高教，近3年的试题分析，数一到数四都包括，花2天时间琢磨出题的变化，觉得不错，你会发现一些规律。 黄庆怀考研高数辅导书--北航出版社出版，这是我见过最好的高数辅导书，有条理有深度，值得买。 武钟祥的历年真题分析，这是我认为真题分析最全面最好的书，里面涵盖了所以年份的试题，数一到数四的都有，大家要知道，数学题目经常是今年数学一考了，明年后年可能数学三考，只是变换出题的方式，大家不要只看数学一的题目。强烈推荐。其实上面这么多书我觉得最好的还是这本，有一本就够了。 线性代数辅导讲义--李永乐，这本书要多看几遍，越看越好，越看越懂，然后做真题。强烈推荐。 概率论与数理统计辅导讲义--龚兆仁，还可以，有些地方有些繁琐，有些根本不会考的也作了详细介绍。 数学基础过关660题--李永乐。不是很必要买，做了没什么感觉。 陈文登的复习指南,不推荐，原因就不说了，你们在网上搜搜看评价，本人用过感觉一般，也许不适合我吧。 李永乐的全书，贴合实际，但是稍显繁琐，很多同学到了11月底才看完，根本没时间去想，思考。感觉知识点是全，是细，但是你记起来就不容易了。数学的记不像政治，数学要练习，多思考才能有体会，才能记得深刻，最后才能灵活用。如果买全书的话，要注意时间安排好，多花点时间去思考，不要只顾看题目了。 蔡遂林，胡金德，王式安的考试虫考研数学基础教程，我用过高数部分，还不错，线代部分用李永乐的足以，概率是王式安编的，还过得去吧，毕竟他们都是老一辈命题专家，讲的深入浅出。 经典400题---李永乐，这算是很不错的模拟题了，虽然难度不小，但是综合性大，对你整合知识查缺补漏很有好处，而且每年有新题目出现，虽然10套题有8套左右和往年会一样的，但是至少有2套是新的啊。最后冲刺135分---前提是你时间充足，这本书比较系统的对题型分类了，都是选了些偏难的题目。 考研模拟考场15套--陈文登，说是15套，去除一些没必要的陈旧题目和凑数的真题，完全可以搞个8套嘛，我们几个哥们一起用，大家反映都极其很一般。 合肥工业大学最后5套--比较好的题目，规范，建议大家考虑。 陈文登的客观题题型总结--提供和介绍了一些独到的解题方法，推荐有时间可以买一本。 考研过来人详细介绍自己的考研数学是怎么做好笔记，怎么总结的，值得借鉴！！ 得数学者得天下，数学的重要性不言自明，一定要好好准备，我高中，大学数学底子还不错，自己也努力了，感觉数学里面最容易的还是线性代数和概率论和数理统计，因为题型有限，变化不大，对比历年真题就会发现。真正难的是高数，因为花样太多了，虽然考点有限，但是怎么个综合法，你就不知道了，所以高数题目要多见识，今年考研高数证明题我就看过很类似的，所以很快就做出来了，没见过的同学都不知道怎么下手。我今年数学考得不够好的原因是我线性代数和概率论各算错一道题目，后悔死了，所以大家在准备考研时，别忘记提醒自己时刻细心做题。数学的辅导书我比较反感陈文登的，蛮支持李永乐的，蔡遂林的也不错。我数学资料做了一大批。要不我把做过的辅导书点评下，仅供参考！ 2008数学大纲解析：由于2009没出版，只能用2008的，这是本好书，都是真题，分析透彻，建议买。 轻轻松松考高分线代概率历年真题分类解析——李永乐，这本书对历年真题对比分析，让你知道考研真正考什么？该准备什么。强烈推荐。 2006考研数学历年真题解析与指导--高教，图书馆借的，现在不出版了，也是分析真题，很像大纲解析，如果图书馆有的话，可以看看。 2009数学考试分析--高教，近3年的试题分析，数一到数四都包括，花2天时间琢磨出题的变化，觉得不错，你会发现一些规律。 武钟祥的历年真题分析，这是我认为真题分析最全面最好的书，里面涵盖了所以年份的试题，数一到数四的都有，大家要知道，数学题目经常是今年数学一考了，明年后年可能数学三考，只是变换出题的方式，大家不要只看数学一的题目。强烈推荐。其实上面这么多书我觉得最好的还是这本，有一本就够了。 线性代数辅导讲义--李永乐，这本书要多看几遍，越看越好，越看越懂，然后做真题。强烈推荐。 考研高数笔记 文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688] 第一章 函数、极限、连续 第1节 函数 a) 反函数和原函数关于y=x 对称。 b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。 d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任 意个偶函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。 e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周 期为|T/a|。 f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、 反三角函数。初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。 第2节 极限 a) 左右极限存在且相等?极限存在。 b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中 0=(x)ɑlim 0 x x →。（等价无穷小） c) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性） d) A x =→)(f lim 0 x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性） e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在 U 内f(x)有界。（有界性） f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算） g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷 小。无穷小和有界量乘积仍然是无穷小。 h) ) ()(lim x g x f =l i. l=0，f(x)=o(g(x)). ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶. iii. 0 第一章 函数、极限、连续 第1节 函数 a) 反函数和原函数关于y=x 对称。 b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。 d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘 积还是偶函数。(k=0,1,2......)。 e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。 f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等 函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。 第2节 极限 a) 左右极限存在且相等?极限存在。 b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中 0=(x)ɑlim 0x x →。（等价无穷小） c) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性） d) A x =→)(f lim 0x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性） e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x)有界。（有 界性） f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算） g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和有界 量乘积仍然是无穷小。 h) ) ()(lim x g x f =l i. l=0，f(x)=o(g(x)). 第一章 函数、极限、连续 第1节 函数 a) 反函数和原函数关于y=x 对称。 b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。 d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。 e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。 f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等 函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。 第2节 极限 a) ? b) 左右极限存在且相等?极限存在。 c) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中 0=(x)ɑlim 0 x x →。 （等价无穷小） d) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性） e) A x =→)(f lim 0 x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性） f) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x)有界。（有界性） g) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算） h) # i) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和有界量乘积仍然是无穷小。 j) ) ()(lim x g x f =l 考研高数笔记 The document was prepared on January 2, 2021 第一章 函数、极限、连续 第1节 函数 a) 反函数和原函数关于y=x 对称。 b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。 d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的 乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。 e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。 f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。 第2节 极限 a) 左右极限存在且相等?极限存在。 b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中 0=(x)ɑlim 0 x x →。（等价无穷小） c) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性） d) A x =→)(f lim 0 x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性） e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x)有 界。（有界性） f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算） g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和 有界量乘积仍然是无穷小。 h) ) ()(lim x g x f =l i. l=0，f(x)=o(g(x)). ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶. iii. 0 考研高数笔记 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 第一章 函数、极限、连续 第1节 函数 a) 反函数和原函数关于y=x 对称。 b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。 d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶 函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2......)。 e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为 |T/a|。 f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数。初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。 g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。 第2节 极限 a) 左右极限存在且相等?极限存在。 b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中 0=(x)ɑlim 0 x x →。（等价无穷小） c) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性） d) A x =→)(f lim 0 x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性） e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x) 有界。（有界性） f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算） g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷 小和有界量乘积仍然是无穷小。 h) ) ()(lim x g x f =l i. l=0，f(x)=o(g(x)). ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶. iii. 0 目录 第一讲极限 一极限定义 (3) 二极限性质 (4) 三函数极限基本计算 (8) 四综合计算 (11) 五数列极限计算 (14) 六函数连续与间断 (16) 第二讲一元函数微积分 一概念 (17) 1. 导数 (18) 2. 微分 (20) 3. 不定积分 (21) 4. 定积分 (23) 5. 变限积分 (28) 6. 反常积分 (29) 二计算 (29) 1. 求导 (29) 2. 求积 (33) 三应用 (40) 1. 微分应用 (40) 2. 积分应用 (43) 四逻辑推理 (43) 1. 中值定理 (49) 2. 等式证明 (50) 3. 不等式证明 (51) 第三讲多元函数的微分学（公共部分） 一概念 (51) 1. 极限的存在性 (51) 2. 极限的连续性 (52) 3. 偏导数的存在性 (52) 4. 可微性 (53) 5. 偏导数的连续性 (54) 二计算 (54) 三应用 (56) 第四讲二重积分（公共部分） 一概念与性质 (59) 二计算 (60) 1. 基础题 (60) 2. 技术题 (61) 三综合计算 (62) 第五讲微分方程 一概念及其应用 (63) 二一阶方程的求解 (64) 三高阶方程的求解 (66) 第六讲无穷级数 一数项级数的判敛 (67) 二幂级数求收敛域 (69) 三展开与求和 (69) 四傅里叶级数 (71) 第七讲多元函数微分学 一基础知识 (73) 二应用 (75) 第八讲多元函数积分学 一三重积分 (76) 二第一型曲线、曲面积分 (78) 1. 一线 (78) 2. 一面 (79) 三第二型曲线、曲面积分 (80) 1. 二线 (81) 2. 二面 (83)150分考研学长精心整体总结的数学笔记(看了至少能提高80分)
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