2015届（安徽省）“江淮十校”高三4月联考数学（理科）
一，选择题
1，在复平面内，复数21i i
+-（i 是虚数单位）对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2，集合A={0,2，a},B={a 2
},若A ∪B=A ，则a 的值有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3，8(3)x -的展开式中x 6y 2项的系数是
A.28
B.84
C.-28
D.-84
4，已知α、β表示两个不同的平面，m 为平面内的一条直线，则“α//β”
是“m//β”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不充要条件
5，圆x 2+y 2=43230x y +-=截得的弦长为 A.3226，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.4233π+234(1)......4n n n b b b b -++++< B.2233π+ C.2433π+ D.2433
π+7，在等差数列{a n }中a 1=-2015，其前n 项和为S n ，若2S 6-3S 4=24，则S 2015=
A.-2014
B.2014
C.2015
D.-2015
8，定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=2log (1),0(1)20x f x x x x f -≤??--?
->（）,，则f （2015）的值为 A.-1B.0C.1D.2
9，F 1、F 2分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，过F 2作直线交椭圆于A 、B 两点，已知AF 1⊥BF 2，∠ABF 1=30
°，则椭圆的离心率为
2
A.
2
B.2
10，我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个1、一个2、两个3、两个4这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为
A.25
B.715
C.815
D.35
二、填空题（25分）
11，已知实数x 、y 满足321x y y x y +≤??≤??≥?
，则z=x-3y 的最大值为
12，在极坐标系中，已知点P （2，
3π），Q 为曲线ρ=cos θ上任意一点，则|PQ|的最小值为
13，已知
a=
π执行如图所示的程序框图，则输出的结果为
14，已知O 为△ABC 的外心，AB=2，AC=4，cos ∠BAC=13
.若AO x AB y AC =+，则x+y= 15.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，下列结论正确序号有
①若O 为重心，则()()()OA OB AB OB OC BC OC OA CA +=+=+;
②若I 为内心，则aIA bIB cIC O ++=
③若O 为外心，则OA OB OC O a b c
++=
④若H 为垂心，则HA HB HB HC HC HA ==
⑤若O 为外心，H 为垂心，则OH OA OB OC =++
三，解答题
16，（12分）
已知向量a=(cosx,2cosx),b=(23cosx,-cosx),函数f(x)=a ·b
（I ）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
（II ）在△ABC 中，若∠A 满足()16f A π
-=，且△ABC 的面积为8，求△ABC 周长的最小值。
17，（12分）
已知函数f(x)=xe x ,g(x)=x 2-x-a ,a ∈R 。
（I ）求函数f(x)的单调区间；
（II ）若f(x)+g(x)≥0对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.
18，（12分）
一个正四棱锥和一个正三棱锥的所有棱长都相等，如下左图，将他们全等的两面重合在一起拼成一个多面体ABCDEF ，如下右图
（I ）求证：AE//BF;
（II ）过A 、D 、F 三点作截面，将此多面体上下两部分，求上下两部分的体积比。
19，（12分）
某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队只比赛一场），共有高一、高二、高三三个队参赛，高一胜高二的概率为12，高一胜高三的概率为2
3，高二胜高三
的概率为P ，每场胜负独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同者高年级获胜。 （I ） 若高三获得冠军概率为1
3，求P 。
(II)记高三的得分为X ，求X 的分布列和期望。
20，（12分）
已知椭圆C ：22
2211x y a a
+=-，点P 到两定点A(-1，0).B(1，0)
，点B 到直线PA 的距离为1。
（1） 求直线PB 的方程；
（II ） 求证：直线PB 与椭圆C 相切；
（III ） F 1、F 2分别为椭圆C 的左右焦点，直线PB 与椭圆C 相切于点M ，直线MF 2交y
轴于点N ，求∠MF 1N
21，（12分）
已知数列{a n }前n 项和为S n ，满足2S n +n 2=3a n -6,(n ∈N *)
（I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）求证：231111 (18)
n S S S +++<，(n ≥2，n ∈N *) （III ）设13n n n Lnn b a +=
-,(n ≥2，n ∈N *),求证：234(1)......4n n n b b b b -++++<
理科数学答案
一、选择题
1--5ACBAD6—10BDCAC
二、填空题：
11.-1,12.
2
113-,13.32,143221,15②④⑤ 三、解答题：
16.解：(Ⅰ)12cos 2sin 3cos 2cos sin 32)(2--=-=x x x x x x f ＝1)62sin(2--π
x
∴函数)(x f 的最小正周期为π.…………………………………3分 由Z k k x k ∈+≤-≤+-,226222ππ
π
ππ
得，
Z k k x k ∈+≤≤+-,36ππ
ππ
，
∴函数)(x f 的单调递增区间为)(,3,6Z k k k ∈??????++-
ππππ…………6分 (Ⅱ)由1)6(=-πA f 得11)632sin(2=---ππA ，即1)2
2sin(=-π
A ， 因为A 为三角形的内角，所以2
π=A .…………………………8分 ∴222c b a +=,16,82
1==bc bc …………………………10分 ∴82=≥+bc c b ,24222=≥+=bc c b a
所以ABC ?周长的最小值为248+.………………………………………12分
17.解：(Ⅰ))1()(+='x e x f x ,令0)(='x f 得x=－１……………3分 当x<－１时，0)(<'x f ；当x>－１时，0)(>'x f
所以函数)(x f 的递减区间为（－∞，－１]，递增区间为（－１，＋∞）……6分 (Ⅱ)0)()(≥+x g x f 恒成立等价于x x xe a x -+≤2
令x x xe x F x -+=2)(，则12)(-++='x e xe x F x x ……………8分
显然当x>0时，0)(>'x F ；当x<0时0)(<'x F ；当x ＝0时0)(='x F .
所以)(x F 在（－∞，0）上递减,在（0，＋∞）上递增.……………10分
0)0()(=≥F x F ,∴0)0(=≤F a
a 的取值范围是（－∞，0].………………………………………12分
18.证明：(Ⅰ)由题意知，△ABE 、△CBE 和△BEF 都是正三角形，
取BE 的中点O ，连AO 、FO 、CO 、AC,则BE ⊥AO ，BE ⊥FO ，BE ⊥CO ，
∴∠AOC 、∠FOC 分别是二面角A-BE-C 和二面角F-BE-C 的平面角，…………3分
设AB ＝2a ,则AO ＝FO ＝CO ＝a 3,AC=a 22,
在△AOC 中，31332)22()3()3(cos 222-=??-+=∠a
a a a a AOC ， 在△FOC 中，31332)3()3(cos 222=??-+=∠a
a a a a FOC ∴∠AOC+∠FOC ＝0180,即二面角A-BE-C 与二面角F-BE-C 互补，…………………5分 所以ABFE 四点共面，又AB=BF=FE=EA ，故AE ∥BF.………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，四边形ABFE 四边形CDEF 都是菱形，
所以过三点ADF 的截面把多面体分成三棱锥A-DEF 和四棱锥F-ABCD ，
连BD 、FD 则BCD F ABD F BCD F ABCD F V V V V ----=+=2＝DEF A CDF B V V --=22
所以截面把多面体分成上、下两部分的体积比为１:２.…………………………………12分
19.解：(Ⅰ)高三获得冠军有两种情况，高三胜两场，三个队各胜一场. 高三胜两场的概率为)1(3
1
p -?，…………………………………2分 三个队各胜一场的概率为2
1)1(322131?-?+?
?p p …………………………4分 所以)1(31p -?+21)1(322131?-?+??p p ＝3
1 解得32=p .…………………………………6分 (Ⅱ)高三的得分X 的所有可能取值有０、１、２ P(X=0)=32p P(X=1)=3
2p - P(X=２)=31p -……………………9分 所以X 的分布列为
…………………11分
故X 的期望3
12321320)(P P P X E -?+-?+?=＝334P -…………………………12分
20.解：(Ⅰ)过B 作PA 的垂线，垂足为C ，
∣AB ∣＝２，∣BC ∣＝１知，∠BAC=030……………１分
在△PAB 中，由正弦定理得，
PAB PB
PBA PA
∠=∠sin sin ……………２分
∵2=PB PA
∴22
sin =∠PBA ,即直线PB 的倾斜角为045或0135，……３分
所以直线PB 的方程是y=x-1或y=-x+1.…………４分
(Ⅱ)若PB 方程为y=x-1，将y=x-1代入椭圆方程得，11)1(2
2
22=--+a x a x ， 整理得，02422=+-a x a x ，解得，2
21a x x ==，……………………７分 所以直线y=x －1与椭圆C 相切，同理直线y=－x+1与椭圆C 也相切.……………８分 (III)设切点坐标),(00y x M ，由（1）知420a x =，2220)1(-=a y ，
设)0,(),0,(21c F c F -，其中12)1(2222-=--=a a a c ，
又设),0(y N ，则c
x y c y --=--00000，c x cy y --=00，…………10分 2202
00000011c
x y c y c x y k k NF MF --=+-?+-=? ＝1)
12()1(242
2-=----a a a ……………………12分 ∴11NF MF ⊥,故0
190=∠N MF ……………………………………………13分
21.解：(Ⅰ)由6322-=+n n a n S ①得,当n=1时，1a =7，…………………………１分
当*∈≥N n n ,2时，63)1(2121-=-+--n n a n S ②,
①－②得1231-+=-n a a n n
[]1)1(311+-+=++-n a n a n n ，(*∈≥N n n ,2)
∴31
)1(11=+-+++-n a n a n n ，(*∈≥N n n ,2).…………………………………3分 又1a +2=9，所以数列{}1++n a n 是首项为9公比为3的等比数列.
131+=++n n n a ，∴131--=+n a n n …………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知n S ＝2632--n a n ＝2
93322---+n n n …………………………………5分 易知*∈≥N n n ,2时，93,33,32>>>n n n n n ，∴93321++>+n n n 112223
133293321++++=-<---=n n n n n n n S (*∈≥N n n ,2)…………………7分 143323
1...31311...11++++<+++n n S S S =)311(1812+-n 181<…………………………9分 (III)n n n a n b -=+13ln ＝1
ln +n n ，（*∈≥N n n ,2）…………………………………10分 令1ln )(+-=x x x f ，（x ≥２） 01)(<-='x
x x f 在[２，＋∞）上恒成立， 所以)(x f 在[２，＋∞）上单调递减，
012ln )2()(<-=≤f x f ∴1ln - 令2n x =则得1ln 22- 即)1)(1(ln 2-+ 1ln +n n 2 1-
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