第三章 导数与微分习题答案
练习题3.1
1. 根据导数定义，求下列函数的导数： （1）12+=
x y ，求1
='
x y 。
解：
11
1|lim
1x x x y x =→→'===- （2）()ln f x x =，求()f x '。
解：()()1
0ln ln 1lim
lim ln 1x
x x x x x
x f x x
x x
??→?→?+-???'==+=
???
?。 2. 求抛物线2
2y x =在点()2,8-处的切线方程和法线方程。
解：在()2,8-处的切线斜率为2|8x y =-'=-，法线斜率为18， 在()2,8-处的切线方程为88y x =--；法线方程为133
84
y x =+。
3. a 为何值时，2
y ax =与ln y x =相切？
解：设2
y ax =与ln y x =在0x 相切，则有0020
012ln ax x ax x
?
=???=?，解得 12a e =
。 4. 试求出曲线1
y x x
=-与x 轴交点处的切线方程。 解：曲线1
y x x
=-
与x 轴的交点为()1,0，()1,0-；切线斜率为1|2x y =±'=， 切线方程为()21y x =±。 5. 讨论(
)ln 1,
10
()01x x f x x +-<≤??=<<
在0x =处的连续性和可导性。
解：由于()0
lim ln 10x x -→+=
，0
lim 0x +
→=，(0)0f =，则()f x 在0x =处连
续。
又()0
ln 1(0)lim 1x x f x
-
-→+'==
，0
(0)lim 1x f +
+→'==，(0)(0)1f f -+''==，
所以 ()f x 在0x =处可导且'
(0)1f =。
6. 讨论21,
021,01()2,12,
2x x x f x x x x x ≤??+<≤?
=?+<≤??>? 分别在0x =，1x =，2x =处的连续性与可导性，
并求出()f x '。
解：在0x =处，0
lim 11x -
→=，()0
lim 211x x +→+=，()01f =，故()f x 在0x =处连续。又0
11(0)lim 00x f x -
-→-'==-，0211(0)lim 20
x x f x +
+→+-'==-，故()f x 在0x =处不可导。 在1x =处，()1
lim 213x x -
→+=，()
2
1
lim 23x x +→+=，()13f =，故()f x 在1x =处连续。又()1213
1lim 21x x f x --→+-'==-，()21231lim 21x x f x +
+→+-'==-，故()f x 在1x =处可导。 在2x =处，()
2
2
lim 26x x -
→+=，2
lim 2x x +→=，则()f x 在2x =处不连续，从而()f x 在2x =处不可导。
且 ()0,
02,012,121,
2
x x f x x x x
'=?
<? 。
练习题3.2
1. 求下列函数的导数（其中,a b 为常量）：
（1）10
10
10lg 10x
y x x =+++： 9
1
10l n 1010
l n 10
x y x x '=++
（2）(2)a b y u
+=：()21
2a b y a b u
+-'=+
（3）3333x y x =
+：249y x x
'=- （4
）3y =：1533
222251
22y x x x x --'??'=-=-- ???
（5）2()(21)f t t t =-：2
()62f t t t '=-
（6
）y =71887
8
y x x -'??'== ???
2. 求下列函数在指定点的导数：
（1）已知()ln 2cos 7f x x x x =+-，求2f π??
'
???
，()f π'。 解：1()2sin 7f x x x '=
--，2
92f ππ
??'=- ???，1()7f ππ'=-。 （2）已知1()sin x x x ?=
+，求2π???'- ???
，2π???
' ???。 解：2
1()cos x x x ?'=-+，2422ππ??π????''-==- ? ?????
。
练习题3.3
1. 求下列函数的导数：
（1
）2(23y x =+
：
22
3326296x x
a x x y +--'==
（2）(
log a y x =+
：
1y ?
'=
= ?
（3
）ln y
=
：y '
?'==
（4）22
sin sin x y x =：()
22222sin 2sin 2cos sin sin x x x x x
y x -'=
（5）ln ln ln y x =：()11
ln ln ln ln ln ln ln y x x x x x
''=
?=
? （6）ln tan 2x
y =：21111tan sec csc 222sin tan tan 22
x x y x x x x '??'=
?=??== ??? （7）2
1sin
y x x =：2
2111112sin cos 2sin cos y x x x x x x x x
'=-?=- （8）2
arcsin 2x y ?
?= ??
?
：arcsin 2x y '=
（9）y =
21ln x y '+'=
=
（10）2
sin()
()ax
bx c g x e
++=：()()2
sin()
2()cos 2ax
bx c g x e
ax bx c ax b ++'=?++?+
（11
）y =
1111111222y x y y y ???
???'''=?+
=?++=+
?????????????
?????
（12）()2
3
sin cos
y x
x ??=+?
?：
()()()23332
2cos cos ()cos sin 31y x x x x x x x '??=-+?+?+?+??
2. 若函数()2()
f x x a
?=，且()()1
ln f x f x a
'=
?，求()x ?'。
解：()()()()()22
2()
()
()1
ln 2ln 22ln f x f
x f x x a
a f x f x a a f x a f x a
?''=??=??
=?。
3. 证明：
（1）可导的偶函数的导数是奇函数。
证明：设()f x 为偶函数且可导，则有()()f x f x =-，两边对x 求导，有
()()()()1f x f x f x '''=-?-=--，即 ()()f x f x ''-=-，得证。
（2）可导的奇函数的导数是偶函数。
证明：设()f x 为奇函数且可导，则有()()f x f x -=-，两边对x 求导，有
()()()1f x f x ''-?-=-，即 ()()f x f x ''-=，得证。
（3）可导的周期函数的导数是具有相同周期的周期函数。
证明：设()f x 为可导周期函数，周期为T ，则有()()f x T f x +=，两边再对x 求导， 得到()()f x T f x ''+=，得证。 4. 设()f x 在0x =处连续，且()0
lim
x f x x
→=A （A 为常数），证明：()f x 在0x =处可导。
证明：由于()f x 在0x =处连续，则()()0
lim 0x f x f →=，又因为()0
lim
x f x x
→=A ，极限存在，
则必有()0
lim 0x f x →=，即()00f =，从而()()()0
0lim
lim
x x f x f f x x x
→→-==A -，即()f x 在
0x =处可导。
5. 求下列隐函数的导数：
（1）3
3
30x axy y -+=：()2
2
3330x a y xy y y ''-++=，2
2ay x y y ax
-'=-
（2）ln ln 0x y y x +=：ln ln 0y y y x y x y x
''+?++=，2'
2ln ln y xy y y x xy x --=+
6. 利用对数求导法求下列函数的导数：
（1
）2y =
)
1ln 2y x y
'
'=
，
ln 22122x y y x x +?'=+=??
（2）()
()cos sin sin 0x
y x x =>：
()1
cos ln sin y x x y
''
=?， ()()cos 1'22
cos sin ln sin cos sin sin ln sin cos sin x x y y x x x x x x x x -??=-?+=-?+ ?
?
?
（3）y x =()()111ln ln 1ln 122y x x x y '??
'=+--+????；()()1112121y y x x x ??'=--??-+?
? （4
）2
1x y x
=
- ()()()112ln ln 1ln 3ln 32y x x x x y '??
'=--+--+????
()21111233y y x x x x ??
'=+--??--+??
7. 求下列函数的高阶导数： （1）(
)2
ln 1y x
=-，求y ''。
解：2
21x
y x
'=--，22222(1)x y x --''=-。 （2）(
)
2
y f x b =+，求y ''。 解：(
)
2
2y f x b x ''=+?，
()()()()2222222242y xf x b x f x b x f x b f x b ''''''''=+?++=+++。
（3）arcsin y x =，求y ''。
解：y '=
y ''=
（4）2
2arctan
1x
y x
=-，求y ''。 解()()()2
222222222222112224211214111x x x x y x x x x x x x '--+?
?'=?=?= ?-+????-+-+ ?
-??
()
2
41x
y x ''=-
+。
（5）3
ln y x x =，求 (4)
y
。
解：2
2
3ln y x x x '=+，6ln 5y x x x ''=+，(3)
6ln 11y x =+，(4)6y x
=
（6）11x y x
-=+，求()
n y 。 解;：22(1)(1)2(1)(1)x x y x x -+--'=
=-++，34(1)y x ''=+， ，()1
2(1)!(1)
n n
n y n x +=-+ 8．已知2
sin()0xy y π-=，求01
|x y y =='及01
|x y y ==-''。
解：(
)2
2cos 0y xy y y y
ππ''+-?=，001
1
1|
|2x x y y y y π====-''==-
，02
1
1
|4x y y π==-''=-。 9. 验证：sin x
y e x =满足关系式220y y y '''-+=。 证明：sin cos x x y e x e x '=+，2cos x
y e x ''=，代入，
则左边=(
)
2'22cos 2sin cos 2sin 0x
x x
x
y y y e x e x e x e x ''-+=-++==右边，等式成立。
10. 求由曲线3
3
cos sin x a y a α
α?=??=??
所确定的函数的导数dy dx 。 解：
1
2
3
23sin cos tan 3cos sin dy dy d a y dx d dx a x ααααααα???
=?=-=-=- ????
。 11. 求曲线ln sin cos x t y t
=??=? 在2t π
=处的切线方程和法线方程。
解：切线的斜率为22
sin cos t dy t
k dx t
π
=
==
=∞，切线过()0,0点，则切线方程为0x =，法线方
程为0y =。
练习题3.4
1. 求下列函数的微分：
（1）. 413
1(4)3x y x ??=+ ???：()42314'4ln 3433x dy y dx x dx -????==-+?? ???????
（2）. 2x
y xe =：2(12)x
dy e x dx ??=+??
（3）. ()x a
y f a x =+：(
)()1'ln x
a
x
a dy f a x
a
a ax dx -=+?+
（4）
. y =
12dy =
=
（5）
. ()sin x
y x e =：523sin cos 2x x x dy x e xe e dx -??
=-++ ???
（6）
. sin ln y x x =?：14
3sin cos ln 4x dy x x x dx x -??=+?+ ???
（7）.
11x f x x
??
=
?+??，求()df x ： 解：111
1
f x x
??
=
???+，()1
1f x x =
+，()()
2
11f x x '=-+ （8）. 0x
y
e xy -=，求dy ：
解：32
'x y
x y
ye y y xe xy -=
+， 32
'x y
x y
ye y dy y dx dx xe xy -==
+
（9）
. y =10.1
x x dy =?=：
1
1
0.1
0.1
10.1
1'40
x x x x x x dy y x x
==?=?==?==?=
?=
（10）. (
)2
ln 1y x
=+,求1
0.1
x x dy
=?=：1
2
0.1
10.1
20.11x x x x x
dy x x
=?==?==
?=+
2. 求下列各式的近似值： （1）
()f x =
1
(8.02)(80.02)(8)'(8)0.0220.02 2.001712
f f f f =+≈+?=+
?≈ （2）. 0.05
e
：设()x
f x e =，(0.05)(00.05)(0)'(0)0.0510.05 1.05f f f f =+≈+?=+=
（3）. sin3030'
：设()sin f x x =，则
1360(3030)(30)(30)(30)360
360
22360720f f f f π
π
π+''=+
≈+?
=
+?=o o o o
（4）.
()f x =
==
1111(1)(1)(1)16464364
f f f '=+≈+?=+?，
111414 4.020*******??
==+?=+≈ ???
3. 落在平静水面上的小石子儿产生同心波纹，若最外一圈波半径增大率总是6m/s ，问在2s
末被扰动水面面积增大率为多少？
解：由题意，被扰动的水面面积为()()2
S t r
t π=，
r '=，2秒末最外一圈波半径为
()26212r =?=m/s ，()()222246144S r r πππ''=?=?=。
4. 一球在斜面上向上滚，在t s 末与开始的距离为(
)2
3s t t =-m ，其初速度是多少？何时
开始向下滚？
解：32s t '=-，当0t =时，初速度3v s '==；当320v t =-=，即3
2
t =时，开始向下滚动。
5. 一矩形两边长分别用,x y 来表示，若x 边以0.01m/s 的速度减少，y 边以0.02m/s 的速度增加，求在20x =m ，15y =m 时矩形面积的变化速度积对角线的变化速度。 解：矩形的面积S xy =，0.0115200.020.25S x y xy '''=+=-?+?=；
对角线l =
，
1250
l '=
=
=
。 6. 设气体以1003
cm /s 的常速注入球状的气球，假定气体的压力不变，那么当半径为10cm 时，气球半径增加的速率是多少？
解：32
4V =44001003r r r r πππ'??'''=?== ???
，14r π'=。
7. 已知3
y x x =-，在2x =时计算当1,0.1,0.01x ?=时的y ?和dy 。 解：()()00y f x x f x ?=+?-，()()dy f x dx f x x ''==??
1x ?=时， ()()03312
3322248218x x y ?==?=---=-+=；
012
11111
x x dy ?===?=
0.1x ?=时，()()0330.12
2.1 2.1227.16182 1.161x x y ?==?=---=-+=
00.12
110.1 1.1x x dy ?===?=
0.01x ?=时，()()0330.012
2.01 2.01220.110601x x y ?==?=---=
00.012
110.010.11x x dy ?===?=
复习题三
1.判断题
（1）（ ? ） 若函数 )(x f 在 0x 点可导，则 00()[()]f x f x ''=； （2）（ √ ） 若)(x f 在 0x 处可导，则 )(lim 0
x f x x → 一定存在；
（3）（ √ ）函数 x x x f =)( 是定义区间上的可导函数； （4）（ ? ） 函数 x x f =)( 在其定义域内可导；
（5）（ ? ） 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，则 )(x f 在 (,)a b 内一定可导； （6）（ ? ）()(),()f x f x y e y e f x ''''==已知则
；
（7）（ ? ）函数 22,1
()ln ,014
x x f x x x ?≥?
=?<
(8) （ √ ）若 (),n f x x = 则 ()
(0)!n f
n = ；
(9) （ ? ）2
()2d ax b ax += ；
(10)（ ? ）若 ()f x 在 0x 点不可导，则 ()f x 在 0x 不连续；
(11)（ ? ）函数 ()f x x x = 在点 0x = 处不可导 . 2.填空题
1. ()f x =，则 (0)f '= 0
；
2.
曲线 3
y x = 在点 (1,1) 处的切线方程是23-=x y ；
3.
设 ln e x e y x e x e =+++， 则 y '= 1
1
e x ex
e x
-++
； 4. ),1sin(+=x e y dy = cos(1)x x e e dx + ；
5. 设 2
2
2e
x y x
+= ，则 y ' =2ln 22
21
x x x x +?+ ；
6. 设 e x y n += ，则()
n y = ！n ；
7.
曲线 x
e x y += 在点 (0,1) 处的切线方程是12+=x y ；
8.
若 )(x u 与 )(x v 在 x 处可导，则 ])
()
(['x v x u =2
'')]([)()()()(x v x v x u x v x u - ； 9.
()x x ' = )1(ln +x x x ；
10. 设)(x f 在0x 处可导，且A x f =')(0，则h
h x f h x f h )
3()2(lim 000
--+→用A 的
代数式表示为
A
5 ；
11. 导数的几何意义为切线的斜率 ；
12. 曲线 y
=
在 (1,1) 处的切线方程是 2321+
-=x y ；
13. 曲线 3
1y x =+ 在 (1,0)- 处的切线方程是 )
1(3+=x y ；
14. 3
2
sin(1)y x x =+则 dy =
dx
x x x x )]1cos(2)1sin(3[2422+++ ；
15. 曲线 2
y x = 在点 (0,0)处切线方程是0
=y ；
16. dy y -? 的近似值是
；
17.
n
y x =（n 是正整数）的 n 阶导数是 ！n ；
选择题
1. 设 )(x f 在点 0x 处可导，则下列命题中正确的是 （ A ） （A ） 0
00()()lim
x x f x f x x x →-- 存在 （B ） 000
()()
lim x x f x f x x x →--不存在
（C ） 00()()lim
x x f x f x x →+
-存在 （D ） 00()()
lim x f x f x x
?→-?不存在
2. 设)(x f 在0x 处可导，且0
001
lim
(2)()4
x x f x x f x →=--，则0()f x '等于（ D ）
（A ） 4 （B ） –4 （C ） 2 （D ） –2
3. 设21,10
()1,02x x f x x ?+-<≤=?<≤?
，则 )(x f 在点 0x = 处（ A ）
（A ）可导 （B ）连续但不可导 （C ）不连续 （D ）无定义 4. 设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = （ B ）
（A ） ()()f x h o h '+ （B ） 2()()f x h o h '-+ （C ） ()()f x h o h '-+ （D ） 2()()f x h o h '+ 5.
设 (0)0f = ，且 0()lim x f x x → 存在，则 0()
lim x f x x
→ 等于（ B ）
（A ）()f x ' （B ）(0)f ' （C ）(0)f （D ）1
(0)2
f '
6.
函数 )
(x f e y =，则 ="y （ D ）
（A ） )
(x f e （B ） )(")
(x f e x f
（C ） 2)
()]('[x f e
x f （D ） )}(")]('{[2)(x f x f e x f +
7. 函数 x
x x f )1()(-=的导数为（ D ）
（A ）x
x x )1(- （B ） 1
)
1(--x x
（C ）x x x
ln （D ） )]1ln(1
[)1(-+--x x x
x x
8.
函数)(x f 在 0x x =处连续，是 )(x f 在 0x 处可导的（ B ） （A ） 充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件
（C ） 充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件
9.
已知 ln y x x = ，则 (10)
y
= （ C ）
（A ） 91x -
（B ） 91x （C ） 98!x （D ） 9
8!x - 10. 函数 x
x x f =
)( 在 0=x 处（ D ）
（A ）连续但不可导 （B ） 连续且可导
（C ）极限存在但不连续 （D ） 不连续也不可导 11. 函数 1,0()1,
x f x x ≥?=?
-
（A ）左连续 （B ）右连续 （C ）连续 （D ）左、右皆不连续 12. 设 x
x
y e e -=+ ，则 y ''= （ A ）
（A ）x x e e -+ （B ）x x e e -- （C ）x x e e --- （D ）x x e e --+ 13. 设 1
(2)1
f x x +=+ ，则 ()f x '= （ A ） （A ）21(1)x -
- （B ）2
1
(1)
x -+ （C ）11x + （D ） 11x -- 14. 已知函数 2
ln y x = ，则 dy =（ A ）
（A ）
2dx x （B ） 2x （C ） 21
x
（D ）21dx x
15. 设 21cos ,0()0,01
tan ,0x x x f x x x x x
?
==???>? ，则 ()f x 在 0x =处（ C ） （A ） 极限不存在 （B ） 极限存在，但不连续 + （C ） 连续但不可导 （D ） 可导 16. 已知 sin y x = ，则 (10)
y
= （ C ）
（A ）sin x （B ）cos x （C ） sin x - （D ）cos x -
计算与应用题
1. 设
()arccos a
f x a x = （0a >），求 (2)f a '-
解：2'
2()()a f x a x
=
-=
3
25)
4(442)2(2
2
2
2
2
2
'
-
=--
--=
-a a a a a
a a a f
2. 设 ln()y xy = 确定 y 是 x 的函数，求 dx
dy 解： )(1)(1)][ln('''
'
xy y xy
xy xy xy y +==
= )
1(''
'
-=
+=?y x y
y xy
y y xy
3. 设 x x y 1
cos 1ln
+= ，求 dy 解：x x x x
x x x y 1sin 11)1()1sin()1(222'
+-=-?--=
dx x
x x dy )1
sin 11(2+-=
4. 设 2
1(1)arctan cos 2y x x x =++，求 y '
解：1sin 2
1arctan 2'
+-=x x x y
5. 设 x y e y
ln = 确定 y 是 x 的函数，求 dx
dy
解：'
'
ln (ln )
y
y y dy y
e y y x x dx x e x ?=?+
=
- 6. 设 )ln(ln
x y =，求 dy
解：dx x
x dx x
x x
dx y dy ln 1
21
1
ln 1'
=
??
?
=
= 7.
221
arcsin x y e x y x
=+- ， 求 'y 及 dy
解：'
2'
2
1122()sin x
y e x y arc x x
=+-
-?
'
1arcsin
y x
=
+
'
1arcsin
dy y dx dx x
==
+
8.
ln tan
2
x y =, 求 '
y 及 dy
解：x x x y csc 2
1
2sec 2
tan 12
'=??=
， xdx dx y dy csc '== 9.
sin()y x y =+ ，求 'y 及 dy
解：)1()cos('
'
y y x y +?+= )
cos(1)
cos('
y x y x y +-+=
dx y x y x dx y dy )
cos(1)
cos('+-+=
=
10. 221
cos 5ln x x y -
+= ，求 y ' 及 dy 解：32'2sin 2x x x y +-= dx x
x x dx y dy )2sin 2(32
'+-==
11.
y e = y ' 及 dy
解：x
x e
y x
2111arctan
'
?
+?
= dx x x e dy x
?+?
=)
1(21arctan
12. xy e y x
-=, 求 y ' 及 dy
解：'
'
xy y e y x
--= x y e y x +-=1'
dx x
y e dy x +-=1'
13. 已知 2cos 3y x =，求 y '
解：x x x y 6sin 33)3sin (3cos 2'
-=?-= 14. 设 22sin 0y x y --=， 求 y '
解：0cos 22'
'
=?--y y y y
y cos 22
'
-=
15. 求 13cos x
y e
x -= 的微分
解：'
131313(3cos sin )(3cos sin )x
x x dy y dx e
x e x dx e x x dx ---==--=-+
16. 设
ln(y x x =，求 y '
解：'
ln()y x x =++
(
ln x =+
17. 设 cos2x
y e
= ，求 dy
解： '
cos2(sin 2)2x
y e
x =-?x e x 2sin 22cos -=
dx y dy '==xdx e x 2sin 22cos -
18. 方程 0y
x
e e xy -+= 确定 y 是 x 的函数，求 y '
解：0'
'
=++-?xy y e y e x
y
， ‘
y =x y
e y
e x
-+ 19. 设2
2arctan(
)1x
y x
=-，求 y ' 解：'
'
22212()211()1x y x x x =?-+-=22222)1()2(2)1(2)12(11x x x x x
x ----?-+=2
12x + 20. 方程 2
cos 0y
y x e += 确定 y 是 x 的函数，求 y '
解：0sin cos 2'
2
=?+-?y e x y x y y y
‘
， ‘
y =y
e
x y x
y +cos 2sin 2 21. 3cos cos x y x x e =+，求 dy
解：dx x e x x x x dx y dy x
)sin sin cos 3(cos 32'--==
22. ln y x x = , 求 y ''
解： 'ln 1y x =+ ， "1y x
= 23. 已知
ln(y x =+
，求 y '
解：
'
)y x =
+
=
24. 设x
y x = ，求 y '
解：x x y ln ln = ，
1ln 1'+=?x y y
， ‘y
=)1(ln +x x x
25. 已知 ()sin3f x x = ，求 ()2
f π
''
解：'
()3cos3f x x = ， ()9sin 3f x x ''=- ， 3()9sin
92
2
f π
π
''=-= 26. 求 2x
e y x
= 的微分；
解：222'
222(21)x x x e x e e x y x x --== 22
(21)
x e x dy dx x -=
第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题
二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）
的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】
三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解
闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解
第三章 导数与微分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题. 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式. 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点 导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法. 难点 求复合函数和隐函数的导数的方法. （二） 内容提要 1.导数的概念 ⑴导数 设函数)(x f y =在点0 x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在点0 x 处有增量)0(≠??x x ，x x ?+0 仍在该邻域内时，相应地，函数有增量)()(0 x f x x f y -?+=?，若极限 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 存在，则称)(x f 在点0 x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0 x 处的导数，记为)(0 x f '，也可记为0 00 0d d d d , ,)(x x x f x x x y x x y x y ===' '或，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000. 若极限不存在，则称)(x f y =在点0 x 处不可导. 若固定0 x ，令x x x =?+0 ，则当0→?x 时，有0x x →，所以函数)(x f 在 点0 x 处的导数)(0 x f '也可表示为 00 ) ()(lim )(x x x f x f x f x --='→.
P61 习题3-1 1、根据定义求导数： (1)cos y x = 00000cos()cos lim 2sin sin 22lim sin()sin 22lim 2 sin 2lim sin()lim 22 sin x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→+?-'=?+?++?--=???+=-???=-+?=- 12 (2)y x = 112 2 012()lim lim lim 12x x x x x x y x x ?→?→?→-+?-'=?==== (3)y = 033 223 2 2 2(lim lim lim lim x x x x x x y x ?→?→?→?→+?'=?==== =(4)x y a = 001lim lim x x x x x x x a a a y a x x +???→?→--'==?? 设t x =?，则 01 lim t x t a y a t →-'= 再设t s a =，则log a t s =，于是 11 1 1 110 1 1lim log 1lim log 1 lim log [1(1)] 1log ln x s a x s s a x s s a x a x s y a s a s a s a e a a →→--→--'===+-== 2、
0000000()()(1)lim [(()]() lim () x x f x x f x x f x x f x x f x ?→-?→-?-?+-?-=--?'=- 00000000000000000000000()()(2)lim ()()()()lim ()()()()lim lim ()()()()lim lim ()[()]2() x x x x x x f x x f x x x f x x f x f x f x x x f x x f x f x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x f x f x ?→?→?→?→?→?→+?--??+?-+--?=?+?---?=+??+?--?-=-??''=--'= 000()(3)lim ()lim (0)(0)lim (0) x x x f x x f x x f x f x f →?→?→?=?+?-=?'= 00001001 (4)lim [()()]1 ()() lim 1() n n n f x f x n f x f x n n f x →∞→+-+-='= 3、证： ()f x 为偶函数且(0)0f =，则 00000(0)(0)(0)lim ()(0) lim ()(0) lim ()(0) lim ()(0) lim (0)x x x x x f x f f x f x f x f x f x f x f x f x f x f - - - - + -?→?→?→?→-?→++?-'=??-=?-?-=?-?-=--?-?-=--?'=- 又()f x 在0x =处可导，则 (0)(0)f f -+''= 即(0)(0)f f ++''=- 所以(0)0f +'= 故(0)0f '=。 4、证： （1）设()f x 为可导的奇函数，则： 0000()()()lim ()()lim ()() lim [()]() lim ()x x x x f x x f x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x ?→?→?→-?→-+?--'-=?--?+=?-?-=-?+-?-=-?'= 所以()f x '为偶函数。 （2）设()f x 为可导的偶函数，则：
第三章 导数与微分 同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim =--→x f x f x x ，则)0(f '= 。 2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。 3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则 1 =x dx dy = 。 4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。 5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。 6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。 7、已知x x y ln =，则)10(y = 。 8、已知2arcsin )(),232 3( x x f x x f y ='+-=，则：0 =x dx dy = 。 9、设1 111ln 2 2++-+=x x y ，则y '= 。 10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。 11、已知()x ke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dy x d 。 二、选择 1、设f 可微，则=---→1 ) 1()2(lim 1 x f x f x （ ） A 、)1(-'-x f B 、)1(-'f C 、)1(f '- D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→) ()2(lim 000 x f x x f x x （ ） A 、 41 B 、4 1 - C 、1 D 、-1 3、设?? ???=≠=0001arctan )(x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处（ ） A 、不连续 B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 3 2+= Ｂ、x x y sin =
第三章 函数的导数与微分 习题 3－1 1. 根据定义求下列函数的导数: (1) x y 1 = (2)x y cos = (3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y = 解 (1) 因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ?→?→?+?-==?? =x x x x x ?-?+→?1 1lim 0=01lim ()x x x x ?→-+?=2 1 x - 所以 21 y x '=- . (2) 因为 00cos()cos 'lim lim x x y x x x y x x ?→?→?+?-==?? 02sin()sin 22 lim sin x x x x x x ?→??-+==-? 所以 sin y x '=- (3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ?→?→?+?+-+==?? =x x a x ??→?0lim =a 所以 y a '= (4) 因为 00'lim lim x x y y x ?→?→?==? = )(lim 0x x x x x x +?+??→? lim x ?→== 所以 y '= . 2. 下列各题中假定)(0'x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =?-?-→?) ()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0('f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0('f 存在)
第三章导数与微分 一、导数概念与定义 A 、导数的概念 a 、设函数y=f （x ）在点0x 处的某临域内有定义，当自变量x 在0x 处取得变量△x （△x ≠0）时，函数取得 相应增量。即△y=f （0x +△x ）-f （0x ） 若△y 与△x 之比当△x →0时极限存在，即000()()lim x f x x f x x ?→+?-?存在，，则称函数在点0x 处可导，0x 为()y f x =的可导点，并称此极限为函数在点0x 处的导数。 法线的斜率为1k ，切线的斜率为k b 、若0 000()()()lim x x f x f x f x x x →-'=→不存在，则称()f x 在0x 处不可导或不存在导数，0x 为()f x 的不可导点。 ※特别是当上述极限为无穷大时，此时导数不存在，或称()f x 在点0x 处的导数无穷大。 导数()f x '也可记为0|x x dy dx =或0()|f x x x x d d = c 、函数的左导数与右导数 0000()()()lim x f x f x f x x x --→-'=→ 0000 ()()()lim x f x f x f x x x ++→-'=→ ※分段函数的分段点处考虑左导右导，其余正常求导时直接求()f x ' B 、导数的几何意义 曲线在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=- 曲线在点00(,())x f x 处的发现方程为0001()()y y x x f x --= -' C 、函数的可导性与连续性的关系 函数()y f x =在0x 处可导，则在0x 处连续；但函数()y f x =在0x 处连续，在点0x 不一定可导。 二、求导法则 A 、 代数和的求导法则，积的导数、商的导数 ① ()u v u v '''+=+ ② ()u v u v v u '''?=+ ③ ()cu cu ''= ④ ()au bv au bv '''±=± ⑤ ()u v w s t u vwst uv wst uvw st uvws t uvwst ''''''????=++++ 即n 个因子乘积的导数一定为n 项，且每项均为n 个因子的乘积，第i 项的第i 个因子求导，其余不变 ⑥ 2()u u v v u v v ''-'= B 、 反函数的导数
第三章 微分中值定理与导数的应用答案 §3.1 微分中值定理 1． 填空题 （１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 π π -4． （２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中． 2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）． A ． 必要条件 B ．充分条件 C ． 充要条件 D ． 既非充分也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 2 1)(x x f -= D. ????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成 立（ B ）． A ． ),() ()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间 C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ 3．证明恒等式：)(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011 11)(2 2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2 f π = ， 故 )(2 c o t a r c t a n ∞<<-∞=+x x arc x π ． 4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ． 证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．
页脚内容1 第三章 导数与微分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1.理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题. 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式. 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法. 难点求复合函数和隐函数的导数的方法. （二）内容提要 1.导数的概念 ⑴导数 设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在点0x 处有增量)0(≠??x x ，x x ?+0仍在该邻域内时，相应地，函数有增量)()(00x f x x f y -?+=?，若极限
页脚内容2 存在，则称)(x f 在点0x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0x 处的导数，记为)(0x f '，也可记为 00 0d d d d , , )(x x x f x x x y x x y x y ===' '或 ，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000. 若极限不存在，则称)(x f y =在点0x 处不可导. 若固定0x ，令x x x =?+0，则当0→?x 时，有0x x →，所以函数)(x f 在点0x 处的导数)(0x f '也可表示为 00 0) ()(lim )(x x x f x f x f x --='→. ⑵左导数与右导数 ①函数)(x f 在点0x 处的左导数 )(0x f -'＝x x f x x f x y x x ?-?+=??- - →?→?) ()(lim lim 0000 . ②函数)(x f 在点0x 处的右导数 )(0x f +'＝x x f x x f x y x x ?-?+=??+ + →?→?) ()(lim lim 000 0. ③函数)(x f 在点0x 处可导的充分必要条件是)(x f 在点0x 处的左导数和右导数都存在且相等．
高等数学II 练习题 第三章 导数与微分 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ 习题3.1 导数的概念 一．选择题 1．设()f x 在x a =的某邻域内有定义，()f x 在x a =可导的充分必要条件是 （ C ） （A ）0 1lim (()())h h f a f a h →+ -存在 （B ）0 (2)() lim h f a h f a h h →+-+存在 （C ）0 ()() lim h f a f a h h →--存在 （D ）0 ()() lim h f a h f a h h →+--存在 2．设()f x 是可导函数，且0 (1)(1) lim 12x f f x x →--=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线 斜率为 （ B ） （A ）1- （B ）2- （C ）6 （D ）1 3. 设()f x 在x 处可导，,a b 为常数，则0 ()() lim x f x a x f x b x x ?→+?--?=? （ B ） （A ）()f x ' （B ）()()a b f x '+ （C ）()()a b f x '- （D ） ()2 a b f x +' 4. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 （ B ） （A ）充分但不是必要（B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）既非充分也非必要 5．设曲线22y x x =+-在M 点处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 （ B ） （A ）(0,1) （B ）(1,0) （C ）(0,0) （D ）(1,1) 6.设函数()|sin |f x x =，则()f x 在0x =处 （ B ） （A ）不连续 （B ）连续，但不可导 （C ）可导，但不连续 （D ）可导，且导数也连续 二．填空题 1．设()f x 在0x 处可导，000 (3)() lim h f x h f x h →+-= 。 2．设()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则0 ()lim x f x x →= 。 3．设0()2f x '=-，则0 00lim (2)() x x f x x f x →=-- 。 4．设()(1)(2)(2009)f x x x x x =--- ，则(0)f '= 。 5．已知物体的运动规律为2 s t t =+（米），则物体在2t =秒时的瞬时速度为 。 03()f x ' (0)f '1 42009!-5/m s
第三章 导数与微分 习题一 导数的定义 一、1、由导数定义得： 2)2(lim )(2lim ) 41(4)1(lim )1()1(lim lim )1(02 022000' =?+=??+?=?+-+?+=?-?+=??=→?→?→?→?→?x x x x x x x y x y x y y x x x x x 2、由导数定义得： 4 3 243lim 2 3 23lim ) 2()2(lim lim )2(0000'-=?+-=?- ?+=?-?+=??=→?→?→?→?x x x x y x y x y y x x x x 二、（1）求增量：因为b ax x f y +==)( b x x a x x f +?+=?+)()( 所以x a b ax b x x a x f x x f y ?=+-+?+=-?+=?)()()()( （2）算比值： a x x a x y =??=?? （3）取极限：a a x y dx dy x x ==??=→?→?0 0lim lim 三、0)1sin (lim 0 1sin lim 0)0()(lim )0(0200'==-=--=→→→x x x x x x f x f f x x x 四、011lim )0()0(lim lim )0(000' =?-=?-?+=??=---→?→?→?-x x f x f x y f x x x 11 )1(lim )0()0(lim lim )0(000'=?-+?=?-?+=??=+++→?→?→?+x x x f x f x y f x x x 因为)0()0(' '+-≠f f ，所以函数)(x f 在0=x 处的导数不存在。 五、设所求点的坐标为),(00y x ，则抛物线2 x y =在该点的切线的斜率为： 0'22|2|)(00x x x k x x x x ===== 又过该点的切线平行于所给直线，因此两直线的斜率相等， 所以有：220==x k ，解得10=x
第三章 微分中值定理与导数的应用 【考试要求】 1．理解罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理及它们的几何意义，理解柯西(Cauchy)中值定理、泰勒(Taylor)中值定理。会用罗尔中值定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明一些简单的不等式。 2．掌握洛必达(L’Hospital)法则，会用洛必达法则求“00”，“∞ ∞ ”，“∞?0”，“∞-∞”，“∞1”，“0 0”和“0∞”型未定式的极限。 3．会利用导数判定函数的单调性，会求函数的单调区间，会利用函数的单调性证明一些简单的不等式。 4．理解函数极值的概念，会求函数的极值和最值，会解决一些简单的应用问题。 5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 6．会求曲线的渐近线(水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线)。 7．会描绘一些简单的函数的图形。 【考试内容】 一、微分中值定理 1．罗尔定理 如果函数()y f x =满足下述的三个条件： （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即()()f a f b =， 那么在(,)a b 内至少有一点ξ（a b ξ<<），使得()0f ξ'=． 说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若0()0f x '=，则 称点0x 为函数 ()f x 的驻点．
2．拉格朗日中值定理 如果函数()y f x =满足下述的两个条件： （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导， 那么在(,)a b 内至少有一点ξ（a b ξ<<），使得下式（拉格朗日中值公式）成立： ()()()()f b f a f b a ξ'-=-． 说明：当 ()()f b f a =时，上式的左端为零，右端式()b a -不为零，则只能()0f ξ'=， 这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理． 3．两个重要推论 （1）如果函数 ()f x 在区间I 上的导数恒为零，那么()f x 在区间I 上是一个常数． 证：在区间I 上任取两点1x 、2x （假定12x x <，12x x >同样可证） ，应用拉格朗日中值公式可得 2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- （12x x ξ<<） ． 由假定， ()0f ξ'=，所以 21()()0f x f x -=，即 21()()f x f x =． 因为1x 、2x 是I 上任意两点，所以上式表明 ()f x 在区间I 上的函数值总是相等的，即 ()f x 在区间I 上是一个常数． （2）如果函数 ()f x 与()g x 在区间(,)a b 内的导数恒有()()f x g x ''=，则这两个函 数在(,)a b 内至多相差一个常数，即()()f x g x C -=（C 为常数）． 证：设() ()()F x f x g x =-，则()[()()]()()0F x f x g x f x g x ''''=-=-=， 根据上面的推论（1）可得，() F x C =，即()()f x g x C -=，故()()f x g x C -=． 二、洛必达法则 1．x a →时“ ”型未定式的洛必达法则