导数的概念及其运算（1）
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.) 1、函数2
1()ln 2
f x x x =-
,则()f x 的导函数'()f x 的奇偶性是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2、若0()2f x '=,则=--→k
x f k x f k 2)
()(lim
000
( )
A.0
B. 1
C. —1
D.2
3、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直,则l 的方程为( )
A.034=--y x
B.034=-+y x
C.034=+-y x
D.034=++y x 4、曲线423+-=x x y 在点)3,1(处的切线的倾斜角为( )
A.?30
B.?45
C.?60
D.?120
5、设))(()(,),()(),()(,sin )(112010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==+ ,则2010()f x =( )
A.x sin
B. x sin -
C.cos x -
D.cos x 6、曲线)12ln(-=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离是( )
A.5
B.52
C.53
D.0
7、已知函数2log ,0,
()2,0.x x x f x x >?=?≤?
若'()1f a =,则a =( )
A.2log e 或22log (log )e
B.ln 2
C.2log e
D.2或22log (log )e
8、下列结论不正确的是( )
A.若3y =,则0y '=
B.若3y x =,则1|3x y ='=
C.若y =则
y '= D.若y =
,则y '=9、已知函数3()f x x =的切线的斜率等于3,则切线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.不确定
10、已知点P(1,2)是曲线22y x =上一点,则P 处的瞬时变化率为 ( )
A.2
B.4
C.6
D.2
1
11、曲线n y x =在2x =处的导数为12,则n =( )
A.1
B.2
C.3
D.4
12、设a ∈R ,函数()e e x x f x a -=+?的导函数是()f x ',且()f x '是奇函数.若曲线()y f x =的一
条切线的斜率是3
2
,则切点的横坐标为 ( )
A.ln 2
B.ln 2-
C.ln 22
D.ln 2
2
-
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.) 13、已知2()2(1)f x x x f '=+?,则=')0(f ________ 14、直线b x y +=
2
1
是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线,则实数=b _________ 15、已知曲线12-=x y 在0x x =点处的切线与曲线31x y -=在0x x =处的切线互相平行,则
0x 的值为____________
16、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)
()(2
>-'x
x f x f x (0)x >,则不等式()0f x >的解集是 .
三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.) 17、(12分)已知函数))(2ln(2)(2R a x ax x f ∈-+=,设曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线为l ,若l 与圆4
1
:22=+y x C 相切,求a 的值.
18、(12分)设函数())(0)f x ??π=+<<,且()()f x f x '+为奇函数.
(1)求?的值;
(2)求()'()f x f x +的最值.
19、(12分)
如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行,求切点坐标与切线方程.
20、(12分)已知函数d cx bx x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P ,且在点))1(,1(--f M 处的切线方程为076=+-y x ,求函数)(x f y =解析式.
21、(12分)设函数x
b
ax x f -
=)(,曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为 01247=--y x .
(1)求)(x f y =的解析式
(2)证明:曲线)(x f y =上任一点处的切线与直线0=x 和直线x y =所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
22、(14分) 已知关于x 的方程sin ((0,1))x
k k x
=∈在(3,0)(0,3)-ππ内有且仅有4个根,从小到大依次为1234,,,x x x x .
(1)求证:44tan x x =;
(2)是否存在常数k ,使得234,,x x x 成等差数列?若存在求出k 的值,否则说明理由.
参考答案
一． 选择题
1.D ()f x 的定义域为(0,)+∞,不关于原点对称.
2.C 原式=00001[()]()1lim ()12()2
k f x k f x f x k -→+--'-
=-=--. 3.A 与直线084=-+y x 垂直的直线l 为04=+-m y x ,即4x y =在某一点的导数为4,而
34x y =',所以4x y =在)1,1(处导数为4,过此点的切线为034=+-y x .故选A 4.B 232-='x y ,1=∴k ,倾斜角为?45
5.D 1()cos f x x =,2()sin f x x =-,3()cos f x x =-,4()sin f x x =,201050242=?+, ∴2010()f x =1()cos f x x =.
6.A 由曲线得221y x '=
-,设直线20x y c -+=与曲线切于点00(,)P x y ,则02
221
x =-, ∴01x =,00ln(21)0y x =-=,得(1,0)P ,
所求的最短距离为d ==7.C 当0a >时,21
'()1log ln 2
f a a e a =
=?=; 当0a ≤时,'()2ln21a f a ==,而021,0ln21a <≤<<,矛盾! 8.D
9.B 33)(2=='x x f ,解得1±=x ,故有两个切点)1,1(和)1,1(--,所以有两条切线 10.B 4411=='==x x x y 11.C 3,4312212
1
2=∴?==?=?='-=-=n n x n y n x n x
12.A '()x x f x e ae -=-,()f x '是奇函数'(0)10f a =-=,∴1a =,有'()x x f x e e -=-, 设切点为00(,)x y ,则0003'()2x x f x e e -=-=,得02x e =或01
2
x e =-(舍去),∴0ln2x =. 二、填空题
13.—4 ()22(1)(1)22(1)f x x f f f ''''=+?=+,∴(1)2f '=-,有2()4f x x x =-,
()24f x x '=-,∴(0)4f '=-.
14.12ln - x y 1=
',令211=x 得2=x ,故切点为)2ln ,2(,代入直线方程,得b +?=22
1
2ln ,所以12ln -=b
15.00x =或023x =- 212,y x y x '=-?=3213y x y x '=-?=-,∴2
0023x x =-,
解得00x =或02
3
x =-.
16.),1()0,1(+∞- 可得()
'()f x f x x
>,由导数的定义得,当01x <<时,
()(1)()
1f x f f x x x
->-,又0)1(=f ,()(1)()xf x x f x <-,∴()0f x <;当1x >时,
同理得()0f x <.又)(x f 是奇函数,画出它的图象得()0f x >?(1,0)(1,)x ∈-+∞. 三、解答题
17.解:依题意有:)2(2
2
2)(,)1(<-+
='=x x ax x f a f , l ∴的方程为02)1(2=-+--a y x a l 与圆相切,8
11211
)1(4|2|2=?=
+--∴
a a a ∴a 的值为
11
8
.
18.解:(1)()'()f x f x +)3sin(3)x ??=++
53)6
x π?=++
, 又0?<<π,()'()f x f x +是奇函数,∴=
?6
π.
(2)由(1)得()'()f x f x +)=+π=-. ∴()'()f x f x +的最大值为2,最小值为2-. 19.解: 切线与直线34+=x y 平行, 斜率为4 又切线在点0x 的斜率为0
32
0(10)31x x y x x x '
'
=+-=+
∵4132
0=+x ,∴10±=x ,有??
?-==810
0y x ,或???-=-=12100y x , ∴切点为)8,1(-或)12,1(--,
切线方程为)1(48-=+x y 或)1(412-=+x y ,
即124-=x y 或84-=x y .
20.解:由f(x)的图象经过)2,0(P ,知2=d ,所以2)(23+++=cx bx x x f
.23)(2c bx x x f ++='
由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ,知07)1(6=+---f , 即6)1(,1)1(=-'=-f f
∴326
121b c b c -+=??-+-+=?,即???=--=-032c b c b ,解得3-==c b , 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f 21.解:(1)方程01247=--y x 可化为34
7-=
x y ,当12,2x y ==时;
又2)(x b a x f +=',于是???
????
=+=-4742
122b a b a ,解得???==31b a
故x
x x f 3
)(-
= (2)证明:设),(00y x P 为曲线上任一点,由23
1x
y +
='知曲线在点),(00y x P 处的切线方程为))(31(02
0x x x y y -+
=-,即))(3
1()3(020
00x x x x x y -+=-- 令0=x ,得06x y -
=,从而得切线与直线0=x 的交点坐标为6
,0(0
x -; 令x y =,得02x x y ==,从而得切线与直线x y =的交点坐标为)2,2(00x x ; 所以点),(00y x P 处的切线与直线0=x ,x y =所围成的三角形面积为
6|2||6
|2100
=-x x ; 故曲线)(x f y =上任一点处的切线与直线0=x ,x y =所围成的三角形面积为定值,此定值为6.
22.解:(1)由原方程得sin (0)x kx x =≠,设函数()sin f x x =,()g x kx =(0)x ≠,它们的图象如图所示:
方程得sin (0)x kx x =≠在(3,0)(0,3)-ππ内有
且仅有4个根,4x 必是函数()g x kx =与()sin f x x =在
5(2,
)2
π
π内相切时切点的横坐标,即切点为44(,sin )x x ,()g x kx =是()sin f x x =的切线. 由'()cos f x x =,∴4cos k x =,又∵44sin x kx =,于是44tan x x =. (2)由题设知23x x =-,又234,,x x x 成等差数列,得3242x x x =+,∴341
3
x x =
. 由33sin x kx =,得4411sin 33x kx =,即441
sin 3sin 3x x =.
由题设45(2,)2x π∈π,得425(,)336
x ππ
∈,
∴41sin
(,)322x ∈,有433sin (,)322x ∈,即43sin (,22
x ∈,与4sin 1x <矛盾!
故不存在常数k 使得234,,x x x 成等差数列.
导数的概念及运算 一，导数的概念 1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数 ()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?，如果0→?x 时，y ?与x ?的比 x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即 x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因 此，导数的定义式可写成 000000 ()()()() ()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ?→→+?--'==?-. 2.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -?+=? ()2求平均变化率 x x f x x f x y ?-?+= ??)()(；()3取极限，得导数y '=()f x '=x y x ??→?0lim 3.导数的几何意义： 导数0000()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?是函数)(x f y =在点0x 处的瞬时变化率，它 反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．． 的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果 )(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='- 4.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函 数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝ x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?) ()(lim lim 00 函数)(x f y =在0x 处的导数0 x x y =' 就是函数)(x f y =在开区间),(b a )) ,((b a x ∈
导数的概念及运算 一、选择题 1.设曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析∵y＝e ax－ln(x＋1)，∴y′＝a e ax－ 1 x＋1 ，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵ 曲线y＝e ax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D. 答案 D 2.若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于( ) A.2 B.0 C.－2 D.－4 解析∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 答案 D 3.(2017·西安质测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( ) A.(1，3) B.(－1，3) C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3) 解析f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C. 答案 C 4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e B.－e C.1 e D.－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则 y′|x＝x 0＝ 1 x ，切线方程为y－ln x0＝ 1 x (x－x0)，因为切线过点(0，0)，所
以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1 e . 答案 C 5.(2016·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则 g ′(3)＝( ) A.－1 B.0 C.2 D.4 解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－1 3，∴f ′(3)＝－ 1 3 ，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×? ???? －13＝0. 答案 B 二、填空题 6.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数， f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________. 解析 f ′(x )＝a ? ? ???ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )，由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ， 又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案 3 7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________. 解析 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ， f ′(x )＝1 x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1. 答案 2x ＋y ＋1＝0
导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，
导数的概念、运算及其几何意义 黑龙江 依兰高中 刘 岩 A 组基础达标 选择题： 1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2 s s t gt ==若t ?无限趋近于0时， (1)(1)s t s t +?-?无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度 B ．9.8/m s 是在1～（1+t ?）s 这段时间内的速度 C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ?）s 这段时间内的平均速度 D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度. 2． 已知函数f ’ (x)＝3x 2 , 则f (x)的值一定是（ ） A. 3x +x B. 3x C. 3x +c (c 为常数) D. 3x+c (c 为常数) =x 2+b x +c f /(x)的图象是（ ） 4.下列求导数运算错误．．的是（ ） A. 20122013x 0132c x ='+）（ (c 为常数) B. x xlnx 2lnx x 2+='）（ C. 2x cosx xsinx x cosx +='）（ D . 3ln 33x x ='）（ 5．.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12 ，则切点的横坐标为（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 12 D ．1 填空题： 1．若2012)1(/ =f ，则x f x f x ?-?+→?)1()1(lim 0= ，x f x f x ?--?+→?)1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 2．函数y=(2x －3)2 的导数为 函数y= x -e 的导数为 3. 若函数()f x 满足，321()(1),3 f x x f x x '=-?-则(1)f '的值 A x D C x B
导数的概念及运算 一、填空题 1.设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________. 解析 由f (x )＝x ln x ，得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案 e 2.设y ＝x 2e x ，则y ′＝________. 解析 y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝()2x ＋x 2 e x . 答案 (2x ＋x 2)e x 3.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于________. 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. 答案 －1 4.(2015·苏北四市模拟)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________. 解析 由y ′＝2ax ，又点(1，a )在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2，解得a ＝1. 答案 1 5.(2015·湛江调研)曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________. 解析 y ′|x ＝0＝(－2e －2x )|x ＝0＝－2，故曲线y ＝e －2x ＋1在点(0，2)处的切线方程为y ＝－2x ＋2，易得切线与直线y ＝0和y ＝x 的交点分别为(1，0)，? ?? ?? 23，23，故围 成的三角形的面积为12×1×23＝1 3. 答案 13 6.(2015·长春质量检测)若函数f (x )＝ln x x ，则f ′(2)＝________. 解析 ∵f ′(x )＝1－ln x x 2，∴f ′(2)＝1－ln 2 4.
第三章导数及其应用 第1讲导数的概念及运算 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．设y＝x2e x，则y′＝ () A．x2e x＋2x B．2x e x C．(2x＋x2)e x D．(x＋x2)e x 解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x. 答案 C 2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于 () A．－e B．－1 C．1 D．e 解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x ， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1. 答案 B 3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是 () A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0 C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0 解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y ＋1＝0. 答案 C 4．(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为
() A．e B．－e C.1 e D．－ 1 e 解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1 x ，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x ＝x0＝1 x0 ，切线方程为y－ln x0＝1 x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0 ＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e. 答案 C 5．(2017·昆明诊断)设曲线y＝1＋cos x sin x在点? ? ? ? ? π 2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0 平行，则实数a等于 () A．－1 B.1 2 C．－2 D．2 解析∵y′＝－1－cos x sin2x ，∴＝－1. 由条件知1 a ＝－1，∴a＝－1. 答案 A 二、填空题 6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________. 解析因为y′＝2ax－1 x ，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线 平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2. 答案1 2 7.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x) 在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ． ln 2 2 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()s i n f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x = 等于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1 ()2ln f x ax x x =-- （2）2 ()1x e f x ax =+ （3）21 ()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-
导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大 .考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定 义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最(极)值等等， 考查的题型有客观题(选择题、填空题) 、主观题(解答题)、考查的形式具有综合性和多 样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考 查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)…(x-100)在x= 0处的导数值为 2 A.0 B.100 C.200 D.100 ! 解法一 “(0、_ .. f (° tx) _f(o) .. .-xC-x-DO-2V'^-100)-0 解法 f (0)_叽 L _叽 - _ ||m (A x-1)( △ x-2)…(△ x-100)_ (-1) (-2)-( - 100) =100 ! ???选 D. .x _0 解法二 设 f(x)_a 101x 101 + a 100X 100+ …+ a 1X+a 0,则 f z (0)_ 而 a 1_ (-1)(-2 ) - (- 100) _100 ! . ???选 D. 点评解法一是应用导数的定义直接求解， 函数在某点的导数就是函数在这点平均变化 率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解 111 【例2】已知函数f(x)_ c ； c ^x ? — C ；X 2亠■亠— C ；X k 亠■亠一 3 B 10 3 C 16 3 D 13 = 2 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知 f ( x ) = ax 3 + 3x 2 + 2 ，若 f '(-1) = 4 ，则 a 的值等于 A 19 3 2 已知直线 y = kx + 1 与曲线 y = x 3 + ax + b 切于点（1，3），则 b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数 y （x + 2a ）(x-a ) 的导数为 A 2( x 2 - a 2 ) B 3(x 2 + a 2 ) C 3(x 2 - a 2 ) D 2( x 2 + a 2 ) 1 4 4 曲线 y = x 3 + x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 3 3 A 1 2 1 2 B C D 9 9 3 3 5 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的导数为 f '( x ), f '(0) > 0 ，对于任意实数 x ，有 f ( x ) ≥ 0 ，则 最小值为 f (1) f '(0) 的 A 3 B 5 2 C 2 D 3 2 6 已知函数 f ( x ) 在 x = 1 处的导数为 3，则 f ( x ) 的解析式可能为 A C f ( x ) = ( x -1)2 + 3(x - 1) f ( x ) = 2( x - 1)2 B f ( x ) = 2( x - 1) D f ( x ) = x - 1 7 下列求导数运算正确的是 A 1 1 ( x + )' = 1 + x x 2 B (log x )' = 2 1 x ln 2 C (3x )' = 3x ? log e D ( x 2 cos x )' = -2 x sin x 3 8 曲线 y = A π 6 1 3 x 3 - x 2 + 5 在 x = 1 处的切线的倾斜角为 3π π π B C D 4 4 3 9 曲线 y = x 3 - 3x 2 + 1 在点 (1,-1) 处的切线方程为 A y = 3x - 4 B y = -3x + 2 C y = -4 x + 3 D y = 4 x - 5 10 设函数 y = x sin x + cos x 的图像上的点 ( x , y ) 处的切线斜率为 k ，若 k = g ( x ) ，则函数 k = g ( x ) 的图 导数的概念与计算练习 题带答案 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI- 导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点 P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ．ln 22 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等 于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1） 1 ()2ln f x ax x x =-- （2） 2 ()1x e f x ax = + （3）21()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=- 第1讲 导数的概念及其运算 1.已知函数3 2 ()32f x ax x =++,若f′(-1)=4,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.133 D.103 【答案】 D 【解析】 f′2 ()36x ax x f =+,′(-1)=3a 10643 a -=,=. 2.设y=-2e x sinx,则y′等于( ) A.-2e x cosx B.-2e x sinx C.2e x sinx D.-2e (x sinx+cosx) 【答案】 D 【解析】 ∵y=-2e x sinx, ∴y′=(-2e )x ′sinx+(-2e )(x sinx)′ =-2e x sinx-2e x cosx =-2e (x sinx+cosx). 3.已知3 270()x m f x mx m <,=+,且f′(1)18≥-,则实数m 等于( ) A.-9 B.-3 C.3 D.9 【答案】 B 【解析】 由于f′2 27()3x mx m =+,故f′27(1)183m m ≥-?+≥ -18 , 由m<0得2 27318318270m m m m +≥-?++≤?2 3(3)m +0≤,故m=-3. 4.设曲线11 x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( ) A.2 B.12 C.12 - D.-2 【答案】 D 【解析】 因为y′22(1) x -= ,-所以切线斜率k=y′|3 x ==1 2-,而此切线与直线ax+y+1=0垂直, 故有()1k a ?-=-,因此12a k ==-. 5.已知12()f x =sin2x+sinx,则f′(x)是( ) A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 【答案】 B 【解析】 f′12()x =cos 22x ?+cosx=cos2x+cosx =2cos 21x -+cosx=2(cos 29148)x +-. 故f′(x)是既有最大值2,又有最小值98-的偶函数,选B 项. 导数的概念及运算专题训练 基础巩固组 1.已知函数f(x)=+1,则--的值为() A.- B. C. D.0 2.若f(x)=2xf'(1)+x2,则f'(0)等于() A.2 B.0 C.-2 D.-4 3.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则曲线y=f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是() A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0 4.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为() A.1 B. C. D. 5.已知a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为() A.y=3x+1 B.y=-3x C.y=-3x+1 D.y=3x-3 6.设曲线y=sin x上任一点(x,y)处切线的斜率为g(x),则函数y=x2g(x)的部分图象可以为() 7.一质点做直线运动,由始点经过t s后的距离为s=t3-6t2+32t,则速度为0的时刻是() A.4 s末 B.8 s末 C.0 s末与8 s末 D.4 s末与8 s末 8.函数y=f(x)的图象在点M(2,f(2))处的切线方程是y=2x-8,则=. 9.(2018天津,文10)已知函数f(x)=e x ln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为. 10.已知函数f(x)=x++b(x≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b=. 11.函数f(x)=x e x的图象在点(1,f(1))处的切线方程是. 12.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是. 综合提升组 13.已知函数f(x)=x ln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为() A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0 14.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(- 1)=() A. B.- C. D.-或 15.直线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=. 经典例题导讲 [例1]已知2)2cos 1(x y +=,则='y . 错因：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:)2cos 1(2sin 2x x y +-='. 正解：设2u y =,x u 2cos 1+=,则)2()2sin (2)2cos 1(2'?-?='+=''='x x u x u u y y x u x )2cos 1(2sin 42)2sin (2x x x u +-=?-?=∴)2cos 1(2sin 4x x y +-='. [例2]已知函数???????>+≤+=)1)(1(2 1)1)(1(2 1)(2 x x x x x f 判断f(x)在x=1处是否可导？ 错解：1)1(,1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim 2 2 ='∴=?+- +?+→?f x x x 。 分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 解： 1) 11(2 1]1)1[(2 1 lim lim 2 2 =?+- +?+=??- - →?→?x x x y x x ∴ f(x)在x=1处不可导. 注：+→?0x ，指x ?逐渐减小趋近于0；-→?0x ，指x ?逐渐增大趋近于0。 点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 000 ，△x →0，包括△x →0＋，与△x →0－ ，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数. [例3]求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。 错因：直接将P ，Q 看作曲线上的点用导数求解。 分析：点P 在函数的曲线上，因此过点P 的切线的斜率就是y '在1=x 处的函数值； 点Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线． 解：4.4,3212= ' ∴='∴+==x y x y x y 即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ． 高中导数经典知识点及 例题讲解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN § 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 自学引导 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义． 2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身 1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为Δy Δx ＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则Δy Δx ＝________，表示函数 y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率. 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 答 案 2. f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 名师讲解 1.如何理解Δx ，Δy 的含义 Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 2．求平均变化率的步骤 求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 对平均变化率的认识 函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在 [0，π2]上的平均变化率为sin π 2－sin0 π2－0 ＝2π. 在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0. 导数的概念、运算及其几何意义 1．已知物体做自由落体运动的方程为s s(t) 1 gt 2 , 若t 无限趋近于0 时， s(1 t) s(1) 无限趋近于 2 9.8m / s ，那么正确的说法是（） t A．9.8m/ s是在 0～ 1s 这一段时间内的平均速度 B．9.8m/ s是在 1～（ 1+ t ）s这段时间内的速度 C．9.8m/ s是物体从 1s 到（ 1+ t ）s这段时间内的平均速度 D．9.8m/ s是物体在t 1s 这一时刻的瞬时速度 . 2．已知函数f’(x) ＝ 3x2 , 则 f (x) 的值一定是（） A. x 3+x B.x 3 C. x 3+c (c 为常数 ) D. 3x+c (c 为常数 ) 3.若函数f(x)=x2+b x+c的图象的顶点在第四象限，则函数 f / (x) 的图象是（） y y y y o x o x o x o A B C D 4. 下列求导数运算错误的是（） ．． A.（x2013c）2013x 2012(c为常数) B.（x2lnx）2xlnx x C. （cosx ）xsinx cosx D . （3x） 3x ln 3 x x 2 5． . 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 A． 2 B． 3 C ． D ． 1 6．函数 y=(2x － 3) 2的导数为函数 y= e- x的导数为 7. 若函数f ( x)满足，f ( x) 1 x3 f (1) x2 x, 则 f (1) 的值 3 x 8. 曲线y x 2 在点（－ 1，－ 1）处的切线方程为 9. 已知函数 f ( x) ln( x 1) 1 a f ( x) 在点 (1, f (1)) ax ，若曲线 y x 1 处的切线与直线 l : y 2x 1平行， 则 a 的值 高三数学一轮复习——导数的概念及运算 考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x ，y ＝x 的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f (ax ＋b ))的导数；6.会使用导数公式表. 知 识 梳 理 1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ?→ f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ?→ Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ?→Δy Δx ＝ lim x ?→f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.函数y ＝f (x )的导函数 如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 称为函数y ＝f (x )在开区间内的导 函数. 3.导数公式表 基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 高中数学复习典型题专题训练20 1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-， 则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率． 注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”， 符号“→”读作“趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”． 3．可导与导函数： 如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 4．导数的几何意义： 设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()() f x x f x y x x +?-?= ??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化知识内容 板块一.导数的概念 与几何意义 y D C B A 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32 ()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3 y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a = +2 （）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 22 2()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2 y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线32 153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为 导数的概念、几何意义及其运算 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ： +-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数； ;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e x x x x ln )(;)(''==； e x x x x a a log 1 )(log ;1)(ln ''== 法则1： )()()]()([' ''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u += 法则3： )0)(() ()()()()(])()([2' ''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾： 1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率 x x f x x f x y o x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/ x f 或0/x x y =，即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈， 都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个新的函数)(/ x f 。称这个函数)(/ x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/ y ，即)(/ x f ＝/ y ＝ x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数 )(x f y =在0x 处的导数0 /x x y =，就是导函数)(/ x f 在0x 处的函数值，即0 / x x y =＝ )(0/x f 。 2. 由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量 )()(f x f x x f -?+=?; （2）.求平均变化率 x x f x x f x ?-?+= ??)()(f ; （3）.取极限，得导数/ y ＝x x ??→?f lim 0。 3.导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率。 基础练习： 1.曲线324y x x =-+在点(13)， 处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 2.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1 B ． 1 2 C ．1 2 - D ．1 -导数练习题(含答案).
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