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【精品】高中数学选修1-1_双曲线及其标准方程_ 知识点讲解讲义+巩固练习(含答案)提高

双曲线及其标准方程

【学习目标】 1．知识与技能：

从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程．

2．过程与方法：

学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图象和标准方程．

3．情感态度与价值观：

了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用．

【要点梳理】

要点一：双曲线的定义

把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线．

定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．要点诠释：

1．双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=1212PF PF F F -<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；

2．若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同：

若常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若常数=2112PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支．若常数=1212PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；若常数=1212PF PF F F ->，则动点轨迹不存在；

若常数=12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．

要点二：双曲线的标准方程

1．双曲线的标准方程

2．标准方程的推导

如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简．

（1）建系

取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．

（2）设点

设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．

（3）列式

设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a．

由定义可知，双曲线就是集合：P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}．

∵2222

||(),||(),

MF x c y MF x c y

++=-+

∴2222

()()2

x c y x c y a

++-+=±

(4)化简

将这个方程移项，得

当焦点在x轴上时，

x y

a b

-=(0,0)

a b

>>，其中222

c a b

=+；

当焦点在y轴上时，

y x

a b

-=(0,0)

a b

>>，其中222

c a b

2a =

两边平方得：

22222()44()x c y a x c y ++=±-+

化简得：

2cx a -=±

两边再平方，整理得：

()()22222222c a x a y a c a --=- ①

（以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导）由于方程①形式较复杂，继续化简．

由双曲线定义，22c a ＞即c a ＞，所以220c a -＞．令222(0)c a b b -=＞，

代入上式得：222222b x a y a b -=，两边同除以22a b ，得：

即22

221x y a b

-=(0,0)a b >>，其中222c a b =+．这就是焦点在x 轴的双曲线的标准方程．

要点诠释：若在第（1）步中以“过焦点F 1、F 2的直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x

轴建立平面直角坐标系”，就可以得到焦点在y 轴的双曲线方程：22

221y x a b

-=(0,0)a b >>，其中

222c a b =+．

3．两种不同双曲线的相同点与不同点

不同点

图形

标准方程 22

1x y a b -=(0,0)a b >> 22

1y x a b -=(0,0)a b >> 焦点坐标

()10F c ，，()20F c ，

相同点 a 、b 、c 的关系 222c a b =+

焦点位置的判断

哪项为正，项的未知数就是焦点所在的轴

要点诠释：

1．当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上．

2．双曲线标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c ＞a ，c ＞b ，且c 2=b 2+a 2．

3．双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的系数，如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．

4．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．

要点三：椭圆、双曲线的区别和联系 1．椭圆、双曲线的标准方程对照表：

椭圆

双曲线

图象

定义根据|MF 1|+|MF 2|=2a 根据||MF 1|－|MF 2||=2a a 、b 、c 关系

a 2－c 2=

b 2（a 最大）（a ＞

c ＞0，b ＞0）

c 2－a 2=b 2（c 最大）（0＜a ＜c ，b ＞0）

标准方程

1x y a b +=，

（焦点在x 轴） 22

1y x a b +=，

（焦点在y 轴）其中a ＞b ＞0

221x y a b -=，

（焦点在x 轴） 22

1y x a b -=，

（焦点在y 轴）其中a ＞0，b ＞0，a 不一定大

于b ）

标准方程的统一形式 22

1x y m n

+= （当0,0,m n m n >>≠时，表示椭圆；当0mn <时，表示双曲线）

2．方程Ax 2+By 2=C （A 、B 、C 均不为零）表示双曲线的条件

方程Ax 2

+By 2

=C 可化为22

1Ax By C C

+=，即221x y C C A B

=，所以只有A 、B 异号，方程表示双曲线．当0,0C C

A B ><时，双曲线的焦点在x 轴上；当0,0C C

A B

<>时，双曲线的焦点在y 轴上．

要点四：求双曲线的标准方程

①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数a 、b 、c 的值．其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程．要点诠释：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定

方程类型，再确定参数a 、b ，即先定型，再定量．若两种类型都有可能，则需分类讨论．

【典型例题】

类型一：双曲线的定义

例1．若一个动点P (x ，y )到两个定点A (－1，0)、A ′(1，0)的距离差的绝对值为定值a ，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．

【解析】∵｜AA ′｜＝2，

∴(1)当a ＝2时，轨迹方程是y ＝0(x ≥1或x ≤－1)，轨迹是两条射线． (2)当a ＝0时，轨迹是线段AA ′的垂直平分线x ＝0．

(3)当0＜a ＜2时，轨迹方程是22

144

x y a a --＝1，轨迹是双曲线．

【总结升华】对于双曲线的定义必须抓住两点：一是平面内到两个定点的距离之差的绝对值是一个常数，

二是这个常数要小于12||F F ，若不满足这些条件，则其轨迹不是双曲线，而是双曲线的一支或射线或轨迹不存在．

举一反三：

【变式1】已知点F 1(－4，0)和F 2(4，0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )

A ．22

197

x y -=

B ． 22

197x y -= (y>0)

C ． 22197x y -=或22

179

x y -=

D ． 22

197

x y -=(x > 0)

【答案】D

【变式2】已知点F 1(-8， 3 )、F 2(2，3)，动点P 满足|PF 1|-|PF 2|= 7，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线一支 C ．直线 D ．一条射线【答案】B

【变式3】已知点F 1(0，－13)、F 2(0，13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为（）

A ．y =0

B ．y =0（x ≤－13或x ≥13）

C ．x =0（|y |≥13）

D ．以上都不对【答案】C

例2．已知双曲线过点A （-2，4）、B （4，4），它的一个焦点是1(1,0)F ，求它的另一个焦点2F 的轨迹方程．

【思路点拨】利用几何法求2F 的轨迹方程：利用双曲线的定义，可知22|5||||5|||AF BF -=-，化简可知2F 的轨迹是一条直线或椭圆，注意限制条件．

【解析】因为11||||5AF BF ==，又由双曲线定义知1212||||||||||||AF AF BF BF -=- 所以22|5||||5|||AF BF -=-

①225||5||AF BF -=- 即22||||AF BF =，

此时点2F 的轨迹为线段AB 的中垂线，其方程为x =1(y ≠0) ②225||(5||)AF BF -=-- 即22||||10AF BF +=，

此时点2F 的轨迹为以A 、B 为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为22(1)(4)1

2516

x y --+=（y ≠0）．【总结升华】双曲线的定义应用中要注意绝对值的意义，比如本例中是

1212||||||||||||AF AF BF BF -=-，不要产生漏解．

举一反三：

【变式1】已知点P (x ，y )4，则动点P 的轨迹是（）

A ．椭圆

B ．双曲线中的一支

C ．两条射线

D ．以上都不对【答案】B

【变式2】动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆

C ．抛物线

D ．双曲线【答案】A

类型二：双曲线的标准方程

例3．判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出 a ，b ，c ．

22(1)142x y -=； 22(2)4936y x -=； 22(3)638x y -=；

8=； 22(5)134

x y +=； 22(6)1515x y +=-．

【思路点拨】先看方程能否等价转化为双曲线的标准形式，若不能，则不能表示双曲线；反之，找出相应的a 2，b 2，再利用c 2= a 2+b 2得到c 的值．【解析】（1）能．

该双曲线焦点在x 轴上，2a =4，2b =2，222=c a b +=6，所以a =2，b

，c

．（2）能．

双曲线可化为：22

194

x y -=，它的焦点在x 轴上，2a =9，2b =4，222=c a b +=13．所以a =3，b =2，

（3）能．

双曲线可化为：2214833

x y -=，它的焦点在x 轴上，2a =43，2b =83，222=c a b +=4，所以a

c =2．（4）能．该方程表示到定点（-5，0）和（5，0）的距离为8，由于8<10，所以表示双曲线，其中a =4，c =5，则222=b c a =9，所以b =3．．（6）不能表示双曲线，这是椭圆的方程．（7）不能表示双曲线，该曲线不存在．

【总结升华】化双曲线22Ax By C +=为标准方程的步骤为：（1）常数化为1：

两边同除以C ，将双曲线化为 221Ax By C C

+=；

（2）分子上22x y ，的系数化为1：

利用1b a b a

?=，将双曲线化为

1x y C C

A B +=；（3）注意符号：

若双曲线的焦点在x 轴，则将双曲线化为 22

1x y C C

A B =

；若双曲线的焦点在y 轴，则将双曲线化为 22

1y x C C

B A

．举一反三：

【变式1】双曲线2kx 2-ky 2=1的一个焦点是F （0，4），则k 为（） A ．332-

B ． 332

C ． 316-

D ． 3

16 【答案】A

【解析】由题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，故k <0．

双曲线

2kx 2-ky 2=1

的标准方程为22

1112y x k k

-=--，所以a 2=1

-，b 2=12k -

，222=c a b +=1k -12k -=16，解得k =3

-．【变式2】若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦距为6，则k ＝______．【答案】1± 【解析】

当k>0时，双曲线的标准方程为22118x y k k

，此时22183a b c k k =====，，，解得

k=1；

当k<0时，双曲线的标准方程为22181x y k k

，此时22813a b c k k ====，，，解

得k ＝－1.

所以k 的值为1±.

例4．已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．

【解析】由题意得2a =24，2c =26．

∴a =12，c =13，b 2=132－122=25．

当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的方程为22

114425x y -=；

当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的方程为22

114425

y x -=．

【总结升华】求双曲线的标准方程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴．双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2的系数的正负．

举一反三：

【高清课堂：双曲线的方程 357256例1】【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）已知两焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8．（2）双曲线的一个焦点坐标为(0,6)-，经过点(5,6)A -．

【答案】（1）221169x y -=，（2）2211620

y x -=．

【变式2】求与双曲线22

1164

x y -=

有公共焦点，且过点2)的双曲线的标准方程．

【解析】

解法一：依题意设双曲线方程为22x a －2

2y b

由已知得22220a b c +==，

又双曲线过点2)

，∴2224

a b

∴2222220

12481a b a b b ?+=?=???=-=?? 故所求双曲线的方程为22

1128x y -=．

解法二：依题意设双曲线方程为22

1164x y k k -=

-+，

将点2)代入22

1164x y k k

-=-+，解得4k =．

类型三：双曲线与椭圆

例5．讨论22

1259x y k k

+=--表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．

【思路点拨】观察题目所给方程是关于x ，y 的二次形式，故只可能表示椭圆或双曲线．对

于22

1x y m n

+=：当0,0,.m n m n >??

>??≠?

时，方程表示椭圆；当0mn <时，方程表示双曲线．【解析】(1)当k <9时，25－k >0，9－k >0，所给方程表示椭圆，

由于25－k >9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，所以这些椭圆的焦点都在x 轴上，且焦点坐标都为（-4，0）和（4，0）．

(2)当90，9－k <0，

所给方程表示双曲线，其标准方程为221259

x y k k -=--．

此时，a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4，0)，(4，0)．

(3)当k >25时，所给方程没有轨迹．

【总结升华】椭圆和双曲线都是二次曲线系，注意它们各自定义在方程中的区别，它们a ，b ，c 的关系区别．

举一反三：

【变式1】设k >1，则关于x ，y 的方程(1-k )x 2+y 2=k 2-1所表示的曲线是（ ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的双曲线【答案】B

【变式2】35m <<是方程

2156

x y m m m +=---表示双曲线的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A

方程

2156

x y m m m +=---表示双曲线≡()()2560m m m ---<≡35m <<或2m < ．由于{}|35m m <

所以35m <<是35m <<或2m < 的充分不必要条件.

即35m <<是方程

2156

x y m m m +=---表示双曲线的充分不必要条件. 【变式3】在ABC ?中，若B A B A sin sin cos cos >，则方程1cos cos 22=+C y A x 表示（） A. 焦点在x 轴上的椭圆

B. 焦点在y 轴上的椭圆

C. 焦点在x 轴上的双曲线

D. 焦点在y 轴上的双曲线

【答案】C

【解析】0)cos(sin sin cos cos >+?>B A B A B A ，

即ππ

π<-C C C 2

0cos 0)cos(．

所以2

0π

A ，

所以1cos cos 22=+C y A x 表示焦点在x 轴上的双曲线，故选C ．

例6．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m n

y m x 有相同的焦点)

0,(c -和)0,(c )0(>c ，若c 是m a ,的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则c a

的值为__________．

【思路点拨】分别列椭圆和双曲线中a ，b ，c 的关系式，结合由等差中项、等比中项得到的关系式，利用整体的思想，可得a 、c 的关系，从而求得c a

222222n m c c m n am c

【总结升华】双曲线与椭圆的共焦点的问题要注意区分，区分焦点所在轴．举一反三：

【变式1】设双曲线方程与椭圆22

12736

x y +=有共同焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点

为A ，且A 的纵坐标为4，求双曲线的方程．

【答案】22

145

y x -=

【变式2】若双曲线221x y m n -=(M >0，n >0)和椭圆22

1x y a b

+=(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，

M 为两曲线的交点，则|MF 1|·|MF 2|等于________．

【答案】 a －M

【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得 |MF

1|－|MF 2|＝± ① |MF

1|＋|MF 2|＝ ②

②2－①2得，4|MF 1|·|MF 2|＝4a －4M ， ∴|MF 1|·|MF 2|＝a －M ．

类型四：双曲线方程的综合应用

【高清课堂：双曲线的方程 357256例2】

例7．已知A ，B 两地相距2000 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且已知当时的声速是330 m/s ，求炮弹爆炸点所在的曲线方程．

【解析】由题知爆炸点P 应满足||||330413202000PA PB -=?=<，

又||||,PA PB >所以点P 在以AB 为焦点的双曲线的靠近于B 点的那一支上．以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，

21320,22000a c ==得660,1000,a c ==

【总结升华】应用问题，应由题干抽象出数学问题即数学模型，在解决数学问题之后，再回归到实际应用中．

举一反三：

【变式】设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A ，B 两个观察所听到一声爆破声的时间差为6秒，且记录B 处的声强是A 处声强的4倍，若已知声速340a = 米/秒，声强与距离的平方成反比，试确定爆炸点P 到AB 中点M 的距离．【答案】

-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是( )

134x y +=的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( )

3．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )

，π)，则关于x ，y 的方程221sin cos x y θθ-= 所表示的曲线是( )

x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右

焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( )

6．已知双曲线的两个焦点为F 1(，0)、F 2，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( )

7．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是则a ＋b ＝________．

8．过双曲线22

134x y -=的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．

9．如果椭圆22214x y a +=与双曲线22

x y a -=的焦点相同，那么a ＝________．

10. 设F 1、F 2分别是双曲线2

y x -=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且12=0PF PF ，

则12+PF PF =__________.

三、解答题

11．一动圆过定点A (－4,0)，且与定圆B ：(x －4)2＋y 2＝16相外切，求动圆圆心的轨迹方程．

12．设声速为a 米/秒，在相距10a 米的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．

13．P 是双曲线22

16436x y -=上一点，12,F F 双曲线的两个焦点，且1||17PF =，求2||PF 的值．

14．若椭圆221x y m n +=(M >N >0)和双曲线22

1x y a b

-=(a >0，b >0)有相同的焦点，P 是两曲线的

一个交点，求|PF 1|·|PF 2|的值．

15．在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN ＝1

，tan ∠MNP ＝－2，建立适当坐标系．求以M 、N 为焦点且过点P 的双曲线方程．

【答案与解析】 1．【答案】A

【解析】由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1

【解析】由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，

【解析】方程即是221sin cos x y θθ+=-，因θ∈(

，π)， ∴si N θ>0，cO sθ<0，且－cO sθ>si N θ，故方程表示焦点在y 轴上的椭圆，故答案为C ． 5．【答案】D

【解析】 NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12

|MF 1|，又由双曲线定义知，|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D ．

6．【答案】C

【解析】 ∵c

，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2， ∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1． 7．【答案】12

?-=-?，∵a >0，∴a ＋b ＝12． 8．

【答案】

【解析】 ∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c

【解析】由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1．

10．【答案】【解析】依题意，△PF 1F 2构成直角三角形，O 为F 1F 2的中点，故|PO |＝12

|F 1F 2|，

又12+=2PF PF PO ，故1212+=2==2PF PF PO F F c

11．【答案】22

1412

x y -=(x ≤－2)

【解析】设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得 |PB |－|P A |＝4<|AB |＝8，

由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．

其方程为：22

1412

x y -=(x ≤－2)．

12．【解析】以A 、B 两哨所所在直线为x 轴，它的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，得炮

x y -=中，8,6,a b ==故10c =

由P 是双曲线上一点，得12||||||16PF PF -=． ∴2||1,PF =或2||33,PF = 又2||2,PF c a ≥-=得2||33,PF =

14．【解析】不妨设点P 为双曲线右支上的点，

由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝

由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝．

∴|PF 1|，|PF 2|．

同理可求P 为左支上的点时情况，都能得到： |PF 1|·|PF 2|＝M －a ．

15．【解析】解法一：以MN 所在直线为x 轴，MN 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．设

P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)(y0>0，c>0)．(如图

解法二：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，作P A⊥x轴于A 点．

设P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)，(y0>0，c>0)(如图所示)

因为tan∠MNP＝－2，所以tan∠xNP＝2，

双曲线及其标准方程

§9．6 双曲线 1．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫____________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0： (1)当________时，P点的轨迹是双曲线； (2)当a＝c时，P点的轨迹是____________； (3)当________时，P点不存在．标准方程 x2 a2 － y2 b2 ＝1 (a>0，b>0) y2 a2 － x2 b2 ＝1 (a>0，b>0) 图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝± b a x y＝± a b x 离心率e＝ c a ，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) [难点正本疑点清源] 1．双曲线中a，b，c的关系双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如右图)，

它的三边长分别是a 、b 、c ．易见c 2＝a 2＋b 2 ，若记∠AOB ＝θ，则e ＝c a ＝1 cos θ ． 2．双曲线的定义用代数式表示为||MF 1|－|MF 2||＝2a ，其中2a <|F 1F 2|，这里要注意两点： (1)距离之差的绝对值． (2)2a <|F 1F 2|．这两点与椭圆的定义有本质的不同： ①当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； ②当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； ③当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； ④当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在． 3．渐近线与离心率 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a ＝ b 2 a 2＝c 2－a 2a 2 ＝e 2 －1．可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 1．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，一曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，该曲线方程是 _____________________________________________________________________． 2．双曲线mx 2 ＋y 2 ＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝___________________________． 3．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________． 4．(2011·山东)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 2 9 ＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________． 5．若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 ( ) A ． 5 B ．5 C ． 2 D ．2 题型一双曲线的定义例1 已知定点A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．探究提高双曲线的定义理解到位是解题的关键．应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支．若是一支，是哪一支，以

双曲线知识点复习总结

双曲线知识点总结复习 1.双曲线的定义：（1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222 c a b =+），焦点在y 轴上时2 222-b x a y ＝1（0a b >>）。双曲线方程也可设为： 22 1(0)x y mn m n -=>这样设的好处是为了计算方便。（2）等轴双曲线：（注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。）例一：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。）思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线？ 2.双曲线的几何性质：（1）双曲线（以）（0,01-22 22>>=b a b y a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点 (,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±；⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。⑥通径22b a （2）渐近线：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为：等轴双曲线的渐近线方程为：，离心率为：（注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图）例二：方程 1112 2=--+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆 164 162 2=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________ 例四：双曲线142 2=+b y x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________

【精品】高中数学选修1-1_双曲线及其标准方程_ 知识点讲解讲义+巩固练习(含答案)提高

双曲线及其标准方程【学习目标】 1．知识与技能：从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程． 2．过程与方法：学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图象和标准方程． 3．情感态度与价值观：了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用．【要点梳理】要点一：双曲线的定义把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线．定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．要点诠释： 1．双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=1212PF PF F F -<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2．若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同：若常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支；若常数=2112PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支．若常数=1212PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；若常数=1212PF PF F F ->，则动点轨迹不存在；若常数=12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．要点二：双曲线的标准方程

1．双曲线的标准方程 2．标准方程的推导如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简．（1）建系取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．（2）设点设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．（3）列式设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a．由定义可知，双曲线就是集合：P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}． ∵2222 12 ||(),||(), MF x c y MF x c y ++=-+ ∴2222 ()()2 x c y x c y a ++-+=± (4)化简将这个方程移项，得当焦点在x轴上时， 22 22 1 x y a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+；当焦点在y轴上时， 22 22 1 y x a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+

双曲线及其标准方程详解

2．2 双曲线 2．2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．【核心扫描】 1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点 ) 自学导引 1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示． (2)若“常数大于|F 1F 2|”(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线．想一想：如何判断方程x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)和y a 2－x b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点的位置？提示如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛 1．对双曲线定义的理解 (1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在． (2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上． (3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)． (4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．” 2．双曲线的标准方程 (1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程． (2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，

双曲线知识点归纳总结

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第二章 2.3 双曲线

① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上；当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。若2a =2c 时，即2121F F MF MF =-,当2 12 1F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线；若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2 AB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在y 轴上；当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

经典双曲线知识点

双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质. 难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线. 知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，. 知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、― y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。

双曲线知识点归纳总结

第二章 2.3 双曲线

右延伸的一条射线；当2 112 F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线；若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2πAB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01φπB A ，双曲线的焦点在y 轴上；当01 ,01πφB A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 6. 离心率与渐近线之间的关系 22 2 22222 1a b a b a a c e +=+== 1）2 1?? ? ??+=a b e 2） 12-=e a b 7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. (4)与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22 22b y a x 0(≠λ

双曲线及其标准方程(1)

双曲线及其标准方程(1) 福建师大附中苏诗圣教学目标：理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的意义；能根据定义，按求曲线方程的步骤导出双曲线的标准方程，并能熟练写出两类标准方程；培养学生分析问题能力和抽象概括能力。学会用辩证的观点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性，并从中发现数学曲线的简洁美和对称美，培养学生学习数学的兴趣。教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程． (解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．) 教学难点：双曲线的标准方程的推导 (解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．) 教学方法：启发式教学过程：复习椭圆的定义及标准方程→新知探索→数学实验→双曲线→展示现实生活中的双曲线→双曲线的定义 →对定义的思考→双曲线标准方程的推导→例与练 →课堂小结→作业→研究性学习一、复习引入：前面我们已经学习了椭圆的有关知识，请同学们回忆一下椭圆的定义。问题1：椭圆的定义是什么？ (板书)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。二、新知探索 1、思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么这样点是否存在？若存在，轨迹会什么？ 2、实物拉链演示：双曲线的形成(请同学参与协助画图) (取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边的长度相等，现将其中的一边剪掉一段(长为2a)，两端点分别固定在黑板的两个定点 F1、F2上，把粉笔放在拉链关上，随着拉链的逐渐拉开或闭合，粉

双曲线知识点总结 (1)

双曲线知识点知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意： 1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1 、F 2 为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F 1 F 2 的垂直平分线。标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点

轴长实轴长 =，虚轴长= 离心率渐近线方程 1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长 a b2 2 2.等轴双曲线 :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为 3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） 4.焦点三角形的面积 2 cot 2 2 1 θ b S F PF = ? ，其中 2 1 PF F ∠ = θ 5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0 (1 2 2< = +mn ny mx 7. 椭圆双曲线根据|MF 1 |+|MF 2 |=2a 根据|MF 1 |－|MF 2 |=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）

双曲线及其标准方程练习题

课时作业(十) [学业水平层次] 一、选择题 1．方程x 22＋m －y 2 2－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围( ) A ．－2＜m ＜2 B ．m ＞0 C ．m ≥0 D ．|m |≥2 【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A 2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 2 16＝1 B.y 29－x 2 16＝1 C.x 29－y 2 16＝1(x ≤－3) D.x 29－y 2 16＝1(x ≥3) 【解析】由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16， ∴P 点的轨迹方程为x 29－y 2 16＝1(x ≥3)．【答案】 D 3．(2014·福州高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )

A.x 22－y 2 3＝1 B.x 23－y 2 2＝1 C.x 24－y 2 ＝1 D ．x 2 －y 2 4＝1 【解析】由? ?? |PF 1|· |PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(25)2 ， ?(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C 4．已知椭圆方程x 24＋y 2 3＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C ．2 D ．3 【解析】椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝2 1＝2. 【答案】 C 二、填空题 5．设点P 是双曲线x 29－y 2 16＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________. 【解析】由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝ a 2＋ b 2＝5. (1)若点P 在双曲线的左支上，

2019年高二数学双曲线知识点总结

2019年高二数学双曲线知识点总结双曲线是高二数学中较难的内容，同时也是高中数学的重点。下面给高二同学带来数学双曲线知识点，希望对你有帮助。 1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减” a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。当λ>0时，λa与a同方向; 当λ<0时，λa与a反方向; 当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。 ②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的的数量积

(完整版)双曲线经典知识点总结

双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0 且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为， . 知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成― x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线，所以离心率。（5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是，我们把直线叫做双曲线的渐近线。注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，

双曲线及其标准方程练习题一

《双曲线及其标准方程》练习题一 1．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) －y 216＝1 －x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) －y 2 16＝1(x ≥3) 2．“ab<0”是“方程c by ax =+22表示双曲线”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0)，2b ＝4，则双曲线的标准方程是( ) －y 24＝1 －x 24＝1 C.x 23－y 22＝1 －y 2 16＝1 4．方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分 5．双曲线x 216－y 2 9＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 6．圆P 过点，且与圆外切，则动圆圆心P 的轨迹方程（）． A ．； B ． C ． D ． 7．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2 2＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) B ．1或－2 C ．1或12 D ．1 8. 已知ab<0，方程y= —2x+b 和bx 2+ay 2=ab 表示的曲线只可能是图中的（） 9．双曲线m y x =-222的一个焦点是)3,0(，则m 的值是_______。 10．过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的焦点且垂直于x 轴的弦的长度为_____。

双曲线方程知识点总结_公式总结

双曲线方程知识点总结_公式总结双曲线方程 1. 双曲线的第一定义： ⑴①双曲线标准方程：. 一般方程： . ⑴①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或 ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或. ②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则：构成满足（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

⑴等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. ⑴共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：. ⑴共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：，代入得. ⑴直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑴若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.

双曲线及其标准方程(一)

高中数学圆锥曲线知识点总结

高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要： 1、椭圆：（1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为：； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。用集合表示为：；（2）标准方程和性质：

注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。（3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线：（1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。用集合表示为：

（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。

4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为：（2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反； ②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一

致； ③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。

圆锥曲线方程知识点总结

§8.圆锥曲线方程知识要点一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：122 2 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. > ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12222 b a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则》 ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆： 12 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b （用 ? -=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF

双曲线及其标准方程(1)

双曲线及其标准方程（1）理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的意义；能根据定义，按求曲线方程的步骤导出双曲线的标准方程，并能熟练写出两类标准方程；培养学生分析问题能力和抽象概括能力。学会用辩证的观点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性，并从中发现数学曲线的简洁美和对称美，培养学生学习数学的兴趣。双曲线的定义和双曲线的标准方程．（解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．双曲线的标准方程的推导（解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．）教学过程：复习椭圆的定义及标准方程 7 新知探索 7 双曲线 7 展示现实生活中的双曲线 7 对定义的思考 7 双曲线标准方程的推导 7 课堂小结 7 作业 7 研究性学习一、复习引入：前面我们已经学习了椭圆的有关知识，请同学们回忆一下椭圆的定义。问题 1：椭圆的定义是什么？（板书）平面内与两定点 F i 、F 2的距离的和等于常数（大于|F I F 2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。二、新知探索思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么这样点是否存在？若存在，轨迹会什么？ 2、实物拉链演示：双曲线的形成（请同学参与协助画图）（取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边的长度相等，现将其中的一边剪掉一段（长为2a ），两端点分别固定在黑板的两个定点 F1、F2上，把粉笔放在拉链关上，随着拉链的逐渐拉开或闭合，粉教学方法：启发式福建师大附中苏诗圣教学目标：教学重点：教学难点：数学实验 7 双曲线的定义 7 例与练 1、

高中数学双曲线抛物线知识点总结

双曲线平面到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴关于x 轴、y 轴及原点对称关于x 轴、y 轴及原点对称准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关系 222c a b =+ 考点题型一求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线 22 2 21x y a b -=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。（1）虚轴长为12，离心率为 54 ；（2）焦距为26，且经过点M （0，12）；（3）与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y

解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。由题意知，2b=12，c e a ==54 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。（2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。又2c=26，∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425 y x -=。（3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 233 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值围。解：直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx+ay-ab=0。由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离12 2 d a b = +，同理得到点（-1，0）到直线l 的距离22 2 d a b = +，

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【精品】高中数学 选修1-1_双曲线及其标准方程_ 知识点讲解 讲义+巩固练习(含答案)提高

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