第一章 曲线论
§2 向量函数
5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r
= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t )(t e 的形式，其中)(t e
为单位向量函
数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e
为常向量，（因为)(t e
的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r
具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t e ，所以 r ×'r
= ' （e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e 求微商得'r =' e + 'e ，于是r
×
'r =2 （e ×'e
）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。当)(t = 0时，)(t r =0 可与任意
方向平行；当 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e
·'e
2)＝2'e ，（因为e
具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e
为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r
）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n
= 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r
的关系。
证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n
为常向量，
且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r r
，'r ，''r 垂直于同一
非零向量n ，因而共面，即（r r 'r ''r
）=0 。
反之, 若（r r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r 0 。若r ×'r =0
，由上题知)
(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'
r
，则存在数量函数)(t 、)(t ，
使''r = r r
+ 'r ①
令n =r r ×'r ，则n 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r
求微商并将①式代入得'n =r ×
''r = （r r ×'r
）= n ，于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n ，即)
(t r 平行于固定平面。
§3 曲线的概念
1．求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z
=t 在（1,0,0）的切线和法平面。
解 令t cos =1,t sin =0, t =0得t =0, 'r
(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0 t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 1
1
1z y x ，法平面为 y + z = 0 。
2．求三次曲线},,{32ct bt at r
在点0t 的切线和法平面。
解 }3,2,{)('2
000ct bt a t r ，切线为2
3
0020032ct ct z bt bt y a at x ， 法平面为 0)(3)(2)(3
02020
00 ct z ct bt y bt at x a 。 3. 证明圆柱螺线r r
={ a cos ,a sin , b } ( )的切线和z 轴作固定角。
证明 'r
= {-a sin ,a cos ,b },设切线与z 轴夹角为 ,则 cos
=22||||'b
a b
e r k r 为常数，故 为定角（其中k 为z 轴的单位向量）。 4. 求悬链线r r ={t ，a t a cosh }（- t ）从t =0起计算的弧长。
解
'r = {1，a
t
sinh }，|'r | =a
t 2sinh 1 = a t
cosh ， ｓ＝
a t
t
a
t
a dt sinh cosh
。
９．求曲线2232,3a xz y a x 在平面3a
y 与y = 9a 之间的弧长。
解 曲线的向量表示为r ＝}2,3,{2
23x
a a x x ，曲面与两平面3a y 与y = 9a 的交点分
别为x=a 与x=3a , 'r ＝}2,,1{2222x
a a
x ，｜'r ｜＝44
4441x a a x ＝22222x
a a x ，所求弧
长为a dx x
a a x s a
a
9)2(22
322
。 10. 将圆柱螺线r r
={a t cos ，a t sin ，b t }化为自然参数表示。
解 'r
= { -a t sin ,a t cos ,b}，s = t b a dt r t 220
|'| ，所以2
2
b
a s t
，
代入原方程得 r r
={a cos
2
2
b
a s , a sin
2
2
b
a s ,
2
2
b
a bs }
11.求用极坐标方程)( 给出的曲线的弧长表达式。 解 由 cos )( x ， sin )( y 知'r
={)('
cos -
sin )(，
)(' sin + cos )(}，|'r
| = )(')(22 ，从0 到 的曲线的弧长是s=
)(')(22 d 。
§4 空间曲线
1．求圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z = b t 在任意点的密切平面的方程。
解 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b},''r
={-a t cos ,- a t sin ,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为
sin cos cos sin sin cos t
a t
a b t a t a bt z t a y t a x = 0 ，即(b t sin )x-(b t cos )y+a z-ab t=0 .
2. 求曲线r r
= { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。
解 原点对应t=0 , 'r
(0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0} t ={0,1,1}，
)0(''r
{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0} t ={2,0,2} ，
所以切线方程是
1
10z
y x ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是2
02110z
y x
=0 ，即x+y-z=0 ，
主法线的方程是 00z y z y x 即112z
y x
； 从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式
1
11 z
y x 。 3．证明圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z = b t 的主法线和z 轴垂直相交。
证 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b}, ''r ={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，由'r ⊥''r 知''r
为主
法线的方向向量，而''r 0 k
所以主法线与z 轴垂直；主法线方程是
与z 轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交。
4.在曲线x = cos cost ,y = cos sint , z = tsin 的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。
解 'r = {-cos sint, cos cost, sin } , ''r
={ -cos cost,- cos sint ,
0 }
|'''|'
''r r r r
{sin sint ,- sin cost , cos }
新曲线的方程为r r
={ cos cost + sin sint ，cos sint- sin cost ，tsin + cos }
对于新曲线'r
={-cos sint+ sin cost ，cos cost+ sin sint ，
sin }={sin( -t), cos( -t), sin } , ''r
={ -cos( -t), sin( -t),0} ,其密切平面的方程是
即 sin sin(t- ) x –sin cos(t- ) y + z – tsin – cos = 0 .
5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 证 方法一：
设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径)(t r
具有固定长，
所以r r ·'r
= 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。
若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则
r r ·'r
= 0，)(t r 具有固定长，对应的曲线是球面曲线。
方法二：
()r r t r r
是球面曲线 存在定点0r r （是球面中心的径矢）和常数R （是球面的半径）
使220()r r R r r 02()0r r r r r r ，即0()0r r r r r r
（﹡）
而过曲线()r r t r r
上任一点的法平面方程为()0r r r r r 。可知法平面过球面中心
（﹡）成立。
所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。
6.证明过原点平行于圆柱螺线r r
={a t cos ，a t sin ，b t }的副法线的直线轨迹是锥面
2222)(bz y x a .
证 'r
={ -a t
sin ,a t cos , }, ''r ={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，'r
×
''r
=},cos ,sin {a t b t b a 为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程是
a
z t b y t b x cos sin ，消去参数t 得2222)(bz y x a 。 7．求以下曲面的曲率和挠率
⑴ },sinh ,cosh {at t a t a r
,
⑵ )0)}(3(,3),3({323
a t t a at t t a r 。
解 ⑴},cosh ,sinh {'a t a t a r ，}0,sinh ,cosh {''t a t a r ，}0,cosh ,{sinh '''t t a r
，
}1,cosh ,sinh {''' t t a r r
，所以t a t a t a r r r k 23
23cosh 21)
cosh 2(cosh 2|'||'''| t
a t a a r r r r r 2
2422cosh 21
cosh 2)'''()''','','(
。 ⑵ }1,2,1{3'22t t t a r ，}1,0,1{6'''},,1,{6'' a r t t a r
，
'r ×''r =}1,2,1{182
22 t t t a ，2
23
22223)
1(31
)
1(2227)1(218|
'||'''| t a t a t a r r r k
2
2224232)
1(31
)1(2182618)'''()''','','( t a t a a r r r r r 。 8．已知曲线}2cos ,sin ,{cos 3
3t t t r ，⑴求基本向量 ,,；⑵曲率和挠率；⑶验
证伏雷内公式。
分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。
解 ⑴ }4,sin 3,cos 3{cos sin }2sin 2,cos sin 3,sin cos 3{'22 t t t t t t t t t r
，
,cos sin 5|)('|t t t r dt
ds
（设sintcost>0）， 则}54,sin 53,cos 53{|'|' t t r r ，
}0,cos 5
3,sin 53{cos sin 51t t t t ds dt dt d ?
， }0,cos ,{sin |
|t t ??
，
}5
3
,sin 54,cos 54{ t t ，
⑵ t t k cos sin 253|| ?
，}0,cos ,sin {cos sin 254
t t t t ? ，
由于? 与 方向相反，所以 t
t cos sin 254
|| ?
⑶ 显然以上所得 ,,,??
k 满足 ??,k ，而
?
}0,sin ,{cos cos sin 51
t t t
t 也满足伏雷内公式 。
9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。
证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r r
＝)(t r ，则曲线在任意点
的切线方程是)(')(t r t r ，由条件切线都过坐标原点，所以)(')(t r t r ，可见r r
∥
'r ，所以r r 具有固定方向，故r r
＝)(t r 是直线。
方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r r
＝)(t r ，则曲线在任意点的切
线方程是)(')(t r t r ，由条件切线都过坐标原点，所以)(')(t r t r
，于是'r ＝ ''r ，从而'r ×''r ＝0
，所以由曲率的计算公式知曲率k ＝０，所以曲线为直线。
方法二：设定点为0r r ，曲线的方程为r r
＝()r s r ，则曲线在任意点的切线方程是
()()r s s r r r ，由条件切线都过定点0r r ，所以0()()r r s s r
r r ，两端求导得:
()()s s r r r , 即(1)()0s r r r ，而(),()s s r r
无关，所以10 ，
可知0,()0s ，因此曲线是直线。
10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。
证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r r
＝)(t r ，则曲线在任
意点的密切平面的方程是0))('')('())(( t r t r t r ，由条件0))('')('()( t r t r t r
，即（r r 'r ''r ）=0，所以r r 平行于一固定平面，即r r
＝)(t r 是平面曲线。
方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r r
＝)(s r ，则曲线在任意点的密切平面方程是0))(( s r ，由条件0)(
s r ，两边微分并用伏雷内公式得
0)( s r 。若0)( s r ,又由0)( s r 可知)(s r ∥)(s r ? ,所以r r
＝)(s r 平行于
固定方向，这时r r
＝)(s r 表示直线,结论成立。否则0 ，从而知曲线是平面曲线。
方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r r
＝)(t r ，则曲线在任意点的密切平面方程是0))('')('())(( t r t r t r ，由条件0))('')('()( t r t r t r
，即
（r r 'r ''r ）=0，所以r r
，'r ，''r 共面，若r r ∥'r ，则r r ＝)(t r 是直线，否则可设
''',''''''r r r r r r r r r r r r ，所以','','''r r r r r r
共面，所以0 ，从而知曲线是平面曲线。
11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e
，那么曲线是直线或平面曲线。
证 方法一：根据已知0 e ，若
是常向量，则k=||? =0 ，这时曲线是直线。否
则在0 e 两边微分得? ·e =０，即 k ·e =０,所以 ·e =０，又因0 e
，所以 ∥e
，而 为单位向量，所以可知 为常向量，于是0|||| ? ，即0 ，此曲线为平面曲
线。
方法二：曲线的方程设为r r ＝)(t r ，由条件'r ·e ＝０，两边微分得''r ·e ＝０，'''r ·e
＝０，所以'r ， ''r ，'''r
共面，所以（'r ''r '''r ）＝０。由挠率的计算公式可知0 ，
故曲线为平面曲线。当'r ×''r
＝0 时是直线。
方法三：曲线的方程设为r r
＝)(t r ，由条件'r ·e ＝０，两边积分得（p 是常数）。因r e p r r 是平面的方程，说明曲线r r
＝)(t r 在平面上，即曲线是平面曲线，当'r 有固定
方向时为直线。
12．证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。
证明 设曲线（C ）：r r
＝)(s r 的曲率k 为常数,其曲率中心的轨迹（C ）的方程为：
)(1)(s k
s r
，
（ 为曲线（C ）的主法向量），对于曲线（C ）两边微分得 k
k k s )(1
)(' ，
（ ， ， 分别为曲线（C ）的单位切向量，副法向量和挠率），
k
k 2'' ?
，k |||'|
，23'''k ，曲线（C ）的曲率为k k k k 3
323
3|||||
'||'''| 为常数。 13.证明曲线x=1+3t+22t ,y=2-2t+52t ,z=1-2t 为平面曲线，并求出它所在的平面方程 。
证 'r ={3+4t, -２+10t,-2t}， ''r ={4，10，-２}， '''r
＝｛０，0，0｝
曲线的挠率是0)
'''()
''','','(2 r r r r r ，所以曲线为平面曲线。曲线所在平面是曲线在任一点
的密切平面。对于ｔ=０,r r
=｛１,２,１｝，'r ={3, -２,０}， ''r ={4，10，-２}，
'''r
＝｛０，0，0｝
。所以曲线的密切平面，即曲线所在平面是02
10
40231
21 z y x ，
即2x+3y+19z –27＝０．
14．设在两条曲线Γ、 的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。
证 设曲线Γ：r r =)(s r
与 ：)(s r r 点s 与s 一一对应，且对应点的切线平行，则
)(s =
)(s , 两端对s 求微商得ds s d , 即ds
s d s k s k )()( ，(这里k 0，若k=|| =0，则 无定义)，所以 ∥ ，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。
15．设在两条曲线Γ、 的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。
证 设 ,
分别为曲线Γ、 的切向量, , 分别为曲线Γ、 的主法向量,则由
已知)()(s s ．．．．．① ，而ds s d ds d )(＝ ds
s d s k k )(
将①式代入 0)( ds
s d k 。所以 ·
＝常数，故量曲线的切线作固定角。
16.若曲线Γ的主法线是曲线 的副法线, Γ的 曲率、挠率分别为 ,。求证k=0 (2 +2 ) ,其中0 为常数。
证 设Γ的向量表示为r r =)(s r
，则 可表示为 =)(s r +)(s )(s ， 的切向量' = + + （－k
+ ）与 垂直，即' · ＝ ＝０，所以 为常数，设为0 ，
则' ＝（１－0 k ） +0 。再求微商有'' ＝－0 k
＋（１－0 k ）k ＋0 －0 2 ，'' ·
＝（１－0 k ）k －0 2 ＝０，所以有k=0 (2 +2 )。
17．曲线r r
={a(t-sint),a(1-cost),4acos 2
t }在那点的曲率半径最大。
解 'r
= a{1-cost,sint,-2sin
2t } , ''r = a{sint,cost,-cos 2
t
}, |2
sin |22|'|t r ,
'r ×''r =}1,2
cos ,2
{sin 2
sin 2}2
cos 4,2
cos 2
sin 2,2
sin 2{22232t
t t a t a t t t a ,
|'r ×''r |=22
sin 222t a , |2
sin
|81|
||'''|3t
a r r r k
,|2
sin |8t a R ,所以在
t=(2k+1) ，k 为整数处曲率半径最大。
18． 已知曲线)(:)(3s r r C C 上一点)(0s r 的邻近一点)(0s s r ，求)(0s s r
点到)(0s r 点的密切平面、法平面、从切平面的距离（设点)(0s r
的曲率、挠率分别为
00, ）。
解
)
(0s s r
－
)
(0s r ＝
30200])([!
31)(21)(s s r s s r s s r ＝
300021s s ＋300000020)(61
s k k ，设030201 ，其中
0lim 0
s 。则)(0s s r －)(0s r
＝0330003
202003120])(6
1[])(6121[])(61[ s s s s s
上式中的三个系数的绝对值分别是点)(0s s r 到)(0s r
的法平面、从切平面、密切
平面的距离。
§5 一般螺线
5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线.
证法一: 当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量
是常向量.即
=0 。曲线的挠率的绝对值等于|
|为零，所以曲线为平面曲线。
证法二：设n 是固定直线一向量，则'r ·n =0 ，积分得r r ·n
=p ,说明曲线在以n 为
法向量的一个平面上,因而为平面直线。
证法三：设n 是固定直线一向量，则'r ·n =0 ，再微分得''r ·n =0 ，'''r ·n
=0 。所以'r 、''r 、'''r
三向量共面，于是（'r ''r '''r ）= 0 ，由挠率的计算公式知 =0，因此
曲线为平面曲线。
7．如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。
证 设一曲线为Γ：r r
＝)(s r ，
则另一曲线 的表达式为： )(s r )(s )(s ，)(s 为曲线Γ在点s 的主法向量，也应为 在对应点的副法线的方向向量。
' ＝ ＋ － 与 正交，即' · ＝０，于是 ＝０， 为常数。' ＝ － ，
'' ＝k －
－ （－k
＋ ）也与 正交，即'' · ＝- 2 =0,而
０,所
以有 ＝０，曲线Γ为平面曲线。同理曲线 为平面曲线。
8. 如果曲线Γ：r r
＝)(s r 为一般螺线, r 、 为Γ的切向量和主法向量，R 为Γ的
曲率半径。证明 ： =R r
－ ds 也是一般螺线。
证 因为Γ为一般螺线, 所以存在一非零常向量e 使 r 与e
成固定角,对于曲线 ,
其切向量' = R
R R 与 r 共线,因此也与非零常向量e 成固定角, 所以 也为一般螺线。
9．证明曲线r r ＝)(s r 为一般螺线的充要条件为0),,(.... r r r
证 r ，
)2()(3,23....2 r r 2
5333....)(3)2(),,( k r r r ＝)(5
，其中k 0. 曲线r r
＝)(s r 为一般螺线的充要条件为
为常数,即?)( =0,也就是
0),,(.... r r r 。
方法二： 0),,(.... r r r ，即0),,(
。曲线r r ＝)(s r 为一般螺线，则存在常向量e ，使 r ·e =常数，所以,0,0,0 e e e 所以 ,,共面，从而（ ,,）=0。反
之，若（ ,,）=0，则 平行于固定平面，设固定平面的法矢为e ，则有0 e
，从而 r ·e = p (常数)，所以r r
＝)(s r 为一般螺线。
方法三：曲线r r ＝)(s r 为一般螺线 存在常向量e r
使e r r ，即0e r r r 平行
于固定平面（以e r 为法向量的平面）r r &&平行于一固定平面(,,)0r r r r r r &
&&&&&&&& 。 方法四："" 设r r ＝)(s r 为一般螺线，存在常向量e r 使e r r =常数，即r
e r r &常数，连续三次求微商得0,0r e r e r r r r &&&&&，0r e r r &&&& ，所以0),,(.... r r r 。
"" 因为0),,(.... r r r ，所以r r &
&平行于固定平面，设固定平面的法矢为n r （常向量），则r n r r
&
&，而,r n r r r r &&P ，所以曲线为一般螺线。 10. 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。
证 设曲线Γ与 在对应点有公共的切线，且Γ的表达式为：r r
＝)(s r ，则 ：
)(s r )(s )(s
，
０，其切向量为' ＝ r ＋ r ＋ k 应与 r 平行，所以k
＝０，从而曲线Γ为直线。同理曲线 为直线，而且是与Γ重合的直线。所以作为非直
线的两条不同的曲线不可能有公共的切线。
11．设在两条曲线Γ、 的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行，且它们的挠率和曲率都成比例，因此如果Γ为一般螺线, 则 也为一般螺线。
证 设曲线Γ：r r =)(s r
与 ：)(s r r 点建立了一一对应，使它们对应点的切线平行，
则适当选择参数可使)(s =)(s , 两端对s 求微商得ds s d , 即ds
s d s k s k )()( ，这
里0 ds
s
d ，所以有 = ，即主法线平行，从而)(s =)(s ，即两曲线的副法线也平行。且,ds s d 或ds s
d 。)(s =)(s 两边对s 求微商得ds s d s s )()( ，于是
,ds s d 或ds s d
，所以， 或
。
§1曲面的概念 1.求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r ρ =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r ρ=}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -=ρ , }1,0,0{=t r ρ 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
微分几何 一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0
二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式 为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率
第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t )(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函 数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t e ，所以 r ×'r = ' （e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e 求微商得'r =' e + 'e ，于是r × 'r =2 （e ×'e ）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。当)(t = 0时，)(t r =0 可与任意 方向平行；当 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量， 且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r r ，'r ，''r 垂直于同一 非零向量n ，因而共面，即（r r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r 0 。若r ×'r =0 ，由上题知) (t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ，则存在数量函数)(t 、)(t ， 使''r = r r + 'r ① 令n =r r ×'r ，则n 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r 求微商并将①式代入得'n =r ×
第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。
4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。
《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 2 12 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则
§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只 有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条
微分几何 一、判断题 1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.（?） 3、若4 ()s t 的微商与()s t 平行（5、等距变换一定是保角变换678910、曲线上的正常点的切向量是存在的（1112131415二、16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,. 18.设给出1c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --，β={sin ,cos ,0}x x ，
γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.242526.27.28.29第二基本形式为 21236 u -+:du 30同或对称。3132.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络 三、综合题 33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。 解：},,cos ,sin {t te t t t t r = 在原点处0=t 在原点处切平面的方程为:
《微分几何》 期终考试题（A） 班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、 填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(< 二、 单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k 微分几何第四版习题答 案梅向明 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个 切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么 )('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=2 2'e e - -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠ 0 。若r ×'r =0 ，由上题知)(t r 具有固定方向，自然平行于 一固定平面，若r ×' r ≠0 ，则存在数量函数)(t λ、)(t μ，使''r = r λ +μ'r ① 令n =r ×'r ，则n ≠ 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r 求微商并将①式代入得'n =r ×''r =μ（r ×'r ）=μn ， 于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n ，即)(t r 平行于固定平面。 §3 曲线的概念 1． 求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z =t 在（1,0,0）的切线和法平面。 解 令t cos =1,t sin =0, t =0 得 t =0, 'r (0)={ -t sin ,t cos ,1}|0=t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 1 101z y x ==- ，法平面为 y + z = 0 。 《微分几何》课程教学大纲 课程名称：《微分几何》 课程编码：074112303 适用专业及层次：数学与应用数学（本科） 课程总学时：72学时 课程总学分：4 一、课程的性质、目的与任务等。 1、微分几何简介及性质 微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。 2、教学目的： 通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。 3、教学内容与任务： 本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。重点让学生把握理解本教材的前二章。 二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求 第一章曲线论 教学要点： 本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对 空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题 教学时数：22学时。 教学内容： 第一节向量函数 1.1 向量函数的极限 1.2 向量函数的连续性 1.3 向量函数的微商 1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式 1.5 向量函数的积分 第二节曲线的概念 2.1 曲线的概念 2.2 光滑曲线、曲线的正常点 2.3 曲线的切线和法面 2.4 曲线的弧长、自然参数 第三节空间曲线 3.1 空间曲线的密切平面 3.2 空间曲线的基本三棱形 3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式 3.4 空间曲线在一点邻近的结构 3.5 空间曲线论的基本定理 3.6 一般螺线 考核要求： 1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能 > 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 《微积分几何》复习题 本科 第一部分：练习题库及答案 一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长） 第一章 1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5．计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ． 6．设()(sin )t t t =+f i j ，2()(1)t t t e =++g i j ，求0 lim(()())t t t →?=f g 0 ． 7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2 t u =，t v sin =，则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =?，2 t =θ，则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9．已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ，6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ，求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b 10．已知()t '=r a （a 为常向量），求()t =r t +a c 11．已知()t t '=r a ，（a 为常向量），求()t =r 2 12 t +a c 12．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-． 第二章 13．曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b 微分几何主要习题解答 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2 'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直 于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ① 微分几何第四版答案 第一部分曲线与曲面的局部微分几何 第一章欧氏空间 1.1 向量空间 1.2 欧氏空间 第二章曲线的局部理论 2.1 曲线的概念 2.2 平面曲线 2.3 E的曲线 2.4 曲线论基本定理 第三章曲面的局部理论 3.1 曲面的概念 3.2 曲面的第一基本形式 3.3 曲面的第二基本形式 3.4 法曲率与weingarten变换 3.5 主曲率与Gauss曲率 3.6 曲面的一些例子 第四章标架与曲面论基本定理 4.1 活动标架 4.2 自然标架的运动方程 4.3 曲面的结构方程 4.4 曲面的存在惟一性定理 4.5 正交活动标架 4.6 曲面的结构方程（外微分法） 第五章曲面的内蕴几何学 5.1 曲面的等距变换 5.2 曲面的协变微分 5.3 测地曲率与测地线 5.4 测地坐标系 5.5 Gauss-Bonnet公式 5.6 曲面的Laplace算子 5.7 Riemann度量 第二部分整体微分几何选讲 第六章平面曲线的整体性质 6.1 平面的闭曲线 6.2 平面的凸曲线 第七章曲面的若干整体性质 7.1 曲面的整体描述 7.2 整体的Gauss-Bonnet公式 7.3 紧致曲面的Gauss映射 7.4 凸曲面 7.5 曲面的完备性 第八章常Gauss曲率曲面 8.1 常正Gauss曲率曲面 8.2 常负Gauss曲率曲面与sine-Gordon方程8.3 Hilbert定理 8.4 Backlund变换 第九章常平均曲率曲面 9.1 Hopf微分与Hopf定理 9.2 Alexsandrov惟一性定理 9.3 附录：常平均曲率环面 第十章极小曲面 10.1 极小图 10.2 极小曲面的weierstrass表示 10.3 极小曲面的Gauss映射 10.4 面积的变分与稳定极小曲面 索引 微分几何的基本概念： 一、一些重要的基本概念： 1. 平面上的测地线是： 曲线上的测地曲率恒等于零的曲线称为测地线。这样，平面曲线的测地曲率就是它的相对曲率，所以，平面上的测地线就是直线。实际上，测地线的概念是平面上的直线的概念的推广。我们可以从以下几个定理来理解这个推广： 定理1 曲面上的一条曲线是测地线，当且仅当它是直线，或者它的主法向量失曲面的法向量。 定理2 对于曲面上的任意一点P 以及在店P 的任意一个单位切向量V ，在曲面上必存在唯一的一条测地线通过点P ，并且以V 为它在点P 的切向量。 平面上的直线具有这个性质。 2. 确定一个直纹面的要素有： 所谓的直纹面是指单参数直线族所构成的曲面。 正螺旋面就是一个直纹面，圆柱面也是一个直纹面。 确定一个直纹面要有两个要素：一条曲面r=a(u)，以及沿这条曲线定义的一个非零向量场l(u). 经过每一点a(u)、沿方向l(u)可以做唯一的一条直线，它们所构成的曲面是 r=r(u,v)=a(u)+vl(u) 曲线a(u)称为直纹面的准线，而v_曲线称为直纹面的直母线。 3. 曲线的曲率公式为||r , 空间曲线的基本公式是 . ?? ???-=+-==βτγγτακββ κα )()()()(s s s s ；这是著名的伏雷内公式 如果平面上初等区域到三维欧氏空间内建立的对应是 一一的 、双方连续的和在上映射，则称三维欧氏空间中的象为简单曲面． 平面上的点满足的条件为v u r r ?在),(00v u 点不等于零． 4、 切平面方程为0)),(),,(),,((000000=-v u r v u r v u r R v u ． 坐标曲线正交的条件为0=?=y x r r F ． du ：dv=1：2和（-1）：（-2）表示的两切方向之间关系为平行． 球面第一类基本量F=0，其意义是坐标曲线正交, 旋转面的坐标曲线网正交． 5. 两个曲面之间的一个变换是等距的，则对应的面积关系为相等, 如果n r c n q b n p a ?=?=?=,,，那么c b a ,,位置关系是共面, )(s r 具有固定方向与 r r ?=0 的关系是充分条件 。 6. 一次函数b t a t r +=)(（t 为参数 ,a §1曲面的概念 1.求正螺面r ={u v cos ,u v sin ,bv}的坐标曲线. 解u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0}=｛0,0，bv 0｝＋u{0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv}为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）,b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证u-曲线为r ={a （u+0v ）,b （u-0v ）,2u 0v }={a 0v ,b 0v ,0}+u{a,b,20v }表示过点{a 0v ,b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）,b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u ,b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u ,b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a --，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即xcos ?cos ?+ycos ?sin ?+zsin ?-a=0； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=-。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 曲面只有一个切平面。 解 椭 圆 柱 面 22 22 1x y a b +=的参数方程为微分几何第四版习题答案梅向明
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