第四章振动运动学
§4.1 概述
4.1.1机械振动的概念
机械振动可解释为机器或机构在静平衡位置附近的一种反复运动，在许多情况下，机械振动是有害的，它影响机器设备的工作性能和寿命，产生不利于工作的噪声和有损于机械或结构物的动载荷，严重时会使零部件失效甚至破坏而造成事故。因此对于大多数机器设备应将其振动量控制在允许的范围内。反之，对于利用振动原理工作的机器设备，则又应使它能产生所希望的振动，选择其应有的效能。
实际的机器或结构物可以简化为一个力学模型。如图4-1所示，一个不发生形变的物体放在一个忽略了质量的弹簧上，组成一个“弹簧－质量”系统。
m
o o
k
)a)b)c)d)e
图4-1 弹簧－质量系统
物体静止时，物体处于图4-1(a)所示的平衡位置o-o，此时物体的重力与弹簧支持它的弹性恢复力互相平衡，即它们的合力Q=0，故物体的速度v=0，加速度a=0；当物体受到向下的冲击作用后即向下运动，弹簧被进一步压缩，弹性恢复力逐渐加大，使物体作减速运动。当物体的速度减小到零后，物体即运动到如图4-1(b)所示的最低位置，此时
v=0，而弹簧的弹性恢复力大于物体的重力，故合力Q的方向向上，使物体产生向上的加速度a，物体即开始向上运动；当物体返回到如图4-1(c)所示的平衡位置时，其所受合力Q为零，但其速度v却不为零，由于惯性作用，物体继续向上运动；随着物体向上运动，弹簧逐渐伸长，弹性恢复力逐渐变小，物体重力大于弹性恢复力，合力的方向向下，故物体又作减速运动；当物体向上的速度减到零时，物体即运动到如图4-1(d)所示的最高位置。此后物体即开始向下运动，返回平衡位置；当物体返回到如图4-1(e)所示的平衡位置时，其所受合力Q又为零，但其速度v仍不为零。由于惯性作用，物体继续向下运动。这体，物体即在平衡位置附近来回往复运动。
物体从平衡位置开始向下运动，然后向上运动，经过平衡位置再继续向上运动，然后又向下运动回到平衡位置(从图4-1a到图4-1e)，称为完成一次振动。
从运动学的观点来看，机械振动是指机械系统的某些物理量(位移、速度、加速度)，在某一数值附近随时间t的变化关系。
图4-2表示某物理量在相等的时间间隔内作往复运动，这种振动称为“周期振动”。往复一次所需的时间间隔T称为“周期”。每经过一个周期后，运动便重复前一周期的全部过程。
x
t
x
t
图4-2 周期振动 图4-3 非周期振动
周期振动可用时间的周期函数表达为：
),2,1()
()( =+=n nT t x t x (4-1)
周期的倒数定义为“频率”，以f 表示：
)Hz s /1(1
或T
f =
(4-2) 图4-3表示在旋转机械起动过程中产生的振动，它没有一定的周期，不能表达成(4-1)式的形式。这种振动称“为非周期振动”。
4.1.2机械振动的分类
为了便于分析讨论振动问题，有必要对振动加以分类。机械振动可根据不同的特征作如下的分类：
1.按产生振动的原因分类
(1)自由振动——当系统的平衡被破坏，只靠其弹性恢复力来维持的振动。 (2)受迫振动——在外界激振力的持续作用下，系统被迫产生的振动。
(3)自激振动——由于系统具有非振荡性能源和反馈特性，从而引起一种稳定的周期性振动。
2.按振动的规律分类
(1)简谐振动——能用一项正弦或余弦函数表达其运动规律的周期性振动。 (2)非简谐振动——不能用一项正弦或余弦函数表达其运动规律的周期性振动。 (3)随机振动——不能用简单函数或这些简单函数的简单组合来表达其运动规律，而只能用统计方法来研究的非周期性振动。
3.按振动系统的结构参数的特性分类
(1)线性振动——系统的惯性力、阻尼力、弹性恢复力分别与加速度、速度、位移成线性关系，能用常系数线性微分方程描述的振动。
(2)非线性振动——系统的阻尼力或弹性恢复力具有非线性性质，只能用非线性微分方程描述的振动。
4.按振动系统的自由度数目分类
(1)单自由度系统振动——确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置只需要—个独立坐标的振动。
(2)多自由度系统振动——确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置需要多个独立坐标的振动。
5.按振动位移的特征分类
(1)扭转振动——振动体上的质点只作绕轴线的振动。 (2)纵向振动——振动体上的质点只作沿轴线方向的振动。
(3)横向振动——振动体上的质点只作垂直轴线方向的振动。 纵向振动与横向振动又可统称为直线振动。
§4.2 简谐振动及其表示方法
4.2.1简谐振动及其特征
简谐振动是指机械系统的某个物理量(位移、速度、加速度)按时间的正弦(或余弦)函数规律变化的振动。这是周期振动的最简单而又极重要的一种形式。
简谐振动的数学表达式为：
)2sin(?π
+=t T
A x (4-3)
式(4-3)亦可用图4-4来表示。其中：
A ——振幅，表示物体离开平衡位置的最大位移； T ——周期，若用T t +，T t 2+，……nT t +等代替上式中的t ，则所得的x 值不变。故每隔时间T ，运动就完全重复一次，所以T 是振动的周期。
令f T
ππ
ω22==
时，称为“圆频率”或“角频率”
。则式(4-3)可写成：
)sin(?ω+=t A x (4-4)
式中，?ω+t ——相位角，它是决定振动物体在t 时刻运动状态的重要物理量；
?——初相位，即0=t 时的相位，表示振动物体的初始位置。 对简谐振动的位移表达式(4-4)式求一阶和二阶导数，即得简谐振动的速度和加速度表达式：
)2
sin()cos(π
?ωω?ωω+
+=+==t A t A x v (4-5)
)sin()sin(22π?ωω?ωω++=+-==t A t A x a (4-6)
比较(4-4)、(4-5)和(4-6)式，可以看出：
(1)只要位移是简谐函数，则速度和加速度也是简谐函数，而且与位移具有相同的频率；
(2)速度的相位比位移的相位超前
2
π
，加速度比位移超前π； (3)因为x x 2ω-=
，这就表明，简谐振动的加速度与位移恒成正比且反向，即加速度始终指向平衡位置。这是简谐振动的运动学特征。
4.2.2简谐振动的矢量表示法和复数表示法
1.矢量表示法
简谐振动可以用旋转矢量在坐标轴上的投影来表示。
图4-4 简谐振动
图4-5 简谐振动的矢量表示法 图4-6 简谐振动的位移速度和加速度矢量
如图4-5所示，从始点O 作矢量OP ，其模为A ，以等角速度ω旋转，矢量的起始位置与水平轴的夹角为?，在任一瞬时，矢量与水平轴的夹角则为?ω+t 。
这一旋转矢量在垂直轴上的投影即为：
)sin(?ω+=t A x
这一旋转矢量在水平轴上的投影则为：
)cos(?ω+=t A x
由此可见，旋转矢量在垂直轴或水平轴上的投影均可用来表示简谐振动。而这一旋
转矢量的模就是简谐振动的振幅，旋转矢量的角速度就是简谐振动的圆频率，旋转矢量与水平轴(或垂直轴)的夹角就是简谐振动的相位角；而简谐振动的初相位角，则是t =0时旋转矢量与水平轴(或垂直轴)的夹角。
简谐振动的速度和加速度也可用旋转矢量来表示。因为速度和加速度也是时间的正弦(或余弦)函数，其圆频率仍为ω，并分别具有以下的最大值：
A v ω=max
A a 2max ω=
故可用等速旋转的两个矢量max v 和max a 来表示。但速度矢量超前于位移矢量90°，加速度矢量则超前于位移矢量180°，如图4-6所示。
从图4-6中可以清楚地看出，所谓相位差是指两物理量达到最大值(或最小值)时时间上的差异。若两个物理量同时达到最大值或最小值，则相位差0=?，称为同相；若两个物理量一个达到最大值时，另一个正好达到最小值，则相位差π?=，称为反相。
2.复数表示法
复数可以用复数平面上的一个矢量来表示。如图4-7所示，长度为A 的矢量在实数轴和虚数轴上的投影分别为θcos A 及θsin A ，故矢量就代表了下列复数：
)sin (cos θθi A Z +=
而的长度就代表了这—复数的模A ，与实数轴的夹角就是这一复数的复角θ。 若使OP 绕O 点以等角速度ω在复平面内逆时针旋转就成为一个复数旋转矢量(图4-8)。它在任一瞬间的复角为t ωθ=。故这一旋转矢量的复数表达式即为：
)sin (cos t i t A Z ωω+=
图4-7 复数的矢量表示法图4-8 复数旋转矢量
根据欧拉公式：θ
θ
θsin
cos i
e i+
=
则前式可改写成：
θi
Ae
Z=
如前所述，任一简谐振动都可用一个旋转矢量在直角坐标轴上的投影来表示。因此可用一个复数旋转矢量在复平面的实轴或虚轴上的投影来表示一个简谐振动。也就是说，可以用复数来表示简谐振动。即：
)
(
sin t i
m
m
Ae
I
Z
I
t
A
xω
ω=
=
=
式中符号Z
I
m
表示取复数Z的虚数部分。(当然，也可以取复数Z的实数部分来表示简谐振动，只不过此时的简谐振动是用余弦函数表示而己)。为了书写方便，今后对复数t
i
Aeω不作特别说明时，即表示取其虚数部分，这样可省略符号m I。
所以，简谐振动的复数表达式是：
t
i
Ae
xω
=(4-7) 若初相位不为零，则上式应改写成：
t
i
t
i
i
t
i e
A
e
Ae
Ae
xω
ω
?
?
ω=
?
=
=+)
((4-8) 式中：?i
Ae
=，称为复振幅。
简谐振动的速度和加速度也可用复数表示：
t
i
Ae
xω
=
)
2
(
π
ω
ωω
ω+
=
=
∴
t
i
t
i Ae
A
Ae
i
x
)
(
2
2π
ω
ωω
ω+
=
-
=t
i
t
i Ae
A
Ae
x
将以上结果画在复平面上，可得到如图4-9
关系。
可以看出，对复数t i
Aeω每求导一次，则相当于在它前
面乘上一个ωi，而每乘一个i
算带来一定的方便。
4.2.3简谐振动的合成
在实际的振动系统中，往往同时遇到几个简谐振动叠加的情况，因此有必要研究简
谐振动的合成。现根据不同的情况分别讨论如下：
1.同方向上两个简谐振动的合成
所谓同方向上的简谐振动是指两个振动方向在同一直线方向上。由于这两个振动同时发生，最终表现出的振动形式就是它们综合的结果。
当两个简谐振动的频率相同时，可设这两个简谐振动的复数表达式为：
?????==+)
(22
11?ωωt i t i e A x e
A x 这是两个复数旋转矢量，根据矢量相加的原理，它们的和(即合成振动)为：
t i t i t i e iA A A e A e A x x x ω?ωω??]sin )cos [(221)(2121++=+=+=+
设复数??sin )cos (221iA A A Ae ia ++= 则)(a t i t i ia Ae e Ae x +==ωω
式中，合成振动振幅22221)sin ()cos (??A A A A ++= 合成振动出相位?
?
cos sin 2121
A A A tg a +=- (4-11)
由此可见：合成振动仍然是一个简谐振动，其频率与原来分振动的频率相同。合成振动的振幅决定于分振动的振幅及其相位差，两个分振动向相比相位差0=?，则合成振动振幅等于两个分振动的振幅和；两个分振动反相时，相位差π?=，则合成振动振幅等于两个分振动的振幅差。
当两个简谐振动的频率不同时，问题就比较复杂，因为这时两个分振动的相位差本身也成了时间的函数。
设0=t 时，两个分振动的相位差为θ。
则在时间为t 时，两个分振动的相位差可用下式表示：
θωθωω?+??=+-=t t )(21
式中：1ω、2ω——两个分振动的频率；21ωωω-=?为两个分振动的频率差。 这时，仍可应用前面的推导结论但必须把?看成是一个变量。根据(4-11)式可得：
)
cos(2)sin ()cos (2122
2
122221θω??+?++
=
++=t A A A A A A A A (4-12)
由此可见：合成振动的振幅A 是时间t 的周期函数，它将以ω?作为频率，在21A A +≥A ≥21A A -的范围内变动。若两个分振动的振幅相差较大，则合成振动的振幅中总是由振幅大的一个分振动占主导地位，而振幅小的分振动则只能使前者产生一些畸变。若两个分振动的振幅相差不大，那么合成振幅按一定频率时而增大、时而减小的现象就十分明显。振幅的这种变化的现象称为“拍”，如图4-10所示。振幅从一个最小值通过最大
值再到下一个最小值的时间是拍的周期拍T ，其倒数就称为拍频，拍频就等于两个分振动的频率之差。
图4-10 拍
只有两个分振动的频率之比是有理数时，合成振动才可能是周期振动，它的周期就是两个分振动周期的最小公倍数。如果两个分振动的频率比是无理数，那么它们的周期就不可能找到最小公倍数，合成振动就不会是周期性运动。
2.互相垂直方向上两个简谐振动的合成
当一个质点在同一平面上互相垂直的两个方向同时产生简谐振动时，要研究该点的综合运动形式就要将这两个简谐振动合成起来。
设该质点在x 和y 这两个互相垂直的方向上所作的简谐振动用下式表示：
?
??
+=+=)sin()sin(2211?ω?ωt A y t A x (4-13)
将上式展开，并进行消去参数t 的运算，得出x 与y 的函数关系如下：
)(sin )cos(2
212212
122
2
2
12????-=--+A A xy
A y A x (4-14) 上式一般表示一个斜的椭圆，但随着相角的差与振幅的不同，可以退化为直线或正圆。
例如，当时021=-??，(4-14)式变成：
02
2
122
2
2
12=-+A A xy
A y A x 即
2
1A A y x
= 显然，这就是图4-11(a )所表示的直线。 若π??=-21，则(4-14)式变成：
2
1A A y x
-= 这就是图4-11(b )所表示的直线。 若2
3221π
π
??或
=-，则(4-14)式变成：
122
2
2
12=+
A y A x
这就是图4-11(c )所表示的正椭圆。
a )
b )
c )
图4-11 简谐振动的合成
这时，如果21A A =，则质点轨迹就是一个正圆。 当两个方向上的振动频率1ω与2ω不同时，质点的振动轨迹就极为复杂，这些轨迹(包括1ω与2ω相同的情况)统称为李沙如图。
在振动试验中可将x 、y 方向上的两个振动信号分别输送到阴极示波器的x 、y 轴，在荧光屏上就会得到这两个互相垂直的简谐振动合成的图形一一李沙如图。和同方向简谐振动合成一样，只有当1ω与2ω的比例是有理数时，所得到的李沙如图才是封闭的。在振动试验中可以利用李沙如图来判断x 、y 方向的频率比，即根据李沙如图与水平线及垂直线切点的个数之比，来判断两个方向上分振动的频率比。在图4-12(a )中，水平方向有2个切点，垂直方向有3个切点，故两个方向上分振动的频率比就是切点数的反比．这就是说水平方向与垂直方向的频率比是3：2。而在图4-12(b)中，水平方向的频率是垂直方向频率的
2
1
。因此，若一个方向上的频率已知，则另一个方向的频率就可根据李沙如图推算出来。
§4.3 非简谐周期振动的谐波分析
在研究机械振动时，常会遇到某些参量的变化具有周期性，但又不是简单的简谐运动，即是一种非简谐的周期运动，其振幅，速度和加速度都不一定是简谐的。此外，在激振时，激振力也往往不是简谐的，有时就要用脉冲方波或三角波来激振。对于这些非简谐的周期运动，常常需要将它分解成一系列简谐振动的叠加，这就需要应用傅立叶级数的理论。
在数学理论上，把一个周期函数展开成一个傅立叶级数亦即展开成一系列简谐函数之和，称为“谐波分析”。把这种谐波分析法用于振动理论，就可以把一个周期振动分解为一系列简谐振动的叠加。
设有一个周期振动函数F (t )，它的周期为T ，展开成傅立叶级数为：
a )
b ) 图4-12 李沙如图
)
sin cos (2
2sin sin 2cos cos 2
)(11
10121112110
t n b t n a
a t
b t b t a t a a t F n n n
ωωωωωω++=++++++=∑∞
= (4-15)
式中：T
π
ω21=
，称为基频； ?
=
T
dt t F a 0
10)(πω ?
=T
n tdt n t F a 0
11cos )(ωπω
?
=
T
n tdt n t F b 0
11sin )(ωπω 因为两个频率相同的简谐振动可以合成为一个简谐振动，即：
)sin(sin cos 111n n n n t n A t n b t n a ?ωωω+=+
式中：2
2n
n n b a A +=，n
n
n b a tg 1-=? 因此，(4-15)式也可以写成：
∑∞
=++
=1
1
0)
sin(2
)(n n n
t n A a t F ?
ω (4-16)
上式中，第一项是常数，对振动没有影响，第二项)sin(
111?ω+t A 的频率与非简谐周期振动的原频率1ω相同，称这一项称为基本和谐或第一和谐；频率等于原函数额率两倍的第三项)2sin(212?ω+t A 称为第二和谐；……频率等于原函数频率n 倍的第n ＋1项)sin(n n n t A ?ω+称为第n 和谐。
为了使谐波分析形象化，可以把n A 和n ?与ω之间的变化关系用图形来表示，如图4-13所示。因为只是在),3,2,1(1 =n n ω各点，n A 和n ?才有一定的数值，所以图形是一组离散的垂线。这种图形称为离散频谱。周期振动的频谱均为离散频谱，频谱图上每一根竖线代表一个谐波分量。
(a ) (b )
图4-13 离散频谱图
)
(a ) (b ) 图4-14 非简谐周期振动及其频谱图
例如，某一个非简谐周期振动：
t a
t a t F ωω2sin 2
sin )(+=
可以分解为t a ωsin 及t a
ω2sin 2
两个简谐振动的叠加，其时间历程(以时间为横坐标，以振动位移为纵坐标所作的线图)如图4-14(a )所示。因为这一周期振动只有两个谐波分量，故其频谱图上只有两条竖线(见图4-14b )。
三角波与脉冲方波是振动研究中常遇到的周期波形，现分别对他们进行谐波分析。 例4-l 已知一个三角波(见图4-15)的函数表达式为：
πωππωωπω202)(<≤<≤?
??-=t t t t
t F
试将)(t F 在[0，2π]区间展开为傅立叶级数。
)3t ωt
图4-15 三角波 图4-16 脉冲方波及其谐波
解： πωπωπωω
πω
πω
π=?
??
?
??
-+
=
?
?0
20)2(dt t tdt a
]2cos 2[)(1cos )2(cos 2
20
2-=?
?
?
?
??-+
=
?
?πωπωωωπωωπωω
πω
πω
πn n tdt n t tdt n t a n
sin )2(sin 0
2=??
?
?
?
?-+
=?
?ω
πω
πω
πωωπωωπωtdt n t tdt n t b n 当n 是奇数时，1cos -=πn ，则π
24n a n -=
当n 是偶数时，1cos =πn ，则0=n a
∴
)5
5cos 33cos 1cos (42
)(222 t t t t F ωωωππ
++-
=
例4-2 已知一个脉冲方波的函数表达式为：
πωππω20)(<<<
??-=t t F F
t F
试将F (t )在[0,2π]区间展开成傅立叶级数。
解：0020=?
????
?-+=??
ωπωπωππωFdt Fdt a 0
cos cos 0
2=??
?
?
?
?
-
=?
?ω
πω
πω
πωωπωtdt n F tdt n F a n
)cos 1(2sin sin 0
2ππ
ωωπωω
πω
πω
πn n F
tdt n F tdt n F b n -=
??
?
??
?-
=?
?
当n 是奇数时，则π
n F
b n 4=
当n 是偶数时，则0=n b
∴
)5sin 5
1
3sin 31(sin 4)( t t t F
t F ωωωπ++=
若在上式中只取一次谐波
t F
ωπ
sin 4与方波波形比较，两者有些接近，但仍然差别较
大，若取一次谐波与二次谐波叠加，再与方波波形相比较，就比只取一次谐波接近多了(见
图4-16)。所以只要叠加的谐波次数取得较多，傅立叶级数与原来的周期函数就十分接近了。傅立叶级数虽是无穷级数，但在实际工程问题中，n 不必取得很大。可根据分析精度的要求适当选取n 值，一般认为取到n ＝5已经相当准确了。
第一章振动运动学 §1-1 概述 一、机械振动的概念 机械振动——英文名称mechanical Vibration可解释：机械或结构物在静平衡位置附近的一种反复运动。 振动现象: (1)心脏的搏动;(2)耳膜和声带的振动等；(3)汽车、火车、飞机及机械设备的振动；（4)家用电器、钟表的振动；(5)地震以及声、电、磁、光的波动等等。 如： 振动的危害： （1）在许多情况下，机械振动是有害的。它影响机器设备的工 作性能和寿命，产生不利于工作的噪声和有损于机械或结构物 的动载荷，严重时会使零部件失效甚至破坏而造成事故。 危害分类： 轻则：影响乘坐的舒适性；降低机器及仪表的精度；
重则：危害人体健康；引起机械设备及土木结构的破坏； 因此，对于大多数机器、设备和结构物，应将其振动量控制在允许的范围内。 (2)（事物都是一分为二）对于利用振动原理工作的机器设备， 则又应使它能产生所希望的振动，选择其应有的效能。 振动的利用： 如：钻井液固控系统的振动筛、冲击凿岩机、顿钻等 如：琴弦振动；振动沉桩、振动拔桩以及振动捣固等；振动检 测；振动压路机、振动给料机和振动成型机等。 [工程实例]：地震灾害（如汶川地震、玉树地震等） （1）电教片 [机械振动视频] （2）电教片 [神舟上天视频] 实际的机器或结构物可以简化为一个力学模型。如图1.1所示，
一个不发生形变的物体放在一个忽略了质量的弹簧上，组成一个“弹簧-质量”系统。[提炼出力学模型] (说明)物体静止时，物体处于图1.1（a）所示的平衡位置O-O，此时物体的重力与弹簧支持它的弹性恢复力互相平衡，即它们的合力Q = 0，物体的速度v = 0，加速度a = 0；当物体受到向下的冲击作用后即向下运动，弹簧被进一步压缩，弹性恢复力逐渐加大，使物体作减速运动。当物体的速度减小到零后，物体即运动到如图1.1（b）所示的最低位置，此时v = 0，而弹簧的弹性恢复力大于物体的重力，故合力Q的方向向上，使物体产生向上的加速度a，物体即开始向上运动；当物体返回到如图1.1（c）所示的平衡位置时，其所受合力Q 又为零，但其速度v却不为零，由于惯性作用，物体继续向上运动；随着物体向上运动，弹簧逐渐伸长，弹性恢复力逐渐变小，物体重力大于弹性恢复力，合力Q方向向下，故物体又作减速运动。当物体向上的速度减少到零时，物体即运动到如图1.1（d）所示的最高位置。此后，物体即开始向下运动，返回平衡位置；当物体返回到如图1.1
第四章振动运动学 §4.1 概述 4.1.1机械振动的概念 机械振动可解释为机器或机构在静平衡位置附近的一种反复运动，在许多情况下，机械振动是有害的，它影响机器设备的工作性能和寿命，产生不利于工作的噪声和有损于机械或结构物的动载荷，严重时会使零部件失效甚至破坏而造成事故。因此对于大多数机器设备应将其振动量控制在允许的范围内。反之，对于利用振动原理工作的机器设备，则又应使它能产生所希望的振动，选择其应有的效能。 实际的机器或结构物可以简化为一个力学模型。如图4-1所示，一个不发生形变的物体放在一个忽略了质量的弹簧上，组成一个“弹簧－质量”系统。 m o o k )a)b)c)d)e 图4-1 弹簧－质量系统 物体静止时，物体处于图4-1(a)所示的平衡位置o-o，此时物体的重力与弹簧支持它的弹性恢复力互相平衡，即它们的合力Q=0，故物体的速度v=0，加速度a=0；当物体受到向下的冲击作用后即向下运动，弹簧被进一步压缩，弹性恢复力逐渐加大，使物体作减速运动。当物体的速度减小到零后，物体即运动到如图4-1(b)所示的最低位置，此时 v=0，而弹簧的弹性恢复力大于物体的重力，故合力Q的方向向上，使物体产生向上的加速度a，物体即开始向上运动；当物体返回到如图4-1(c)所示的平衡位置时，其所受合力Q为零，但其速度v却不为零，由于惯性作用，物体继续向上运动；随着物体向上运动，弹簧逐渐伸长，弹性恢复力逐渐变小，物体重力大于弹性恢复力，合力的方向向下，故物体又作减速运动；当物体向上的速度减到零时，物体即运动到如图4-1(d)所示的最高位置。此后物体即开始向下运动，返回平衡位置；当物体返回到如图4-1(e)所示的平衡位置时，其所受合力Q又为零，但其速度v仍不为零。由于惯性作用，物体继续向下运动。这体，物体即在平衡位置附近来回往复运动。 物体从平衡位置开始向下运动，然后向上运动，经过平衡位置再继续向上运动，然后又向下运动回到平衡位置(从图4-1a到图4-1e)，称为完成一次振动。 从运动学的观点来看，机械振动是指机械系统的某些物理量(位移、速度、加速度)，在某一数值附近随时间t的变化关系。 图4-2表示某物理量在相等的时间间隔内作往复运动，这种振动称为“周期振动”。往复一次所需的时间间隔T称为“周期”。每经过一个周期后，运动便重复前一周期的全部过程。
- 81 - 第二篇振动与波 振动和波动是物质的基本运动形式。 在力学中有机械振动和机械波 在电学中有电磁振荡和电磁波 声是一种机械波 光则是电磁波 量子力学又叫波动力学。 第四章 机械振动 教学时数：6学时 本章教学目标 了解简谐振动的动力学特征，掌握描述简谐振动的重要参量，理解简谐振动的运动学方程，知道弹簧振子的动能和势能随时间变化的规律；了解简谐振动的合成，掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程，了解同方向不同频率简谐振动的合成，了解阻尼振动、受迫振动、共振的含义。 教学方法：讲授法、讨论法等 教学重点：掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程 机械振动：物体在某固定位置附近的往复运动叫做机械振动，它是物体一种普遍的运动形式。例如活塞的往复运动、树叶在空气中的抖动、琴弦的振动、心脏的跳动等都是振动。 广义地说，任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以叫做振动。例如交流电路中的电流、电压，振荡电路中的电场强度和磁场强度等均随时间
- 82 - 作周期性的变化，因此都可以称为振动。 §4—1 简谐振动的动力学特征 简谐振动是振动中最基本最简单的振动形式，任何一个复杂的振动都可以看成是若干个或是无限多个谐振动的合成。 定义：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移z(或角位移口)随时间f 按余弦(或正弦)规律变化，即 x = A cos(ωt + φ0) 则这种振动称之为简谐振动。 研究表明，作简谐振动的物体(或系统)，尽管描述它们偏离平衡位置位移的物理量可以千差万别，但描述它们动力学特征的运动微分方程则完全相同。 一、弹簧振子模型 将轻弹簧(质量可忽略不计)一端固定，另一端与质量为m 的物体相连，若该系统在振动过程中，弹簧的形变较小(即形变弹簧作用于物体的力总是满足胡克定律)，那么，这样的弹簧——物体系统称为弹簧振子。 如图所示，将弹簧振子水平放置，使振子在水平光滑支撑面上振动。以弹簧处于自然状态(弹簧既未伸长也未压缩的状态)的稳定平衡位置为坐标原点，当振子偏离平衡位置的位移为x 时，其受到的弹力作用为 F= - kx 式中k 为弹簧的劲度系数，负号表示弹力的方向与振子的位移方向相反。即振子在运动过程中受到的力总是指向平衡位置，且力的大小与振子 偏离平衡位置的位移成正比，这种力就称之为线性回复力。 如果不计阻力(如振子与支撑面的摩擦力，在空气中运动时受到的介质阻力及其 2=-x d m kx
简谐振动的运动学 本节主要讲解：根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动的运动学特征。 一 . 简谐振动的运动学方程 方程的解为：⑴ ⑴式就是简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。 二 . 描述简谐振动的物理量 1 . 周期（T ） 完成一次全振动所用的时间： 对弹簧振子： 2. 频率（） 单位时间内完成的全振动的次数： 的含义：个单位时间内完成的全振动的次数，即圆频率。 3. 振幅
物体离开平衡位置的最大位移。 振幅可以由初始条件决定。如：t=0 时刻，， 由⑴式可得：, ∴⑵ 4. 位相和初位相 振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，还须知道 才能完全决定系统的运动状态。 叫简谐振动的相位。 当时，叫初相位。 由：⑶ 若：已知初始条件：，则⑶式有： ⑷ ⑸ ⑷，⑸式中的任意二个即可确定初位相。 相位差：两振动相位之差。 讨论：
⑴若 是 的整数倍，则振动同相位； ⑵若 是 奇数倍，则振动相位相反； ⑶若 ，则称 超前 ； ⑷若 ，则称 落后 。 相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。 例 1 ：一弹簧振子， 时， 求振动的初位相 。 解 ： ∴ 在第一象限， 例 2 ：讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。 解 ： 设： ， 则：
所以：速度的位相比位移的位相超前 加速度的位相比速度的位相超前； 加速度的位相比位移的位相超前。 理解：加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移。 总结： ⑴简谐振动是周期性运动； ⑵简谐振动各瞬时的运动状态由振幅 A 频率及初相位决定，或者说，由振幅和相位决定。 ⑶简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。 三 . 简谐振动的图象：图线 描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。 中学里经常做正弦、余弦函数的图象，故不再多讲，请看书。 四 . 简谐振动的矢量表示法： 用旋转矢量的投影表示简谐振动。 如图示：
简谐运动的描述物理教案 教学目标： 1.知识与技能 (1)知道简谐运动的振幅、周期和频率的含义。理解周期和频率的关系。 (2)知道振动物体的固有周期和固有频率，并正确理解与振幅无关。 (3)理解振动图像的物理意义，能利用图像求振动物体的振幅、周期及任意时刻的位移;会将振动图像与振动物体在某时刻位移与位置对应，并学会在图象上分析与位移x有关的物理量。 (4)知道简谐运动的公式表示X=Asinwt，知道什么是简谐运动的圆频率，知道简谐运动的圆频率和周期的关系。 2.过程与方法：观察砂摆演示实验中拉动木板匀速运动，让学生学会这是将质点运动的位移按时间扫描的基本实验方法。 3.渗透物理方法的教育：提高学生观察、分析、实验能力和动手能力，从而让学生知道实验是研究物理科学的重要基础。 教学重点：振幅、周期和频率的物理意义;简谐运动图象的物理意义 教学难点：理解振动物体的固有周期和固有频率与振幅无关;振动图象与振动轨迹的区别;圆频率与周期的关系 教学器材：弹簧振子，音叉，课件;砂摆实验演示：砂摆、砂子、玻璃板(或长木板) 教法与学法：实验观察、讲授、讨论，计算机辅助教学 教学过程设计: 第一课时 1.新课引入 上节课讲了简谐运动的现象和受力情况。我们知道振子在回复力作用下，总以某一位置为中心做往复运动。现在我们观察弹簧振子的运动。将振子拉到平衡位置O的右侧，放手后，振子在O点的两侧做往复运动。振子的运动是否具有周期性? 在圆周运动中，物体的运动由于具有周期性，为了研究其运动规律，我们引入了角速度、周期、转速等物理量。为了描述简谐运动，也需要引入新的物理量，即振幅、周期和频率。
板书二振幅、周期和频率(或投影) 2.新课讲授 实验演示：观察弹簧振子的运动，可知振子总在一定范围内运动。说明振子离开平衡 位置的距离在一定的数值范围内，这就是我们要学的第一个概念――振幅。 板书1、振动的振幅 在弹簧振子的振动中，以平衡位置为原点，物体离开平衡位置的距离有一个最大值。 如图所示(用投影仪投影)，振子总在AA’间往复运动，振子离开平衡位置的最大距离为 OA或OA’，我们把OA或OA’的大小称为振子的振幅。 板书(1)、振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离。 我们要注意，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，而不是最大位移。这就意味着，振幅是一个数值，指的是最大位移的绝对值。 板书振幅是标量，表示振动的强弱。 实验演示：轻敲一下音叉，声音不太响，音叉振动的振幅较小，振动较弱。重敲一下 音叉，声音较响，音叉振动的振幅较大，振动较强。振幅的单位和长度单位一样，在国际 单位制中，用米表示。 板书(2)、单位：m 由于简谐运动具有周期性，振子由某一点开始运动，经过一定时间，将回到该点，我 们称振子完成了一次全振动。振子完成一次全振动，其位移和速度的大小、方向如何变化? 学生讨论后得出结论：振子完成一次全振动，其位移和速度的大小、方向与从该点开 始运动时的位移和速度的大小、方向完全相同。 在匀速圆周运动中，物体运动一个圆周，所需时间是一定的。观察振子的运动，并用 秒表或脉搏测定振子完成一次全振动的时间，我们通常测出振子完成20～30次全振动的 时间，从而求出平均一次全振动的时间。可以发现，振子完成一次全振动的时间是相同的。 板书2、振动的周期和频率 (1)、振动的周期T：做简谐运动的物体完成一次全振动的时间。 振动的频率f：单位时间内完成全振动的次数 (2)、周期的单位为秒(s)、频率的单位为赫兹(Hz)。 板书(3)、周期和频率都是表示振动快慢的物理量。两者的关系为T=1/f或f=1/T
振动运动学 1. 选择题 题号：10111001 分值：3分 难度系数等级：1 物体做简谐运动时，下列叙述中正确的是 （A ）在平衡位置加速度最大； （B ）在平衡位置速度最小； （C ）在运动路径两端加速度最大； （D ）在运动路径两端加速度最小。 [ ] 答案：（C ） 题号：10111002 分值：3分 难度系数等级：1 一弹簧振子，当0t =时，物体处在/2x A =（A 为振幅）处且向负方向运动，则它的初相为 （A ） π3； （B ）π6 ； （C ）-π3； （D ）-π 6。 [ ] 答案：（A ） 题号：10111003 分值：3分 难度系数等级：1 两个同周期简谐振动曲线如图所示。x 1的相位比x 2的相位 (A) 落后π/2 ； (B) 超前π/2 ； (C) 落后π ； (D) 超前π 。 [ ] 答案：（B ） 题号：10111004 分值：3分 难度系数等级：1 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) π ； (B) π/2 ； (C) 0 ； (D) θ 。 [ ] 答案：（C ）
题号：10111005 分值：3分 难度系数等级：1 一弹簧振子，当0t =时，物体处在/2x A =-（A 为振幅）处且向负方向运动，则它的初相为 （A ） π3 ； （B ）-π3 ； （C ）23π- ； （D ）23π 。 [ ] 答案：（D ） 题号：10112006 分值：3分 难度系数等级：2 一质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为/2A ，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 (C) [ ] 答案：（B ） 题号：10112007 分值：3分 难度系数等级：2 一质点作简谐振动，周期为T 。当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12 ； (B) T /8 ； (C) T /6 ； (D) T /4 。 [ ] 答案：（C ） 题号：10112008 分值：3分 难度系数等级：2 已知一质点沿ｙ轴作简谐振动。其振动方程为3 cos()4 y A t ωπ=+。与之对应的振动曲线是
《振动的数学分析》
简谐振动的运动学 本节主要讲解 ：根据简谐振动的动力学方程求其运动学方程，并讨论简谐运动的运动学特征。 一 . 简谐振动的运动学方程 由牛顿第二定律知：x m k m F a -== 即：022=+x m k dt x d 再令m k =2 0ω得：020 22=+x dt x d ω 方程02 022=+x dt x d ω的通解为 ： ⑴ ⑴ 式就是简谐振动的运动学方程， 该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。 二 . 描述简谐振动的物理量 1 . 周期（ T ） 完成一次全振动所用的时间： 对弹簧振子：k m T π ω π 22== 2. 频率（ ） 单位时间内完成的全振动的次数： 的含义： 个单位时间内完成的全振动的次数，即： 圆频率 。 3. 振幅 物体离开平衡位置的最大位移。 振幅可以由初始条件决定。如： t=0 时刻， ， 由⑴式可得：αcos 0A x =, αωsin 00 0A dt dx v t x -== = ∴ ⑵ 4. 位相和初位相 振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，还须知道φ才能完全决定系统的运动状态。 叫简谐振动的相位 。 当 时， 叫 初相位 。
由： ⑶ 若：已知初始条件： ，则 ⑶式有： ⑷ ⑸ ⑷，⑸式中的任意一个即可确定初位相。 相位差 ：两振动相位之差 。 讨论 ： ⑴若 是 的整数倍，则振动同相位； ⑵若 是 奇数倍，则振动相位相反； ⑶若 ，则称 超前 ； ⑷若 ，则称 落后 。 相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。 例 1 ：一弹簧振子， 时， 求振动的初位相 。 解 ： ∴ 在第一象限， 例 2 ：讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。 解 ： 设：αωφ+=t x 0， 2 0π αωφ+ +=t v παωφ++=t a 0
《§1.1简谐运动》公开课教学设计 授课教师：杨清泉授课班级：平山中学k二3 授课时间：2010-4-8星期四授课地点：物理实验室 （一）【教学目标】 知识与技能： 1.通过观察与分析，了解什么是机械振动。 2.掌握简谐运动回复力的特征。 3.掌握在一次全振动过程中回复力、加速度、速度随偏离平衡位置的位移变化的定性规律 过程和方法： 1、通过观察演示实验，概括出机械振动的特征，培养学生的观察、概括能力． 2、指导学生建立物理模型的科学方法，培养学生从实际问题中抽象出物理模型的能力。 情感、态度与价值观： 1、渗透物理学方法的教育，运用理想化方法，突出主要因素，忽略次要因素，抽象出物理模型——弹簧振子，研究弹簧振子在理想条件下的振动。 2、把物理知识延伸到生活的应用中去，让学生亲自体会到物理的实用性，激发他们学习物理的热情。（二）【教学重点】 1．掌握简谐运动的回复力特征．2．简谐运动的相关运动物理量的变化规律 （三）【教学难点】 1．偏离平衡位置的位移与运动学中的位移概念容易混淆． 2．在一次全振动中速度的变化． （四）【教学方法】 多媒体辅助教学、实验法（相关视频）、启发式的讲授课、讨论总结法、 （五）【教学教具】 多媒体课件、气垫弹簧振子、乒乓球、橡皮筋、铁架台、 （六）【新课过程】 一、导入新课 由一颗乒乓球说起物体运动状态： a：匀速直线运动；b：由静止释放——自由落体；c：水平抛出——平抛 d：线拉住在水平面内转动——匀速圆周运动 提问：若将系在铁架台上的乒乓球向下拉——运动特点？ 二、新课教学 （一）机械振动 1.定义：物体在平衡位置附近做往复运动，简称振动。（P3） 2.特点：a：有一平衡位置（即做机械振动的物体静止时所处的位置）b：往复运动（平 衡位置附近） 1）：学生举例：………… 2）：教师举例演示：[演示实验] 图1（a）一端固定的钢板尺图1（b）单摆
第二节 简谐运动的描述 【学习目标】 1、 能结合简谐运动的振动图像说出简谐运动的振幅、周期和频率 2、 能结合数学的观点初步体会相位的概念 3、 能写出简谐运动的表达式能画出简谐运动的振动图像 【新课教学】 一、全振动（看课本第5页） 请写出下列几种情况下弹簧振子一次全振动的过程 1、 从E 点开始向右运动 2、 从E 点水平向左的运动 3、 从A 点开始运动 4、 从O 点水平向右的运动 二、描述简谐运动的物理量——振幅、周期和频率（看课本第5—6页） 例题1、如图是弹簧振子的振动图像，由图像试判断振子的振幅、周期、频率及其简谐运动的表达式 例题2、弹簧振子以O 点为平衡位置在B 、C 两点间做简谐运动，BC 相距20cm ，某时刻振子处于B 点，经0.5s ，振子首次到达C 点，求： （1） 振子的振幅 （2） 振子的周期和频率 二、简谐运动的表达式（看课本第7—8页） 例题3：两个简谐运动的表达式分别为x1=4asin （4πbt + 2π），x2=2asin （4πbt+2 3π），求他们的振幅之比，各自的频率，以及他们的相位差。 例题4/：如图是甲乙两振子的简谐振动图像 1、 甲乙两振子的振幅之比 2、 甲乙两振子的频率之比 3、 甲乙两振子的相位差
思考：弹簧振子在T、1/2T、1/4T内经过的路程与振幅的关系 1、振子在一个周期内经过的路程及N个周期内通过的路程是多少/ 2、半个周期内通过的路程及N个半周期内通过的路程是多少？ 3、1/4个周期内通过的路程与振幅的关系？请结合例二说明？ 【夯实基础】 1、下列说法正确的是（） A 物体完成一次全振动，通过的位移是4个振幅 B 物体在1/4个周期内通过的路程是1个振幅 C 物体在一个周期内通过的路程是4个振幅 D 物体在3/4个周期内通过的路程是3个振幅 2、如图示，弹簧振子在BC间做简谐运动，O为平衡位置，BC间距离为10cm，B到C 的运动时间为1s，则（） A 从O C O振子做了一次全振动 B 振动周期为1s，振幅是10cm C 经过两次全振动，通过的路程是20cm D 从B开始经过3s，振子通过的路程是30cm 3、如图所示为质点的振动图像，下列判断真确的是（） A 质点振动的周期是8s B 振幅是正负2cm C 4s质点的速度为负 D 10s末质点的速度为0 4、质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，下 列说法正确是（） A 当质点再次经过此位置时，经历的时间为一个周期 B 当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间是一个周期 C 当质点的位移再次与零时刻相同时，经过的时间是一个周期 D 当质点经过的路程为振幅的2倍时，经过的时间为半个周期 5、弹簧振子的振幅增大到原来的4倍，其振动频率将 A、增大到原来的4倍 B、增大到原来的2倍 C、变为原来的1/2 D、仍保持不变 6、一个质点经过平衡位置O，在A、B间做简谐运动，如图所示，它的振动图像如图所示，设向右为正方向，则OB= cm，第0.2s末质点的速度方向，第0.7s 时，质点的位置在区间，质点从O运动到B再到A需时间t= s，在4s 内完成次全振动。 7、如图所示是两个简谐运动的振动图像，它们的相位差 是多少？
★简谐运动 简谐运动（Simple harmonic motion）（SHM）（直译简单和谐运动）是最基本也最简单的机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。（如单摆运动和弹簧振子运动）实际上简谐振动就是正弦振动。故此在无线电学中简谐信号实际上就是正弦信号。 如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。 定义 如果做机械振动的质点，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律，这样的振动叫做简谐运动，又名简谐振动。因此，简谐运动常用 作为其运动学定义。其中振幅A，角频率，周期T，和频率f的关系分别 为：、 。 科学结论 振幅、周期和频率 简谐运动的频率（或周期）跟振幅没有关系，而是由本身的性质（在单摆中由初始设 定的绳长）决定，所以又叫固有频率。 一般简谐运动周期, 其中m为振子质量，k为振动系统的回复力系数。 一般，若振子受重力与弹力二力等效k=k,但平衡位置为kx=mg时所在位置。 单摆运动周期
其周期 （π为圆周率）这个公式仅当偏角很小时才成立。T与振幅（a<5°）都和摆球质量无关，仅限于绳长<<地球半径。[2] 扩展：由此可推出，据此可利用实验求某地的重力加速度。 周期公式证明 为了使示意图更加简洁，全部假设k=1，这样的话以为F回=-kx（并且在此强调此处负号只表示方向，不表示数值，所以在证明中使用数值关系时全部忽略负号），所以回复力F数值上和在图中的线段长度等于位移x，所以在两个示意图中都是用一条线表示的。一般简谐运动周期公式证明 因为简谐运动可以看做圆周运动的投影，所以其周期也可以用圆周运动的公式来推导。圆周运动的；很明显v无法测量到，所以根据 得到。 其中向心力F便可以用三角函数转换回复力得到即 （F=-kx中负号只表示方向，所以在这省略）。 所以得到； 因为x与r之间的关系是：x=rcosα，所以上式继续化简得到： 。 然后再将v带入之前的圆周运动T中，即可得到 。
2．简谐运动的描述 学习目标：1.[物理观念]理解振幅、周期和频率，了解相位． 2.[科学思维]能用简谐运动的表达式描述简谐运动． ☆阅读本节教材，回答第35页“问题”并梳理必要的知识点．教材第35页问题提示：根据简谐运动的周期性、振动快慢的特点，物理学引入了振幅、周期和频率描绘简谐运动． 一、描述简谐运动的物理量 1．振幅 (1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅．用A表示，国际单位为米(m)． (2)物理含义：振幅是描述振动范围的物理量；振幅的大小反映了振动的强弱和振动系统能量的大小． 2．周期(T)和频率(f) 内容周期频率 定义 做简谐运动的物体完成一次全 振动所需要的时间 物体完成全振动的次数与所用 时间之比 单位秒(s)赫兹(Hz) 物理含义都是表示振动快慢的物理量 联系f＝ 1 T 注意：不管以哪个位置作为研究起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的． 3．相位：在物理学中，周期性运动在各个时刻所处的不同状态用不同的相
位来描述． 二、简谐运动的表达式 1．表达式：简谐运动的表达式可以写成 x ＝A sin ()ωt ＋φ或x ＝A sin ? ?? ??2πT t ＋φ 2．表达式中各量的意义 (1)“A ”表示简谐运动的“振幅”． (2)ω是一个与频率成正比的物理量，叫简谐运动的圆频率． (3)“T ”表示简谐运动的周期，“f ”表示简谐运动的频率，它们之间的关 系为T ＝1f . (4)“2πT t ＋φ”或“2πft ＋φ”表示简谐运动的相位． (5)“φ”表示简谐运动的初相位，简称初相． 说明： 1．相位ωt ＋φ是随时间变化的一个变量． 2．相位每增加2π就意味着完成了一次全振动． 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)振幅就是振子的最大位移． (×) (2)从任一个位置出发又回到这个位置所用的最短时间就是一个周期． (×) (3)振动物体的周期越大，表示振动得越快． (×) (4)简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关． (×) 2．(多选)如图所示，弹簧振子以O 点为平衡位置，在B 、C 间振动，则( ) A ．从 B →O → C →O →B 为一次全振动 B ．从O →B →O → C →B 为一次全振动 C ．从C →O →B →O →C 为一次全振动 D ．B 、C 两点关于O 点对称
简谐运动 一、教学目的 1、知识与能力： （1）认识弹簧振子 （2）通过观察和分析，理解简谐运动的位移——时间图像是一条正弦曲线，培养分析和概括能力； 2、过程与方法：经历对简谐运动运动学特征的探究过程，加深领悟用图像描绘运动的方法； 3、情感、态度、价值观：培养学习物理的兴趣，陶冶热爱生活的情操。 二、教学重点：简谐运动位移——时间图像的建立及图像的物理含义 三、教学难点：简谐运动位移——时间图像的建立 四、教具：水平弹簧振子、竖直弹簧振子、单摆、振铃、托盘天平、物体平衡仪、音叉、乒乓球等。 五、教学过程 [引入]今天我们开始学习第十一章机械振动，第一节简谐运动（板书）。首先请大家欣赏一段古筝演奏。 问题1：古筝为什么能够发出声音？（琴弦的振动） 问题2：还有哪些乐器是靠琴弦的振动发出声音的？（小提琴、大提琴、吉他、二胡、琵琶等） 振动在我们生活中十分常见 问题3：能不能再举例一些生活中类似这样的振动？（说话时声带振动等；剧烈而令人恐惧的振动——地震） 我们实验室也普遍存在这样的振动，请大家仔细观察，演示如：天平指针的振动、音叉的振动、单摆的振动、水平弹簧振子、竖直弹簧振子。在我们演示的振动中有水平方向的振动也有竖直方向的振动。 问题4：它们具有共同的特征是什么？（在某一中心位置来回运动，强化“往复”和“周期性”） 我们把这个中心位置叫做平衡位置（原来静止的位置，标出竖直弹簧振子的平衡位置，把振动的物体叫做振子） 一、机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动。简称为振动 特点：往复性、周期性 简图示意： 实际的振动是非常复杂的，大家已经观察到刚刚的振动在阻力的作用下，有些很快就停下来，有些振动的幅度正在减弱。为了研究的方便，我们