本科毕业论文
题目：高斯定理在空间对称引力场的应用
姓名：石宇
学号：20120341006 院别：工程技术学学院
专业：物理学
年级：2012级1班
指导教师：黄永超
目录
1引言 (1)
2引力场建立的背景及初步认识 (2)
2.1引力场建立的背景 (2)
2.2引力场的初步认识 (2)
3静电场中高斯定理的理解与应用 (3)
3.1静电场中高斯定理的理解 (3)
3.1静电场中高斯定理的应用 (4)
4静电场与万有引力场的分析与类比 (5)
4.1静电场与万有引力场的分析 (5)
4.2静电场与万有引力场的类比 (5)
5高斯定理在空间对称引力场中的应用 (8)
5.1质量分布具有球对称性 (8)
5.2质量分布具有轴对称性 (9)
5.3质量分布具有面对称性 (10)
6结束语 (11)
参考文献 (12)
致谢 (13)
摘要
在静电场中，当电荷具有某种对称性时，场强的计算可以通过应用高斯定理而简化计算。所以，本文将通过比较静电场和引力场，从而用类比的方法把静电场中高斯定理的形式推广到万有引力场中。在此基础上，通过万有引力场中的“高斯定理”，从而解决在空间对称引力场中的相关问题。
关键词：高斯定理；万有引力；空间对称引力场；应用
Abstract
In the electrostatic field, when the charge has a certain symmetry, the field strength calculation can be calculated by applying the simplified Gauss theorem. Therefore, this article will compare the electrostatic field and the gravitational field, which by analogy method to form an electrostatic field Gauss theorem to the gravitational field. On this basis, through the gravitational field of the "Gauss theorem" to solve symmetric gravitational field in space related issues. Learn gravitational field Gauss theorem space symmetry.
Key words: Gauss theorem; gravitation; space symmetric gravitational field; application
1引言
高斯定理也叫作高斯公式，或叫作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况下高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。在静电学中，表明在闭合曲面内产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分与该闭合曲面上电荷之和之间的关系。在《电磁学》一书中，可以了解到高斯定理对于解决静电场中电荷分布对称的相关问题有着非常重要的应用。那么在引力场中，能不能用高斯定理来解决引力场的相关问题呢？
质量分布具有对称性时，尽管可以用万有引力定律和力的合成求物体所受到的引力，然而这样通常计算十分复杂，但是在静电场中运用高斯定理求解对称性问题时往往能十分轻松的解决，如果把高斯定理在静电场中的应用运用到万有引力场中，那样就可以很好的解决空间对称引力场的问题。
所以，本文将通过类比静电场和引力场着重讲解高斯定理在空间对称引力场中的作用。
2引力场建立的背景及初步认识
2.1引力场建立的背景
物体之间没有接触怎么会有作用力呢？当时的科学界对引力有几种看法：一种是以
牛顿为代表的一些人认为，引力是瞬间从一个物体传到另一个物体的：而部分科学家认
为，这些力是完全不可思议的：另一些科学家则与神学家持有相同的看法，认为科学的
力量是有限的，在自然中有许多现象是难以理解的，对它们不可能用合理的方式加以解
释。更多的人则试图寻找一种特殊的介质（以太），认为力是借助以太来传播的。牛顿
建立万有引力之后，人们一直试图用以太来解释这种力，但是都失败了，最终由爱因斯
坦的引力场理论才解释了这一切问题[1]。
2.2引力场的初步认识
根据爱因斯坦提出的概念可知：物体不但可以以实体的形式存在，还可以以场的形
式存在。电磁场是一种物质，但它是以场的形式存在的。一个点电荷可以在它的周围发
出电场，场强为E ,处于该电场中的电荷受到该场的作用力为：E q F 。与电场近似，
同样可以引进引力场的观点，即任一质量为m 的物体将在它的周围的空间发出一种场，
叫做引力场（传播速度为光速），而处于该场中的其他物体将受到该场的作用力。比如
地球在它的周围发出引力场，空间每一点都有一矢量g ，成为重力场强。将物体1m ，2
m 放在某处，物体1m ，2m 将受到重力场g 的作用，受力为g m 1，g m 2。因此，场强是单
位质量物体在引力场中所受的力。
这是从从经典的角度对引力和引力场的初步理解。而实际上，引力还有两个本质的
问题没有回答。第一，引力场是如何传播的。第二，根据相对性原理，万有引力是否具
有协变性，即按照一定的变换方式，是否在不同的惯性参考系下具有相同的表达式。对
于前者，爱因斯坦提出引力场类似于光波场，是通过引力子传播的，并且也可以产生引
力波。但是，至今还没有足够的证据证明引力子和引力波的存在，这在目前仍是当代物
理学的一个前沿课题。对于后者，在广义相对论中已有明确的答案，目前的万有引力公
式不具有协变性，只适合经典范畴。在广义相对论中。
以上内容是对引力场背景及内容的初步认识。
3静电场中高斯定理的理解与应用
3.1静电场中高斯定理的理解
高斯定理是静电学的一个重要定理，是关于静电场中任一闭合曲面的“E 通量”的
定理，对于解决静电场的相关问题有着非常广泛的应用。
静电场中的高斯定理用文字可以表达为：任一闭合曲面内电荷的代数和除以0ε等于
静电场中该闭合曲面的E 通量。其数学表达式为：
i s q S d E ∑=??0
1ε （1） 高斯定理是通过库仑定律（及叠加原理）推导出来的。
在（1）式，等式左边的积分中E 表示为曲面S 上S d 处的电场强度。i q ∑表示为在
曲面S 内电荷的代数和。
对于高斯定理的理解还有必要说明以下两个问题。
（1）高斯定理断言闭合曲面外的电荷对闭合曲面的通量没有贡献，但不意味着这
些电荷对面上各点的场强没有贡献[2]
。高斯面上的E 通量的变化与高斯面内和高斯面外电荷的位置改变是没有关系的，但是电荷位置的改变对于高斯面上的电场强度是有影响
的。
（2）高斯定理是由库仑定律及叠加原理推导出来的，但是两者在使用上分工不同。
大致来说，库仑定律及叠加原理解决从电荷分布求场强的问题，高斯定理则能够从场强
求出电荷分布[2]。欲求某点的电荷体密度ρ，可以包围该店作一形状适当的小闭合曲面，
根据面上的已知场强求出E 通量，由高斯定理便可得知面内的电荷q ?。设此面所包围
的体积V ?，则V
q ??就近似于等于该点的电荷体密度ρ。所取的V ?越小，求得的ρ就越精确。这个就算虽然可能很麻烦，但原则上是可行的。借用矢量分析的语言，可把高
斯定理写成另一形式（微分形式），根据这一形式，只要对已知的矢量场E （z y x ,,）
作微分运算，便可方便地求得各点的ρ。
3.1静电场中高斯定理的应用
在电荷分布已知时，虽然原则上可以用库仑定律和叠加原理来计算各点的场强，但是这样的计算往往十分复杂。因此当电荷分布具有某种对称性时（球对称，面对称，轴对称），场强的计算可以由于应用高斯定理而得到简化。所以，运用高斯定理在解决静电场中电荷分布对称的问题时，有着非常广泛的应用。
通过对静电场中高斯定理了解与应用的理解，知道了高斯定理是通过库仑定律及场叠加原理推导出来的，库仑定律满足平方的反比定律，且高斯定理对于解决对称性问题有着非常广泛的应用。
4静电场与万有引力场的分析与类比
4.1静电场与万有引力场的分析
法国物理学家库仑于1785年在《电力定律》一论文中提出该定律。库仑定律的常
见表述是：两个静止的点电荷在真空环境中它们之间的相互作用力，与它们的距离的平
方成反比，与它们的电荷量的乘积成正比，作用力是在它们的连线的方向上，异性电荷
相吸，同性电荷相斥。库仑定律是电磁学和电磁场理论的基本定律之一，是电学发展史
上的第一个定量规律。
库伦定律的数学表达式为：
r e r q q F 221041
πε= （2） 万有引力定律是艾萨克·牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的，对
于质量分别为1m 和2m ，距离为r 的两个星体之间的相互作用力作了分析，并将其推广
为任何两个物体之间的相互作用力。万有引力定律的常见表述为：在任意两个质点的连
心线上它们之间有相互吸引力。万有引力的大小跟它们距离的二次方成反比，跟它们的
质量乘积成正比。
万有引力定律的数学表达式为：
r e r
m m G F 221
-= （3） 在《电磁学》一书中了解到通过库仑定律和叠加原理可以推导出在静电场中高斯定
理。
库仑定律的叠加原理为：在空间中有两个以上的点电荷时，其他点电荷单独存在时
作用于该电荷的静电力的矢量和等于作用于每一个电荷上的总静电力。
同样在万有引力场中，质点m 受到多个质点n m （n n ,3,2,1=）的引力作用时，
各质点单独存在时m 受到引力的矢量和等于m 受到的总的引力，所以万有引力场同样
满足叠加原理。 再通过比较库仑定律与万有引力定律的数学表达式，还发现它们都满足平方的反比
定律，在式（2）和式（3）中，万有引力定律中的G 和库仑定律中的041
πε都属于常量，
万有引力定律中的21m m 的性质和库仑定律21q q 的性质也相同，所以我们可以通过类比
的方法把静电场中的高斯定理应用到万有引力场中。
4.2静电场与万有引力场的类比
通过上面的分析得出，万有引力定律与与库伦定律都服从平方反比定律，并且都符合叠加原理。在静电场中的高斯定理是通过库仑定律及叠加原理得出的结果。那么，我们运用万有引力定律和叠加原理一样也能推导出万有引力场中的高斯定理。
（1）静电场中
电荷周围存在电场
在电场中电荷所受到电场力作用
库仑定律为： 22
1022141r
q q r q q K F πε==
（4） K πε41
0=,229109C m N K ??=
（5） 电场强度 q F
E =
（6） 点电荷场强公式为： 02041r r
q
E πε=
（7） 有限带电体的场强为： 020
41r r dq
E v ?=πε
（8） 一个点电荷激发N 条电场线，所以n 个点电荷激发N n ?条电场线
电场强度通量为： ??=Φs e S d E
（9） 电场中的高斯定理为： 0
ε∑
?=?i s q S d E
（
10） i q 为S 面内的电荷。
（2）万有引力场
质点周围存在万有引力场
万有引力场中质点所受到的万有引力的作用
万有引力定律为： 221022141r m m a r m m G
F π== （11）
G a π410=，22111067.6Kg m N G ??=- （12） 万有引力强度为： m
F g =
（13） 质点引力场强度公式为： 02041r r m a g π-= （14） 有限物体的万有引力场强公式为： 02041r r
dm a g v ?-=π（负号表示g 与0r 的方向相反） （15） 引力场通量为： S d g s
g ?=Φ? （16） 引力场高斯定理为： ∑?-=?i s
m G S d g π4 （17）
上述（17）式子为万有引力场中的高斯定理，用文字可以表述为：在万有引力场中，任一闭合曲面所包围的质量元代数和与该闭合曲面的万有引力场强通量成正比[4]。
5高斯定理在空间对称引力场中的应用
通过上述静电场与万有引力场的分析与类比，通过类比的方法已经得出了万有引力场中的高斯定理，所以现在就要利用万有引力场中的高斯定理来解决一些在空间对称引力场中的问题，了解高斯定理在空间对称引力场中的应用。
5.1质量分布具有球对称性
质量M 均匀分布在球体上, 球体的半径为R ,求质量为m 与球心距离为r 的质点所受到的万有引力的大小。
解：由于球体上的质量分布均匀，因此我们可以知道引力场强具有球对称性，即以球心为圆心的同一球面上，场强方向垂直于球面，各点的引力场强的大小相同，而且指向球心。
（1）过球体外一点p 点作半径为r （R r >）与球体同心的球面，通过此球面的g 的
通量为：
24r g S d g S d g s
s g π-=-=?=Φ???? （18） 该球面就是所作的高斯面，球面内的质量就是球体的质量，所以由高斯定理有：
GM r g ππ442-=- （19） 2r
GM g =（R r >） （20） 因此在球外某质点m 所受到的引力大小为 2r GMm mg F =
=（R r >） （21） （2）当R r <时，所作的球面内部无质量，所以万有引力场强的通量为0。
因此当R r <时，质点m 所受到的引力大小0=F （R r <）
5.2质量分布具有轴对称性
有一质量均匀分布的无限长圆柱面，已知圆柱质量面密度为σ，圆柱面半径为R 。在圆柱面内和圆柱面外，求质量为m 的质点所受到的万有引力。
解：由于圆柱面“无限长”，而且圆柱面上质量分布均匀 ,因此可以得出引力场强分布具有轴对称性,即在同轴圆柱面上离轴的垂直距离相同的各点的引力场强大小相等。
过p 点作一高为l ，半径为r 的同轴闭合圆柱面，运用引力场中的高斯定理计算通过此闭合圆柱面的引力场通量为：
S d g S d g S d g g ?+?+
?=Φ??????侧面下底上底 （22）
由于圆柱体上下地面的g 的方向与S d 的方向处处垂直，所以S d g ???上底与S d g ???下底均
为零，因此通过闭合圆柱面的引力场通量为：
rl g S d g g π2-=?=Φ?? 侧面
（23）
（1）当p 点在圆柱面外时，则闭合面内的质量：
σπrl m i 2=∑ （24） 由高斯定理可得：
σπππRl G rl g 242-=- （25） r r
GR g 24σπ-=（R r >） （26） 所以质点在圆柱面受到的万有引力为： r r RmR g m F 2
4σπ-==（R r >） （27） （2）当p 点在圆柱面内时，闭合面内的质量
0=∑i m （28） 02=-rl g π 0=g （R r <） （29）
因此，质点在圆柱面内收到的万有引力为：
0=F (R r <) （30）
四. 引力场中的高斯定理 引力和静电力都是有势力，相应的引力势和静电势都满足三维空间里最简单的二阶（偏微分）方程——拉普拉斯方程。用ψ代表引力势或者静电势场，它在三维空间里所满足的拉普拉斯方程采取如下的形式：（?2/?x2+?2/?y2+?2/?z2）ψ(x,y,z)=0.由于相应的静电力和引力等于势的微分（的负值），它的大小便与半径r成反比了，即ψ（r）∝1/r,F(r)=- dψ/dr∝1/r2由于万有引力定律与Coulomb,s law 本质是一样的，因此引力场中也存在Gauss， theorem，并且与万有引力定律等价。 1、预备知识 引力场场强：引力场场强是一个向量，其大小等于1千克的质点在该处所受引力的大小，方向与该质点在该处所受引力的方向一致。 引力线：如果在引力场中出一些曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点的引力场强方向一致，那么所有这样可以作出的曲线叫做引力线。 引力线数密度：在引力场中任一点取一小面元ΔS与该点的场强方向垂直，设穿过ΔS的引力线有ΔN 根，则比值ΔN/ΔS叫做该点的引力线数密度，它的意义是通过该点单位垂直截面的引力线根数，规定引力场场强E∝ΔN/ΔS。 引力线性质：引力线其自无穷远点，止与该质点，引力线在宇宙中处处存在。一个质点的任何两条引力线不会相交，不形成闭合线。 引力通量：通过一面元ΔS的引力通量为该点场强的大小E与ΔS在垂直于场强方向的投影面积 ΔS`=ΔScosθ的乘积。 2、引力场中的Gauss， theorem 通过一个任意闭合曲面S的引力通量φ=4πG∑m，与闭合曲面外的引力质量无关。 证明：（1）通过包括质点m的同心球面的引力通量都等于4πGm。 以质点m所在处为中心以任意半径r作一球面.根据万有引力定律,在球面上各点场强大小一样E=G m /r2,场强的方向沿半径向外呈辐射状。在球面上任意取一面元dS，其外法线向量n也是沿着半径方向向外的，即n和E间夹角θ=0，所以通过dS的引力通量为dφ=EcosθdS=EdS= G m /r2dS,通过整个闭合球面的引力通量为φ=dS= G m /r2×4πr2=4πGm。 （2）通过包围质点的任意闭合曲面S的引力通量都等于4πGm 在闭合面S内以质点m所在处O为中心作一任意半径的球面S``，根据（1）通过此球面的引力通量等于4πGm。由于引力场分布的球对称性，这引力通量均匀地分布在4π球面度的立体角内，因此在每个元立体角dΩ内的引力通量是GmdΩ。如果把这个立体角的锥面延长，使它在闭合面S上截出一个面元dS。设dS到质点m的距离为r，dS的法线n与场强E的夹角为θ，则通过dS的引力通量 dφ=EcosθdS=Gm/r2cosθdS, cosθdS= dS`是dS在垂直于场强方向的投影面积，所以dφ=EdS`= G m /r2dS`= GmdΩ。所以通过面元dS的引力通量和通过球面S``上与dS对应的面元dS``的引力通量相等，所以通过整个闭合面S的引力通量都必定和通过球面S``的引力通量一样，等于4πGm。 （3）通过不包括质点的任意闭合面S的引力通量恒为0。
第五讲 万有引力定律重点归纳讲练 知识梳理 考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 （2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 （3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式： k T a =23 。其中k 值与太阳有关，与行星无关。 （4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时，k T a =2 3 ，但k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。 （5） 中学阶段对天体运动的处理办法： ①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③k T R =2 3 ，R ——轨道半径。 2. 万有引力定律 （1） 内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2成反比。 （2） 公式：2 21r m m G F =，G 叫万有引力常量，2211 /10 67.6kg m N G ??=-。 （3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。 （4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。 3. 万有引力与重力的关系 (1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。 ①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m R Mm G mg 22 ω-=； ②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2 ；故纬度越大，重力加速度越大。 由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。 (2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，2 2 R GM g mg R Mm G =?=；在地球表面高度为h 处： 22)()(h R GM g mg h R Mm G h h +=?=+，所以g h R R g h 2 2 ) (+=，随高度的增加，重力加速度减小。 考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度 1．T 、r 法：2 3 2224)2(GT r M T mr r Mm G ππ=?=，再根据3 23 33,34R GT r V M R V πρρπ=?== ，当r=R 时，2 3GT πρ= 2．g 、R 法：G g R M mg R Mm G 22 = ?=，再根据GR g V M R V πρρπ43,3 43=?== 3．v 、r 法：G rv M r v m r Mm G 2 22 =?=
本科毕业论文 题目：高斯定理在空间对称引力场的应用 姓名：石宇 学号：20120341006 院别：工程技术学学院 专业：物理学 年级：2012级1班 指导教师：黄永超
目录 1引言 (1) 2引力场建立的背景及初步认识 (2) 2.1引力场建立的背景 (2) 2.2引力场的初步认识 (2) 3静电场中高斯定理的理解与应用 (3) 3.1静电场中高斯定理的理解 (3) 3.1静电场中高斯定理的应用 (4) 4静电场与万有引力场的分析与类比 (5) 4.1静电场与万有引力场的分析 (5) 4.2静电场与万有引力场的类比 (5) 5高斯定理在空间对称引力场中的应用 (8) 5.1质量分布具有球对称性 (8) 5.2质量分布具有轴对称性 (9) 5.3质量分布具有面对称性 (10) 6结束语 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13)
摘要 在静电场中，当电荷具有某种对称性时，场强的计算可以通过应用高斯定理而简化计算。所以，本文将通过比较静电场和引力场，从而用类比的方法把静电场中高斯定理的形式推广到万有引力场中。在此基础上，通过万有引力场中的“高斯定理”，从而解决在空间对称引力场中的相关问题。 关键词：高斯定理；万有引力；空间对称引力场；应用
Abstract In the electrostatic field, when the charge has a certain symmetry, the field strength calculation can be calculated by applying the simplified Gauss theorem. Therefore, this article will compare the electrostatic field and the gravitational field, which by analogy method to form an electrostatic field Gauss theorem to the gravitational field. On this basis, through the gravitational field of the "Gauss theorem" to solve symmetric gravitational field in space related issues. Learn gravitational field Gauss theorem space symmetry. Key words: Gauss theorem; gravitation; space symmetric gravitational field; application
静电场中的高斯定理 [摘要] 高斯定理是静电学的重要定理，它可以通过数学证明方法得到，同时 要注意高斯面的选择和对高斯定理的理解。 [关键字] 高斯定理 高斯面 证明 注意事项 [内容] 高斯定理是静电学中的一个重要定理，它反映了静电场的一个基本性质，即静电场是有源场，其源就是电荷。可以将其表述为：在静电场中，通过任意闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的ε0 分之一，而与闭合曲面外的电荷无关。高斯定理的表达式如下： ? ?= ?=ΦV e dq 1 d εS S E 其中，E 表示在闭合曲面上任一dS 面处的电场强度，而EdS 则表示通过面元dS 的电场强度通量， 就表示通过整个闭合曲面S 的电场强度通量， 习惯上称闭合曲面S 为高斯面。由高斯定理可知：静电场是有源的，发散的，源头在电荷所在处，由此确定的电场线起于正电荷，终于负电荷。 下面对于静电场中的高斯定理进行证明： （a ）点电荷在球面中心 点电荷q 的电场强度为 r r q 41 30??=πεE 球面的电通量为 2 20S 2 030q r 4r 4q d r 4q d r r q 41 d εππεπεπε= ??==???=????S S S E S S （1） （b ）点电荷在任意闭曲面外
闭曲面S 的电通量为 ()??? ?++= ++=??? =?S S S S S E zdxdy r 1ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r 1 4q d r r q 41d 3330S 3030 πεπεπε （2） 根据高斯公式 ?????++=???? ? ???+??+??S V R Q P R Q P dxdy dzdx dydz dxdydz z y x （3） 并考虑到3 33r z r y ,r x === R Q P ，在S 内有连续一阶的偏导数，故式（2）可以用高斯公式计算。 将式（2）代入式（3）中得 ()???? ?? ? =???? ? ??? ???????? ???+???? ???+???? ???= ++= ++=??? =?V 33303330 S 3030 0dxdydz z r z y r y x r x 4q zdxdy r 1 ydxdz r 1xdydz r 14q zdxdy ydxdz xdydz r 1 4q d r r q 41d πεπεπεπεS S S S S E
万有引力定律与航天 练习题 Revised on November 25, 2020
万有引力定律与航天章节练习题 一、选择题 1．如图所示，火星和地球都在围绕太阳旋转，其运行轨道是椭圆，根据开普 勒行星运动定律可知( ) A. 火星绕太阳运动过程中，速率不变 B. 火星绕太阳运行一周的时间比地球的长 C. 地球靠近太阳的过程中，运行速率将减小 D. 火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大 2．经国际小行星命名委员会命名的“神舟星”和“杨利伟星”的轨道均处在 火星和木星轨道之间，它们绕太阳沿椭圆轨道运行，其轨道参数如下表。 注：AU 是天文学中的长度单位，1AU=149 597 870 700m （大约是地球到太阳的平均距离）。“神舟星”和“杨利伟星”绕太阳运行的周期分别为T 1和T 2，它们在近日点的加速度分别为a 1和a 2。则下列说法正确的是( ) A. 1212,T T a a >< B. 1212,T T a a << C. 1212,T T a a >> D. 1212,T T a a 3．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“31peg b” 的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“31peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运 动，周期大约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1 20，该中心恒星 与太阳的质量比约为( ) A. 1 10 B. 1 C. 5 D. 10 4．2013年6月13日，“神舟十号”与“天空一号”成功实施手控交会对接，下列关于“神舟十号”与“天空一号”的分析错误的是（ ） A ．“天空一号”的发射速度应介于第一宇宙速度与第二宇宙速度之间
均匀球体对质点的万有引力的计算及应用 湖州中学 竺 斌 牛顿从开普勒定律出发，研究了许多不同物体间遵循同样规律的引力之后，进一步把这个规律推广到自然界中任意两个物体之间，于1687年正式发表了万有引力定律： 自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。即： 2 r Mm G F =引 ① 这里的两个物体指的是质点。万有引力定律只给出了两个质点间的引力。而对于一般不能看成质点的物体间的万有引力，需将物体分成许多小部分，使每一部分都可视为质点，根据①式求出物体1各小部分与物体2各小部分之间的引力，每个物体所受的引力就等于其各部分所受引力的矢量和。 但是，若物体为球体，且密度均匀分布，他们之间的引力仍然可以用上式计算，其中r 表示两球球心的距离，引力沿两球球心的连线。这一点在高中教材、教学参考书都没有给出证明，只是用简单的几句话带过。我用两种方法来证明“对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。”并计算均匀球壳对其内部质点的引力和均匀球对其内部的引力，仅供大家参考。 一、有关引力的计算 1．用微积分法。 )1(．质点与均匀球体间的万有引力。 若质点质量为m ，与球心的距离为R 。设球的半径 为a ，密度为v ρ，质量为33 4 a M v πρ?=。建立如图所示的坐 标系。 根据对称性可知，球对质点的引力必沿z 方向，x ，y 方向上合力为0。 球上取一微元，坐标为（r, θ，φ）,其体积为 ?θθd d r d r s i n 2。对质点的万有引力。 ?θ?? ρd drd rR R r r m G dF v cos 2sin 2 22-+= （R ＞a ） 在z 方向上的分力为： ?θ???ραd drd rR R r r R r m G dF dF v z 2 32 2 2) cos 2(sin )cos (cos -+-=?= O φ (r,θ,φ) ·
－选择题 1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔〕 答案：()D 2. ()A q 3.面的电通量为1φ，2φ，()A φ()B φ()C φ()D φ 4. () A () B () C () D 〔〕答案：()C 5.有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则 ()A 120,/q φφφε>=；()B 120,2/q φφφε<=； ()C 120,/q φφφε==；()D 120,/q φφφε<=。 〔〕 q S 2
答案：()D 6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ()A 将另一点电荷放在高斯面外；()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内；()D 将高斯面半径缩小。 7.A q -()A ()B 小为()C ()D 〔〕8. ( (9. (Q 60 ε ()C 穿过每一表面的电通量都等于 Q 30 ε；()D 穿过每一表面的电通量都等于0 24Q ε 〔〕 答案：()D 10.高斯定理0 nt i d ε∑?= ?q S E S ()A 适用于任何静电场。
第六章 万有引力与航天知识点总结 一. 万有引力定律： ①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量1m 和2m 的乘积成正比，与它们 之间的距离r 的二次方成反比。即： 其中G =6. 67×10 －11N ·m 2/kg 2 ②适用条件 （Ⅰ）可看成质点的两物体间，r 为两个物体质心间的距离。 （Ⅱ）质量分布均匀的两球体间，r 为两个球体球心间的距离。 ③运用 （1）万有引力与重力的关系： 重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。 忽略地球自转可得： 二. 重力和地球的万有引力： 1. 地球对其表面物体的万有引力产生两个效果： （1）物体随地球自转的向心力： F 向=m ·R ·（2π/T 0）2，很小。 由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化。 （2）重力约等于万有引力： 在赤道处：mg F F +=向，所以R m R GMm F F mg 22自向ω-=-=，因地球自转角速度很小，R m R GMm 22自ω>>，所以2R GM g =。 地球表面的物体所受到的向心力f 的大小不超过重力的0. 35%，因此在计算中可以认为万有引力和重 力大小相等。如果有些星球的自转角速度非常大，那么万有引力的向心力分力就会很大，重力就相应减小， 就不能再认为重力等于万有引力了。如果星球自转速度相当大，使得在它赤道上的物体所受的万有引力恰 好等于该物体随星球自转所需要的向心力，那么这个星球就处于自行崩溃的临界状态了。 在地球的同一纬度处，g 随物体离地面高度的增大而减小，即21)('h R Gm g += 。 强调：g =G ·M /R 2不仅适用于地球表面，还适用于其它星球表面。 2. 绕地球运动的物体所受地球的万有引力充当圆周运动的向心力，万有引力、向心力、重力三力合一。 即：G ·M ·m /R 2=m ·a 向=mg ∴g =a 向=G ·M /R 2 122 m m F G r =2 R Mm G mg =
第 19 页 ，共 20 页 目 录 1 高斯定理的表述 1.1数学上的高斯公式 1.2静电场的高斯定理 1.3磁场的高斯定理 2高斯定理的证明方法 2.1.1静电场的高斯定理 2.1.2磁场的高斯定理 2.2高斯定理的直接证明 2.3高斯定理的另一种证明 2.4对称性原理及其在电磁学中的应用 3理解和使用高斯定理应注意的若干问题的讨论与总结 (a) 定理中的 E 是指空间某处的总电场强度 (b) 注意ξ int ∑?= ?q dS E s 中 E 和 dS 的矢量性 (c) 正确理解定理中的∑int q (d) 不能只从数学的角度理解ξ int ∑?= ?q dS E s (e) 对高斯面的理解 4 高斯定理的应用? 4.1利用高斯定理求解无电介质时电场的强度 4.2利用高斯定理求解有电介质时电场的强度 5将高斯定理推广到万有引力场中 5.1静电场和万有引力场中有关量的类比 5.2万有引力场中的引力场强度矢量 5.3万有引力场中的高斯定理 6结束语 参考文献
高斯定理在电磁学中的应用 摘要：高斯定理是电磁学的一条重要定理，它不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。本文比较详细的介绍了高斯定理，并提供了数学法、直接证明法等方法证明它，总结出应用高斯定理应注意的几个问题，从中可以发现高斯定理在解决电磁学相关问题时的方便之处。最后把高斯定理推广到万有引力场中去。 关键词：高斯定理，应用，万有引力场 引言 高斯定理又叫散度定理，高斯定理在物理学研究方面，应用非常广泛，应用高斯定理求曲面积分、静电场、非静电场或磁场非常方便，特别是求电场强度或者磁感应强度。虽然有时候应用高斯定理求解电磁学问题很方便，但是它也存在一些局限性，所以要更好的运用高斯定理解决电磁学问题，我们首先应对高斯定理有一定的了解。 1 高斯定理的表述 1.1数学上的高斯公式 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 所围成，若函数,,P Q R 在V 上连续，且有一阶 连续函数偏导数，则 S V P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ?? ???++=++ ????? ?????? 1－1 其中S 的方向为外发向。1－1式称为高斯公式[1] 。 1.2静电场的高斯定理 一半径为r 的球面S 包围一位于球心的点电荷q ，在这个球面上，场强→ E 的方向处处垂直于球面，且→ E 的大小相等,都是2 04q E r πε= 。通过这个球面S 的电通量为 o o o o εππεπεπε φq r r q dS r q dS r q S d E s s s e = ?= = ?=?=??????→ → 22 2 2 4444 其中 S dS ?? 是球面积分，等于2 4r π。从此例中可以看出，通过球面S 的电通量只与其中的电量q 有关，与高斯面的半径r 无关。若将球面S 变为任意闭合曲面，由电场线的连续性可知，通过该闭合曲面的电通量认为0q ε。
－ 选择题 1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷， 则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔 〕 答案：()D 2.如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 ()A 0/q ε； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。 〔 〕 答案：()D 3.在电场强度为E Ej =的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1φ， 2φ，3φ，则 ()A 1230Ebc Ebc φφφ===； ()B 1230Eac Eac φφφ=-==； ()C 22123Eac Ec a b Ebc φφφ=-=-+=-； ()D 22 123Eac Ec a b Ebc φφφ==+=。 〔 〕 答案：()B 4.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和 0i q =∑，则可肯定： ()A 高斯面上各点场强均为零。 ()B 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。 ()C 穿过整个高斯面的电通量为零。()D 以上说法都不对。 〔 〕 答案：()C 5.有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。 在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和 2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则 ()A 120,/q φφφε>=； ()B 120,2/q φφφε<=； ()C 120,/q φφφε==； ()D 120,/q φφφε<=。 〔 〕 答案：()D 6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。 答案：()B 7.A 和B 为两个均匀带电球体，A 带电荷q +，B 带电荷q -，作一与A 同心的球面S 为高斯面，如图所示。则 x y z a b c E O A A B B C x O q q a 2a S 1 S 2 A S +q r -q B
万有引力与航天重点规律方法总结 一.三种模型 1．匀速圆周运动模型： 无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动 2．双星模型： 将两颗彼此距离较近的恒星称为双星,它们相互之间的万有引力提供各自转动的向心力。 3.“天体相遇”模型： 两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。 二. 1.2/三.1. 2.1687⑴.⑵.⑶.a. b.当0→r 时，物体不可以处理为质点，不能直接用万有引力公式计算 c.认为当0→r 时，引力∞→F 的说法是错误的 ⑷．对定律的理解 a.普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都有这种相互作用力 b.相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，而不是平衡力关系。 c.宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物 体间,它的存在才有实际意义. d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在空间的 性质无关,与周期及有无其它物体无关. （5）引力常数G ：
①大小：kg m N G 2 2 11 /67.610??=-，由英国科学家卡文迪许利用扭秤测出 ②意义： 表示两个质量均为1kg 的物体，相距为1米时相互作用力为：N 1011 67.6-? 四.两条思路：即解决天体运动的两种方法 1.万有引力提供向心力：F F 向万=即：22 2224n Mm v F G ma m mr mr r r T πω=====万 2．天体对其表面物体的万有引力近似等于重力： 即2gR GM =（又叫黄金代换式） 注意： 五.1.a.c. 2.3.方法一：根据转动天体运动周期T 、转动半径r 和中心天体半径R 计算： R T r G 3 2 33πρ= （适合于有行星、卫星转动的中心天体） 方法二：根据中心天体半径R 和其表面的重力加速度g 计算： GR g πρ43=（适合于没有行星、卫星转动的天体） 4.计算第一宇宙速度（环绕速度） 简单说就是卫星或行星贴近中心天体表面的飞行速度，这时卫星或行星高度忽略r ≈R 方法一。根据中心天体质量M 和半径R 计算： 由→=R m Mm G v R 2 2 R GM v =
万有引力场的高斯定理 容晓晖 物理工程学院2010级物理学类二班 邮箱：295771197@https://www.doczj.com/doc/0a14198966.html, 在大一上学期学习力学，在学到简谐运动那一章时，胡老师曾举个一个例子，是摘自老版本大学物理学的一道书上例题，题目是这样的： 将地球看做一个半径为R 的均匀球体，密度为ρ，假定沿直径开一条通道，若有质量为m 的质点沿通道做无摩擦运动，证明此运动为简写运动。（题目示意图如下） 例题图 当时做这道题时不知道如何列出质点的受力方程，后来老师直接讲到质点的受力大小仅与质点所在圆面内包围的质量有关，而与外部的质量无关。列出受力大小公式，经过化简发现受到的万有引力大小是一个和质点所在面的半径r 成正比的○1，即质点在地球内部受到了一个线性回复力的作用，方向和质点相对于平衡位置（地心）的位移方向相反，即质点做的是简谐运动。具体的解题公式和过程不再写出，这些不是本文章的重点。 场景转换到大一下学期（现在），在老师讲到电磁学中静电场的高斯定理时，惊奇的发现： ∑?? = = Φ) (01 cos 内S i E q dS E εθ 这个公式告诉我们：通过一个任意闭合曲面S 的电通量E Φ等于该面所包围的所有电荷的代数和Σq 除以ε0，与闭合面外的电荷无关。这就是著名的电场中的高斯定理的表述。 54页至59页，这里不再抄写证明。 高斯提出了电通量的概念，并根据库仑定律推导出来，使很多电场问题步骤和思路大大简化，并提炼出了这个公式。 学到这里时我就突然想到了本文最开始的那道有关万有引力的题目，并且想到牛顿的万有
引力定律公式——2 2 1r m m G F =万和库仑定律公式——2 21c r q q k =F 有着十分相似的形 式，既然库仑定律能够推导出电场的高斯定理，那么高斯定理应该在万有引力场中同样适用。 在这里先给几个定义和公式： 万有引力强度，用g 表示，定义式为2r m 中万 G m F g == ，但正方向为从内到外，与 g 实际方向相反。对于球状质点系，通过单位表面积的引力通量是： -g r 4r 4*g - S 2 2 ==Φ=Φππ万d 1， 万有引力通量， ???-=ΦS S gcos θ万（注意负号） 2， 仿照0 41πε = k ，令0 41g G π= ，这里的0g 姑且命名为真空介万常数，呵呵，根 据真空介电常数改的，大小约为1.193*10^9。 下面进行公式推导，目的是证明： ) (S i S g m g 1g 1S gcos 中内万m m S i = = = ?-=Φ∑????θ成立。 推导证明公式成立： 同样仿照课本上的证明过程（《电磁学》（赵凯华、陈熙谋版）第54页至59页），从球面开始证明： ?????? ??= = = === ?-=ΦS i 02 2 2 2 2 2 S m g 1g r m 4414r m r m r m S gcos 中中中中中万m r g r G dS G dS G S S πππθ即 ) (S i S g m g 1g 1S gcos 中内万m m S i = = = ?-=Φ∑????θ 上为第一种情况：通过包围质点的同心球体的万有引力通量都为m 中/g 0 另外两种情况：通过包围质点的任意闭合面的万有引力通量都等于m 中/g 0，和通过不包围点电荷的任意闭合面的万有引力通量恒为0.因为过程和课本上的极为相似，均不再这里证明，有兴趣的可以参考课本。
r G Mm = mg ? g = GM ；在地球表面高度为 h 处： (R + h) 2 (R + h) 2 Mm = mg ? g = = 4 , r 万有引力与航天重点知识归纳 考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1）第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 （2）第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 （3）第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式： a 3 T 2 = k 。其中 k 值与太阳有关，与行星无关。 （4）推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星 旋转时， a 3 = k ，但 k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。 T 2 （5） 中学阶段对天体运动的处理办法： ①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为 v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③ R 3 = k ，R ——轨道半径。 T 2 2. 万有引力定律 （1）内容：万有引力 F 与 m 1m 2 成正比，与 r 2 成反比。 （2）公式： F = G m 1m 2 ，G 叫万有引力常量， G = 6.67 ? 10 -11 N ? m 2 / k g 2 。 r 2 （3）适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体， 指两球心间的距离；③一个均匀 球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。 （4）两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。 3. 万有引力与重力的关系 (1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力 mg ，另一个是 物体随地球自转所需的向心力 f ，如图所示。 ①在赤道上，F=F 向+mg ，即 mg = G Mm - m ω 2 R ； R 2 ②在两极 F=mg ，即 G Mm = mg ；故纬度越大，重力加速度越大。 R 2 由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。 (2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上， R 2 R 2 G GM ，所以 g = h h h R 2 (R + h ) 2 g ，随高度的增加，重力加速度减小。 考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度 1．T 、r 法： G Mm = mr ( 2π ) 2 ? M = 4π 2 r 3 ，再根据 r 2 T GT 2 V M 3πr 3 π R 3 , ρ = ? ρ = 3 V GT 2 R 3 ，当 r=R 时， ρ = 3π GT 2 2．g 、R 法： G Mm = mg ? M = R 2 g R 2 G ，再根据V = 4 πR 3 ρ = M ? ρ = 3g 3 V 4πGR 3．v 、r 法： G Mm = m v 2 ? M = rv 2 r 2 r G 4．v 、T 法： G Mm = m v 2 , G Mm = mr ( 2π ) 2 ? M = v 3 T r 2 r 2 T 2πG
电场与磁场的散度定理和旋度定理磁通连续性原理 散度定理(高斯定理)：一个矢量通过包围它的闭合面的总通量（矢量的面积分）等于该矢量的散度（和算子点乘）在该闭合面构成的体积内的体积分。散度定理搭建了面积分与体积分之间的转换桥梁。散度定理可用一个球图示。 散度定理是高斯定理在物理中的应用.即矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分 旋度定理（斯托克斯定理）：一个矢量的闭合线积分等于矢量的旋度（和算子叉乘）在该闭合线围成的开放面上的面积分。旋度定理搭建了线积分与面积分之间的转换桥梁。旋度定理可用一个环图示。 散度定理和旋度定理是将麦克斯韦方程从积分形式向差分形式转化的基础，而麦克方程的差分形式方才便于求解。 高斯散度定律有"两个"，分别是对电通密度矢量和磁通密度矢量而言，也即分别描述电场和磁场。高斯定律描述的是流出闭合面的电通/磁通总量与电场源/磁场源之间的对应关系。 1)对电场来说（闭合面内有电场源，对应流出闭合面的是电通总量），高斯定律描述如下：电通密度矢量D在S上的闭合面积分，等于电荷体密度在该闭合面围成的体积内的体积分。D单位C/m^2，电荷体密度单位C/m^3。电场高斯定律的物理意义是：流出闭合面的总电通量等于闭合面内包围的总正电荷。 也就是说，电场源是独立的，电场是一去不返的，从正电荷出发，到负电荷终止。其微分方程如下: 表示电场是有散场，这
是由于自然界存在着自由电荷，因此，▽·E ≠0的地方，味着此处一定存在着净的正电荷或净的负电荷. （1）自然界存在着自由电荷，电子电荷的绝对值e 就是自由电荷的基本值. （2）静电场的场线即E 线始发于正电荷并终止于负电荷，也就是说静电场的E 线不是闭合曲线，它们没有涡旋状结构.即无旋.静电场的这种性质，反映在电场高斯定理和环路定理中. 2)对磁场来说（对应流出闭合面的是磁通总量）(磁通连续性原理)，高斯定律描述如下：磁通密度矢量B在S上的闭合面积分，等于0。B单位Wb/m^2。磁场高斯定律的物理意义是：通过任意闭合曲面S 的净磁通量必定恒为零。也就是说，自然界不存在独立的磁场源，磁场是有来有去的，磁力线通过任意闭合面后必然会从相反方向再次通过。磁力线是闭合的！ 式子 这就是磁场的“高斯定理”.它反映了磁通量的连续性，所以也被称为“磁通连续性原理”.
《高斯定理与环路定理在万有引力场中的推广》读 后感 课本中从电场到磁场，我们学习或是解题过程中总是免不了要运用到高斯定理和静电环路定理作为解题的第一步骤。因此我们知道了电磁学中的高斯定理和静电环路定理是反应静电场基本性质的两个定理，利用这两个定理可以解决很多电荷具有对称分布的静电学问。 本篇文章则利用了类比的科学研究方法，将静电场中的高斯定理和静电环路定理推广到了经典万有引力场中。进一步引入引力场强度，引力势能，引力场强通量，说明了万有引力场是一种有源场，并引入引力环流的概念，说明了，万有引力场也是一种无旋场。 文章中通过大量的计算，公式的推导，结合利用牛顿万有引力定律和微积分，万有引力势能导出第一、第二字宙速度，用万有引力场中的高斯定理等求解相关的问题来证明了其类比假设的正确性。 最值得注意的就是其中的类比方法，有时在学习或是生活中适当地掺入类比的思想，不仅可以全面提高分析问题和解决问题的能力，或许还会受到其他更多的意想不到的效果。 电磁学中的高斯定理和静电环路定理是反应静电场基本性质的两个定理，利用这两个定理可以解决很多电荷具有对称分布的静电学问题。
高斯定理的定义：通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷量的代数和与电常数之比。 高斯定理的说明：高斯定理反映了静电场是有源场这一特性，它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。 环路定理 静电场环路定理：在静电场中,场强沿任意闭合路径的线积分等于0. 与静电场力作功和路径无关是一致的.这种力场也叫保守力场或势场. 安培环路定理：在稳恒磁场中，磁感强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。 万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。 引力场：引力场中的某点的是该点位置的矢量函数，对于多个质点产生的引力场，引力场强满足叠加原理
7.1行星的运动 知识与技能 1．知道地心说和日心说的基本内容。 2．知道所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 3．知道所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，且这个比值与行星的质量无关，但与太阳的质量有关。 4．理解人们对行星运动的认识过程是漫长复杂的，真理是来之不易的。 过程与方法 1．通过托勒密、哥白尼、第谷、开普勒等几位科学家对行星运动的不同认识，了解人类认识事物本质的曲折性并加深对行星运动的理解。 情感态度与价值观 1．澄清对天体运动神秘、模糊的认识，掌握人类认识自然规律的科学方法。 2．感悟科学是人类进步不竭的动力。 教学重点 1．理解和掌握开普勒行星运动定律，认识行星的运动。学好本节有利于对宇宙中行星的运动规律的认识，掌握人类认识自然规律的科学方法，并有利于对人造卫星的学习。 教学难点 1．对开普勒行星运动定律的理解和应用，通过本节的学习可以澄清人们对天体运动神秘、模糊的认识。 教学过程：略 新课教学 引入：
7．2太阳与行星间的引力 7．3万有引力定律 知识与技能 １．理解太阳与行星间存在引力 ２．能根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力表达式2r Mm G F ３．理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律 ４．理解地面上物体所受的重力与天体间的引力是同一性质的力，即服从平方反比定律的万有引力 过程与方法 １．通过推导太阳与行星间的引力公式，体会逻辑推理在物理学中的重要性 ２．体会推导过程中的数量关系 情感态度与价值观 １．感受太阳与行星间的引力关系，从而体会大自然的奥秘 ２．通过学习认识和借鉴科学的实验方法，充实自己的头脑，更好地去认识世界，建立科学的价值观 教学重点 １．根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星间的引力公式，记住推导出的引力公式 ２．在研究具体问题时，如何选取参考系 ３．质点概念的理解 教学难点 １．太阳与行星间的引力公式推导过程 ２．什么情况下可以把物体看作质点 教具 多媒体视频 课时安排 １课时 教学过程 开普勒定律发现之后，人们便开始更深入的思考：行星为什么这样运动？ 这节课我们“追寻着牛顿的足迹”，用自己的手和脑，重新“发现”万有引力定律。 一． 太阳对行星的引力 为了简化问题，行星的轨道按圆来处理，请猜想太阳与行星的引力与什么因数有关 研究的问题中，只有太阳、行星，那么他们之间的引力可能与太阳的质量、行星的质量、他们之间的距离以及行星与太阳之间的媒介物有关，还可能与太阳与行星的形状、大小有关。太阳与行星的是否可以看作质点？太阳与行星之间是真空，对太阳与行星的引力有无影响？ 讨论小结：太阳与行星之间的引力应该与行星到太阳的距离、太阳的质量、行星的质量有关。我们先研究太阳对行星的引力，这样只研究引力与行星的质量以及太阳与行星之间的距离的关系。那么，F 与r 的定量关系是什么？
万有引力与航天知识点总结 一、人类认识天体运动的历史 1、“地心说”的内容及代表人物： 托勒密 （欧多克斯、亚里士多德） 2、“日心说”的内容及代表人物： 哥白尼 （布鲁诺被烧死、伽利略） 二、开普勒行星运动定律的内容 开普勒第二定律：v v >远近 开普勒第三定律：K —与中心天体质量有关，与环绕星体无关的物理量；必须是同一中心天体的星体 才可以列比例，太阳系： 333222 ===......a a a T T T 水火地地水火 三、万有引力定律 1、内容及其推导：应用了开普勒第三定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律。 K T R =23 ① r T m F 224π= ② 22π4=r m K F 2m F r ∝ F F '= ③ 2r M F ∝' 2r Mm F ∝ 2r Mm G F = 2、表达式：221r m m G F = 3、内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1,m2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。 4.引力常量：G=6.67×10-11N/m 2/kg 2，牛顿发现万有引力定律后的100多年里，卡文迪许在实验室里用扭 秤实验测出。 5、适用条件：①适用于两个质点间的万有引力大小的计算。 ②对于质量分布均匀的球体，公式中的r 就是它们球心之间的距离。 ③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离。 ④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，其中r 为两物体质 心间的距离。 6、推导：2224mM G m R R T π= ? 3224R GM T π =
引力场中的高斯定理 李学生 （山东大学物理学院） 引力和静电力都是有势力，相应的引力势和静电势都满足三维空间里最简单的二阶（偏微分）方程——拉普拉斯方程.用ψ代表引力势或者静电势场，它在三维空间里所满足的拉普拉斯方程采取如下的形式：（?2/?x2+?2/?y2+?2/?z2）ψ(x,y,z)=0.由于相应的静电力和引力等于势的微分（的负值），它的大小便与半径r成反比了，即ψ（r）∝1/r,F(r)=- dψ/dr∝1/r2由于万有引力定律与Coulomb,s law本质是一样的，因此引力场中也存在高斯定理，并且与万有引力定律等价. Ⅰ、预备知识 引力场场强：引力场场强是一个向量，其大小等于1千克的质点在该处所受引力的大小，方向与该质点在该处所受引力的方向一致. 引力线：如果在引力场中出一些曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点的引力场强方向一致，那么所有这样可以作出的曲线叫做引力线. 引力线数密度：在引力场中任一点取一小面元ΔS与该点的场强方向垂直，设穿过ΔS 的引力线有ΔN根，则比值ΔN/ΔS叫做该点的引力线数密度，它的意义是通过该点单位垂直截面的引力线根数，规定引力场场强E∝ΔN/ΔS. 引力线性质：引力线其自无穷远点，止与该质点，引力线在宇宙中处处存在.一个质点的任何两条引力线不会相交，不形成闭合线. 引力通量：通过一面元ΔS的引力通量为该点场强的大小E与ΔS在垂直于场强方向的投影面积ΔS′=ΔScosθ的乘积. Ⅱ、通过一个任意闭合曲面S的引力通量φ=4πG∑m，与闭合曲面外的引力质量无关. 证明：（1）通过包括质点m的同心球面的引力通量都等于4πGm. 以质点m所在处为中心以任意半径r作一球面.根据万有引力定律,在球面上各点场强大小一样E=G m /r2,场强的方向沿半径向外呈辐射状.在球面上任意取一面元dS，其外法线向量n也是沿着半径方向向外的，即n和E间夹角θ=0，所以通过dS的引力通量为dφ=Ecos θdS=EdS= G m /r2dS,通过整个闭合球面的引力通量为φ=dS= G m /r2×4πr2=4πGm.