第一讲 注意添加平行线证题
在同一平面,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.
添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置
大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,错角相等,同旁角互补.利用这些
性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.
例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA .
在△DBP ＝∠AQC 中,显然
∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C .
由BP ＝CQ ,可知 △DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP .
则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC .
这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅.
例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE .
由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC .
∥＝
A
D
B
P Q
图1
P E D G A B F
C
图2
显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE . 由∠BAF ＝∠BCE ,可知 ∠BAF ＝∠BPE .
有P 、B 、A 、E 四点共圆. 于是,∠EBA ＝∠APE . 所以,∠EBA ＝∠ADE .
这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2 欲“送”线段到当处
利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.
例3 在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂
线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ .
证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG .
由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ ＝PN . 显然,
PD EP ＝FD EF ＝GD
CG
,可知PG ∥EC . 由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK ＝PM .于是, PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ .
这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK ,就有PM ＋PN ＝PQ .证法非常简捷.
3 为了线段比的转化
由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.
例4 设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点,且BM 1＝CM 2.任作一直线分别交AB 、AC 、AM 1、
A
N
E B Q
K
G C
D M F
P 图3
AM 2于P 、Q 、N 1、N 2.试证：
AP AB ＋AQ
AC
＝11AN AM ＋22AN AM .
证明：如图4,若PQ ∥BC ,易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行,设PQ 交直线BC 于D .过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于E .
由BM 1＝CM 2,可知BE ＋CE ＝M 1E ＋M 2E ,易知
AP AB ＝DE BE ,AQ AC ＝DE
CE
,
11AN AM ＝DE E M 1,22AN AM ＝DE E M 2. 则AP AB ＋AQ AC ＝DE
CE
BE +＝DE E M E M 21+＝11AN AM ＋2
2AN AM . 所以,
AP AB ＋AQ
AC
＝11AN AM ＋22AN AM .
这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE ,于是问题迎刃而解.
例5 AD 是△ABC 的高线,K 为AD 上一点,BK 交AC 于E ,CK 交AB 于F .求证：∠FDA ＝∠
EDA .
证明：如图5,过点A 作BC 的平行线,分别交直线DE 、DF 、BE 、CF 于Q 、P 、N 、M .
显然,
AN BD ＝KA KD ＝AM
DC
. 有BD ·AM ＝DC ·AN . (1)
由BD AP ＝FB AF ＝BC AM ,有 AP ＝BC AM BD ·. (2) 由DC AQ ＝EC AE ＝BC AN ,有 AQ ＝BC
AN DC ·. (3) 对比(1)、(2)、(3)有
AP ＝AQ .
显然AD 为PQ 的中垂线,故AD 平分∠PDQ . 所以,∠FDA ＝∠EDA .
这里,原题并未涉及线段比,添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些
A P
E
D
C M 2M 1B
Q
N 1
N 2
图4图5
M
P A Q N
F
B
D
C
E
K
比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来. 4 为了线段相等的传递
当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.
例6 在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点M 在AB 边上,点N 在AC 边上,并且∠MDN ＝90°.如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2,求证：AD 2＝
4
1
(AB 2＋AC 2). 证明：如图6,过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E .连ME . 由BD ＝DC ,可知ED ＝DN .有 △BED ≌△CND .
于是,BE ＝NC .
显然,MD 为EN 的中垂线.有
EM ＝MN . 由BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2,可知△BEM 为直角三角形,∠MBE ＝90°.
有
∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°. 于是,∠BAC ＝90°.
所以,AD 2＝2
21??
?
??BC ＝41(AB 2＋AC 2).
这里,添加AC 的平行线,将BC 的以D 为中点的性质传递给EN ,使解题找到出路. 例7 如图7,AB 为半圆直径,D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F ,使EA ＝DA ,
FB ＝DB .过D 作AB 的垂线,交半圆于C .求证：CD 平分EF .
证明：如图7,分别过点E 、F 作AB 的垂线,G 、H 为垂足,连FA 、EB . 易知
DB 2＝FB 2＝AB ·HB ,
AD 2＝AE 2＝AG ·AB .
二式相减,得 DB 2－AD 2＝AB ·(HB －AG ),或 (DB －AD )·AB ＝AB ·(HB －AG ).
于是,DB －AD ＝HB －AG ,或 DB －HB ＝AD －AG . 就是DH ＝GD .
图6
A
N
C
D
E
B
M
A
G
D O H B
F
C E
图7
显然,EG ∥CD ∥FH . 故CD 平分EF .
这里,为证明CD 平分EF ,想到可先证CD 平分GH .为此添加CD 的两条平行线EG 、FH ,从而得到G 、H 两点.证明很精彩. 经过一点的若干直线称为一组直线束.
一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等. 如图8,三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束,DE 是与BC 平行的直线.于是,有
BN DM ＝AN AM ＝NC ME ,即 BN DM
＝NC ME 或ME DM ＝NC
BN . 此式表明,DM ＝ME 的充要条件是 BN ＝NC .
利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮.
例8 如图9,
ABCD 为四边形,两组对边延长后得交点E 、F ,对角线BD ∥EF ,AC 的延长 线交EF 于G .求证：EG ＝GF .
证明：如图9,过C 作EF 的平行线分别交AE 、AF 于M 、N .由BD ∥EF ,可知MN ∥BD .易知
S △BEF ＝S △DEF .
有S △BEC ＝S △ⅡKG － *5ⅡDFC . 可得MC ＝CN . 所以,EG ＝GF .
例9 如图10,⊙O 是△ABC 的边BC 外的旁切圆,D 、E 、F 分别为⊙O 与BC 、CA 、AB 的切点.若OD 与EF 相交于K ,求证：AK 平分BC .
证明：如图10,过点K 作BC 的行平线分别交直线AB 、AC 于Q 、P 两点,连OP 、OQ 、
OE 、OF .
由OD ⊥BC ,可知OK ⊥PQ .
图8
A
D
B
N C
E
M 图9
A
B
M
E N D C G
O 图10
由OF ⊥AB ,可知O 、K 、F 、Q 四点共圆,有 ∠FOQ ＝∠FKQ . 由OE ⊥AC ,可知O 、K 、P 、E 四点共圆.有 ∠EOP ＝∠EKP . 显然,∠FKQ ＝∠EKP ,可知 ∠FOQ ＝∠EOP .
由OF ＝OE ,可知 Rt △OFQ ≌Rt △OEP . 则OQ ＝OP . 于是,OK 为PQ 的中垂线,故 QK ＝KP . 所以,AK 平分BC .
综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.
练习题
1. 四边形ABCD 中,AB ＝CD ,M 、N 分别为AD 、BC 的中点,延长BA 交直线NM 于E ,延长
CD 交直线NM 于F .求证：∠BEN ＝∠CFN .
(提示：设P 为AC 的中点,易证PM ＝PN .)
2. 设P 为△ABC 边BC 上一点,且PC ＝2PB .已知∠ABC ＝45°,∠APC ＝60°.求∠ACB . (提示：过点C 作PA 的平行线交BA 延长线于点D .易证△ACD ∽△PBA .答：75°)
3. 六边开ABCDEF 的各角相等,FA ＝AB ＝BC ,∠EBD ＝60°,S △EBD ＝60cm 2.求六边形
ABCDEF 的面积.
(提示：设EF 、DC 分别交直线AB 于P 、Q ,过点E 作DC 的平行线交AB 于点M .所求面积与
EMQD 面积相等.答：120cm 2)
4. AD 为Rt △ABC 的斜边BC 上的高,P 是AD 的中点,连BP 并延长交AC 于E .已知AC :AB ＝k .求AE :EC .
(提示：过点A 作BC 的平行线交BE 延长线于点F .设BC ＝1,有AD ＝k ,DC ＝k 2.答：
2
11
k ) 5. AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,CD ⊥AB 于D ,E 为DB 上一点,过D 作CE 的垂线交CB
于F .求证：
DE AD ＝FB
CF
. (提示：过点F 作AB 的平行线交CE 于点H .H 为△CDF 的垂心.)
6. 在△ABC 中,∠A :∠B :∠C ＝4:2:1,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .求证：
a 1＋b
1
＝c
1. (提示：在BC 上取一点D ,使AD ＝AB .分别过点B 、C 作AD 的平行线交直线CA 、BA 于点
E 、
F .)
7. 分别以△ABC 的边AC 和BC 为一边在△ABC 外作正方形ACDE 和CBFG ,点P 是EF 的中点.求证：P 点到边AB 的距离是AB 的一半.
8. △ABC 的切圆分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,过点F 作BC 的平行线分别交直线DA 、
DE 于点H 、G .求证：FH ＝HG .
(提示：过点A 作BC 的平行线分别交直线DE 、DF 于点M 、N .)
9. AD 为⊙O 的直径,PD 为⊙O 的切线,PCB 为⊙O 的割线,PO 分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：OM ＝ON .
(提示：过点C 作PM 的平行线分别交AB 、AD 于点E 、F .过O 作BP 的垂线,G 为垂足.AB ∥GF .)
第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题
在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路. 1 挖掘隐含的辅助圆解题
有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.
初中数学竞赛第二轮专题复习（4) 几何 1、如图,D ，E 分别为?ＡB Ｃ的边ＡB ，ＡC 上的点,且不与?A ＢC 的顶点重合.已知ＡE 的长为m,AC 的长为n,A Ｄ,ＡＢ的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根． (Ⅰ)证明：C ，B,D,E 四点共圆; (Ⅱ)若∠A=9０°，且m=4， n=６,求C,B ，D,E 所在圆的半径． 解:(Ⅰ)连接DE,根据题意在△ADE 和△ＡCB 中，A Ｄ×A Ｂ=mn=A Ｅ×A Ｃ，即AD AE AC AB =． 又∠DAE=∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB 因此∠AD Ｅ=∠A ＣB ，所以C ， B, D, E 四点共圆． (Ⅱ)ｍ＝4, n ＝6时,方程ｘ2-14x ＋mn=０的两根为ｘ1＝２,x 2＝12. 故AD ＝2，ＡB ＝1２. 取CE 的中点G ，DB 的中点F,分别过Ｇ，F 作AC ，AB 的垂线,两垂线相交于Ｈ点,连接ＤH ． 因为C ， B ， Ｄ, E 四点共圆,所以Ｃ， B ， Ｄ, E 四点所在圆的圆 心为H,半径为DH. 由于∠Ａ＝９０°，故ＧＨ∥AB,H Ｆ∥AC ．H Ｆ＝AG=5,D Ｆ=12 (12-２)=5. 故C,B,D,Ｅ四点所在圆的半径为 ． 2、在等腰?AB Ｃ中,顶角∠AC Ｂ＝80°,过A ， Ｂ引两直线在?ABC 内交于一点Ｏ．若∠O ＡB=１0°, ∠ＯＢA=20°，求∠ACO 的大小，并证明你的结论. 解:60ACO ∠=?（４分) 以OA 为轴翻转OAB ?到OAB '?,连接,CB BB '',由10OAB ∠=?知20BAB '∠=?且AB AB '=,ABB '为等 腰三角形，故80AB B ACB '∠=?=∠，从而知,,,A B B C '四点共圆，再由20ABO ∠=?知60OBB '∠=?,BB O '?为 等边三角形．由四点共圆知100ACB '∠=?，又 30OBC B BC '∠=∠=?，OB B B '=,BC 公共，故OBC B BC '???． 再由100ACB '∠=?,80ACB ∠=?，故20OCB ∠=?,从而得证:60ACO ∠=?. 答题要点:60ACO ∠=? 以OA 为轴翻转OAB ?到OAB '?，连接,CB BB '' ①OBB '?为正三角形;
27同余 1．设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作，否则，就说a 与b 对模m 不同余，记作，显然，； 每一个整数a 恰与1，2，……，m ，这m 个数中的某一个同余； 2.同余的性质： 1).反身性：； 2).对称性：； 3).若，则; 4).若，，则 特别是； 5).若，，则； 特别是 ； 6).； 7).若 ； 8).若， ……………… ，且 例题讲解 1．证明：完全平方数模4同余于0或1； 2．证明对于任何整数,能被7整除； )(mod m b a ≡)(mod m b a ≡)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -?∈+=?≡)(mod m a a ≡)(mod )(mod m a b m b a ≡?≡)(mod m b a ≡)(mod m c b ≡)(mod m c a ≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ±≡±)(mod )(mod m k b k a m b a ±≡±?≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ≡)(m od ),(m od m bk ak Z k m b a ≡?∈≡则)(m od ),(m od m b a N n m b a n n ≡?∈≡则)(mod )(m ac ab c b a +≡+)(m od 1),(),(m od m b a m c m bc ac ≡=≡时，则当)(mod )(mod ).(mod ),(m b a mc bc ac d m b a d m c ≡?≡≡=特别地，时，当)(m od 1m b a ≡)(m od 2m b a ≡)(mod 3m b a ≡)(mod n m b a ≡)(m od ],,[21M b a m m m M n ≡??=，则0≥k 153261616+++++k k k
数学初中竞赛大题训练：几何专题 1．阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆． （1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝55°； （2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE 的长； （3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长． 解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°， 故答案为：55°； （2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示： ∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB， ∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°， ∴∠AFD＝135°， ∵BE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°， ∴∠AFD＝∠DBE， ∵AD⊥DE，
∴∠ADE＝90°， ∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°， ∴∠FAD＝∠BDE， 在△ADF和△DEB中，， ∴△ADF≌△DEB（ASA）， ∴AD＝DE， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝AD＝2； （3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°， ∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆， ∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°， ∴△ABK是等边三角形， ∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点， ∴KM＝AK?sin60°＝2， ∵AE＝3，AM＝AB＝2， ∴ME＝3﹣2＝1， ∴EK＝＝＝， ∴EF＝＝＝．
高中数学竞赛讲义（十六） ──平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则 梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若 则三点共线。 塞瓦定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点， 则 塞瓦定理的逆定理设分别是ΔABC的三边 BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点 的充要条件是 广义托勒密定理设ABCD为任意凸四边形，则AB?CD+BC?AD≥AC?BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。
斯特瓦特定理设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有 AP2=AB2?+AC2?-BP?PC. 西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。 [证明] 设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为∠ACP= ∠PCQ=100，所以，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB 数学竞赛训练题 1、函数()x x x x x f 44cos cos sin sin ++=的最大值是_______。 2、已知S n 、T n 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和，且2412-+=n n T S n n ，则=+++15 61118310b b a b b a _______。 3、若函数()?? ? ?? +=x a x x f a 4log 在区间上为增函数，则a 的取值范围是为_______。 4、在四面体ABCD 中，已知DA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，则当二面角A-BD-C 的正切值为2时，四面体ABCD 的体积为_______。 5、已知定义在R 上的函数()x f 满足： （1）()11=f ； （2）当10< 数学竞赛平面几何重要知识点 梅涅劳斯定理： 设D 、E 、F 分别是ABC ?三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=??EA CE FC BF DB AD 。 斯德瓦特定理：设P 是ABC ?的边BC 边上的任一点，则 BC PC BP AP BC AB PC AC BP ??+?=?+?222 西摩松定理： 设P 是ABC ?外接圆上任一点，过P 向ABC ?的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。 6、共角定理：设ABC ?和C B A '''?中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A AC AB S S C B A ABC ' '?''?='''?? 与圆有关的重要定理 4.四点共圆的主要判定定理 （1）若∠1=∠2，则A 、B 、C 、D 四点共圆； （2）若∠EAB=∠BCD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆； （3）若PA ?PC=PB ?PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆； 三角形的五心 三角形的三条中线共点，三条角平分线共点，三条高线共点，三条中垂线共点。三角形的垂心、重心、外心共线（欧拉线），并且重心把连结垂心和外心的线段分成2∶1的两段。三角形的外心和内心的距离)2(r R R d -=。此公式称为欧拉式，由此还得到r R 2≥。当且仅当△ABC 为正三角形时,d=0,此时R=2r.其中R 和r 分别是三角形外接圆半径和内切圆半径。 与△的一边及另两边的延长线均相切的圆称为△的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。 重要例题 例1.设M 是任意ABC ?的边BC 上的中点，在AB 、AC 上分别取点E 、F,连EF 与AM 交于N ，求证：)(21AF AC AE AB AN AM +=（1978年辽宁省中学数学竞赛） 例 2. 已知点O 在ABC ?内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ??与的面积之比为_________________. 例3. 如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点． ⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点． ⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ． ①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数． 第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,错角相等,同旁角互补.利用这些 性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA . 在△DBP ＝∠AQC 中,显然 ∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知 △DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP . 则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC . 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE . 由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . ∥＝ A D B P Q 图1 P E D G A B F C 图2 高中数学竞赛平面几何知识点基础 1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 常见模型： 相似三角形的性质: （1）相似三角形对应角相等 （2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比 （3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 （4）相似三角形的周长比等于相似比 （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理： 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 如图所示，若AM平分∠BAC，则AB AC =BM MC 该命题有逆定理： 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连 线是三角形的一条角平分线 外角平分线定理： 三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则BD DC =AB AC 其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点， 且满足BD DC =AB AC ，则AD是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合： 如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角 ∠CAE，则BD DC =AB AC =BE EC 3、射影定理 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射 影定理如下： BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形： 在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另 一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和 一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应 边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE 5、张角定理 在△ABC中D为BC边上一点，则 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 6、圆内有关角度的定理 圆周角定理及其推论： （1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半（2）同弧所对的圆周角相等 （3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径 平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则 .1''''''=??B C AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。 塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','CC BB AA 三线平行或共点，则.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠?∠∠?∠∠BA B CBB CB C ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABC D 为任意凸四边形，则AB ?CD+BC ?AD ≥AC ?BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点，P 不同于B ，C ，则有 AP 2=AB 2?BC PC +AC 2?BC BP -BP ?PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴） 欧拉定理 ΔABC 的外心O ，垂心H ，重心G 三点共线，且.2 1GH OG = 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC 中，∠ABC=700，∠ACB=300，P ，Q 为ΔABC 内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠ PBQ=∠PCB=200，求证：A ，P ，Q 三点共线。 [证明] 设直线CP 交AQ 于P 1，直线BP 交AQ 于P 2，因为∠ACP=∠PCQ=100，所以 CQ AC QP AP =1 ，①在ΔABP ，ΔBPQ ，ΔABC 中由正弦定理有 高中数学竞赛试题 一选择题(每题5分,满分60分) 1. 如果a,b,c 都是实数，那么P ∶ac<0,是q ∶关于x 的方程ax 2 +bx+c=0有一个正根和一个 负根的（ ） （A ）必要而不充分条件 （B ）充要条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2. 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。 （A ） 100 5 .03?克 （B ）(1－0.5%)3克 （C ）0.925克 （D ）100125.0克 3. 由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示 大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。 （A ）5.83元 （B ）5.25元 （C ）5.56元 （D ）5.04元 4. 已知函数 >0， 则 的值 A 、一定大于零 B 、一定小于零 C 、等于零 D 、正负都有可能 5. 已知数列3，7，11，15，…则113是它的（ ） （A ）第23项 （B ）第24项 （C ）第19项 （D ）第25项 6. 已知等差数列}{n a 的公差不为零，}{n a 中的部分项 ,,,,,321n k k k k a a a a 构成等比数 列，其中,17,5,1321===k k k 则n k k k k ++++ 321等于（ ） (A) 13--n n (B) 13-+n n (C) 13+-n n (D)都不对 7. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4 π = x 处取得最小 值，则函数)4 3( x f y -=π 是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 8. 如果 A A tan 1tan 1+-= 4+5，那么cot （A +4 π ）的值等于 ( ) A -4-5 B 4+5 C - 5 41+ D 5 41+ 9. 已知︱︱=1，︱︱=3,?=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设 =m +n (m 、n ∈R )，则 n m 等于 人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案） 【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧上任意一点.求证：为定值. AD ⌒ PA PC PB P A B C D 【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦 CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A.到CD 的距离保持不变 B.位置不变 C.等分 D.随C 点的移动而移动 DB ⌒ A 【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂 线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角. B 【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是上异于A ，B 的动点，过点C AB ⌒ 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形； （2）当点C 在上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段AB ⌒ 的长度； （3）求证：CD 2+3CH 2是定值. B O A C E H G D 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. 全国高中数学联赛平面几何题 1.(2000) 如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等． 2. (2001) 如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ． 求证：(1) OB ⊥DF ，OC ⊥DE ； (2) OH ⊥MN ． 3.(2002) 4.(2003) 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B 所作割线交圆于C ，D 两点，C 在P ，D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ ＝∠PBC ．求证：∠DBQ ＝∠PAC ． A B C D E F M N 5.(2004)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K 。已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长。 6.(2005) 7.(2006)以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点 C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0 为半径作圆弧P 0Q 0⌒ 交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0 为半径作圆弧Q 0P 1⌒ 交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1 为半径作圆弧P 1Q 1⌒ 交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1 为半径作圆弧Q 1P 0'⌒ ，交AB 0的延长线于P 0'. 试证： ⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒ 相切于点P 0； ⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆． P B 1 B 0 C 1P 1 P 0 Q 1Q 0 A C 0 几何证明题综合训练 1． 线段或角相等的证明 （1） 利用全等△或相似多边形； （2） 利用等腰△； （3） 利用平行四边形； （4） 利用等量代换； （5） 利用平行线的性质或利用比例关系 （6） 利用圆中的等量关系等。 2． 线段或角的和差倍分的证明 （1） 转化为相等问题。如要证明a=b±c ，可以先作出线段p=b±c ，再去证明a=p ， 即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。 （2） 直接用已知的定理。例如：中位线定理，Rt △斜边上的中线等于斜边的一半； △的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。 3． 两线平行与垂直的证明 （1） 利用两线平行与垂直的判定定理。 （2） 利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。 （3） 利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。 【竞赛例题剖析】 【例1】从⊙O 外一点P 向圆引两条切线PA 、PB 和割线PCD 。从A 点作弦AE 平行于CD ，连结BE 交CD 于F 。求证：BE 平分CD 。 【分析1】构造两个全等△。 连结ED 、AC 、AF 。 CF=DF ←△ACF ≌△EDF ← ←? ?? ?? ?????←←∠=∠∠=∠=∠←∠=∠←??? ∠=∠=四点共圆、、、P B F A ABP AFC ABP AEF EFD EFD AFC CD //AE EDF ACF ED AC ←∠PAB=∠AEB=∠PFB 【分析2】利用圆中的等量关系。连结OF 、?? ?? ?=∠←=∠←=、、、P B F O 90 OBP 90OFP DF CF 0 ←∠PFB=∠POB ← ←? ??←∠=∠←∠=∠是切线、PB PA AEB POB CD //AE AEB PFB 课程简介：全国高中数学联赛是中国高中数学学科的最高等级的数学竞赛，其地位远高于各省自行组织的数学竞赛。在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”。优胜者可以自动获得各重点大学的保送资格。各省赛区一等奖前6名可参加中国数学奥林匹克，获得进入国家集训队的机会。中小学教育网重磅推出“全国高中数学联赛”辅导课程，无论是有意向参加竞赛的初学者，还是已入围二试的竞赛选手，都有适合的课程提供。本套课程由中国数学奥林匹克高级教练熊斌、人大附中数学教师李秋生等名师主讲，轻松突破你的数学极限！ 课程招生简章：https://www.doczj.com/doc/0a10377242.html,/webhtml/project/liansaigz.shtml 选课中心地址： https://www.doczj.com/doc/0a10377242.html,/selectcourse/commonCourse.shtm?courseeduid=170037#_170037_ 第二章组合专题 一、重要的概念与定理 1、完全图：每两个顶点之间均有边相连的简单图称为完全图,有个顶点的完全图（阶完全图）记为. 2、顶点的度：图中与顶点相关联的边数（环按2条边计算）称为顶点的度（或次数）, 记为.与分别表示图的顶点的最小度与最大度.度为奇数的顶点称为奇顶点,度 为偶数的顶点称为偶顶点. 3、树：没有圈的连通图称为树,用表示,其中度为1的顶点称为树叶（或悬挂点）.阶树常表示为. 4、部图：若图的顶点集可以分解为个两两不相交的非空子集的并,即 并且同一子集内任何两个顶点没有边相连,则称这样的图为部图,记作 . 2部图又叫做偶图,记为. 5、完全部图：在一个部图中, ,若对任意 均有边连接和,则称图为完全部图,记为. 6、欧拉迹：包含图中所有边的迹称为欧拉迹.起点与终点重合的欧拉迹称为闭欧拉迹. 欧拉图：包含欧拉迹的图为欧拉图. 欧拉图必是连通图. 哈密顿链（圈）：经过图上各顶点一次并且仅仅一次的链（圈）称为哈密顿链（圈）.包含哈密顿圈的图称为哈密顿图. 7、平面图：若一个图可画在平面上,即可作一个与同构的图,使的顶点与边在同一 浙江省高中数学竞赛试题及答案 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1.集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ?=?,则实数a 取值范围为（ ） A. 3a ≥ B. 1a ≤-. C. 1a ≤-或 3a ≥ D. 13a -≤≤ 2.若,,R αβ∈ 则90αβ+=是sin sin 1αβ+>的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ） A. D. 4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且2 8z i =，则z =（ ） A.22z i =+ B. 22z i =-- C. 22,z i =-+或22z i =- D. 22,z i =+或22z i =-- 5. 已知直线AB 与抛物线2 4y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足 00min{}C A C B CA CB ?=?，则下列一定成立的是（ ） 。 A. 0C M AB ⊥ B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线 C. 00C A C B ⊥ D. 01 2 C M AB = 6. 某程序框图如下，当E =0.96时，则输出的K=（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 25 , 7. 若三位数abc 被7整除，且,,a b c 成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。 A.4 B. 6 C. 7 D 8 8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。 A. 平面几何中几个重要定理及其证明 一、 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三 点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得 ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????== ． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是? ABC 的顶点，若 1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． A B C D F P 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交 AB 于点D /，则据塞瓦定理有 // 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有/ /AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理 A B C D E F P D / 1. 如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，AD 是角平分线，E 是 BC 边的中点，EF ⊥AD 于点 F ，CG ⊥AD 于点 G ， 3 若 tan ∠CAD= 4 ，AB ＝20，则线段 EF 的长为 C F 2. 如图，在△ABC 中，tan ∠ACB=3，点D 、E 在 BC 边上，∠DAE ＝ 1 ∠BAC ，∠ACB ＝∠DAE ＋∠B ，点 2 F 在线段 AE 的延长线上，AF ＝AD ，若 CD ＝4，CF ＝2，则 AC 边的长为 3. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，点 D 、E 分别在 AB 、AC 边上，BD=CE=BC ，点 F 在 BC 边上，DF 与 BE 1 交于点 G 。若 BG=1，∠BDF= 2 ∠ACB ，则线段 EG 的长为 4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，角平分线 BD 、CE 交于点 F ，若 BC ＝3CD ，BF ＝2，则 BC 边的长为 E B 5. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACD ＝45°，点 E 在射线 BD 上，AE//CD ，AE ＝DE ，若 BD ＝1，CD ＝ 5，则 AE 的长为 6. 如图，△ABC 中，∠AB ＝90°，CD 是 AB 边上的中线，点 F 在线段 AD 上，点 F 在 CD 延长线上，AE ＝ DF ，连接 CE 、BF ，若∠AEC ＝∠DFB ，AC ＝ 2 3 ，DF ＝ 1，则线段 CE 的长为 A B 7. 如图，在等边△ABC 中，D 为 AB 边上一点，连接 CD ，在 CD 上取一点E ，连接BE ，∠BED ＝60°，若 3 数学竞赛典型题目（一） 1.(2004美国数学竞赛)设n a a a ,,,21 是整数列,并且他们的最大公因子是1. 令S 是一个整数集,具有性质: （1）),,2,1(n i S a i =∈ （2） }),,2,1{,(n j i S a a j i ∈∈-,其中j i ,可以相同 （3）对于S y x ∈,，若S y x ∈+，则S y x ∈- 证明：S 为全体整数的集合。 2．(2004美国数学竞赛)c b a ,,是正实数，证明： 3252525)()3)(3)(3(c b a c c b b a a ++≥+-+-+- 3．(2004加拿大数学竞赛)T 为1002004的所有正约数的集合，求集合T 的子集S 中的最大可能的元素个数。其中S 中没有两个元素，一个是另一个的倍数。 4．(2004英国数学竞赛)证明：存在一个整数n 满足下列条件： （1）n 的二进制表达式中恰好有2004个1和2004个0； （2）2004能整除n . 5．(2004英国数学竞赛)在0和1之间，用十进制表示为 21.0a a 的实数x 满足：在表达式中至多有2004个不同的区块形式，)20041(20031≤≤++k a a a k k k ，证明：x 是有理数。 6．(2004亚太地区数学竞赛)求所有由正整数组成的有限非空数集S ，满足：如果S n m ∈,，则S n m n m ∈+) ,( 7．(2004亚太地区数学竞赛)平面上有2004个点，并且无三点共线，S 为通过任何两点的直线的集合。证明：点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当S 中有奇数条直线分离这两点。 8．(2004亚太地区数学竞赛)证明：)()!1(*2N n n n n ∈?? ????+-是 偶数。 9．(2004亚太地区数学竞赛)z y x ,,是正实数，证明： 立身以立学为先，立学以读书为本 平面几何选讲 反演变换 基础知识 一. 定义 1. 设O 是平面π上的一个定点，k 是一个非零常数．如果平面π的一个变换，使得对于平面π上任意异 于O 的点A 与其对应点'A 之间，恒有（1）' ,,A O A 三点共线；（2）'OA OA k ?=，则这个变换称为平面π 的一个反演变换，记做(,)I O k ．其中，定点O 称为反演中心，常数k 称为反演幂，点'A 称为点A 的反点． 2. 在反演变换(,)I O k 下，如果平面π的图形F 变为图形'F ，则称图形'F 是图形F 关于反演变换(,)I O k 的反形．反演变换的不动点称为自反点，而反演变换的不变图形则称为自反图形． 3. 设两条曲线u v 、相交于点A ，l 、m 分别是曲线u v 、在点A 处的切线（如果存在），则l 与m 的交角称为曲线u v 、在点A 处的交角；如果两切线重合，则曲线u v 、在点A 处的交角为0．特别地，如果两圆交于点，那么过点作两圆的切线，则切线的交角称为两圆的交角．当两圆的交角为90时，称为两圆正交；如果直线与圆相交，那么过交点作圆的切线，则切线与直线的交角就是直线与圆的交角．当这个交角为90时，称为直线与圆正交． 二. 定理 定理1. 在反演变换下，不共线的两对互反点是共圆的四点． 定理2. 在反演变换(,)I O k 下，设A B 、两点（均不同于反演中心O ）的反点分别为' ' A B 、，则有''B A = ''k A B AB OA OB = ?． 定理3. 在反演变换下，过反演中心的直线不变． 定理 4. 在反演变换下，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆；过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线． 定理5. 在反演变换下，不过反演中心的圆的反形仍是不过反演中心的圆． 定理6. 在反演变换下，两条曲线在交点处的交角大小保持不变，但方向相反． 定理7. 如果两圆或一圆一直线相切于反演中心，则其反形是两条平行直线；如果两圆或一圆一直线相切于非反演中心，则其反形（两圆或一圆一直线）相切． 定理8. 如果两直线平行，则其反形（两圆或一圆一直线）相切于反演中心． 典型例题 一. 证明点共线 例1. ABC 的内切圆与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ， 设L 、M 、N 分别是EF 、FD 、DE 的中点．求证：ABC 的外心、 内心与LMN 的外心三点共线． 证明：如图，设ABC 的内心为I ，内切圆半径为r ．以内心I 为反演中心，内切圆为反演圆作反演变换2 (,)I I r ，则A 、B 、C 的 反点分别为L 、M 、N ，因而ABC 的反形是LMN 的外接圆．故ABC 的外心、内心和LMN 的外心三点共线． 二. 证明线共点 例2. 四边形ABCD 内接于O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设ABP 、BCP 、CDP 、DAP 的 I N M L F E D C B A高中数学竞赛训练题(0530)
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