高中平面几何
叶中豪
学习要点
几何问题的转化圆幂与根轴
P ’tolemy 定理及应用几何变换及相似理论位似及其应用
完全四边形与Miquel 点垂足三角形与等角共轭反演与配极，调和四边形射影几何
复数法及重心坐标方法
例题和习题
1．四边形ABCD 中，AB=BC ，DE ⊥AB ，CD ⊥BC ，EF ⊥BC ，且
sin 1tan
sin
2
。
求证：2EF=DE+DC 。（10081902.gsp ）
γ
θ
F
E
B
C
A
D
2．已知相交两圆O 和O'交于A 、B 两点，且O'恰在圆O 上，P 为圆O 的AO'B 弧
段上任意一点。∠APB 的平分线交圆O'于Q 点。求证：PQ 2
=PA ×PB 。（10092401-1. gsp ）
Q
B
O
O'
A
P
3．设三角形ABC 的Fermat 点为R ，连结AR ，BR ，CR ，三角形ABR ，BCR ，ACR
的九点圆心分别为D ，E ，F ，则三角形DEF 为正三角形。（10082602.gsp ）
F
E D
R A
B C
4．在△ABC 中，已知∠A 的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D 、E ，点A 关于D 、E 的对称点分别为F 、G ，△ADG 和△AEF 的外接圆交于A 和另一点P 。求证：AP//BC 。（10092102.gsp ）
P
G
F
E D
A
B
C
5．圆O 1和圆O 2相交于A
、B 两点，P 是直线AB 上一点，过P 作两圆作切线，分别切圆O 1和圆O 2于点C 、D ，又两圆的一条外公切线分别切圆O 1和圆O 2于点E ，F 。求证：AB 、CE 、DF 共点。（10092201.gsp ）
E
F
D
C
B
O 1
A
O 2
P
6．四边形ABCD 中，M 是AB 边中点，且MC=MD ，过C 、D 分别作BC 、AD 的垂线，两条垂线交于P 点，再作PQ ⊥AB 于Q 。求证：∠PQC=∠PQD 。（10081601-26.gsp ）
Q
P
M A
B
D
C
7．已知RT △ABD ∽RT △ADC ，M 是BC 中点，AD 与BC 交于E ，自C 作AM 垂线交
AD 于F 。求证：DE=EF 。（10083001.gsp ）
E
F
M
C
A
B
D
8．在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 边的中点，E 是△ABC 外一点，满足CE ⊥AB ，BE=BD 。
过线段BE 的中点M 作直线MF ⊥BE ，交△ABD 的外接圆的劣弧AD 于点F 。求证：ED ⊥DF 。（2010年女子竞赛）（10081601-4.gsp ）
F
M
E
D
A
B
C
9．设圆I 1是△ABC 的BC 边外的旁切圆，D 、E 、F 分别是切点，若I 1D 与EF 交于P 点。求证：AP 平分底边BC 。（10082001-8.gsp ）
M
P
F
E
D I 1
A
B
C
10．如图，⊙O 切△ABC 的边AB 于点D ，切边AC 于点C ，M 是边BC 上一点，AM 交CD 于点N ．求证：M 是BC 中点的充要条件是ON ⊥BC 。（09031302.gsp ）
N
M
D
C
O
A
B
11．已知：BC 是圆上的定弦，而动点
A 在圆上运动，M 是AC 中点，作MP ⊥AB
于P 。求P 点的轨迹。（10081601-4.gsp ）
P
M
O
B A
C
12．△ABC 外接圆为圆O ，P 为AB 上一点，过P 分别作OA 、OB 的垂线，与AC 、
BC 交于S 、T ，与AB 交于M 、N 。求证：PM=MS 的充要条件是PN=NT 。（10081601-3.gsp ）
S
M
N
T
O
A
B
C
P
13．在ΔABC 中AC ＞BC ，F 是AB 的中点，过F 作它的外接圆直径DE ，使得C 、E
在AB 同一侧，又过C 做AB 的平行线交DE 于L 。
求证：(AC+BC) 2
＝4DL ×EF 。（09011003.gsp ）
L
D E
O
F
C
A
B
14．已知：P 是垂直ABC 外接圆BC 弧上任意一点，PD ⊥BC 于D ，PE ⊥CA 于E ，
PF ⊥AB 于F 。求证：(BC/PD)＝(AC/PE)+(AB/PF)。（09012201-7.1.gsp ）
F
E
D
A
B
C
P
15．已知O 是△ABC 的外心，M 是BC 边中点，D 是OM 延长线上一点，满足DO=DB ，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，满足∠MEA=∠MFA=∠A 。求证：AD ⊥EF 。（10080302.gsp ）
F
E D
M
O
A
B
C
16．已知△ABC 中，AB ＝AC ，线段AB 上有一点D ，线段AC 延长线上有一点E ，
使得DE ＝AB 。线段DE 与△ABC 的外接圆交于点T ，P 是线段AT 延长线上的一点。求证：点P 满足PD ＋PE ＝AT 的充要条件是P 在△ADE 的外接圆上。（2000年国家集训队）（10082201-1.gsp ）
P
T E
C
A
B
D
17．已知△ABC 中，内心I 关于BC 边中点M 的对称点为I'，S 是BC 弧（不含A
点）中点，直线SI'交△ABC 的外接圆于另一点P 。求证：P 点到△ABC 较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。（10082201-5.gsp ）
P
I'
S
M
I
A
B
C
18．在△ABC 外作△DBC ∽△ECA ∽△FAB ，联结AD 、BE 、CF 。
求证：AF+FB+BD+DC+CE+EA ≥AD+BE+CF 。（10081601-2.gsp ）
E
F
A
B C
D
19．过△ABC 内一点O 引三边AB 、BC 、CA 的平行线与其它两边的交点分别为E 、
F 、
G 、
H 、
I 、K ，过O 作△ABC 的外接圆的弦AL 。求证：OE ·OF ＋OG ·OH ＋OI ·OK ＝OA ·OL 。（09042002.gsp ）
K I
H
G F
E
L
A
B C
O
20．一小圆内切大圆于点N ，BA 、BC 是大圆的两条弦，且分别切小圆于K 、M ，
劣弧AB 和劣弧BC 的中点分别为Q 、P ，又设△BQK 、△BPM 外接圆的另一个
交点为B 1。求证：BPB
1Q 为平行四边形。（10082001-1.gsp ）B 1
P
Q
C
A
K
M
N
B
21．圆O 与圆O 1、圆O 2同时相切，切点为S 、T ，圆O 1与圆O 2交于A
、B 两点，且圆O 2的圆心恰在圆O 1上。设公共弦AB 延长交圆O 于C 、D 两点，联结SC 、SD 分别交圆O 1于P 和Q 。求证：PQ 与圆O 2相切。（40届IMO ）（10082001-12.gsp ）
B
A D
C
U
R Q
P
O
S
T
O 1
O 222．设KL 、KN 是圆O 的切线，M 是KN 延长线上一点，过K 、L 、M 三点的圆与圆O 交于P ，作NQ ⊥LM 于Q 。求证：∠MPQ=2∠NML 。（98年伊朗竞赛）（10081601-5、6.gsp ）（09022203.gsp ）
Q
P
K
O
N L
M
23．设△ABC 内接于圆O ，过O 作OE ⊥BC 交圆O 于E ，交AB 于F ，交AC 延长线
于G 。过G 作圆O 的切线GT ，T 为切点。求证：TF ⊥GE 。（10092104.gsp ）
T
G
F
E
O
A
B
C
24．已知圆O 外一点P 向圆O 作切线PA 、PB 和一条割线PEF ，M 是EF 上一点，联结BM 延长交圆O 于C 。求证：AC//PEF 的充要条件是M 为EF 中点。（10092401-6.gsp ）
M
C
E A
O
B
P
F
25．过点P 任作圆O 的两条割线PAB 、PCD ，直线AD 与BC 交于Q ，弦DE//PQ ，
BE 交PQ 延长线于M 。求证：OM ⊥PQ 。（10092103-1.gsp ）
M
E
Q
C
A
O
B
P
D
26．如图，设⊙O 1与⊙O 2交于AB 两点。AC 是⊙O 2的切线，交⊙O 1于C 点。AD 是
⊙O 1的切线，交⊙O 2于D 点。过A 任作直线，交⊙O 1、⊙O 2及经过A 、C 、D
三点的圆分别于M 、N 、P 。求证：AM=NP 。（10091002-6.gsp ）
P
N
D
C
B
O 1
A
O 2
M
27．两圆圆O 1和圆O 2相交于M 、P ，过M 作圆O 2的切线交圆O 1于A ；又过M 作圆O 1的切线交圆O 2于B ，在直线MP 上截取PH=MP 。求证：四边形MAHB 内接于圆。（10091002-1.gsp ）
H
B
A
P
O 1
M
O 2
28．已知两个半径不等的圆O 1和圆O 2相交于M 、N 两点，且圆O 1和圆O 2分别与圆O 内切于S 、T 两点。求证：OM ⊥MN 的充要条件是S 、N 、T 三点共线。（1997年全国联赛）（10090301-3.gsp ）
N
M
O
S
O 1
T
O 2
29．设以O 为圆心的圆经过△ABC 的两个顶点A 和C ，且与边AB 、BC 分别交于K 和N ，又设△ABC 和△KBN 的外接圆交于B 和另一点M 。求证：∠OMB=90°。
（1985年IMO ）（10090301-1.gsp ）
O
M
N
B
A
C
K
30．已知：在△OAB 与△OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，直线AB 与CD 交于点P ，△PAC 与△PBD 的外接圆交于P 、Q 两点。求证：OQ ⊥PQ 。（09022301.gsp ）
Q
P
O
A
C
B
D
31．已知半圆圆心为O ，直径为AB ，一直线交半圆于C 、D ，交AB 延长线于P ，设M 是△AOC 与△BOD 外接圆除O 点外的另一交点。求证：OM ⊥MP 。（10091001.gsp ）
M
C
O
P
B
D
32．凸四边形ABCD 内接于圆O ，两组对边所在直线分别交于点E 、F ，对角线AC 、
BD 交于G ，作GH ⊥EF 于H ，圆O 的弦MN 经过G 点。求证：GH 与圆O 交点恰
是△HMN 的内心。（10092103-2.gsp ）
N
H
G
F
E
O
A
B
C
D
M
33．⊙O 为△ABC 的外接圆，P 为劣弧AB 上一点，E 、F 分别为AC 、AB 延长线上的点，BE 、CF 交于D ，PE 、PF 分别交⊙O 于S 、R 。若AD 、BC 、RS 共点，求证：点D 在⊙O 上。（10090801.gsp ）（10092103-8.gsp ）
R S
D
A
B
C
P
E
F
34．已知：D 、E 、F 分别在△ABC 三边上，满足EB ＝ED ，FC ＝FD ，O 是△ABC 外心。求证：A 、E 、O 、F 四点共圆。（09033102.gsp ）
O
F
E
A
B
C
D 35．如图，设N 是△ABC 的BAC 弧中点，M 是BC 边中点，I 是△ABC 的内心。求证：∠ANI ＝2∠IMC 。（09021701.gsp ）
I
M A
B C
36．设T 为△ABC 的内切圆与BC 边的切点，D 为BC 上任一点，I 1、I 2分别为△
ABD 、△ACD 的内心。求证：T I 1⊥T I 2。（10081701-9.gsp ）
I 1
I 2
T
C
B
A
D 37．矩形ABCD 中，AB ＝2AC 。P 是以为AB 直径的半圆上任意一点，PC 、PD 分
别交AB 于F 、E 。求证：AE 2
＋BF 2
＝AB 2
。（09013001.gsp ）
E F
D
C A B
P
38． AB 是圆O 的直径，P 是过B 所作切线上的任一点，过P 作圆O 的割线PCE ，联结直线PO 分别交AC 、AD 于E 、F 。求证：OE=OF 。（10081001-4.gsp ）
F
E
C
O
B
P
D
39．自圆O 外一点P 作切线PA 、PB 及割线PCD ，自C 作PA 的平行线，分别交AB 、
AD 于E 、F 。求证：CE=EF 。（10081001-5.gsp ）
F
E
C
A
B
O
D
P
40．A 为圆O 上一点，B 为圆外一点，BC 、BD 分别相切圆O 于C 、D ，DE 垂直AO 于E ，DE 分别交AB 、AC 于F 、G 。求证：DF ＝FG 。（09042001.gsp ）
K
G
F
E
C
D
O
A
B
41．P 为圆外一点，PA 、PD 为切线，PCE 为割线。过D 作PA 的平行线，分别与AC 延长线及线段AE 交于B 、F 。求证：D 为BF 中点。（09031302.gsp ）
F
B
C
D
A
O
P
E
42．已知P 、Q 是等腰三角形ABC （AB=AC ）内两点，满足∠ABP=∠QCB ，且∠ACP=
∠QBC 。求证：A 、P 、Q 三点共线。（10090101-1.gsp ）
Q
B
C
P
A
43．已知锐角△ABC 中，AD 是高，O 是外心，AO 的延长线交过O 、B 、C 三点的圆于P ，自P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F 。求证：DEPF 是平行四边形。（10091701.gsp ）
D
F E
P
O
A
B
C
44．已知E 、F 是圆内接四边形ABCD 对边AB 、CD 的中点，M 是EF 的中点，自E
分别作BC 、AD 的垂线，垂足记为P 、Q 。求证：MP=MQ 。（10091701-1.gsp ）
M
Q
P
F
E
A
B C
D
45．AD 为△ABC 内角平分线，I 1、I 2为△ABD 、△ACD 的内心，以I 1I 2为底向BC
边作等腰△E I 1I 2，使得∠I 1EI 2＝
12
∠BAC 。求证：DE ⊥BC 。（10081701-1.gsp ）
E
I 1
I 2
D
A
B C
46．已知P 是凸四边形内一点，满足∠PAB=∠CAD ，∠PCB=∠ACD 。求证：PB=PD
的充要条件是ABCD 四点共圆。（2004年IMO ）（10091701-6.gsp ）（09030801.gsp ）
P
A
B
C
D
47．已知D 是△ABC 底边BC 上任一点，P 是形内一点，满足∠1=∠2，∠3=∠4。求证：(PB/PC)=(AB/AC)。（09030801.gsp ）
4
3
2
1
P
A B
C
D
48．已知：D 是△ABC 的BC 中垂线上一点，I 1、I 2是△ABD 、△ACD 的内心，E 是
△ABC 外接圆弧BAC 的中点。求证：A 、E 、I 1、I 2四点共圆。（08081201.gsp ）
I 1
I 2
E
A
B
C
D
49．如图，△ABC 中，M 为BC 的中点，以AM 为直径的圆分别与AB 、AC 交于E 、F 两点，圆在E 、F 两点的切线交于点D 。求证：DM ⊥BC 。（09013101.gsp ）
D
F
E
M A
B C
50．已知：⊙O 两切线PA 、PB 和一割线PCD ，AD 、AP 交C 处的切线于E 、F ，BE 交DF 于K 。求证：K 在圆O 上。（09022201.gsp ）
K
F
E
D
A
B
O
C
P
51．设⊙O 1与⊙O 2交于C 、D 。过D 的直线交⊙O 1与⊙O 2于A 、B 。点P 在弧AD 上，PD 与AC 的延长线交于M ，Q 在弧BD 上，QD 与BC 的延长线交于N ，O 为△ABC 外心。求证：MN ⊥OD 是P 、Q 、M 、N 四点共圆的充要条件。（09020401.gsp ）
O
M
N
B
D
O 1
C
O 2
A
P
Q
52．设X 是P 点的Simson 线关于△ABC 的垂极点。求证：XP 被Simson 线所
平分。（09031903.gsp ）
X
F
E
D
A
B
C P
53．已知：AD 是高，O 、H 是外心和垂心，过D 作OD 垂线，交AC 于E 。求
证：∠DHE=∠C 。（09022202.gsp ）
H
E
O
D
A
B
C
54．△ABC 中，AD 为边BC 上的中线，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、AD 上的点，
且A 、E 、G 、F 四点共圆。设△BDE 外心为O 1、半径为r 1；△CDF 外心为O 2、半径为r 2。求证：GO 1
2
＋GO 2
2＝r 12
＋r 2
2。（09031401.gsp ）
O 2
O 1
G
F
E
D
A
B
C
55．已知P 是△ABC 内一点，A 1、B 1、C 1分别是圆弧BPC 、CPA 、APB 的中点。求
证：P 、A 1、B 1、C 1四点共圆。（09042401.gsp ）
C 1
B 1
A 1
A
B C
P 56．给定△ABC ，D 、E 、F 是边BC 、CA 、AB 上的任意三点，M 、N 分别是△BDF 、
△CDE 的外心。P 、Q 分别是BC 、MN 上的点，满足(BP/PC)=(MQ/QN)。AP 与⊙AEF 相交于R 点。求证：（1）QR=QD ；（2）∠RQD=2∠APC 。（09042601.gsp ）
R
Q
N
M
A
B
C
D
E
F
P
57．已知⊙O 1与⊙O 2交于C 、D 两点，A 、B 分别是两圆上的点，满足PA ＝PB ，E 、F 是弧AQ 、BQ 中点。求证：C 、D 、E 、F 四点共圆。（09022001.gsp ）
F
E
D C
Q
B
O 1
P
O 2
A
58．△ABC 中，D 、E 、F 是边BC 、CA 、AB 的中点，X 、Y 、Z 是各边上高的垂足，EZ 与FY 交于L ，FX 与DZ 交于M ，DY 与EX 交于N 。求证：L 、M 、N 三点共线。（10092101.gsp ）
N
L O
H
M
Z Y X E
D
F
A
B C
59．设△ABC 的内切圆分别与三边切于
D 、
E 、
F ，联结AD 交内切圆于另一点P ，