压轴题目突破练——平面解析几何
A 组 专项基础训练
一、选择题
1.已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在????0，π
12内变动时，a 的取值范围是
( )
A.(0,1)
B.??
?
?33，3
C.??
?
?
33，1∪(1，3)
D.(1，3)
答案 C
解析 直线l 1的倾斜角为π
4
，依题意l 2的倾斜角的取值范围为????π4－π12，π4∪????π4，π4＋π12，即????π6，π4∪????π4，π3，从而l 2的斜率a 的取值范围为???
?33，1∪(1，3). 2.若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是 ( )
A.(4,6)
B.[4,6)
C.(4,6]
D.[4,6]
答案 A
解析 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为|4×3－3×(－5)－2|42＋32
＝5，
所以当半径r ＝4时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，
所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4 3.已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交 点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的渐近线方程为 ( ) A.y ＝±3x B.y ＝±3 3 x C.y ＝±2x D.y ＝±2 2 x 答案 A 解析 设点P (x 0，y 0).依题意得，焦点F (2,0)， ? ???? x 0＋2＝5，y 20＝8x 0，于是有x 0＝3，y 20＝24； ???? ? a 2 ＋b 2 ＝4，9a 2－24b 2＝1， 由此解得a 2＝1，b 2＝3， 因此该双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ＝±3x . 4.已知抛物线y 2 ＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为45 5 ，点P 是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为 ( ) A.y 22－x 2 3＝1 B.y 2 －x 2 4＝1 C.y 24－x 2 ＝1 D.y 23－x 2 2 ＝1 答案 C 解析 由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)， 双曲线C ：y 2a 2－x 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为ax －by ＝0， ∵抛物线y 2 ＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为45 5 ， ∴ 2a a 2＋b 2 ＝45 5，∴a ＝2b . ∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴|FF 1|＝3，∴c 2＋4＝9，∴c ＝5， ∵c 2＝a 2＋b 2，a ＝2b ，∴a ＝2，b ＝1. ∴双曲线的方程为y 24 －x 2 ＝1，故选C. 5.已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为 ( ) A.53 B.23 C.23 D.13 答案 A 解析 由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2， ∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3. 根据勾股定理得????2a 32＋????4a 32＝(2c )2， 所以离心率e ＝c a ＝53. 二、填空题 6．双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则该双曲线的标准方程为________，渐近线方程为________． 答案 x 24－y 2 32 ＝1 y ＝±22x 解析 由题意设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则2a ＝4，即a ＝2，e ＝c a ＝3， 则c ＝6，b ＝42，所以双曲线的标准方程为x 24－y 232＝1，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x . 7.若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________. 答案 2 解析 设弦两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则? ???? y 2 1＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2. 又∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2. 8.已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆在x 轴上所截得的弦长的最小值是________. 答案 2 3 解析 由抛物线定义得以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值.设以AB 为直径的圆的半径为r ，则|AB |＝2r ≥4，r ≥2，且圆心到x 轴的距离是r －1，所以在x 轴上所截得的弦长为2r 2－(r －1)2＝22r －1≥23，即弦长的最小值是2 3. 三、解答题 9.已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴顶点为(0,2)，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于异于椭圆顶点的两点A ，B ，且AP →＝2PB → . (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围. 解 (1)由题意，知椭圆的焦点在y 轴上， 设椭圆方程为y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)， 由题意，知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆方程为y 24＋x 2 2 ＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知直线l 的斜率存在， 设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立， 即? ???? y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y ，得 (2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0， 由根与系数的关系，知????? x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2 ， x 1 ·x 2 ＝m 2 －4 2＋k 2 ， 又AP →＝2PB → ，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )， 所以－x 1＝2x 2. 则? ???? x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，所以m 2－42＋k 2＝－2????2mk 2＋k 22. 整理，得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时等式不成立， 所以k 2 ＝8－2m 29m 2－4 >0，得4 9 所以m 的取值范围为? ???－2，－23∪????2 3，2. 10．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(－3，0)，(3，0)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点E (－1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求曲线C 的轨迹方程； (2)是否存在△AOB 面积的最大值，若存在，求出△AOB 的面积；若不存在，说明理由． 解 (1)由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点， 长半轴长为2的椭圆， 故曲线C 的方程为x 24＋y 2 ＝1. (2)存在△AOB 面积的最大值． 因为直线l 过点E (－1,0)，可设直线l 的方程为x ＝my －1或y ＝0(舍)， 则????? x 24＋y 2＝1，x ＝my －1. 整理得(m 2＋4)y 2－2my －3＝0. 由Δ＝(2m )2＋12(m 2＋4)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 解得y 1＝m ＋2m 2＋3m 2＋4，y 2＝m －2m 2＋3 m 2＋4. 则|y 2－y 1|＝4m 2＋3 m 2＋4 . 因为S △AOB ＝1 2|OE |·|y 1－y 2|＝2m 2＋3m 2＋4＝ 2m 2 ＋3＋ 1 m 2＋3 . 设g (t )＝t ＋1 t ，t ＝m 2＋3，t ≥ 3. 则g (t )在区间[3，＋∞)上为增函数．所以g (t )≥43 3 . 所以S △AOB ≤3 2，当且仅当m ＝0时取等号， 即(S △AOB )max ＝3 2 . 所以存在△AOB 面积的最大值，S △AOB 的最大值为3 2 . B 组 专项能力提升 (时间：25分钟) 1.由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A.1 B.2 2 C.7 D.3 答案 C 解析 如图所示， 设直线上一点P ， 切点为Q ，圆心为M ，则|PQ |即为切线长， MQ 为圆M 的半径，长度为1， |PQ |＝|PM |2－|MQ |2 ＝|PM |2－1， 要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值， 此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离， 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ， 则d ＝ |3－0＋1| 12＋(－1)2 ＝2 2.所以|PM |的最小值为2 2. 所以|PQ |＝|PM |2－1≥(22)2－1＝7. 2.在抛物线y ＝x 2＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2＋5y 2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为 ( ) A.(－2，－9) B.(0，－5) C.(2，－9) D.(1，－6) 答案 A 解析 当x 1＝－4时，y 1＝11－4a ；当x 2＝2时，y 2＝2a －1，所以割线的斜率k ＝ 11－4a －2a ＋1 －4－2＝a －2.设直线与抛物线的切点横坐标为x 0，由y ′＝2x ＋a 得切线斜率为2x 0 ＋a ，∴2x 0＋a ＝a －2，∴x 0＝－1. ∴直线与抛物线的切点坐标为(－1，－a －4)，切线方程为y ＋a ＋4＝(a －2)(x ＋1)， 即(a －2)x －y －6＝0. 圆5x 2＋5y 2＝36的圆心到切线的距离d ＝6(a －2)2＋1.由题意得6(a －2)2＋1 ＝6 5， 即(a －2)2＋1＝5.又a ≠0， ∴a ＝4，此时，y ＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9， 顶点坐标为(－2，－9). 3.过椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的 交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________. 答案 63 解析 由题意知A 点的坐标为(－a,0)， 设直线的方程为y ＝x ＋a ， ∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为????－a 2，a 2， 代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴2a 2＝3c 2，∴e ＝ 6 3 . 4.设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，则|AF |＋4|BF |的最小值为________. 答案 92 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义可得|AF |＋4|BF |＝x 1＋p 2＋4????x 2＋p 2＝x 1＋12＋4????x 2＋12＝x 1＋4x 2＋52，设直线AB 的方程为ky ＝x －1 2，联立抛物线方程得方程组????? ky ＝x －12，y 2＝2x 消元整理得y 2－2ky －1＝0，由根与系数的关系可得y 1y 2＝－1，又A ，B 在抛物线上，代入方程得y 21y 22＝2x 1·2x 2＝4x 1x 2＝1，即x 1x 2＝14，因此根据基本不等式|AF |＋4|BF |＝x 1＋4x 2＋52≥2x 1×4x 2＋52＝2＋52＝92，当且仅当x 1＝4x 2时取得最小值92 . 5.已知抛物线Ω的顶点是坐标原点O ，焦点F 在y 轴正半轴上，过点F 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，且满足OM →·ON → ＝－3. (1)求抛物线Ω的方程； (2)若直线y ＝x 与抛物线Ω交于A ，B 两点，在抛物线Ω上是否存在异于A ，B 的点C ，使得经过A ，B ，C 三点的圆和抛物线Ω在点C 处有相同的切线？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)依题意，设抛物线Ω的方程为x 2＝2py (p >0)， 则F (0，p 2 )， 由直线l 的斜率存在，设为k ， 得l 的方程为y ＝kx ＋p 2 ， 联立方程???? ? x 2 ＝2py ，y ＝kx ＋p 2，消去y 并整理， 得x 2－2pkx －p 2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－p 2， 又y 1y 2＝(kx 1＋p 2)(kx 2＋p 2) ＝k 2 x 1x 2＋12kp (x 1＋x 2)＋p 2 4 ＝k 2 ·(－p 2 )＋12kp ·2kp ＋p 24＝p 2 4 . 所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－p 2＋p 2 4 ＝－3， 因为p >0，解得p ＝2， 故所求抛物线Ω的方程为x 2＝4y . (2)联立方程????? x 2＝4y ， y ＝x ， 可求得A (0,0)，B (4,4)， 假设抛物线Ω上存在异于A ，B 的点C ，且设C 的坐标为(t ，t 2 4)(t ≠0，t ≠4)，使得经过A ， B ， C 三点的圆和抛物线Ω在点C 处有相同的切线， 令圆心为E (a ，b )，则由? ???? |EA |＝|EB |， |EA |＝|EC |， 得? ??? ? a 2＋ b 2＝(a －4)2＋(b －4)2 ，a 2＋b 2＝(a －t )2 ＋(b －t 24)2， 即? ???? a ＋ b ＝4，4a ＋tb ＝2t ＋t 3 8，解得??? a ＝－t 2＋4t 8 ， b ＝t 2＋4t ＋328. ① 因为抛物线Ω在点C 处的切线斜率k ′＝y ′|x ＝t ＝t 2(t ≠0，t ≠4)， 又该切线与EC 垂直，所以b － t 24a －t ·t 2＝－1， 即2a ＋bt －2t －t 3 4 ＝0. ② 将①代入②得，2(－t 2＋4t 8)＋t ·t 2＋4t ＋328－2t －t 3 4＝0， 即t 3－2t 2－8t ＝0，因为t ≠0，t ≠4，解得t ＝－2. 故存在点C 且坐标为(－2,1).
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