1. (2012 湖南省娄底市) 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是
（A ）2892(1)x -=256
（B ）2562
(1)x -=289 （C ）289(12)x -=256 （D ）256(12)x -=289
答案：A
20120821085521015817 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 选择题 基础知识 2012-08-21
2. (2012 湖南省湘潭市) 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在已备足可以砌50m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为2
300m .
答案：解：设AB 长为x 米，由题意可得：
300)250(=-x x
解得:101=x ，152=x
当10=x 时，AD =30>25，所以10=x 应舍去
当15=x 时，AD =20<25，所以15=x 满足条件
答：可设计矩形花园的长为20m,宽为15m.
20120814160606005780 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 应用题 双基简单应用 2012-08-14
3. (2012 广西贺州市) 某生物实验室需培育一群有益菌.现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
（1）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?
（2）按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？
答案：解：
（1）设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x 个有益菌，根据题意得
260(1)24000x +=
解之，得 1
19x = 221(x =-不合题意，舍去） ∴ 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌．
（2）经过三轮培植后，得 33
60
1+19=6020=480000?（） 答：经过三轮培植后共有480000个有益菌．
20120814110908968763 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 应用题 基础知识 2012-08-14
4. (2012 四川省绵阳市) 一个长方形的长减少5 cm ，宽增加2 cm ，就变成了一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的面积为 cm ．
答案：100∕9
20120814103013759130 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 填空题 双基简单应用 2012-08-14
5. (2012 广西钦州市) 近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6 000万元，2011年投入8 640元.
（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9 500万元，若继续保持前两年的年平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由.
答案：解：（1）设2009年至2011年该县投入教育经费的平均增长率为x ，
根据题意，得()2600018640.x +=
解方程，得120.2 2.2x x ==-，（不合题意，舍去）.
答：2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率为20%. （2）∵()8640
120%103689500+=>， ∴该目标能实现.
20120814101911609763 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 应用题 基础知识 2012-08-14
6. (2012 广东省) 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5 000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7 200万人次.若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？
答案：解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x .
依题意，得25000(1)
7200x +=. 3分 解得120.2 2.2x x ==-，（不合题意，舍去）
． 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%.
5分 （2）若2012年仍保持相同的年平均增长率，则预测2012年我国公民出境旅游总人数约7200(120%)8640?+=（万人次）.
答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8 640万人次. 7分
20120803113629921004 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 应用题 基础知识
2012-08-03
7. (2012 甘肃省兰州市) 兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x 米，则可列方程为（ ）
（A ）(10)200x x -= （B ）22(10)200x x +-=
（C ）22(10)200x x ++= （D ）(10)200x x +=
答案：D
20120803094813389714 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 选择题 双基简单应用 2012-08-03
8. (2012 湖北省宜昌市) 低碳生活的理念已逐步被人们所接受．据相关资料统计：一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约18千克；一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约6千克．
问题解决
甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电”、“少买衣服”的倡仪．2009年两校响应本校倡议的人数共60人，因此而减排的二氧化碳总量为600千克．
（1）2009年两校响应本校倡议的人数分别多少？
（2）2009年到2011年，甲校响应本校倡议的人数每年增加相同的数量；乙校响应本校倡议的人数每年按相同的百分率增长．2010年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍；2011年两校响应本校倡议的总人数比2010年两校倡议的总人数多100人．求2011年两校因响应本校倡议减排二氧化碳的总量．
答案：解：（1）方法一：设2009年甲校响应倡议的人数为x 人，乙校响应倡应的人数为y 人， 依题意得：
60186600x y x y +=??+=?，．
解之得20x =，40y =．
方法二：设2009年甲校响应倡议的人数为x 人，则乙校响应倡议的人数为(60)x -人，
依题意得：186(60)600x x +-=，
解之得206040x x =-=，．
∴2009年甲、乙两校应倡议的人数分别是20人和40人．
（2）设2009年到2011年，甲校响应倡议的人数每年增加m 人；乙校响应倡议人数每年增长的百分率为n ．依题意得：
2(20)240(1)(202)40(1)(20)40(1)100m n m n m n +?=?+??+++=++++?，①．
② 由①得20m n =，代入②并整理得22350n n +-=．
解之得11n =，20.5n =-（负值舍去）.
20m ∴=．
∴2011年两校因响应本校倡议减排二氧化碳总量为：
2(20220)1840(11)62040+??++?=（千克）
． 答：2011年两校因响应本校倡议减排二氧化碳总量为2 040千克.
20120803083606156108 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 应用题 基础知识 2012-08-03
9. (2012 四川省成都市) 一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都 是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
（A ）100(1)121x += （B ）100(1)121x -=
（C ）2100(1)121x += （D ）2100(1)121x -=
答案：C
20120803082226500484 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 选择题 基础知识 2012-08-03
10. (2012 江苏省徐州市) 本题8分）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电作如下规定：一间宿舍一个月用电量若不超过a 千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a 千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交100
a 元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元．
（1）求a 的值；
（2）该宿舍5月份交电费为45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？
答案：1）由题意，可得 (80)2035100
a a -+=. …………………………………………2分 整理得 28015000a a -+=． …………………………………………………………3分 解得：1a = 50 ，230a =． ……………………………………………………………4分 因为45a ≥，230a = 不合题意舍去． ………………………………………………5分 ∴a ＝50． ……………………………………………………………………………6分
（2）法一：设该宿舍5月份用电量为x 千瓦时． 由题意，得50(50)2045100x -?
+=． …………………………………………………7分 解得：100x =．
答：该宿舍5月用电量为100千瓦时． ……………………………………………8分 法二：50(4520)50100100
-÷+=． 答：该宿舍5月用电量为100千瓦时．………………………………………………8分
20120726164229593765 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 应用题 基础知识 2012-07-26
11. (2012 福建省龙岩市) 为落实房地产调控政策，某县加快了经济适用房的建设力度.2011年该县政府在这项建设中已投资3亿元，预计2013年投资5.88亿元，则该项投资的年平均增长率为_______.
答案：40%
20120723093616921331 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 填空题 基础知识 2012-07-23
12. (2012 山东省济宁市) 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
答案：解：因为60棵树苗售价为120元×60＝7 200元＜8 800元，
设该校共购买了x 棵树苗，由题意得：
()1200.5608800x x --=????.
解得：1
220x =，280x =. 当1
220x =时，()1200.52206040100-?-=<， ∴1
220x = 不合题意，舍去； 当280x =时，()1200.58060110100-?-=>，
∴80x =.
答：该校共购买了80棵树苗．
20120720152902593078 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 应用题 基础知识 2012-07-20
13. (2012 广西南宁市) 某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有：（ ）
（A ）7队 （B ）6队
（C ）5队 （D ）4队
答案：C
20120713100518546056 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 选择题 基础知识 2012-07-13
14. (2012 山西省) （本题10分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克.若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
答案：解：（1）设每千克核桃应降价x 元.
根据题意，得()6040100202240.2x x ??--+
?= ??? 化简，得210240.x x -+=解得124 6.x x ==，
答：每千克核桃应降价4元或6元.
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60-6=54（元），
54100%90%.60
?= 答：该店应按原售价的九折出售.
20120709142444359131 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 应用题 基本技能 2012-07-09
15. (2012 四川省宜宾市) 某市政府为落实“保障性住房建设”这一惠民政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年，将累计投入 10.5亿元资金用于保障性住房建设．
（1）求到2012年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；
（2）设（1）中方程的两根分别为1x 、2x ，且2221122
4mx m x x mx -+的值为12，求m 的值．
答案：解：（1）设到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x ，
根据题意得：233(1)3(1)
10.5x x ++++= （2）由（1）得，230.50x x +-=
由根与系数的关系得，12
230.5x x x x +=-=-1，
又2221122412mx m x x mx -+= 22121212()2412m x x x x m x x ??∴+--=??
[]2914(0.5)12m m +-?-=
2560m m ∴+-=
解得，6m =-或1m =
20120709132743593063 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 应用题 解决问题 2012-07-09
16. (2012 浙江省绍兴市) 把一边长为40cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．
①要使折成的长方体盒子的底面积为484cm 2
，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为550cm 2，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．
答案：解：（1）①设剪掉的正方形的边长为cm x ，
则()2402484x -=，
即40222x -=±，解得131x =（不合题意，舍去），29x =
∴剪掉的正方形的边长为9cm ．
②侧面积有最大值．
设剪掉的正方形的边长为cm x ，盒子的侧面积为2cm y ，
则y 与x 的函数关系式为：()4402y x x =-
即28160y x x =-+，
改写为()2810800y x =--+，∴当10x =时，800y =最大．
即当剪掉的正方形的边长为10cm 时，长方体盒子的侧面积最大为2800cm ．
（2）在如图的一种裁剪图中，设剪掉的正方形的边长为cm x ，
()()()()2402202202402550x x x x x x --+-+-=．
解得135x =-（不合题意，舍去），215x =．
∴剪掉的正方形的边长为15cm ．
此时长方体盒子的长为15cm ，宽为10cm ，高为5cm ．
20120706145957875575 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 应用题
基础知识 2012-07-06
17. (2012 浙江省绍兴市) 小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索．
思考题如图，一架2.5米长的梯子AB 斜靠在竖直的墙AC 上，这时B 到墙C 底端的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B 将向外移动多少米？
（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：设点B 将向外移动x 米，即1BB x =，
则1110.70.42B C x A C AC AA =+=-=
=，， 而11 2.5A B =，在11Rt A B C △中，由2221111BC AC A B +=，
得方程_____________，
解方程得1x =_________，2x =_________.
∴点B 将向外移动____________米.
（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
问题一在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？
问题二在“思考题”中，梯子的顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题．
答案：解：（1）()2
220.72 2.5x ++=， 0.8 2.2，-（舍去），0.8．
（2）①不会是0.9米，
若110.9AA BB ==，则11
2.40.9 1.50.70.9 1.6AC BC =-==+=，．
2221.5 1.6 4.812.5 6.25+==，．
2221111AC BC A B +≠，∴该题的答案不会是0.9米．
②有可能．
设梯子顶端从A 处下滑x 米，点B 向外也移动x 米，
则有()()22
20.7 2.4 2.5x x ++-=． 解得： 1.7x =或0x =（舍去）．
∴当梯子顶端从A 处下滑1.7米时，点B 向外也移动1.7米，即梯子顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等．
20120706145957781381 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 阅读理解与信息迁移 基础知识 2012-07-06
18. (2012 四川省乐山市) 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
答案：解：（1）设平均每次下调的百分率为x ．
由题意，得()251 3.2x -=．
解这个方程，得120.2 1.8x x ==，．
因为降价的百分率不可能大于1，所以2
1.8x =不符合题意，
符合题目要求的是10.220%x ==．
答：平均每次下调的百分率是20%．
（2）小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：3.20.9500014400??=（元），
方案二所需费用为：3.25000200515000?-?=（元），
1440015000<，∴小华选择方案一购买更优惠．
20120706112114968963 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 应用题 解决问题 2012-07-06
19. (2012 江苏省南京市) 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部。月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元。 ① 若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元；
② 如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）．
答案：解：（1）26.8.
（2）设需要售出x 部汽车，
由题意可知，每部汽车的销售利润为[]28270.1(1)(0.10.9)x x -
--=+（万元）. 当010x ≤≤时，
根据题意，得(0.10.9)0.512x x x ?++=.
整理，得2141200x x +-=.
解这个方程，得1
20x =-（不合题意，舍去）
，26x =. 当10x >时，
根据题意，得(0.10.9)12x x x ?++=.
整理，得2191200x x +-=.
解这个方程，得124x =-（不合题意，舍去）
，25x =. 因为510<，所以25x =舍去.
答：需要售出6部汽车.
20120706104615937211 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 应用题 基础知识 2012-07-06
20. (2012 山东省莱芜市) 为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元，已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年该市要投入的教育经费为__________万元．
答案：3000
20120705171009109380 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 填空题 解决问题 2012-07-05
21. (2012 广东省汕头市) 据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5 000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7 200万人次.若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？
答案：解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x .
依题意，得25000(1)
7200x +=. 解得120.2 2.2x x ==-，（不合题意，舍去）
．
答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%.
（2）若2012年仍保持相同的年平均增长率，则预测2012年我国公民出境旅游总人数约7200(120%)8640?+=（万人次）.
答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8 640万人次.
20120705163906171686 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 应用题 解决问题 2012-07-05
22. (2012 湖北省襄阳市) 为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m ，宽20m 的长方形空地，建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为2
532m ，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
答案：解：设小道进出口的宽度为x 米，依题意得
()()30220532x x --=．
整理，得235340x x -+=．
解得，12134x x ==，．
3430>（不合题意，舍去），1x ∴=．
答：小道进出口的宽度应为1米．
20120704160748421523 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 应用题 解决问题 2012-07-04
23. (2012 山东省青岛市) 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x 米，则根据题意可列方程为_________ ．
答案：(22)(17)300x x --=
20120702145516875363 4.5 利用一元二次方程解决实际问题 选择题 基础知识 2012-07-02
24. (2012 山东省滨州市) 滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空． 解：设应邀请x 支球队参赛，则每对共打 场比赛，比赛总场数用代数式表示为 ．根据题意，可列出方程 ．
整理，得 ．
解这个方程，得 ．
合乎实际意义的解为 ．
答：应邀请 支球队参赛．
答案：滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．
解：设应邀请x 支球队参赛，则每队共打()1x -场比赛，比赛总场数用代数式表示为()1
12x x -．根据题意，可列出方程()1
128.2x x -=
解这个方程，得128,7x x ==-．
合乎实际意义的解为8x =．
答：应邀请 8 支球队参赛．
20120629104245031969 4.5 利用一元二次方程解决实际问题
应用题 基础知识 2012-06-29
一元二次方程的应用——利润问题教学设计 教学目标： 知识与技能目标 （1）以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法. （2）通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来 解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程. 过程与方法目标 通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动， 发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习 热情。 情感态度与价值观目标 使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学 习活动中获得成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学、热爱生活. 教学重点： 列一元二次方程解利润问题应用题. 教学难点： 发现利润问题中的等量关系，将实际问题抽象成数学问题. 教法： 创设情境——引导探究——类比归纳——鼓励创新. 学法： 自主探索——合作交流——反思归纳——乐于创新. 教学过程： 一、创设情境、导入新课 古时候，一个农夫拿者一根竹竿进城，可是竖着拿，竹竿比城门高3尺，横着拿，竹竿比城门宽6尺，进不去，结果沿着城门的两个对角斜着拿，刚好进去，聪明的同学，你知道竹竿有多长吗？ 设竹竿为x尺.则： （1）城门高________尺； （2）城门宽________尺； （3）城门的高a、宽b、两个对角之间的长度c满足什么关系？ 二、探索新知 例1. 某种服装,平均每天可销售20件,每件盈利44元.若每件降价1元,则每天可多售5件.如果每天盈利1600元,应降价多少元? 等量关系： 分析：若设每件衣服降价x元，每件盈利（44-x）元，每天售出（20+5x）件。 解：设每件衣服降价x元，根据题意得。 （44-x）（20+5x）=1600 整理得x2-40x+144=0 解得：x1=36 x2=4 答：每件衣服应降价36元或4元。
用一元二次方程解决几何图形问题 基础题 知识点1一般图形的问题 1．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为(B) A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900 C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900 2．(山西农业大学附中月考)从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是(B) A．100 m2B．64 m2 C．121 m2 D．144 m2 3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为2__cm，7__cm． 4．(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12m. 5．(深圳中考)一个矩形周长为56厘米． (1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？ (2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由． 解：(1)设矩形的长为x厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意，有 x(28－x)＝180. 解得x1＝10(舍去)，x2＝18.
则28－x＝28－18＝10. 答：长为18厘米，宽为10厘米． (2)设矩形的长为y厘米，则宽为(28－y)厘米，依题意，有 y(28－y)＝200. 化简，得y2－28y＋200＝0. ∴Δ＝282－4×200＝784－800＝－16＜0. ∴原方程无实数根． 故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形． 知识点2边框与甬道问题 6．(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为(C) A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 7．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等
课 题 一元二次方程的应用 授课时间： 2016-03-26 8：00——10:00 备课时间：2016-03-24 教学目标 1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。 重点、难点 会运用一元二次方程解决简单的实际问题 考点及考试要求 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题 教 学 内 容 第一课时 一元二次方程的应用知识梳理 1.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 2.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）.22(3)5x x -+= （2）.22330x x ++= 课前检测
1. 一元二次方程的实际应用????? ???????????????动点问题数字问题面积问题 利润问题增长率（降低率）问题常见类型、答步骤：设、列、解、验 2. 解题循环图： 3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。 第二课时 一元二次方程的应用典型例题 考点一：增长率（降低率）和利润问题 典型例题 知识梳理
（一）增长率（降低率）问题： 【例1】某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率． （二）利润问题： 【例2】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低1元，商场平均每天可多售出2件，求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。
一元二次方程的解法详细解析 【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】例1：已知，解关于的方程。分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解：由得：或，当时，原方程为，即，解得.当时，原方程为，即，解得，.说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才
是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2：用开平方法解下面的一元二次方程。（1）；（2）（3）；（4）分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。解：（1）∴（注意不要丢解）由得，由得，∴原方程的解为：，（2）由得，由得∴原方程的解为：，（3）∴∴∴，∴原方程的解为：，（4）∴，即∴，∴，∴原方程的解为：，说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。例3：用配方法解下列一元二次方程。（1）；（2）分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：，接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解：（1）二
增长率问题：1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子） 5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为 商品定价：1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a 元，则可卖出（350－10a ）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。 3、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少? 4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾 风景区旅游，推出了如图1对话中收 费标准.某单位组织员工去天水湾风景区 旅游，共支付给春秋旅行社旅游费 用27000元. 水湾风景区旅游？ 图 1
1.4 用一元二次方程解决问题(一) 1. 用一元二次方程解决实际问题要经历审题、找出 、设 、列 、解方 程、 、写出 答案的过程. 2. 用一元二次方程解决问题的关键是 . 3. 从一块正方形的木板上锯掉2m 宽的长方形木条，剩下的面积是482m ，则原来这块木 板的面积是（ ） A. 1002m B. 642m C. 1212m D. 1442m 4. 如图，在长为100m ，宽为80 m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道 路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644 2m ，则道路的宽应为多少米? 设道的宽为x 米，则可列方程为 （ ） A. 10080100807644x x ?--= B. (100)(80)27644x x x --+= C. (100)(80)7644x x --= D. 10080356x x += 5. 如图，对一块长60 m 、宽30 m 的长方形荒地进行改造，要在其四周留一条宽度 相等的人行道，中间部分建成一块面积为1 000 m “的长方形绿地，求人行道的宽度. 6. 如图，某养殖场要用防护网围成长方形养鸡场地，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2m 宽的门.现有防护网的长度为91 m ，场地的面积需要1080 2m ，若墙长50 2m ，求场地的长和宽. （1） 一变:若墙长46 m ，求场地的长和宽； （2） 二变:若墙长40 m ，求场地的长和宽； （3） 通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？ 7. 从正方形的铁片上截去8 cm 宽的一条长方形，余下部分的面积是48 2cm 时，则原来 的正方形铁片的面积为（ ） A. 8 2cm B. 16 2cm C. 64 2cm D. 144 2cm
2.6 应用一元二次方程 第1课时利用一元二次方程解决几何问题 基础题 知识点利用一元二次方程解决几何问题 1．(天水中考改编)一个三角形的两边长分别为5和3，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的面积是( ) A．6 B．3 C．4 D．12 2．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程( ) A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24 C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48 3．(咸宁中考)用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为( ) A．20 B．40 C．100 D．120 4．(佛山中考)如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( ) A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m 5．(济南中考)将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子．已知盒子的容积为300 cm3，则原铁皮的边长为( ) A．10 cm B．13 cm C．14 cm D．16 cm 6．如图，某小区内有一块长、宽比为2∶1的矩形空地，计划在该空地上修筑两条宽均为2 m的互相垂直的小路，余下的四块小矩形空地铺成草坪，如果四块草坪的面积之和为312 m2，请求出原来大矩形空地的长和宽． (1)请找出上述问题中的等量关系：________________________________； (2)若设大矩形空地的宽为x m，可列出的方程为______________________________，方程的解为________________________，原来大矩形空地的长和宽分别为____________． 7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过________秒钟，使△PBQ 的面积等于8 cm2
一元二次方程的应用 1．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元． （1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元． 2．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷． （1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率； （2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？ 3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？ 4．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件； （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 6．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中： 销售单价（元）x 销售量y（件） 销售玩具获得利润w（元） （2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元． 7．利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．
一元二次方程公式法的推导及应用 公式法是学习了“配方法”、“直接开方法”解方程之后，必须掌握的另一种解一元二次方程的方法。它为以后学习二次函数及解决生活中的一些实际问题起了铺路石的作用。掌握公式法的关键是掌握公式法的推导和应用，下面举例予以说明，供同学们学习参考。 一、一元二次方程公式法的推导 在探究一元二次方程公式法的推导过程中，能让我们更进一步体会公式法、直接开平方、配方法的内在联系，领悟化归的解题思路，不断提高分析问题能力和解决问题的能力. 例1如何将)0(02 ≠=++a c bx ax 转化成04(2422≥--±-=ac b a ac b b x ）的形式. 分析：根据等式的性质，把)0(02≠=++a c bx ax 转化为完全平方式，再根据开平方的意义就可以转化成024(2422≥--±-=ac b a ac b b x ）。 解：方法一：)0(02≠=++a c bx ax . 因为0≠a ,所以02=++ a c x a b x . 移项,得a c x a b x -=+2. 配方,得222 )2()2(a b a c a b x a b x +-=++,即22244)2(a ac b a b x -=+. 因为0≠a ,所以042 a ,当042≥-ac b 时,直接开方,得 a ac b a b x 2422-±=+. 所以a ac b a b x 2422-±-=. 即a ac b b x 2421-+-=,a ac b b x 2422---=. 方法二：)0(02≠=++a c bx ax . 方程两边都乘a 4,得044422=++ac abx x a .
第八届全国初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动 教案说明 课题：22.2 降次----解一元二次方程（第2课时） 单位：河南省安阳市梅园中学 姓名：张立界 日期：2012年9月16日
22.2 降次----解一元二次方程（第2课时） 教案说明 河南省安阳市梅园中学张立界 一、教材分析 本节课选自人教版数学教材九年级上册第22章第2节降次----解一元二次方程（第2课时）. 一元二次方程的基本解法包括配方法、公式法和因式分解法等.解一元二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，就是降次.配方法是解一元二次方程的重要方法，是在学生已掌握直接开平方法解方程的基础上，讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比一边为完全平方形式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法.有了配方法的基础，可以得到解一元二次方程的另一重要方法—公式法，进而引出判别式及根与系数的关系，为以后学习二次函数打下良好基础. 二、目标分析 1.知识与技能 理解配方法的算理，会用配方法解一元二次方程. 2.过程与方法 通过对一元二次方程二次项系数是否为1的分类处理，让学生体会转化的数学思想方法，锻炼学生的抽象概括能力. 3.情感态度价值观 通过使用导学案，培养学生的探究精神和自学能力，形成良好的学习习惯.通过“每天四道题，天天爱学习”的训练，化整为零，化难为易，增加数学的趣味性，让学生在解题中感受到成功的喜悦. 三、教法分析 本课采用“自主、探索、导引”教学思路，学生先学后教，先练后讲，把学习的主动权还给学生，突出学生的主体地位.“导学案”的设计，由易到难，由简到繁，层层推进，让学生逐步学会学习.根据时间安排，导学案可让学生提前预习时完成，节约课堂时间，让学生在课堂上讲思路、讲解法，可进一步提升学生学习能力. 四、教学问题诊断 学生的知识储备：学生已了解平方根和算术平方根概念，已掌握完全平方公 式，会解一元一次方程.前两节已理解一元二次方程的概念，上一节已学过直接开平方法解一元二次方程.具备了学习本课时的基础知识. 学生的能力水平：学生在学习一元一次方程和分式方程中已了解“化归”数学思想，具备了学习本课时的能力.
一、相关知识点 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02 =++c bx ax 才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 二．解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如n x =2 或)0()(2 ≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未 知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2 的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0
一元二次方程应用题经典题型汇总 （一）传播问题 1. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续 两次降价后，由每盒200 元下调至128 元，则这种药品平均每次降价的百分率为 2. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，每轮传染中平均一个 人传染了个人。 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主 干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。 4. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45 场比赛，共有 个队参加比赛。 5. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共 互赠了182 件，这个小组共有多少名同学？ 6. 一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72 张，这个小组共有多 少人？ 7. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑？若病毒得不到有效控制， 3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过700 台？
（二）平均增长率问题 变化前数量×（1x）n＝变化后数量 1. 青山村种的水稻2001 年平均每公顷产7200 公斤，2003 年平均每公顷产8450 公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2. 某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90 元降到了40 元，求平均每 次降价率是。 3. 某种商品，原价50 元，受金融危机影响， 1 月份降价10％，从2 月份开始涨价， 3 月份的售价为64.8 元，求2、3 月份价格的平均增长率。 4. 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求 每次降价的百分率？ 5. 为了绿化校园，某中学在2007 年植树400 棵，计划到2009 年底使这三年的植 树总数达到1324 棵，求该校植树平均每年增长的百分数。
4.3用一元二次方程解决问题（1） 目标导航： 知识要点： 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题． 学习要点： 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 基础巩固题 1、长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________． 2、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______． 3、直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）． A．37B．5 C．38D．7 4、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（）． A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m; B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m; C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m; D．以上都不对 5、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）． A．8cm B．64cm C．8cm2D．64cm2 6、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2?的长方形花台，要使花坛四周的宽地 宽度一样，则这个宽度为多少? 7、某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，?上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 8、如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，?正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，?
22．2降次--解一元二次方程（第一课时） 22.2.1 配方法(1) ◆随堂检测 1、方程32x +9=0的根为（ ） A 、3 B 、-3 C 、±3 D 、无实数根 2、下列方程中，一定有实数解的是（ ） A 、210x += B 、2(21)0x += C 、2(21)30x ++= D 、21()2x a a -=3、若22 4()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（ ） A 、p=4，q=2 B 、p=4，q=-2 C 、p=-4，q=2 D 、p=-4，q=-2 4、若28160x -=，则x 的值是_________． 5、解一元二次方程是22(3)72x -=． 6、解关于x 的方程（x+m ）2=n ．◆典例分析 已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求22 2x y x y -+的值．分析：本题中一个方程、两个未知数，一般情况下无法确定x 、y 的值．但观察到方程可配方成两个完全平方式的和等于零，可以挖掘出隐含条件x=-2和y=3，从而使问题顺利解决．解：原方程可化为（x+2）2+（y-3）2=0， ∴（x+2）2=0，且（y-3）2=0， ∴x=-2，且y=3， ∴原式=2681313 --=-．◆课下作业 ●拓展提高 1、已知一元二次方程032=+c x ，若方程有解，则c ________． 2、方程b a x =-2 )(（b ＞0）的根是（ ） A 、b a ± B 、)(b a +± C 、b a +± D 、b a -±
3、填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2 4、若2 2(3)49x m x +-+是完全平方式，则m 的值等于________． 5、解下列方程：（1）(1+x)2-2=0；(2)9(x-1)2-4=0． 6、如果x 2-4x+y 2，求()z xy 的值．●体验中考 1、（2008年，丽水）一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=， 则另一个一次方程是_____________. 2、（2009年，太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．2(1)6x += B ．2(1)6x -= C ．2(2)9x += D ．2(2)9x -=
用一元二次方程解决传播问题 基础题 知识点1传播问题 1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x满足的方程是(B) A．1＋x2＝81 B．(1＋x)2＝81 C．1＋x＋x2＝81 D．1＋x＋(1＋x)2＝81 2．(大同一中期末)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为(A) A．1＋x＋x(1＋x)＝100 B．x(1＋x)＝100 C．1＋x＋x2＝100 D．x2＝100 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支？ 解：设每个支干长出x个小分支，根据题意，得 1＋x＋x2＝111. 解得x1＝10，x2＝－11(舍去)． 答：每个支干长出10个小分支．
知识点2 握手问题 4．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为(C) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 5．某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空． 解：设应邀请x 支球队参赛，则每队共打(x －1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为12x(x －1)． 根据题意，可列出方程12x(x －1)＝28． 整理，得x 2－x －56＝0． 解得x 1＝8，x 2＝－7． 合乎实际意义的解为x ＝8． 答：应邀请8支球队参赛． 6．一条直线上有n 个点，共形成了45条线段，求n 的值． 解：由题意，得12n(n －1)＝45. 解得n 1＝10，n 2＝－9(舍去)． 答：n 等于10.
一元二次方程及其应用 ◆课前热身文档设计者： 设计时间 ： 文档类型： 文库精品文档，欢迎下载使用。Word 精品文档，可以编辑修改，放心下载 1．如果2是一元二次方程x 2 ＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ． 2.方程042=-x x 的解______________． 3．方程240x -=的根是（ ） A ．2x = B ．2x =- C ．1222x x ==-， D ．4x = 4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ． 【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.2 16(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断， 注意一元二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接
1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如)0(2 ≥=a a x 或)0()(2 ≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二 次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2 ()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解. （3）公式法：一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 221,2 4(40)2b b ac x b ac a -±-=-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程 的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. ◆典例精析 例1（湖南长沙）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程， 原方程成立，即06332 =--k 成立，解得k=1。故选A 。 例2（湖北仙桃）解方程：2 420x x ++= 【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解. 【答案】2 42x x +=-
1：某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 解：设没件降价为x，则可多售出5x件，每件服装盈利44-x元， 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得：x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 要找准关系式 2.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行·列数相同，增加了多少行多少列？ 解：设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60+2（70-65）＝70kg，那么获总利为1950*7000/70＝195000元,当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为（70-30）*7000-117*500＝221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.
用一元二次方程解决问题 课前参与 预习内容：课本P27-28； 知识目标：能用一元二次方程解决“行程问题及几何图形问题”。 引例1.如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O 点的正北方向10海里外的A 点有一涉嫌走私船只正以24海里/时 的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向， 以26海里/时的速度追赶。在涉嫌船只不改变航向和航速的前提 下，问需要几小时才能追上（点B 为追上时的位置）？ 【思考】如何设未知数？可以利用哪些图形性质找出相等关系？ 引例2.如图，在矩形ABCD 中，AB=6 cm ，BC=12 cm ，点P 从点A 沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；同时，点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动。 问：（1）△PDQ 的面积能为8 cm 2吗?为什么? （2）几秒钟后△DPQ 的面积等于28cm 2？ （3）几秒后PQ ⊥DQ? 【思考】把在图中的各线段长用x 的代数式表示出来。 课中参与 例：如图，某海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B ，?在B 的正东方向200海里处有一重要目标C ，小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补给码头：?小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向，一艘军舰从A 出发，经B 到C 匀速巡航，一膄补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰． （1）小岛D 和小岛F 相距多少海里? （2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，?那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里） 课中检测： P Q C B A D
23.4 一元二次方程的应用 情境切入 学海导航 完全解读 知能点1、列一元二次方程解实际应用题的一般步骤 列方程解实际应用问题历来是初中学生的难点，究其原因是理论指导不充分，必须熟练掌握解应用题的一般步骤才能准确解答各种类型的应用题，具体的步骤一般是：（1）审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系； （2）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异； （3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程； （4）解：求出所列方程的解； （5）检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；
（6）答：写出答案． 友情提醒：列方程解应用题应该注意的一些问题 （1）要注意各类应用题中常用的等量关系．例如面积问题中有关的面积公式，还要注 意挖掘题目中隐含的等量关系； （2）注意语言与代数表达式的互化．题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转 化成代数式才能为列方程服务；注意从语言叙述中写出等量关系； （3）注意单位问题：一是在设元时必须写清单位，用对单位，例如不要把速度单位写 成路程单位．二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致． 例1、某种商品原价50元。因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售 价为64.8元,则4、5月份两个月平均涨价率为 . 思维点击：由题意，3月份的售价可以用50×（1—10%）表示，若设4、5月份两个月 平均涨价率为x ，则4月份的售价是50×（1—10%）×（1+x ），5月份的售价是50×（1—10%）×（1+x ）（1+x ）即50×（1—10%）×（1+x ）2 ，由于5月份的售价已知，所以可列出一个方程，进而解决本题。 解：设4、5月份两个月平均涨价率为x ，由题意，得 50×（1—10%）×（1+x ）2=64.8。整理，得（1+x ）2=1.44. 解得：120.220%, 2.2x x ===-（不合题意，舍去）。 所以4、5月份两个月平均涨价率为20%。 解后反思：列方程解应用题，要注意求得的方程的解必须符合题意。 例2、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四 个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长. 思维点击：设截去正方形的边长x 厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和 宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式. 解：设截去正方形的边长为x 厘米，根据题意，得