考点1 锐角三角函数的定义
锐角角A 的正弦（sin ）,余弦（cos ）和正切（tan ）,都叫做角A 的锐角三角函数。 正弦（sin ）等于对边比斜边， 余弦（cos ）等于邻边比斜边 正切（tan ）等于对边比邻边. 例题1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝α，若BC ＝m ，则AB 的长为（ ） A ．
m cosα
B ．m ?cos α
C ．m ?sin α
D ．m ?tan α
【分析】根据解直角三角形的三角函数解答即可． 【解析】如图所示：
∵cosα=BC
AB ，∴AB =m
cosα， 故选：A ．
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，关键是根据学生的理解能力和计算能力解答．
变式1 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，下列各组线段的比不能表示sin ∠BCD 的（ ）
A ．
BD BC
B ．
BC
AB
C ．
CD BC
D ．
CD AC
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD ＝∠A ，再解直角三角形得出即可． 【解析】∵CD ⊥AB ，∴∠CDA ＝∠CDB ＝90°，
∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD +∠ACD ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°， ∴∠BCD ＝∠A ，∴sin ∠BCD ＝sin A =BC
AB =CD
AC =BD
BC ， 即只有选项C 错误，选项A 、B 、D 都正确，
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，则sin A =BC
AB ，cos A =AC
AB ，tan A =BC
AC ，cot A =AC
BC ．
变式2 如图，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 与CE 相交于O ，则图中线段的比不能表示sin A 的式子为（ ）
A ．
BD AB
B ．
CD OC
C ．
AE
AD
D ．
BE
OB
【分析】根据BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，利用锐角三角函数的定义进行求解即可． 【解析】A 、∵BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∴sin A =
BD AB =EC
AC
，故A 不合题意； B 、∵∠A +∠ACE ＝90°，∠ACE +∠COD ＝90°，∴∠A ＝∠COD ， ∴sin A ＝sin ∠COD =CD
OC ，故B 不合题意； C 、无法得出sin A =AE AD ，故C 符合题意；
D 、∵∠BO
E ＝∠COD ，∴∠A ＝∠BOE ，∴sin A ＝sin ∠BOE =
BE
BO
，故D 不合题意； 【小结】本题主要考查的是锐角三角函数的定义的有关知识，正确掌握边角关系是解题关键．
变式3 如图，△ACB 中，∠ACB ＝Rt ∠，已知∠B ＝α，∠ADC ＝β，AB ＝a ，则BD 的长可表示为（ ）
A ．a ?（cos α﹣cos β）
B ．
a tanβ?tanα
C ．a cos α?
a?sinα
tanβ
D ．a ?cos α﹣a sin α?a ?tan β
【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出BC ，DC 的长进而得出答案． 【解析】∵∠C ＝90°，∠B ＝α，∠ADC ＝β，AB ＝a ，∴cos B ＝cos α=BC AB =BC
a
， 则BC ＝a ?cos α，sin B ＝sin α=AC
AB =AC
a ， 故AC ＝a ?sin α，则tan β=AC
DC ，
故DC =AC
tanβ=a?sinα
tanβ，则BD ＝BC ﹣DC ＝a ?cos α?a?sinα
tanβ． 故选：C ．
【小结】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示出DC 的长是解题关键．
考点2 网格中的锐角三角函数值计算
解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度.
例题2 如图，在6×6的正方形网格中，△ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，则tan ∠BAC 的值是（ ）
A ．4
5
B ．4
3
C ．3
4
D ．3
5
【分析】过点B 作BD ⊥AC ，交AC 延长线于点D ，利用正切函数的定义求解可得． 【解析】如图，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 延长线于点D ， 则tan ∠BAC =BD
AD =3
4，故选：C ．
【小结】本题主要考查三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切．
变式4 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则∠OAB 的正弦值是 ．
【分析】过点O 作OC ⊥AB 的延长线于点C ，构建直角三角形ACO ，利用勾股定理求出斜边OA 的长，即可解答．
【解析】如图，过点O 作OC ⊥AB 的延长线于点C ，则AC ＝4，OC ＝2， 在Rt △ACO 中，AO =√AC 2+OC 2=√42+22=√20=2√5，∴sin ∠OAB =OC OA =25=√55
． 故答案为：
√5
5
． 【小结】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键．
变式5 如图，将∠BAC 放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A 、B 、C 均在格点上，那么∠BAC 的正切值为 ．
【分析】连接BC ，先利用勾股定理逆定理证△ABC 是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得． 【解析】如图所示，连接BC ，
则AB ＝BC =√12+32=√10，AC =√22+42=2√5， ∴AB 2+BC 2＝10+10＝20＝AC 2，
∴△ABC 是等腰直角三角形，且∠ABC ＝90°， ∴∠BAC ＝45°，则tan ∠BAC ＝1， 故答案为：1．
【小结】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和三角函数的定义．
变式6 如图，△ABC 的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin ∠ACB 的值为 ．
【分析】根据勾股定理，可得BC 、AC 的长，求出△ABC 的面积，求出高AN ，解直角三角形求出即可． 【解析】
设小正方形的边长为1，
则由勾股定理得：BC =√32+42=5，AC =√12+22=√5，
∵S △ABC ＝S △BDC ﹣S 正方形EAFD ﹣S △AFC ﹣S △BEA =12×4×3?1×1?12×1×2?12×3×1=5
2， ∴1
2×BC ×AN =5
2，∴AN ＝1，∴sin ∠ACB =AN
AC =1
√5=√5
5，
故答案为：
√5
5
． 【小结】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
考点3 锐角三角函数的增减性
解决此类问题的关键在于掌握锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
例题3sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（）
A．cos28°＜cos58°＜sin58°B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28°D．sin58°＜cos58°＜cos28°
【分析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．
【解析】sin58°＝cos32°．
∵58°＞32°＞28°，∴cos58°＜cos32°＜cos28°，∴cos58°＜sin58°＜cos28°．
故选：C．
【小结】本题考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了互余两角的三角函数之间的关系．
变式7比较大小：
（1）cos35°cos45°，tan50°tan60°；
（2）若sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，则αβ．
【分析】（1）根据余弦值随角度的增大余弦值越小，正切值随角度的增增大而增大，进而得出答案；（2）利用正弦值随角度的增大而增大，进而得出答案．
【解析】（1）cos35°＞cos45°，tan50°＜tan60°；
故答案为：＞，＜；
（2）∵sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，
则α＞β．
故答案为：＞．
【小结】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，熟练记忆锐角三角函数增减性是解题关键．
变式8比较大小：sin81°tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．
【分析】根据sin81°＜1，tan47°＞1即可求解．
【解析】∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，
∴sin81°＜1＜tan47°，
∴sin81°＜tan47°．
故答案为＜．
【小结】本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
也考查了不等式的传递性．
变式9如图所示的网格是正方形网格，∠AOB∠COD．（填“＞“，“＝”或“＜“）
【分析】连接CD，则CD⊥OD，过B作BE⊥OA于E，在Rt△OBE与Rt△OCD中，分别求∠AOB、∠COD 的正切，根据锐角的正切值随着角度的增大而增大作判断即可．
【解析】连接CD，则CD⊥OD，过B作BE⊥OA于E，
在Rt△OBE中，tan∠AOB=BE
OE
=2，
在Rt△OCD中，tan∠COD=CD
OD
=33=1，
∵锐角的正切值随着角度的增大而增大，
∴∠AOB＞∠COD，
故答案为：＞．
【小结】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．
考点4 同角三角函数的关系
解决此类问题的关键在于掌握同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A ＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA =
sinA cosA
或sinA ＝tanA ?cosA ．
例题4 如图，P 是∠α的边OA 上一点，且点P 的横坐标为3，sin α=4
5，则tan α＝（ ）
A ．3
5
B ．3
4
C ．4
3
D ．4
5
【分析】先由sin α=PQ
OP =4
5求得PQ ＝4，OP ＝5，再根据正切函数的定义求解可得． 【解析】如图， 由sin α=
PQ OP =4
5
可设PQ ＝4a ，OP ＝5a ， ∵OQ ＝3，∴由OQ 2+PQ 2＝OP 2可得32+（4a ）2＝（5a ）2，解得：a ＝1（负值舍去）， ∴PQ ＝4，OP ＝5，则tan α=PQ OQ =4
3
， 故选：C ．
【小结】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，能求出PQ 、OP 的长是解此题的关键．
变式10 若∠a 为锐角，且tan a 是方程x 2﹣2x ﹣3＝0的一个根，则sin α等于（ ） A ．1
B ．
√22 C ．
√10
10
D ．
3√1010
【分析】运用因式分解法解方程，根据锐角三角函数值都大于0，确定tan α的值，再根据锐角三角函数的定义求解．
【解析】解方程x 2﹣2x ﹣3＝0，得x ＝﹣1或x ＝3． ∵tan a ＞0，∴tan a ＝3．
设α所在的直角三角形的对边是3，则邻边是1． 根据勾股定理，得斜边是√10．所以sin α=3√10
10． 故选：D ．
【小结】此题综合考查了一元二次方程的解法和锐角三角函数的知识．
变式11 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子正确的是（ ） A ．sin A +cos A ＜1 B ．sin A +cos A ＝1
C ．sin A +cos A ＞1
D ．sin A +cos A ≥1
【分析】根据三角函数的定义得到sin A =a
c ，cos A =b
c ，则sin A +cos A =a+b
c ，然后根据三角形三边的关系可判断sin A +cos A ＞1．
【解析】∵sin A =a c
，cos A =b c
， ∴sin A +cos A =a+b
c ， ∵a +b ＞c ， ∴sin A +cos A ＞1． 故选：C ．
【小结】本题考查了同角三角函数的关系：平方关系：sin 2A +cos 2A ＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tan A =sinA
cosA 或sin A ＝tan A ?cos A ．
变式12 已知sin αcos α=1
8，且0°＜α＜45°，则sin α﹣cos α的值为（ ） A ．
√32
B ．?√3
2
C ．3
4
D ．±
√32
【分析】把已知条件两边都乘以2，再根据sin 2α+cos 2α＝1，进行配方，然后根据锐角三角函数值求出cos α与sin α的取值范围，从而得到sin α﹣cos α＜0，最后开方即可得解． 【解析】∵sin αcos α=1
8，∴2sin α?cos α=1
4， ∴sin 2α+cos 2α﹣2sin α?cos α＝1?14
， 即（sin α﹣cos α）2=3
4， ∵0°＜α＜45°， ∴
√22
＜cos α＜1，0＜sin α＜√22， ∴sin α﹣cos α＜0， ∴sin α﹣cos α=?√3
2． 故选：B ．
【小结】本题考查了同角的三角函数的关系，利用好sin 2α+cos 2α＝1，并求出sin α﹣cos α＜0是解题的关键．
考点5 互余两角三角函数的关系
解决此类问题的关键在于掌握互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, 例题5如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sin B；
②sinβ＝sin C；③sin B＝cos C；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有．
【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A＝90°，AD⊥BC，可得∠α＝∠B，∠β＝∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【解析】∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，
∴sinα＝sin B，故①正确；
sinβ＝sin C，故②正确；
∵在Rt△ABC中sin B=AC
BC，cos C=
AC
BC，
∴sin B＝cos C，故③正确；
∵sinα＝sin B，cos∠β＝cos C，
∴sinα＝cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
【小结】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．
变式13已知α为锐角，sinα+cos（90°﹣α）=√3，则α＝．
【分析】求出sinα的值即可解决问题；
【解析】∵sinα+cos（90°﹣α）=√3，
∴2sinα=√3，∴sinα=√3
2，∴α＝60°，
故答案为60°．
【小结】本题考查互余两角三角函数的关系，特殊角的三角函数值等知识，记住sin A＝cos（90°﹣∠A），cos A＝sin（90°﹣∠A）是解题的关键；
变式14 若a ＜60°，且sin （60°﹣a ）=
12
15
，则cos （30°+a ）＝ ． 【分析】由于60°﹣α+30°+α＝90°，且α＜60°，即60°﹣α和30°+α互余，根据互余两角的三角函数的关系即可得到cos （30°+α）＝sin （60°﹣a ）=45
． 【解析】∵60°﹣α+30°+α＝90°，且α＜60°， ∴cos （30°+α）＝sin （60°﹣a ）=4
5． 故答案为4
5．
【小结】本题考查了互余两角的三角函数的关系：若∠A +∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B ．
变式15 化简：√(1?sin57°37′)2?|cos32°23′?1|= ．
【分析】先化简二次根式和去绝对值符号，再根据互余两角三角函数的关系计算即可求解． 【解析】√(1?sin57°37′)2?|cos32°23′?1| ＝1﹣sin57°37′+cos32°23′﹣1 ＝1﹣sin57°37′+sin57°37′﹣1 ＝0． 故答案为：0．
【小结】考查了互余两角三角函数的关系，若∠A +∠B ＝90°，那么sin A ＝cos B 或sin B ＝cos A ．
考点6 特殊角的三角函数值的计算
解决此类问题的关键在于熟记特殊角三角函数值：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）cos230°
1+sin30°
+tan260°【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．
【解析】（1）原式=2×1
2
+3×12?4×1
=1+32?4=?32；
（2）原式=(√32)
1+12
2
+(√3)2
=3
4
3
2
+3=72．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
变式16计算：3tan30°?
1
cos60°
+√8cos45°+√(1?tan60°)2
【分析】代入特殊角的三角函数值即可．
【解析】原式＝3×√3
3
?11
2
+√8×√22+√(1?√3)2
=√3?2+2+√3?1
＝2√3?1．
【小结】考查了特殊角的三角函数值，属于只记内容，熟练掌握特殊角的三角函数值，代入求值即可．
变式17计算：2sin260°?cos60°
tan60°+4cos45°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．
【解析】原式=
2×(√32)2?12 (3)2+4×√22
=
3+22
=3?2√2
(3+2√2)(3?2√2)
＝3﹣2√2．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
（1）3tan60°﹣tan245°﹣2cos30°．（2）√1?2tan30°+tan230°+2sin230°?sin45°cos45°．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入化简得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值分别代入化简得出答案．
【解析】（1）原式＝3√3?1﹣2×√3 2
＝3√3?1?√3＝2√3?1；
（2）原式=(1?3
3
)2+2×（
1
2
）2
√2
2
√2
2
＝1?√3
3
+12?1
=?√33+12．
【小结】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
考点7 特殊角的三角函数值中的新定义问题
例题7 嘉琪在某次作业中得到如下结果：
sin 27°+sin 283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin 222°+sin 268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin 229°+sin 261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin 237°+sin 253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin 245°+sin 245°＝（
√22）2+（√2
2
）2＝1． 据此，嘉琪猜想：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝α，有sin 2α+sin 2（90°﹣α）＝1． （1）当α＝30°时，验证sin 2α+sin 2（90°﹣α）＝1是否成立． （2）请你对嘉琪的猜想进行证明．
【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A ＝α，则∠B ＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证． 【解析】（1）当α＝30°时， sin 2α+sin 2（90°﹣α） ＝sin 230°+sin 260° ＝（1
2）2+（
√32
）2
=1
4+34 ＝1；
（2）嘉琪的猜想成立，证明如下： 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，
设∠A ＝α，则∠B ＝90°﹣α， ∴sin 2α+sin 2（90°﹣α） ＝（
BC
AB
）2+（
AC
AB
）2
=BC 2
+AC 2
AB 2
=AB 2
AB
2 ＝1． 【小结】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．
变式19 阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系： sin α=
BC AC cos α=AB AC tan α=BC AB
一般地，当α、β为任意角时，sin （α+β）与sin （α﹣β）的值可以用下面的公式求得： sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β sin （α﹣β）＝sin αcos β﹣cos αsin β
例如sin15°＝sin （45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30° =√2
2×√3
2?√2
2×12=
√6?√2
4
根据上述材料内容，解决下列问题： （1）计算：sin75°＝ ；
（2）在Rt △ABC 中，∠A ＝75°，∠C ＝90°，AB ＝4，请你求出AC 和BC 的长．
【分析】（1）根据公式可求．
（2）根据锐角的三角函数值，求AC 和BC 的值． 【解析】（1）sin75°＝sin （30°+45°） ＝sin30°cos45°+cos30°sin45° =
12×√22+√32×√22 =√2+√64
， 故答案为：
√2+√6
4
． （2）Rt △ABC 中，∵sin ∠A ＝sin75°=BC
AB =√2+√6
4
∴BC ＝AB ×
√2+√6
4
=4×
√2+√6
4
=√2+√6
∵∠B ＝90﹣∠A ∴∠B ＝15° ∵sin ∠B ＝sin15°=AC AB =√6?√2
4
∴AC ＝AB ×
√6?√2
4
=√6?√2
【小结】本题考查了同角三角函数关系，利用特殊的三角函数值求线段的长度是本题的关键．
变式20规定：sin（﹣x）＝﹣sin x，cos（﹣x）＝cos x，sin（x+y）＝sin x?cos y+cos x?sin y．据此（1）判断下列等式成立的是（填序号）．
①cos（﹣60°）=?12；②sin2x＝2sin x?cos x；③sin（x﹣y）＝sin x?cos y﹣cos x?sin y．
（2）利用上面的规定求①sin75°②sin15°．
【分析】（1）根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断；
（2）利用已知进而将原式变形求出答案．
【解析】（1）①cos（﹣60°）＝cos60°=1
2，命题错误；
②sin2x＝sin x?cos x+cos x?sin x＝2sin x?cos x，命题正确；
③sin（x﹣y）＝sin x?cos（﹣y）+cos x?sin（﹣y）＝sin x?cos y﹣cos x?sin y，命题正确．故答案为：②③；
（2）①sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°?cos45°+cos30°?sin45°=1
2
×√22+√32×√22=√24+√64=
√6+√2
4；
②sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°?cos30°﹣cos45°?sin30°
=√22×√32?√22×12
=√6?√2
4．
【小结】本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的定义是关键．
变式21 对于钝角α，定义它的三角函数值如下： sin α＝sin （180°﹣α），cos α＝﹣cos （180°﹣α） （1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A ，B 是这个三角形的两个顶点，sin A ，cos B 是方程4x 2﹣mx ﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m 的值及∠A 和∠B 的大小． 【分析】（1）按照题目所给的信息求解即可；
（2）分三种情况进行分析：①当∠A ＝30°，∠B ＝120°时；②当∠A ＝120°，∠B ＝30°时；③当∠A ＝30°，∠B ＝30°时，根据题意分别求出m 的值即可． 【解析】（1）由题意得，
sin120°＝sin （180°﹣120°）＝sin60°=√3
2， cos120°＝﹣cos （180°﹣120°）＝﹣cos60°=?1
2， sin150°＝sin （180°﹣150°）＝sin30°=1
2； （2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A ＝30°，∠B ＝120°时，方程的两根为1
2，?12
，
将12
代入方程得：4×（1
2
）2﹣m ×12
?1＝0，解得：m ＝0，
经检验?12
是方程4x 2﹣1＝0的根， ∴m ＝0符合题意；
②当∠A ＝120°，∠B ＝30°时，两根为
√32，√3
2，不符合题意； ③当∠A ＝30°，∠B ＝30°时，两根为1
2
，
√3
2
， 将12
代入方程得：4×（12
）2﹣m ×12
?1＝0， 解得：m ＝0， 经检验
√3
2
不是方程4x 2﹣1＝0的根． 综上所述：m ＝0，∠A ＝30°，∠B ＝120°．
【小结】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是按照题目所给的运算法则求出三角函数的值和运用分类讨论的思想解题，难度一般．
考点8 解直角三角形
解决此类问题的关键在于解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）
①三边之间的关系：a2+b2=c2；②两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；③边角之间的关系；正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边.；④解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边．
例题8如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B=4 5．
（1）求线段CD的长度；（2）求cos∠C的值．
【分析】根据sin B=4
5，求得AB＝15，由勾股定理得BD＝9，从而计算出CD，再利用三角函数，求出cos
∠C的值即可．
【解析】（1）∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵sin B=4
5，AD＝12，
∴AB＝15，
∴BD=√AB2?AD2=√152?122=9，∵BC＝14，
∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；
（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，
∴AC=√AD2+CD2=√122+52=13，
cos C=CD
AC
=513．
【小结】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握好三角形边角之间的关系是解题的关键．
变式22如图，在Rt△ABC中，设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，b＝8，∠A的平
分线AD=16
3√3，求∠B，a，c的值．
【分析】根据锐角三角函数，可以求得∠CAD的度数，从而可以得到∠CAB的度数，然后即可得到∠B的度数，再根据锐角三角函数即可得到a、c的值．
【解析】∵∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD=16
3√3，
∴cos∠CAD=AC
AD
=
163
3
=√32，
∴∠CAD＝30°，∴∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，
∴c＝2b＝16，a=
b
tan30°
=
√3
3
=8√3，
即∠B＝30°，a＝8√3，c＝16．
【小结】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
变式23如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD、AE分别是BC边的中线和高，若cos B=3
5，BC＝10．
（1）求AB的长；（2）求AE的长；（3）求sin∠ADB的值．
【分析】（1）在Rt△ABC中，通过解直角三角形可求出AB的长；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长，再利用面积法可求出AE的长；
（3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AD的长，在Rt△AED中，利用正弦的定义可求出sin∠ADB的值．
【解析】（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，cos B=AB
BC，BC＝10，
∴AB＝BC?cos B＝10×3
5
=6．
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，∴AC=√BC2?AB2=√102?62=8．
∵AE是BC边的高，
∴1
2
AC?AB=
1
2BC?AE，即
1
2
×8×6=12×10AE，∴AE=245．
（3）Rt△ABC中，AD是BC边的中线，BC＝10，
∴AD=1
2BC＝5．
在Rt△AED中，∠AED＝90°，AD＝5，AE=24 5，
∴sin∠ADB=AE
AD
=
24
5
5
=2425．
【小结】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用余弦的定义，找出AB＝BC?cos B；（2）利用面积法，求出AE的长；（3）利用正弦的定义，求出sin∠ADB的值．
变式24 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，cos A =35
，BC ＝12，D 是AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为点E ．
求：（1）线段CD 的长； （2）cos ∠ABE 的值．
【分析】（1）在△ABC 中根据正弦的定义得到cos A =AC AB =3
5
，则可计算出AB ＝15，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD =12AB =15
2．
（2）在Rt △ABC 中先利用勾股定理计算出AC ＝6，在根据三角形面积公式得到S △BDC ＝S △ADC ，则S △BDC =1
2S
△ABC
，即1
2
CD ?BE =12?12
AC ?BC ，于是可计算出BE =
36
5
，然后在Rt △BDE 中利用余弦的定义求解． 【解析】（1）在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∴cos A =AC
AB =3
5， ∴可以假设AC ＝3k ，AB ＝5k ，则BC ＝4k ， 而BC ＝12，∴k ＝3，∴AB ＝15 ∵D 是AB 中点， ∴CD =1
2AB =15
2．
（2）在Rt △ABC 中，∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9， ∵D 是AB 中点，
∴BD =152，S △BDC ＝S △ADC ，
∴S △BDC =12
S △ABC ，即1
2
CD ?BE =12?12
AC ?BC ，
∴BE =
9×122×152
=36
5， 在Rt △BDE 中，cos ∠ABE =BE BD =365
152
=2425，
即cos ∠ABE 的值为
2425
．
【小结】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．
北师大版初中数学七年级(上册)各章标题 第一章丰富图形世界 第二章有理数 第三章字母表示数 第四章平面图形及位置关系 第五章一元一次方程 第六章生活中的数据 第七种可能性 北师大版初中数学七年级(下册)各章标题 第一章：整式的运算 第二章平行线与相交线 第三章生活中的数据 第四章概率 第五章三角形 第六章变量之间的关系 第七章生活中的轴对称 北师大版初中数学八年级(上册)各章标题 第一章勾股定理 第二章实数 第三章图形的平移与旋转 第四章四边形性质探索 第五章位置的确定 第六章一次函数 第七章二元一次方程组 第八章数据的代表 北师大版初中数学八年级(下册)各章标题 第一章一元一次不等式和一元一次不等式组 第二章分解因式 第三章分式 第四章相似图形 第五章数据的收集与处理 第六章证明 北师大版初中数学九年级(上册)各章标题 第一章证明（二） 第二章一元二次方程
第三章证明（三） 第四章视图与投影 第五章反比例函数 第六章频率与概率 北师大版初中数学九年级(下册)各章标题 第一章直角三角形边的关系 第二章二次函数 第三章圆 第四章统计与概率 北师大版初中数学七年级(上册)各章知识点 第一章丰富图形世界 1、生活中常见的几何体：圆柱、、正方体、长方体、、球 2、常见几何体的分类：球体、柱体（圆柱、棱柱、正方体、长方体）、锥体（圆锥、棱锥） 3、平面图形折成立体图形应注意：侧面的个数与底面图形的边数相等。 4、圆柱的侧面展开图是一个长方形；表面全部展开是两个和一个；圆锥的表面全部展开图是一个和一个；正方体表面展开图是一个和两个小正方形，；长方形的展开图是一个大和两个。 5、特殊立体图形的截面图形： (1)长方体、正方形的截面是：三角形、四边形（长方形、正方形、梯形、平行四边形）、五边形、。 (2)圆柱的截面是：、圆 (3)圆锥的截面是：三角形、。 (4)球的截面是： 6、我们经常把从看到的图形叫做主视图，从看到的图叫做左视图，从看到的图叫做俯视图。 7、常见立体图形的俯视图 几何体长方体正方体圆锥圆柱球 主视图正方形长方形 俯视图长方形圆圆 左视图长方形正方形 8、点动成，线动成，面动成。 第二章有理数 1 、正数与负数 在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。
解直角三角形题型归纳梳理 专题一、 求直角三角形锐角三角函数的方法 题型一 直接运用定义求锐角三角函数值 【典例1】（2019?金堂校级期末）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝1，BC ＝2，则sin ∠A ＝ 2√5 5 ． 【解析】解：∵∠C ＝90°，∴AC 2+BC 2＝AB 2， ∵AC ＝1，BC ＝2，∴AB =√5；∴sin ∠A =BC AB = 25=2√5 5，故答案为2√55 ． 【典例2】（2019?镇海区一模）如图，直线y =3 4x +3与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，则cos ∠BAO 的值是（ ） A ．4 5 B ．3 5 C ．4 3 D ．5 4 【解析】解：当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝﹣4， ∴直线y =3 4x +3与x 、y 轴的交点A 的坐标（﹣4，0）、B （0，3），∴OA ＝4，OB ＝3， 由勾股定理得，AB ＝5，则cos ∠BAO =OA AB =4 5，故选：A ． 【典例3】（2019?咸宁模拟）如图，P （12，a ）在反比例函数y =60 x 图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan ∠POH 的值为 512 ．
【解析】解：∵P （12，a ）在反比例函数y = 60x 图象上，∴a =6012 =5， ∵PH ⊥x 轴于H ，∴PH ＝5，OH ＝12，∴tan ∠POH =5 12，故答案为： 5 12 ． 【典例4】（2019?成都）如图，在正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，BE ＝3AE ，试求sin ∠ECM 的值． 【解析】解：设AE ＝x ，则BE ＝3x ，BC ＝4x ，AM ＝2x ，CD ＝4x ，∴EC =√(3x)2+(4x)2=5x ， EM =√x 2+(2x)2=√5x ，CM =√(2x)2+(4x)2=2√5x ， ∴EM 2+CM 2＝CE 2，∴△CEM 是直角三角形，∴sin ∠ECM = EM CE =√5 5 ． 题型二 利用等角转换求锐角三角函数值 【典例5】（2019?雁塔区校级月考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝3， AC ＝4，则cos ∠DCB 的值为（ ） A ．3 5 B ．4 5 C ．3 4 D ．4 3 【解析】解：在Rt △ABC 中，AB =√BC 2+AC 2=√32+42=5，∵CD ⊥AB ，∴∠DCB +∠B ＝90°，
课 题 解直角三角形 授课时间： 备课时间： 教学目标 1. 了解勾股定理 2. 了解三角函数的概念 3. 学会解直角三角形 重点、难点 三角函数的应用及解直角三角形 考点及考试要求 各考点 教学方法：讲授法 教学内容 （一）知识点（概念）梳理 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 7.图中角α可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角； （1）
9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 铅直 高度（h ）和水平长度（l ）的比。 记作i,即i = l h ； （2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝l h =tan α （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 大 ，坡面就越 陡 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即 b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 21 22 23 1 cos α 1 23 2 2 21 0 tan α 0 33 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3 0 4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1
初中各年级数学知识点之间的联系 七年级上册 第一章丰富的图形世界 1．生活中的立体图形 2．展开与折叠 3．截一个几何体 4．从不同方向看 5．生活中的平面图形 第二章有理数及其运算(整个初中和高中数学的计算基础，比如说负数比较大小,数的开方) 1．数怎么不够用了 2．数轴 3．绝对值 (0) 0(0) (0) a a a a a a > ? ? == ? ?-< ? 4．有理数的加法 5．有理数的减法（加入了负数的减法要变号） 6．有理数的加减混合运算 7．水位的变化 8．有理数的乘法 9．有理数的除法 10．有理数的乘方 11．有理数的混合运算 12．计算器的使用 第三章字母表示数（为后面解二元一次方程和解一元二次方程，甚至方程组和不等式方程组计算打好基础基础） 1．字母能表示什么 2．代数式 3．代数式求值 4．合并同类项 5．去括号（中学学习计算最容易出错的地方，去括号变号的规律） 6．探索规律 第四章平面图形及其位置关系 1．线段、射线、直线 2．比较线段的长短 3．角的度量与表示 4．角的比较
5．平行 6．垂直 7．有趣的七巧板 8．图案设计 第五章一元一次方程 （把方程带入解决实际问题中间，这个知识点是学期的考试重点。初三的解一元二次方程中，需要变换成解二个一元一次方程，所以这章的学习会影响到后面只是的学习） 1．你今年几岁了 2．解方程 ###################################################### 一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 #⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 #⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a = ； ②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 ###################################################### 3．日历中的方程 4．我变胖了 5．打折销售 6．“希望工程”义演 7．能追上小明吗 8．教育储蓄 第六章 生活中的数据 1．100万有多大 2．科学记数法 3．扇形统计图 4．月球上有水吗 5．统计图的选择 第七章 可能性 1．一定摸到红球吗 2．转盘游戏 3．谁转出的四位数大 七年级下册 第一章 整式的运算 （这些公式很多都是在整个初中甚至高中都要用到。是中考的重要考点） 1．整式 2．整式的加减 3．同底数幂的乘法
七年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章、有理数 知识概念 1.有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、)0p q ,p (p q ≠为整数且负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；- a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ② ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数???????????????负分数正分数分数负整数 零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
(2) 绝对值可表示为：或 ；绝对值的问题经常分类讨论；?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a ???<-≥=)0a (a )0a (a a 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a≠0，那么的倒数是；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数.a a 17. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . 12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，.无意义即0 a 13．有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数；
解直角三角形 本章知识结构梳理 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比＿＿＿＿ 2、直角三角形AB 1C 1 和直角三角形ABC 有什么关系? 边之间的关系呢？ 3、三角函数定义： 注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的sin ，cos ，tan 是没有意义的，其中A 前面的“∠”一般省略不写 例1、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 例2、在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 例3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA= 23 ，则tanB 等于（ ） 锐角三角函数 1锐角三角函数的定义 ⑴、正弦； ⑵、余弦； ⑶、正切。 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 3、各锐角三角函数间关系 ⑴、定义； ⑵、直角三角形的依据 ⑶、解直角三角形的应用。 ①、三边间关系； ②、锐角间关系； ③、边角间关系。
A ． 35 B ．3 C ．2 5 D ． 2 例4、已知：α是锐角，tan α= 7 24 ，则sin α=_____，cos α=_______． 4、取值范围：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度（坡比） 方向角度 俯角仰角 例6、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB ?的值． 例7、如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD ，根据此图求tan15°的值．
第18题图 C B A 锐角三角函数及解直角三角形的应用 一、选择题 1.如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在斜边AB 上的点E 处. 已知AB=38, ∠B=30°, 则DE 的长是( ). A. 6 B. 4 C. 34 D. 23 2.如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为（ ） A 80 3 3米 B ．403米 C ．40米 D ．10米 3．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（ ） A ． 1：2 B. 3 ：2 C. 1： 3 D. 3 ：1 4．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）1213 （C ）10 13 （D ）512 5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)1 (B)2 （C ）2 2 (D)22 6．在△ABC 中，三边之比为2:3:1::=c b a ，则sinA+tanA 等于（ ） （A ） 6323+ （B ）32 1 + （C ）233 （D ）213+ 7．在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ∶AC 等于（ ） （A ）2:3 （B ）3:3 （C ）1∶2 （D ）1:2 8．如图是一束平行的光线从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成的∠AMC=30°，在教室地面的影长MN=32米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC 为（ ） （A ）32米 （B ）3米 （C ）3.2 米 （D ） 2 3 3米 A B C M N
. 第一章：实数 一、实数的分类： 1、有理数：任何一个有理数总可以写成q p 的形式，其中 p 、q 是互质的整数，这是有 理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理 数有三种：开不尽的方根，如 2、 3 4；特定结构的不限环无限小数，如 1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数a 的相反数是 －a ； （2）a 和b 互为相反数?a +b =0 2、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a 1 ；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ?? ???-==0 ,0, 00,πφa a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的绝对值,就是数轴上表示这个数的点到原点的距离 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认,再去掉绝对值符号 4、n 次方根 （1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ± 叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。 （4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、向、单位长度的直线称为数轴。原点、向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。 四、实数大小的比较 1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。 2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。 五、实数的运算 1、加法：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加； （2）异号两数相加,取绝对值大的加数的符号,用较大的绝对值减去较小的绝对值.可用加法交换律、结合律 2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法：（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。 （2）n 个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n 个非0的实数相乘，积的符号由 负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。 （3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 4、除法：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。 （3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。 5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。 6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。 六、有效数字和科学记数法 1、科学记数法：设N ＞0，则N = a ×n 10（其中1≤a ＜10，n 为整数）。 2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫 ???????????? ??????????????? ???????? ?????????? 正整数整数零负整数有理数有限小数或无限循环小数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数
解直角三角形题型－带解析
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:
１、（2０1７?河南）如图所示,我国两艘海监船Ａ，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时,B船在Ａ船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东４5°方向,B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈,cos53°≈，tａn53°≈，≈1.４1） 【分析】如图作ＣE⊥AB于Ｅ．设AE=ＥC=ｘ,则BE=x﹣5,在Rｔ△ＢCＥ中，根据tan５3°=,可得=,求出x，再求出BＣ、ＡC,分别求出A、B两船到C的时间，即可解决问题. 【解答】解：如图作CＥ⊥AB于Ｅ. 在Rt△ACE中,∵∠A=45°, ∴ＡE＝EC,设AE=ＥＣ＝ｘ，则ＢE=x﹣5, 在Rｔ△BCE中, ∵tan53°=, ∴＝, 解得x=2０, ∴AE=EC＝20,
∴AC=2０=28.２， ＢC==25, ∴A船到C的时间≈=０.９4小时,Ｂ船到C的时间==1小时, ∴C船至少要等待0.94小时才能得到救援． 2、(２016?河南)如图,小东在教学楼距地面９米高的窗口Ｃ处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为３7°,旗杆底部Ｂ点的俯角为4５°，升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.２5米处，若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：ｓiｎ37°≈０.６0,ｃｏs３7°≈0.80,taｎ37°≈0．75) 【分析】通过解直角△BCD和直角△AＣD分别求得BＤ、CD以及ＡD的长度,则易得AB的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度,由“速度=”进行解答即可． 【解答】解:在Rｔ△ＢＣＤ中，BＤ＝9米，∠BＣD=４5°,则BD=ＣD=9米. 在Rt△ＡＣD中,ＣD=９米，∠ＡＣＤ=37°，则AD=ＣD?tan37°≈9×0．75=6.７５（米）． 所以，ＡB=ＡD+BD＝15.75米， 整个过程中旗子上升高度是：15.75﹣２.２5＝13．5（米), 因为耗时45s,
第一章有理数及其运算 1. 有理数包括 和 ；整数包含： 、 、 ；分数包含： 、 。 正整数和正分数通称为正有理数，负整数和负分数通称为负有理数。 2. 正数都比0大，负数都比0小， 既不是正数也不是负数。 3. 正数和负数经常用来表示 的量。 4. 数轴有三要素： 、 、 。数轴上的两个点表示的数， 边的总比 边的大。 5. 相反数：只有 不同的两个数互为相反数，a a 和-互为相反数，0的相反数是0。 在任意的数前面添上“ ”号，就表示原来的数的相反数。 6. 绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的 叫做该数的绝对值，用“|a|”表示。 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 当a 是正数时，a a =；当a 是负数时，a a =-；当a =0时，0a = 7. 两个负数比较大小， 大的反而小。 8. 有理数加法法则： ·同号两个数相加，取 的符号，并把绝对值相加。 ·异号的两个数相加，绝对值不等时，取绝 的符号，并用 减去 。互为相反数的两数相加得 . ·一个数同0相加仍得这个数 加法交换律：a b b a +=+ 加法结合律：()()a b c a b c ++=++ 9. 有理数减法法则：减去一个数等于 这个数的 。 10. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值相乘。任何数与0 相乘积仍得 。 11. 倒数：乘积是1的两个数互为 。一般地，数a 的倒数是 (a )0≠. 12. 乘法交换律：ab ba = 乘法结合律：()()ab c a bc = 乘法分配律：()a b c ac bc +?=+ 13. 有理数除法法则： ·除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 。 ·两个有理数相除，同号得 ，异号得 ，并把 相除。0除以任何数都得0，且0不能作除数。 14. 有理数的乘方：求n 个 因数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。即 a n a a =ΛΛ,在n a 中a 叫做底数，n 叫做指数，n a 读 作a 的n 次幂（或a 的n 次方）。 15. 乘方的正负：正数的任何次幂都是 ， 负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂 是 。 16. 混合运算顺序： · 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 n 个a
解直角三角形常见题型 题型一、关于仰角与俯角的题型 1、为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已 知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC的高度． 2、摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为45?，再往摩天轮的方向前进50 m至D处，测得最高点A的仰角为60?． 3、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC 为多少米。 4、中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是45°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米 中考链接 5．（8分）（2018?泸州）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．
6．（10分）（2008?巴中）又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”． 下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60；乙：我站在此处看塔顶仰角为30；甲：我们的身高都是；乙：我们相距20m ；请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度（精确到1米）． 7、（2017?广元）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB 的高度，在C 处测得∠ADG=30°，在E 处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB 的高度（结果保留两位有效数字，≈）． 8．（8分）（2015?巴中）如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB 的高度，在大厦前的平地上选择一点C ，测得大厦顶端A 的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D 处（C 、D 、B 三点在同一直线上），又测得大厦顶端A 的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．（精确到米，参考数据： ≈， ≈） 题型三、关于方位角的题型 1.如图1，一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D 的正上方C 处，此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米，求这座山的高（精确到千米） 2． 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距83 km 的C 处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠 岸请说明理由． 4、如图，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A 地观测到我渔船C 在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B 处，此时观测到我渔船C 在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久，离我渔船C 的距离最近（假设我渔船C 捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．） N M 东 北 B C A l
解直角三角形应用经典 【例1】：为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度． 练习1、如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高（精确到0.1）． （参考数据：414 .12≈ 732.13≈） 练习2、2009年首届中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图， 有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米） （参考数据：, 75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈?≈?≈?73.13≈） B A C
【例2】：在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处 有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经 过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距83的C处． （1）求该轮船航行的速度； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由． 练习：如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装 天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于 C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长. 【例3】：如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡角∠BAD=ο 60,坡长AB=m 3 20,为加强水坝强度,将 坝底从A处向后水平延伸到F处,使新的背水坡的坡角∠F=ο 45,求AF的长度(结果精确到1米,参考数据: 414 .1 2≈,732 .1 3≈). N M 东 北 B C A l
初三数学各章节重要知识点梳理 第21章 二次根式 1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式. 注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式； （2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0. 2．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）???<-≥==) 0a (a )0a (a a a 2 ； 3．积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥?= 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=?. 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根： )0b ,0a (b a b a >≥=， 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则： （1） )0b ,0a (b a b a >≥= ；（2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷； （3）分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．最简二次根式： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被 开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次 根式. 12．二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内 的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有 时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 第22章 一元二次方程 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2 +bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关 问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ； 其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2 +bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2 -4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题： Δ＞0 <=> 有两个不等的实根； Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根； 4．平均增长率问题--------应用题的类型题之一 （设增长率为x ）： (1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2 . （2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和. 第23章 旋转 1、概念： 把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角 2、旋转的性质： （1） 旋转前后的两个图形是全等形； （2） 两个对应点到旋转中心的距离相等 （3） 两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 3、中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 4、中心对称的性质： （1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． （2）关于中心对称的两个图形是全等图形． 5、中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 6、坐标系中的中心对称 第24章 圆 1、（要求深刻理解、熟练运用）
《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B = tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4 cos =? == B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 13 3 330tan =? =?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ．
分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是 的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．
解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有 ，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有 ， 则有 说明还可以这样求：
《解直角三角形》复习及中考题型练习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ?=?） 由上图可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0， 三、特殊角的三角函数值（熟记） 四、 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 三种基本关系：1:、边边关系：2 2 2 a b c += 2、角角关系：∠A+∠B=90° 3、边角关系：即四种锐角三角函数 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2 c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A =g ，cos b c A =g 五、对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 仰角 俯角 北 东 南 α h L i i=h/L=tg α A C B D
课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数，理解三角函数表示的意义，学会利用三角函数求线段长度和角度； 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考（建议不超过10分钟） 1.（2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼 顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m． （1）求∠BCD的度数． （2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32） 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾：三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0
1.解直角三角形的定义： 在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则： ①三边关系：a 2＋b 2= c 2 ； ②两锐角关系：∠A ＋∠B= 90°； ③边与角关系：sin A=cos B= a c ，cos A=sin B= b c ，tan A=a b ； ④平方关系：1cos sin 2 2 =+A A ⑥倒数关系：tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系：tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长； ②已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线： 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.（2017?恩施州）如图，小明家在学校O 的北偏东60°方向，距离学校80米的A 处，小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）