直线、平面垂直的判定及其性质
一、目标认知
学习目标
1．了解空间直线和平面的位置关系；
2．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；进一步熟悉反证法的实质及其一般解题步骤．
3．通过探究线面平行定义、判定和性质定理及其应用，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力．
4．通过有关定理的发现、证明及应用，提高学生的空间想象力和类比、转化的能力，提高学生的逻辑推理能力．
重点：
直线与平面平行的判定、性质定理的应用；
难点：
线面平行的判定定理的反证法证明，线面平行的判定和性质定理的应用．
二、知识要点梳理
知识点一、直线和平面垂直的定义与判定
1.直线和平面垂直定义
如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.
要点诠释：
(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，
注意区别.
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.
(3)若，则.
2.直线和平面垂直的判定定理
判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
符号语言：
特征：线线垂直线面垂直
要点诠释：
(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.
(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线
垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.
知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
要点诠释：
(1)直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线.
(2)直线与平面垂直射影是点.
(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.
(4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是
0°的角.
知识点三、二面角
1.二面角定义
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或.
2.二面角的平面角
在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条构成的角叫做二面角的平面角.
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
知识点四、平面与平面垂直的定义与判定
1.平面与平面垂直定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
表示方法：平面与垂直，记作.
画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：
2.平面与平面垂直的判定定理
判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
特征：线面垂直面面垂直
要点诠释：
平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可.
知识点五、直线与平面垂直的性质
1.基本性质
一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
符号语言：
图形语言：
2.性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：
图形语言：
知识点六、平面与平面垂直的性质
性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
三、规律方法指导
垂直关系的知识记忆口诀：
线面垂直的关键，定义来证最常见，
判定定理也常用，它的意义要记清，
平面之内两直线，两线交于一个点，
面外还有一条线，垂直两线是条件，
面面垂直要证好，原有图中去寻找，
若是这样还不好，辅助线面是个宝，
先作交线的垂线，面面转为线和面，
再证一步线和线，面面垂直即可见，
借助辅助线和面，加的时候不能乱，
以某性质为基础，不能主观凭臆断，
判断线和面垂直，线垂面中两交线，
两线垂直同一面，相互平行共伸展，
两面垂直同一线，一面平行另一面，
要让面和面垂直，面过另面一垂线，
面面垂直成直角，线面垂直记心间.
经典例题透析
类型一、直线和平面垂直的定义
1．下列命题中正确的个数是( )
①如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；
②如果直线与平面内的一条直线垂直，则；
③如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线；
④如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：B
解析：当内的无数条直线平行时，与不一定垂直，故①不对；
当与内的一条直线垂直时，不能保证与垂直，故②不对；
当与不垂直时，可能与内的无数条直线垂直，故③不对；④正确.故选B.
总结升华：注意直线和平面垂直定义中的关键词语.
举一反三：
【变式1】下列说法中错误的是( )
①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；
②如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；
③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；
④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线.
A.①②
B.②③④
C.①②④
D.①②③
答案：D
解析：如图所示，直线，面ABCD，显然，∴①错；
由于，，但，∴②错；
，，但，∴③错.
由直线与平面垂直的定义知④正确，故选D.
总结升华：本题可以借助长方体来验证结论的正误.
类型二、直线和平面垂直的判定
2．如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明：(1)因为SA=SC，D为AC的中点，
所以SD⊥AC.
连接BD. 在Rt△ABC中，有AD=DC=DB，
所以△SDB≌△SDA，所以∠SDB=∠SDA，所以SD⊥BD.
又AC∩BD=D，所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB=BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥BD，所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
所以BD⊥平面SAC.
总结升华：挖掘题目中的隐含条件，利用线面垂直的判定定理即可得证.
举一反三：
【变式1】如图所示，三棱锥的四个面中，最多有________个直角三角形.
答案：4
解析：如图所示，PA⊥面ABC.∠ABC=90°，则图中四个三角形都是直角三角形.故填4.
总结升华：注意正确画出图形.
【变式2】如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M.
求证：CD⊥平面BDM.
证明：如右图，连接、、，则.
∵，∴为等腰三角形.
又知D为其底边的中点，∴.
∵，，∴.
又，∴.
∵为直角三角形，D为的中点，∴，.
又，，∴.
.即CD⊥DM.
∵、为平面BDM内两条相交直线，∴CD⊥平面BDM.
类型三、直线和平面所成的角
3．如图所示，已知∠BOC在平面内，OA是平面的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=，BC=，求OA和平面所成的角.
解析：∵，∠AOB=∠AOC=60°，∴△AOB、△AOC为正三
角形，∴.
∵，∴，
∴△ABC为直角三角形. 同理△BOC也为直角三角形.
过A作AH垂直平面于H，连接OH，
∵AO=AB=AC，∴OH=BH=CH，H为△BOC的外心.
∴H在BC上，且H为BC的中点.
∵Rt△AOH中，，∴，
∴∠AOH=45°. 即AO和平面所成角为45°.
总结升华：
(1)确定点在平面内的射影的位置，是解题的关键，因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面
所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解.
(2)求斜线与平面所成的角的程序：
①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；
②连接垂足和斜足得出射影，确定出所求解；
③把该角放入三角形计算.
(3)直线和平面所成的角，也应考虑到直线和平面垂直、直线和平面平行或在平面内诸情况，也就是直
线和平面成90°角和0°角的情况，所以求线面所成角时，应想到以上两种情况.
举一反三：
【变式1】如图所示，在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是________.
答案：
解析：如右图.
由题取AC中点O，连接BO.则BO⊥平面.
故为与平面所成角. 又在中，，
. ∴，∴.
类型四、二面角
4．如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，，求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小.
解析：取BC的中点E，连接AE、DE，
∵AB=AC，∴AE⊥BC.
又∵△ABD≌△ACD，AB=AC，∴DB=DC，∴DE⊥BC.
∴∠AED为二面角的平面角.
又∵△ABC≌△BDC，∴AD=BC=2，
在Rt△DEB中，DB=，BE=1，∴，
同理.
在△AED中，
∵，，∴，∴∠AED=90°.
∴以面BCD和面ABC为面的二面角大小为90°.
总结升华：确定二面角的平面角，常常用定义来确定.
举一反三：
【变式1】已知D、E分别是正三棱柱的侧棱和上的点，且.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成的二面角的大小.
解析：如图，在平面内延长DE和交于点F，
则F是面与面的公共点，为这两个平面的交线，
∴所求二面角就是的平面角.
∵，且，
∴E、分别DF和A1F的中点.
∵，
∴.
又面，面，
∴面，而面.
∴.
∴是二面角的平面角，
由已知，∴.
总结升华：当所求的二面角没有给出它的棱时，找出二面角的两个面的两个公共点，从而找出它的棱，进而求其平面角的大小即可.
类型五、平面与平面垂直的判定
5．在四面体ABCD中，，AB=AD=CB=CD=AC=，如图所示.
求证：平面ABD⊥平面BCD.
证明：∵△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，
∴取BD的中点E，连接AE、CE，则AE⊥BD，BD⊥CE，
∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.
在△ABD中，，，
∴.
同理.
在△AEC中，，，
由于，
∴AE⊥CE，即∠AEC=90°，即二面角A-BD-C的平面角为90°.
∴平面ABD⊥平面BCD.
总结升华：利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是
(1)找出两个相交平面的平面角；
(2)证明这个平面角是直角；
(3)根据定义，这两个平面互相垂直.
举一反三：
【变式1】如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC 的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD.
证明：∵AB=BC，CD=AD，G是AC的中点，
∴BG⊥AC，DG⊥AC，
∴AC⊥平面BGD.
又EF∥AC，
∴EF⊥平面BGD.
∵EF平面BEF，
∴平面BDG⊥平面BEF.
总结升华：证面面垂直的方法：
(1)证明两平面构成的二面角的平面角为90°；
(2)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，将证明“面面垂直”的问题转化为证明线面垂直的问题.
【变式2】如图所示，在Rt△AOB中，，斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角.D是AB的中点.
求证：平面COD⊥平面AOB；
证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.
又∵二面角B-AO-C是直二面角.
∴CO⊥BO.
又∵AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB.
又CO平面COD，
∴平面COD⊥平面AOB.
【变式3】过点P引三条长度相等但不共面的线段PA、PB、PC，有∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°，求证：平面ABC⊥平面BPC.
证明：如图，已知PA=PB=PC=a，
由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，
则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，
取BC中点为E
直角△BPC中，，，
由AB=AC，AE⊥BC，
直角△ABE中，，，，
在△PEA中，，，
∴，
平面ABC⊥平面BPC.
类型六、综合应用
6．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．
证明：(1)取EC的中点F，连接DF．
∵CE⊥平面ABC，
∴CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．
∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC．
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
∵，，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．
(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MN CF．
∵BD CF，∴MN BD．N平面BDM．
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．
又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA．
又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．
(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA．
又∵DM平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA．
总结升华：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，这里证明的关键是BN
⊥平面ECA，应充分体会线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系．
7．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．
思路点拨：要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线．注意到M、N分别为AB，PC 的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可．证明如下．
证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，
则，
故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．
∵AE平面PAD，MN平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．
由(1)知，需证AE⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB．又AD⊥AB，
∴AB⊥平面PAD．
∴AB⊥AE．即AB⊥MN．
又CD∥AB，∴MN⊥CD．
(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．
又∠PDA=45°，E为PD的中点．
∴AE⊥PD，即MN⊥PD．
又MN⊥CD，
∴MN⊥平面PCD．
总结升华：本题是涉及线面垂直、线面平行、线线垂直诸多知识点的一道综合题．(1)的关键是选取PD的中点E，所作的辅助线使问题处理的方向明朗化．线线垂直→线面垂直→线线垂直是转化规律．
学习成果测评
基础达标
1.平面外的一条直线与内的两条平行直线垂直，那么( ).
A. B. C.与相交 D.与的位置关系不确定
2.已知直线a、b和平面，下列推论错误的是( ).
A. B.
C. D.
3.若直线a⊥直线b，且a⊥平面，则有( ).
A. B. C. D.或
4.若P是平面外一点，则下列命题正确的是( ).
A.过P只能作一条直线与平面相交
B.过P可作无数条直线与平面垂直
C.过P只能作一条直线与平面平行
D.过P可作无数条直线与平面平行
5.设是直二面角，直线，直线，且a不垂直于，b不垂直于，那么( ).
A.a与b可能垂直，但不能平行
B.a与b可能垂直，也可能平行
C.a与b不可能垂直，但可能平行
D.a与b不可能平行，也不能垂直
6.设、为两个不同的平面，、m为两条不同的直线，且，有如下两个命题：①若
，则；②若，则届那么( ).
A.①是真命题，②是假命题
B.①是假命题，②是真命题
C.①②都是真命题
D.①②都是假命题
7.关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：
①若且，则m∥n；②若且，则；
③若且，则；④若且，则m∥n.
其中真命题的序号是( ).
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
8.已知直线m⊥平面，直线，给出下列四个命题，其中正确的命题是( ).
①若，则；②若，则m∥n；③若m∥n，则；④若，则.
A.③④
B.①③
C.②④
D.①②
9.下面四个命题：
①两两相交的三条直线只可能确定一个平面；
②经过平面外一点，有且仅有一个平面垂直这个平面；
③平面内不共线的三点到平面的距离相等，则；
④两个平面垂直，过其中一个平面内一点作它们交线的垂线，则此垂线垂直于另一个平面其中真命题的个数是( ).
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
10.设有不同的直线a、b和不同的平面、、，给出下列三个命题：
直线、平面垂直的判定及其性质 一、目标认知 学习目标 1．了解空间直线和平面的位置关系； 2．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；进一步熟悉反证法的实质及其一般解题步骤． 3．通过探究线面平行定义、判定和性质定理及其应用，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力． 4．通过有关定理的发现、证明及应用，提高学生的空间想象力和类比、转化的能力，提高学生的逻辑推理能力． 重点： 直线与平面平行的判定、性质定理的应用； 难点： 线面平行的判定定理的反证法证明，线面平行的判定和性质定理的应用． 二、知识要点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 1.直线和平面垂直定义 如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足. 要点诠释： (1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同， 注意区别. (2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式. (3)若，则. 2.直线和平面垂直的判定定理
判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 符号语言： 特征：线线垂直线面垂直 要点诠释： (1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视. (2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线 垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要. 知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 要点诠释： (1)直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线. (2)直线与平面垂直射影是点. (3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上. (4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是 0°的角. 知识点三、二面角
专题讲座 高中数学“立体几何初步”教学研究 袁京生北京市朝阳区教育研究中心 一、“立体几何初步”教学内容的整体把握 （一）“立体几何初步”内容的背景分析 1.从立体几何发展的历程看立体几何课程 （1）不同学段几何学习的特点 一个学生从小学的数学课中就接触到了空间图形，由于知识和年龄的限制，他们对空间图形的认识方法主要是大量的观察、操作，对空间图形形成一定的感性认识. 在初中，课程安排了简单几何体的概念及体积公式，三视图的基本知识，正方体的截面、展开问题，建立了长方体模型概念，已初步具有平面几何基础知识及推理论证能力， 总体上看，初中学生对空间图形的认识主要是直观感知，操作确认，但平面几何的学习又呈现出思辨论证等理性的特征. 总之，高中以前的学生对空间图形的认识主要是对图形的整体形象的直观感知，操作确认，这种基于直观和操作的认知的优点是简便、直观，不需要更多的知识作基础，但不足也是很明显的，即不能对空间图形及其内部的元素关系进行深入的分析，不能产生对空间图形本质的认识. 当学生进入高中以后，教材对空间图形的有了专门的介绍：立体几何.从历次的立体几何教材看，无论教材怎样变化，高中立体几何的最终目标都是要从学生可接受的理论高度来认识空间图形.除了传统的综合几何外，近几年的高中《大纲》或《课程标准》还引入了空间向量，空间向量进入几何，使几何有了更多代数的味道，因此现行的高中几何不完全是欧式几何. 当我们回顾大学的几何学习时，容易发现，大学的几何学习正是沿着几何代数化的方向展开，无论《空间解析几何》、《高等几何》、《微分几何》等无不是通过代数的手段对几何进行研究，通过代数的形式呈现几何结论. （2）几何研究方法的发展
第11课时直线与平面垂直听课随笔 、【学习导航】 学习要求 1?掌握直线与平面的位置关系? 2 .掌握直线和平面平行的判定与性质定 理. .3.应用直线和平面平行的判定和性质定理证明两条直线平行等有关问题. 自学评价 1. 直线和平面垂直的定义：______________ 符号表示：______________________________ 垂线：___________________________________ 垂面：___________________________________ 垂足：___________________________________ 思考：在平面中，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，那么在空间。 (1) 过一点有几条直线与已知平面垂直？ 答： (2) 过一点有几条平面与已知直线垂直？ 答： 2.定理：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 3.点到平面的距离：____________________ 4.直线与平面垂直的判定定理：已知： 求证： 证明： 6 .直线和平面的距离： 【精典范例】 例1:.求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 思维点拔： 要证线面垂直，只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直，或利用定义进行证明。 Rt△ ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC (1)求证：点S在斜边中点D的连线SD丄面ABC ⑵若直角边BA=BC，求证：BD丄面SAC 符号表示_________________________________ 5 .直线和平面垂直的性质定理: 追踪训练1
必修二立体几何知识点与复习题 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义：成? 90角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是（） A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行； （3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
第一章:空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1.知识与技能 (1通过实物操作,增强学生的直观感知。 (2能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2.过程与方法 (1让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 (2让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3.情感态度与价值观 (1使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生的观察能力。 (2培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具 (1学法:观察、思考、交流、讨论、概括。 (2实物模型、投影仪 四、教学思路 (一创设情景,揭示课题 1.教师提出问题:在我们生活周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子吗?这些建筑的几何结构特征如何?引导学生回忆,举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2.所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的,(展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体,你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗?这是我们所要学习的内容。 (二、研探新知 1.引导学生观察物体、思考、交流、讨论,对物体进行分类,分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2.观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片,它们各自的特点是什么?它们的共同特点是什么? 3.组织学生分组讨论,每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。(1有两个面互相平行;(2其余各面都是平行四边形;(3每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4.教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5.提出问题:各种这样的棱柱,主要有什么不同?可不可以根据不同对棱柱分类?
第23课时立体几何总复习课⑵ 一、【学习导航】知识网络见上一课时间 学习要求 1?会证线线、线面、面面的平行与垂直的问题，会求简单的线线、线面、面面间的角与距离以及简单几何体的面积与体积 2、了解并能运用分割求和的思想。 A、平行 B 、相交C 、异面 D 、以上都有可能 2、在正方体ABCD AB I GD,中，下列几种说法正确的是 A AC i AD B、D1C1 AB C AC i 与DC 成45°角D、AC i与BiC 成60°角 3、若直线丨P平面，直线a，则丨与a的位置关系是 A l Pa B丨与a异面 C 、丨与a相交D丨与a没有公共点 4、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面 平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A 1 B 、2 C 3 D 、4 5、在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果与 EF、GH能相交于点P，那么 A、点必P在直线AC上B点P必在直线BD上 C点P必在平面ABC内D、点P必在平面ABC外、 6.如图：直三棱柱ABC-ABC的体积为V点P、Q分别在侧棱AA和 CC上，AP=QQ则四棱锥B-APQC勺体积为 V V 2345
【精典范例】、 例 1：已知 ABC 中 ACB 90°, SA 面 ABC , AD SC ,求证：AD 面 SBC 例 2：已知△ BC ［中，/ BCD 90°, BGCt =1, AB 丄平面 BCD) / ADB 60°, E 、 AD 上的动点，且 思维点拔：灵活掌握与运用立体几何中的基本知识与方法。才能有效的解决问 题。 追踪训练 1. a , b , c 表示直线，M 表示平 面，给出下列四个命题：①若 a // M b // M 则a // b ；②若 b M a / b ,则a / M ③若a 丄 c , b 丄c ,则a / b ;④若a 丄M b 丄M 则a / b .其中正确命题的 个数 有 A 、0个 B 1个 C 、2个 D 3个 2. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体 ，则截去8个三 棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 2 7^4 5 A 、一 B 、一 C 、一 D 3 6 5 6 3 ?已知PA 垂直平行四边形 ABCD 所在平面，若 PC BD ，平行则四边形 ABCD 一定 是 . _______ 4、如图，在直四棱柱 A 1B 1G D 1 — ABCD^，当底面四边形 ABCD?足条件 ___________ 时，有A B 丄B D 1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形 AE AF (0 AC AD 1). (I)求证：不论入为何值，总有平面 BEF 丄平面ABC (H)当入为何值时，平面 BEF 丄平面ACD .)
高中数学立体几何知识点归纳总结 一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相 邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫 做棱柱。 相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ① ? ? ??????→ ?? ?????→? ? ?? ?L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 侧棱垂直于底面底面为矩形 侧棱与底面边长相等 棱柱的性质：
①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的 平方和；【如图】2222 11AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所 成 的 角 分 别 是 αβγ ，，，那么 222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=. 侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 面积、体积公式： 2S c h S c h S S h =?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱 柱的高） 2.圆柱 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 面积、体积公式： 侧面 母线
第一章立体几何初步 示范教案 整体设计 教学分析 本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章内容，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．值得注意的是对于本章知识结构，学生比较陌生，教师要帮助学生完成，并加以引导． 三维目标 通过总结和归纳立体几何的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养其分类讨论的思想和提高其抽象思维能力． 重点难点 教学重点：①空间几何体的结构特征． ②由三视图还原为实物图． ③面积和体积的计算． ④平行与垂直的判定与性质． 教学难点：形成知识网络． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 设计 1.第一章是整个立体几何的基础，为了系统地掌握本章的知识和方法，本节对第一章进行复习．教师点出课题． 设计2.大家都知道，农民伯伯在春天忙着耕地、播种、浇水、施肥、治虫，非常辛劳，到了秋天，他们便忙着收获．到了收获的季节，他们既高兴又紧张，因为收获比前面的工作更重要，收获的多少决定着一年的收成．我们前面的学习就像播种，今天的小结就像收获，希望大家重视今天的小结学习．教师点出课题． 推进新课 新知探究 提出问题 请同学们自己梳理本章知识结构. 对比直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系. 对比面积、体积各自之间的关系. 讨论结果： (1)本章知识结构：
(2)平行关系与垂直关系的对比： (3)①柱、锥、台的侧面积关系：
其中c′、c 分别为上、下底面周长，h′为斜高或母线长，h 为正棱柱或圆柱的高． ②柱、锥、台的体积关系： 其中S 上、S 下分别为台体的上、下底面积，h 为高，S 为柱体或锥体的底面积． ③球的表面积和体积：S 球面＝4πR 2，V 球＝43 πR 3 . 应用示例 思路1 例1 下列几何体是台体的是( ) 解析：A 中的“侧棱”没有相交于一点，所以A 不是台体；B 中的几何体没有两个平行的面，所以B 不是台体；很明显C 是棱锥，D 是圆台． 答案：D 点评：本题主要考查台体的结构特征．像这样的概念辨析题，主要是依靠对简单几何体的结构特征的准确把握． 变式训练 1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( ) A ．一个圆台、两个圆锥 B ．两个圆台、一个圆柱
高中立体几何基础知识 1. 平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2. 平面的画法及其表示方法： ①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45，横边 画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画 ②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对 角顶点的字母来表示如平面AC. 3. 空间图形是由点、线、面组成的 点、线、面的基本位置关系如下表所示： α a ?
a α α//a 直线a 与平面α平行 a A α a A α= 直线a 与平面α交于 点A l α β= 平面α、β相交于直 线l 注意：直线与平面平行（α//a ）和直线与平面相交（a A α=）两种情 形，统称为直线在平面外，记为α?a . 4. 平面的基本性质 (1)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的 符号表示： ααα??∈∈a B A ,． 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是 否是平面． 公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平 面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． (2)公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且 所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 B A α
符号表示： A l A ααββ∈? ?=?∈? 且A l ∈且l 唯一 如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；② 判定点在 直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依 据，提供了确定两个平面交线的方法． (3)公理3: 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推理模式：,, A B C 不共线?存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈ 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 注意:“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在， 但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． (4)推论1 :经过一条直线和直线外的一点有且只有 一个平面 推理模式：A a ??存在唯一的平面α，使得A α∈，α?l (5)推论2: 经过两条相交直线有且只有一个 平面
人教版高中数学必修一教学讲义 年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 课题《立体几何初步》全章复习 课型□预习课□同步课■复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 《立体几何初步》全章复习 【知识网络】 【要点梳理】 知识点一：空间几何体的结构与特征 本章出现的几何体有：①棱柱与圆柱统称为柱体；②棱锥与圆锥统称为锥体；③棱台与圆台统称为台体；④球体． 柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等．在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱(母线)，外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形． 空间几何体的三视图：主视图：它能反映物体的高度和长度；左视图：它能反映物体的高度和宽度；俯视图：
【典型例题】 类型一：空间几何体的三视图 例1．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图 （2）求该安全标识墩的体积 （3）证明:直线BD 平面PEG 【思路点拨】（1）由于墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH，故其正视图与侧视图全等． （2）由三视图我们易得，底面为边长为40cm的正方形，长方体的高为20cm，棱锥高为60cm，代入棱柱和棱锥体积公式，易得结果． 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.
一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就 和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平 面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 90角 1、定义：成 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线 垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影 垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法
x x 职业技术教育中心 教案
复习引入： 新授： 1． 平面及其表示 常见的平面形象大都是矩形状的，当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时，感到它们与平行四边形是一致的，因此，通常画一个平行四边形来表示平面．图5-27(1)表示平放的平面，图5-27(2) 表示竖直的平面．请注意它们画法之间的区别． 如果要画相交的两个平面，可以按图5-28所示的步骤进行． 一个平面通常用小写希腊字母 α、β、γ、…表示，写在表示平面的平行四边形某一个顶角部，记作“平面 α”、“平面β”,…，或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明，记作“平面AC ”或“平面BD ”，当然也可记作平面 ABCD (如图5-27)．应该注意，正像平面几何中直线是可以无限延伸一样，平面也是可以无限延展的，也就是说，它是没有边界的，我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分． 空间图形也可看作是空间点的集合，因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示： ①点A 在直线l 上，记作A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作A ?l ； ②点A 在平面α，记作A ∈α，点A 不在平面α，记作A ?α； ③直线l 在平面α，记作l ?α； ④直线l 与直线m 交于点N ，记作l ?m ={N }，直线l 与直线m 没有交点，记作l ?m =?； ⑤直线l 与平面α交于点N ，记作l ?α={N }，直线l 与平面α没有交点，记作l ?α=?； ⑥平面α与平面β交于直线l ，记作α?β=l ，平面α与平面β不相交，记作α?β=?． 在以后的学习中，我们将经常用到这些记号． 课练习1 1. 能不能说一个平面长2米，宽1米，为什么？ 2. 画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面． 3. 分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面． 4. 用符号表示下列点、线、面间的关系： (1)点A 在平面α，但在平面β外； (2)直线l 经过平面α外的一点N ； (3)直线l 与直线m 相交于平面α的一点N ； (4)直线l 经过平面α的两点M 和N ． 5. 下面的写法对不对，为什么？ (1)点A 在平面α，记作A ?α; (2)直线l 在平面α，记作l ∈α； (3)平面α与平面β相交，记作α?β； (4)直线l 与平面α相交，记作l ?α≠?． 2. 平面的基本性质 基本性质： 图5-28 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 (第3题图) 图5-27(2) βD A B C D 图5-27(1) A D C α
第一章立体几何初步 一、知识结构 二、重点难点 重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义，判定和性质。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号语言的转化。 平行，垂直判定与性质定理证明与应用。 第一课时棱柱、棱锥、棱台 【学习导航】 学习要求 1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。 2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。 3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法 4．了解多面体的概念和分类． 【课堂互动】
自学评价 棱柱的定义： 表示法： 思考:棱柱的特点：. 【答】 棱锥的定义： 表示法： 思考:棱锥的特点：. 【答】 3．棱台的定义： 表示法： 思考:棱台的特点：. 【答】 4．多面体的定义： 5．多面体的分类： ⑴棱柱的分类 ⑵棱锥的分类 ⑶棱台的分类 【精典范例】 例1：设有三个命题： 甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。以上各命题中，真命题的个数是（A） A．0 B. 1 C. 2 D. 3 例2：画一个四棱柱和一个三棱台。 【解】四棱柱的作法： ⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形； ⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段； ⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点 互助参考７页例１
⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去． 互助参考７页例１ 点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得 思维点拔： 解柱、锥、台概念性问题和画图需要： (1).准确地理解柱、锥、台的定义 (2).灵活理解柱、锥、台的特点： 例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？ 答：不能． 点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。 自主训练一 1. 如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？ 答由四边形ABCD 沿AA1方向平移得到． 2.右图中的几何体是不是棱台？为什么？ 答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点． 3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体。 答：４个面，四面体． A C B D A1 C1 B1 D1
γm βα l l α β立体几何知识点整理（文科） 一． 直线和平面的三种位置关 系： 1. 线面平行 α l 符号表示： 2. 线面相交 α A l 符号表示： 3. 线在面内 α l 符号表示： 二． 平行关系： 1. 线线平行： 方法一：用线面平行实 现。 m l m l l ////??? ? ??=??βαβ α 方法二：用面面平行实现。 m l m l ////??? ? ?? =?=?βγαγβα 方法三：用线面垂直实现。 若αα⊥⊥m l ,，则m l //。 方法四：用向量方法： 若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合，则 m l //。 2. 线面平行： 方法一：用线线平行实现。 ααα////l l m m l ??? ? ?? ?? 方 法二：用面面平行实现。 αββα////l l ?? ?? ? 方法三：用平面法向量实现。 若n 为平面α的一个法向量， l n ⊥且α?l ,则α//l 。 3. 面面平行： 方法一：用线线平行实现。 β ααβ//',',' //'//????? ??? ??且相交且相交m l m l m m l l 方法二：用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ?? ?且相交m l m l m l α n α l m'l'l α βm m β α l l m β α
三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三：用向量方法： 若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。 三． 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(?? (2)求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理： ab c b a 2cos 2 22-+=θ (计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)： AC AB AC AB ??= θcos (二) 线面角 (1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 A B C αl l β α m l β α m α l θ c b a A B C θn A O θ P αl A O P α
立体几何综合复习教学设 计 Prepared on 24 November 2020
《高三立体几何综合复习》教学设计 一、教材分析 立体几何是高中数学的重要概念之一。最近几年高考对立体几何的要求发生了很大的变化，注重空间的平行与垂直关系的判定，淡化空间角和空间距离的考查，因此立体几何的难度和以往相比有大幅度的降。因此依据考试说明的要求在高三复习中制定以下目标： 1.高度重视立体几何基础知识的复习，扎实地掌握基本概念、定理和公式等基础知识。 2.复习过程中指导学生通过网络图或框图主动建构完整的知识体系，尤其要以线线、线面、面面三种位置关系形成网络，能够熟练地转化和迁移。 3.重视模型复习，强化学生的“想图、画图、识图、解图”的能力，重视图形语言、文字语言、符号语言转化的训练。尤其重视对所画的立体图形、三视图与真实图形思维理解上的一致性。 4.在完成解答题时，要重视培养学生规范书写，注意表述的逻辑性及准确性，要注意训练学生思考的严谨性，在计算相关量时应做到“一作、二证、三算”。 做好本节课的复习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有重要的意义。 二、学情分析 在传统的高中数学立体几何的学习中，采取的基本方法：面面俱到的知识点整理，典型的例题解答，课堂的跟踪训练，灌输解题规律，这种模式由于缺乏新意，学生思维难以兴奋，发散性思维受到抑制，创新意识逐渐消弱，学习的效果可想而知。因此立体几何的学习只有深入到学科知识的内部，充分调动学生的思维，触及学生的兴奋点，这样才能达到高效学习的目的。 三、设计思想
在新课程理念下，在立体几何教学中我进行了研究性学习的尝试，所谓研究性学习就是应用研究性学习的理念、方法去指导立体几何，学生在教师的引导下尽可能地采取自主性、探究性的学习方式，不仅要注意基础知识的学习，更应该关注自身综合素质、创新意识的提高。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 四、媒体手段 利用电子白板，幻灯片课件，几何画板软件。让学生分组自己动手利用几何画板绘制立体图形，分组讨论得出结论，充分调动学生的学习的积极性主动性，自主的发现问题，找到解决问题的方法。 五、教学目标 1、知识与技能 （1）理解三视图的定义，空间中几何体三视图。 （2）掌握利用空间向量来解决立体几何问题。 2、过程与方法 （1）加强数学语言的训练，培养数学交流能力。 （2）培养学生转化的思想，把空间问题转化为平面问题解决问题。 3、情感态度与价值观 调动学生的积极性，使他们主动地参与到学习中去。 六、教学重难点 重点：空间向量的应用 难点：三视图的转化，空间向量的应用 七、教学过程设计
高一期末复习：立体几何初步 教学目的 1. 复习《立体几何初步》的相关知识及基本应用 2. 掌握典型题型及其处理方法 教学重点、难点 《立体几何初步》的知识梳理和题型归类以及重点题型的处理方法 知识分析 1. 多面体的结构特征 对于多面体的结构要从其反应的几何体的本质去把握，棱柱、棱锥、棱台是不同的多面体，但它们也有联系，棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台；棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台，因此它们的侧面积和体积公式可分别统一为一个公式。 2. 旋转体的结构特征 旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转生成的，从而可掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质。
3. 表面积与体积的计算 有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式法为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素。 4. 三视图与直观图的画法 三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化。 5. 直线和平面平行的判定方法 （1）定义：a a αα=??//； （2）判定定理：a b a b a ////，，???ααα； （3）线面垂直的性质：b a b a a ⊥⊥?，，，ααα//； （4）面面平行的性质：αβαβ////，a a ??。 6. 线线平行的判定方法 （1）定义：同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线； （2）公理4：a b b c a c //////，，?； （3）平面几何中判定两直线平行的方法； （4）线面平行的性质：a a b a b ////αβαβ，，?=? ； （5）线面垂直的性质：a b a b ⊥⊥?αα，//； （6）面面平行的性质：αβαγβγ////，， ==a a b 。 7. 证明线面垂直的方法 （1）线面垂直的定义：a 与α内任何直线垂直?⊥a α； （2）判定定理1：m n m n A l m l n l 、，，?=⊥⊥? ???⊥αα ； （3）判定定理2：a b a a b //，⊥?⊥α； （4）面面平行的性质：αβαβ//，a a ⊥?⊥；
《高三立体几何综合复习》教学设计 一、教材分析 立体几何是高中数学的重要概念之一。最近几年高考对立体几何的要求发生了很大的变化，注重空间的平行与垂直关系的判定，淡化空间角和空间距离的考查，因此立体几何的难度和以往相比有大幅度的降。因此依据考试说明的要求在高三复习中制定以下目标： 1.高度重视立体几何基础知识的复习，扎实地掌握基本概念、定理和公式等基础知识。 2.复习过程中指导学生通过网络图或框图主动建构完整的知识体系，尤其要以线线、线面、面面三种位置关系形成网络，能够熟练地转化和迁移。 3.重视模型复习，强化学生的“想图、画图、识图、解图”的能力，重视图形语言、文字语言、符号语言转化的训练。尤其重视对所画的立体图形、三视图与真实图形思维理解上的一致性。 4.在完成解答题时，要重视培养学生规范书写，注意表述的逻辑性及准确性，要注意训练学生思考的严谨性，在计算相关量时应做到“一作、二证、三算”。 做好本节课的复习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有重要的意义。 二、学情分析 在传统的高中数学立体几何的学习中，采取的基本方法：面面俱到的知识点整理，典型的例题解答，课堂的跟踪训练，灌输解题规律，这种模式由于缺乏新意，学生思维难以兴奋，发散性思维受到抑制，创新意识逐渐消弱，学习的效果可想而知。因此立体几何的学习只有深入到学科知识的内部，充分调动学生的思维，触及学生的兴奋点，这样才能达到高效学习的目的。 三、设计思想 在新课程理念下，在立体几何教学中我进行了研究性学习的尝试，所谓研究性学习就是应用研究性学习的理念、方法去指导立体几何，学生在教师的引导下尽可能地采取自主性、探究性的学习方式，不仅要注意基础知识的学习，更应该关注自身综合素质、创新意识的提高。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 四、媒体手段
教学准备 1. 教学目标 立体几何初步 (1)空间几何体 ①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活 中简单物体的结构. ②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图， 能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图. ③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间 图形的不同表示形式. ④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作 严格要求）. ⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. (2)点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ?公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内. ?公理2:过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. ?公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共 直线. ?公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. ?定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或 互补. ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直 的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理. ?如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ?如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行. ?如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
?如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理，并能够证明. ?如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. ?如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行. ?垂直于同一个平面的两条直线平行. ?如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. ③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 2. 教学重点/难点 1 几何体----多面体与旋转体的结构特征。 ２空间图形的三视图与直观图 3空间平行与垂直的判定及性质定理（８个） 4空间几何体的体积及表面积 3. 教学用具 直尺或三角板 4. 标签 １数形结合，形为数开路，数为形结果２空间想象能力３逻辑推理论证能力４熟练准确的计算能力 教学过程 例题精析，精练： 例 1 （三视图与面积体积） （１）（２０１２湖北４）已知某几何体的三视图如图所示：则该几何体的体积为（） Ａ.6π B.3π C.10π/3 D.8π/3